Autor: Cludia Menino Responsvel: Prof. A. B. de Almeida
Hidrodinmica: Fluidos Perfeitos e Escoamentos (mdulo 8)Sumrio:
SumCascata de modelos de HidrodinmicaModelo de Fluido Perfeito
Equaes de Euler
2 Forma do Teorema de Bernoulli (lquidos perfeitos) Linhas
piezomtrica e de energiaPiezmetro e tubo de Pitot
Teorema de Bernoulli aplicado a lquidos reais Frmula de
Torricelli Jactos lquidos na atmosfera Vrtices Escoamentos
IrrotacionaisTeorema de Bernoulli 3 Forma
Cascata de modelos da hidrodinmicaEq. da Continuidade Equaes de
Cauchy Eq da Q.de Movimento (Eq. Da Energia) Modelo Geral Fluido
incompressvel Fluido Newtoniano Eq. de Navier - Stokes Modelos
Simplificados Fluido perfeito Escoamento irrotacional
Fluido perfeito (incompressvel e no viscoso)
Eq. de Euler
Eq. de Laplace
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Cascata de modelos da hidrodinmica1 Modelo simplificado de
Fluido Perfeito Perfeito Em muitas situaes razovel desprezar o
efeito da viscosidade (tenses tangenciais). Ao anular a viscosidade
nas equaes de Navier-Stokes desaparece o efeito das tenses
tangenciais. As partculas de fluido ficam sujeitas unicamente aco
das foras normais (presses) e as equaes da quantidade de movimento
(equaes de Navier-Stokes) transformam-se nas Equaes de Euler.3
Fluido Perfeito Eq. de Euler1 Equaes de Euler Equa Hipteses
simplificativasIncompressibilidade No h viscosidade( div V = 0)
( = 0)
Equaes de Navier Stokes
Eq. de Euler (1755)
dV = g grad p dtpeso Resultante da presso
Fora de Inrcia total
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Hidrodinmica forma diferencialFluido PerfeitoA equao de Euler
pode ser modificada tendo em conta a caracterizao do campo
gravticoh=z
g = g grad hAcelerao da gravidade
grad h
g
Trocando a posio de alguns dos seus membros ter-se-:
dv dt
= g grad p grad p + g grad h = p
dv dt
grad (
+ h) =
a 1 dv = g g dtNota :
dv v = + (v .grad ) v dt dt5
(acelerao total ou material)
Hidrodinmica forma diferencialFluido PerfeitoDesenvolvendo as
expresses, obtm-se: p 1 dvx + h = x g dt p 1 dv y + h = y g dt p 1
dvz + h = z g dt
As equaes de Euler podem ser escritas em coordenadas intrnsecas.
Estas coordenadas so definidas em cada ponto da trajectria de uma
partcula por um sistema de eixos ortonormados com os seguintes
versores:
s is segundo a tan gente trajectria n in segundo a normal a v e
a s , no plano osculador da trajectria, dirigida para centro de
curvatura da trajectria
v
b
isn
b s
inn
b = ib , vector normal ao plano osculador, definido pelos
vectores s e n
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Hidrodinmica forma diferencialFluido PerfeitoTendo em conta as
coordenadas intrnsecas e admitindo que as trajectrias no se
modificam com o tempo, as equaes de Euler podem ser escritas do
seguinte modo:
vb
is
v = v iS e vn = vb = 0, obtendo se 1 v p v ( + h) = + v s g t s
p 1 v2 ( + h) = n g r e
inn
r raio de curvatura da trajectriaV
rCentro de curvatura7
Hidrodinmica forma diferencialFluido Perfeito 2 FormaEquao de
Euler segundo a direco segundo s da trajectria
p 1 v 1 v ( + h) = v s g t g s1 v 2 2 s
O que permite obter a expresso da variao de carga hidrulica H 2
Forma do Teorema de Bernoulli, ao longo Bernoulli de cada
trajectria de acordo com o modelo de fluido perfeito
p v2 1 v ( +h+ )= s 2g g tH8
Hidrodinmica forma diferencialFluido Perfeito 2 Forma do teorema
de Bernoulli
p v2 1 v ( +h+ ) = s 2g g tA 2 forma do Teorema de Bernoulli
aplica-se aos escoamentos consistentes com a hiptese simplificativa
dos fluidos perfeitosEscoamentos permanentes
v , = 0 e div v = 0 =0 t p v2 ( +h+ ) =0 2g s v2 +h+ = cte 2g
pConcluso: nos escoamentos de fluidos perfeitos a carga hidrulica
mantm-se constante ao longo de cada trajectria9
Teorema de Bernoulli para fluidos perfeitosMas ento e o que
significam as vrias parcelas da expresso referida?
zp
V2 2g
cota geomtrica e relao a um plano horizontal de referncia
representa a energia de posio da unidade de peso de lquido situada
cota z Altura piezomtrica representa a energia de presso da unidade
de peso de lquido submetido presso p Altura cintica corresponde
energia cintica por unidade de peso
p
+z
Cota ou carga piezomtrica
No movimento permanente de lquidos perfeitos a carga total
constante ao longo de uma trajectria (embora possa variar de
trajectria em trajectria)10
Linha piezomtrica e linha de energiaConsidere-se uma trajectria
num escoamento da qual so conhecidos, nos respectivos pontos, as
variadas cotas geomtricas em relao a um plano horizontal de
referncia e os valores correspondentes aos campos de velocidade e
de presso. Admitindo que o escoamento permanente e que o fluido
pode ser considerado como perfeito, a carga hidrulica H mantm-se
constante em todos os pontos da trajectria.Observao: A 1 Forma do
Teorema de Bernoulli aplicada a tubos de fluxo (caso particular de
um volume de controlo finito). A 2 Forma aplicada a partculas de
fluido ao longo da respectiva trajectria. Os valores das
velocidades e das presses correspondem, neste caso, aos valores dos
respectivos campos nos pontos ao longo da trajectria.11
Linha piezomtrica e linha de energia Caracterizao da carga
hidrulicaSe representarmos, na vertical de cada ponto da
trajectria, os valores p/ e (p/ + z) obteremos a linha piezomtrica
Se representarmos, a partir de uma plano horizontal de referncia os
valores (p/ + z) obteremos a cota piezomtrica ou carga piezomtrica
Se representarmos os valores V2/2g acima da linha piezomtrica
obtemos a linha de cargas totais ou linha de energia (por unidade
de peso de lquido) cujas cotas em relao ao plano de referncia
representam os valores da energia mecnica total por unidade de peso
de lquido, ou da carga total, correspondente trajectria.Observao: O
valor de H constante ao longo de cada trajectria, mas pode ser
diferente de trajectria para trajectria
H=cte
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Linha piezomtrica e linha de energiaNo caso de lquidos perfeitos
em movimento permanente a linha de energia que corresponde a uma
determinada trajectria horizontal porque a carga total constante ao
longo dessa trajectria. Observao:A linha de energia est acima da
linha piezomtrica ou coincidente com esta quando a velocidade for
nula. A linha piezomtrica pode passar abaixo da trajectria se
tomarmos como referncia presses relativas o que no acontece nunca
caso usemos presses absolutas.
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2 Forma do Teorema de BernoulliLinha de energia
Linha piezomtrica
A 2 Forma do Teorema de Bernoulli muito til na compreenso da
relao entre as trs grandezas da carga hidrulica. Considere-se uma
tubagem com seco constante e com tipogrfica z do eixo a variar com
a distncia ao reservatrio. Admitindo-se uma trajectria no interior
da tubagem (eixo da tubagem) suficientemente afastada da parede
para se considerar vlida a aproximao de fluido perfeito, a carga
hidrulica poder ser considerada constante (aproximao
simplificativa): a linha piezomtrica est localizada a uma distncia
constante da linha de energia e a altura piezomtrica ser positiva
nos trechos em que o eixo esteja abaixo deste ou negativa (inferior
presso atmosfrica) quando estiver acima. 14
Linha piezomtrica e linha de energia Piezmetro (medio da
presso)Mas ento, qual o significado fsico da cota piezomtrica?
Considere-se, para responder a esta pergunta, um tubo fino com o
topo em contacto com a atmosfera e cujo eixo normal trajectria num
ponto P, pertencente ao eixo mas na base do tubo o j conhecido tubo
Piezomtrico ou tubo de Prandtl. Piezom
A colocao deste tubo no altera a presso no ponto P uma vs que se
mantm inalterada a trajectria que passa pelo mesmo.15
Linha piezomtrica e linha de energia Piezmetro (medio da
presso)Se considerarmos um outro ponto P, muito prximo de P, mas
situado dentro do tubo, a presso deste ser igual de P
pP
+ zP =
pP '
+ zP'
zP zP '
Atendendo a que o lquido no interior do tubo se encontra em
repouso, verifica-se uma distribuio hidrosttica de presses, pelo
que se verifica:
pP'
+ zP' =
pS
+ z S = z S pois p S = p atm = 0 ( presses relativas )
sendo S um ponto da superfcie livre do lquido em contacto com a
atmosfera16
Linha piezomtrica e linha de energia PiezmetroAssim podemos
compreender como que podemos determinar as presses num fluido em
escoamento utilizando um piezmetroA cota atingida pela superfcie
livre da gua num tubo piezomtrico (zs) corresponde cota piezomtrica
na base do tubo e a distncia na vertical entre esta base e a
superfcie livre no piezmetro representa a correspondente altura
piezomtrica (relativa).
Tubo piezomtrico em laboratrio
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Linha piezomtrica e linha de energia Piezmetro e tubo de
PitotConsidere-se um tubo ligeiramente diferente do anterior: com
um ramo em ngulo recto, que colocado no ponto P da linha de
corrente do escoamento tendo a abertura dirigida para montante
donde vem o escoamento este tubo designado por tubo de Pitot
Num ponto Q no interior do tubo, junto entrada do mesmo, a
velocidade nula velocidade de estagnao e a presso maior do que a
que ocorre no ponto P, situado na mesma linha de corrente, a
montante, a uma distante pequena mas suficiente para 18 que o
escoamento no seja perturbado.
Linha piezomtrica e linha de energia Piezmetro e tubo de PitotAo
aplicarmos o teorema de Bernoulli (*) obtemos que
HP =
pP
+ zP +
VP2 pQ = + zQ 2g
o que permite concluir que a cota da superfcie livre atingida no
ramo do tubo de Pitot em contacto com a atmosfera (igual cota
piezomtrica em Q) tambm igual carga total em P, HP. Deste modo,
desprezando a pequena diferena de cotas entre P e Q, pode
afirmar-se que a energia cintica transformada em energia de presso
entre P e Q, sendo o aumento de presso em Q dado por:
pQ
pP
=
VP2 2g19
Linha piezomtrica e linha de energia Piezmetro e tubo de PitotUm
tubo de Pitot , desta forma, um dispositivo utilizado para a medio
da velocidade. Consiste em dois tubos: um para a medio da carga
total, ligado a um orifcio no extremo do perfil arredondado do ramo
inferior, e outro que se destina a medir a cota piezomtrica.
A diferena de cotas da superfcie do lquido atingidas nos dois
tubos a altura cintica V2/2g.
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Teorema de Bernoulli aplicado a Lquidos Reais com
viscosidadeQuando o escoamento apresenta efeitos relevantes da
viscosidade, o lquido dizse real, em oposio a perfeito. Em
escoamento permanente, a carga total diminui ao longo da
trajectria, no sentido do escoamento, em consequncia do trabalho
realizado pelas foras resistentes viscosas. Diz-se ento que h perda
de craga ao longo da trajectria.
A variao da cota da linha de energia na unidade de percurso (ie,
variao da energia do lquido que se escoa, nas unidades de peso e de
percurso) igual ao trabalho das foras resistentes viscosas (tambm
na unidade de peso e de percurso) o qual designado por i (perda de
carga unitria).21
Teorema de Bernoulli aplicado a Lquidos ReaisDe facto:p V2 +z+ =
i s 2g
onde o sinal (-) se justifica por H diminuir quando s aumenta. A
grandeza adimensional i designa-se por perda de carga unitria
(diminuio da carga total H por unidade de percurso ao longo da
trajectria). Integrando a equao acima entre dois pontos sobre a
mesma trajectria, 1 a montante e 2 a jusante obtm-se
H 2 H 1 = i ds H 1 H 2 = i ds1 1
2
2
e este membro representa a perda de energia por unidade de peso
(ou perda de carga) entre os pontos 1 e 2 da trajectria
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Teorema de Bernoulli aplicado Lquidos ReaisNo caso de lquidos
reais em movimento varivel necessrio introduzir o termo 1 V
g tque tambm vlido para lquidos perfeitos em movimento varivel
representa a variao na unidade de tempo da quantidade de movimento
por unidade de peso lquido. A expresso resultante da 2 Forma do
Teorema de Bernoulli a seguinte: 2
p V 1 V +z+ = J s 2g g t
aplicvel a movimentos variveis de lquidos reais ao longo de uma
trajectria23
Variao da cota piezomtrica segundo a normal s linhas de
correnteConsidere-se uma linha de corrente num escoamento
permanente de um lquido (linha de corrente coincidente com a
trajectria).
Como ser que varia a cota piezomtrica segundo a normal linha de
corrente?24
Hidrodinmica Forma Diferencial: Variao da cotapiezomtrica
segundo a normal s linhas de correnteEquao de Euler segundo a
direco n da trajectria (linha de corrente):
p 1 V2 + h = g r n
Esta equao traduz o efeito da curvatura de trajectria na
distribuio da cota piezomtrica segundo a normal. Pode concluir-se
que, no caso geral, a distribuio de presses segundo a normal
trajectria no segue a lei hidrosttica. Esta concluso muito
importante! Observao: A equao segundo a normal mantm-se vlida em
escoamentos variveis no caso das das trajectrias no se modificam
com o 25 tempo!!
Hidrodinmica Forma Diferencial: Variao da cotapiezomtrica
segundo a normal s linhas de correnteExemplo: escoamento permanente
num plano vertical
Centro de curvatura
A presso em B no obedece lei hidrosttica PBR>PBH Em
resultado: A hA PBR PBHz =0
p
h
B
hB
+ h cte
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Hidrodinmica Forma Diferencial: Variao da cota piezomtrica
segundo a direco radial s linhas de corrente Variao segundo a
direco radial r V2 p p + h = + h = gr > 0 r n
Observao: o sentido positivo da coordenada e contrrio ao sentido
positivo de n. Ento:
p p + h = + h B A
E sendo PA=Patm = 0
p > hA hB > altura de gua do escoamento B27
Variao da cota piezomtrica segundo a normal s linhas de
corrente
Para trajectrias rectilneas, o raio r infinito, logo:
p + z = 0 n ou seja, a cota piezomtrica constante segundo
qualquer linha normal s trajectrias (a presso obedece, neste caso,
lei hidrosttica de presses em superfcie normais s trajectrias).
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Variao da cota piezomtrica segundo a normal s linhas de
correnteSe, para alm de rectilneas, so paralelas, a distribuio de
presses em planos normais s trajectrias hidrosttica Se as
trajectrias forem rectilneas, mas no paralelas, a distribuio de
presses hidrosttica sobre superfcies no planas, normais s
trajectrias
Distribuio hidrosttica de presses29
Variao da cota piezomtrica segundo a normal s linhas de
correnteConcluso, para analisar o efeito da curvatura das
trajectrias sobre a lei de distribuio de presses, necessrio
considerar trs casos:a) b) c)
Trajectrias rectilneas e paralelas; Trajectrias rectilneas e
cncavas; Trajectrias rectilneas e convexas.
(Concavidade e convexidade no sentido positivo das cotas
geomtricas)
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Variao da cota piezomtrica segundo a normal s linhas de
correnteVamos considerar, para os casos a) b) e c) dois pontos a
igual distncia, y, situados na vertical que passa pelo centro de
curvatura (comum s vrias trajectrias nos casos b) e c)). Tendo em
conta a equao
p 1 V2 + z = n g r
e atendendo, nos casos b) e c) aos sentidos relativos da normal
e da cota geomtrica, verifica-se:
pA
p A'
+ zA = + z A'
+y +y +y31
pB ' p B ''
p A ''
+ zB' + z B ''
pB '
p A'
+ z A '' >
p B ''