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UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGIA Y METALURGIA
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS
ANALISIS DE SISTEMAS MINEROS
DUALIDAD
ING° ARNALDO RUIZ CASTRO
ABRIL 2014
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*on$ersión de un Problema Primal a Dual
Un problema dual se "ormula de un problema primal de la siguiente"orma'
+.,i el primal es un problema de ma!imi-ación su dual será un problema de minimi-ación y $ice$ersa.
.Los coe"icientes de la "unción ob%eti$o del problema primal secon$ierten en los coe"icientes del $ector de la disponibilidad en el
problema dual.
/.Los coe"icientes del $ector de disponibilidad del problemaoriginal se con$ierten en los coe"icientes de la "unción ob%eti$o($ector de costo o precio) en el problema dual.
0.Los coe"icientes de las restricciones en el problema primal serála matri- de los coe"icientes tecnológicos en el dual.
1.Los signos de desigualdad del problema dual son contrarios a losdel primal.
2.*ada restricción en un problema corresponde a una $ariable en elotro problema. ,i el primal tiene m restricciones y n $ariables eldual tendrá n restricciones y m $ariables. As las $ariables 3 n del
primal se con$ierte en nue$as $ariables 4m en el dual.
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FORMA CANONICADEL PRIMAL
FORMA CANONICADEL DUAL
MAX Z= CX
Sujeto a:AX ≤ bX ≥0
MIN Z= !
Sujeto a:A! ≥C ! ≥0
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,i el problema primal es'
5A3 67 013+ 8 +93. 8 113/
,u%eto a'
3+ 8 3. 8 3/ : ;;
;
El problema dual será'
5I? 67 ;;4+ 8 1;;;4. 8 0;;;4/
,u%eto a'
4+ 8 01 4+ 8 =4. 8 94/ > +9
4+ 8 +;4. 8 +4/ > 11
4 % > ;
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APLICACIONES DE LA DUALIDAD
a) Permite resol$er problemas lineales donde el nmerode restricciones es mayor que el numero de $ariables.
b) La dualidad permite reali-ar importantesinterpretaciones económicas de los problemas de
programación lineal.
c) La dualidad permite generar m#todos como el métododual del simplex de gran importancia en el análisis de post optimi-ación y en la programación lineal param#trica.
d) Permite resol$er grá"icamente algunos problemas.*onsideremos el siguiente problema lineal matemati-ado
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@unción b%eti$o'
5in 6(!) 7 !+ 8 / !. 8 1 !/ 8 !0 8 / !1
,u%eto a'!+8 !. 8 !/ 8 !0 8 / !1 > 0
!+ B !. 8 / !/ 8 !0 8 !1 > /
!+ > ;
!. > ;
!/ > ;
!0 > ;
!1 > ;
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Dado que se trata de un programa lineal en "orma canónicaello nos proporciona un du! en "orma sim#trica como elsiguiente'
@unción b%eti$o'5a! C(y) 7 0 y+ 8 /y.
,u%eto a'
y+ 8 y. : y+ B y. : /
y+ 8 / y. : 1
y+ 8 y. :
/ y+ 8 y. : /
y+ > ;
y. > ;
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y2
y1-1
-1
0
2
1
3
4
5
0 1 2 3 4 5
R 1
R
2
R 3 R 4
R 5
F U N C I O N O B J E T I V
O
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El $#rtice solución es el punto (01/1) con un
$alor de la "unción ob%eti$o de 1.
x1 + 3x5 = 4
2 x1 + x5 = 3
La solución de este sistema es : x1 = 1
y x5 = 1, lo cual nos proporciona un
valor de la función obetivo de !"x# =5, id$ntico a la solución del dual%
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TEOREMAS DE DUALIDAD
*onsideremos el siguiente par primalBdual'
(P) mn - 7 c F ! (D) ma! G 7 y F b s.a. A F ! > b s.a. At F y : c
!i > ; yi > ;
1. T&'#&% D()$! d& Du!$dd
,i !; e y; son "actibles para (P) y (D) respecti$amente entonces
-(!;) > G(y;).
. T&'#&% Fu*d%&*+! d& Du!$dd ' T&'#&% Fu+& d&
du!$ddDados un par de problemas primalBdual si uno de ellos admite
solución óptima entonces el otro tambi#n la admite y los
respecti$os $alores óptimos son iguales.
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- T&'#&% d& .'!/u# C'%"!&%&*+#$
Uno de los teoremas principales en la teoria de
dualidad en programación lineal es el +&'#&%
d& '!/u# '%"!&%&*+#$. Dic&o teorema
nos permite encontrar la solución óptima del
problema dual cuando conocemos la soluciónóptima del problema primal (y $ice$ersa) a
tra$#s de la resolución de un sistema de
ecuaciones con"ormado por las $ariables dedecisión (primales y duales) y las restricciones
(del modelo primal y dual).
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,i consideramos'
H+
H.
J+ J. J/ K.. Jn 7 H/ una matri- de m "ilas y n
. columnas .
Hm
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,ea el par primalBdual siguiente'
(P) mn - 7 c F ! (D) má! G 7 y F b
s.a i F ! > bi s.a % F y : c%
!i > ; yi > ;
,ean !; e y; soluciones "actibles para los problema (P) y
(D) respecti$amente. !; e y; son óptimos si y solo si'I) (Hi F !; M bi) F y;i 7 ; i7+...m.
II) (c % M y; F J %) F !; % 7 ; %7+...n.
,e establece que (Hi F !; M bi) y (c % M y; F J %) son las$ariable de &olgura de los problemas (P) y (D)
respecti$amente.
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La importancia de este teorema radica en que "acilita
la resolución de los modelos de optimi-ación lineal
permitiendo a qui#n los resuel$e buscar el modelomás sencillo para abordar (desde el punto de $ista
algortmico) dado que de cualquier "orma podrá
obtener los resultados del modelo equi$alente
asociado (sea #ste el modelo primal o dual).
*onsideremos el siguiente modelo de programación
lineal (en adelante primal) con $ariables cuya
solución óptima es 31456 e Y756 con $aloróptimo V8P920,7.
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5a! 0! 8 2 y
s.a. ! 8 0 y : +
0! 8 /y : +2
! > ;
y > ;
El modelo dual asociado al modelo primal es'
5in +A 8 +2N
s.a. A 8 0N > 0
0A 8 /N > 2
A > ;
N > ;
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Luego el teorema de &olguras complementarias plantea
las siguientes relaciones'
(3 8 04 O +)A 7 ;(03 8 /4 O +2)N 7 ;
(A 8 0N O 0)3 7 ;
(0A 8 /N O 2)4 7 ;*omo sabemos 37+01 e 47=1 (solución óptima del
modelo primal). ,i reempla-amos estos $alores de 3 e 4
en la tercera y cuarta ecuación generamos un sistema de
ecuaciones de en t#rminos de A y N cuya solucióncorresponde a A:56 y B256 (solución óptima del
modelo dual).
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,i posteriormente e$aluamos en la "unción ob%eti$o del
problema dual dic&a solución obtenemos'
Q(D)7+(21)8+2(1)7;.= que es similar al $aloróptimo del problema primal (teorema de dualidad
"uerte). ,iendo A:56 y B256 una solución "actible
para el problema dual lo cual es la solución optima de
dic&o problema.- A*;!$$ d& S&*$)$!$dd-
Es necesario $er como a"ectada la solución de un
problema de optimi-ación si cambia alguno de los parámetros del problema. En este ámbito podemos
distinguir tipos de análisis'
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Análisis de sensibilidad' *onsiste en determinar cual es
el rango de $ariación de los parámetros del problema de
modo que la base óptima encontrada siga siendo óptima.
Análisis post optimal' *onsiste en determinar como $ara
la base óptima si cambian alguno de los parámetros del
problema.
*onsiderando la siguiente matemati-ación de un problemade asignaciones se tiene'
má! - 7 !+ 8 /!.
s.a !+ 8 0!. : +;;
!+ 8 !. : 2;
!+ 8 !. : 1;
!+ !. > ;
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,e considera la posibilidad de introducir una $ariable nue$a
de decisión a las restricciones del proceso tendremos la
siguiente matemati-ación de la PL.
má! - 7 !+ 8 /!. 8 !nue$o
s.a !+ 8 0!. 8 1!nue$o : +;;
!+ 8 !. 8 /!nue$o : 2;
!+ 8 !. 8 !nue$o : 1;
!+ !. !nue$o > ;
,i solucionamos ambos problemas tendremos los siguientes
resultados'En el problema ?R + la "unción ob%eti$o y las $ariables de
decisión consignan los siguientes $alores' 6 7 =;.;;
!+ 7 ; !. 7 ;.
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En el problema ?R la "unción ob%eti$o y las $ariables de
decisión consignan los siguientes $alores' 6 7 =;.;;
!+ 7 ; !. 7 ; y !nue$o 7 ;.
*omo se puede apreciar de los resultados si bien es cierto
que se predispone una nue$a asignación al proceso esto no
propicia una $ariación de la "unción ob%eti$o ni de las dos
primeras $ariables de decisión pero complementa que se puede me%orar las condiciones de operati$idad con las
nue$as asignaciones aun cuando no estaran participando
acti$amente en el proceso.