8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek ...kooperativ.hu/matematika/3_modulleírások-tanár-tanuló-eszköz/2_A_típus/11...A modul mellékleteként készült a 8.1 kártyakészlet

8. modul

Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek

Készítette: Darabos Noémi Ágnes

Matematika „A” – 11. évfolyam – 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 2

A modul célja Trigonometriai alapismeretek ismétlése (trigonometrikus függvények és transzformációik, szögfüggvények és a

közöttük levő kapcsolatok). Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása. Időkeret 8 óra Ajánlott korosztály 11. évfolyam Modulkapcsolódási pontok Tágabb környezetben: Alkalmazás fizikai, biológiai, kémiai törvényszerűségek leírására.

Szűkebb környezetben: Függvények grafikonjának ábrázolása függvénytranszformációkkal; egyenletek, egyen-lőtlenségek grafikus megoldása. Egyenletek, egyenlőtlenségek algebrai megoldása. Ajánlott megelőző tevékenységek: Hegyesszögek szögfüggényei, a szögfüggvények kiterjesztése. Forgásszög szögfüggvényei, trigonometrikus függvények. Ajánlott követő tevékenységek: Szinusz- és koszinusztétel


A képességfejlesztés fóku-szai

Számolás, számlálás, számítás: Zsebszámológép biztos használata. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: Ismert adatokból logikus rend szerint ismeretlen adatok meghatározása. A mennyiségek folytonossága, fogal-mának továbbfejlesztése. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásai számának a meghatározása. Szöveges feladatok, metakogníció: Szövegértelmezés továbbfejlesztése a lényegkiemelő képesség fejlesztése. A geometriai feladok algebrai meg-oldása során keletkező hamis gyökök kiválasztásának képessége. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: A geometriai feladatok algebrai eszközökkel történő megoldásának képessége. Függvények grafikonjának ábrá-zolása függvénytranszformációkkal; egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Egyenletek, egyenlőt-lenségek megoldása a függvény tulajdonságainak ismeretében. Másodfokúra visszavezethető trigonometrikus egyenletek. Induktív, deduktív következtetés: Összefüggések, képletek felfedezése gyakorlati tapasztalatból kiindulva, azok általánosítása és alkalmazása más esetekben.

TÁMOGATÓ RENDSZER

A modul mellékleteként készült a 8.1 kártyakészlet dominójátékhoz. Ezen kívül javasoljuk, hogy a tanár készítsen kártyákat diákkvartetthez,

amelyeken A, B, C vagy D betű található. 4 fős csoportonként 1-1 ilyen kártyakészletre van szükség.

ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK

Középszint Tudja hegyesszögek szögfüggvényeit derékszögű háromszög oldalarányaival definiálni, ismereteit alkalmazza feladatokban. Tudja a szög-függvények általános definícióját. Tudja és alkalmazza a szögfüggvényekre vonatkozó alapvető összefüggéseket: pótszögek, kiegészítő


szögek, negatív szög szögfüggvénye, pitagoraszi összefüggés. Tudjon hegyes szögek esetén szögfüggvényeket kifejezni egymásból. Ismer-je és alkalmazza a nevezetes szögek (30°, 45°, 60°) szögfüggvényeit. Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő tri-gonometrikus egyenleteket megoldani.

Emelt szint Tudjon szögfüggvényeket kifejezni egymásból. Függvénytáblázat segítségével tudja alkalmazni egyszerű feladatokban az addíciós össze-függéseket ( )sin( βα ± , )cos( βα ± , )tg( βα ± ).

JAVASOLT ÓRABEOSZTÁS

1. Trigonometrikus függvények és transzformációik ismétlése 2. Szögfüggvények közötti összefüggések ismétlése 3. Trigonometrikus egyenletek megoldása a függvények grafikonjainak felhasználásával 4. Trigonometrikus egyenletek megoldása a szögfüggvények közötti összefüggések felhasználásával 5. Másodfokú egyenletre vezethető trigonometrikus egyenletek 6. Feladatok megoldása 7. Trigonometrikus egyenlőtlenségek 8. Vegyes feladatok


Modulvázlat

Lépések, tevékenységek

Kiemelt készségek, képességek Eszköz/Feladat/

Gyűjtemény

I. Trigonometrikus függvények és transzformációik (ismétlés) 1. A mintapélda közös megbeszélése.

Szinus, koszinus, tangensfüggvény grafikonjának, valamint tulaj-donságainak átismétlése (értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, periodicitás, monotonitás, szélsőérték, paritás).

Számolás, számítás. Kombinatív gondol-kodás. Induktív és deduktív következtetés.

1. mintapélda

2. Szakértői mozaik. Egyszerű függvények ábrázolása függvénytranszformációkkal és a függvények jellemzése.

Számolás, számítás. Kombinatív gondol-kodás. Induktív és deduktív következtetés.

2–5. mintapélda 5. feladat

3. Feladatok megoldása 1–4. és 6.–7. feladatokból válo-gatva

II. Összefüggések a szögfüggvények között (ismétlés)

1. Dominójáték. A nevezetes szögek szögfüggvényeinek ismétlése.

Számolás, számítás. 8.1 kártyakészlet

2. A mintapéldák közös megbeszélése. Szögfüggvények közötti összefüggések ismétlése.

Kombinatív gondolkodás. Induktív és de-duktív következtetés.

6–7. mintapélda

3. Szakértői mozaik. Szögfüggvények közötti összefüggések gyakorlása.

Kombinatív gondolkodás. Induktív és de-duktív következtetés.

10–13. feladat

4. Feladatok megoldása 8–9. és 14. feladatokból válogatva


III. Trigonometrikus egyenletek 1. A mintapéldák közös megbeszélése.

A grafikon segítségével megoldható egyszerű egyenletek. Számolás, számítás, kombinatív gondol-kodás.

8–10. mintapélda

2. Szakértői mozaik. A grafikon segítségével megoldható egyszerű egyenletek megoldá-sának gyakorlása.

Számolás, számítás, kombinatív gondol-kodás.

15–18. feladat

3. A mintapéldák közös megbeszélése. Számolás, számítás, kombinatív gondol-kodás.

11–13. mintapélda

4. Feladatok megoldása 19–31. feladatokból válogatva

Trigonometrikus egyenletek megoldása a szögfüggvények közötti összefüggések felhasználásával 5. Szakértői mozaik.

Egyenletmegoldás szögfüggvényekre vonatkozó összefüggések felhasználásával.



6. A mintapélda közös megbeszélése. Egyenletmegoldás a pótszögekre vonatkozó összefüggések felhasz-nálásával.


18. mintapélda

7. Feladatok megoldása 32–35. feladatokból válogatva

Másodfokú egyenletre vezethető trigonometrikus egyenletek

8. A mintapéldák közös megbeszélése. Másodfokú egyenletre vezethető trigonometrikus egyenletek.



9. Torpedójáték. Másodfokú egyenletre vezethető trigonometrikus egyenletek meg-oldásának gyakorlása.


36. feladat

10. Feladatok megoldása. Különböző trigonometrikus egyenletek megoldása. Az eddig meg-ismert módszerek rendszerezése.

Számolás, számítás. Rendszerezés, kom-binatív gondolkodás.

19–37. feladatokból válogatva


IV. Trigonometrikus egyenlőtlenségek

1. A mintapéldák közös megbeszélése. Trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása.



2. Vegyes feladatok megoldása. Különböző trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megol-dása. Az eddig megismert módszerek rendszerezése, gyakorlása.


A 38–40., valamint a kimaradt feladatokból válogatva

V. Vegyes feladatok

1. Vegyes feladatok megoldása. Különböző trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megol-dása. Az eddig megismert módszerek rendszerezése, gyakorlása.


A 41–65., valamint a kimaradt feladatokból válogatva

Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 8

I. Trigonometrikus függvények és transzformációik (ismétlés)

Minden valós számnak mint radiánban megadott szögnek létezik szinusza, illetve koszinusza,

valamint minden szöghöz pontosan egy szinusz-, illetve koszinuszérték tartozik. Ezért készít-

hetünk olyan függvényt, amely minden valós számhoz hozzárendeli azok szinuszát, illetve

koszinuszát. Ismételjük át ezeknek a függvények a grafikonját, illetve legfontosabb tulajdon-

ságaikat!

Mintapélda1

Készítsük el a következő függvények grafikonját, majd jellemezzük a függvényeket!

a) ( ) xxf sin= b) ( ) xxg cos= c) ( ) xxh tg=

Megoldás:

a) Jellemzés:

1. É.T.: R

2. É.K.: [ ]1;1−

3. Zérushely:

∈=⇒= kkxx ,0sin π Z

4. Periódus: π2

5. Monotonitás:

Szigorúan monoton növekvő: ∈+≤≤+− llxl ,22

22

ππππ Z

Szigorúan monoton csökkenő: ∈+≤≤+ mmxm ,22

322

ππππ Z

6. Szélsőérték:

Maximumhely: ∈+= nnx ,22

ππ Z

Maximumérték: 1sin =x

Minimumhely: ∈+= ssx ,22

3 ππ Z

Minimumérték: 1sin −=x

7. Paritás: Páratlan, mert ( )xx −−= sinsin

8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 9

b) Jellemzés:

1. É.T.: R

2. É.K.: [ ]1;1−

3. Zérushely:

∈+=⇒= kkxx ,2

0sin ππ Z

4. Periódus: π2

5. Monotonitás:

Szigorúan monoton csökkenő: ∈+≤≤ llxl ,22 πππ Z

Szigorúan monoton növekvő: ∈+≤≤+ mmxm ,222 ππππ Z

6. Szélsőérték:

Maximumhely: ∈= nnx ,2 π Z

Maximumérték: 1cos =x

Minimumhely: ∈+= ssx ,2 ππ Z

Minimumérték: 1cos −=x

7. Paritás: Páros, mert xx coscos −=

c) Jellemzés:

1. ÉT: R ∈⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ + kk ,

2\ ππ Z

2. ÉK: R

3. Zérushely: ∈=⇒= llxx ,0tg π Z

4. Periódus: π

5. Monotonitás:

Szigorúan monoton növekvő: ∈⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ++− mmm ,

2;

2ππππ Z

6. Szélsőérték: Nincs

7. Paritás: Páratlan, mert ( )xx −−= tgtg


Módszertani megjegyzés: Szakértői mozaik alkalmazása

Alakítsunk ki négy fős csoportokat! Minden csoportban mindenki kap egy-egy kártyát. A kár-

tyákon az A, B, C, D betűk szerepelnek. Ezután egy munkacsoportot alkotnak azok a tanulók,

akik azonos betűt kaptak. A betűk a feladatok nehézségi fokát jelentik: A a legkönnyebb, a D

pedig a legnehezebb. A munkacsoportok feldolgozzák a kapott mintapéldát, megoldják a 3.

feladatból a megfelelő részt, majd visszamennek az eredeti csoportjukhoz. A négy fős csopor-

tokban megbeszélik mind a négy feladat megoldását. Ezután közösen megbeszéljük a felada-

tokat.

A trigonometrikus függvényekkel a fizikában is találkozhatunk. (Például a harmonikus rez-

gőmozgás, az elektromágneses rezgések, a hanghullámok tanulmányozásakor.) Azonban a

gyakorlatban sokszor nem az egyszerű xsin vagy xcos függvény fordul elő, hanem ennél

bonyolultabb, összetettebb alakokkal találkozunk, amelyek az alapfüggvényekből bizonyos

függvénytranszformációval származtathatók.

y tengely menti eltolás

A jelűek feladata

Mintapélda2

Ábrázoljuk a függvény grafikonját és jellemezzük az ( ) 2cos −= xxf függvényt!

Módszertani megjegyzés: Megállapodás, hogy ha nem adjuk meg az értelmezési tartományt,

akkor az a valós számoknak az a legbővebb halmaza, amelyen a függvény értelmezhető.

Megoldás:

Jellemzés:

1. É.T.: R

2. É.K.: [ ]3;1 −−

3. Zérushely:

⇒=− 02cos x

⇒= 2cos x

nincs zérushelye

4. Periódus: π2


5. Monotonitás:

Szigorúan monoton növekvő: ∈⋅+≤≤⋅+ kkxk ππππ 222 Z

Szigorúan monoton csökkenő: ∈⋅+≤≤⋅+ llxl πππ 220 Z

6. Szélsőérték:

Maximumhely: ∈⋅= kkx π2 Z

Maximumérték: ( ) 1−=xf

Minimumhely: ∈⋅+= llx ππ 2 Z

Minimumérték: ( ) 3−=xf

7. Paritás: Páros

y tengely menti nyújtás / zsugorítás

B jelűek feladata

Mintapélda3

Ábrázoljuk a függvény grafikonját és jellemezzük az ( ) xxf sin2= függvényt!

Megoldás:

Jellemzés:

1. É.T.: R

2. É.K.: [ ]2;2−

3. Zérushely:

⇒= 0sin2 x

⇒= 0sin x

∈⋅= kkx ,π Z

4. Periódus: π2

5. Monotonitás:

Szigorúan monoton növekvő: ∈⋅+≤≤⋅+− kkxk ππππ 22

22

Z

Szigorúan monoton csökkenő: ∈⋅+≤≤⋅+ llxl ππππ 22

322

Z

6. Szélsőérték:

Maximumhely: ∈⋅+= kkx ππ 22

Z


Maximumérték: ( ) 2=xf

Minimumhely: ∈⋅+−= llx ππ 22

Z


7. Paritás: Páratlan

x tengely menti eltolás

C jelűek feladata

Mintapélda4

Ábrázoljuk a függvény grafikonját és jellemezzük az ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

4sin πxxf függvényt!

Megoldás:

Jellemzés:

1. É.T.: R

2. É.K.: [ ]1;1−

3. Zérushely:

∈⋅+=⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − kkxx πππ

40

4sin Z

4. Periódus: π2

5. Monotonitás:

Szigorúan monoton növekvő: ∈⋅+≤≤⋅+− kkxk ππππ 2

432

4Z

Szigorúan monoton csökkenő: ∈⋅+≤≤⋅+ llxl ππππ 24

724

3 Z

6. Szélsőérték:

Maximumhely: ∈⋅+= kkx ππ 24

3 Z


Minimumhely: ∈⋅+= llx ππ 24

7 Z


7. Paritás: nem páros, nem páratlan


x tengely menti nyújtás / zsugorítás

D jelűek feladata

Mintapélda5

Ábrázoljuk a függvény grafikonját és jellemezzük az ( ) xxf 2cos= függvényt!

Megoldás:

Jellemzés:

1. É.T.: R

2. É.K.: [ ]1;1−

3. Zérushely:

∈⋅+=⇒= kkxx24

02cos ππ Z

4. Periódus: π

5. Monotonitás:

Szigorúan monoton növekvő: ∈⋅+≤≤⋅+ kkxk ππππ2

Z

Szigorúan monoton csökkenő: ∈⋅+≤≤⋅+ llxl πππ2

0 Z

6. Szélsőérték:

Maximumhely: ∈⋅= kkx π Z


Minimumhely: ∈⋅+= llx ππ2

Z


7. Paritás: Páros

Feladatok

1. Ábrázold és jellemezd, a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket!

a) ( ) 3sin −= xxf b) ( ) xxh sin2−= Megoldás: ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.



a) ( ) xxg sin−= b) ( ) ( )xxh −= cos Megoldás: ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.


a) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

3sin πxxf b) ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

2cos πxxg

Megoldás: ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.


a) ( ) xxf 2sin= b) ( )2

sin xxg = c) ( )2

cos xxh =


5. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a valós számok halmazán értelmezett követke-

ző függvényeket és a h függvényt jellemezd!

A jelűek feladata

a) ( ) xxf sin= ( ) xxg sin2= ( ) 2sin2 −= xxh

B jelűek feladata

b) ( ) xxf cos= ( ) xxg cos2−= ( ) xxh cos22 −=

C jelűek feladata

c) ( ) xxf cos= ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2cos πxxg ( ) 1

2cos +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

πxxh

D jelűek feladata

d) ( ) xxf sin= ( ) xxg 2sin= ( ) xxh 2sin2=


Megoldás: A függvények jellemzése az ábráról leolvasható.

a) b)

c) d)


a) ( ) 12sin −= xxf b) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

4sin2 πxxh



II. Összefüggések a szögfüggvények között (ismétlés)

Nevezetes szögek szögfüggvényei

8.1. kártyakészlet alkalmazása

Módszertani megjegyzés: Dominó játék

A nevezetes szögek szögfüggvényeinek felelevení-

tésére minden csoportnak adjunk 16 darab kártyát.

Feladatuk felfelé fordítva kirakni a dominókat úgy,

hogy minden nevezetes szögfüggvényhez megta-

lálják a hozzá tartozó értéket. Ha nem emlékezné-

nek, segítségül felrajzolhatjuk a nevezetes szögeket

tartalmazó derékszögű háromszögeket.

°30sin 0 6

sin2 π 1− 3sin π 3− °− 60sin 3

4cosπ

21 °− 60cos

41 °− 45cos

23

6cos2 π

23

−

°45tg 22 6

tg π 21

− °60tg2 22

− °− 30tg 43

°− 45ctg 1 3ctgπ− 3

3 °30ctg 3 2

ctg π 33

−

α αsin αcos αtg αctg

30° 6π

21

23

33 3

45° 4π

22

22 1 1

60° 3π

23 2

1 3 33


Pitagoraszi azonosság

Pótszögek szögfüggvényei

A tangens és kotangens szögfüggvényekre vonatkozó

összefüggések

Mintapélda6

A számológép használata nélkül állítsuk növekvő sorrendbe az alábbi kifejezések pontos érté-

keit!

a) °+−° 130cos2130sin 22 ; b) °−° 27cos63sin ;

c) ( ) °⋅°− 65ctg115tg ; d) 3125sin

12sin 22 −+

ππ .

Megoldás:

Csak a nevezetes azonosságokkal meghatározott értékeket fogadjuk el.

a) 1212130cos130sin 22 −=−=−°+°

b) ( ) 063sin63sin2790sin63sin =°−°=°−°−°

c) ( ) 165ctg65tg65ctg115180tg =°⋅°=°⋅°−°

∈°⋅+°≠= kk 18090cossintg α

ααα Z

∈°⋅≠= ll 180sincosctg α

ααα Z

1cossin 22 =+ αα

( )αα −°= 90cossin

( )αα −°= 90sincos

( ) ∈°⋅+°≠−°= kk 1809090ctgtg ααα Z

( ) ∈°⋅≠−°= ll 18090tgctg ααα Z


d) 231312

cos12

sin3125

126cos

12sin 2222 −=−=−+=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

πππππ

d) < a) < b) < c)

Mintapélda7

Az α szög meghatározása nélkül számítsuk ki a többi szögfüggvényértéket, ha 8,0cos =α !

Megoldás:

Minden α szögre teljesül, hogy 1cossin 22 =+ αα , ebből αα 22 cos1sin −= .

Behelyettesítve: 36,08,01sin 22 =−=α , ebből 6,0sin =α

6,0sin6,0sin 21 −== αα

4375,0

8,06,0

cossintg

4375,0

8,06,0

cossintg

2

22

1

11 −=−=

−======

αα

ααα

α

34

75,01

tg1ctg

34

75,01

tg1ctg

22

11 −=

−=====

αα

αα

Feladatok

8. Keresd meg a párját (számológép használata nélkül)!

a) °420sin A) 1

b) ( )°− 210cos B) 22

c) °210tg C) 1−

d) °660ctg D) 3

e) ( )°−150ctg E) 33

−

f) °300tg F) 23

−

g) °1935ctg G) 33

h) ( )°− 315tg H) 21

−

i) ( )°− 300cos I) 3−


j) ( )°− 30sin J) 23

k) °225cos K) 21

l) °135sin L) 22

−

Megoldás:

a) ↔ J), b) ↔ F), c) ↔ G), d) ↔ E), e) ↔ D), f) ↔ I),

g) ↔ C), h) ↔ A), i) ↔ K), j) ↔ H), k) ↔ L), l) ↔B).

9. Mennyi a következő kifejezések pontos értéke?

a) °⋅°+°⋅° 11cos79sin79cos11sin ; b) °−° 150sin330cos 22 ;

c) 22

10cos

10sin

10cos

10sin ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ππππ .

Megoldás:

a) 111cos11sin11cos11cos11sin11sin 22 =°+°=°⋅°+°⋅°

b) 21

21

23 22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

c) 2


A következő négy feladat megoldásához szakértői mozaik módszert javaslunk.

A jelűek feladata

10. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki, αsin pontos értékét, ha 6,0cos −=α !

Megoldás:

A trigonometrikus pitagorasz azonosságot alkalmazva: ( ) 64,06,01sin 22 =−−=α ,

ebből 8,0sin8,0sin8,0sin 21 −==⇒= ααα


B jelűek feladata

11. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki, αcos pontos értékét, ha 36,0sin =α !

Megoldás:

( ) 8704,036,01cos 22 =−=α , ebből

933,0cos933,0cos933,0cos 21 −==⇒= ααα

C jelűek feladata

12. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki, αtg pontos értékét, ha 32cos =α !

Megoldás:

95

321sin

22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=α , ebből

35sin

35sin

35sin 21 −==⇒= ααα

25

3235

tg25

3235

tg 21 −=−

=== αα

D jelűek feladata

13. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki, αctg pontos értékét, ha 53sin −=α !

Megoldás:

2516

531cos

22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=α , ebből

54cos

54cos

54cos 21 −==⇒= ααα

34

5354

ctg34

53

54

ctg 21 =−

−=−=

−= αα

14. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki a többi szögfüggvényértéket, ha

a) 3

22sin =α b) 7102cos −=α c)

53tg =α

Megoldás:

a) 31cos

31cos

91

3221cos 21

2

2 −==⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ααα


22

31

322

tg22

313

22

tg 21 −=−

=== αα

42

221ctg

42

221ctg 21 −=−=== αα

Vagy felhasználható a következő derékszögű háromszög:

b) 73sin

73sin

499

71021sin 21

2

2 −==⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= ααα

1023

710273

tg1023

7102

73

tg 21 −=−

=== αα

3102ctg

3102ctg 21 −== αα


c) 35ctg =α

3425cos1cos

5cos3

5cos3sin

53

cossin 22

2

=⇒=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=⇒= ααααα

αα

345cos

345cos 21 −== αα

343sin

343sin

349

34251sin 21

2 −==⇒=−= ααα



III. Trigonometrikus egyenletek Azokat az egyenleteket és egyenlőtlenségeket, amelyekben az ismeretlen valamilyen szög-

függvénye szerepel, trigonometrikus egyenleteknek, illetve egyenlőtlenségeknek nevezzük.

Ezeknek az egyenleteknek a megoldásához a tanult trigonometrikus azonosságok nyújtanak

segítséget.

Mintapélda8

Oldjuk meg a 21sin =x egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás:

A feladat megoldásában segítségünkre lehet akár a xsin definíciója az egységsugarú

körben, akár az ( ) xxf sin= függvény grafikonja.

Két különböző egységvektor van, amelyek második koordinátája 21 . Az ezekhez tar-

tozó forgásszögek a 21sin =x egyenlet megoldásai:

∈°⋅+°= kkx 360301 Z

∈°⋅+°= llx 3601502 Z

A megoldások ívmértékben: ∈⋅+= kkx ππ 261 Z

∈⋅+= llx ππ 26

52 Z

Ellenőrizhetjük, hogy 21 és xx valóban gyökei a 21sin =x egyenletnek.


Módszertani megjegyzés: Azokban a feladatokban, amelyekben nincs kimondva, hogy az

eredményt fokban vagy radiánban várjuk, ott fogadjuk el a helyes megoldást, akár fokban,

akár radiánban adja meg a tanuló, vagy jelezzük, hogy mit várunk. Az emelt szintű érettségin

a valós számokon megoldandó trigonometrikus feladatok végeredményét radiánban kérik.

Ha a feladatban radián szerepel, akkor a periódust is ívmértékben kell megadni, ha fokban

mérik a szöget, akkor pedig fokban.

Ha a tanár úgy látja, hogy a tanulók könnyebben dolgoznak fokokkal, akkor engedje meg,

hogy az eredményt először fokban adják meg, még akkor is, ha a feladatban valós számok

szerepelnek. Kívánjuk meg, hogy a végeredményt a feladatban előírtak szerint adják meg.

Mintapélda9

Oldjuk meg a 03cos2 =+x egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás:

Rendezzük az egyenletet: 23cos −=x

Két különböző egységvektor van, amelyek első koordinátája 23

− . Az ezekhez tarto-

zó forgásszögek a 23cos −=x egyenlet megoldásai:

Az egyenlet megoldásai: ∈°⋅+°= kkx 3601501 Z

∈°⋅+°= llx 3602102 Z

A megoldások ívmértékben: ∈⋅+= kkx ππ 26

51 Z

∈⋅+= llx ππ 26

72 Z

melyek igazzá is teszik az eredeti egyenletet.


Módszertani megjegyzés: A következő mintapéldában számológépet használunk, mert nem

nevezetes szögre visszavezethető.

Mintapélda10

Oldjuk meg a 3tg 5−=x egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás:

Rendezzük az egyenletet: tg35

−=x .

Számológéppel vagy függvénytáblázat segítségével kapjuk a megoldást:

A feladat megoldásában segítségünkre lehet akár a xtg definíciója az egységsugarú

körben, akár az ( ) xxf tg= függvény grafikonja.

∈°⋅+°−≈ kkx 1807,36 Z

Ívmértékben: ∈π⋅+−≈ kkx 64,0 Z

Ennek helyességéről az ellenőrzés során meggyőződhetünk.

Megjegyzés: A trigonometrikus egyenletek gyökeit általában radiánban adjuk meg, mert az

valós szám, és a megoldásokat nagy részben ezen a halmazon keressük. Vigyázzunk a számo-

lógép DRG beállítására!

Feladatok


A következő négy feladat megoldásához szakértői mozaik módszert javaslunk.

A jelűek feladata

15. Add meg azoknak a 0° és 360° közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az

alábbi egyenlőség!


a) 0sin =α b) 21sin −=α

Megoldás:

a) °=°=°= 360,180,0 321 ααα ; b) °=°= 330,210 21 αα .

B jelűek feladata

16. Add meg azoknak az α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség!

a) 0cos =α b) 32cos −=α

Megoldás:

a) 2

3,2 21

παπα == ; b) °≈α°≈α 85,241,13,118 21 .

C jelűek feladata



a) tg33

=α b) tg 4−=α

Megoldás:

a) °=°= 210,30 21 αα ; b) °≈α°≈α 03,28403,104 21 .

D jelűek feladata

18. Add meg azoknak a 0 és π2 közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az


a) ctg3

2−=α b) ctg 0=α

Megoldás:

a) 569,5,428,2 21 ≈α≈α ; b) nincs ilyen szög.


19. Oldd meg a következő egyenleteket!

a) 6,0sin =α b) 5,1sin =α c) 4sin8 =α

Megoldás:

a) ∈°⋅+°≈ kk 36087,361α Z, ∈°⋅+°≈ ll 36013,1432α Z

b) nincs ilyen szög, mert minden x-re: 1sin1 ≤≤− x

c) ∈⋅+=°⋅+°= kkk ππα 26

360301 Z, ∈⋅+=°⋅+°= lll ππα 26

53601502 Z


a) 4,0cos −=α b) 23cos =α c) 01cos2 =+α

Megoldás:

a) ∈°⋅+°≈ kk 36058,1131α Z, ∈°⋅+°≈ ll 36042,2462α Z

b) ∈⋅+=°⋅+°= kkk ππα 26

360301 Z, ∈⋅+=°⋅+°= lll ππα 26

113603302 Z

c) ∈⋅+=°⋅+°= kkk ππα 23

23601201 Z ∈⋅+=°⋅+°= lll ππα 23

43602402 Z


a) 75,2tg =x b) 32tg −=x c) 023tg =−x

Megoldás:

a) ∈°⋅+°≈ kkx 18002,70 Z

b) ∈°⋅+°≈ kkx 18069,123 Z

c) ∈°⋅+°≈ kkx 18069,33 Z

22. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!

a) 25,1ctg −=x b) 52ctg =x c) 013ctg =+x

Megoldás:

a) ∈°⋅+°≈ kkx 18034,141 Z

b) ∈°⋅+°≈ kkx 18080,21 Z

c) ∈°⋅+°≈ kkx 18043,108 Z


Mintapélda11

Oldjuk meg xx sincos3 = egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás:

Oszthatunk xcos -szel, mert 0cos ≠x , ui. sinx és cosx nem lehet egyszerre 0.

xxx tg

cossin3 ==

∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ3

18060 Z

Ez valóban megoldása az egyenletünknek.

Mintapélda12

Oldjuk meg a xxxx cos3cos4cossin2 =+ egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás:

Rendezzük nullára az egyenletet: 0coscossin2 =+ xxx

Alakítsunk szorzattá: ( ) 01sin2cos =+xx

Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, ezért

vagy ⇒= 0cos x ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ2

180901 Z

vagy ⇒−=21sin x ∈⋅+=°⋅+°= lllx ππ 2

673602102 Z,

∈⋅+=°⋅+°= mmmx ππ 26

113603303 Z

Ez valóban megoldása az egyenletünknek.

Feladatok

Megjegyzés: A feladatok megoldásához az ellenőrzés vagy az ekvivalens lépésekre való hi-

vatkozás hozzátartozik.


a) xx sin3cos = b) 0sincos2 =− xx c) xxx cos3cossin5 =+−

Megoldás:

a) ∈°⋅+°≈ kkx 18043,18 Z

b) ∈°⋅+°≈ kkx 18043,63 Z

c) ∈°⋅+°≈ kkx 1802,158 Z



a) ( ) 01cos2sin =−xx b) 0coscos4 2 =+ xx

Megoldás:

Nullára redukálunk. Szorzattá alakítunk.

Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla.

a) ⇒= 0sin x ∈⋅=°⋅= kkkx π1801 Z

⇒=21cos x ∈⋅+=°⋅+°= lllx ππ 2

3360602 Z,

∈⋅+=°⋅+°= mmmx ππ 23

53603003 Z

b) ( ) 0cos1cos4 =+ xx

⇒= 0cos x ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ2

180901 Z

⇒−=41cos x ∈π⋅+π≈°⋅+°≈ lllx 259,036048,1042 Z,

∈π⋅+π≈°⋅+°≈ mmmx 242,136052,2553 Z


a) 91sin2 =x b) 1sin4 2 =x c)

21cos2 =x

Megoldás:

a) ⇒=31sin x ∈°⋅+°≈ kkx 36047,191 Z

∈°⋅+°≈ llx 36053,1602 Z

∈°⋅+°≈ mmx 36047,1993 Z

∈°⋅+°≈ nnx 36053,3404 Z

b) ⇒=21sin x ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ

6180301 Z

∈⋅+=°⋅+°= lllx ππ6

51801502 Z

c) ⇒=2

1cos x ∈⋅+=°⋅+°= kkkx24

90451ππ Z


Mintapélda13

Oldjuk meg a 013

43cos2 =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

πx egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás:

Rendezzük az egyenletet: 21

343cos −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

πx

Vezessünk be új változót: 3

43 πα −= x

Ebből: 21cos −=α

∈⋅+= kk ππα 23

21 Z

πππ 23

23

43 1 ⋅+=− kx

32

32

1ππ ⋅

+=kx

∈⋅+= ll ππα 23

41 Z

πππ 23

43

43 1 ⋅+=− lx

32

98

2ππ ⋅

+=lx

Az egyenlet megoldásai: ( ) ∈+π

=π⋅

+π

= kkkx 13

232

32

1 Z

( ) ∈+π

=π⋅

+π

= lllx 349

232

98

2 Z

Ezek helyességéről ellenőrzéssel győződjünk meg.


Feladatok


a) ( ) 02sin =− x b) ( ) 5261,0252sin =°+x

Megoldás:

a) ∈⋅=°⋅= kkkx2

90 π Z

b) ∈°⋅+°≈ kkx 18037,31 Z, ∈°⋅+°≈ llx 18063,612 Z


a) 5,03cos =x b) 14

5cos =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

πx

Megoldás:

a) ∈⋅+=°⋅+°= kkkx3

29

120201ππ Z, ∈⋅+=°⋅+°= lllx

32

951201002

ππ Z

b) ∈⋅+= kkx ππ 24

5 Z


a) tg332 =x b) tg 1

42 −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

πx

Megoldás:

a) ∈⋅+=°⋅+°= kkkx212

9015 ππ Z

b) ∈⋅+= kkx22ππ Z


a) ctg 13 =x b) ctg 36

2 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

πx

Megoldás:

a) ∈⋅+=°⋅+°= kkkx312

6015 ππ Z


b) ∈⋅+= kkx23ππ Z


a) 36

2sin4 2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

πx b) 12

3cos2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

πx

Megoldás:

a) ⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

23

62sin πx ∈⋅+= kkx ππ

41 Z

∈⋅+= llx ππ125

2 Z

∈⋅+= mmx ππ12

113 Z

∈⋅+= nnx ππ4

34 Z

b) ⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 1

23cos πx ∈⋅+= kkx

36ππ Z

31. Határozd meg, hogy mely valós x számokra értelmezhetők a következő kifejezések!

a) xsin b) xsin

1 c) xcos1+ d) x2sin1−

Megoldás:

A négyzetgyök definíciója miatt:

a) 0sin ≥x A határszögek: π=°==°=⇒= 180000sin 21 xxx

Értelmezési tartomány: °⋅+°≤≤°⋅ 360180360 kxk , vagy

∈⋅+≤≤⋅ kkxk πππ 22 Z

b) 0sin >x A határszögek: π=°==°=⇒= 180000sin 21 xxx

Értelmezési tartomány: °⋅+°<<°⋅ 360180360 kxk , vagy

∈⋅+<<⋅ kkxk πππ 22 Z

c) ⇒≥+ 0cos1 x 1cos −≥x ez minden valós számra telesül.

Értelmezési tartomány: R

d) ⇒≥− 0sin1 2 x 0cos2 ≥x ez minden valós számra telesül.

Értelmezési tartomány: R



A következő négy mintapélda feldolgozásához szakértői mozaik módszert javaslunk.

A jelűek feladata

Mintapélda14 Oldjuk meg a ( ) ( )°+=°− 100sin203sin xx egyenletet!

Megoldás:

Meghatározzuk azokat a szögeket, amelyeknek szinuszai egyenlőek:

I. eset II. eset

Ha a két szög megegyezik, illetve csak a peri-

ódus egész számú többszörösével térnek el

egymástól:

∈°⋅+°+=°− kkxx 360100203 Z

°⋅+°= 3601202 kx

°⋅+°= 18060 kx

Ha a két szög egymás kiegészítő szögei, illet-

ve csak a periódus egész számú többszörösé-

vel térnek el egymástól:

( ) ∈°⋅+°+−°=°− llxx 360100180203 Z

°⋅+°= 3601004 lx

°⋅+°= 9025 lx

Az egyenlet megoldásai: ∈°⋅+°= kkx 180601 Z

∈°⋅+°= llx 90252 Z

Ezek helyességéről az ellenőrzés során győződjünk meg.

B jelűek feladata


Mintapélda15

Oldjuk meg a ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

32cos

62cos ππ xx egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás:Meghatározzuk azokat a szögeket, amelyeknek koszinuszai egyenlőek:

I. eset II. eset



egymástól:

∈⋅+−=+ kkxx πππ 23

26

2 Z

ππ 26

5⋅+−= kx

Ha a két szög egymás ellentettje, illetve csak

a periódus egész számú többszörösével térnek

el egymástól:

∈⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=+ llxx πππ 2

32

62 Z

ππ 22

3 ⋅+= lx

32

6ππ ⋅

+=lx

Az egyenlet megoldásai: ∈⋅+−= kkx ππ 26

51 Z

∈⋅

+= llx32

62ππ Z


C jelűek feladata


Mintapélda16 Oldjuk meg a tg ( ) =°− 428x tg ( )°+1325x egyenletet!

Megoldás:

Két szög tangense csak akkor egyenlő, ha a két szög megegyezik, illetve csak a perió-

dus egész számú többszörösével térnek el egymástól:

∈°⋅+°+=°− kkxx 1801325428 Z

°⋅+°= 1801743 kx

°⋅+°= 6058 kx

Az egyenlet megoldásai: ∈°⋅+°= kkx 6058 Z, melyek igazzá is teszik az ere-

deti egyenletet.

D jelűek feladata

Mintapélda17

Oldjuk meg a ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − xx 2

52sin

576sin ππ egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás:

I. eset II. eset



egymástól:

∈⋅+−=− kkxx πππ 225

25

76 Z

ππ 25

98 ⋅+= kx




∈⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=− llxx ππππ 22

52

576 Z

ππ 24 ⋅+= lx

24ππ⋅+= lx


4409 ππ

⋅+= kx

Az egyenlet megoldásai: ∈⋅+= kkx440

91

ππ Z

∈⋅+= llx242ππ Z

Ellenőrizzük, hogy 21 és xx valóban gyökei az eredeti egyenletnek.

Feladatok


a) xx sin2sin = b) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

6sin

32sin ππ xx

c) xx cos3cos = d) ( )xx −°= 25cos4cos

Megoldás:

a) ∈⋅=°⋅= kkkx π23601 Z, ∈⋅

+=°⋅+°= lllx32

3120602

ππ Z

b) ∈⋅+= kkx ππ 22

31 Z, ∈

⋅+= llx

32

185

2ππ Z

c) ∈⋅=°⋅= kkkx π1801 Z, ∈⋅

=°⋅= lllx2

902π Z

d) ∈°⋅+°

= kkx 1203

3351 Z, ∈°⋅+°= llx 7252 Z


a) xx tg2tg = b) xx 3tg5tg = c) ( )°+= 702tg6tg xx


Megoldás:

a) ∈⋅=°⋅= kkkx π180 Z

b) ∈⋅=°⋅= kkkx2

90 π Z

c) ∈°⋅+°= kkx 455,17 Z


a) xx 5sin3sin −= b) xx 6cos2cos −=

Megoldás:

a) ∈= kkx41π Z, ∈⋅+−= llx ππ

22 Z

b) ∈+= kkx481ππ Z, ∈= llx

42π Z

Mintapélda18 Oldjuk meg a ( ) xx cos203sin =°+ egyenletet!

Megoldás:

Az egyenlet mindkét oldalát úgy alakítjuk át, hogy mindkét oldalon azonos szögfügg-

vények szerepeljenek. Felhasználjuk, hogy egy szög koszinusza megegyezik pótszög-

ének szinuszával:

( ) ( )xx −°=°+ 90sin203sin

Fordítva is gondolkodhatunk. Egy szög szinusza megegyezik pótszögének koszinu-

szával: ( ) xx cos20390cos =°−−° .

Meghatározzuk azokat a szögeket, amelyeknek szinuszai egyenlők:

I. eset II. eset



egymástól:

Zkkxx ∈°⋅+−°=°+ 36090203

°⋅+°= 360704 kx

Zkkx ∈°⋅+°= 905,17




( ) Zllxx ∈°⋅+−°−°=°+ 36090180203

°⋅+°= 360702 lx

Zllx ∈°⋅+°= 18035


Az egyenlet megoldásai: Zkkx ∈°⋅+°= 905,171

Zllx ∈°⋅+°= 180352

A megoldások helyességéről ellenőrzéssel győződjünk meg.

Feladatok

35. Oldd meg a következő egyenleteket! (A megoldáshoz használd fel a pótszögek szög-

függvényei közötti összefüggéseket!)

a) xx cos3sin = b) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

3sin

65cos ππ xx

Megoldás:

a) ∈⋅+=°⋅+°= kkkx28

905,221ππ Z, ∈⋅+=°⋅+°= lllx ππ

4180452 Z

b) ∈⋅+= kkx ππ21 Z

Mintapélda19

Oldjuk meg a tg3

42 −x tg 01=+x egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás:

Az egyenletnek csak ott van értelme, ahol a 0cos ≠x , azaz ∈⋅+≠ kkx ππ2

Z

Ez xtg -ben másodfokú egyenlet.

Vezessük be az yx =tg új ismeretlent, ekkor 013

42 =+− yy , majd oldjuk meg az

így kapott másodfokú egyenletet: 333 21 == yy .

⇒= 3tg x ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ3

180601 Z

⇒=33tg x ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ

6180302 Z


Mintapélda20 Oldjuk meg a xx 2sin6cos78 =+ egyenletet!

Megoldás:

A pitagoraszi összefüggés alapján: xx 22 cos1sin −=

Ezt helyettesítsük be az eredeti egyenletbe: ( )xx 2cos16cos78 −=+

Rendezzük az egyenletet: 02cos7cos6 2 =++ xx

Ez xcos -ben másodfokú egyenlet.

Vezessük be az xy cos= új ismeretlent, ekkor 0276 2 =++ yy majd oldjuk meg az

így kapott másodfokú egyenletet: 32

21

21 −=−= yy

⇒−=21cos x ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ 2

323601201 Z

∈⋅+=°⋅+°= lllx ππ 23

43602402 Z

⇒−=32cos x ∈°⋅+°≈ mmx 36081,1313 Z

∈°⋅+°≈ nnx 36019,2884 Z


Mintapélda21 Oldjuk meg a 1sin2cos3 −= xx egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás:

Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát: 1sin4sin4cos3 22 +−= xxx

A négyzetre emelés nem ekvivalens átalakítás, ezért bővülhet a gyökök halmaza, és

hamis gyökök léphetnek fel. Ezért fontos, hogy a kapott értékeket ellenőrizzük.

Mivel xx 22 sin1cos −= , ezért ( ) 1sin4sin4sin13 22 +−=− xxx

Rendezzük az egyenletet: 02sin4sin7 2 =−− xx

Ez xsin -ben másodfokú egyenlet.

Vezessük be az xy sin= új ismeretlent, ekkor 0247 2 =−− yy majd oldjuk meg az

így kapott másodfokú egyenletet: 3204,08918,0 21 −== yy .

⇒= 8918,0sin x ∈°⋅+°≈ kkx 36010,631 Z

∈°⋅+°≈ llx 36090,1162 Z

⇒−= 3204,0sin x ∈°⋅+°≈ mmx 36031,3413 Z


∈°⋅+°≈ nnx 36069,1984 Z

Behelyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy 41 és xx valóban gyökei az eredeti

egyenletnek, 32 és xx azonban nem. Ez abból is látható, hogy ezekre az értékekre sin x

és cos x előjele különböző, továbbá 1sin2 2 >x .

Feladatok

Módszertani megjegyzés: Torpedójáték

A játékban páros számú csoportra bontjuk az osztályt, majd megbeszéljük, hogy melyek a

szembenálló csoportok. A csoportok egy-egy hadiflottának a parancsnokai; céljuk az ellenfél

flottájának elsüllyesztése. Az első teendő a flotta elhelyezése a bal oldali 10x10-es táblán úgy,

hogy a többi csoport ne láthassa. Minden csoportnak 3 db 1-mezős, 2 db 2-mezős, 1-1 db 3-,

4- és 5 mező nagyságú hajója van (a 2 vagy többmezős hajóknak a mezőknek legalább egy

oldalával érintkezniük kell). Ügyeljünk arra, hogy az elhelyezett hajók ne érintsék egymást.

Ha az összes csoport minden hajóját elhelyezte, kezdődhet a munka. Minden csoportnak az a

feladata, hogy a 36. feladatot legjobb tudása szerint megoldja. Minden jó feladatért adjunk 5

torpedót. Ha a feladatok megoldása nem tökéletes, de bizonyos része értékelhető adhatunk

érte résztöltényeket is. Ezután összegezzük, hogy melyik csoport hány lövéssel rendelkezik,

majd kezdődhet az ütközet. A csoportok felváltva indítják a torpedóikat, és bemondják az

éppen célzott mezőt (pl. C2). Válaszul az ellenfél bemondja, hogy sikeres volt-e a találat (pl.:

nem talált, talált, süllyedt). A jobb oldali táblán jelölhetik a csoportok az ellenfél flottájának

elhelyezkedését. A játék nyertese az a csoport, aki előbb lövi ki az ellenfél összes hajóját.

Természetesen aki nem akarja a torpedót használni, az frontális munka formájában is megold-

hatja az ott található egyenleteket.


A B C D E F G H I J

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A B C D E F G H I J

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

36. Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!

a) 05sin9sin2 2 =−+ xx b) xx 2cos4cos85 =+

c) 11cos5cos2cos3 2 +=−+ xxx d) 3sincos7cos 22 +=+ xxx

e) xxx sin342cossin5 22 =++ f) ( ) ( ) 41sin2sin3 −=−⋅− xx

g) 3tg xx cos2= h) tg +x ctg 2=x

i) ctg −= 3x tg x j) xx cos1sin =−

Megoldás:

a) ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ 26

360301 Z, ∈⋅+=°⋅+°= lllx ππ 26

53601502 Z

b) ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ 23

23601201 Z, ∈⋅+=°⋅+°= lllx ππ 23

43602402 Z

c) ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ 23601801 Z

d) Alkalmazzuk a 1cossin 22 =+ xx pitagoraszi összefüggést! Megoldjuk az így ka-

pott másodfokú egyenletet.

∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ 23

360601 Z, ∈⋅+=°⋅+°= lllx ππ 23

53603002 Z

e) Alkalmazzuk a 1cossin 22 =+ xx pitagoraszi összefüggést! Megoldjuk az így kapott

másodfokú egyenletet. ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ 23

360601 Z,

∈⋅+=°⋅+°= lllx ππ 23

23601202 Z

f) Nincs olyan valós szám, amely az egyenletet kielégíti.


g) Alkalmazzuk a xxx

cossintg = azonosságot!

0cos ≠x , azaz ∈⋅+=°⋅+°≠ kkkx ππ2

18090 Z

∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ 26

360301 Z, ∈⋅+=°⋅+°= lllx ππ 26

53601502 Z

h) Alkalmazzuk a x

xtg1ctg = azonosságot!

0cos,0sin ≠≠ xx , azaz ∈π⋅=°⋅≠ kkkx2

90 Z

∈π⋅+π

=°⋅+°= kkkx4

180451 Z

i) 0cos,0sin ≠≠ xx , azaz ∈⋅=°⋅≠ kkkx2

90 π Z

∈°⋅+°≈ kkx 18091,201 Z, ∈°⋅+°≈ llx 18009,692 Z

j) Négyzetre emelünk.

∈π⋅=°⋅= kkkx 23601 Z, ∈π⋅+π

=°⋅+°= lllx 22

360902 Z

37. Derékszögű háromszögben az α hegyesszögre teljesül, hogy 1114,3ctgtg =+ αα .

Határozd meg az α szöget?

Megoldás:

α=α

tg1ctg , α= tgy , ekkor ⇒=+− 011114,32 yy 364,0,7474,2 21 ≈≈ yy .

°≈°≈ 20,70 21 αα


IV. Trigonometrikus egyenlőtlenségek

Megjegyzés: Trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásakor célszerű először megkeresni a

határszögeket, majd ezután az egységkörön szemléltetni a megoldást.

Mintapélda22

Oldjuk meg a 232cos ≤x egyenlőtlenséget!

Megoldás:

Legyen α=x2 . A határszögek: 6

306

3023cos 21

π−=°−=α

π=°=α⇒=α

°⋅+°≤≤°⋅+° 360330236030 kxk , vagy ∈⋅+≤≤⋅+ kkxk ππππ 26

11226

Z

Az egyenlőtlenség megoldása:

°⋅+°≤≤°⋅+° 18016518015 kxk , vagy ∈⋅+≤≤⋅+ kkxk ππππ12

1112

Z

Megjegyzés: A határszögeket elég az első négy negyedben meghatározni, de utána ne feled-

kezzünk meg a periodicitásról.


Mintapélda23

Oldjuk meg a xxx sincossin2 < egyenlőtlenséget!

Megoldás:

Rendezzük az egyenlőtlenséget, úgy hogy a jobb oldalon 0 legyen:

0sincossin2 <− xxx

Kiemelünk xsin -et: ( ) 01cos2sin <−xx

Egy két tényezős szorzat akkor negatív, ha tényezői ellenkező előjelűek, ezért a követ-

kező két eset fordulhat elő:

I. eset: Ha 0sin >x és 01cos2 <−x

0sin >x

A határszögek: π=°==°=⇒= 180000sin 21 xxx

°⋅+°<<°⋅+° 3601803600 kxk , vagy ∈⋅+<<⋅ kkxk πππ 22 Z

21cos <x

A határszögek: 3

53003

6021cos 21

ππ=°==°=⇒= xxx

°⋅+°<<°⋅+° 36030036060 kxk , vagy ∈⋅+<<⋅+ kkxk ππππ 23

523

Z

A két intervallum metszete:



Z

II. eset: Ha 0sin <x és 01cos2 >−x

0sin <x

A határszögek: ππ 23601800sin 21 =°==°=⇒= xxx

°⋅+°<<°⋅+° 360360360180 kxk , vagy ∈⋅+<<⋅+ kkxk ππππ 222 Z

21cos >x

A határszögek: 3

603

6021cos 21

ππ−=°−==°=⇒= xxx

°⋅+°−>>⋅+° 3606036060 kxk , vagy ∈⋅+−>>⋅+ kkxk ππππ 23

23

Z

A két intervallum metszete:


°⋅+°<<⋅+° 360360360300 kxk , vagy ∈⋅+<<⋅+ kkxk ππππ 2223

5 Z

Összefoglalva, az egyenlőtlenség megoldása:


Z


5 Z

Mintapélda24

Oldjuk meg a ( ) 1153tg >°+x egyenlőtlenséget!

Megoldás:

Értelmezési tartomány: ∈°⋅+°≠ kkx 6025 Z

Legyen °+= 153xα . A határszög: °=⇒= 451tg αα

Ebből: ∈°⋅+°<°+<°⋅+° kkxk 1809015318045 Z


∈°⋅+°<<°⋅+° kkxk 18075318030 Z

Az egyenlőtlenség megoldása: ∈°⋅+°<<°⋅+° kkxk 60256010 Z

Ezt mutatja az első négy negyedben az alábbi ábra:

Feladatok

38. Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket, majd keresd meg a feladathoz tartozó áb-

rát!

a) 0sin ≥x A)

b) 21cos <x B)

c) 23sin −≤x

C)


d) 22cos −>x

D)

e) 3tg >x E)

f) 1ctg −≤x F)

Megoldás:

a) A határszögek: π=°==°=⇒= 180000sin 21 xxx

°⋅+°≤≤°⋅ 360180360 kxk , vagy ∈⋅+≤≤⋅ kkxk πππ 22 Z

b) A határszögek: 3

53003

6021cos 21

ππ=°==°=⇒= xxx


523

Z

c) A határszögek: 3

53003

424023sin 21

ππ=°==°=⇒−= xxx

°⋅+°≤≤°⋅+° 360300360240 kxk , vagy ∈⋅+≤≤⋅+ kkxk ππππ 23

523

4 Z

d) A határszögek: 4

31354

313522cos 21

ππ−=°−==°=⇒−= xxx


°⋅+°<<⋅+°− 360135360135 kxk , vagy ∈⋅+<<⋅+− kkxk ππππ 24

324

3 Z

e) A határszög: 3

603tg π=°=⇒= xx

°⋅+°<<°⋅+° 1809018060 kxk , vagy ∈⋅+≤≤⋅+ kkxk ππππ33

Z

f) A határszög: 4

31351ctg π=°=⇒−= xx

°⋅+°≤≤°⋅+° 180180180135 kxk , vagy ∈⋅+≤≤⋅+ kkxk ππππ4

3 Z

39. Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán!

a) 21sin >x b)

23cos ≤x

c) 21sin 2 <x d)

43cos2 ≥x

Megoldás:

a) °⋅+°<<°⋅+° 18015018030 kxk , vagy ∈⋅+<<⋅+ kkxk ππππ6

56

Z

b) °⋅+°≤≤°⋅+° 18015018030 kxk , vagy ∈⋅+≤≤⋅+ kkxk ππππ6

56

Z

c) °⋅+°<<°⋅+°− 1804518045 kxk , vagy ∈⋅+<<⋅+− kkxk ππππ44

Z

d) °⋅+°≤≤°⋅+°− 1803018030 kxk , vagy ∈⋅+≤≤⋅+− kkxk ππππ66

Z


a) 212sin −≥x b)

223cos −≤x

Megoldás:

a) °⋅+°≤≤°⋅+°− 18010518015 kxk , vagy másképp

∈⋅+≤≤⋅+− kkxk ππππ127

12Z

b) °⋅+°≤≤°⋅+° 1207512045 kxk , vagy ∈⋅

+≤≤⋅

+ kkxk32

125

32

4ππππ Z


V. Vegyes feladatok


a) ( ) 2cos += xxg b) ( ) xxf cos21

=



a) ( ) ( )xxf −= tg b) ( ) xxg tg=



a) ( ) xxg 2cos3= b) ( ) 13

cos +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

πxxi


44. Mennyi a következő kifejezések pontos értéke?

a) ( ) °⋅°+° 30sin60cos45tg ; b) 6

tg

3sin

4tg3 ππ

π

⋅+

;

c) °−°⋅°−° 20cos55ctg55tg70sin ; d) °+°⋅°−° 55cos55cos35sin235sin 22 .

Megoldás:

a) ( ) 75,05,05,01 =⋅+

b) 38

33

2313

=⋅+

c) 170sin170sin −=°−−°

d) ( ) ( ) 035sin35sin55cos35sin 22 =°−°=°−°




a) 23sin =α b)

22sin −=α

Megoldás:

a) °=°= 120,60 21 αα b) °=°= 315,225 21 αα



a) 21cos =α b) 1cos −=α

Megoldás:

a) 3

5,3 21

παπα == b) πα =



a) tg 1−=α b) tg 3−=α

Megoldás:

a) °=°= 315,135 21 αα b) °=°= 300,120 21 αα



a) ctg 1=α d) ctg 3=α

Megoldás:

a) 4

5,4 21

παπα == b) 6

7,6 21

παπα ==



a) 1sin =α b) 7231,0sin −=α c) 03sin2 =−α

Megoldás:

a) ∈⋅+=°⋅+°= kkk ππα 22

36090 Z

b) ∈°⋅+°≈ kk 36069,3131α Z, ∈°⋅+°≈ ll 36031,2262α Z

c) ∈⋅+=°⋅+°= kkk ππα 23

360601 Z, ∈⋅+=°⋅+°= lll ππα 23

23601202 Z


a) 3cos −=α b) 3492,0cos =α c) 03cos3 =−α

Megoldás:

a) nincs ilyen szög, mert minden x-re: 1cos1 ≤≤− x

b) ∈°⋅+°≈ kk 36056,691α Z, ∈°⋅+°≈ ll 36044,2902α Z

c) ∈°⋅+°≈ kk 36074,541α Z ∈°⋅+°≈ ll 36026,3052α Z

51. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán:

a) xxx sinsincos −=⋅ b) 43cos3 2 =x c)

29sin3 2 =x

Megoldás:

a) Nullára redukálunk. Szorzattá alakítunk.

Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla.

⇒= 0sin x ∈⋅=°⋅= kkkx π1801 Z

⇒−= 1cos x ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ 23601802 Z

b) ⇒=21cos x ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ

3180601 Z

∈⋅+=°⋅+°= lllx ππ3

21801202 Z

c) ⇒=23sin x nincs megoldás



a) 213sin −=x b) 02

8sin2 =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

πx

Megoldás:

a) ∈°⋅+°= kkx 1201101 Z, ∈°⋅+°= llx 120702 Z

b) ∈⋅+= kkx ππ 281 Z, ∈⋅+= llx ππ 2

85

2 Z


a) ( ) 14cos =− x b) ( ) 5152cos3 =°+x

Megoldás:

a) ∈°⋅= kkx 90 Z

b) ∈°⋅+°≈ kkx 18041,131 Z, ∈°⋅+°≈ llx 18060,1512 Z


a) tg 36

3 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

πx b) ctg33

32

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

πx

Megoldás:

a) ∈⋅+= kkx318ππ Z; b) ∈⋅= kkx π Z.

55. Egy háromszög α szögére a következő összefüggést kaptuk: ( ) 8192,030sin =°+α .

a) Mekkora lehet α ? b) Mekkora a harmadik. szög, ha a háromszög derékszögű?

Megoldás:

a) °≈°≈ 95,25 21 αα ; b) °≈α 25 .

56. Egy derékszögű háromszög α és β hegyesszögeire fennáll, hogy

2856,1cossin =+ βα . Mekkorák a háromszög hegyesszögei?

Megoldás:

( ) 6428,0sinsin2sinsin90cossin =⇒=+=−°+ αααααα

°≈°≈ 50,40 βα


57. Igazoljuk, hogy minden derékszögű háromszögben ( )°<α>α+α 901cossin !

Megoldás:

Derékszögű háromszögben c

bacb

ca +

=+=α+α cossin (a és b befogók, c az átfogó).

A háromszög egyenlőtlenség miatt cba >+ , ezért 1>+c

ba , vagyis 1cossin >α+α .

58. Egy háromszög területe 94,64 cm2, két oldala 15 cm és 22 cm. Mekkora lehet a két

oldal által közbezárt szög?

Megoldás:

⇒=⇒⋅⋅

=⇒⋅⋅

= 5736,0sin2

sin221564,942sin γγγbaT

°≈°≈ 145,35 21 γγ

59. Egy paralelogramma egyik oldalának hossza14 cm, a másik oldalhoz tartozó magasság

hossza 5,92 cm. Mekkorák a paralelogramma szögei?

Megoldás:

⇒≈= 4229,014

5,92sinα °≈°≈ 155,25 21 γγ

60. Egy 5 m hosszú létrát a ház falának támasztottak, úgy hogy a lába 1,5 m-re volt a fal-

tól. Mekkora szöget zár be a létra a talajjal? Milyen magasan van létra a falhoz tá-

masztva?

Megoldás:

°≈⇒== 54,723,055,1cos αα

m77,45

54,72sin ≈⇒=° xx

61. Sík terepen egy férfitől 50 m távolságban van egy 30 m magas torony. Mekkora szög-

ben látja a férfi a tornyot, ha szemmagassága 180 cm-re van a földtől?


Megoldás:

°≈⇒== 06,2036,050

8,1tg αα

°≈β

==−

=β

42,29

564,050

2,2850

8,130tg

°=°+°=+ 48,3142,2906,2βα

Megjegyzés: Az ábra nem méretarányos.

62. Egy pontra ható két, egymásra merőleges erő nagysága N830N,570 21 == FF .

Mekkora az eredő erő nagysága és 1F -gyel bezárt szöge!

Megoldás:

°≈⇒≈= 52,554561,1570830tg αα

N89,100652,55sin

830≈

°=F


a) ( )°+= 18sin3sin xx b) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

233cos

22cos ππ xx

Megoldás:

a) ∈°⋅+°= kkx 18091 Z, ∈°⋅+°= llx 905,402 Z

b) ∈⋅= kkx π21 Z, ∈⋅

+= llx52

52ππ Z


a) xx 5sin2cos = b) ( ) ( )°−=°+ 20cos15sin xx

Megoldás:

a) ∈⋅

+=°⋅

+°

= kkkx72

147360

790

1ππ Z, ∈

⋅+=°⋅+°= lllx

32

6120302

ππ Z

b) ∈°⋅+°= kkx 1805,471 Z



a) ( ) 0cos1sin >+ xx b) xx sinsin 3 ≥ c) xx cos2cos 2 ⋅<

Megoldás:

a) °⋅+°<<°⋅+°− 3609036090 kxk , vagy ∈⋅+<<⋅+− kkxk ππππ 22

22

Z

b) °⋅+°≤≤°⋅+° 360360360180 kxk , vagy ∈⋅+≤≤⋅+ kkxk ππππ 222 Z

c) °⋅+°<<°⋅+°− 3609036090 kxk , vagy ∈⋅+<<⋅+− kkxk ππππ 22

22

Z


Kislexikon

Pitagoraszi azonosság: 1cossin 22 =+ αα

Pótszögek szögfüggvényei

( )αα −°= 90cossin

( )αα −°= 90sincos

( ) ∈π⋅+π

≠αα−°=α kk2

90ctgtg Z

( ) ∈°⋅≠−°= ll 18090tgctg ααα Z

Összefüggés egy szög tangense és kotangense között

∈°⋅≠

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=kk 90

tg1ctg

ctg1tg

α

αα

αα

Z

1ctgtg =⋅ αα

Trigonometrikus egyenlet (egyenlőtlenség): Az olyan egyenleteket és egyenlőtlenségeket,

amelyekben az ismeretlen valamilyen szögfüggvénye szerepel, trigonometrikus egyenletek-

nek, illetve egyenlőtlenségeknek nevezzük.

Megjegyzés: A fogalmak definíciói részletesebben a 10. évfolyam 11. moduljának kislexi-

konában találhatók.

8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek ...kooperativ.hu/matematika/3_modulleírások-tanár-tanuló-eszköz/2_A_típus/11...A modul mellékleteként készült a 8.1 kártyakészlet

Documents