7/31/2019 7cap 7 Metodos Con Tranformada de Laplace http://slidepdf.com/reader/full/7cap-7-metodos-con-tranformada-de-laplace 1/21 Métodos con transformada de Laplace 7.1 Transformadas de Laplace y transformadas inversas E n el capítulo 3 analizamos que las ecuaciones diferenciales con coeciente constantes tienen numerosas aplicaciones y pueden resolverse de manera siste mática. Existen, sin embargo, casos donde son preferibles los métodos alternativos del presente capítulo. Recuérdense, por ejemplo, las ecuaciones diferenciales mx 01cx91kx5F (t ) y LI 01 RI 911 C I 5 E 9(t ) correspondientes a un sistema masa-resorte-amortiguador y a un circuito RLC en serie, respectivamente. Con frecuencia ocurre en la práctica que los términos de ex citación F (t ) o E 9(t ) tienen discontinuidades —por ejemplo, cuando el voltaje sumi nistrado a un circuito eléctrico se activa o desactiva periódicamente—. En este caso los métodos del capítulo 3 pueden ser inconvenientes, por lo que resulta más adecua do el método de transformada de Laplace. El operador diferencial D puede verse como una transformación cuando se aplica a la función f (t ), a partir de la cual se obtiene la nueva función D{ f (t )} 5 f 9(t ) La transformación de Laplace l incluye la operación de integración y obtiene una nueva función l{ f (t ) 5F (s) de una nueva variable independiente s. Esta situación se muestra en el diagrama de la gura 7.1.1. Después de aprender en este apartado cómo calcular la transformada de Laplace F (s) de una función f (t ), se presentará en la sección 7.2 la forma en que la transformada de Laplace convierte una ecuación diferencial con función desconocida f (t ) en una ecuación algebraica F(s). Debido a que las ecuaciones algebraicas son generalmente más fáciles de resolver que la ecuaciones diferenciales, éste es un método que simplica el problema de encontra la solución f (t ). 7 7 441 D { f (t )} f (t ) { f (t )} F (s) f (t ) D f (t ) Figura 7.1.1. Transformación de una función: l en analogía con D.
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7/31/2019 7cap 7 Metodos Con Tranformada de Laplace
7.1 Transformadas de Laplace y transformadas inversas
En el capítulo 3 analizamos que las ecuaciones diferenciales con coecienteconstantes tienen numerosas aplicaciones y pueden resolverse de manera siste
mática. Existen, sin embargo, casos donde son preferibles los métodos alternativos
del presente capítulo. Recuérdense, por ejemplo, las ecuaciones diferenciales
mx0 1 cx9 1 kx 5 F (t ) y LI 0 1 RI 9 1 1C
I 5 E 9(t )
correspondientes a un sistema masa-resorte-amortiguador y a un circuito RLC en
serie, respectivamente. Con frecuencia ocurre en la práctica que los términos de excitación F (t ) o E 9(t ) tienen discontinuidades —por ejemplo, cuando el voltaje sumi
nistrado a un circuito eléctrico se activa o desactiva periódicamente—. En este caso
los métodos del capítulo 3 pueden ser inconvenientes, por lo que resulta más adecuado el método de transformada de Laplace.
El operador diferencial D puede verse como una transformación cuando se
aplica a la función f (t ), a partir de la cual se obtiene la nueva función D{ f (t )} 5 f 9(t )La transformación de Laplace l incluye la operación de integración y obtiene una
nueva función l{ f (t ) 5 F (s) de una nueva variable independiente s. Esta situación
se muestra en el diagrama de la gura 7.1.1. Después de aprender en este apartadocómo calcular la transformada de Laplace F (s) de una función f (t ), se presentará en
la sección 7.2 la forma en que la transformada de Laplace convierte una ecuación
diferencial con función desconocida f (t ) en una ecuación algebraica F(s). Debido a
que las ecuaciones algebraicas son generalmente más fáciles de resolver que la
ecuaciones diferenciales, éste es un método que simplica el problema de encontra
la solución f (t ).
77
441
D{ f (t )} f (t )
{ f (t )} F (s)
f (t )
D
f (t )
Figura 7.1.1. Transformación
de una función: l en analogía
con D.
7/31/2019 7cap 7 Metodos Con Tranformada de Laplace
Recuérdese que una ntel mpop en un intervalo innito está denid
como el límite de la integral en el intervalo acotado; esto es,
2a`
g(t )dt 5 límbS` 2a
b
g(t )dt . (2
Si el límite en (2) existe, entonces se dice que la integral impropia convee; de otrmanera dvee o no existe. Nótese que el integrando de la integral impropia en (1
contiene el parámetro s, además de la variable de integración t . Por tanto, cuando l
integral en (1) converge, lo hace no precisamente hacia un número, sino a la funció
F de s. Como en los siguientes ejemplos, la integral impropia de la denición dl{ f (t )} normalmente converge para algunos valores de s y diverge para otros.
Ejepl 1 Con f (t ) ; 1 para t ^ 0, la denición de la transformada de Laplace en (1) obtiene
l{1} 5 20`
e2st dt 5
−
1
se−st
∞0
5 límbS`
−
1
se−bs +
1
s
,
y por tanto
l{1} 5 1s
para s . 0. (3
Como en (3), es una buena práctica especicar el dominio de la transformada deLaplace —tanto en problemas como en ejemplos—. Además, en este cálculo se h
utilizado la abreviatura común
g(t )∞
a
5 límbS`
g(t )b
a
. (4
■
Obsevcón. El límite calculado en el ejemplo 1 no existiría si s , 0, por
que el término (1ys)e2bs estaría no acotado conforme b S 1`. Así, l{1} está denida sólo para s . 0. Esto es algo normal de las transformadas de Laplace; el domi
nio de la transformación es normalmente de la forma s . a para algún valor a.
Ejepl 2 Con f (t ) 5 eat para t ^ 0 se obtiene
l{eat } 5 20
`
e2st eat dt 5 20
`
e2(s2a)t dt 5 −
e−(s−a)t
s − a∞
t =0.
DEfinición L tsd de Lple
Dada una función f (t ) denida para toda t ^ 0, la transformada de Laplace de f esla función F denida como sigue:
➤ F (s) 5 l{ f (t )} 5 20
`
e2st f (t ) dt (1)
para todo valor de s en los cuales la integral impropia converge.
7/31/2019 7cap 7 Metodos Con Tranformada de Laplace
para toda s . 0 (de tal manera que u 5 st . 0). Debido a que G(n 1 1) 5 n! si n eun entero no negativo, se observa que
➤ l{t n} 5 n
sn
!11
para s . 0. (11
Por ejemplo
l{t } 5 12s
, l{t 2} 5 2
3s, y l{t 3} 5
64s
.
Como en los problemas 1 y 2, estas fórmulas pueden deducirse de manera inmediatde la denición sin utilizar la función gamma. ■
Linealidad de las transformadas
No es necesario realizar a fondo los cálculos de la transformada de Laplace directa
mente de la denición. Una vez que se conocen las transformadas de Laplace de
varias funciones, éstas pueden combinarse para obtener las transformadas de otrafunciones. La razón es que la transformación de Laplace es una operación lineal.
La demostración del teorema 1 es consecuencia inmediata de la linealidad d
las operaciones de límite e integración:
l{af (t ) 1 bg(t )} 5 20`
e2st [af (t ) 1 bg(t )] dt
5 límcS`20
c
e2st [af (t ) 1 bg(t )] dt
5 aa límcS`20
`
e2st f (t ) dt b 1 ba límcS`20
c
e2st g(t ) dt b 5 al{ f (t )} 1 bl{g(t )}.
Ejepl 4 El cálculo de l{t ny2} se basa en el conocido valor especial
De acuerdo con el teorema 3 de esta sección, no existen dos diferentes funcione
ambas continuas para toda t ^ 0 con la misma transformada de Laplace. Así, si F (s
es la transformada de alguna función continua f (t ), entonces f (t ) está determinada d
manera única. Esta observación permite construir la siguiente denición: si F (s) 5l{ f (t )}, entonces se llama f (t ) a la tnsfomd nves de Lplce de F (s), y s
escribe
➤ f (t ) 5 l21{F (s)}. (18
Ejepl 7 Empleando las transformadas de Laplace que se obtuvieron en los ejemplos 2, 3 y 5se observa que
l21
1
s3
5
12
t 2, l21
1
s + 2
5 e22t , l21
2
s2 + 9
5
23
sen 3t
y así sucesivamente. ■
NotacióN. FuNcioNes y sus traNsFormadas. A lo largo de este capítulo se han
representado las funciones de t con letras minúsculas. La transformada de un
función siempre se representará con la misma letra, pero mayúscula. Así, F (s) ela transformada de Laplace de f (t ), y x(t ) es la transformada inversa de Laplac
de X (s).
Una tabla de transformadas de Laplace tiene el mismo propósito que el de un
tabla de integrales. La de la gura 7.1.2 incluye las transformadas calculadas en estsección; muchas transformadas adicionales pueden obtenerse de estas básicas apli
cando varias propiedades generales de la transformación de Laplace (que se presen
tarán en secciones subsecuentes).
Funciones continuas por tramos
Como se destacó al principio de esta sección, es necesario manejar ciertos tipos de
funciones discontinuas. Se dice que la función f (t ) es contn po tmos en eintervalo acotado a % t % b siempre que [a, b] pueda subdividirse en varios subin
tervalos nitos colindantes, de tal manera que:
1. f sea continua en el interior de cada uno de estos subintervalos; y
2. f (t ) tenga un límite nito conforme t se aproxime a cada extremo de cada su
bintervalo desde su interior.
Se dice que f es continua por tramos para t ^ 0 si es continua por tramos en todo
subintervalo acotado de [0, 1`). Así, una función continua por tramos tiene sólo
discontinuidades simples (si las hubiera) y únicamente en puntos aislados. En estopuntos el valor de la función experimenta un salto nito, como se indica en la gur
7.1.3. El slto en f (t ) en el pnto c está denido como f (c1) 2 f (c2), donde
f (c1) 5 límPS01
f (c 1 P) y f (c2) 5 límPS01
f (c 2 P).
Probablemente la función continua por tramos más simple (pero discontinuaes l fncón esclón nto, cuya gráca se muestra en la gura 7.1.4. Esta fun
ción se dene como sigue:
u(t ) 5 u 0 01 0
parapara
tt
,^
,.
(19
Figura 7.1.2. Tabla breve de
ransformadas de Laplace.
f ( t) F( s)
n (n 0)
a (a > −1)
at
os kt
in kt
osh kt
inh kt
(t − a)
1
s(s > 0)
1
s2(s > 0)
n!
sn+1 (s > 0)
�(a + 1)
sa+1(s > 0)
1
s − a(s > 0)
s
s2 + k 2(s > 0)
k
s2 + k 2(s > 0)
s
s2 − k 2(s > |k |)
k
s2 − k 2(s > |k |)
e−as
s(s > 0)
en kt
enh kt
7/31/2019 7cap 7 Metodos Con Tranformada de Laplace
Debido a que u(t ) 5 1 para t ^ 0, y a que la transformada de Laplace involucra sól
valores de la función para t ^ 0, se observa inmediatamente que
l{u(t )} 5 1s
(s . 0). (20
La gráca de una función escalón unitario ua(t ) 5 u(t 2 a) se muestra en la gur
7.1.5. El salto de esta función ocurre en t 5 a en vez de en t 5 0; de manera equivalente,
ua(t ) 5 u(t 2 a) 5 u 0
1para
para
t at a
,
^
,.
(21
Ejepl 8 Encuéntresel{ua(t )} si a . 0.
Slu Comenzando con la denición de la transformada de Laplace se obtiene
l{ua(t )} 5 20
`
e2st ua(t ) dt 5 20
`
e2st dt 5 límbS`
−
e−st
s
b
t =a
;
en consecuencia,
l{ua(t )} 5
es
as2
(s . 0, a . 0). (22
■
Propiedades generales de las transformadas
Es un hecho común y corriente del cálculo que la integral
2ab
g(t ) dt
existe si g es continua por tramos en el intervalo acotado [a, b]. En consecuencia, s
f es continua por tramos para t ^ 0, se concluye que la integral
20b
e2st f (t ) dt
existe para toda b , 1`. Sin embargo, para que F (s) —el límite de esta última integral conforme b S 1`— exista, se necesita alguna condición que limite la veloci
Figura 7.1.3. Gráca de una
unción continua por tramos; los puntosellenos indican los valores de la
unción en las discontinuidades.
x
y
a b
Figura 7.1.4. Gráca de la función
escalón unitario.
u(t )
t
(0, 1)
Figura 7.1.5. La función escalón
unitario ua(t ) tiene un salto en t 5 a.
ua(t ) u(t a)
t a t
(a , 1)
7/31/2019 7cap 7 Metodos Con Tranformada de Laplace
dad de crecimiento de f (t ) conforme t S 1`. Se dice que la función f es de odenexponencl conforme t S 1` si existen constantes no negativas M , c y T tales
que
u f (t )u % Mect para t ^ T . (23
Así, una función es de orden exponencial siempre que su incremento (conforme
t S 1`) no sea más rápido que un múltiplo constante de alguna función exponencia
con un exponente lineal. Los valores particulares de M , c y T no son tan importantes
lo importante es que algunos de esos valores existan de tal manera que la condición
en (23) se satisfaga.
La condición en (23) simplemente dice que f (t )yect se encuentra entre 2 M y M
y es por tanto acotada en su valor para t sucientemente grande. En particular, esto
se cumple (con c 5 0) si f (t ) en sí misma está acotada. Por tanto, toda función aco
tada —tal como cos kt o sen kt — es de orden exponencial.
Si p(t ) es un polinomio, entonces es común que p(t )e2t S 0 a medida que
t S 1`, lo cual implica que (23) se cumple (para T sucientemente grande) con
M 5 c 5 1. En consecuencia, toda función polinomial es de orden exponencial.Como ejemplo de una función elemental que es continua y por tanto acotada en
todo intervalo (nito), pero que no es de orden exponencial, considérese la función
f (t ) 5 e t 2 5 exp(t 2). Cualquiera que sea el valor de c, se observa que
límt ct
f t
eS`
( ) 5 lím
t
t
ct
e
eS`
2
5 límtS`
e t 22ct 5 1`
debido a que t 2 2 ct S 1` a medida que t S 1`. En consecuencia, la condición en
(23) no se cumple para ningún valor (nito) de M , por lo que se concluye que la
función f (t ) 5 e t 2 no es de orden exponencial.
De manera similar, dado que e2st e t 2 S 1` conforme t S 1`, se observa quela integral impropia 10
`e2st e t 2 dt , que deniría lal{e t 2}, no existe (para ningún valor
de s) y, como resultado, la función e t 2 no tiene transformada de Laplace. El siguien
te teorema garantiza que las funciones por tramos de orden exponencial sí tienen
transformada de Laplace.
TEorEma 2 Exste de l tsd de Lple
Si la función f es continua por tramos para t ^ 0, y de orden exponencial cuando
t S 1`, entonces su transformada de Laplace F (s) 5 l{ f (t )} existe. De maneramás precisa, si f es continua por tramos y satisface la condición dada en (23), en-
tonces F (s) existe para toda s . c.
Demostración. Nótese primero que se puede considerar T 5 0 en (23). Para
una continuidad por tramos, u f (t )u es acotada en [0, T ]. Incrementando M en (23) ses necesario, se puede asumir que u f (t )u % M si 0 % t % T . Debido a que ect ^ 1 para
t ^ 0, se concluye entonces que u f (t )u % Mect para toda t ^ 0.
Un teorema estándar sobre convergencia de integrales impropias —el hecho de
que la convergencia absoluta implica convergencia— es suciente para probar que
la integral
20`
ue2st f (t )u dt
existe para s . c. Para llevar a cabo esto es suciente, a su vez, mostrar que el valor
de la integral
20`
ue2st f (t )u dt
7/31/2019 7cap 7 Metodos Con Tranformada de Laplace
ermanece acotado conforme b S 1`. Sin embargo, u f (t )u % Mect para toda t ^ 0
mplica que
20b
ue2st f (t )u dt % 20b
ue2st Mect u dt 5 M 20b
e2(s2c)t dt
% M 2
0
`
e2(s2c)t
dt 5
M
s c2
s . c. Esto comprueba el teorema 2. ▲
Hemos demostrado, además, que
uF (s)u % 20`
ue2st f (t )u dt % M
s c2(24)
s . c. Cuando se toman límites en el caso de que s S 1`, se obtiene el siguientesultado.
coroLario F( s) p ud s tiende a infnito
Si f (t ) satisface la hipótesis del teorema 2, entonces
límsS` F (s) 5 0. (25)
La condición dada en (25) limita severamente las funciones que pueden ser trans-rmadas de Laplace. Por ejemplo, la función G(s) 5 sy(s 1 1) no puede ser la transfor-
ada de Laplace de ninguna función “razonable”, porque su límite cuando s S 1` es
en lugar de 0. Por lo general, una función racional —un cociente de dos polino-
ios— puede ser (y lo es, como se verá más adelante) una transformada de Laplace
ólo si el grado de su numerador es menor que el de su denominador.Por otro lado, las hipótesis del teorema 2 son condiciones sucientes, pero no
ecesarias, para la existencia de la transformada de Laplace de f (t ). Por ejemplo, la
unción f (t ) 5 1y t falla en ser continua por tramos (en t 5 0), pero aun así (ej. 3on a 5 2
12 . 21) su transformada de Laplace
l{t 21y2} 5 G( )1
2
1 2s y 5
p
s
xiste al mismo tiempo que viola la condición dada en (24), lo que implicaría que
F (s) permaneciera acotada conforme s S 1`.
7/31/2019 7cap 7 Metodos Con Tranformada de Laplace
Así, dos funciones continuas por tramos de orden exponencial con la mism
transformada de Laplace pueden diferir únicamente en sus puntos aislados de dis
continuidad. Esto no tiene importancia en la mayoría de las aplicaciones prácticaspor lo que las transformadas inversas de Laplace pueden considerarse esencialment
únicas. En particular, dos soluciones de una ecuación diferencial deben ser continua
y por lo tanto deben representar la misma solución si ambas tienen la misma transformada de Laplace.
Not hstóc. La transformada de Laplace tiene una historia interesante. Lintegral en la denición de la transformada de Laplace probablemente apareció po
primera vez en el trabajo de Euler. Es una costumbre en matemáticas nombrar un
técnica o teorema con el nombre de las personas que sucedieron a Euler en su descubrimiento (de otra manera habría varios cientos de ejemplos diferentes de “teoremas d
Euler”). En este caso, el matemático que siguió a Euler fue el francés Pierre Simo
de Laplace (1749-1827), quien empleó estas integrales en sus trabajos de la teoría d
probabilidad. Los métodos de cálculo comunes para la resolución de ecuaciones diferenciales basadas en las transformadas de Laplace no fueron explotados por él. E
cambio, estos métodos fueron descubiertos y popularizados por los ingenieros —d
manera notable por el ingeniero eléctrico inglés Oliver Heaviside (1850-1925)—
Antes de que ser rigurosamente justicadas, estas técnicas fueron aplicadas con amplitud y éxito, y a principios del siglo xx su validez fue objeto de intensas controver
sias. Una razón es que Heaviside ingenuamente supuso la existencia de funcione
cuyas transformadas de Laplace contradicen la condición F (s)S
0 cuando sS
0, lque generó preguntas sobre el signicado y naturaleza de las funciones en matemát
cas. (Esto recuerda la manera en que Leibniz, dos siglos antes, obtuvo resultados co
rrectos en cálculo al utilizar números reales “innitamente pequeños”, y desencaden
preguntas sobre la naturaleza y el papel de los números en matemáticas.)
7.1 Problemas
Aplique la denición dada en (1) para encontrar directamente
las transformadas de Laplace de las funciones descritas (por
fórmula o grácamente) en los problemas 1 al 10.
9.
1. f (t ) = t 2. f (t ) = t 2
3. f (t ) = e3t +1 4. f (t ) = cos t
5. f ( t ) 5 senh t 6. f ( t ) 5 sen2 t
8.
10.
Utilice las transformadas de la gura 7.1.2 para encontra
las transformadas de Laplace de las funciones en los proble
mas 11 al 22. Puede necesitar una integración preliminar po
partes.
t
(1, 1)
Figura 7.1.6.
t
(1, 1)
Figura 7.1.8.
t
(0, 1)
(1, 0)
Figura 7.1.9.
t
(2, 1)(1, 1)
Figura 7.1.7.
7.
11. f (t ) t 3t 12. f (t ) 3t 5/ 2 4t 3
13. f (t ) t 2e3t 14. f (t ) t 3/ 2 e10t
15. f (t ) 1 cosh5t 16. f (t ) sen 2t cos 2t
17. f (t ) cos2 2t 18. f (t ) sen 3t cos 3t
19. f (t ) (1 + t )3 20. f (t ) tet
21. f (t ) t cos 2t 22. f (t ) senh2 3t
7/31/2019 7cap 7 Metodos Con Tranformada de Laplace
7.1 apl Transformadas y transformadas inversas a travésde sistemas de álgebra por computadora
Si f (t ) 5 t cos 3t , entonces la denición de la transformada de Laplace proporcion
la integral impropia
F (s) 5 l{ f (t )} 5 20`
te2st cos 3t dt ,
cuya evaluación requiere una tediosa integración por partes. En consecuencia, un pa
quete electrónico de álgebra con transformadas de Laplace es útil para lograr ucálculo rápido. Maple contiene el paquete de transformadas integrales inttransy los comandos
with(inttrans):
f := t*cos(3*t):
F := laplace(f, t, s);
generan inmediatamente la transformada de Laplace F (s) 5 (s2 2 9)y(s2 1 9)2; de l
misma forma proceden los comandos de Mathematica
f = t*Cos[3*t];
F = LaplaceTransform(f, t, s);
La función original f (t ) 5 t cos 3t puede recuperarse con el comando de Maple
invlaplace(F, s, t);
o con el comando de Mathematica
InverseLaplaceTransform[F, s, t]
Obsevcón. Nótese cuidadosamente el orden de s y t en los comandos arr
ba mencionados —primero t , luego s cuando se transforma; primero s, luego t cuan
do se obtiene la transformada inversa. ■
Pueden utilizarse estos comandos del sistema de álgebra por computadora par
revisar las respuestas de los problemas 11 al 32 de esta sección, así como otros delección propia.
7.2 Transformadas de problemas con valores iniciales
Se presentará ahora la aplicación de la transformada de Laplace para resolver un
ecuación diferencial lineal con coecientes constantes, tal como
ax0(t ) 1 bx9(t ) 1 cx(t ) 5 f (t ), (1
con condiciones iniciales dadas x(0) 5 x0 y x9(0) 5 x90. Mediante la linealidad de ltransformada de Laplace podemos transformar la ecuación (1) tomando de maner
separada la transformada de Laplace de cada término de la ecuación. La ecuaciótransformada es
La función f se llama sve po tmos en el intervalo acotado [a, b] s
es continua por tramos en [a, b] y derivable salvo en ciertos puntos nitos, siendo f 9(t ) continua por tramos en [a, b]. Pueden asignársele valores arbitrarios a f (t ) en lo
puntos aislados donde f es no derivable. Se dice que f es derivable por tramos para
t ^ 0 si es suave en el segmento de cada subintervalo acotado de [0, 1`). La gura
7.2.1 muestra cómo “las esquinas” de la gráca de f corresponden con discontinuidades en su derivada f 9.
La idea principal de la demostración del teorema 1 es mostrarlo mejor en ecaso en que f 9(t ) es continua (no meramente continua por tramos) para t ^ 0. Enton
ces, comenzando con la denición de l{ f 9(t )} e integrando por partes, se obtiene
l{ f 9(t )} 5 20`
e2st f 9(t ) dt 5 e−st f (t )
∞t =0
1 s 20`
e2st f (t ) dt .
Debido a (3), el término integrado e2st f (t ) tiende a cero (cuando s . c) conforme
t S 1`, y su valor en el límite inferior t 5 0 contribuye con 2 f (0) en la evaluaciónde la expresión anterior. La integral que queda es simplemente l{ f (t ); por el teore
ma 2 de la sección 7.1, la integral converge cuando s . c. Entonces, la l{ f 9(t )}existe cuando s . c, y su valor se muestra en la ecuación (4). El caso en el cual f 9(tcuenta con discontinuidades aisladas se diferirá para el nal de esta sección.
Solución de problemas con valores iniciales
Para transformar la ecuación (1) se necesita también la transformada de la segundaderivada. Si se asume que g(t ) 5 f 9(t ) satisface la hipótesis del teorema 1, entonce
éste implica que
l
{ f 0(t )} 5 l
{g9(t )} 5 sl
{g(t )} 2 g(0) 5 sl{ f 9(t )} 2 f 9(0)
5 s[sl{ f (t )} 2 f (0)] 2 f 9(0),
y así
➤ l{ f 0(t )} 5 s2 F (s) 2 s f (0) 2 f 9(0). (5
Una repetición de este cálculo da
l{ f -(t )} 5 sl{ f 0(t )} 2 f 0(0) 5 s3 F (s) 2 s2 f (0) 2 sf 9(0) 2 f 0(0). (6
Después de un número nito de pasos como éste se obtiene la siguiente extensióndel teorema 1.
TEorEma 3 Tsds de devds
Supóngase que la función f (t ) es continua y suave por tramos para t ^ 0, y que esde orden exponencial cuando t S 1`, de manera que existen constantes no nega-
tivas M , c y T tales que
u f (t )u % Mect para t ^ T . (3)
Entonces, la l{ f 9(t )} existe para s . c, y
➤ l{ f 9(t )} 5 sl{ f (t )} 2 f (0) 5 sF (s) 2 f (0). (4)
gura 7.2.1. Discontinuidades
9 que corresponden a “esquinas”
a gráca de f .
x
y
a b
x
y
a b
Función continua
Derivada continua por tramos
7/31/2019 7cap 7 Metodos Con Tranformada de Laplace
Ejepl 1 Resuélvase el problema con valores iniciales
x0 2 x9 2 6 x 5 0; x(0) 5 2, x9(0) 5 21.
Slu Con los valores iniciales dados, las ecuaciones (4) y (5) nos llevan a que
l{ x9(t )} 5 sl{ x(t )} 2 x(0) 5 sX (s) 2 2
y
l{ x0(t )} 5 s 2l{ x(t )} 2 sx(0) 2 x9(0) 5 s 2 X (s) 2 2s 1 1,
donde (de acuerdo con nuestra convención respecto de la notación) X (s) representla transformada de Laplace de la función (desconocida) x(t ). De esta manera, la ecua
ción transformada es
[s2 X (s) 2 2s 1 1] 2 [sX (s) 2 2] 2 6[ X (s)] 5 0,
la cual se simplica rápidamente en
(s2 2 s 2 6) X (s) 2 2s 1 3 5 0.
Así,
X (s) 5 2 3
6
2
s
s s
2
2 2 5
2 3
3 2
s
s s
2
2 1( )( )
.
Por el método de fracciones parciales (del cálculo integral), existen constantes A y B
tales que
2 3
3 2
s
s s
2
2 1( )( ) 5
As 2 3
1 B
s 1 2,
y al multiplicar ambos lados de esta ecuación por (s 2 3)(s 1 2) se llega a la identidad
2s 2 3 5 A(s 1 2) 1 B(s 2 3).
Si se sustituye s 5 3, se encuentra que A 5 3
5
; la sustitución de s 5 22 muestra qu
B 5 75 . Así,
X (s) 5 l{ x(t )} 5
35
3s 2 1
75
2s 1.
Como l21{1y(s 2 a)} 5 eat , se sigue que
x(t ) 5 35 e3t 1
75 e22t
es la solución del problema original con valores iniciales. Nótese que se encontró
primero la solución general de la ecuación diferencial. El método de la transformadde Laplace proporciona directamente la solución particular deseada considerando
automáticamente —por medio del teorema 1 y su corolario— las condiciones iniciales dadas. ■
coroLario Tsd de devds de de supe
Supóngase que las funciones f , f 9, f 0, …, f (n21) son continuas y suaves por tra-mos para t ^ 0, y que cada una de estas funciones satisface las condiciones dadas
en (3) con los mismos valores de M y de c. Entonces, la l{ f (n)(t )} existe cuando
s . c, y
l{ f (n)(t )} 5 snl{ f (t )} 2 sn21 f (0) 2 s n22 f 9(0) 2 p 2 f (n21)(0)
➤ 5 sn F (s) 2 s n21 f (0) 2 p 2 s f (n22)(0) 2 f (n21)(0). (7)
7/31/2019 7cap 7 Metodos Con Tranformada de Laplace
Slución Si f (t ) 5 teat , entonces f (0) 5 0 y f 9(t ) 5 eat 1 ateat . De esta manera, el teorema
proporciona
l{eat 1 ateat } 5 l{ f 9((t )} 5 sl{ f (t )} 5 sl{teat }.
Se concluye por la linealidad de la transformada que
l{eat } 1 al{teat } 5 sl{teat }.
Por tanto,
l{teat } 5 l{ }e
s a
at
2 5
12( )s a2
(15
debido a que l{eat } 5 1y(s 2 a). ■
Ejepl 5 Encuéntresel{t sen kt }.
Slución Sea f (t ) 5 t sen kt . Entonces f (0) 5 0 y
f 9(t ) 5 sen kt 1 kt cos kt .
La derivada involucra una nueva función t cos kt , de tal manera que se observa qu f 9(0) 5 0, por lo que derivamos de nuevo. El resultado es
f 0(t ) 5 2k cos kt 2 k 2t sen kt .
Pero l{ f 0(t )} 5 s2l{ f (t )} por la fórmula (5) para la transformada de la segundaderivada, y l{cos kt } 5 sy(s2 1 k 2), de tal manera que
22 2
ks
s k1 2 k 2l{t sen kt } 5 s2l{t sen kt }.
Finalmente, se resuelve esta ecuación para
l{t sen kt } 5 22 2 2
kss k( )1
. (16
Este procedimiento es considerablemente más amable que la alternativa de evaluala integral
l{t sen kt } 5 20`
te2st sen kt dt . ■
Los ejemplos 4 y 5 explotan el hecho de que f (0) 5 0, por lo que la derivacióde f corresponde a la multiplicación de su transformada por s. Es razonable espera
la operación inversa de integración (antiderivada), que corresponde a la división de latransformada entre s.
7/31/2019 7cap 7 Metodos Con Tranformada de Laplace
Demostración. Debido a que f es continua por tramos, el teorema fundamental del cálculo implica que
g(t ) 5 20t f (t) d t
es continua y que g9(t ) 5 f (t ) donde f es continua; así, g es continua y suave por tramos para t ^ 0. Más aún,
ug(t )u % 2
0
t
u f (t)u d t % M 2
0
t
ect
d t 5
M
c (ect
2 1) ,
M
c ect
,
así, g(t ) es de orden exponencial conforme t S 1`. Por tanto, se puede aplicar eteorema 1 a g; con esto se obtiene
l{ f (t )} 5 l{g9(t )} 5 sl{g(t )} 2 g(0).
Ahora g(0) 5 0, de modo que al dividir entre s obtenemos
l b20t f (t) d tr 5 l{g(t )} 5
l{ ( )} f t
s,
lo cual completa la prueba. ▲
Ejepl 6 Encuéntrese la transformada inversa de Laplace de
G(s) 5 1
2s s a( )2.
Slución En efecto, la ecuación (18) signica que se puede eliminar un factor de s del denominador, encontrar la transformada inversa del resultado que se simplica, y nal
mente integrar de 0 a t (para “corregir” el factor s faltante). Así,
l21
b1
s s a( )2 r 5
2
0
t l21
b1
s a2 r d t
5
2
0
t
eat
d t
5
1
a (eat
2
1).
Repítase la técnica para obtener
l21 b 12s s a( )2
r 5 20t l21 b 1
s s a( )2r d t 5 20
t 1a
(eat 2 1)d t
5
1
a
1
aeaτ − τ
t
0
5 1
2a(eat 2 at 2 1).
Esta técnica es con frecuencia más conveniente que el método de fracciones par
ciales para encontrar una transformada inversa de una fracción de la formaP(s)y[snQ(s)]. ■
TEorEma 2 Tnsds de inteles
Si f (t ) es una función continua por tramos para t ^ 0 y satisface la condición deorden exponencial u f (t )u % Mect para t ^ T , entonces
l b20t f (t ) d tr 5
1sl{ f (t )} 5
F s
s
( )(17)
para s . c. En forma equivalente,
l21
bF s
s
( )
r 5 20
t
f (t) d t. (18)
7/31/2019 7cap 7 Metodos Con Tranformada de Laplace
7.2 aplicción Transformadas de problemas con valores iniciales
Los sistemas comunes de álgebra por computadora conocen el teorema 1 y su coro
lario, por lo que pueden cambiar no sólo funciones (como en el proyecto de la secc7.1), sino también un problema completo con valores iniciales. Aquí se ilustra l
técnica con Mathematica y en el proyecto de la sección 7.3 con Maple. Considéresel problema con valores iniciales
x0 1 4 x 5 sen 3t , x(0) 5 x9(0) 5 0
del ejemplo 2. Se dene primero la ecuación diferencial con sus condiciones iniciales, y luego se carga el paquete de transformada de Laplace.
de = x99[t] + 4*x[t] == Sen[3*t]
inits = {x[0] 2. 0, x9[0] 2. 0}
La transformada de Laplace de la ecuación diferencial está dada por
DE = LaplaceTransform[de, t, s]
El resultado de este comando —el cual no se muestra aquí explícitamente— es una ecuación (algebraica) en las todavía desconocidas LaplaceTransform[x[t],t,sSe procede a resolver para la transformada X (s) de la función desconocida x(t ) y sustituir las condiciones iniciales.
X = Solve[DE, LaplaceTransform[x[t],t,s]]
X = X//Last//Last//Last
X = X/. inits
3
4 92 2( )( )s s1 1
Finalmente, sólo se necesita calcular la transformada inversa para encontrar x(t ).
x = InverseLaplaceTransform[X,s,t,]
15
(3 cos(t ) sen(t ) 2 sen(3t ))
x/. {Cos[t] Sen[t] 2. 1/2 Sen[t]}// Expand
310
sen(2t ) 2 15
sen(3t )
Por supuesto que puede obtenerse este resultado con DSolve, pero la salida intermedia generada por los pasos aquí mostrados es más didáctica. Puede intentarse colos problemas con valores iniciales de los problemas 1 al 16.
7.3 Traslación y fracciones parciales
Como se ilustró en los ejemplos 1 y 2 de la sección 7.2, la solución de una ecuaciódiferencial lineal con coecientes constantes frecuentemente puede reducirse al pro
blema de encontrar la transformada inversa de Laplace de la función racional de lforma
R(s) 5 P s
Q s
( )
( )(1
donde el grado de P(s) es menor que el grado de Q(s). La técnica para encontral21{ R(s)} se basa en el mismo método de fracciones parciales utilizado en el cálculo elemental para integrar funciones racionales. Las siguientes dos reglas describe
7/31/2019 7cap 7 Metodos Con Tranformada de Laplace
la descomposcón de fccones pcles de R(s) en términos de la factorizacióndel denominador Q(s) en factores lineales y factores cuadráticos irreductibles, correspondientes a ceros reales y complejos, respectivamente, de Q(s).
rEgLa 1 fccines pciles de ctes lineles
La parte de la descomposición de la fracción parcial de R(s), correspondiente alfactor lineal s 2 a de multiplicidad n, es una suma de n fracciones parciales quetienen la forma
A
s a1
2 1
A
s a2
2( )2 1 p 1
A
s an
n( )2, (2)
donde A1, A2, …, y An son constantes.
rEgLa 2 fccines pciles de ctes cudátics
La parte de la descomposición de la fracción parcial correspondiente al factorcuadrático irreducible (s 2 a)2 1 b2 de multiplicidad n es una suma de n fraccio-
nes parciales que tienen la forma
A s B
s a b1 1
2 2
1
2 1( ) 1
A s B
s a b2 2
2 2 2
1
2 1[( ) ] 1 p 1
A s B
s a bn n
n
1
2 1[( ) ]2 2, (3)
donde A1, A2, …, An, B1, B2, …, y Bn son constantes.
TEorEma 1 Tslción sbe el eje s
Si F (s) 5 l{ f (t )} existe para s . c, entonces l{eat f (t )} existe para s . a 1 c, y
➤ l{eat f (t )} 5 F (s 2 a). (4)
De manera equivalente,
➤ l21{F (s 2 a)} 5 eat f (t ). (5)
Así, la traslación s S s S a en la transformada corresponde a la multiplicación dela función original de t por e at .
Para encontrar l21{ R(s)} se necesitan dos pasos. Primero debe obtenerse ladescomposición de fracciones parciales de R(s), y luego la transformada inversa deLaplace de cada una de las fracciones parciales individuales de alguno de los tiposque aparecen en (2) y en (3). El último paso se basa en la siguiente propiedad ele
mental de las transformadas de Laplace.
Demostración. Si simplemente se reemplaza s por s 2 a en la denición de