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BAULEITER HOCHBAU
S T A T I K / F E S T I G K E I T S L E H R E
8) FESTIGKEITSLEHRE
1) Allgemeines
2) Spannung und Festigkeit
3) Tragsicherheit, Sicherheitsgrad, Bemessungswerte
4) Zug- und Druckspannungen
5) Formänderungen und Formänderungsgesetze
a) Elastizität und Plastizität
b) Das Spannungs- Dehnungsdiagramm
c) Das Hook'sche Gesetz, Elastizitätsmodul
d) Längenänderungen durch Wärmeschwankungen
e) Querdehnungen
f) Formänderungen durch Schubkraft
6) Biegespannungen
7) Doppelbiegung
8) Biegung mit Längskraft
9) Schubspannungen
10) Zusammenfassung Werte und Formeln
g.bettschen
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bettschen - Seite 2
1 Allgemeines
In den vorherigen Kapiteln haben wir die am Balken auftretenden
Beanspruchungsgrössen Biegemoment, Querkraft und Normalkraft
behandelt. Diese Schnittkräfte allein können jedoch noch nichts
über die Beanspruchung des untersuchten Bauteils aussagen. Es ist
nun Aufgabe der Festigkeitslehre, auf Grund der berechneten
Momente, Zug - Druck - und Querkräfte auf die innere Beanspruchung
des Bauwerkes zu schliessen.
In der
Festigkeitslehre
wird nachgeprüft, ob
das Bauwerk die
angreifenden Kräfte
aufnehmen kann.
2) Spannung und Festigkeit
Es gilt also jetzt, die Wirkung der Schnittgrössen auf die
Querschnittsfläche zu untersuchen.
Betrachten wir zum Beispiel einen Holzpfosten, der durch die
Druckkraft F beansprucht wird. Da die Auflagerfläche des Stempels
gleich ist wie der Pfostenquerschnitt, wird sich die Kraft
gleichmässig über die ganze Fläche verteilen; das heisst, jede
einzelne Faser muss einen Teil des Druckes aufnehmen.
Wie die Kräfte selbst, sind auch die Spannungen Vektoren;
diese
Spannungsvektoren werden durch Betrag, Richtung und
Angriffspunkt festgelegt. Wenn auf den Holzpfosten also z.B. die
Druckkraft F = 10 kN wirkt und der Pfosten eine Querschnittsfläche
von 120/120 mm aufweist, so wirkt auf ihn eine gleichmässig über
die
ganze Fläche verteilte Druckspannung von = F / A = 10'000/14'400
= 0.69 N/mm2.
Wir rechnen nun die Kraft pro Faser aus. Diese Kraft pro Faser
darf nicht grösser werden, als eine bestimmte Bruchkraft. Als
Bruchkraft bezeichnet man die Kraft bei der die Faser bricht. Es
genügt, wenn wir die Kraft für ein kleines Flächenteilchen
berechnen. In der Statik hat man den mm2 oder den cm2 als
Flächenteilchen gewählt.
Die Kräfte je Flächeneinheit nennt man
Spannungen. Die Summe aller Spannungen ergibt wiederum die
Schnittgrösse, welche die Spannungen erzeugt hat.
Die Einheit der Spannung ist N/mm2 ( oder N/cm
2 , kN/cm
2 usw.).
F
Flächenteilchen
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bettschen - Seite 3
b
Bauteile können auf verschiedene Weise beansprucht werden.
deshalb unterscheidet man folgende Spannungsarten:
1) Zugspannung 2) Druckspannung 3) Scherspannung
4) Biegespannung 5) Schubspannung 6) Knickspannung
7) Torsionsspannung
8) Zusammengesetzte Beanspruchung
infolge mehrerer Beanspruchungsarten
Jeder Baustoff kann nur Spannungen bis zu einer bestimmten
Höchstgrenze
ertragen, wenn diese Grenze überschritten wird tritt Bruch
ein.
Die Spannung im Augenblick des Bruchs wird Bruchspannung
oder
Bruchfestigkeit genannt.
Die Festigkeitswerte der verschiedenen Baustoffe werden mit
Prüfmaschinen an Probekörpern ermittelt. Die Prüfverfahren sind für
die meisten Baustoffe genormt, weil sich z.B. die Prüfdauer, die
Probegrösse oder die Gestalt des Probekörpers auf die
Versuchsergebnisse auswirken können. Die Festigkeiten sind nicht
nur für die einzelnen Baustoffe verschieden, sie weichen auch bei
ein und demselben Material für die verschiedenen
Beanspruchungsarten voneinander ab. Beim Beton ist zum Beispiel die
Druckfestigkeit wesentlich höher als die Zugfestigkeit, oder beim
Holz ist die Druckfestigkeit parallel zur Faser höher als die
Druckfestigkeit senkrecht zur Faser.
Z
D a
K
F
T
M
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bettschen - Seite 4
3) Tragwiderstand, Sicherheitsgrad, Bemessungswerte
Jegliches Bauen, von der Berechnung bis zur Ausführung, ist mit
unvermeidlichen Unsicherheiten behaftet. So sind z.B. die
Lastannahmen nur Näherungswerte, bei der Annahme des statischen
Systems werden Vereinfachungen getroffen und die angenommenen
Werkstoffgrössen können von der Wirklichkeit abweichen. Deshalb
stimmen in einem Querschnitt die errechneten Schnittgrössen mit den
wirklich vorhandenen nicht überein. Anderseits besitzt das
erstellte Bauwerk meist nicht genau die erwünschte Tragfähigkeit,
weil die verwendeten Baustoffe Streuungen in den Festigkeiten,
Fehlstellen oder Massabweichungen aufweisen können. Aus diesen
Gründen darf man das Bauwerk nicht bis zur theoretisch errechneten
Bruchspannung belasten; man mutet ihm nur einen Teil der Festigkeit
zu.
Die Tragsicherheit wird durch den Vergleich des Bemessungswertes
der
Beanspruchung mit demjenigen des Tragwiderstandes nachgewiesen
:
Ed Rd - Der Bemessungswert Ed der Beanspruchung berechnet sich
anhand der in
der Norm enthaltenden Werte der Einwirkungen. Ed muss ein
Extremwert der Beanspruchungen sein.
- Der Bemessungswert Rd des Tragwiderstandes ist den
verschiedenen Konstruktionsnormen zu entnehmen.
Bemessungswert der Beanspruchung Ed Gemäss den
Nutzungsanforderungen werden nach SIA 261 oder projektspezifisch
die charakteristischen Werte der Nutzlasten und der ständigen
Lasten bestimmt. Die Multiplikation dieser Werte mit den
Lastbeiwerten γf ergeben die Bemessungswerte Fd der Einwirkungen.
Die Antworten des Tragwerkes auf diese Einwirkungen (Schnittkräfte,
Spannungen, Auflagerreaktionen usw.) bezeichnet man als die
Bemessungswerte Ed der Auswirkungen.
Beispiele für Lastbeiwerte: (aus Norm Einwirkungen) Lastbeiwert
für Nutzlast γQ = 1.5 Lastbeiwert für ständige Last und
Eigengewicht γG = 1.35
Bemessungswerte des Tragwiderstandes Rd (Genaue Angaben : siehe
entsprechende Normenwerke )
SIA 265) Holzbau
Nadelholz, C24 Biegung fm,d = 14 N/mm2
Zug parallel zur Faser ft,0,d = 8 N/mm2 Druck parallel zur Faser
fc,0,d = 12 N/mm2
Druck senkrecht zur Faser fc,90,d = 1.8 N/mm2
Schub fv,d = 1.5 N/mm2
Buche, Eiche, D30 Druck senkrecht zur Faser fc,90,d = 5.3
N/mm2
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bettschen - Seite 5
Brettschichtholz aus Nadelholz, GL24h Biegung fm,d = 16
N/mm2
Zug parallel zur Faser ft,0,d = 12 N/mm2 Druck parallel zur
Faser fc,0,d = 14.5 N/mm2
Druck senkrecht zur Faser fc,90,d = 1.9 N/mm2
Schub fv,d = 1.8 N/mm2
SIA 263) Stahlbau
Stahl S235 Biegung und Zug fd = 224 N/mm2
Schub τ,d = 129 N/mm2
Stahl S355 Biegung und Zug fd = 338 N/mm2
Schub τ,d = 195 N/mm2
SIA 262) Betonbau Normalbeton C20/25 Druckfestigkeit fc,d = 13.5
N/mm2
Normalbeton C25/30 Druckfestigkeit fc,d = 16.5 N/mm2
Betonstahl B500 Zugfestigkeit fs,d = 435 N/mm2
Spannstahl z.B.Y1670 Zugfestigkeit fp,d = 1250 N/mm2
Beispiel :
Nachweis einer Stahlstütze gem. Normen SIA Nutzlast Qk = 60 kN
(aus statischer Berechnung) Ständige Last und Eigengewicht Gk = 40
kN (aus statischer Berechnung) Lastbeiwerte (aus Norm Einwirkungen
) für Nutzlast γQ = 1.5, für ständige Last und Eigengewicht γG =
1.35 Bemessungswert der Beanspruchung: Ed = γQ ∙ Q + γG ∙ G = 1.5 ∙
60 + 1.35 ∙ 40 = 144 kN Tragwiderstand der Stütze RK = 158 kN (aus
Berechnung oder aus Tabelle) Allgemein wird nach Norm R als
Tragwiderstand für alle Arten von Tragwiderständen angegeben.
Tragwiderstandsbeiwert für Stahl γR = 1.05 (aus Norm SIA 263
Stahlbauten) Bemessungswert des Tragwiderstandes: Rd = R / γR = 158
/ 1.05 = 150 kN
Nachweis:
Ed = 144 kN Rd = 150 kN → Die Tragsicherheit ist also
gewährleistet
Q
G
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4) Zug- und Druckspannungen
Zugspannung z : Zugspannungen kommen bei Ankern, Zugstangen,
Fachwerken, Stahleinlagen im Stahlbetonbau, Spanngliedern und dgl.
vor.
Zugspannungen sind sogenannte Normalspannungen, denn sie stehen
auf der Querschnittsfläche senkrecht, sie weisen von der
Querschnittsfläche weg und erhalten
meist positive Vorzeichen.
Die Zugspannung im Augenblick des Bruches wird als Zugfestigkeit
z bezeichnet.
Druckspannung D : Druckspannungen treten z.B. bei Wänden,
Stützen, Auflagern und Fundamenten auf.
Druckspannungen sind auch wie die Zugspannungen
Normalspannungen, sie weisen
aber auf die Querschnittsfläche hin und erhalten meist negative
Vorzeichen.
Die Druckspannung im Augenblick des Bruches wird als die
Druckfestigkeit D bezeichnet.
Will man infolge einer Normalkraft F in einem Querschnitt A die
auftretende Spannung kennen, so rechnet man :
= F / A ( Spannung = Kraft / Fläche )
Oft kennt man den Bemessungswert der Normalkrafteinwirkung Fd
und den Bemessungswert der Zugspannung f,d des Materials und will
daraus die erforderliche Fläche A rechnen :
A erforderlich = Fd / fd oder Fd / σd
Diese Formeln gelten aber nur, wenn folgende Voraussetzungen
erfüllt sind :
F F - Die Bauteile haben eine gerade Achse - Die gedrückten
Körper sind so kurz und gedrungen, dass ein Ausknicken nicht in
Frage kommt. - Die äusseren Kräfte greifen in den Schwerpunkten der
Querschnitte und in Richtung der Stabachse an. - Es treten keine
plötzlichen Querschnittsänderungen auf.
Schwerpunkt S
Fläche A
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bettschen - Seite 7
Übungen zu Druck- und Zugspannungen
a: Tragfähigkeit eines Zugstabes aus Baustahl Gesucht:
Bemessungswert der Zugkraft von einem Rundstahl Durchmesser 16 mm
aus Baustahl S235 ?
Lösung:
b: Druckspannung in Betonpfeiler Auf einen gedrungenen
Betonpfeiler aus Normalbeton C25/30 von 40/40 cm Querschnittsfläche
wirkt eine Druckkraft Fd = 1’800 kN. Genügen diese Abmessungen ?
(Bemessungswert der Druckfestigkeit fc,d = 16.5 N/mm2 )
Lösung
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bettschen - Seite 8
c : Fundament bei zentrischer Belastung Auf ein Einzelfundament
wirkt eine zentrische Druckkraft von Nd = 910 kN. Wie gross muss
die Fundamentfläche sein, wenn der Bemessungswert der
zulässigen
Bodenpressung mit σd = 240 kN/m2 angenommen wird?
Lösung
d : Zugarmierung in einem Unterzug In einem Unterzug muss die
Zugkraft durch die Bewehrung aus B500 aufgenommen werden. Wie viele
Armierungsstäbe mit Durchmesser 16 mm sind erforderlich, wenn der
gerechnete Bemessungswert der Zugkraft Zd = 340 kN beträgt?.
Lösung
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5) Formänderung und Formänderungsgesetze
a) Elastizität und Plastizität
Ein Körper wird durch eine Zugkraft gedehnt und durch eine
Druckkraft gestaucht.
Ein Stoff verhält sich elastisch, wenn er nach der Entlastung
seine ursprüngliche Gestalt
und damit seine ursprüngliche Länge wieder einnimmt. Die
Eigenschaft der Elastizität besitzen die Baustoffe vielfach nur bis
zu einer je nach Material verschiedener Grenze der Belastung. Bei
darüber hinausgehenden Belastungen treten auch Formänderungen auf,
die nach der
Entlastung als bleibende oder plastische Formänderungen bestehen
bleiben. Der Baustoff verhält sich in diesem Belastungsbereich
teils elastisch, teils plastisch.
Plastisches Verhalten wird auch als Plastizität bezeichnet.
Elastisches Verhalten
Plastisches Vehalten
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bettschen - Seite 10
b) Das Spannungs- Dehnungsdiagramm
Um die Zusammenhänge zwischen Belastung und Dehnung anzugeben,
kann man für jeden Baustoff ein Spannungs- Dehnungsdiagramm
aufstellen. Wenn zum Beispiel ein Probestab auf der
Zerreissmaschine geprüft wird, zeichnet eine sich drehende Trommel
selbständig auf der Ordinatenachse die Kraft F und auf der
Abszissenachse die Verlängerung l auf. Um nun allgemeingültige,
von der Querschnittsfläche des Probestabes unabhängige, Ergebnisse
zu erhalten, geht man von Kraft und Verlängerung auf bezogene
Grössen über. Man teilt die Kraft durch die ursprüngliche
Querschnittsfläche Ao und erhält dadurch
auf der Ordinatenachse die Spannung = F / Ao ; die Verlängerung
wird durch die
ursprüngliche Länge l geteilt, wodurch sich die einheitslose
Dehnung = l / l ergibt. Sie ist bei gezogenen Körpern positiv, bei
gedrückten negativ, ihr Vorzeichen entspricht also
dem Vorzeichen der Normalspannung.
Spannungs - Dehnungsdiagramm
Bis zum Punkt P verläuft die Linie geradlinig. Es besteht auf
dieser Strecke zwischen den Dehnungen und Spannungen
Verhältnisgleichheit ( Proportionalität).
Die Spannungen im Punkt P bezeichnet man als
Proportionalitätsgrenze. Bis zum Punkt E wachsen die Dehnungen
etwas schneller als die Spannungen, die Linie krümmt sich leicht,
und bei einer Entlastung ergeben sich bereits kleine bleibende
Formänderungen. Bis zu einer Dehnung von 0.01 % kann aber noch
praktisch elastisches Verhalten
angenommen werden, deshalb wird dieser Punkt E als
Elastizitätsgrenze bezeichnet. Nach Erreichen des Punktes S dehnt
sich der Körper ohne das eine weitere Laststeigerung nötig ist. Der
Stab streckt sich, der Stahl zum Beispiel fliesst.
Man nennt die Spannung an dieser Stelle S Fliessgrenze ( beim
Zugversuch Streckgrenze, beim Druckversuch Quetschgrenze). In
diesem Bereich gehen die Dehnungen nicht mehr ganz zurück, der Stab
ist plastisch verformt worden. Beim Stahl kann nach einer gewissen
Streckung die Last noch einmal gesteigert werden (
Wiederverfestigung). Im Punkt B ist die Höchstlast erreicht, an
irgendeiner schwachen Stelle wird sogar bei jetzt etwas sinkender
Last der Stab zerrissen.
Die Bruchspannung berechnet man nach der Höchstlast z = Fmax /
Ao.
Die bis zum Bruch eintretende plastische Verformung nennt man
die Bruchdehnung .
Z =
F m
ax /
A o
Bru
ch
0
S E
P
Bruchdehnung
elast
isch
er
Ber
eich
pla
stis
cher
Ber
eich
0
.01
S
= l / lo (
)
=
F
/ A
-
Grundlagen Statik/Festigkeitslehre - Festigkeitslehre - göpf
bettschen - Seite 11 Das Spannungs- Dehnungsdiagramm sagt sehr viel
über das Verhalten eines Baustoffes aus. 'Weiche' Materialien haben
grosse Bruchdehnung und verformen sich stark bevor sie die
Bruchgrenze erreichen. Sehr spröde Stoffe anderseits können
eventuell sehr grosse Fliessgrenzen aufweisen, dann aber fast ohne
weitere Dehnung sofort zerreißen. ( Sprödbruch).
c) Das Hook'sche Gesetz und der Elastizitätsmodul
Die Spannungs- Dehnungslinie verläuft bis zur
Proportionalitäts-grenze geradlinig, aus der Ähnlichkeit der
entstehenden Dreiecke gilt die Beziehung :
Die Dehnungen sind den Spannungen proportional.
Dieser zuerst vom englische Physiker Hooke ( 1678 )
ausgesprochene Satz wird nach ihm das Hook’sche Gesetz genannt.
Das Verhältnis tg = / wird als Elastizitätsmodul E
bezeichnet.
E = / oder = / E ( Dehnung = Spannung / E-Modul )
Der Elastizitätsmodul ist eine Werkstoffkenngrösse mit der
Einheit einer Spannung. Das Hook’sche Gesetz gilt nur bis zur
Proportionalitätsgrenze. Wegen seiner einfachen Form wird es zur
Vereinfachung der Berechnungen fast allgemein
benutzt. Es bildet die Grundlage der Elastizitätstheorie.
Einige der wichtigsten, aus Versuchen ermittelten und bei
statischen Berechnungen
zu berücksichtigende Elastizitätsmodule sind :
Baustahl E = 210’000 N/mm2
Grauguss E = 100’000 N/mm2
Nadelholz C24 und Brettschichtholz GL24h
II - Faser E = 11’000 N/mm2
┴ - Faser E = 300 N/mm2
bewehrter Beton E = 21’000 - 33’000 N/mm2
Mauerwerk aus Backsteinen E = 3’000 - 20’000 N/mm2
Mauerwerk aus natürlichen Steinen E = 6’000 - 50’000 N/mm2
S
Bru
ch
tg = / = E
2 1
2
1
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Grundlagen Statik/Festigkeitslehre - Festigkeitslehre - göpf
bettschen - Seite 12
Zusammenfassung Formeln
Beispiele:
b) Zug auf Rundstab
Ein Rundstahl S235 mit Durchmesser 16 mm (RND 16 mm) von 8.00 m
Länge wird durch eine Zuglast von 28 kN gezogen.
Wie gross wird die Längenänderung?
EA
lFll
l
l
ModulE
Spannung
E
E
Fläche
Kraft
A
F
:rungLängenände
)(:Dehnung
)nstanteMaterialko(:tsmodulElastizitä
)(:Spannung
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bettschen - Seite 13
d) Längenänderungen durch Wärmeschwankungen Temperaturänderungen
können bei grösseren Bauwerken beträchtliche Längenänderungen
bewirken ( bei Abkühlung Verkürzung, bei Erwärmung Verlängerung).
Durch bewegliche Auflager kann erreicht werden, dass nicht hohe
Zusatzspannungen entstehen.
Die bei 1 Grad Temperaturänderung eintretende Längenänderung pro
Längeneinheit
wird durch die Temperaturdehnzahl oder den
Wärmeausdehnungskoeffizient T
angegeben.
Längenänderung:
Dehnung:
Ausdehnungskoeffizenten : Einheit für T = 1 / ..
Grad
Baustahl : T = 0.000’012 ( meist T 10 -5 )
Armierungstahl + Beton : T = 0.000’010 = 10 -5
Mauerwerk aus Backstein : T = 0.000’006 = 0.6 10 -5
Holz in Faserrichtung : T = 0.000’003 bis 0.000’009
Annahmen für Temperaturschwankungen
Bauten in Stahl und Leichtmetall : + 30 C bis - 30 C
Stahlbetonbauten : + 15 C bis - 25 C
Holzbauten - reine Holzbauten : + / - 0 C
Holzbauten - gemischte Bauweise : + 10 C bis - 5 C
Bauten aus Beton und Mauerwerk : + 10 C bis - 20 C Ähnliche
Längenänderungen wie eine Temperaturabnahme bewirkt das Schwinden
von Beton und Mörtel.
Beispiele:
a) Längenänderung durch Temperaturschwankung Eine Betonbrücke
von 30,0 m Länge erhält eine Temperaturänderung
von - 25 C bis + 15 C. Wie gross ist der Verschiebungsweg vom
beweglichen Auflager ?
tl
l
ltl
TT
T
TT
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bettschen - Seite 14
b) Längenänderungen eines Stahlstabes
Gesucht: (Antworten auf 1/10 mm genau angeben!) a) An den
ursprünglich 4.0 m langen Stab wird eine Last von 17 kN
angehängt
(Temperatur + 10 Grad C). Wie lang ist der Stab nach dem
Anhängen der Last? b) Im laufe des Tages erwärmt sich der belastete
Stab von 10 Grad C auf + 30 Grad C.
Wie lang ist der Stab jetzt?
c) Druckkraft durch behinderte Wärmeausdehnung Ein Walzprofil
HEB 300 ( A= 18’100 mm
2 ) von 6.0 m Länge erwärmt sich bei einem
Brande um 50 C. Welche Kraft wirkt auf das Auflager, wenn der
Träger beidseitig fest verankert ist ?
L = 4.0 m
Rundstab Durchmesser 12 mm, Baustahl S235
Durchmesser 20 mm
F = 17 kN
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Grundlagen Statik/Festigkeitslehre - Festigkeitslehre - göpf
bettschen - Seite 15
e) Querdehnungen
Bei Zugbeanspruchungen beobachtet man nicht nur Verlängerungen
in Richtung der Stabachse, es lassen sich rechtwinklig dazu auch
Querzusammenziehungen, Querkürzungen feststellen. Ein gezogener
Stab wird nicht nur länger, sondern gleichzeitig dünner. Umgekehrt
tritt bei Druck neben der Verkürzung eine Querschnittsvermehrung,
eine Querdehnung auf, ein gedrückter Körper wird kürzer und
dicker.
Querdehnzahlen Beton bei Zug : = 0.10 bis 0.125 Beton bei Druck:
= 0.16 bis 0.20
Stahl und Eisen: = 0.30 Blei : = 0.43
Mit zunehmender Spödigkeit nimmt ab.
elastische Stoffe : 0 < < 0.5 plastische Stoffe : =
0.5
Volumenänderung : V = ± l / l (1- 2) V ( Bei Zug
Volumenvermehrung, bei Druck Volumenverminderung)
Für plastische Stoffe ( = 0.5) wird V = 0.
f) Formänderungen durch Schubkraft
Wie wir bei den Dehnungen eine lineare Abhängigkeit von den
Normalspannungen
feststellen konnten ( = / E ), lässt sich bei den Gleitungen
Proportionalität zu den Spannungen beobachten.
Die Proportionalitätskonstante wird Schubmodul G genannt. Der
Schubmodul G ist eine Werkstoffkenngrösse, die den Zusammenhang
zwischen
Schubspannung und Winkeländerung angibt.
Durch Schubkräfte entstehen nur Verschiebungen benachbarter
Querschnitte gegeneinander. Das Ausmass dieser Schiebung oder
Gleitung
wird durch die Grösse der Winkeländerung im Bogenmass (Radiant)
ausgedrückt.
= Δz / Δ x
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bettschen - Seite 16
6) Biegespannungen
Dieser Balken wird sich unter Belastung durchbiegen, d.h. er
wird durch ein Moment beansprucht.
Am oberen Rand wird der Balken zusammengedrückt, am unteren Rand
gezogen; dazwischen befindet sich eine Faser, die weder gezogen
noch gedrückt wird, man nennt
sie die neutrale Achse oder die Spannungsnulllinie.
Um die Biegespannungen (Zug-und Druckspannungen) bei Trägern und
Balken zu berechnen, müssen wir folgende Voraussetzungen und
Annahmen treffen : - Die Höhe des Trägers ist klein gegenüber der
Länge. - Die Durchbiegungen sind so klein, dass sie auf den
Gleichgewichtszustand der
äusseren Kräfte keinen Einfluss haben ( Theorie I.Ordnung). -
Die Kräfte wirken senkrecht zur geraden Stabachse des Trägers und
verursachen
reine Biegung (Biegung mit Längskraft wird später behandelt). -
Der Träger weist einen mindestens einfachen symmetrischen
Querschnitt auf. - Die Wirkungslinien der angreifenden Kräfte
liegen in der Ebene, die durch Trägerachse und Symmetrieachse
bestimmt wird.
Nach der Hypothese von Bernoulli bleiben ebene Querschnitte auch
nach der Verformung
eben. Diese Formänderungsbedingung wurde durch Versuche
nachgewiesen und stimmt besonders gut für schlanke Stäbe.
Als Resultat der Ableitungen und Theorie zum Berechnen der
Biegespannungen erhält man die folgenden einfachen Formeln: (Auf
Ableitungen und Theorie wird hier verzichtet)
My = Iy / z → omentTrägheitsm
NullinievonFaserabsttBiegemomen .
Diese Gleichung ergibt die Biegespannung mit dem richtigen
Vorzeichen, wenn die lotrechte Koordinate z nach unten positiv,
nach oben negativ eingeführt wird.
Als weitere Vereinfachung setzt man Iy / zo = Wyo und Iy / zu =
Wyu, man nennt Wyo das
obere und Wyu das untere Widerstandsmoment des
Querschnittes.
Widerstandsmoment Berechnung von Widerstandsmomenten: Siehe
Kapitel 7/4
Mit den Widerstandsmomenten können wir nun auf einfache Weise
die
Biegerandspannungen berechnen:
Bei symmetrischen Querschnitten bezüglich der y - Achse ist Wyo
= Wyu = Wy.
also:
Wyo = Iy /zo; Wyu = Iy /zu (mm3)
= My z / Iy
o = My / Wyo u= My / Wyu
o = u = M / Wy
Zugspannungen
Druckspannungen
neutrale Achse
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Grundlagen Statik/Festigkeitslehre - Festigkeitslehre - göpf
bettschen - Seite 17 Die Biegegleichung gilt nicht für
Stahlbetonträger, da der Baustoff Beton dem Hook’schen Gesetz nicht
folgt und die Zugspannungen nur den Stahleinlagen zugewiesen
werden.
Beispiele zu Biegespannungen
a) Verteilung der Biegespannungen über den ganzen
Querschnitt.
M
Armierungsstahl
D
Z
z
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Grundlagen Statik/Festigkeitslehre - Festigkeitslehre - göpf
bettschen - Seite 18
b) Minimal erforderlicher Träger
a) Holzbalken (C24) mit Breite b = 16 cm b) Walzprofil IPE -
Reihe (S235)
c) Erlaubte Last auf Holzbalken Ein Holzbalken (Nadelholz, C24)
mit 12 / 24 cm Querschnitt wird auf zwei Stützen im Abstand l =
3.50 m aufgelegt. Mit welcher gleichmässig verteilten Last darf er
belastet werden, wenn er a) hochkant und b) liegend versetzt wird
?
2.50 m
qd = 15 kN / m’
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Grundlagen Statik/Festigkeitslehre - Festigkeitslehre - göpf
bettschen - Seite 19
7) Doppelbiegung
In vielen Fällen haben Träger ausser einer lotrechten Belastung
auch waagrechte Lasten aufzunehmen ( Erdbeben, Kranlasten,
Windkräfte, Dachpfetten).
Im Allgemeinen werden sie nach zwei senkrecht zueinander
stehenden Hauptachsen
doppelt auf Biegen, d.h. auf Doppelbiegung beansprucht.
Bei der Berechnung der zugehörigen Spannungen dürfen wir auf die
einfache Biegung zurückgreifen. Es gilt nämlich das
Superpositionsgesetz. Die Belastung qz verursacht ein Moment um die
y -Achse, das wir wie gewohnt mit My bezeichnen, die Belastung qy
erzeugt ein Moment Mz um die z -Achse.
Unter Beachtung der Vorzeichen tritt grösste Zugspannung im
obigen Beispiel in der linken unteren Ecke c, die grösste
Druckspannung in der rechten oberen Ecke a auf. Bei dem hier
betrachteten doppelsymmetrischen Querschnitt sind beide Spannungen
dem Betrage nach gleich gross, und es gilt die Formel :
Für einen beliebigen Punkt P (y,z) des Querschnittes erhalten
wir die Spannung mit Hilfe der Trägheitsmomente :
( Momente und Koordinaten mit Vorzeichen einsetzen)
cb = - da = My / Wy
cd = - ab = Mz / Wz
c = - a = My / Wy+ Mz / Wz
p = My z / Iy+ Mz y / Iz
y
z
qz
qy
c b
a d
+
+
-
-
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bettschen - Seite 20
8) Biegung mit Längskraft
Oft kommt es vor, dass eine Normalkraft nicht in der Stabachse
angreift, oder das ein Balken durch Biegemomente und Normalkraft
beansprucht wird. Beide Zustände können gemeinsam betrachtet
werden.
Greift eine Kraft aussermittig (exzentrisch) an, dann darf nicht
mehr vorausgesetzt werden, dass die Spannungen sich gleichmässig
über die Querschnittsfläche verteilen. Betrachten wir zum Beispiel
einen Stab, der durch eine exzentrisch angreifende Zugkraft N
belastet wird. Dieser Belastungszustand lässt sich zerlegen in den
mittig belasteten und den nur mit einem Moment belasteten Stab. Für
die Gesamtbelastung gelten dann auch die Summen der
Spannungszustände.
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bettschen - Seite 21
9) Schubspannungen
Wenn zwei lose aufeinander liegende Balken belastet werden,
biegt sich jeder von ihnen für sich allein durch. Ihre
Berührungsflächen verschieben sich dabei gegeneinander, weil die
Fasern mit entgegengesetzter Beanspruchung aufeinander treffen.
Die untersten Fasern des oberen Balkens erhalten die grössten
Zugspannungen des jeweiligen Querschnittes und verlängern sich
daher am meisten; sie liegen auf den obersten Fasern des unteren
Balkens, die die grössten Druckspannungen erhalten und sich deshalb
am stärksten verkürzen. Die gegenseitige Verschiebungen der Balken
sind an den Auflagern am grössten und nehmen bis zur Stelle des
Maximalmomentes allmählich auf Null ab.
Um die Tragfähigkeit dieser zwei einzelnen Balken zu erhöhen,
können sie miteinander zu einem einzigen Balken verbunden werden.
Die Verbindung aus Nägeln, Dübeln, Bolzen oder Leim muss dann eine
in Richtung der
Stabachse wirkende Längsschubkraft T aufnehmen. Diese
Längsschubkräfte sind aber auch bei einheitlichen Balken vorhanden.
In den
Längsfasern entstehen jetzt die Längsschubspannungen n, die die
Schubfestigkeit des betreffenden Baustoffes nicht überschreiten
dürfen, damit keine Trennung der Fasern eintritt.
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Grundlagen Statik/Festigkeitslehre - Festigkeitslehre - göpf
bettschen - Seite 22
Gleichheit der Schubspannungen auf horizontalen und vertikalen
Schnitten
Wenn man einen sehr kleinen Würfel aus einem Balken auf der Höhe
der Nulllinie herausschneidet, so ergibt sich zunächst aus den
beiden Gleichgewichtsbedingungen Summe H = 0 und Summe V = 0, dass
die Schubspannungen in den gegenüberliegenden Flächen
entgegengesetzt gleich gross sein müssen. Aus der Bedingung Summe M
= 0 folgt weiter, dass die Momente der Kräftepaare
entgegengesetzt gleich sind und also h = v ist.
In jedem Punkt eines Balkens ist also die waagrechte
Längsschubspannung h gleich der
lotrechten Querschubspannung v.
Die Querschubspannungen sind wie die Längsschubspannungen
nicht
gleichmässig über die Querschnittsfläche verteilt; sie erreichen
bei konstanter
Querschnittsbreite in der Nulllinie ihren Grösstwert und nehmen
bis zu den
äussersten Fasern auf Null ab.
Bezogen auf die Würfelkante haben h und v immer dieselbe
Richtung; entweder weisen sie zur betreffenden Kante hin oder sind
von ihr weggerichtet.
Als Resultat der Ableitungen und Theorie zum Berechnen der
Schubspannungen
erhält man die folgenden einfachen Formeln: (Auf die Ableitungen
und Theorie wird hier verzichtet)
IbSV
V = Querkraft
S = statisches Moment (Statisches Moment siehe Kap. 7/5)
B = Breite b
I = Trägheitsmoment
A ho
hu vl
vr
H = 0 = hoxy+huxy = 0
ho = hu
H = 0 : vl= vr
MA = 0 :
=y huxy- x vrzy = 0
hu = vr
h =
v
τmax h
b
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Verteilung der Schubspannungen im Rechteckquerschnitt
allgemein : Gegeben : V , Gesucht
im Punkt B :
V S
b I
im Punkt A : S = 0 = 0 Also, für uns wichtig:
Schubspannungen beim Rechteckquerschnitt
Beispiel: Brettschichtträger 120/300mm, A = 36‘000mm2
Querkraft Vd = 19.2 kN = 19‘200 N
Maximale Schubspannung
beim Rechteckquerschnitt
τd max = 1.5 • Vd / A
Schubspannungen beim Walzprofil
Beispiel: HEA 160 S235, Schubfläche AV = 1‘321mm2 (aus
Tabelle)
Querkraft Vd = 50 kN = 50‘000 N
Maximale Schubspannung beim Walzprofil Wegen dem plastischen
Verhalten vom Baustahl darf bei Walzprofilen mit einer
gleichmässigen
Verteilung der Schubspannungen über die gesamte Schubfläche
gerechnet werden
τd = Vd / Av Früher (ältere Norm) Τd = Vd / Aw
τmax h
b
A
B
Speziell beim Rechteckquerschnitt:
12842
32 hbI
hbhb
hS
max3
2
5.12
3
8
12
A
V
hb
V
hbb
hbV
Max. Schubspannung beim Rechteckquerschnitt max5.1 A
V
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Beispiel: Doppel –T- Querschnitt V = 19.2 kN Dieses Beipiel
dient nur zur Information und gehört nicht zum Pflichtstoff
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10) Zusammenfassung Werte und Formeln aus Kapitel 8:
Beispiele für Lastbeiwerte: (aus Norm Einwirkungen) Lastbeiwert
für Nutzlast γQ = 1.5 Lastbeiwert für ständige Last und
Eigengewicht γG = 1.35
Bemessungswerte des Tragwiderstandes Rd (Genaue Angaben : siehe
entsprechende Normenwerke )
SIA 265) Holzbau
Nadelholz, C24 Biegung fm,d = 14 N/mm2
Zug parallel zur Faser ft,0,d = 8 N/mm2 Druck parallel zur Faser
fc,0,d = 12 N/mm2
Druck senkrecht zur Faser fc,90,d = 1.8 N/mm2
Schub fv,d = 1.5 N/mm2
Buche, Eiche, D30 Druck senkrecht zur Faser fc,90,d = 5.3
N/mm2
Brettschichtholz aus Nadelholz, GL24h Biegung fm,d = 16
N/mm2
Zug parallel zur Faser ft,0,d = 12 N/mm2 Druck parallel zur
Faser fc,0,d = 14.5 N/mm2
Druck senkrecht zur Faser fc,90,d = 1.9 N/mm2
Schub fv,d = 1.8 N/mm2
SIA 263) Stahlbau
Stahl S235 Biegung und Zug fd = 224 N/mm2
Schub τ,d = 129 N/mm2
Stahl S355 Biegung und Zug fd = 338 N/mm2
Schub τ,d = 195 N/mm2
SIA 262) Betonbau Normalbeton C20/25 Druckfestigkeit fc,d = 13.5
N/mm2
Normalbeton C25/30 Druckfestigkeit fc,d = 16.5 N/mm2
Betonstahl B500 Zugfestigkeit fs,d = 435 N/mm2
Spannstahl z.B.Y1670 Zugfestigkeit fp,d = 1250 N/mm2
Elastizitätsmodule:
Baustahl E = 210’000 N/mm2
Grauguss E = 100’000 N/mm2
Nadelholz C24 und Brettschichtholz GL24h
II - Faser E = 11’000 N/mm2
┴ - Faser E = 300 N/mm2
bewehrter Beton E = 21’000 - 33’000 N/mm2
Mauerwerk aus Backsteinen E = 3’000 - 20’000 N/mm2
Mauerwerk aus natürlichen Steinen E = 6’000 - 50’000 N/mm2
EA
lFll
l
l
ModulE
Spannung
E
E
Fläche
Kraft
A
F
:rungLängenände
)(:Dehnung
)nstanteMaterialko(:tsmodulElastizitä
)(:Spannung
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