(8) Energía Específica

Universidad Católica Andrés BelloUniversidad Católica Andrés BelloEscuela de Ingeniería CivilEscuela de Ingeniería CivilHidráulica de ConduccionesHidráulica de Conducciones

Aplicación de la Ecuación de Bernoulli:Aplicación de la Ecuación de Bernoulli:Aplicación de la Ecuación de Bernoulli:Aplicación de la Ecuación de Bernoulli:

Energía EspecíficaEnergía Específica

María de los Ángeles Toscano DíazMaría de los Ángeles Toscano Díaz

Universidad Católica Andrés Bello Escuela de Ingeniería CivilHidráulica de Conducciones Contenido

1 E í E ífi

Contenido1. Energía Específica.

2. Condiciones críticas de flujo.

2.1 Condiciones críticas y caudal constante.y

2.2 Condiciones críticas y energía específica constante.

3. Relación entre la altura total, energía específica y la geometría de lasuperficiesuperficie.

3.1 Variación del perfil del agua en transiciones prismáticas concambios en la energía específica y caudal constante.

3.2 Variación del perfil del agua en transiciones No prismáticas concambios en la energía específica y caudal constante.

4. Diagrama de Energía Específica.

Universidad Católica Andrés Bello – Escuela de Ingeniería Civil – Hidráulica de Conducciones

5. Aplicaciones.

Universidad Católica Andrés Bello Escuela de Ingeniería CivilHidráulica de Conducciones

1. Energía Específica

Se define como la energía del flujo por unidad de peso en una sección particular deSe define como la energía del flujo por unidad de peso, en una sección particular de un canal.

gV

yE2

2

+= 1g2

La energía específica se modifica a lo largo de un canal debido a los cambios de elevación de fondo y a las pérdidas de energía. Por ejemplo:

1. Para el caso de flujo uniforme, tanto la profundidad del agua, la carga velocidad y, por lo tanto, la energía específica, dependen de la pendiente de fondo del canal.

QE


So


2. En un canal con una elevación localizada de la cota de fondo, la variación de laenergía específica está principalmente asociada con la alteración geométrica, y se

d ifi t l dif t di t i t l lí d lt t t l lpone de manifiesto por las diferentes distancias entre la línea de altura total y elfondo del canal.

LATLAT

E2

E1

Q

E1



C di i íti d fl j2.1 Condiciones críticas y caudal constante

En los ejemplos 1 y 2 mostrados anteriormente se demostró que para un valor

2. Condiciones críticas de flujo

En los ejemplos 1 y 2 mostrados anteriormente se demostró que para un valorconstante de Q pueden verificarse diversos valores de la energía específica.

Resulta interesante investigar la posibilidad de que en un canal dado, pueda existirun valor mínimo de E por debajo del cual la circulación del gasto Q es incompatibleu a o o de po debajo de cua a c cu ac ó de gas o Q es co pa b econ los factores hidráulicos y geométricos que gobiernan el movimiento del agua ental sección.

En tal sentido, consideremos 1:2Q

yE +=,

Manteniendo Q constante y derivando respecto de y:

22gAyE +=

dygA

dAQ

dy

dE3

2

1−=


dygAdy


Sustituyendo obtenemos:2

1TQdE

−=

TdydA =

Igualando la derivada a cero obtenemos los valores extremos de E, asociados a lasiguiente relación:

31

gAdy−=

siguiente relación:

TA

gQ 32

= 2

Si se deriva por segunda vez la ecuación 1 se obtiene una expresión cuyo signonegativo pone en evidencia la factibilidad de un valor mínimo de la Energía.

Cuando en una sección de un canal de cierta geometría, el caudal fluye con elmínimo valor hidráulicamente posible de la energía específica, se verifica la relación2 di l di i l lt d l íti


2, y se dice que las condiciones y la altura del agua son críticas.


2.1.1 Altura Crítica de las secciones de geometría más comunes:

• Sección RectangularSección Rectangular

y

bQq =Partiendo de:

Caudal unitario:

Ancho de la superficie libre: yAT =

La energía mínima asociada se obtiene al sustituir 3 en la ecuación 1:

b

Ancho de la superficie libre:

La ecuación 2 puede escribirse como: 3 2 gqyc =yAT =

3


cyE23

min = 42

Carga velocidad:22

2cy

gV

= 5


g


• Sección Triangular Simétrica

1

2zyA =Partiendo de:

Área:

Ancho de la superficie libre: yzT 2

T

1 yAncho de la superficie libre:

La ecuación 2 puede escribirse como: 51

2

22⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

gzQ

yc

yzT 2=

6

zz

⎦⎣ g

E5

7


cyE4min = 7

Carga velocidad:2

cyV= 8


Carga velocidad:42g

= 8


• Sección Trapezoidal Simétrica

Partiendo de:T

1

gQZ =Partiendo de:

Parámetro Z:

La ecuación 2 puede escribirse como: 21

23

TA

g

QZ c==

z

1

z

y

Para un canal trapecial:

Área:

b

( )zybyA += ( )[ ] 23zyby +Área:

Ancho de la superficie libre:

( )ccc zybyA +

czybT 2+=( )[ ]

( ) 212 c

cc

zyb

zybyZ

++

=

( )[ ] 23Multiplicando y dividiendo por b2: ( )[ ]

( ) 21

23

5.2 21

1

byz

bybyzbZ

c

cc

++

=

Esta ecuación permite calcular si se conoce para un valor especificado de laby 5.2bZ

9


Esta ecuación permite calcular si se conoce para un valor especificado de lainclinación z de los taludes. (Gráficos 1 -6 del libro “Elementos de Hidráulica de Canales”,Manuel Vicente Méndez).

byc bZ


Por ejemplo: Gráficos 1 y 2 del libro “Elementos de Hidráulica de Canales”Por ejemplo: Gráficos 1 y 2 del libro “Elementos de Hidráulica de Canales”, Manuel Vicente Méndez



• Sección Circular

Área correspondiente a yc: ( ) 2

81

dsenAc θθ −=T

2θdsenT =Ancho de la superficie libre:

Perímetro mojado:

8

θyc

d2dP θ=

La ecuación 2 puede escribirse como:

( )2cos12 cc

dy θ−=10

( )28 2123

23

5.2cc

sensen

dZ

θθθ −

= 11228 csend θ

La ecuación 10 permite calcular si se conoce para un diámetro específico del canald 52dZLa ecuación 10 permite calcular si se conoce para un diámetro específico del canal.(Gráfico 7 del libro “Elementos de Hidráulica de Canales”, Manuel Vicente Méndez).

dyc5.2dZ



Gráfico 7 del libro “Elementos de Hidráulica de Canales”, Manuel Vicente Méndez

dyModificar en el libro dycModificar en el libro



2.1.2 Sección Crítica (canal rectangular)

La sección crítica puede entenderse con la siguiente analogía:

Imaginemos que empezamos a modificar la geometría de un canal manteniendo un valor deImaginemos que empezamos a modificar la geometría de un canal, manteniendo un valor deenergía específica, de tal forma que las condiciones del régimen llegan a ser críticas.

b bQPlantaPara una sección rectangular, aquelvalor para el cual la energía mínimaob cbQ

y Eo

Planta

Perfil

valor para el cual la energía mínimallega a ser igual a la energía Eo,recibe el nombre de ancho crítico yse define como:

yc Eo

Ec = 1.5yc

0 1

co yEE23

min ==

2321 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

o

c

Eg

Qb

2123

32

gEbQ

o ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=3 2 gqyc =

Como:

⇒ ⇒ 12


3⎟⎠

⎜⎝

og3bc ⎠⎝


2.2 Condiciones críticas y energía específica constante

A partir de la ecuación 1, y manteniendo constante la energía específica en unasección de un canal de geometría definida puede demostrarse que el caudal serásección de un canal de geometría definida, puede demostrarse que el caudal serámáximo cuando las condiciones de flujo sean críticas.

En tal sentido consideremos 1:2Q

yE +=En tal sentido, consideremos 1:

Manteniendo E constande y derivando respecto de y:

22gAyE +=

dydA

gAQ

dydQ

gAQ

3

2

210 −+=

Sustituyendo obtenemos:TdydA =2

10TQdQQ

+


3210gAdygA

−+=


La factibilidad de que el caudal Q posea un valor extremo, en este caso máximo, secomprueba siempre que anulando la derivada se obtenga una expresióncon sentido físico e hidráulico.

dydQ

La expresión resultante es:

AQ 322TQdQQ0

TA

gQ 3

=3210gA

TQdydQ

gAQ

−+= ⇒ 2

La importancia práctica de estos resultados se verá con detalle a lo largo del curso.



3. Relación entre la altura total, energía específica y la geometría de la superficie.

De acuerdo a la definición de energía específica, se puede escribir:

zEH +=Derivando respecto de x, que corresponde con la dirección del movimiento:

ddz

ddE

ddH

+= 13

Donde:dxdxdx

dxdH Gradiente de la línea de altura total. Este término es el responsable del efecto de resistencia al movimiento debido a la fricción.

En estructuras de pequeña longitud, que modifican de forma gradual la geometría de lassecciones (flujo GV) este efecto puede ignorarse (pérdidas por fricción).

Adicionalmente, las pérdidas localizadas que se generan en las zonas de separación de la


capa límite son tan pequeñas que pueden ser ignoradas también, sin que esto genere erroressignificativos en los cálculos de perfiles de agua.


3.1 Variación del perfil del agua en transiciones prismáticas con cambios en la energía específica y caudal constante.

C id d l lt t t l t t d l i 1 13 btiConsiderando la altura total constante, de las ecuaciones 1 y 13 se obtiene:

⎞⎛ 22

2

2gAQ

yE +=

dxdz

gAQ

ydxd

dxdH

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 2

2

2

2gA

dxdz

dxdE

dxdH

+=⇒ 0=+

dxdz

dxdy

dxdE

03

2

=+−dxdy

dxdy

dydA

gAQ

dxdz

2 ddTQddxdxdygAdx

dydAT =03

2

=+−dxdy

dxdy

gATQ

dxdz

14



Sabemos que el número de Froude se define como:

V Q

gy

VF = ⇒

yAT =

gyA

QF =

En términos del ancho de la superficie de agua:

TAgA

QF = ⇒ 3

22

gATQ

F = 15

Finalmente, incluyendo este resultado en la ecuación 14:

( ) 01 2 =−+dy

Fdz

16( ) 01+dx

Fdx



De la ecuación 16 se derivan los siguientes resultados:

161+dxdz

F 16

Para 0>dxdz

1+=dxdy

F

La elevación del fondo se incrementa en la dirección del flujo, equivalente a una disminuciónde la energía específica. El signo de la variación de la superficie de agua será:dxdy

(+) Régimen Supercrítico

(-) Régimen Subcrítico

0<dxdzPara

La elevación del fondo disminuye en la dirección del flujo, equivalente un incremento de laenergía específica. El signo de la variación de la superficie de agua será:

(+) Régimen Subcrítico

dxdy


(-) Régimen Supercrítico


3.2 Variación del perfil del agua en transiciones No prismáticas con cambios en la energía específica y caudal constante.

C id h t i i d l l bi t i iConsideremos ahora transiciones graduales en canales, bien sea contracciones o expansiones,con fondo horizontal. Adicionalmente ignoraremos las pérdidas de energía con el fin deconservar el paralelismo entre la LAT y el fondo, lo cual es indicativo de la constancia de laenergía específica:

cttegAQ

yE =+= 2

2

2

Derivando respecto de x: 02 dAQdy

Revisar clase de flujo en canales abiertos – Flujo GV

Derivando respecto de x: 03 =−dxgA

Qdxy

En términos del número de Froude, utilizando la ecuación:A

ddy

TddA

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

+=

Que es aplicable en régimen permanente se obtiene:

( ) 012

2 =⎥⎤

⎢⎡∂AF

Fdy

ctteyxdxdx =⎥⎦⎢⎣ ∂

17 Como los contornos sólidos no son paralelos al


( ) 01 =⎥⎦⎢⎣ ∂−−

=ctteyxTF

dx17 Como los contornos sólidos no son paralelos al

eje longitudinal del canal, este término no se puede anular.


De la ecuación 17 se derivan los siguientes resultados:

Expansión0>⎥⎤

⎢⎡∂A Contracción0<⎥

⎤⎢⎡∂Ap

F>1 Régimen Supercrítico

F<1 Ré i S b íti

0>⎥⎦⎢⎣ ∂ =ctteyx

0<dxdy

0>dd

F>1 Régimen Supercrítico

F<1 Ré i S b íti

0>dxdy

0<dd

0<⎥⎦⎢⎣ ∂ =ctteyx

F<1 Régimen Subcrítico0>dxdy

Q b b20>dxdb Q b b2

0<dxdb

F<1 Régimen Subcrítico0<dxdy

Q b1b2

Q b1b2

0<dxdy

F<1

F>10<dxdy

0>dxdyF<1

F>1

0<dxdy

0>dxdy



4. Diagrama de Energía EspecíficaEn general, la energía específica se estudia como una función de la profundidad delfl j E i t t áfi t l l ió f(E) t lflujo. Es conveniente representar gráficamente la relación y = f(E), tal como semuestra en la figura.

y

1. Para un flujo tranquilo y lento, la velocidades baja y la profundidad de flujo es grandePendiente 1:1

Interpretación

es baja y la profundidad de flujo es grande.El término de energía cinética es muypequeño y la energía específica tiende a laprofundidad del flujo (asíntota y = E).

Pendiente 1:1

C di i d

Rama subcrítica

p j ( y )Condiciones de flujo críticas

Rama supercríticayc


EEmin


2. Para un flujo rápido, la velocidad del flujo es alta y la profundidad de flujo es pequeña. Teóricamente el término de energía específica tiende a infinito cuando l f did d ti d 0 ( í t t 0)

3. Tal como se indica, para alturas de

la profundidad tiende a 0 (asíntota y = 0).

agua mayores que la críticacorresponderán regímenes subcríticos ysupercríticos si son inferiores.

y

4. Para un valor dado de energíaespecífica, por ejemplo E1, un caudal Qpuede verificarse según dos alturas deagua y1 e y´1 una de ellas es subcrítica y

Rama subcrítica

y1

V2/2g

.agua y1 e y 1 una de ellas es subcrítica yla otra supercrítica, que se denominanentre sí Alturas Alternas.Rama supercrítica

yc y1

y´1

.


EEmin


5. Si en una transición de un canal se modifican el caudal y/o la geometría delas secciones de flujo, en el diagrama (E, y) se obtendrán una serie de curvas,cada una de ellas paramétricas en el gasto y/o en la geometría que lecada una de ellas paramétricas en el gasto y/o en la geometría que lecorresponda, tal como se muestra:

T d l

2QyE +=

yTomando una curva azul comoreferencia, si se mantiene el caudal y laprofundidad constante y se presenta unacontracción en el flujo, entonces E

22gAyE +

j ,aumenta en esa dirección. Las curvassucesivas aguas abajo se ubicarán a laderecha de la misma.

Si se trata de expansiones, las curvasrepresentativas se localizarán a laizquierda.


E


Algunas conclusiones se presentan mediante los siguientes ejemplos:

• La trayectoria a, corresponde a una contracción en régimen subcrítico, asociado a unadisminución de la profundidad del aguadisminución de la profundidad del agua.

• La trayectoria b, corresponde a una contracción en régimen supercrítico.

2QyE +

y

c

• La trayectoria c, corresponde a unaexpansión en régimen subcrítico.

•Si los puntos 1, 2, 3, y 4 representan

22gAQ

yE +=

c

a

p , , , y pprogresivamente las condiciones de flujo enuna transición de un canal rectangular dondese ignoran pérdidas de energía, entonces lacota de fondo del canal disminuye (el flujo se

b

V2/2g 12

34

y ( jacelera) y el ancho del canal va aumentando(expansión). El régimen se mantienesupercrítico.


E


5. Aplicaciones1. Supongamos una transición como la que se muestra, se pide aplicar cualitativamente eldi d í ífi d t i l t í ti d l fl jdiagrama de energía específica para determinar las características del flujo.

a) Suponiendo flujo inicial subcrítico

1 2y V1

2/2g

y1

Δz

y2

a.. V22/2g

b

Δz

Δz

Suponiendo hf = 0

E

.b´



b) Suponiendo flujo inicial supercrítico

y

1 2 .b´

y1

y2

V12/2g a..V2

2/2gb

ΔzΔz

Suponiendo hf = 0

E



2. Ahora supongamos una contracción tal como se muestra en la figura, se pide aplicarcualitativamente el diagrama de energía específica para determinar las características delflujo.

y

..1 2 3

1

2

.. b2<b11´

2´

E

.b1

b2<b1

3. Revisar el aparte 3.6 del libro “Elemento de Hidráulica de Canales” de Manuel Vicente


3. Revisar el aparte 3.6 del libro Elemento de Hidráulica de Canales de Manuel VicenteMéndez.


FIN


(8) Energía Específica

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manuel vicente

derivando

si se conoce

energa especfica

la trayectoria

por ejemplo

energa especfica

partiendo