Unitat 8 Moviment dels ions. Fonons Física de l’Estat Sòlid Grau de Física Universitat de Barcelona Facultat de Física
Unitat 8
Moviment dels ions.
Fonons
Fsica de lEstat Slid
Grau de Fsica
Universitat de Barcelona
Facultat de Fsica
1
8. MOVIMENT DELS IONS. FONONS
8.0. INTRODUCCI
8.1. MODES DE VIBRACI ACSTICS EN 1D
A. Modes normals de vibraci en un cristall 1D amb base monoatmica
B. Relaci de dispersi
C. Velocitat de grup i superposici de modes de vibraci. Velocitat del so
8.2. MODES DE VIBRACI PTICS EN 1D
A. Modes normals de vibraci en un cristall 1D amb base diatmica
B. Relaci de dispersi
C. Modes acstics i ptics
D. Enumeraci de modes doscillaci
8.3. MODES DE VIBRACI EN 3D
A. Soluci general
B. Xarxa amb base monoatmica
C. Condicions peridiques de contorn
D. Xarxa amb base poliatmica
2
8.4. FONONS
A. Oscillador harmnic 1D. Tractament quntic
B. Oscillacions en un cristall. Tractament quntic. Fonons
C. Quantitat de moviment dels fonons
D. Interacci dels fonons amb altres partcules i quasipartcules
E. Observaci experimental de la dispersi inelstica de neutrons per
fonons
F. Estadstica de Bose-Einstein
G. Energia mitjana dun mode normal doscillaci
H. Densitat de modes
3
8.0. INTRODUCCI
A qualsevol temperatura, fins i tot al zero absolut, els toms que formen un slid
real NO es troben esttics a les seves posicions dequilibri, corresponents a
lestructura cristallina que hem vist fins ara, sin que oscillen constantment al
voltant daquestes.
Aquests moviments atmics donen lloc a oscillacions collectives de la xarxa,
lestudi de les quals constitueix lobjectiu daquest tema.
El model que considerarem per estudiar les vibracions de la xarxa es basa en dues
hiptesis de carcter general:
i) La posici dequilibri dun tom correspon a la posici que ocuparia a
lestructura cristallogrfica ideal (mnim denergia potencial).
Per aquesta ra, les posicions atmiques dedudes de lestructura
cristallogrfica sn, en realitat, posicions mitjanes i NO posicions fixes
instantnies.
ii) Les amplituds doscillaci dels toms al voltant daquestes posicions
dequilibri sn molt ms petites que les distncies interatmiques.
La primera hiptesi justifica lexistncia duna estructura cristallina en els
slids, associada a les posicions mitjanes dels toms, encara que, en realitat, els
toms oscillin contnuament.
La segona hiptesi s raonable en la majoria de casos i permet assegurar que noms
es produeixen deformacions petites en el cristall, com a conseqncia de les
vibracions de la xarxa.
4
Tot plegat fa acceptable considerar lanomenada aproximaci harmnica, que es
basa en les segents hiptesis:
i) Lenergia elstica del cristall s noms una funci quadrtica del
desplaament relatiu de dos toms qualssevol del slid.
ii) Es menyspreen tots els termes dordre superior al quadrtic, encara que a
temperatures prou altes poden tenir fora influncia i donar lloc a efectes que es
coneixen amb el nom defectes anharmnics.
De fet, hi ha moltes propietats trmiques del slid que noms es poden explicar
en el marc duna teoria anharmnica:
Dilataci trmica Existncia de resistncia trmica Dependncia amb la temperatura de la calor especfica a volum constant, a
temperatures elevades, ...
iii) El slid es comporta com si els toms estiguessin lligats entre si per forces
harmniques.
En el marc de laproximaci harmnica, el moviment dels toms es pot reduir a un
problema clssic de modes normals doscillaci:
Sn modes collectius doscillaci dels toms amb k i definits, semblant al cas duna ona sonora que es propaga per un slid.
Si signoren friccions o interaccions anharmniques, si sexcita un mode normal en el slid, aquest es mant en el temps.
[En un slid real, aix passa amb un grau daproximaci ms o menys bo,
segons quina sigui laplicabilitat de la teoria harmnica.]
5
8.1. MODES DE VIBRACI ACSTICS EN 1D
A. MODES NORMALS DE VIBRACI EN UN CRISTALL 1D
AMB BASE MONOATMICA
Considerem una xarxa unidimensional, de parmetre de xarxa a i longitud total L,
formada per N toms iguals (L = Na), de massa m, que estan units entre si per
molles de constant recuperadora C, com sindica a lesquema adjunt.
Resoldrem aquest model considerant dues hiptesis:
i) Les forces recuperadores, que tornen els toms a les seves posicions
dequilibri, actuen noms entre primers vens.
ii) Els desplaaments es produeixen noms en la direcci de la cadena; es parla,
aleshores, dones longitudinals.
Si la primera hiptesi es generalitza a interaccions ms llunyanes, sobtenen
resultats molt semblants, per ms complexos matemticament.
Si es consideren desplaaments en la direcci perpendicular a la cadena, apareixen
ones transversals amb altres constants de fora.
mC
aus-1 us us+1
6
EQUACI DE MOVIMENT DE LTOM s
Anomenem us el desplaament de ltom situat a la cella s respecte a la seva
posici dequilibri, en la direcci de la cadena (vegeu lesquema a la pg. anterior).
En el marc de laproximaci harmnica a primers vens, lenergia potencial elstica
del slid unidimensional vindr donada pel sumatori
( ) ,2
21 = +
sss uu
CV
i, per tant, la fora que actua sobre ltom s tindr lexpressi
( ) ( )[ ]sssss
s uuuuCuVF +== + 11
En aquesta aproximaci clssica, lequaci de moviment de ltom situat a la cella
s vindr donada per la segona llei de Newton per a aquest tom:
[ ]ssss uuuCdtud
m 21122
+= +
Si cerquem solucions que corresponguin a modes collectius doscillaci, tots els
toms han doscillar amb la mateixa dependncia temporal, s a dir, amb la
mateixa freqncia, :
us(x, t) = us(x) eit
Si substitum aquesta dependncia temporal en la segona llei de Newton, calculem
la derivada segona i simplifiquem termes, obtenim
m2us = C [us+1 + us1 2 us]
7
Aquesta s una equaci en diferncies finites del desplaament dels toms i admet
solucions en forma dones que es propaguen pel slid, lexpressi de les quals s
us = u exp(iksa),
on a s el parmetre de xarxa, i sha tingut en compte que la posici, x, no pot
prendre qualsevol valor, sin que est fixada all on hi ha toms, s a dir, pels
nusos de la xarxa: x = sa.
Aix permet reduir el problema de resoldre N equacions, una per a cada tom, a
resoldren una de sola, per a una s qualsevol.
Substituint aquesta mena de solucions a la darrera equaci de la pg. anterior sobt
m2u eiska = Cu [ei(s+1)ka + ei(s1)ka 2 eiska]. Simplificant el factor u eiska, lequaci queda com segueix:
2m = C [eika + eika 2] Allant i emprant la relaci entre el cosinus i les exponencials imaginries, assolim
2 = (2C/m) (1 coska)
Si tenim en compte que sin2(ka/2) = (1 coska)/2, obtenim finalment la relaci de dispersi de les ones elstiques, us = u ei(ksa t), que descriuen modes normals
(modes collectius) doscillaci dels toms que formen el slid unidimensional:
=2
sin4 kamC
8
CONDICIONS PERIDIQUES DE CONTORN
Encara que dentrada hem dit que tenem una cadena de longitud L, en la resoluci
de lequaci de moviment hem considerat una cadena dtoms infinita, s a dir, NO
hem considerat cap condici de contorn especfica.
Com en el cas de lestudi dels estats electrnics, adoptarem condicions peridiques
de contorn per minimitzar lefecte de la superfcie del slid sobre les propietats
daquest.
Per a un slid format per una cadena finita de N toms, de longitud L = Na, aquesta
mena de condicions implica que els desplaaments atmics verifiquin la relaci
u(sa) = u(sa + L)
Com hem vist, la soluci per al desplaament atmic corresponent a un mode
normal doscillaci es pot representar per una ona plana amb un vector dona
definit, us = u exp(iksa).
Per aquesta ra, de la mateixa manera que ja passava per als estats electrnics, la
relaci anterior simplement limitar els valors permesos del vector dona:
eiksa = eik(sa + L) eikL = 1 kL = 2n
s a dir, els vectors dona corresponents a ones planes, compatibles amb condicions
peridiques de contorn, sn de la forma
on N s el nombre de celles primitives del cristall.
)(22 ZnNa
nL
nkn ==
9
B. RELACI DE DISPERSI
Com hem vist, la funci que proporciona la dependncia temporal del desplaament
de ltom s s simplement una ona plana, de la forma
us = u ei(ksa t),
si suposem que el sistema oscilla seguint un mode normal doscillaci.
En conseqncia, tots els toms amb un valor de k fixat oscillen seguint un
moviment harmnic de la mateixa freqncia, , amb un desfasament que depn de la posici de cada tom a la cadena (ksa).
La relaci de dispersi dels modes normals doscillaci (que hem assolit al final de
la pgina 7) s una funci peridica del vector dona k, amb la periodicitat de la
xarxa recproca (2/a).
k /a-/a 0
mC4
=2
sin4 kamC
10
Per tant, qualsevol interval de lespai de vectors dona, damplada 2/a (que s la mida duna cella primitiva), proporciona totes les freqncies possibles
corresponents als modes normals doscillaci del sistema.
A ms, el moviment de les ones elstiques (modes normals) noms est definit
sobre les posicions atmiques, us, ja que la cadena que estem tractant NO s un
medi continu.
Per aquesta ra, s suficient utilitzar vectors dona que corresponguin a longituds
dona ms grans que 2a per tenir en compte tots els desfasaments relatius possibles
entre toms vens.
Aix ho podem veure amb un exemple en qu, per claredat, shan representat
desplaaments transversals:
En un cert instant de temps, les amplituds doscillaci dels toms sn iguals per a
lona amb longitud dona 1 > 2a i per a lona amb longitud dona 2 < 2a. s a dir, hi ha moltes representacions possibles del mateix desplaament atmic,
amb la mateixa freqncia, per cadascuna est associada a un perode diferent del
grfic (k). Cadascuna de les representacions possibles ha de tenir el mateix valor de .
11
Com que les ones es poden propagar cap a la dreta o cap a lesquerra de la cadena,
hem de fer servir valors positius i negatius del vector dona k, de manera que s
ms convenient utilitzar linterval /a < k /a, en lloc de linterval 0 < k 2/a, per definir els valors possibles del vector dona k corresponents als modes normals
doscillaci.
PRIMERA ZONA DE BRILLOUIN
Linterval /a < k /a cobreix tots els valors independents de la fase relativa entre dos toms vens.
Demostraci:
Suposem que k s un vector dona fora de la primera zona de Brillouin (|k| > /a). Sempre podem trobar un nombre enter, m que faci que el vector k definit com
k' = k m(2/a)
pertanyi a la primera zona de Brillouin (|k| < /a).
Una ona elstica que es propagui pel slid unidimensional, amb vector dona k,
produeix un desfasament relatiu en els desplaaments de dos toms vens igual a
us+1/us = eika = ei2m ei(ka 2m) = eika
Per tant, sempre es pot trobar un vector dona, k, contingut a la primera zona de
Brillouin, lona elstica corresponent al qual produeix els mateixos desplaaments
relatius dels toms que lona elstica corresponent a un altre vector dona, k, fora de
la primera zona de Brillouin.
12
Per a k = /a (s a dir, en extrems de la primera zona de Brillouin), la soluci us = u eiksa no representa una ona mbil, sin que correspon a una ona estacionria.
Aix s aix perqu, en els lmits de zona, es verifica
us = u exp(is) = u (1)s, i, en conseqncia, dos toms consecutius oscillen amb fases oposades, que
depenen del fet que s sigui un nombre parell o senar.
s a dir, si un tom es mou en un sentit i ltom adjacent es mou en sentit oposat,
amb la mateixa amplitud, NO hi ha cap moviment net, de manera que lona no es
propaga.
ENUMERACI DE MODES NORMALS DOSCILLACI
Cada mode normal doscillaci est descrit per lona elstica
us = u ei(ksa t),
on els valors permesos de k sn noms aquells que sn compatibles amb les
condicions peridiques de contorn (vegeu la darrera equaci a la pgina 8):
)(22 ZnNa
nL
nkn ==
13
Aix suposa que, si considerem una cella primitiva entre 0 i 2/a el valor mnim que pot prendre k s 2/Na i el valor mxim que pot prendre k s 2/a:
,2,2)1(,,6,4,2aNa
NNaNaNa
k = K
o b,
LN
LN
LLLk = 2,2)1(,,6,4,2 K
[No comptem k = 0 perqu representa el mateix estat que k= 2/a.]
Si ens limitem, per, a la primera zona de Brillouin, s a dir, a linterval /a < k /a, els valors possibles del vector dona k sn
,,21,,2,0,2,,21aaNNaNaaN
k
= KK
que es poden escriure de manera compacta com
aaNNaNak
= ,21,,4,2,0 K ,
o b com
( )L
NL
NLL
k = ,2,,4,2,0 K
Hi ha, per tant, N valors diferents del vector dona dins de la primera zona de
Brillouin, on N s el nombre de celles primitives del cristall.
[No comptem lestat k = N/L perqu representa el mateix estat que k = N/L.] k = 0 correspon al mode uniforme, per al qual tots els toms oscillen en fase:
us (k = 0) = u eit, s
14
C. SUPERPOSICI DE MODES DE VIBRACI I VELOCITAT DE GRUP
La soluci general per al desplaament dun tom qualsevol s una superposici
dels modes normals doscillaci, de la forma
( )[ ],exp =k
kks tksaiAu
que es coneix amb el nom de moviment multiperidic.
La velocitat de transmissi dun daquests paquets dones s la velocitat de grup,
que es defineix com
,0kk
g dkdv
==
on k0 s el valor corresponent al centre del paquet.
[La generalitzaci al cas 3D de la velocitat de grup dna lexpressi vg = k(k).]
Aplicant aquesta definici a la relaci de dispersi sobt la segent expressi:
Per a k = /a, ja hem dit que lona elstica s estacionria, i la velocitat de
propagaci del paquet dona s zero:
vg = 0
En aquest cas, NO hi ha transmissi neta
denergia elstica. k /a-/a 0
vg
=2
cos kamCavg
15
LMIT DE LONGITUDS DONA LLARGUES. VELOCITAT DEL SO
La relaci de dispersi no s una simple relaci lineal entre la freqncia angular i el vector dona k; per tant, s com si les ones elstiques en el slid es propaguessin
en un medi dispersiu.
No obstant aix, per a valors de |k| petits (longituds dona llargues), la relaci (k) s prcticament lineal (no hi ha dispersi), ja que
16
Si ens fixem en la representaci de la relaci de dispersi a la figura adjunta,
podem veure que aquesta velocitat correspon, a ms, a la velocitat mxima de
propagaci de les ones elstiques en el medi.
Laproximaci de baixes freqncies (longituds dona llargues) s aplicable fins a
freqncies de lordre de 1012 Hz (THz, terahertz).
Daltra banda, en la mateixa figura veiem que hi ha un valor lmit per a la
freqncia de propagaci de lona, una freqncia de tall de la xarxa, que est
determinada per lespaiat de la xarxa, i que val
Ones elstiques de freqncia ms gran que mx no es poden transmetre pel cristall.
Els modes de vibraci estudiats en aquest apartat donen lloc a les anomenades
branques acstiques de lespectre doscillacions collectives del slid.
av
mC so
mx24 ==
k /a-/a 0
mC4
mCav =so
max
branca acstica
17
8.2. MODES DE VIBRACI PTICS EN 1D
A. MODES NORMALS DE VIBRACI EN UN CRISTALL 1D
AMB DOS TOMS AMB DESPLAAMENTS DIFERENTS
Considerem una xarxa unidimensional de parmetre de xarxa a, amb una base
atmica formada per dos toms diferents, de masses m i M (m < M), que estan units
entre si per molles de constant recuperadora C, com sindica a lesquema adjunt.
Resoldrem aquest model considerant dues hiptesis:
i) Les forces recuperadores, que tornen els toms a les seves posicions
dequilibri, actuen noms entre primers vens.
ii) Els desplaaments es produeixen noms en la direcci de la cadena (ones
longitudinals).
Anomenem respectivament us i vs els desplaaments dels toms de massa M i m
pertanyents a la cella primitiva s, respecte a les seves respectives posicions
dequilibri, en la direcci de la cadena (vegeu lesquema anterior).
M mC
a
us-1 vs-1 us vs
18
EQUACIONS DE MOVIMENT DELS TOMS A LA CELLA PRIMITIVA s
En el marc de laproximaci harmnica a primers vens, la fora que actua sobre
cada tom situat a la cella primitiva s tindr lexpressi
( ) ( )[ ] [ ]( ) ( )[ ] [ ]
+=+==
+=+==
++
ssssssss
sv
ssssssss
su
vuuCvuvuCvVF
uvvCuvuvCuVF
2
2
11
11
En aquesta aproximaci clssica, lequaci de moviment corresponent a cada tom
segons la segona llei de Newton ser la segent:
[ ][ ]
+=
+=
+
ssss
ssss
vuuCdt
vdm
uvvCdt
udM
2
2
12
2
12
2
Cerquem solucions que corresponguin a modes collectius doscillaci, amb la
forma duna ona elstica amb k i definits, que adopta una amplitud doscillaci diferent sobre cada mena dtom de la base atmica:
us = u ei(ksa t) vs = v ei(ksa t)
Si substitum aquestes expressions a la segona llei de Newton, calculem la derivada
segona i simplifiquem termes, obtenim un sistema homogeni de dues equacions, on
les variables sn u i v:
2Mu = Cv [1 + eika] 2Cu 2mv = Cu [1 + eika] 2Cv
19
Arreglant el sistema, obtenim
(M2 2C) u + C[1 + eika] v = 0 C[1 + eika] u + (m2 2C) v = 0
Perqu aquest sistema tingui soluci diferent de la trivial (u = v = 0) cal que el
determinant dels coeficients sanulli:
( )( ) 021
12
2
2
=+
+
CmeC
eCCM
ika
ika
Desenvolupant el determinant i agrupant termes sobt la segent equaci:
Mm4 2C (m + M) 2 + 2C2 (1 coska) = 0
Resolent aquesta equaci de segon grau en 2, obtenim la relaci de dispersi:
En contrast amb la xarxa monoatmica, la relaci de dispersi duna xarxa
diatmica proporciona dos valors possibles de (noms els valors positius de tenen sentit fsic) corresponents a un valor determinat del vector dona k.
La representaci daquests dos valors possibles en funci de k determina dues
branques, +(k) i (k), per a la relaci de dispersi, que reben els noms histrics de branca ptica i branca acstica, respectivament.
Com en el cas de la cadena monoatmica, (k) s una funci peridica amb la periodicitat de la xarxa recproca, 2/a.
( ) 2/122 cos12
+
+=
mMka
mMMmC
mMMmC
20
B. RELACI DE DISPERSI
VALORS EXTREMS DE LES BRANQUES ACSTICA I PTICA
(i) Lmit k 0 (|k|
21
En aquest lmit (k 0), +(k) no depn de k i, per tant, la velocitat de grup sanulla i la velocitat de fase es fa infinita:
0; ===dkdv
kv gf
Branca acstica:
;)(2/)()(2
11)( 2222 ka
MmCka
MmmM
mMMmC
mMMmCk +
+
+
+
En aquest lmit, la branca acstica presenta una relaci lineal, cosa que indica que
el medi s molt poc dispersiu.
Daltra banda, lexpressi s molt semblant a la que ja vam obtenir per a una
cadena monoatmica [mono(k) = (C/m)1/2 kamono]. De fet, si les dues masses sn iguals (m = M), considerant que adia = 2amono, les dues expressions coincideixen
exactament.
Per tant, com en el cas de la xarxa monoatmica, la velocitat de grup (vg = d/dk) i la velocitat de fase (vf = /k) coincideixen en aquest lmit:
2/12/
+== Mm
Cavv gf
2/1
2)(
++ mMMmCk
kaMm
Ck2/12/)(
+
22
(ii) Lmit k = /a (extrems de la primera zona de Brillouin)
En aquest lmit, coska = 1 i la relaci de dispersi es redueix simplement a
,42/12
2
+=
+
+=
mM
mMCmM
MmCmMmM
MmCmM
MmCa
que t com a solucions
Apareix, aix, una regi de freqncies prohibides que separa les dues branques,
en la qual no hi ha solucions permeses:
(2C/M)1/2 < < (2C/m)1/2
En aquesta regi, les solucions per a real corresponen a valors de k complexos, que donen lloc a ones elstiques que sesmorteeixen rpidament al propagar-se.
)(2;2 MmMC
amC
a
23
C. MODES ACSTICS I MODES PTICS
La diferncia de significat fsic entre les dues branques que han aparegut a la
relaci de dispersi, i lorigen dels noms histrics que sels dna, es comprn ms
b fent una anlisi de la relaci entre les amplituds doscillaci dels dos toms
continguts a la cella primitiva s, en el centre de cada branca (k 0).
De la 1a equaci de moviment (vegeu la pgina 19) sobt la segent relaci:
202 22
21
+=
MCC
vu
MCeC
vu
k
ika
(i) Branca acstica
Al centre de la branca, s a dir, per a k 0 i 0, la relaci damplituds anterior s simplement
1vu
Aix vol dir que els toms de la base atmica es mouen en fase i la cella primitiva
es desplaa com un tot, de manera semblant a com ho fa una ona acstica en un
medi continu i elstic.
Per aquesta ra, a aquesta branca se lanomena histricament branca acstica.
[N.B. No sn celles consecutives.]
24
(ii) Branca ptica
Al centre de la branca, s a dir, per a k 0, ja hem vist abans lexpressi de la relaci de dispersi,
,2)(2/1
++ mMMmCk
de manera que la relaci damplituds s
mvMuMm
mMMmCMC
Cvu =+
)2(2
2
Aix vol dir que els dos toms de la base atmica, continguts a cada cella
primitiva, oscillen en oposici de fase (en sentits oposats), amb amplituds
inversament proporcionals a les seves masses.
En conseqncia, el centre de masses de cada cella no es desplaa:
0CM ++=
MmmvMuu
[N.B. No sn celles consecutives.]
25
Per entendre lorigen del nom daquesta branca, considerem un cristall inic, en el
qual els dos toms de la base tenen crregues oposades.
En aquests cristalls, el moviment dels toms quan segueixen un mode ptic de k
petita crea un moment dipolar elctric
que varia al llarg del cristall amb una longitud dona llarga, i que interacciona fortament amb ones electromagntiques de la mateixa
freqncia.
Com que aquestes ones cauen en la part de linfraroig de lespectre (la freqncia a
k 0 s duns THz), aquesta branca sanomena histricament branca ptica.
(iii) k 0.
Per a un valor qualsevol de k, NO hi ha una distinci simple entre els modes
doscillaci a cadascuna de les dues branques, encara que la denominaci de
modes acstics i ptics es conserva en tot el rang de valors de k.
Exemple: Modes ptic i acstic per a una ona elstica transversal.
Mode ptic
Mode acstic
26
D. ENUMERACI DE MODES NORMALS DOSCILLACI
Quan simposa que les ones elstiques verifiquin condicions peridiques de
contorn,
u(sa) = u(sa + L) v(sa) = v(sa + L),
ja vam veure en el cas de la xarxa monoatmica que els vectors dona k permesos
sn de la forma
)(22 ZnNa
nL
nkn ==
Per tant, a la primera zona de Brillouin (/a < k /a, on no hi incloem el valor k = /a, perqu representa el mateix estat que el valor k = /a), hi ha N valors permesos del vector dona k, on N s el nombre total de celles primitives del
cristall:
( )L
NL
NLL
k = ,2,,4,2,0 K
Com que per a cada valor de k, hi ha dos modes de vibraci (un dacstic i un
dptic), el nombre total de modes normals doscillaci s 2N.
s a dir, el nombre de modes normals doscillaci s igual al nombre total
dtoms.
[De fet, tamb hi ha tantes equacions de moviment con toms en el cristall, 2N.]
27
8.3. MODES DE VIBRACI EN 3D
A. BASE MONOATMICA
En aquest apartat, estendrem la formulaci anterior al cas de slids tridimensionals.
A ms, considerarem interaccions entre tots els toms, no noms a primers vens.
La component de la fora, Fs, exercida sobre ltom situat a la cella primitiva s per tota la resta del cristall, en laproximaci harmnica, es pot escriure com
{ }zyxursFr
rs ,,,;),( ,, =
En aquesta expressi:
El sumatori sobre lndex r sestn sobre les N celles primitives del slid, incloent-hi la cella s.
El sumatori sobre suma sobre les tres coordenades cartesianes, {x, y, z}. (s, r) s la constant de fora per a la interacci entre els toms situats a
les celles primitives s i r, quan els desplaaments daquests toms es
donen en les direccions cartesianes i , respectivament.
Les constants de fora depenen de la naturalesa de les interaccions atmiques (tipus
denlla), i algunes sn negatives, com vam veure en els casos 1D precedents.
Aquestes constants es poden calcular a partir de lenergia potencial dinteracci del
slid, V, per a petits desplaaments dels toms de les seves posicions dequilibri
(aproximaci harmnica), de la manera segent:
=,,
2),(
rs uuVrs
28
La segona llei de Newton per a un tom a la cella primitiva s sescriu com
{ }zyxursdtud
mr
rs
s ,,;),( ,2,
2
=
Per tant, tenim tres equacions diferencials per descriure el moviment de cada tom.
La component del desplaament de latom s, us,, quan aquest oscilla seguint un mode normal doscillaci, es pot escriure com
us, = us,(k) eit
Substituint aix a la 2a llei de Newton, de la qual ha de ser soluci, sobt
= r rss
ursum )(),()( ,,2 kk ,
que es pot reescriure com
[ ] 0)(),( ,2 =
r
rsrr umrs k
Quan es consideren les equacions anteriors per als N toms del slid, tenint en
compte que lndex s recorre les N celles primitives i, per tant, tots els toms,
sobt un sistema homogeni de 3N equacions en les components dels
desplaaments atmics, ur,(k).
Perqu aquest sistema tingui soluci no trivial, el determinant dels coeficients sha
danullar:
[ ] 0),(Det 2 = srrmrs Resolent aquest determinant, sobt un polinomi de grau 3N en 2 (3 equacions N celles), que t 3N solucions per a amb sentit fsic, ja que noms estan permesos valors positius de . El sistema t, per tant, 3N modes normals doscillaci.
29
Considerem que cada tom del cristall t massa m.
Si explicitem el desplaament de ltom s, un mode normal doscillaci daquest
sistema t la forma
( )tis
set = RkAu )( on A s el vector que defineix lamplitud del moviment segons els tres eixos
cristallins i Rs s la posici dequilibri de ltom s (s un vector de la xarxa de
Bravais respecte a un cert origen pres sobre un nus de la xarxa).
Substituint aquesta expressi a la segona llei de Newton, sobt
[ ] 0),( 2 = r
isr
reAmrs kR
Ara b, dos toms amb posicions dequilibri R1 i R1 + Rd interaccionen amb la
mateixa constant de fora que uns altres dos toms situats a les posicions R2 i R2 +
Rd, ja que en ambds casos, els dos toms considerats es troben desplaats lun
respecte a laltre segons el vector de translaci Rd.
Si definim, en general, el vector Rd com
Rd = Rr Rs ,
i multipliquem els dos membres de lequaci anterior per sie Rk , obtenim
[ ] 0)( 02 = d id deAmd kR , on el sumatori sobre lndex r, que recorre tots els toms del slid, sha substitut
per un sumatori sobre tots els vectors de translaci, Rd, que connecten ltom s amb
tota la resta dtoms del cristall, i es considera que si r = s, llavors Rd R0 = 0.
30
Definim la matriu dinmica del sistema com una matriu 33 de la forma
d
i dedm
D kRk )(1)(
Daquesta manera, la darrera equaci de la pgina anterior es converteix en
[ ] 0)( 2 =
AD k
Considerant els tres valors possibles de , aquesta equaci s en realitat un sistema homogeni de tres equacions, on les incgnites sn les components del vector
amplitud, A.
Perqu aquest sistema tingui soluci diferent de la trivial, cal que el determinant
dels coeficients sanulli:
02
2
2
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
DDDDDDDDD
El polinomi caracterstic, de grau 3 en 2, proporciona 3 solucions fsicament acceptables de valors positius per a .
Per tant, per a cada vector dona k perms, hi haur una matriu dinmica del
sistema que donar lloc a un polinomi caracterstic, del qual sobtindran com a
soluci tres modes normals doscillaci diferents, un per a cada valor de la
freqncia .
Laparena qualitativa de les tres branques que sobtenen en aquest cas 3D general
s molt semblant a la de la branca acstica dels exemples unidimensionals, com es
pot comprovar a lesquema de la pgina segent.
31
Observacions:
i) Si k est dirigit al llarg dun eix de simetria del cristall, sobtenen dos modes
transversals (T), el vector amplitud, A, dels quals s perpendicular a la direcci
de propagaci de lona associada a k, i un mode longitudinal (L), el vector
amplitud del qual s parallel a la direcci del vector dona.
ii) Per a direccions arbitrries de k, els modes doscillaci NO sn ni
transversals purs ni longitudinals purs (A no s ni parallel ni perpendicular a k).
iii) Quan k 0 (modes de longitud dona llarga), depn linealment de k (medi no dispersiu) per a cada branca, com en el cas unidimensional.
Es pot definir, aleshores, la velocitat del so a partir daquestes regions lineals,
entesa com la velocitat mxima a qu es pot propagar una ona elstica pel slid,
per a una branca determinada.
Per a k 0, un mode doscillaci s sempre longitudinal o transversal pur, independentment de la direcci de propagaci de lona (k).
iv) En un cristall les constants de fora de cisalla (entre plans cristallins)
acostumen a ser ms petites que les constants de fora de compressi (dins dun
mateix pla), de manera que els modes transversals sn ms lents que els modes
longitudinals.
k
L
T
32
B. CONDICIONS PERIDIQUES DE CONTORN
Les condicions peridiques de contorn per als desplaaments atmics segons els
eixos cristallogrfics ( = 1, 2, 3) sescriuen de la forma
),,(),( ,, tutNu ssss RaR =+
on N s el nombre de celles primitives del cristall en la direcci de leix .
Considerant que la component del desplaament de ltom s ve donada per lexpressi ( )tiss seAtu = RkR , ),( , els vectors dona k compatibles amb les condicions peridiques de contorn tenen la forma
ZmNm = =
;3
1bk
on b1, b2 i b3 sn els vectors primitius de la xarxa recproca.
Per tant, a la primera zona de Brillouin hi ha N1 N2 N3 = N valors permesos de
vectors dona k, on N s el nombre total de celles primitives del cristall.
Com en el cas 1D, amb aquests N vectors dona continguts a la primera zona de
Brillouin nhi ha prou per representar totes les ones elstiques que corresponen a
modes doscillaci diferents.
Demostraci:
Si k s un vector fora de la primera zona de Brillouin, sempre s possible trobar un
vector de la xaxa recproca, G, de manera que k = k + G sigui un vector contingut
a la primera zona de Brillouin, el mode doscillaci del qual sigui el mateix que el
mode corresponent a k:
( ) ( ) ( )titiitis
sssss eeeet + === RkRGRkRGRk AAAu ')(
33
C. BASE POLIATMICA
Sigui un cristall amb una base atmica que cont p toms per cella primitiva.
Un mode normal doscillaci daquest cristall sescriur com
( )[ ],)( tiisi iset += RkAu on s s lndex de la cella primitiva, i s lndex de ltom dins de la cella
primitiva s, Rs s el vector de la xarxa de Bravais que assenyala lorigen de la cella
primitiva s, i i s el vector de posici de ltom i dins la cella primitiva s.
El determinant secular que sobt quan se substitueix el mode doscillaci anterior
en la segona llei de Newton s un polinomi en 2, de grau 3p (ja que hi ha p toms a la base atmica), que t 3p solucions positives per a . s a dir, per a cada valor del vector dona k hi ha 3p modes doscillaci.
Daquests 3p modes doscillaci, nhi ha 3 que donen lloc a branques acstiques
i 3p 3 que donen lloc a branques ptiques. [Ra simple: noms hi ha 3 maneres diferents doscillar en fase, una segons cada
direcci cristallogrfica, i aquestes corresponen a les branques acstiques.]
k
modes acstics
modes ptics
2=p:Ex.
34
8.4. FONONS
A. OSCILLADOR HARMNIC UNIDIMENSIONAL.
TRACTAMENT QUNTIC
Lhamiltoni dun oscillador harmnic unidimensional de massa m ve donat per
lexpressi
,21
2H 2
2kx
mp +=
on p s loperador quantitat de moviment i k s la constant de fora de loscillador,
que est relacionada amb la freqncia doscillaci com k = m2.
A partir dels operadors anihilaci, a, i creaci a+, definits com
,2
12
,2
12
pm
ixma
pm
ixma
+
+hh
hh
lhamiltoni es pot reescriure com
+= +21H aah
35
Els valors propis daquest hamiltoni sn
),(21 NnnE
+= h
i les funcions prpies, |n, es caracteritzen pel valor del nombre quntic principal, n.
Les energies i els estats propis corresponents que hem obtingut es poden interpretar
en termes dun model simple:
Lestat propi |n de loscillador s equivalent a lestat dun sistema amb un nic nivell denergia h en qu es colloquen n partcules independents.
A lenergia total daquest nivell se li ha de sumar lenergia del punt zero, (1/2)h, perqu els dos models sigui equivalents.
En aquesta interpretaci, els operadors anihilaci i creaci simplement destrueixen
i creen, respectivament, una partcula en el nivell denergia h.
36
B. OSCILLACIONS EN UN CRISTALL.
TRACTAMENT QUNTIC. FONONS
Lhamiltoni dun cristall unidimensional, de parmetre de xarxa a, amb N celles
primitives i longitud L (L = Na), amb base monoatmica (vegeu lesquema a la
pgina 5), es pot escriure de la forma
( ) ,21
2H 21
2
+= +s
sss uuCm
p
on m s la massa de ltom de la base, C s la constant de fora de la molla que
uneix dos toms situats en celles adjacents, ps s loperador quantitat de moviment
que actua sobre ltom situat a la cella primitiva s, us s el desplaament daquest
tom respecte a la seva posici dequilibri, i el sumatori sestn sobre tots els toms
del cristall.
Es pot demostrar que aquest hamiltoni s separable en N hamiltonians
independents, un per a cadascun dels N modes doscillaci clssics (N valors
permesos del vector dona k) que hem estudiat a lapartat 8.1, i t la forma de
lhamiltoni de loscillador harmnic simple
+==
+Ni
kki ii aak1 21)(hH
En aquest esquema, els operadors +ika i ika sn respectivament els operadors de
creaci i anihilaci dun quasipartcula anomenada fon en el mode doscillaci ki
que correspon a la freqncia (ki), que ve donada per la relaci de dispersi clssica.
37
Els estats propis daquest hamiltoni sn de la forma
Nkk nn ,,1 K ,
on NnnNkk ,,1 K i sn els nombres quntics principals associats als modes
doscillaci caracteritzats pels vectors dona k1, ..., kN.
Lenergia prpia daquests estats s simplement la suma de les energies prpies
dels N hamiltonians equivalents als doscilladors harmnics de freqncies (ki):
+==N
iik knE i1)(
21 h
Generalitzant el model dun nic nivell denergia h, ocupat per n partcules independents, que hem utilitzat per interpretar els resultats obtinguts per a un
oscillador harmnic en el subapartat anterior,
podem introduir unes quasipartcules independents denergia h(ki), que anomenarem fonons,
que ocuparan els N nivells que corresponen als N modes doscillaci del slid, en un nombre ms gran o ms petit, depenent del grau dexcitaci
energtica daquests modes.
h(k1)
h(kN)
38
Els fonons dun slid sn quasipartcules, ja que sels pot assignar una energia
h(ki) i un quasimoment hki.
Per a un cristall tridimensional real, amb N celles primitives i p toms per cella
primitiva, hi ha 3pN modes doscillaci, distributs en 3p branques (3 dacstiques
i 3(p1) dptiques).
Lenergia del mode i-sim ser
iii nE
+= h21
i lenergia total del cristall en lestat |n1 . . . n3pN ser
+==
pN
iiinE
3
1 21 h ,
on ni s el nombre de fonons amb energia hi en el mode i-sim, i el sumatori sestn sobre els 3pN modes doscillaci del cristall.
Quan un cristall en lestat quntic ni crea o anihila (emet o absorbeix) un fon,
passa a lestat quntic ni + 1 o ni 1, respectivament.
fon Quntum dexcitaci dun mode normal doscillaci del slid
39
C. QUANTITAT DE MOVIMENT DELS FONONS
[A partir daqu, farem servir q per presentar el vector dona dun fon.]
Un fon de vector dona q interacciona amb altres partcules i quasipartcules
(fotons, neutrons, electrons, etc.) com si tingus un moment hq.
No obstant aix, un fon NO transporta cap quantitat de moviment fsica, ja que el
seu origen s el moviment relatiu entre toms (excepte per a q = 0).
Aquesta s la ra per la qual hq s un quasimoment i, en realitat, el fon s una quasipartcula.
Els modes normals doscillaci dun cristall NO impliquen variaci del centre de
masses de tot el cristall.
Per aquesta ra, hq NO s un veritable moment.
Per a q = 0, S que hi ha moviment del centre de masses del cristall, ja que aquest
es mou com un tot.
En aquest cas, per, hq = 0.
40
D. INTERACCI DELS FONONS AMB ALTRES PARTCULES
I QUASIPARTCULES
En els cristalls hi ha regles de selecci per als vectors dona permesos per a
transicions entre estats quntics.
Ja vam veure que la dispersi elstica dun fot de raigs X per un cristall est
governada per la segent regla de selecci (condici de Bragg):
k' = k + G,
on G s un vector de la xarxa recproca i k i k sn els vectors dona dels fotons
dispersat i incident, respectivament.
Com a conseqncia daquest procs de reflexi, el cristall en conjunt retrocedeix
amb una quantitat de moviment hG.
Si la dispersi del fot s inelstica i en el procs es crea (semet, signe +) o
sanihila (sabsorbeix, signe ) un fon de vector dona q, es compleix la relaci
En realitat, lequaci anterior s la regla general de selecci dels vectors dona,
vlida tamb per a la interacci entre els fonons del cristall i altres partcules
(electrons, neutrons, etc.).
k' q = k + G
41
E. OBSERVACI EXPERIMENTAL DE LA DISPERSI INELSTICA
DE NEUTRONS PER FONONS
Les relacions de dispersi dels fonons dun cristall, (q), es determinen sovint mitjanant experiments de dispersi inelstica de neutrons amb emissi (creaci) o
absorci (anihilaci) de fonons.
Els neutrons interaccionen principalment amb els nuclis dels toms i la cinemtica
de la dispersi est governada per una regla de selecci com la que hem vist a la
pgina anterior.
En aquest cas, k i k sn respectivament els vectors dona dels neutrons incident i
dispersat, q s el vector dona del fon ems i absorbit, i G s qualsevol vector de
la xarxa recproca.
A ms, en aquest procs de dispersi, es compleix lequaci de conservaci de
lenergia total,
,2
'2 n
22
n
22= hhh
Mk
Mk
on h s lenergia del fon creat (ems, signe +) o anihilat (absorbit, signe ).
Estudiant lenergia dels neutrons dispersats en funci del vector de dispersi, k k, i utilitzant les equacions de conservaci del moment i de lenergia, es pot
determinar experimentalment la relaci de dispersi fonnica dun slid, (q).
A les pgines segents es poden veure exemples de relacions de dispersi
fonniques obtingudes daquesta manera per a diferents metalls (Pb, Al, Cu).
[En aquests experiments es fan servir neutrons trmics, amb energies de lordre de
meV, perqu les seves longituds dona sn similars a lespaiat de la xarxa, i aix la
diferncia de moment dels neutrons sadequa al moment dels fonons.]
42
Observacions:
i) Els valors da (parmetre de xarxa) i m (massa de lelectr) es troben en
taules.
ii) El valor de la constant de fora a primers vens, , sobt a partir del mxim ms alt de (q), utilitzant mx = 2(/m)1/2 com a aproximaci unidimensional duna direcci concreta. El fet que sigui un valor molt gran vol dir que
laproximaci harmnica (corbes puntejades) s prou bona per ajustar les dades.
(10
12 ra
d/s)
k (-1)
43
La constant de fora a primers vens no s tan gran com en el cas del coure, i aix
es reflecteix en el fet que les dades experimentals es desvien de les corbes teriques
corresponents a laproximaci harmnica.
(10
12 ra
d/s)
k (-1)
44
La constant de fora a primers vens en aquest cas s relativament petita, la qual
cosa es reflecteix en el fet que les dades experimentals es desvien moltssim de les
corbes teriques corresponents a laproximaci harmnica.
Aix suposa que shagin dintroduir interaccions amb toms que van ms enll dels
primers vens, perqu noms amb aquests no nhi ha prou per descriure les dades
experimentals correctament.
(10
12 ra
d/s)
k (-1)
45
F. ESTADSTICA DE BOSE-EINSTEIN
Els fonons es comporten com si fossin bosons, ja que no hi ha cap limitaci sobre
el nombre mxim de fonons que hi pot haver en un mateix mode doscillaci, s a
dir, amb els mateixos nombres quntics.
De fet, els operadors de creaci i anihilaci, a+ i a, compleixen les mateixes regles
de commutaci per a fotons i per a fonons.
Per aquesta ra, locupaci mitjana del mode doscillaci de freqncia s i vector dona k a la branca s, nks, a una certa temperatura T, es calcula mitjanant lestadstica de Bose-Einstein:
[ ][ ]
=
=
=
0
0
/)(exp
/)(exp
nBs
nBs
sTkn
Tknnn
k
kk
h
h,
on s(k) s la relaci de dispersi fonnica.
Si introdum z exp[hs(k)/kBT] i tenim en compte
111
11
)1(
,)1(1
1
,1
12
200
0
=
=
=
=
=
=
=
=
=
zz
zz
n
zz
zdzdzz
dzdzzn
zz
s
n
n
n
n
n
n
k
locupaci mitjana adopta la segent expressi:
[ ] 1/)(exp
1= Tkn Bss kk h
46
G. ENERGIA MITJANA DUN MODE NORMAL DOSCILLACI
Lenergia mitjana dun mode doscillaci es calcula de la manera segent:
[ ] 1/)(exp)(
)( ==
TknE
Bs
ssss k
kkkk hhh
(i) Lmit de temperatures baixes
En aquest cas, hs(k) >> kBT, de manera que
nks exp[hs(k)/kBT]
La probabilitat que sexcitin fonons s petita i lenergia mitjana dun mode
doscillaci s
Eks hs(k) exp[hs(k)/kBT]
(ii) Lmit de temperatures altes
En aquest cas, hs(k)
47
H. DENSITAT DE MODES
Anem a introduir la funci densitat de modes per unitat de freqncia a la
branca s, Ds(), de manera que Ds()d sigui el nombre de modes a la branca s amb freqncies entre i + d.
Farem la deduci per a un cristall cbic (3D) daresta L, amb xarxa cbica simple.
En aquest cas, els valors de k compatibles amb les condicions peridiques de
contorn sn de la forma
),,(,,4,2,0 zyxiL
NLL
ki == K
Per tant, en el volum (2/L)3 de lespai de vectors dona hi ha un sol valor perms de k i la densitat destats en aquest espai s
3
3
82 =
VL
El nombre de modes corresponents a vectors dona k amb mdul ms petit que un
cert valor k (s a dir, els modes continguts dins duna esfera de radi k) s
32
33 63
48
kVkVN =
=
En conseqncia, la densitat de modes per unitat de freqncia a la branca s,
Ds(), ve donada per lexpressi segent:
=== d
dkVkddk
dkdN
ddNDs 2
2
2)(
48