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Mecnica Computacional Vol. XXII M. B. Rosales, V. H. Cortnez y
D. V. Bambill (Editores)
Baha Blanca, Argentina, Noviembre 2003.
UNA GENERALIZACIN DE LA ECUACIN DE REYNOLDS PARA EL ANLISIS DE
PROBLEMAS DE LUBRICACIN EN COJINETES
Pablo G. Girn y Vctor H. Cortnez
Grupo Anlisis de Sistemas Mecnicos Facultad Regional Baha
Blanca, Universidad Tecnolgica Nacional
11 de abril 461, B8000LMI Baha Blanca, Argentina. TE:
54-0291-4555220 FAX: 0291 4555311 e-mail: [email protected],
web page: http://www.frbb.utn.edu.ar/gasm
Palabras clave: Lubricacin. Cojinetes. Elementos Finitos
Resumen. En el presente artculo se presenta una expresin
generalizada de la ecuacin de Reynolds que gobierna el problema de
lubricacin en cojinetes, tanto para el caso hidrodinmico (cojinetes
absolutamente rgidos) como elasto-hidrodinmico (considerando la
flexibilidad del cojinete). La generalizacin consiste en incluir
trminos de penalizacin para corregir la ecuacin de Reynolds en las
zonas donde se produce cavitacin. Dicha formulacin se implementa en
forma computacional mediante el mtodo de elementos finitos, a travs
del software Flex PDE.
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1 INTRODUCCIN La Teora de Lubricacin ha permitido el tratamiento
de numerosos problemas tecnolgicos relacionados con la Mecnica de
los Fluidos (lubricacin de cojinetes, procesamiento de polmeros,
etc.). Dicha teora se expresa mediante la ecuacin bidimensional de
Reynolds, que modeliza el comportamiento de una delgada pelcula de
fluido, teniendo en cuenta una direccin preferencial de
desplazamiento. De esta manera, el problema se reduce a la
determinacin del campo de presiones en el fluido[1]. Este modelo ha
sido aplicado profusamente en la solucin de diversos problemas de
lubricacin en cojinetes, tanto para modelos ideales absolutamente
rgidos, como asimismo teniendo en cuenta la elasticidad del
material, lo que conduce a considerar las deformaciones producidas
sobre el metal por efecto de la sobrepresin que se genera dentro
del cojinete. Este tipo de fenmeno es importante en el caso de
rodamientos o cojinetes de bolas, donde las cargas imperantes sobre
las bolillas en la zona de contacto generan altas sobrepresiones
que tienden a deformarlas. Tambin puede darse el fenmeno en
cojinetes altamente cargados[2]. Las soluciones matemticas a la
ecuacin de Reynolds predicen en muchos casos la existencia de una
zona en la cual la presin es menor que la de saturacin del fluido
(aproximadamente igual a la presin atmosfrica). No obstante es un
hecho conocido que presiones ms bajas que la de saturacin originan
la presencia de burbujas de aire. Este fenmeno se conoce como
cavitacin. La cavitacin lleva a la ruptura de la pelcula de fluido,
razn por la cual la ecuacin de Reynolds deja de ser vlida en dicha
zona (esto es porque dicha ecuacin asume la continuidad de la
pelcula fluida). La delimitacin de la zona cavitada es desconocida
a priori, debiendo obtenerse en el mismo proceso de solucin.
Matemticamente esto lleva a la generacin de un problema de borde
libre[3]. Teniendo en cuenta la existencia de la zona de cavitacin,
Gumbel[4] propuso despreciar las presiones negativas en la solucin
de la ecuacin de Reynolds. De todas maneras no es as posible
localizar en forma precisa la frontera entre la zona activa
(presiones positivas) y la zona cavitada. Bsicamente, la
inconsistencia radica en que se est utilizando la distribucin de
presiones que surge de la ecuacin de Reynolds aplicada an en la
zona de cavitacin. Uno de los modelos ms utilizados en la
modelizacin del fenmeno de cavitacin, se denomina modelo de
cavitacin de Reynolds y considera la continuidad del flujo a travs
de la frontera libre que separa la zona activa de la zona cavitada.
Este modelo introduce para la frontera libre las condiciones de
localizacin: p = p/n = 0. Otros modelos de cavitacin, como el de
Elrod-Adams[5] introducen la hiptesis de que en la zona de
cavitacin existe una mezcla de fluido y aire definiendo una nueva
variable ( x,y) que representa la concentracin de lubricante en el
entorno del punto (x,y), es decir una funcin de saturacin que vale
1 en la zona activa y toma valores entre 0 y 1 en la zona cavitada.
En este trabajo se presenta una solucin computacional del problema
de lubricacin con cavitacin mediante una modificacin del modelo de
Reynolds. El enfoque aludido ha sido implementado
computacionalmente en el software Flex PDE[6,7]. Dicho software
permite resolver, por medio de la aplicacin del Mtodo de Elementos
Finitos (MEF), problemas de
xyzENIEF 2003 - XIII Congreso sobre Mtodos Numricos y sus
Aplicaciones
xyz
marce1400
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contorno formulados mediante ecuaciones diferenciales de segundo
orden a derivadas parciales. El enfoque utilizado para modelizar el
fenmeno de cavitacin, consiste en incorporar a la ecuacin de
Reynolds un trmino de penalizacin que permite obtener en forma
automtica la zona de cavitacin, consiguindose, de esta manera,
resultados concordantes con los existentes en la literatura. La
ecuacin de Reynolds as generalizada se torna no lineal. Este
enfoque se extiende luego a otros problemas ms complejos que
consideran la elasticidad del cojinete. El modelo computacional
propuesto permite resolver con simplicidad problemas de alto inters
tecnolgico ya que hace posible modelizar problemas reales en
cojinetes para determinar su comportamiento fluidomecnico. Adems,
debido a la facilidad de operacin del programa y a su excelente
salida grfica, se constituye en una poderosa herramienta didctica
para aplicaciones en los cursos de Mecnica de los Fluidos.
2 MODELO DE CAVITACIN DE REYNOLDS El modelo de cavitacin de
Reynolds para flujo isotrmico incompresible en cojinetes rgidos con
alimentacin axial (en x = 0), se expresa matemticamente, para el
dominio que se muestra en la figura 1, mediante las siguientes
ecuaciones (1):
( )hx
uyph
yxph
x
=
+
633
(1 a)
+> 0 enp (1 b)
0en 0 =p (1 c)
== en 0npp (1 d)
= en 0p (1 e) Donde: ( ) cos 1 += Ch (2) Con la siguiente
notacin: x: coordenada circunferencial medida desde el punto de
mximo espesor de pelcula y: coordenada axial p: presin : densidad
del lubricante u: velocidad tangencial del eje : viscosidad del
lubricante h: espesor de la pelcula
xyzP. G. Girn, V. H. Cortnez
xyz
marce1401
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C: huelgo radial : excentricidad radial Debe observarse que la
ecuacin (1) es vlida solamente en la zona activa (+) mientras que
en la zona cavitada (0) se impone que la presin sea nula. Sobre el
contorno de la zona activa, la ecuacin est asociada a una condicin
de contorno excepto en la interfase con la zona cavitada donde
aparecen dos condiciones de borde. La condicin adicional es la que
permite localizar dicha interfase. El problema as planteado est
gobernado por una ecuacin lineal sobre un dominio desconocido a
priori cuya localizacin exacta depende de las condiciones de
presin.
Figura 1: Representacin grfica del dominio desarrollado del
problema.
3 MODIFICACIN DEL MODELO DE REYNOLDS
3.1 Lubricacin con cavitacin en cojinetes rgidos
El modelo previamente descripto se formula a continuacin en
forma diferente. La modificacin apunta a obtener una ecuacin que
sea vlida tanto en la zona activa como en la zona cavitada. Para
ello se incorpora en la ecuacin (1) un trmino de presin
multiplicado por una constante extremadamente alta, llegando a la
siguiente expresin:
( )hx
upNyph
yxph
x K =
+
633
(3)
Siendo:
-
La ecuacin (3) est asociada a la siguiente condicin de
borde:
= en 0p (4)
Puede apreciarse que en la zona activa KN = 0, por lo que la
ecuacin de Reynolds retoma su forma original. En cambio en la zona
cavitada, el trmino agregado forzar a que la presin se anule. Es
fcil entender esto si se divide la ecuacin (3) por la constante KN
y se considera que esta tiende a infinito. Teniendo en cuenta que
la presin y sus derivadas deben tomar valores finitos, los trminos
originales de la ecuacin tendern a cero, quedando solo el trmino
adicional que indicar p = 0. Desde el punto de vista numrico solo
es necesario asumir un valor muy grande para KN lo que asegurar que
la presin toma un valor despreciable en la zona cavitada. El signo
- del trmino agregado responde a una cuestin de estabilidad
numrica. Es interesante notar que las condiciones de borde se
plantean en el dominio completo del problema haciendo caso omiso de
la zona cavitada. De todas maneras teniendo en cuenta el hecho de
que la presin debe anularse por la forma de la ecuacin en la dicha
zona, y considerando que no se ha impuesto ninguna discontinuidad
para la presin, la condicin de borde de cavitacin (1 d) se cumplir
de manera automtica. Una forma interesante de razonar este enfoque
es mediante una analoga con el caso de una membrana sobre una
fundacin elstica unidireccional. Finalmente desde el punto de vista
de la formulacin variacional del problema, el trmino agregado se
denomina de penalizacin. En consecuencia, en esta formulacin, debe
resolverse un problema diferencial sobre un dominio fijo. La
localizacin de la zona cavitada se ha trasladado a la ecuacin
diferencial. El precio que debe pagarse por considerar un dominio
fijo es tratar con una ecuacin de Reynolds no lineal. De todas
maneras, la ecuacin as generalizada es conveniente para la
aplicacin de eficientes mtodos numricos que se basan en la
formulacin diferencial, tales como el mtodo de cuadratura
diferencial[8]. En el presente trabajo esta ecuacin se ha
desarrollado para ser resuelta mediante el programa Flex-PDE, que
es un poderoso solver de ecuaciones diferenciales a derivadas
parciales. Internamente este solver transforma de manera simblica,
el problema diferencial en uno variacional mediante el mtodo de
Galerkin, y finalmente procede a la solucin numrica del problema
utilizando el mtodo de los elementos finitos.
3.2 Lubricacin elastohidrodinmica con cavitacin
En algunos casos industriales, la presin del lubricante puede
producir deformaciones elsticas apreciables en el cojinete. Dicha
deformacin modifica el espesor de la pelcula lubricante y, en
consecuencia, la distribucin de presiones.
xyzP. G. Girn, V. H. Cortnez
xyz
marce1403
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Luego, para determinar en forma precisa la distribucin de
presiones debe abordarse el problema acoplado de la hidrodinmica
del cojinete y la deformacin elstica del mismo, conocido como
lubricacin elastohidrodinmica. Una aproximacin razonable para
describir el comportamiento elstico de un cojinete muy delgado es
modelizarlo como una placa elstica simplemente apoyada en los
bordes laterales [9]. Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, el
huelgo entre cojinete y eje toma la forma:
),()()( yxwxhxht += (5) donde w(x,y) representa el
desplazamiento transversal que se produce en el cojinete debido a
la accin de la presin. Haciendo uso de la ecuacin generalizada de
Reynolds, descripta en el apartado anterior el problema
elastohidrodinmico se expresa matemticamente en la forma:
( )hx
upppyp
yxp
x KKKhh
FCN =
+
6
33 (6 a)
02
2
2
2
=++
p
yx (6 b)
02
2
2
2
=+
+
yxww
(6 c)
Donde:
( ) wxCh ++= cos 1 (7 a)
-
ecuaciones diferenciales (Modelo de Marcus) Las ecuaciones (6)
estn asociadas a las siguientes condiciones de borde:
0)1x,(,0)x ( )1x,(,0)x ( )1x,(,0)x ( ====== wwpp (8 a) ),(2z)0,
( zpp = (8 b) ),(2z)0, ( zww = (8 c) ),(2z)0, ( z = (8 d)
z),2 (z)0, ( xp
xp
=
(8 e)
z),2 (z)0, ( xw
xw
=
(8 f)
z),2 (z)0, ( xx
= (8 g)
Las condiciones (8a) en los bordes laterales del cojinete
expresan que la placa est simplemente apoyada y que los valores de
p son iguales a cero (presin atmosfrica). Las ecuaciones (8b) a
(8g) expresan condiciones cclicas que garantizan la continuidad en
x = 0. La alimentacin de lubricante a presin atmosfrica se ha
impuesto con el agregado de los trminos de penalizacin KC y KF en
la ecuacin diferencial, en forma similar al apartado anterior para
la zona cavitada.
4 RESULTADOS NUMRICOS
Para los ejemplos numricos se ha considerado = 0.9 y C = 1 en la
definicin del espesor de pelcula h(x). En primer lugar se resolvi
el problema de lubricacin en un cojinete rgido de longitud infinita
(modelo unidimensional). En la figura 2.a se muestra la distribucin
de presiones obtenida mediante el modelo de Gumbel. Esto es, se
resolvi la ecuacin sin considerar cavitacin, y luego se anul la
presin donde la solucin arroj valores negativos. En la figura 2.b
se muestra la distribucin de presiones determinada mediante el
presente modelo de Reynolds modificado. De la comparacin entre
ambas soluciones se desprende que la presin en el modelo con
cavitacin alcanza valores mayores que en el modelo de Gumbel. Por
otra parte, la extensin de la zona activa es mayor en el modelo con
cavitacin. Estas diferencias pueden acentuarse en otros casos lo
que implicara un mayor efecto de la cavitacin en el clculo de la
carga que soporta el cojinete as como de su direccin. Cabe aclarar
que los presentes resultados son coincidentes con soluciones
analticas disponibles en la literatura. La figura 3 muestra
resultados anlogos determinados para un cojinete finito de longitud
L =
xyzP. G. Girn, V. H. Cortnez
xyz
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1. Los comentarios generales realizados para la solucin
unidimensional son vlidos tambin en este caso. Por otra parte
comparando la solucin bidimensional con la unidimensional se
aprecia que la primera arroja valores de presiones pico ms bajos
que los correspondientes al caso unidimensional. Adems la
distribucin de presiones es notablemente diferente debido a la
disminucin de las presiones hasta valores nulos en los extremos.
Esto puede apreciarse en la figura 4. Se han calculado tambin
resultados para el problema elastohidrodinmico con cavitacin
considerando cuatro diferentes grados de rigidez del cojinete ( =
0.05, = 0.1, = 0.5 y >> 0). La longitud axial de los
cojinetes es de L = 2. Los resultados se muestran en la figura 5.
En el caso del cojinete con gran rigidez flexional ( = 10000) se
observa que la distribucin de presiones reproduce los valores
obtenidos para el cojinete infinitamente rgido. Se observa tambin
que los valores mximos de presin disminuyen a medida que aumenta la
flexibilidad del cojinete.
La figura 6 muestra la distribucin de la deformacin elstica del
cojinete para una rigidez de = 0.5. Finalmente la figura 7 muestra
el espesor de pelcula considerando la deformacin del cojinete.
X
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
Presion
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
a1 2
X0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
Presion
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
a
1 2
Figura 2.a: Modelo Unidimensional eliminando la zona
cavitada (cojinete rgido) Figura 2.b: Modelo Unidimensional con
el presente
enfoque (cojinete rgido)
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Aplicaciones
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X
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
Presion
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
a1 2
X0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
Presion
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
a1 2
Figura 3.a: Modelo Bidimensional eliminando la zona
cavitada (cojinete rgido) Figura 3.b: Modelo Bidimensional con
el presente
enfoque (cojinete rgido)
FlexPDE 2.14cpre(-4.43,-17.3, 30.0)
5.40 5.10 4.80 4.50 4.20 3.90 3.60 3.30 3.00 2.70 2.40 2.10 1.80
1.50 1.20 0.90 0.60 0.30 0.00-0.30
Figura 4: Diagrama Tridimensional de Presiones en un cojinete
rgido utilizando el presente enfoque
xyzP. G. Girn, V. H. Cortnez
xyz
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X
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
Presion
E-2
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
30.0
35.0
a1 2
X0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
Presion
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
a
1 2
Figura 5.a: Presiones mximas en un cojinete Elstico con
= 0.05, de acuerdo con el presente enfoque Figura 5.b: Presiones
mximas en un cojinete Elstico con
= 0.1, de acuerdo con el presente enfoque
X
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
Presion
0.0
0.3
0.6
0.9
1.2
a1 2
X0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
Presion
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
a1 2
Figura 5.c: Presiones mximas en un cojinete Elstico con
= 0.5, de acuerdo con el presente enfoque. Figura 5.d: Presiones
mximas en un cojinete Elstico con
>> 0, de acuerdo con el presente enfoque
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Aplicaciones
xyz
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w(-4.43,-17.3, 30.0)
0.21 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09
0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00
0.00
Figura 6: Deformacin w en un cojinete elstico con = 0.5 segn el
presente enfoque
h+w(-4.43,-17.3, 30.0)
2.00 1.90 1.80 1.70 1.60 1.50 1.40 1.30 1.20 1.10 1.00 0.90 0.80
0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10
Figura 7: h + w en un cojinete elstico con = 0.5 segn el
presente enfoque
xyzP. G. Girn, V. H. Cortnez
xyz
marce1409
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5 CONCLUSIONES
Se ha presentado una nueva formulacin del modelo de cavitacin de
Reynolds. En el mismo se utiliza una ecuacin de Reynolds
generalizada no lineal que es vlida en todo el dominio. La zona
cavitada se obtiene automticamente al resolver dicha ecuacin. El
modelo se implement en el solver de elementos finitos FlexPDE . Se
presentaron algunos ejemplos de lubricacin con cavitacin en
cojinetes rgidos y flexibles. Es importante hacer notar que esta
tcnica puede aplicarse a problemas de mayor generalidad (viscosidad
variable con la presin, problemas no isotrmicos, geometras de mayor
complejidad, etc.) que tienen lugar en el mbito industrial. Por
otra parte el modelo propuesto puede ser tambin de utilidad en
combinacin con otras tcnicas numricas basadas en la formulacin
diferencial.
6 REFERENCIAS
[1] O. Pinkus and B. Sternlicht - 1961 - Theory of Hydrodynamic
Lubrication. McGraw Hill Book Company.
[2] D. Dowson and G.R. Higginson - 1977 - Elasto-Hydrodynamic
Lubrication. Pergamon Press.
[3] J. Durany, G. Garca and C. Vzquez - 1996 - Applied
Mathematical Modelling. 20. Numerical computacional of free
boundary problems in elastohydrodynamic lubrication.
[4] L. Gumbel and E. Everling. - 1925 - Reibung und Schmierung
im Maschinenbau. M. Krayn, Berln.
[5] N. Calvo, J. Durany and C. Vzquez - 1996 - Mtodos Numricos
para Clculo y Diseo en Ingeniera 13,2, 185 - 209. Comparacin de
Algoritmos Numricos en Problemas de Lubricacin Hidrodinmica con
Cavitacin en Dimensin Uno.
[6] Flex PDE User Guide - 2000 - PDE Solutions Inc.
(www.pdesolutions.com)
[7] V.H.Cortnez y S.P.Machado.Fluid-Structure Interaction
Analysis by means of Flex-PDE APPLIED MECHANICS IN THE AMERICAS,
Vol. 9, 301-304, 2002.
[8] V.H. Cortnez, M.T. Piovan y S. Machado. Differential
Quadrature Method for Vibration Analysis of Composite Thin Walled
Curved Beams JOURNAL OF SOUND AND VIBRATION , Vol. 246, 551-555,
2001.
[9] J. Durany, G. Garca and C. Vzquez - 1997 - Mathematical
Modelling and Numerical Analysis 31, 495 - 516. An
Elastohydrodynamic Coupled Problem between a Piezoviscous Reynolds
Equation and a Hinged Plate Model.
xyzENIEF 2003 - XIII Congreso sobre Mtodos Numricos y sus
Aplicaciones
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