75405026-Apostila-De-Exercicios-De-Estatistica-Basica-E-Avancada-E-Orientacoes.pdf

INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO – ISEG (CURSO PROF. GERALDO GÓES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Brasília – DF. Prof. Sérgio Ricardo de Brito Gadelha

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Olá pessoal, Recentemente foi publicado realização de concurso público destinado a selecionar candidatos para o provimento de cargos vagos de Técnico de Planejamento e Pesquisa do Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada – IPEA. O concurso será realizado pela Escola de Administração Fazendária – ESAF. Dentre as matérias presentes no conteúdo programático, há a matéria métodos quantitativos, a qual contempla, por sua vez, as matérias estatística e econometria. O programa, no tocante à estatística, está a seguir transcrito: Estatística: 1. Estatística descritiva (dados agrupados e não agrupados). 1.1. Medidas de posição: tendência central (média, mediana e moda), separatriz (mediana, quartil, decil, percentil). 1.2. Medidas de dispersão: absoluta (amplitude total, desvio quartílico, desvio médio, variância e desvio padrão), relativas (coeficiente de variação e variância relativa). 1.3. Medidas de assimetria: coeficiente de momento, coeficiente quartílico e coeficiente percentilico). 1.4. Medidas de curtose (coeficiente de momento e coeficiente percentílico). 1.5. Números Índices: índice agregativo simples, laspereyres, Paashe e Fischer. 2. Teoria de probabilidade e Inferência Estatística. 2.1. Variáveis aleatórias: Função distribuição de probabilidades, função densidade. Valor esperado, momentos, variância. Distribuição conjunta de variáveis aleatórias. Covariância e correlação. Expectativa condicionada e lei das expectativas iteradas. Variáveis aleatórias independentes e não-correlacionadas. 2.2. Estimação pontual e por conjunto. Estimadores de máxima verossimilhança. Propriedades dos estimadores, (não viesado, consistente, assintoticamente normal). Desigualdade de Cramer-Rao, eficiência de um estimador. Intervalos de confiança. Teste de hipóteses, erros dos tipos I e II, potência do teste. Teste de Wald, razão de verossimilhança e multiplicador de Lagrange. Na minha opinião particular, as pessoas que vêm se preparando para o concurso de Analista do Banco Central do Brasil, ou as pessoas que recentemente fizeram a prova da Associação Nacional dos Cursos de Pós-Graduação em Economia – ANPEC – estarão melhores preparadas para fazer esse concurso, pois o conteúdo programático de macroeconomia, microeconomia, estatística e econometria são, em essência, os mesmos solicitados nos referidos concursos, salvo alguns tópicos avançados. Quanto à estatística, que podemos perceber trata-se de estatística básica e avançada, recomendo que os candidatos se preparem por meio dos seguintes materiais de estudo: ESTATÍSTICA BÁSICA (Todo o tópico 1 do conteúdo programático):

• As aulas do professor e amigo Sérgio Carvalho, as quais estão disponibilizadas aqui no site “ponto dos concursos”.

• TOLEDO, G.L e OVALLE, I.I Estatística Básica. São Paulo: Atlas, 1995. • HOFFMANN, R. Estatística para Economistas. Rio de Janeiro: Pioneira, 1973.

ESTATÍSTICA AVANÇADA (Todo o tópico 2 do conteúdo programático):

• MEYER, P. L. Probabilidade – Aplicações à Estatística. São Paulo: Livros Técnicos e Científicos Editora, 1983.


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Disponibilizo, a seguir, apostila de exercícios de estatística básica e avançada, a qual poderá ser útil àquelas pessoas que estão se preparando para os concursos que pedem essas duas disciplinas. Leiam as obras que eu indiquei, e pratiquem seus conhecimentos no material a seguir. A primeira parte, reservada à estatística básica, atende àquelas pessoas que estão se preparando para concursos como o Auditor Fiscal da Receita Federal, área de política e administração tributária. A segunda parte, reservada à estatística avançada, atende às pessoas que estão se preparando para os concursos de Técnico de Planejamento e Pesquisa do IPEA, Analista do Banco Central do Brasil, Analista da Comissão de Valores Mobiliários, Auditor-Fiscal da Previdência Social e outros concursos, bem como àquelas pessoas que vêm se preparando para a prova da Associação Nacional dos Cursos de Pós-Graduação de Economia – ANPEC. Em minhas primeiras aulas aqui no site, cheguei a comentar duas provas de estatística, uma realizada pelo CESPE/UnB, e outra realizada pela ESAF. Sugiro que os concursandos imprima também esse material, a fim de que esse material sirva de complemento às obras anteriormente citadas, as quais são imprescindíveis à preparação do candidato. Um forte abraço, bom final de semana, e até o nosso próximo encontro. Serginho.


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ESTATÍSTICA BÁSICA

Questões Selecionadas de Concursos Públicos e do Exame Nacional da ANPEC

2004


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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DE ESTATÍSTICA BÁSICA

I – ESTATÍSTICA DESCRITIVA 1. Conceito. População; Censo; Amostra; Experimento aleatório; Variáveis e atributos; Variáveis aleatórias discretas e contínuas; Normas para apresentação tabular de dados. 2. ORGANIZAÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICOS. - Quadros e tabelas; - Distribuição de freqüências; - Intervalos de classe; - Ponto médio; - Freqüências absolutas e relativas; - Freqüências acumuladas; - Gráficos: barras, colunas, histogramas e polígonos de freqüências.

3. MEDIDAS DE POSIÇÃO. - Média aritmética; - Propriedades da média; - Cálculo Simplificado da média; - Mediana; - Moda; - Médias geométrica e harmônica. 4. MEDIDAS DE DISPERSÃO. - Amplitude; - Desvio médio; - Variância absoluta; - Propriedades da variância; - Cálculo simplificado da variância; - Desvio padrão; - Variância relativa e coeficiente de variação. 5. MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE. NÚMEROS ÍNDICES. - Números relativos; - Números índices: aritméticos simples e ponderado, harmônico simples e

ponderado, Geométrico simples e ponderado; - Índices complexos de qualidade e de preços: Laspeyres e Paasche; - Mudança de base.


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Questões de Concursos Públicos

Para a solução das questões de números 01 a 06 utilize o enunciado que se segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte: Classes Freqüência (f) 29,5 – 39,5 4 39,5 – 49,5 8 49,5 – 59,5 14 59,5 – 69,5 20 69,5 – 79,5 26 79,5 – 89,5 18 89,5 – 99,5 10 01 – (ESAF/AFRF/2002-2) - assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo X. a) 71,04 b) 65,02 c) 75,03 d) 68,08 e) 70,02 02 – (ESAF/AFRF/2002-2) Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na população com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5. a) 700 b) 638 c) 826 d) 995 e) 900 03– (ESAF/AFRF/2002-2) Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber.

a) 69,50 b) 73,79 c) 71,20 d) 74,53 e) 80,10 04- (ESAF/AFRF/2002-2) Assinale a opção que corresponde ao desvio absoluto médio do atributo X. a) 16,0 b) 17,0 c) 16,6 d) 18,1 e) 13,0


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05 – (ESAF/AFRF/2002-2) Assinale a opção que dá o valor do coeficiente quartílico de assimetria. a) 0,080 b) –0,206 c) 0,000 d) –0,095 e) 0,300 06) (ESAF/AFRF/2002-2) Para a distribuição de freqüências do atributo X sabe-se que:

∑7i=1(Xi -

___

X )2 fi = 24.500 e que

∑7i=1(Xi -

___

X )4 fi = 14.682.500

Nessas expressões os Xi representam os pontos médios das classes e ___

X a média amostral. Assinale a opção correta. Considere para sua resposta a fórmula da curtose com base nos momentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado é populacional. a) A distribuição do atributo X é leptcúrtica. b) A distribuição do atributo X é platicúrtica. c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto de vista da intensidade da

curtose. d) A informação dada se presta apenas ao cálculo do coeficiente de assimetria com

base nos momentos centrados de X. e) A distribuição de X é normal. 07 – (ESAF/AFRF/2002-2) Uma variável contábil Y, medida em milhares de reais, foi observada em dois grupos de empresas apresentando os resultados seguintes:

Grupo Média Desvio Padrão

A 20 4

B 10 3

Assinale a opção correta.

a) No grupo B, Y tem maior dispersão absoluta.

b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa.

c) A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do Grupo.

d) A dispersão relativa de Y entre os Grupos A e B é medida pelo quociente da diferença de desvios padrão pela diferença de médias.

e) Sem o conhecimento dos quartis não é possível calcular a dispersão relativa nos grupos.


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08 – (ESAF/AFPS-2002/Auditoria nas Ent. Fech. de Prev. Complementar) - Sabe-se que a variável aleatória X tem distribuição de probabilidades uniforme no intervalo (a,b) com 0<a<b. Assinale a opção correta.

A) O coeficiente de variação de X é

+−

ba

ab

3

3

B) O coeficiente de variação de X é

+−

ba

ab

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C) O coeficiente de variação de X é

−+

ab

ba3

D) O coeficiente de variação de X é

−+

ab

ba

3

3

E) O coeficiente de variação de X é

−+

ab

ba

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As questões 09 e 10 dizem respeito ao enunciado seguinte: A tabela abaixo dá a distribuição de freqüências de um atributo X para uma amostra de tamanho 66. As observações foram agrupadas em 9 classes de tamanho 5. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes Freqüências 4-9 5

9-14 9 14-19 10 19-24 15 24-29 12 29-34 6 34-39 4 39-44 3 44-49 2

09 - (ESAF/AFPS-2002/Auditoria nas Ent. Fech. de Prev. Complementar) – Assinale a opção que dá a estimativa da probabilidade de que X seja menor ou igual a 32,2. a) 0,570 b) 0,510 c) 0,773 d) 0,831 e) 0,864


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10- (ESAF/AFPS-2002/Auditoria nas Ent. Fech. de Prev. Complementar) - Sabe-se que o desvio padrão da distribuição de X é aproximadamente 10. Assinale a opção que dá o valor do coeficiente de assimetria de Pearson que é baseado na média, na mediana e no desvio padrão. a) -0,600 b) 0,191 c) 0,709 d) 0,603 e) -0,610 11- (ESAF/AFPS-2002/Auditoria nas Ent. Fech. de Prev. Complementar) - Assinale

a opção que dá o valor de “a” para o qual a equação ( ) 01

=−∑=

n

ii ax é sempre

verdadeira. a) A média dos valores x. b) A mediana dos valores x. c) A moda dos valores x. d) O desvio padrão dos valores x. e) O coeficiente de assimetria dos valores x. 12- (ESAF/AFPS-2002/Auditoria nas Ent. Fech. de Prev. Complementar) - Dada a seqüência de valores 4, 4, 2, 7 e 3 assinale a opção que dá o valor da variância. Use o denominador 4 em seus cálculos. a) 5,5 b) 4,5 c) 3,5 d) 6,0 e) 16,0 13- (ESAF/AFPS-2002/Administração Tributária Previdenciária) - Numa pesquisa amostral, observa-se que o salário médio mensal dos indivíduos entrevistados é de R$ 500,00. Os salários médios de homens e mulheres são R$ 600,00 e R$ 420,00, respectivamente. Assinale a opção que dá a relação entre o número de homens e de mulheres da amostra. a) O número de homens é o dobro do número de mulheres. b) O número de homens é 4/5 do número de mulheres. c) O número de homens é igual ao número de mulheres. d) O número de homens é 1/5 do número de mulheres. e) O número de homens é 3/5 do número de mulheres.


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14- (ESAF/AFPS-2002/Administração Tributária Previdenciária) -O diagrama de ramos e folhas abaixo corresponde às observações (82,...,158) do atributo X. Assinale a opção que dá o valor mediano de X. 8 2 8 9 003 9 9 10 0011222344 10 577777 11 013 11 55679 12 00114 12 5557 13 004 13 5556 14 03 14 5 15 15 8 a) 105 b) 110 c) 104 d) 107 e) 115 15- (ESAF/AFPS-2002/Administração Tributária Previdenciária) -A média e o desvio-padrão obtidos num lote de produção de 100 peças mecânicas são respectivamente, 16 Kg e 40g. Uma peça particular do lote pesa 18Kg. Assinale a opção que dá o valor padronizado do peso dessa bola. a) –50 b) 0,05 c) 50 d) –0,05 e) 0,02 16- (ESAF/AFPS-2002/Administração Tributária Previdenciária) -O atributo X tem distribuição normal com média 2 e variância 4. Assinale a opção que dá o valor do terceiro quartil de X, sabendo-se que o terceiro quartil da normal padrão é 0,6745. a) 3,3490 b) 0,6745 c) 2,6745 d) 2,3373 e) 2,7500 17 – (ESAF/AFRF-2002-1) - Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna classes


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representa intervalos de valores de X em reais e a coluna p representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. As questões de 17 a 22 referem-se a esse ensaios.

Classes P(%) 70-90 5 90-110 15

110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100

Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X a) 140,10 b) 115,50 c) 120,00 d) 140,00 e) 138,00 18 – (ESAF/AFRF-2002-1) Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X. a) 138,00 b) 140,00 c) 136,67 d) 139,01 e) 140,66 19 – (ESAF/AFRF-2002-1) Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida de assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson. a) 3/S b) 4/S c) 5/S d) 6/S e) 0 20 – (ESAF/AFRF-2002-1) - Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de observações de X menores ou iguais a 145. a) 62,5% b) 70,0% c) 50,0% d) 45,0% e) 53,4%


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21 – (ESAF/AFRF-2002-1) - Considere a transformação 10

)140( −=

xz . Para o atributo

Z encontrou-se Σ zi2*fi = 1680, onde fi é a freqüência simples da classe i e Zi o ponto médio de classe transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo X. a) 720,00 b) 840,20 c) 900,10 d) 1200,15 e) 560,30 22 – (ESAF/AFRF-2002-1) - entende-se pôr curtose de uma distribuição seu grau de achatamento em geral medido em relação à distribuição normal. Uma medida de curtose é dada pelo quociente K = Q/(P90 – P10) onde Q é a metade da distância interquartílica e P90 e P10 representam os percentis de 90% e 10%, respectivamente. Assinale a opção que dá o valor da curtose K para a distribuição X. a) 0,263 b) 0,250 c) 0,300 d) 0,242 e) 0,000 23 – (ESAF/AFRF-2002-1) - Um atributo W tem média amostral a ≠ 0, e desvio padrão positivo b ≠ 1. Considere a transformação Z = (W – a)/b. Assinale a opção correta. a) A média amostral de Z coincide com a de W. b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário. c) O coeficiente de variação amostral de Z não está definido. d) A média de Z é a/b. e) O coeficiente de variação amostral de W e de Z coincidem. 24 – (Provão do Mec/1999) – Para que a distribuição normal de uma variável econômica fique completamente especificada é preciso conhecer: (A) a sua variância (B) a sua média (C) a sua média e a sua variância (D) a variância e o coeficiente de assimetria (E) além da média e da variância, outros parâmetros mais. 25 - Numa distribuição normal, o coeficiente de variação é 20% e o momento centrado na origem de segunda ordem é 416. O momento centrado na média aritmética de quarta ordem será:

a) 48 b) 243 c) 768 d) 1875 e) 3888


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26 – (CESPE-UnB/Fiscal de Tributos Municipais/Maceió-AL/2003) – Uma rede de supermercado possui em seu quadro de pessoal 500 empregados, com funções distribuídas conforme a tabela abaixo:

Funções Número de Empregados Caixa/vendedor/atendimento ao cliente 300 Técnico-administrativo de nível médio 100 Técnico-administrativo de nível superior 90 Gerência 10 Total 500

Um levantamento feito nessa rede de supermercados mostrou que o salário bruto mensal dos gerentes é, em média, igual a R$ 5.000,00, com desvio-padrão igual a σ reais. Para os técnicos-administrativos de nível superior, a média dos salários brutos mensais é de R$ 2.500,00, com desvio-padrão de σ/2 reais, e, para os de nível médio, a média dos salários brutos mensais é de R$ 1.500,00, com desvio-padrão de 2σ reais. Para a função de “caixa/vendedor/atendimento ao cliente”, há três níveis – I, II e III –, dependendo das qualificações e do tempo de serviço do empregado. A tabela abaixo apresenta a distribuição dos salários brutos mensais, em reais, desses empregados.

Nível Salário Mensal Bruto (S) Número de empregados I 500,00 < S < 700,00 50 II 700,00 < S < 1.100,00 150 III 1.100,00 < S < 1.300,00 100

Total 300 Com base na situação hipotética acima descrita, julgue os itens de 36 a 40. 36. O salário médio mensal bruto que a rede de supermercados paga a seus empregados é superior a R$ 1.500,00. 37. A mediana da distribuição dos salários mensais brutos dos empregados dessa rede de supermercados está entre R$ 700,00 e R$ 1.100,00. 38. Estima--se que 125 empregados recebam um salário mensal bruto de até R$ 900,00. 39. O coeficiente de variação do salário mensal bruto dos gerentes é igual ao coeficiente de variação do salário mensal bruto dos técnico-administrativos de nível superior. 40. A variância do salário mensal bruto dos empregados não sofrerá alteração, se a empresa pagar R$ 200,00 a mais para os funcionários que têm a função de “caixa/vendedor/atendimento ao cliente”; R$ 300,00 a mais para os técnicos-administrativo de nível médio e R$ 400,00 a mais para os outros funcionários.


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27 - (Analista (Planej. e Execução Financeira) - CVM - 2000) - Uma firma distribuidora de eletrodomésticos está interessada em estudar o comportamento de suas contas a receber em dois meses consecutivos. Com este objetivo seleciona, para cada mês, uma amostra de 50 contas. As observações amostrais constam da tabela seguinte:

Valor (R$) Freqüência de Março Freqüência de Abril 1.000,00 6 10 3.000,00 13 14 5.000,00 12 10 7.000,00 15 13 9.000,00 4 - 11.000,00 - 3

Assinale a opção que corresponde ao intervalo interquartílico, em reais, para o mês de março. a) 3.250,00 b) 5.000,00 c) 4.000,00 d) 6.000,00 e) 2.000,00 28 - (ESAF/AFRF-2001) - Freqüências acumuladas de salários anuais, em milhares de reais, da Cia. Alfa.

Classes de salários Freqüências acumuladas

3 ; 6 12 6 ; 9 30 9 ; 12 50 12 ; 15 60 15 ; 18 65 18 ; 21 68

Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número. a) 150 b) 120 c) 130 d) 160 e) 180


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29 - (ESAF/Fiscal de Tributos Estaduais do PI – 2001) - A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são acumuladas.

Classes de Salários Freqüências (5.000 – 6.500) 12 (6.500 – 8.000) 28 (8.000 – 9.500) 52

(9.500 – 11.000) 74 (11.000 – 12.500) 89 (12.500 – 14.000) 97 (14.000 – 15.500) 100

Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional que não é ultrapassado por 79% da população. Assinale a opção que corresponde a essa estimativa. a)R$10.000,00 b)R$9.500,00 c)R$12.500,00 d)R$11.000,00 e)R$11.500,00 30 – (ESAF/Fiscal de Tributos Estaduais do PA – 2002) - A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y)- em R$1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das classes salariais.

Classes F 29,4 --- 39,5 2 39,5 --- 49,5 6 49,5 --- 59,5 13 59,5 --- 69,5 23 69,5 --- 79,5 36 79,5 --- 89,5 45 89,5 --- 99,5 50

Assinale a opção que corresponde ao valor q, obtido por interpolação da ogiva, que, estima-se, não é superado por 80% das realizações de Y. a) 82,0 b) 80,0 c) 83,9 d) 74,5 e) 84,5


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Questões do Exame Nacional da ANPEC

.(ANPEC 1992 - QUESTÃO 1) - Para um conjunto qualquer de dados pode-se afirmar que: (0) A média geométrica é maior do que a média aritmética que é maior do que a

média harmônica. (1) Se a média e a mediana desse conjunto de dados forem respectivamente 10 e 12

pode-se dizer que essa distribuição apresenta cauda à esquerda. (2) O coeficiente de variação pode ser perfeitamente substituído pelo desvio padrão. (3) A variância é uma estatística que independe da unidade de medida. (4) A média é quem melhor representa um conjunto de dados pois ela é a única

medida de tendência central que leva em consideração todas as observações existentes.

(ANPEC 1993 - QUESTÃO 12) - Com relação à esperança, o segundo momento (não centrado) e a variância de uma variável aleatória, pode-se dizer que: (0) O segundo momento é sempre menor que a esperança ao quadrado. (1) A variância pode ser menor ou maior do que o segundo momento. (2) Se a esperança é zero, o segundo momento é maior do que a variância. (3) Se a variância é zero, o segundo momento é igual à esperança. (4) O quadrado da esperança nunca pode ser igual à variância. (ANPEC 1994 - QUESTÃO 1) - Um comerciante atacadista vende determinado produto em sacas que deveriam conter 16 kg. A pesagem de uma amostra aleatória com 100 sacas revelou os resultados descriminados na tabela a seguir:

PESOS (EM KG) NÚMERO DE SACAS

14,75 15,25 5 15,25 15,75 10 15,75 16,25 45 16,25 16,75 30 16,75 16,75 10

TOTAL 100 (0) A média da pesagem das sacas é exatamente 16 kg. (1) Sendo o desvio-padrão da amostra de sacas igual a 0,477 kg, o valor do

coeficiente de variação é 2,95%. (2) A percentagem de sacas com peso inferior a 15,75 kg é de 15%. (3) Se o comerciante aumentar em 2,00 kg o conteúdo de cada saca, a média das 100

sacas pesadas não se alterará. (4) Se o comerciante aumentar em 2,00 kg o conteúdo de cada saca, o desvio-padrão

dessa amostra aumentará em 2,00 kg.


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(ANPEC 1995 - QUESTÃO 7) - Pode-se afirmar que: (0) O histograma relaciona graficamente duas variáveis. (1) A média aritmética é a medida de tendência central mais utilizada na prática por

ser insensível à dispersão dos valores observados. (2) O desvio-padrão tem a mesma unidade de medida da variável original. (3) O coeficiente de assimetria é adimensional. (4) O coeficiente de variação é a razão entre a média aritmética e o desvio padrão. (ANPEC 1996 - QUESTÃO 6) - Pode-se afirmar que: (0) O coeficiente de variação é uma medida de tendência central. (1) Se uma distribuição é bimodal, então seu coeficiente de assimetria é zero. (2) A média aritmética é uma medida de tendência central mais sensível à

presença de observações aberrantes do que a mediana. (3) O coeficiente de assimetria tem a mesma unidade que o desvio padrão

(amostral). (ANPEC 1997 - QUESTÃO 1) - Com relação à Estatística Descritiva, podemos afirmar que: (0) a média aritmética, a mediana e o decil de ordem 2 são as principais medidas de

tendência central. (1) sob condições de regularidade usuais, se quisermos minimizar a soma do quadrado

dos desvios em relação a um determinado parâmetro, esse parâmetro é a média da distribuição.

(2) se a distribuição de um conjunto grande de dados é simétrica, o intervalo

);( σσ +− xx inclui aproximadamente 95% das observações do conjunto, onde x

= média aritmética e σ = desvio padrão. (3) o conjunto 3, 3, 3, 4, 4, 9, 9, 18, 18, 18 é um exemplo de distribuição bimodal. (4) se uma distribuição é simétrica, então a média, a mediana e a moda coincidem. (ANPEC 1998 - QUESTÃO 1) - Pode - se afirmar que:

(0) Multiplicando (ou dividindo) por um valor constante e arbitrário, c, cada elemento de um conjunto de números, o desvio padrão deste conjunto fica multiplicado (ou dividido ) pela constante c.

(1) No caso de dois conjuntos de n1 e n2 valores, onde s12 e s2

2 são, respectivamente,

suas variâncias e x1 e x2 suas médias, a variância combinada , s2 , destes dois

conjuntos quando, x x x= =1 2 , é igual a sn s n s

n n2 1 1

22 2

2

1 2

1 1

2=

− + −

+ −

( ) ( ) .

(2) Quando dois conjuntos de valores são expressos em unidades de medidas diferentes, é mais justificável o uso do desvio padrão (dispersão absoluta) do que o coeficiente de variação de Pearson, para efeito de comparação.


17

(3) Quando uma distribuição de frequência apresenta M 0 (Moda) > M e (Mediana) > x (Média aritmética) , ela diz-se assimétrica a direita e, assimétrica a esquerda, em caso contrário.

II – TÓPICO ESPECIAL: NÚMEROS-ÍNDICES

Questões de Concursos Públicos

01 - A cesta básica das quantidades consumidas por uma pessoa nos períodos T1 e T2 apresenta os seguintes resultados: I – O somatório do valor T1 é igual ao somatório do valor T2 II – O índice de preço de Laspeyre do período T2 base T1 é 125. Então podemos afirmar que o índice de quantidade de Paasche do período T2 base período T1 será: a) 75 b) 80 c) 100 d) 120 e) 125 02 - (ESAF/AFRF-2002-2) - No tempo t0 + 2 o preço médio de um bem é 30% maior do que em t0 + 1, 20% menor do que em t0 e 40% maior do que em t0 + 3. Assinale a opção que dá o relativo de preços do bem em t0 + 3 com base em t0 + 1. a) 162,5% b) 130,0% c) 120,0% d) 092,9% e) 156,0% 03 – (ESAF/AFPS-2002/ Auditoria das Entidades Fechadas de Previdência Complementar)- O índice de inflação no mês de junho foi de 10% e se manteve constante nesse nível em julho e agosto. Assinale a opção que mais se aproxima da desvalorização da moeda nesse período. a) 33% b) 30% c) 25% d) 20% e) 10% 04 – (ESAF/AFRF-2002-1) – A inflação de uma economia, em um período de tempo t, medida pôr um índice geral de preços, foi de 30%. Assinale a opção que dá a desvalorização da moeda dessa economia no mesmo período. a) 30,00% b) 23,08% c) 40,10% d) 35,30% e) 25,00%


18

05 – (Analista do Banco Central do Brasil) - Em janeiro, fevereiro e março de um certo ano, as taxas de inflação foram, respectivamente, 5%, 7% e 9%. A inflação acumulada no trimestre foi de (A) 21% (B) 22,46% (C) 23,72% (D) 24,02% (E) 25,08% 06 – (Analista do Banco Central do Brasil) - Num certo país, a inflação acumulada em 97 foi de 25%. A perda do poder aquisitivo da moeda, no final do ano, em relação ao início do mesmo ano foi de (A) 27% (B) 25% (C) 22% (D) 20% (E) 18% 07 - (ESAF/Analista (Planej. e Execução Financeira) - CVM - 2000) - A tabela abaixo dá a evolução nos tempos t1 e t2 dos preços, em reais, e das quantidades, em unidades apropriadas, de três produtos A, B e C. Assinale a opção que corresponde ao índice de preços de Paasche com base em t1, com duas casas decimais. Produtos Preços Quantidades

t1 t2 t1 t2 A 2,20 3,00 50 40 B 2,00 2,00 2 3 C 0,50 0,60 80 100

a) 131% b) 202% c) 129% d) 186% e) 154%

Questões do Exame Nacional da ANPEC (ANPEC 1992 - QUESTÃO 12) - Pode-se fazer as seguintes afirmações a respeito dos índices de Laspeyres (IL) e de Paasche (IP): (0) O IP é sempre inferior ao IL porque ele resulta de uma média harmônica e o IL

de uma média aritmética. (1) No IL os pesos são fixos. (2) O custo de levantamento do índice de Paasche é maior que o do índice de

Laspayres. (3) A multiplicação do IL de quantidade pelo IP de preço resulta no índice de valor.


19

(4) O índice do Custo de Vida é sempre superestimado pelo IL e subestimado pelo IP.

(ANPEC 1994 - QUESTÃO 2) - Com relação à construção de números-índices podemos afirmar que: (0) O índice de preços de Laspeyres é uma média aritmética ponderada de índices

relativos, sendo os fatores de ponderação os valores dos bens considerados no período base.

(1) O índice real de Fisher é a média harmônica dos números-índices de Laspeyres e de Paasche.

(2) Deflator é qualquer índice de preços utilizados para equiparar, por redução, valores monetários de diversas épocas ao valor monetário de uma determinada época tomada como base.

(3) Se a produção de certo produto em 1991 foi de 520.000 toneladas e em 1992 foi de 503.000 toneladas, podemos afirmar que ocorreu um decréscimo de 5% na produção entre esses dois anos.

(ANPEC 1995 - QUESTÃO 8) - O índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC) tem as seguintes características: (0) É calculado mensalmente pela Fundação Getúlio Vargas. (1) Resulta da média aritmética ponderada dos índices de preços ao consumidor,

preços por atacado e preços da construção civil. (2) Abrange todas as capitais de estado brasileiras. (3) Mede perfeitamente a inflação do país. (4) É uma versão modificada do índice de preços de Laspèyres. (ANPEC 1996 - QUESTÃO 11) - Considere as informações sobre preços e quantidades consumidas por um conjunto de famílias em dois períodos sucessivos dadas na tabela a seguir: BEM PERÍODO 0

PERÍODO 1

Preço (em Reais) Quantidade (Kg) Preço (em Reais) Quantidade (Kg)

Feijão 1,00 4 1,50 2 Açúcar 1,00 2 2,00 1 Carne 1,00 2 0,50 2 Podemos afirmar que:

(0) A variação percentual do nível de preços pelo índice de Paasche foi de 20% e pelo índice de Laspeyres foi de 30%.

(1) A variação percentual do nível de preços pelo índice de Laspeyres foi maior que a variação pelo índice de Paasche.

(2) Ambas variações percentuais foram inferiores a, no mínimo, 30%. (3) A variação percentual do nível de preços pelo índice de Laspeyres foi

superior a 35%.


20

(4) A variação percentual do nível de preços pelo índice de Laspeyres foi exatamente de 37,5% e pelo índice de Paasche foi superior a 25%.

(5) A variação percentual do nível de preços pelo índice de Laspeyres foi exatamente de 37,5% e pelo índice de Paasche foi inferior a 25%.

(ANPEC 1997 - QUESTÃO 13) - Supondo que os dados a seguir referem-se ao consumo básico de uma família de baixa renda, determine a inflação (ou a variação dos preços) ocorrida no período especificado para o conjunto de itens do consumo básico, utilizando, para tanto, o método de Laspeyres. Coloque a resposta expressa em percentagem.

Itens

Participação relativa no

gasto em Jan/95

Preço por unidade

(%) Janeiro/95 Janeiro/96 feijão 11 0,75 0,90 arroz 8 0,50 0,80

farinha 10 0,45 0,63 óleo 6 0,75 1,05 pão 18 1,00 2,00 leite 6 0,45 0,63 café 7 4,50 6,75

açúcar 9 0,60 0,78 margarina 10 1,70 2,55

carne 15 1,80 2,16 Total 100 - -

(ANPEC 1998 - QUESTÃ0 12) - Com base na equação da Renda Nacional (Y = C + I + X - M) e nos dados a seguir, calcule a Renda Nacional em 1996, a preços constantes de 1990.

RENDA NACIONAL A PREÇOS CORRENTES (em milhões de unidades monetárias)

COMPONENTES

1990 1996

Consumo ( C ) 15,0 20,0 Investimento ( I ) 5,0 8,4 Exportação ( X ) 2,0 3,0 Importação ( M ) 1,0 1,8

Renda Nacional ( Y ) 21,0 29,6


21

DEFLATORES (Base: 1990 = 100)

ÍNDICES

1996

Custo de Vida 125 Investimento 105 Exportações 150 Importações 180

(ANPEC 1999 - QUESTÃO 3) - Com base na teoria dos Números Índices, pode-se afirmar que: (0) Os índices de Laspeyres de preços e de quantidades podem ser obtidos ponderando-se, respectivamente, os índices simples relativos de preços e de quantidades aos diferentes bens pelos valores no período base.

(1) Em relação ao índice de Laspeyres e de Paasche, os de Fisher possuem duas vantagens: observam a propriedade de reversão no tempo, e o índice de preços vezes o de quantidade é igual ao índice de valor. (2) O índice de preços de Laspeyres é, em geral, maior do que o índice de preços de Paasche, pois para o primeiro, a ponderação é fixa na época base e para o segundo é variável na época atual. (3) Os índices de Fisher, definidos como a média geométrica dos índices de Laspeyres e de Paasche, são sempre maiores do que estes dois últimos. (ANPEC 2000 - QUESTÃO 02) - A tabela abaixo apresenta, para os anos de 1994 e 1999, dados hipotéticos sobre preços e quantidades vendidas de 6 diferentes produtos comercializados por certa companhia. Calcule a variação percentual dos preços dos produtos da companhia neste período, utilizando o índice de Paasche.

1994 1999

Tipo de pro duto

Preço Quantidade Vendida

Preço Quantidade Vendida

A 5 80 20 100 B 7 100 6 1000 C 2 200 5 200 D 3 600 4 500 E 1 300 2 200 F 2 100 3 200


22

(ANPEC 2001 - QUESTÃO 02) - Em relação a índices de preços, é correto afirmar:

(0) Os índices de Laspeyres e Paasche permitem comparar o custo de aquisição de uma cesta de mercadorias no período t, com o custo de aquisição dessa mesma cesta de mercadorias no período base.

(1) índice de Laspeyres subestima a variação do preço entre dois momentos enquanto o índice de Paasche superestima.

(2) O índice de Fischer é dado pela média harmônica dos índices de Laspeyres e Paasche e obedece ao critério da decomposição das causas.

(3) Se o preço de determinado produto teve acréscimo de 16% e provocou crescimento do índice de custo de vida de 0,4%, então esse produto representa 2,5% das despesas da família típica objeto da pesquisa de orçamentos familiares.

(4) Tomando o ano zero como base, foram observados os seguintes valores para o ano 1: índice do PIB nominal = 120; índice de quantidade de Laspeyres = 80. Pode-se então concluir que a taxa de inflação no período, medida pelo deflator implícito do PIB, foi de 50%.

(ANPEC 2002 - QUESTÃO 02) - Em relação a índices e deflacionamento de preços é correto afirmar:

(0) Os índices de preços de Laspeyres e de Paasche geram, em geral, resultados

diferentes quando utilizados para avaliar a variação do nível dos preços de um conjunto de produtos, mas ambos atendem à condição de reversão no tempo.

(1) Se um determinado índice de preços com ano base em 1992 assume os valores I95 = 300 e I96 = 400 em 1995 e 1996, respectivamente, então um produto com preço corrente de R$ 10,00 em 1996, tem preço de R$ 7,50, em moeda de 1995.

(2) Multiplicando-se um índice de preços de Laspeyres por um índice de quantidades de Laspeyres, obtém-se um índice relativo de valor das vendas (I(Vt|V0)).

(3) Se os preços dos automóveis aumentam em 20% e isso se reflete em um aumento de 0,1% no ICV0-3SM (Índice de Custo de Vida de 0 a 3 salários mínimos) e em um aumento de 1,2% no ICV10-20SM, então o peso dos automóveis nas despesas dos famílias típicas com renda entre 10-20 SM é 12 vezes maior do que nas famílias típicas com renda entre 0 a 3 SM.

(4) Para calcular o índice de preços de Paasche para uma série de anos requer-se menos informação do que para calcular o índice de Laspeyres.

(ANPEC 2003 - QUESTÃO 01) - Com relação aos números índice, é correto afirmar que:

(0) o índice de Fisher é uma média harmônica dos índices de Paasche e Laspeyres;

(1) o índice de preços de Laspeyres é uma média harmônica de relativos de preços ponderados pelo valor dos bens no período base;

(2) o índice de preços de Paasche é uma média aritmética de relativos de preços ponderados pelo valor dos bens no período atual;


23

(3) embora os índices de Laspeyres e de Paasche não satisfaçam ao critério da decomposição das causas, o produto cruzado de um Laspeyres de preço por um Paasche de quantidade satisfaz;

(4) o índice de Paasche de preços pode ser calculado pela divisão de um índice de valor por um índice Laspeyres de quantidade.

GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS


24

I – ESTATÍSTICA DESCRITIVA

01 – A 02 – C 03 – B 04 – E 05 – D 06 – B 07 – C 08 – A 09 – D 10 – B 11 – A 12 – C 13 – B 14 – E 15 – C 16 – A 17 – E 18 – C 19 – A 20 – A 21 – B 22 – D 23 – C 24 – C 25 – C 26 – F-F-V-V-F 27 – C 28 – E 29 – E 30 – C

II – TÓPICO ESPECIAL: NÚMEROS-ÍNDICES 1 – B 2 – D 3 – C 4 – B 5 – B 6 – D 7 – C


25

GABARITO DA ANPEC ANPEC 1990 ANPEC 1991 ANPEC 1992 ANPEC 1993 1. (0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V 2. (0) F - (1) V - (2) F - (3) F - (4) V 3. (0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) V 4. (0) F - (1) F - (2) V - (3) V - (4) F 5. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V 6. 03 7. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V 8. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F 9. (0) F - (1) F - (2) F - (3) V 10. (0) F - (1) V - (2) F - (3) F 11. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F - (4) F 12. (0) F - (1) F - (2) F - (3) F - (4) F 13. (0) V - (1) F - (2) F - (3) F - (4) F 14. (0) F - (1) V - (2) V - (3) V 15. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) F

ANPEC 1994 1. (0) P - (1) P - (2) V - (3) F - (4) F 2. (0) V - (1) F - (2) V - (3) F 3. 20 4. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F 5. 08 6. (0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V 7. (0) V - (1) F - (2) V - (3) V - (4) F 8. (0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V 9. 03 10. (0) F - (1) V - (2) F - (3) F - (4) V 11. P 12. 55 13. P 14. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F - (4) F - (5) V 15. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F ANPEC 1995


26

1. 23 2. (0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) F 3. (0) F - (1) F - (2) V - (3) V - (4) V 4. (0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) F 5. (0) F - (1) F - (2) F - (3) V - (4) F 6. (0) F - (1) F - (2) F - (3) V 7. (0) F - (1) F - (2) V - (3) V - (4) F 8. (0) F - (1) F - (2) F - (3) F - (4) V 9. (0) V - (1) V - (2) V - (3) F 10. 30 11. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) V 12. (0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V 13. (0) V - (1) F - (2) F - (3) V - (4) V 14. (0) V - (1) F - (2) F - (3) V - (4) F 15. (0) V - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V ANPEC 1996 1. (0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) F - (5) F - (6) V - (7) F 2. 97 3. (0) V - (1) V - (2) F - (3) V - (4) V - (5) F 4. 22 5. (0) V - (1) V - (2) F - (3) V 6. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F 7. 41 8. (0) V - (1) F - (2) F - (3) F 9. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F - (4) V - (5) V 10. (0) V - (1) V - (2) F - (3) F 11. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) F - (5) V 12. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) F 13. (0) F - (1) V - (2) V - (3) F 14. 00 15. (0) V - (1) F - (2) F - (3) F

ANPEC 1997

Q U E S T Õ E S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 E C 25 C 58 C C E C C E E 48 C C

Q 1 C C C E E C E E C C E C U 2 E C E E C C C C E E E C E 3 C C C E E E C E E C C E S 4 E C C C E C C I 5 T 6 O 7 S 8 9


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ANPEC 1998

Questões Quesitos

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15

00 V X F V V X X F F V V 25 F V V 01 V F V F F X V V V F F V F V 02 F X V V V X F V V F V F F F 03 F V V V F X F V F F V V F V 04 F V V V

ANPEC 1999

PROVA DE ESTATÍSTICA

ques./quest

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

00 E 11 C E C C E X E E C E E E E 01 C C C C C C E E C E C C E 02 C C C C E C C C E C C E C 03 E E E E X E C C E C E C C 04 C C C E E C C

(nc* = não consta) (X = anulada)

ANPEC 2000 IT\QUES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 F 20 F V F V V V 32 17 F F V 13 V 1 V F F V V F F F F F V 2 F V V F F F V V V F F 3 F V F F F V V V F 4 V V V F F F V

ANPEC 2001

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 V V V V F F V F F F V V 99 2 25 1 V F V V F F F V V V F F 2 F F F F V F V V F V V V 3 V V F F V V V F F F F F 4 V V F F F F V F F V V V

ANPEC 2002

Prova de Estatística (4)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


28

0 F F F V A V F V F V F F 20 6 50 1 F V V V F F V F F V V F 2 V F F F F V F F V F V F 3 V V F F F F V V V F F V 4 F F V F F V V F V V F F

GABARITO DA PROVA 2 - ANPEC 2003 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 F F F F A F F F F F 75 40 04 25 11

1 F V F V V V F F F V 2 F V V F F F F V V V

3 V F F F V F V F F V 4 V F F V F F V V V F


29

ESTATÍSTICA AVANÇADA Questões de concursos públicos, do Provão do MEC e do exame nacional ANPEC Brasília-DF

2003

I – PROBABILIDADE


30

Questões de Concursos Públicos 01 - (BACEN/ESAF/2002) - Uma empresa fabrica motores a jato em duas fábricas A e B. Um motor é escolhido ao acaso de um lote de produção. Nota-se que o motor apresenta defeitos. De observações anteriores a empresa sabe que 2% e 3% são as taxas de motores fabricados com algum defeito em A e B, respectivamente. Sabendo-se que a fábrica A é responsável por 40% da produção, assinale a opção que dá a probabilidade de que o motor escolhido tenha sido fabricado em A.

a) 0,012 b) 0,030 c) 0,308 d) 0,400 e) 0,500 02- (ESAF/AFPS-2002/Administração Tributária Previdenciária) - Suponha que a probabilidade de um evento C seja 0,4 e que a probabilidade condicional do evento D dado que C ocorreu seja 0,2. Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de ocorrência de D e C. a) 0,50 b) 0,08 c) 0,00 d) 1,00 e) 0,60 03-(ESAF/AFPS-2002/Auditoria nas Ent. Fech. de Prev. Complementar) - Considere um ensaio aleatório com espaço amostral T,U,V,W. Considere os eventos M=T, N=U,V e S=W. Assinale a opção correta relativamente à probabilidade de M ∩ N ∩ S. a) Não se pode determinar a probabilidade da interseção sem maiores informações. b) É o produto das probabilidades de M, N e S, pois os eventos são estatisticamente independentes. c) A probabilidade é um, pois pelo menos um dos três eventos deve ocorrer. d) A probabilidade da interseção é 1/3 se os eventos elementares forem igualmente prováveis. e) A probabilidade da interseção é nula, pois os eventos são mutuamente exclusivos. 04 – (Analista do Banco Central – 1994) – O gerente de finanças de um banco chefiou o desenvolvimento e a implantação de um novo sistema que veio causar sérios problemas à instituição devido a um erro cometido por um dos membros da equipe. O Gerente é, com probabilidade igual a 0,8, o responsável pelo erro cometido. Dois assessores diretos, X e Y, sabem se o gerente é ou não culpado e foram chamados para uma reunião com a presidência do banco. O assessor X, primeiro a ser chamado, é amigo do gerente e dirá a verdade, se o gerente for inocente, mas mentirá, com probabilidade igual a 0,2, se o gerente for culpado. Já o assessor Y, segundo a dar testemunho, odeia toda a equipe e driá a verdade, se o gerente for culpado, mas mentirá, com probabilidade igual a 0,3, se o gerente for inocente. Com base na situação apresentada, julgue os itens que se seguem.


31

a) Se X disser à presidência que o gerente é o responsável pelo erro, a chance de o gerente ser inocente será igual a 0,2

b) O testemunho falso mais provável será dado pelo assessor X. c) Os assessores X e Y darão, com probabilidade igual a 0,16, testemunhos

conflitantes. d) Se X e Y derem testemunhos conflitantes, a chance de o gerente ser inocente será

igual a 3/11 e) Os eventos X mente e Y mente são dependentes. 05 – (Analista do Banco Central – 1998) – De uma urna contendo 10 bolinhas numeradas de 1 a 10, duas são sorteadas sucessivamente sem reposição (a ordem dos números não é levada em consideração). A probabilidade de que os números sejam inferiores a 4 é: a) 3/10 b) 1/15 c) 2/7 d) 1/3 e) 19/86

Questões do Exame Nacional da ANPEC (ANPEC 1992/QUESTÃO 2) - Com relação à Teoria da Probabilidade pode-se afirmar que: (0) O espaço amostral de um experimento é o conjunto de resultados possíveis deste

experimento. (1) O evento é um resultado possível do experimento. (2) Se A e B são eventos independentes, então P(A/B) = P(A). (3) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então eles são independentes. (4) A definição clássica de Probabilidade pressupõe que todos os resultados de um

experimento são igualmente prováveis. (ANPEC 1992/QUESTÃO 3) - Em uma universidade, 30% dos homens e 20% das mulheres estudam matemática. Além disso, 45% dos estudantes são mulheres. Se um estudante é escolhido aleatoriamente está estudando matemática, qual é a probabilidade de que esse estudante seja mulher? (use duas casas decimais e multiplique o resultado por 100). (ANPEC 1993/QUESTÃO 6) - Suponha duas caixas de bombons. Na caixa A temos dois bombons com recheio e quatro sem recheio. Na caixa B temos três bombons com recheio e três sem recheio. Um bombom retirado de uma das caixas não tem recheio. Qual a probabilidade que tenha vindo da caixa B? (Multiplique o resultado por 7). (ANPEC 1994/QUESTÃO 3) - Uma grande empresa tem dois departamentos de produção: Produtos Marítimos e Produtos para Oficinas. A probabilidade de que a divisão de Produtos Marítimos tenha, no corrente ano fiscal, uma margem de lucros de no mínimo 10% é estimada em 0.30; a probabilidade de que a divisão de Equipamentos


32

para Oficinas tenha uma margem de lucros de pelo menos 10% é 0.20; e a probabilidade de que ambas as divisões tenham uma margem de lucro de no mínimo 10% é 0.06. Determine a probabilidade de que a divisão de Equipamentos para Oficinas tenha uma margem de lucro de no mínimo 10% dado que a divisão de Produtos Marítimos tenha alcançado tal nível de lucro. (Multiplique o resultado por 100). (ANPEC 1994/QUESTÃO 14) - Com relação à teoria da Probabilidade pode-se afirmar que: (0) Se A e B são eventos independentes, então: P A B P A P B( ) ( ) ( )∪ = + (1) Se A, B e C são eventos quaisquer com P(C) ≠ 0, então: P A B C P A C P B C( | ) ( | ) ( | )∪ = + (2) Se A e B são eventos quaisquer então: P A B P A B( ) ( )∩ = ∪

(3) P A P A( ) ( )+ = 0. (4) A, B e C são eventos independentes se, e somente se, P A B C P A P B P C( ) ( ). ( ). ( )∩ ∩ = (5) A definição freqüentista de Probabilidade é fundamentada na idéia de repetição

do experimento. (ANPEC 1995/QUESTÃO 1) –A probabilidade de que o preço dos combustíveis aumente no mês vindouro é estimada em 0,4. Se isto ocorrer, a probabilidade de que os preços dos transportes coletivos também aumentem é de 0,5; caso contrário, esta probabilidade é de 0,1. Se naquele mês o preço da passagens, de fato, subirem, qual a probabilidade de os preços dos combustíveis não terem sofrido majoração? (Multiplique o resultado por 100 e considere apenas a parte inteira do resultado).

(ANPEC 1995/QUESTÃO 6) - Sejam S s s sn= 1 2, , ,K o espaço amostral de um experimento aleatório e E e E1 2 dois eventos de S. Então: (0) P(s1) + ... + P(sn) = 1 se s sn1 , ,K forem independentes. (1) P(E E1 2∩ ) = P(E1).P(E2) se E1 e E2 forem mutuamente exclusivos. (2) P(E E1 2∪ ) = P(E1) + P(E2) se E1 e E2 forem independentes. (3) P(E1/E2) = P(E2 /E1) se e somente se P(E1) = P(E2) ≠ 0. (ANPEC 1996/QUESTÃO 1) - Considere um espaço amostral com a terna ),,( PℑΩ ,

onde Ω ≠ ∅ é o conjunto universo, ℑ é o conjunto dos possíveis eventos e P é uma medida de probabilidade. Podemos afirmar que:

(0) Se A, B ∈ ℑ são dois eventos, então A ∪ B é um evento, isto é, A ∪ B ∈ ℑ. (1) Se A, B ∈ ℑ são dois eventos disjuntos, isto é, A ∩ B = ∅, então P(A ∩ B)

= 0. (2) Se A ∈ ℑ é um evento tal que P(A) = 0, então A = ∅.


33

(3) Se A ∈ ℑ é um evento tal que P(A) = 1, então A = Ω. (4) Dois eventos independentes A, B ∈ ℑ são necessariamente disjuntos. (5) Se A, B ∈ ℑ são dois eventos quaisquer, então P(A ∪ B) = P(A) + P(B). (6) Se dois eventos A, B ∈ ℑ são independentes, então P(A ∩ B) = P(A) P(B).

(7) Dados dois eventos A, B ∈ ℑ, se P(A ∩ B) = 0, então A e B são necessariamente disjuntos.

(ANPEC 1996/QUESTÃO 7) - Três lâmpadas defeituosas foram misturadas com seis lâmpadas boas. Se duas lâmpadas são escolhidas aleatoriamente, calcule a probabilidade de ambas serem boas. Multiplique o resultado por 100 e considere apenas a parte inteira do resultado. (ANPEC 1997/QUESTÃO 2) - Seja S= s1,...,sN o espaço amostral de um

experimento aleatório e E1, E2, E3 eventos de S. Então:

(0) ( ) ( ) ( )P E E E = P E E E P E E P(E )1 2 3 3 1 2 2 1 1I I I ⋅ ⋅ .

(1) P(E1) > P(E2) implica ( ) ( )P E E P E E1 2 2 1> , caso P E( )2 0≠ .

(2) ( ) ( )P E E P E E1 2 1 2I U≤ ≤ +P E P E( ) ( )1 2 .

(3) Se E1, E2, E3 forem eventos independentes, então

( )P E E E = P(E ) P(E ) P(E )1 2 3 1 2 3I I ⋅ ⋅ .

(ANPEC 1998/QUESTÃO 2) - Considere um espaço amostral com a terna (Ω,Γ,P), onde Ω ≠ ∅ é o conjunto Universo, Γ é o conjunto dos possíveis eventos e, P , é uma medida de probabilidade. Assim, pode-se afirmar que :

(0) Se A, B e C são eventos de Γ , então o evento “exatamente um dos eventos ocorre” é expresso na notação de conjunto como ( ) ( ) ( )A B C A B C A B CI I U I I U I I .

(1) Se A e B são dois eventos quaisquer de Γ, então P(AUB) ≥ P(A) + P(B).

(2) Se A e B são dois eventos quaisquer de Γ, onde P(A)=1/2 , P(B)=1/3 e P(A∪B) =3/4, então P( A ∩B)=1/4 e P( A BI ) =1/4.

(3) Se A e B são dois eventos quaisquer de Γ , então se P(A|B) > P(A) tem-se que P(B|A) > P(B).

(ANPEC 1998/QUESTÃO 3) - A tabela de contingência a seguir apresenta os dados de uma amostra de 150 empresas, classificados segundo quatro grupos industriais e se o retorno sobre o capital próprio é maior ou menor que o retorno médio na amostra.

Grupo Retorno sobre o capital próprio Total Industrial Acima da média (A) Abaixo da média (B) I 20 40 60


34

II 10 10 20 III 20 10 30 IV 25 15 40 Total 75 75 150

Com base nestas informações, verifique as seguintes afirmações:

(0) Se selecionarmos uma empresa ao acaso, a probabilidade da empresa ser do grupo III ou ter o retorno sobre o capital próprio abaixo da média é 40%.

(1) Se selecionarmos uma empresa ao acaso, a probabilidade da empresa ser do grupo I é de 40%.

(2) Se a empresa escolhida ao acaso for do grupo II, a probabilidade do retorno sobre o capital próprio estar acima da média é 50%.

(3) Se duas empresas diferentes são escolhidas ao acaso, a probabilidade de sair primeiro uma empresa do grupo I e depois uma empresa do grupo III é aproximadamente igual a 8%.

(4) O evento “grupo I” independe estatisticamente do evento “retorno sobre o capital próprio acima da média”.

(ANPEC 1999/QUESTÃO 15) - Com relação à Teoria das Probabilidade podemos afirmar que:

(0) Sendo A e B dois eventos independentes e se P(A) = 0,5 e P(B) = 0,4, então P(A∪B)

= 0,5. (1) Sendo A e B dois eventos mutuamente exclusivos e se P(A) = 0,5 e P(B) = 0,4, então

P(A∪B) = 0,5. (2) Seja S um espaço amostral e A e B dois eventos quaisquer associados a S. Então

P A B P A B( | ) ( | )+ = 1 , onde P A B( | ) = probabilidade de ocorrência do evento A dado de ocorreu o evento B.

(3) Um projeto para ser transformado em lei deve ser aprovado pela Câmara dos Deputados e pelo Senado. A probabilidade de ser aprovado pela Câmara dos Deputados é de 40%. Caso seja aprovado pela Câmara, a probabilidade de ser aprovado no Senado é 80%. Logo, a probabilidade desse projeto ser transformado em lei é de 32%.

(4) Num processo eletivo 55% dos votantes são homens. Sabe-se que dentre os homens 40% preferem o candidato A, 50% o candidato B e os 10% restantes votam nos demais candidatos. Dentre as mulheres 60% preferem A, 25% preferem B e o restante os demais candidatos. Se um voto escolhido ao acaso for para o candidato A, a probabilidade deste voto ser de uma mulher é de 55,1%.


35

(ANPEC 2000/QUESTÃO 01) - Considere a terna (S,Σ,P), em que S ≠ ∅ é o conjunto Universo, Σ é o conjunto dos possíveis eventos e, P é uma medida de probabilidade. Verifique quais das afirmativas abaixo são verdadeiras (V) e quais são falsas (F):

(0) Se dois eventos são disjuntos, eles serão também independentes.

(1) Para dois eventos quaisquer A e B, Prob (A) = Prob (A∩Bc) + Prob (A∩B), em que Bc é o complemento de B.

(2) Sejam dois eventos A e B, em que Prob (A) = 1/2 e Prob (B) = 1/3. Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então Prob (B∩Ac) é igual a 1/6.

(3) Sejam os eventos A, B e C, tais que Prob (A∩B∩C) = Prob(A). Prob(B). Prob(C). Pode-se então afirmar que estes eventos são independentes.

(ANPEC 2001/QUESTÃO 01) - Os formandos de determinada faculdade de economia tomaram as seguintes decisões para o ano seguinte:

Decisão Homens Mulheres Totais

Fazer mestrado em economia 7 9 16

Fazer outros cursos 5 6 11

Procurar emprego 16 9 25

Totais 28 24 52

Com base nessas informações, é correto afirmar:

(0) A probabilidade de que as mulheres continuem estudando é aproximadamente 46% superior à dos homens.

(1) Sabendo-se que alguém optou por procurar emprego, a probabilidade de ser homem é 64%.

(2) Se a probabilidade de ser aprovado no exame de seleção para mestrado em economia é de 30%, espera-se que 1/4 dos homens iniciem o curso no ano seguinte.

(3) Se a probabilidade de encontrar emprego é de 40% e a de ser aprovado nos exames de seleção é de 30% e 45%, respectivamente, para o mestrado em economia e para os outros cursos, espera-se que 9 mulheres atingirão seus objetivos.

(4) Entre os formandos que pretendem continuar estudando, 1/3 é mulher que pretende fazer mestrado em economia.

(ANPEC 2002/QUESTÃO 01) - Considere o espaço amostral S, os eventos A e B referentes a S e a medida de probabilidade P.

(0) Se P(A) = 21 , P(B) = 4

1 , e A e B são mutuamente exclusivos, então P(A ∩ B)

= 81 .

(1) Se A ⊂ B, então P(A|B) ≤ P(A).


36

(2) Se P(A) = 21 , P(B) = 3

1 e P(A ∩ B) = 41 , então P(AC ∩ BC) = 12

5 , em que AC

e BC indicam os eventos complementares.

(3) Se k21 B,,.........B,B representam uma partição de um espaço amostral S, então para

A ⊂ S tem-se que

∑=

=k

jjj

iii

BAPBP

BAPBPABP

1

)|()(

)|()()|( , .,........2,1 ki =

(4) Se P(A|B) = 0 então A e B são independentes. (ANPEC 2003/QUESTÃO 12) - Três máquinas, A, B e C, produzem respectivamente 50%, 30% e 20% do número total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas na produção dessas máquinas são respectivamente 3%, 4% e 5%. Uma peça é selecionada ao acaso e constata-se ser ela defeituosa. Encontre a probabilidade de a peça ter sido produzida pela máquina A. (Use apenas duas casas decimais. Multiplique o resultado final por 100).

(ANPEC 2003/QUESTÃO 13) - A probabilidade de um homem acertar um alvo é ¼. Quantas vezes ele deve atirar para que a probabilidade de acertar pelo menos uma vez no alvo seja maior que 2/3?

(ANPEC 1994/QUESTÃO 9) - Um empresário pergunta se valerá a pena fazer um seguro contra chuva, por ocasião de um determinado acontecimento esportivo que ele está empresariando. Se não chover ele espera obter $10.000 de renda, por ocasião do evento, mas só $2.000 se chover. Uma apólice de seguro de $7.000 lhe custará $3.000. Determine a probabilidade p de chover, de tal modo que sua expectativa seja a mesma, faça ele o seguro ou não. (Multiplique o resultado por 7).


37

II – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS E CONTÍNUAS. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE E DENSIDADE DE PROBABILIDADE. DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA, DISTRIBUIÇÃO MARGINAL, INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA. ESPERANÇA MATEMÁTICA E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA. COVARIÂNCIA E COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO. PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES: BERNOULLI, BINOMIAL, POISSON, GEOMÉTRICA, HIPERGEOMÉTRICA, UNIFORME, NORMAL, LOGNORMAL, QUI-QUADRADO, t e F.

Questões de Concursos Públicos e do Provão do MEC 01 - (ESAF/Analista do Banco Central/2001) – Uma variável aleatória X tem função de distribuição de probabilidade dada pôr

Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de X = 2 a) 7/12 b) 11/12 c) 1/3 d) 3/ 4 e) 10/12

≥

<≤

<≤

<≤

<

=

31

3212

11

2112

7

104

1

00

)(

x

x

x

x

x

xF


38

02 - (ESAF/Analista do Banco Central/2001) – A variável aleatória X tem distribuição de probabilidades do tipo absolutamente contínuo com densidade de probabilidades

onde α é uma constante positiva maior do que um. Assinale a opção que dá o valor de α para que se tenha P(X>1) = 0,25 a) 4 b) 0 c) 3 d) 1 e) 2 03 - (ESAF/Analista do Banco Central/2002) – Uma variável aleatória do tipo absolutamente contínuo tem a função densidade de probabilidade seguinte:

≤≤−

=casosoutrosem

xxxf

0

151008,02,1)(

Assinale a opção que dá a probabilidade de que a variável aleatória assuma valores entre 10 e 12.

a) 0,640 b) 0,200 c) 0,500 d) 0,160 e) 0,825 04 - (ESAF/Analista do Banco Central/2002) – Considere duas variáveis aleatórias X e Y. Sejam 45 e 65 as médias de X e Y, respectivamente. Sejam 4 e 16 as variâncias de X e Y, respectivamente e 3 a covariância entre essas duas variáveis. Assinale a opção que dá a variância da diferença X – Y. a) 23 b) 20 c) 14 d) 26 e) Não é possível calcular a variância de X – Y com a informação dada.

≥

<<−=

x

xxf

0

2/1)(

ααα


39

05 - (ESAF/Analista (Planej. e Execução Financeira) - CVM - 2000) - Uma firma distribuidora de eletrodomésticos está interessada em estudar o comportamento de suas contas a receber em dois meses consecutivos. Com este objetivo seleciona, para cada mês, uma amostra de 50 contas. As observações amostrais constam da tabela seguinte:

Valor (R$) Freqüência de Março Freqüência de Abril 1.000,00 6 10 3.000,00 13 14 5.000,00 12 10 7.000,00 15 13 9.000,00 4 - 11.000,00 - 3

No contexto das distribuições de freqüências, as médias amostrais são, respectivamente, R$ 4.920,00 e R$ 4.520,00, para os meses de março e abril. Questiona-se se o valor médio populacional das contas a receber de março difere significantemente do valor médio populacional correspondente de abril. Para verificar esta conjectura, realiza-se um teste de médias, assumindo-se as amostras independentes e provenientes de populações normais com variâncias homogêneas. O valor obtido para a estatística teste foi de 0,78 com valor probabilístico de 43,4%. Assinale a opção correta. a) Não há evidência de que as médias sejam distintas no nível de significância de 5% e a estatística teste se distribui como t de Student com 97 graus de liberdade, sob a hipótese da igualdade das médias populacionais. b) As médias diferem significantemente no nível de 45% e a estatística teste se distribui como t de Student com 97 graus de liberdade, sob a hipótese da igualdade das médias populacionais. c) Não há evidência de que as médias sejam distintas para qualquer nível α < 43,4% e a estatística teste se distribui como t de Student com 97 graus de liberdade, sob a hipótese da igualdade das médias populacionais. d) Não há evidência de que as médias difiram no nível de significância de 5% e a estatística teste se distribui como t de Student com 98 graus de liberdade, sob a hipótese da igualdade das médias populacionais. e) O valor probabilístico associado ao valor da estatística teste não define informação suficiente para que se possa dizer que uma média difere da outra significantemente e a estatística teste se distribui como t de Student com 97 graus de liberdade, sob a hipótese de igualdade das médias populacionais. 06 - (ESAF/Analista (Planej. e Execução Financeira) - CVM - 2000) - Uma pessoa está indecisa se compra uma casa agora ou se espera para comprar daqui a um ano. A pessoa acredita que o aumento do preço da casa em um ano tenha distribuição normal com média de 8% e desvio-padrão de 10%. Se o preço aumentar mais de 25% a pessoa não terá dinheiro para adquirir o imóvel. Por outro lado, se o preço da casa cair, a pessoa sairá lucrando. Assinale a opção que dá as probabilidades de ocorrência de cada um desses eventos, respectivamente. Nos cálculos use a tabela dos valores das probabilidades P(Z > z) para a distribuição normal padrão dada a seguir.


40

z P(Z>z) z P(Z>z) 0,5 0,309 1,5 0,067 0,6 0,274 1,6 0,055 0,7 0,242 1,7 0,045 0,8 0,212 1,8 0,036 0,9 0,184 1,9 0,029

a) 4,5% e 10,4% b) 6,7% e 24,2% c) 4,5% e 24,2% d) 2,9% e 18,4% e) 4,5% e 21,2% 07 - (ESAF/Analista (Planej. e Execução Financeira) - CVM - 2000) - Acredita-se que o preço de um bem (X), em reais, tenha distribuição populacional uniforme no intervalo aberto (1; 7). Assinale a opção que corresponde à probabilidade de se observar na população um valor de X de pelo menos 3 reais e de no máximo 5 reais. a) 2/7 b) 1/3 c) 5/6 d) 1/2 e) 3/4 08 - (ESAF/Analista (Planej. e Execução Financeira) - CVM - 2000) - Acredita-se que o logaritmo neperiano da variável renda (X), medida em milhares de reais, tenha distribuição populacional normal com média 2 e variância unitária. Assinale a opção que corresponde ao valor esperado de X. Em todas as opções a constante e representa a base do sistema de logaritmos neperiano. a) e2,5 b) e2,0 c) loge 2,0 d) 1+loge2,0 e) e3,0 09 -(ESAF/AFPS-2002/Administração Tributária Previdenciária) - A média e o desvio-padrão obtidos num lote de produção de 100 peças mecânicas são respectivamente, 16 Kg e 40g. Uma peça particular do lote pesa 18Kg. Assinale a opção que dá o valor padronizado do peso dessa bola. a) –50 b) 0,05 c) 50 d) –0,05 e) 0,02 10 - (ESAF/AFPS-2002/Administração Tributária Previdenciária) - O atributo X tem distribuição normal com média 2 e variância 4. Assinale a opção que dá o valor do terceiro quartil de X, sabendo-se que o terceiro quartil da normal padrão é 0,6745. a) 3,3490 b) 0,6745


41

c) 2,6745 d) 2,3373 e) 2,7500 11 - (ESAF/AFPS-2002/Administração Tributária Previdenciária) - Tem-se uma variável aleatória normal X com média µ e desvio-padrão σ. Assinale a opção que dá o intervalo contendo exatamente 95% da massa de probabilidades de X. a) (µ-0,50σ; µ+0,50 σ) b) (µ-0,67 σ; µ+0,67 σ) c) (µ-1,00 σ; µ+1,00 σ) d) (µ-2,00 σ; µ+2,00 σ) e) (µ-1,96 σ; µ+1,96 σ) 12 - (ESAF/AFPS-2002/Administração Tributária Previdenciária) - Considere uma variável aleatória X do tipo discreto com espaço x1, ..., xn onde os xi são distintos. Seja f(x) a função massa de probabilidades de X e µx a sua expectância. Assinale a opção que corresponde à variância de X.

13- (ESAF/AFPS-2002/Administração Tributária Previdenciária) - Uma variável aleatória X tem função de distribuição de probabilidades

Assinale a opção correta

+∞<≤

<≤

<

=xse

xse

xse

xF11

105,0

00

)(


42

14 – (ESAF/AFPS-2002/Administração Tributária Previdenciária) - Sabe-se que PX> 4,3465= 0,05 onde X tem distribuição F com 3 graus de liberdade no numerador e 7 graus de liberdade no denominador. Assinale a opção que dá o valor de y tal que P Y> y= 0,95, onde Y tem distribuição F com 7 graus de liberdade no numerador e 3 graus de liberdade no denominador. a) 0,500 b) 0,230 c) 0,641 d) 0,150 e) 0,780 15- (ESAF/AFPS-2002/Administração Tributária Previdenciária) - A variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo (0, σ) onde σ é uma constante maior do que 0,5. Determine o valor de σ tal que F(0,5)=0,7, sendo F(x) a função de distribuição de X. a) 3/4 b) 1/4 c) 1 d) 5/7 e) 1/2 16- (ESAF/AFPS-2002/Administração Tributária Previdenciária) - Sabe-se que o número de clientes que procuram atendimento numa agência da previdência no período das 17 às 18 horas tem distribuição de Poisson com média de 3 clientes. Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de que mais de 2 clientes apareçam no período. Sabe-se que e-3 = 0,0498, sendo e o número neperiano. a) 0,776 b) 0,667 c) 0,500 d) 0,577 e) 1,000


43

17- (ESAF/AFPS-2002/Administração Tributária Previdenciária) - Temos duas populações normais A e B com mesma variância e amostras aleatórias independentes dessas populações de tamanhos n1=20 e n2=20 respectivamente. Assinale a opção que dá o número de graus de liberdade da estatística de Student utilizada no teste de igualdade das médias das populações A e B. a) 40 b) 19 c) 16 d) 20 e) 38 18 – (Analista do Banco Central – 1994) – As variáveis aleatórias x e Y têm variâncias respectivamente iguais a 3 e 1 e têm covariância igual a 1. A variância de X – 2Y vale: a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 11 Para a questão 19, a tabela abaixo, que dá valores das funções de distribuição da variável normal reduzida e da variável t de Student, pode ser útil.

Z 0,5 1 1,5 2 2,5 3 NORMAL F(z) 0,691 0,841 0,933 0,977 0,994 0,999

t com 9 graus de liberdade F(z) 0,685 0,828 0,916 0,962 0,983 0,993 t com 8 graus de liberdade F(z) 0,685 0,827 0,914 0,960 0,982 0,991 19 – (Analista do Banco Central – 1994) - Suponha os pesos das pessoas, normalmente distribuídos, em certo grupo, com média de 70kg e desvio padrão de 8kg. Escolhidas ao acaso 4 dessas pessoas, a probabilidade da soma dos seus pesos ser maior do que 296kg é de :

a) 0,309 b) 0,159 c) 0,067 d) 0,023 e) 0,006 20 – (Analista do Banco Central – 1994) – O coeficiente de correlação linear entre X e Y é r. Se Y = 4 – 2X, então: a) r = 1 b) 0<r<1 c) r = 0 d) –1<r<0 e) r = -1


44

21 - (Analista do Banco Central – 1998) – Duas variáveis X e Y têm coeficiente linear igual a 0,8. O coeficiente de correlação linear entre as variáveis 2X e 3Y é: a) 0,8 b) 0,53 c) 0,27 d) 0,32 e) 0,4 22 - (Analista do Banco Central – 1998) – Uma variável aleatória X tem a distribuição de probabilidade dada abaixo:

X 1 2 3 4 Probabilidade 0,1 0,4 M 0,1

O valor esperado e a variância valem, respectivamente a) 2,5 e 0,45 b) 2,5 e 0,55 c) 2,5 e 0,65 d) 2 e 0,5 e) 2 e 0,6 23 - (Analista do Banco Central – 1998) – Suponha que a probabilidade de um carro qualquer sofrer um acidente ao longo de 1 ano seja 1%. Se tomarmos uma amostra de 10 carros, a probabilidade de que nesta amostra nenhum carro se acidente ao longo de 1 ano (admitindo independência entre os acidentes) é: a) 0,8 b) 1 – (0,01)10 c) 0,99 d) (0,99)10 e) 0,10 24 - (Analista do Banco Central – 1998) – Uma população é constituída dos valores 5,

7, 9 e 11. Amostras aleatórias com reposição de tamanho 2 são selecionadas desta população. A probabilidade de que a média amostral seja superior a 10 é:

a) 1/16 b) ¼ c) 1/8 d) 1/10 e) 1/6


45


(ANPEC 1992/QUESTÃO 4) - Sejam X e Y duas variáveis aleatórias contínuas, então: (0) Se elas forem independentes, E(XY) = E(X)E(Y). (1) Se elas forem independentes, Cov(XY) = 0. (2) Se elas forem independentes, V(X/Y) = V(X)/V(Y). (3) O coeficiente de correlação linear entre as variáveis X e Y é dado por Cov X Y V X V Y( , ) / ( ) ( ) . (4) Se o coeficiente de correlação for nulo, isto indica que X e Y são independentes. (ANPEC 1992/QUESTÃO 6)

Seja ƒ(x,y) = 1 0 1 0 1

0

quando x y

caso contrario

< < < <

,

Calcule a probabilidade de x < 0,5 e y < 0,5. (Multiplique o resultado por 100). (ANPEC 1992/QUESTÃO 8) - Sejam duas variáveis aleatórias X e Y quaisquer provenientes de distribuições com médias µ µx ye e variâncias σ σx ye2 2

respectivamente. Pode-se afirmar então que: (0) Se a correlação entre X e Y for zero, então elas são independentes. (1) Para verificar se o coeficiente de correlação é significativo a estatística do teste a

ser utilizado tem distribuição t de Student. (2) Se as variáveis X e Y forem independentes, então a soma aleatória das

distribuições das duas variáveis terá uma população de média µ µ µx y x y+ = + e

variância σ σ σx y x y+ = +2 2 2 .

(3) Se as variáveis X e Y forem independentes, então a população resultante da diferença entre as duas variáveis terá média µ µ µx y x y− = − e variância

σ σ σx y x y− = −2 2 2 .

(4) Se admitirmos que ρ, coeficiente de correlação populacional é igual a zero (ρ = 0), a distribuição amostral de r, coeficiente de correlação amostral, é simétrica em relação a zero.

(ANPEC 1993/QUESTÃO 1) - Em relação às distribuições de probabilidade pode-se afirmar que: (0) A distribuição F é uma razão entre dois t de Student independentes. (1) A distribuição binomial é uma distribuição definida por dois parâmetros. (2) A distribuição de Poisson descreve o comportamento de variáveis aleatórias

discretas. (3) A variável t de Student quando elevada ao quadrado é sempre igual a uma

variável F. (4) A distribuição qui-quadrado tende para a distribuição normal quando o tamanho

da amostra tende para o infinito.


46

(ANPEC 1993/QUESTÃO 4) - Sejam X, Y e Z variáveis aleatórias quaisquer. Então: (0) Var(X + Y + Z) = Var(X) + Var(Y) + Var(Z). (1) Var(2X + 4) = 4Var(X) + 16. (2) E(X + Y) = E(X) + E(Y). (3) Cov(X,Y) = E(XY) - E(X).E(Y). (4) E X E X( ) [ ( )]2 2= . (ANPEC 1993/QUESTÃO 5)

Seja a função ƒ =< < < <

( , )x yc se x e y

caso contrá rio

5 10 4 9

0 onde c é uma

constante Pode-se afirmar que: (0) O valor de c é 1 (um). (1) X e Y são variáveis aleatórias independentes. (2) A probabilidade de X > 6 e Y < 5 é 0,4. (3) A função de densidade de probabilidade marginal de X é ƒ(x) = 0,20. (ANPEC 1993/QUESTÃO 8) - Se a função de distribuição de uma variável aleatória X é dada por:

F x

se x

se x

xse x

se x

( )[ , )

[ , ]=

<

∈

∈

>

0 0

1

20 1

21 2

1 2

pode-se dizer que: (0) X é uma variável aleatória contínua. (1) A probabilidade de X assumir um valor no intervalo [1/2,1] e 1/4. (2) X assume valores uniformemente no intervalo [1,2]. (3) A esperança de X é 3/2. (ANPEC 1993/QUESTÃO 11) - O vetor aleatório (X,Y) toma valores com probabilidade 1 no quadrado [0,1]x[0,1] do R 2 , segundo a seguinte densidade:

ƒ =≤ ≤ ≥ ≥

( , )( / ) ( / )

x yse x e y x ou x e y x

nos outros pontos do quadrado

4 1 2 1 2

0

pode-se afirmar que: (0) E(X) = E(Y) e Var(X) = Var(Y).

(1) A função de densidade de Y é h yy se y

y se y( )

/

/=

≤ ≤

− ≤ ≤

2 0 1 2

2 2 1 2 1.


47

(2) P[X > 3/4] é igual a 1/8. (3) P[1/4 < Y < 3/4] = P[X < 1/2]. (4) Para cada y, a densidade condicional de x dado y é sempre a distribuição

uniforme no intervalo [0,1]. (ANPEC 1993/QUESTÃO 12) - Com relação à esperança, o segundo momento (não centrado) e a variância de uma variável aleatória, pode-se dizer que: (0) O segundo momento é sempre menor que a esperança ao quadrado. (1) A variância pode ser menor ou maior do que o segundo momento. (2) Se a esperança é zero, o segundo momento é maior do que a variância. (3) Se a variância é zero, o segundo momento é igual à esperança. (4) O quadrado da esperança nunca pode ser igual à variância. (ANPEC 1993/QUESTÃO 13) - Com relação às distribuições t, Qui-quadrado e F pode-se afirmar que: (0) A soma de normais com média 0 e variância 1 dá sempre uma Qui-quadrado. (1) Uma F com m e n graus de liberdade resulta da divisão de uma Qui-quadrado

com m graus de liberdade por uma Qui-quadrado com n graus de liberdade, sendo ambas independentes.

(2) A Qui-quadrado com m graus de liberdade resulta da soma de m normais independentes, de média zero, ao quadrado.

(3) A distribuição t de n graus de liberdade coincide com a de F com 1 e n graus de liberdade.

(4) A raiz quadrada de uma Qui-quadrado com 2 graus de liberdade dividida por dois distribui-se com uma distribuição normal com média 0 e variância 1.

(ANPEC 1993/QUESTÃO 15) - A variável aleatória Z guarda com a variável aleatória X a relação Z = 5 + 5X + U onde U é uma variável aleatória, independente de X. Pode-se afirmar que:

(0) Z tem correlação 1 com X.

(1) Qualquer que seja o valor do termo constante na relação acima, a correlação de Z com X não se altera.

(2) A covariância de Z com X é de 25 vezes a variância de X. (3) Se os desvios padrão de X e de U forem idênticos e iguais a 2, a variância de Z

valerá 104. (4) A correlação de U com Z é independente dos coeficientes da relação acima. (ANPEC 1994/QUESTÃO 5) - Suponha que um estudante sai de casa para a Universidade entre 07:00 e 07:30 da manhã, e que leva entre 40 e 50 minutos para chegar ao seu destino. Seja X a hora de saída do estudante e Y o tempo de viagem. Assuma que estas variáveis aleatórias sejam uniformemente distribuídas. Tipicamente, a que horas o estudante chega à Universidade?

[N1] Comentário:


48

(ANPEC 1994/QUESTÃO 6) - Seja X uma variável aleatória que representa o valor das vendas de um determinado produto em um mês. X é normalmente distribuída com média $500 e desvio padrão $50. Podemos afirmar que: (0) A probabilidade do valor das vendas ser superior a $600 é 5,3%. (1) No intervalo (450 550) então contidas 68,3% de todos os possíveis valores

das vendas mensais do produto. (2) Em 20% dos casos as vendas são inferiores a $458. (3) A distribuição normal é plenamente especificada pelo seu parâmetro média. (4) A distribuição é contínua e simétrica em relação ao valor de vendas $500 e a

moda divide a área sob a curva em duas metades iguais. (ANPEC 1994/QUESTÃO 11) - As variáveis aleatórias X e Y têm função densidade conjunta

ƒ( , )/ ( ) ,

x yx y se x y

outros pontos=

+ ≥ ≤

3 2 0 1

0

2 2

Calcule o valor esperado de Y quando X = 2/3. (Multiplicar o resultado por 28). (ANPEC 1994/QUESTÃO 12) - Suponha que X seja uma variável aleatória com valor esperado 10 e variância 25. Quanto deve ser a + b, a e b positivos, de forma que Y = a - bx tenha o valor esperado 0 e variância 625? (ANPEC 1995/QUESTÃO 3) - Se X e Y são duas variáveis aleatórias quaisquer, pode-se afirmar que: (0) Se W = 3X + 4Y, então Var(W) = 3Var(X) + 4Var(Y) + 2Cov(X,Y). (1) Se Cov(X,Y) = 0, então X e Y são variáveis aleatórias independentes. (2) Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então o coeficiente de

correlação entre elas é zero. (3) Se T = 2X + Y + 5, então E(T) = 2E(X) + E(Y) + 5. (4) Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então E(X,Y) = E(X).E(Y). (ANPEC 1995/QUESTÃO 4) - Seja X uma variável aleatória contínua cuja função densidade de probabilidade é dada por ƒ(x). Então:

(0) A probabilidade de X assumir um valor no intervalo [a,b] é dada por f x dxa

b

( ) .∫

(1) E(X) = xf x dx( ) .−∞

+∞

∫

(2) Sendo k uma constante qualquer, var( ) ( ) ( ) .kX k x f x dx= −−∞

+∞

∫2 µ

(3) A probabilidade de X assumir um determinado valor xi é dada por x f xi i( ).

(4) f x dx C( ) =−∞

+∞

∫ em que C pode assumir qualquer valor entre 0 e 1.


49

(ANPEC 1995/QUESTÃO 10) - Uma certa liga é formada da fundição do chumbo com outro metal. A porcentagem do chumbo nesta liga - X - é uma variável aleatória com a seguinte função de densidade de probabilidade:

f xx x se x

para quaisquer outros valores de X( )

( ),

,=

− < <

−3

510 100 0 100

0

5

Supondo que o lucro obtido na venda dessa liga, por unidade de peso, (L) seja dado pela função: L = 10 + 0,4X. Calcule o lucro esperado por unidade. (ANPEC 1995/QUESTÃO 11) - A respeito das distribuições de probabilidade, pode-se afirmar que: (0) A distribuição qui-quadrado - X 2 - com n graus de liberdade é definida como a

soma dos quadrados de n variáveis aleatórias com distribuição normal padrão. (1) A distribuição de Poisson tem média igual à variância, que por sua vez é igual ao

parâmetro da distribuição. (2) A distribuição F de Snedecor é definida pelo quociente de duas variáveis

aleatórias independentes e normalmente distribuídas. (3) A distribuição normal é perfeitamente definida caso se conheçam seus dois

primeiros momentos. (4) A distribuição hipergeométrica é aplicada a variáveis aleatórias discretas,

quando se consideram extrações aleatórias, sem reposição, de uma população dividida segundo dois atributos.

(ANPEC 1995/QUESTÃO 12) - Suponha que 40% dos empregados de uma grande empresa estejam a favor de sua representação sindical, e que se peça resposta anônima a uma amostra aleatória de 10 empregados. Pode-se afirmar que: (0) É de 0,8 a probabilidade de 8 empregados, no máximo, responderem

favoravelmente à representação sindical. (1) O número médio esperado de empregados favoráveis à representação, entre os

10 pesquisados, é de 4. (2) Se a pesquisa fosse realizada entre 1.000 empregados, o desvio padrão dessa

amostra seria de 15,5 empregados, aproximadamente. (3) A probabilidade das respostas segue a distribuição binomial há que o atributo é

contínuo. (4) A distribuição utilizada apresenta as seguintes características: o espaço amostral

do experimento descreve apenas dois resultados possíveis e o experimento é repetido n vezes.

(ANPEC 1996/QUESTÃO 3) - Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade f e com média e variância finitas. Podemos afirmar que:

(0) Se X Normal~ ( , )µ σ2 , então a média de X é igual a sua mediana e a sua moda.


50

(1) Se Y = aX + b, onde a, b > 0 são constantes, então Y é uma variável aleatória

e sua função de densidade é g ya

fy b

a( ) ( )=

−1.

(2) Se Y = aX + b, onde a, b > 0 são constantes, então E(Y) = a E(X) + b e Var(Y) = a Var(X), onde Var denota a variância e E denota a expectância.

(3) Se X Normal~ ( , )µ σ2 e YX

=− µσ

, então Y ~ Normal (0,1) e Y é dita uma

padronização de X. (4) Seja Y = aX + b e sejam X* e Y* as padronizações de X e Y,

respectivamente. Então X* = Y*.

(5) A padronização da variável aleatória X elimina efeitos de origem, mas não

necessariamente elimina efeitos de escala.

(ANPEC 1996/QUESTÃO 4) - Sejam X X e X1 2 3, variáveis aleatórias independentes com variâncias σ σ σ1

222

321 2 4= = =, e , respectivamente. Seja Y X X X= + +2 21 2 3.

Calcule a variância de Y. (ANPEC 1996/QUESTÃO 5) - Seja X uma variável aleatória com função de densidade f(x).

(0) Se f xx se x

caso contrá rio( )

,

,=

− ≤ ≤

32

2 1 1

0, então E(X) = 0.

(1) Se f x xse x

caso contrá rio( ) ( )

,

,= +

>

1

10

0

2 então E X( ) = ∞ .

(2) Se X ~ U[a,b] é uniforme em [a,b], onde a < b,

então: f xx se a x b

caso contrá rio( )

, ;

, .=

≤ ≤0

.

(3) Se f x f x( ) ( )µ µ+ = − , para todo x ∈ℜ (ℜ é o conjunto dos números reais),

onde µ ∈ℜ é fixo, então P X x P X x( ) ( )≥ + = ≤ −µ µ , para todo x ∈ℜ . (ANPEC 1996/QUESTÃO 10) - Se (X,Y) é um vetor aleatório, então: (0) X é uma variável aleatória. (1) Se Var(Y)=0, então Y é constante. (2) Se E(XY)>0, então Cov(X,Y)>0. (3) Não é possível ter-se ρ(X,Y)=1, onde ρ designa probabilidade conjunta.


51

(ANPEC 1996/QUESTÃO 14) - Considere a distribuição seguinte:

Valores de Y

0 1 f(x)

Valores de X

1 2 3

0 1/3 0

1/3 0 1/3

1/3 1/3 1/3

f(y) 1/3 2/3 1

Calcule Cov(X,Y). (ANPEC/1997QUESTÃO 3) - Qual deve ser o valor de k, de modo que:

f xk

xx

( ).

=−

<

2

1 6

0

, se 2 <

, em caso contrario.

seja uma função de densidade de probabilidade? Multiplique o resultado encontrado por 100. (ANPEC 1997QUESTÃO 4) - As ações das companhias X e Y são negociadas na bolsa de valores por R$ 1,00 cada em um determinado dia. Os retornos de cada ação de

X e Y, para 30 dias a frente, denotados respectivamente por ( )r rx y,′, têm distribuição

bi-variada Normal com média: µ

µx

y

, e matriz de covariância:

σ σ

σ σxx xy

yx yy

. O retorno total da carteira de um investidor ( rT ) é dado pela combinação

convexa entre os retornos dos diferentes ativos nesta. Se apenas considerarmos X e Y, o retorno total é dado por:

( )r r rT x y= ⋅ + − ⋅α α1 ,

onde α é a proporção do valor da carteira investida na companhia X. Caso o investidor compre uma ação de cada companhia, e as venda 30 dias depois, pode-se afirmar que:

(0) a variância do retorno total do investidor é 1

4+

1

4 +

1

2σ σ σxx yy xy .

(1) caso os retornos das ações tenham coeficiente de correlação unitário, o desvio

padrão do retorno total é dado por 1

2+

1

2σ σxx yy

1 2 1 2/ / .


52

(2) caso os retornos das ações tenham coeficiente de correlação menor que a unidade, o

retorno total esperado do investidor é dado por 1

2

1

2µ µ σx y xy+ + .

(3) caso os retornos das ações tenham coeficiente de correlação menor que a unidade, o

desvio padrão do retorno total é necessariamente menor do que 1

2+

1

2σ σxx yy

1 2 1 2/ / .

(4) caso o retorno das ações tenham coeficiente de correlação zero, o retorno esperado

do investidor é dado por 1

2

1

2µ µx y+ .

(ANPEC 1997/QUESTÃO 6) - Seja X uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade Uniforme no intervalo [ ]a b, :

(0) se a = -1 e b = 2 então E(X) = 0,5. (1) se a = -1 e b = 2 então VAR(X) = 2. (2) se a = 1 e b = 2 então a distribuição é assimétrica. (3) X tem distribuição unimodal. (ANPEC 1997/QUESTÃO 7) - A função de densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y é dada por:

f x yx y x

XY ( , ),

=< <

6 1 1

0

2 , se 0 < 0 < y

, em caso contrario.

Pode-se afirmar que: (0) a função densidade de probabilidade marginal de X é f (x) = 3xX

2 . (1) a função densidade de probabilidade marginal de Y é f (y) = yY .

(2) a função densidade de probabilidade condicional de X dado Y é f (x, y) = 3xX Y2 .

(3) a função densidade de probabilidade condicional de Y dado X é f (x, y) = yY X .

(4) X e Y são independentes.

(ANPEC 1998/QUESTÃO 4) - Com relação às distribuições de probabilidade conjunta e marginais, pode-se afirmar que:

(0) Se a função densidade conjunta de (X,Y), f(x,y), pode ser fatorada na forma f(x,y) = f(x).g(y) , onde f(x) e g(y) são ,respectivamente, as funções densidade de X e Y, então as variáveis aleatórias X e Y são independentes.

(1) Se a variável aleatória bidimensional (X,Y) é uniformemente distribuída, de acordo com a função densidade conjunta f x y( , ) = 2 , para 0 1< < <x y e, 0 fora deste intervalo, então E(X)=1/2.

(2) Se as variáveis aleatórias X e Y são independentes, então E(X|Y) = E(X) e E(Y|X) = E(Y).


53

(3) Seja f(x) a função de densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X,

então P X f x dx( ) ( )−∞ < < ∞ = =−∞

∞

∫ 1.

(4) Seja f(x) a função de densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X,

então podemos definir o valor esperado de X como E X x f x dx( ) . ( ).=−∞

∞

∫ .

(ANPEC 1998/QUESTÃO 5) - Verifique quais das afirmações abaixo são verdadeiras e quais são falsas.

(0) A variável aleatória “t” é definida como

)1(

21

−−

n

Z

nχ, onde Z tem distribuição

normal-padrão e χ2 é uma distribuição qui-quadrado com (n - 1) graus de liberdade.

(1) A distribuição “t” de Student tem média igual a (n - 1) e variância igual a (n - 1)/(n - 3).

(2) A distribuição de uma razão de duas variáveis aleatórias qui-quadrado independentes, divididas cada uma pelo seu respectivo número de graus de liberdade, é chamada de distribuição “F”.

(3) A estatística “F” pode ser utilizada para verificar a igualdade de duas variâncias provenientes de duas populações quaisquer.

(ANPEC 1998/QUESTÃO 8) - Seja X uma variável aleatória com função densidade f(x).

(0) Se X ~ U[-α,α] é uniforme em [-α,α] , onde α > 0, então é possível determinar α de modo que P(x < 1)= 1/2.

(1) Se β é uma constante entre 0 e 1 e f(x), g(x) funções densidades de probabilidades definidas no mesmo intervalo, então βf(x) + (1-β)g(x) também é uma função de densidade de probabilidade da variável x.

(2) Se a variável aleatória X assumir os possíveis valores 1, 2, 3, 4, ….. , de forma que sua função de probabilidade seja P(x= k )=c(1-β) k −1 , 0< β < 1, então o valor da constante c é igual a β.

(3) Se a variável aleatória X segue uma distribuição exponencial, então P(x >(s+t) | x > s) = P(x > t), para quaisquer s, t > 0.

(ANPEC 1998/QUESTÃO 10) - Considere a distribuição de probabilidade conjunta de (X,Y), de acordo com a tabela abaixo:

X -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 Y 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8

Pode-se afirmar que :


54

(0) O coeficiente de correlação, ρxy , entre X e Y é igual a zero.

(1) As variáveis aleatórias X e Y são independentes.

(2) Se Z aX b= + e W cY d= + onde a b c, , e d são constantes com a ≠ 0 e c ≠ 0 , então o coeficiente de correlação, ρZW , entre Z e W é diferente de zero.

(3) As variáveis aleatórias X e Y apresentam uma relação linear.

(ANPEC 1999/QUESTÃO 11) - Podemos afirmar que: (0) A distribuição qui-quadrado muda de forma de acordo com o tamanho da amostra.

Para amostras pequenas, a distribuição se inclina para a direita assimetricamente e torna-se cada vez mais simétrica à medida que o tamanho da amostra cresce.

(1) A distribuição “t” é sempre simétrica com média zero e à medida que o tamanho da

amostra aumenta, a distribuição “t” aproxima-se da distribuição normal padrão. (2) A distribuição “F” é uma razão entre duas variáveis aleatórias “t” independentes,

cada uma delas dividida pelo respectivo número de graus de liberdade.

(3) A distribuição normal apresenta dois pontos de inflexão na sua função de densidade de probabilidade f(x) nos pontos x = µ - 2.σ e x = µ + 2.σ, onde µ é a média e σ o desvio padrão.

(4) Se X é uma variável aleatória uniforme com a seguinte função de densidade de

probabilidade

f xk a x b

( ) =< <

se

quaisquer outros valores.0

então k = b - a. (ANPEC 1999/QUESTÃO 12) - Sobre as distribuições de probabilidade podemos afirmar que: (0) Na distribuição Binomial não é possível contar as não-ocorrências do evento e a

média e a variância são iguais ao parâmetro da distribuição. (1) As características da distribuição de Poisson são: (i) n repetições de um experimento de Bernoulli; (ii) as repetições são independentes;

(iii) cada experimento tem dois resultados possíveis que são mutuamente exclusivos;

(iv) a distribuição de probabilidade é definida como

P X xn

xp qx n x( ) . .= =

− , x = 1, 2, …, n, onde n = número de

repetições do experimento, p = probabilidade de ocorrência de sucesso e q = 1 - p.


55

(2) A média de uma distribuição Geométrica é 1/p, onde p = probabilidade de ocorrência de sucesso.

(3) Um levantamento junto ao Setor de Contabilidade de uma loja de departamentos mostrou que 30% dos clientes pagam suas mensalidades com atraso. Se em certo dia selecionarmos ao acaso 10 pessoas que pagaram suas dívidas mensais, a probabilidade de no máximo um cliente ter pago com atraso é aproximadamente 15%.

(ANPEC 1999/ QUESTÃO 13) - Seja a seguinte distribuição conjunta de probabilidade entre as variáveis aleatórias X e Y.

Y X 1 3 5 2 0,1 0,2 0,3 4 0,2 0,1 0,1

Podemos afirmar que:

(0) A distribuição marginal de X é

X 1 3 5 P(X) 0,3 0,3 0,4

(1) A variância de Y é 2,76. (2) A covariância entre X e Y é -0,56. (3) O coeficiente de correlação entre X e Y é 0,344. (4) O coeficiente de correlação exprime a medida de dependência linear entre duas

variáveis e pode assumir um valor qualquer no intervalo [0; 1]. (ANPEC 1999/QUESTÃO 14) - Com relação as definições de Coeficiente de

Correlação e de Esperança Matemática, pode-se afirmar que : (0) Se X e Y são duas variáveis aleatórias de forma que Y=aX+b, onde a e b são constantes, então o coeficiente de correlação entre X e Y é igual a 1 se a < 0 e igual a -1 se a > 0. (1) Se XYρ é o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y onde W=aX+b e

Z=cY+d com a,b,c e d constantes, então XYWZ ac

acρρ = onde a e c são diferentes de

zero. (2) Se o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y é igual a zero, então E(XY)=E(X)E(Y). Assim, pode-se concluir que X e Y são variáveis aleatórias independentes. (3) Se a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X é simétrica em relação a um ponto X=a , então E(X)=a.


56

(4) Dados os seguintes eventos :

X=1 se o evento A ocorre, e 0 em caso contrário. Y=1 se o evento B ocorre, e 0 em caso contrário.

Se as probabilidades dos eventos A e B são, respectivamente, maiores do que zero, então o coeficiente de correlação entre X e Y igual a zero implica em que X e Y são independentes. (ANPEC 2000/QUESTÃO 03) - Dados os seguintes enunciados envolvendo variáveis aleatórias, é correto afirmar que: (0) Se Y* = a + bY2 e X* = c + dX2, em que a, b, c, d são constantes reais, (b,d)> 0,

E(X) = E(Y)=0, então correlação (Y*, X*) = correlação (Y,X).

(1) Se (Y,X) possuem uma distribuição Normal bivariada, então, segue-se que E(Y|X) = a + b Y, em que a e b dependem dos momentos de Y e X.

(2) Se X ~ Normal(0,1) então Y= eX tem distribuição lognormal com E(Y)= e1/2.

(3) Se (X,Y) possuem densidade conjunta f(x,y) = φ2 e-φ y, φ >0, e 0 ≤ x ≤ y, então E(X)= 1/φ.

(ANPEC 2000/QUESTÃO 13) - Dados os seguintes enunciados envolvendo variáveis aleatórias, é correto afirmar que:

(0) Se X é uma variável aleatória com média µ finita e variância σ2 = 1, então

Pr ( |X - µ | ≤ 2) ≥ 0.75.

(1) E( eX) ≤ eµ, em que E(X) = µ.

(2) E[(X-E(X))(Y- E(Y))]2 ≥ E[X-E(X)]2 E[Y-E(Y)]2, desde que todos os momentos necessários ao cálculo de cada uma destas expressões existam.

(3) E(Var(Y|X)) ≤ Var(Y).

(4) Se Y e X são variáveis aleatórias independentes, ambas com média e variância finitas, então a variância da variável Z= Y/X será dada por Var (Z) = Var(Y) / Var(X).

(ANPEC 2000/QUESTÃO 14) - Seja uma função de densidade de probabilidade :

Calcule a probabilidade de (0 ≤ x ≤ 1). Arredonde o resultado e multiplique por 100.

(ANPEC 2001/QUESTÃO 04) - Seja X uma variável aleatória, com função densidade

de probabilidade f(x) contínua, definida sobre o espaço amostral A, do universo U:

(0) Tanto A como U devem ser contínuos.

(1) A probabilidade P(X ≤ x 0 ) é dada por ∫∞−

ox

dXXf )( .

≤<

=xdevaloresoutrospara

xparacxxf

0

20)(

2


57

(2) A probabilidade P(X = x 0 ) é dada por f(x 0 ).

(3) A função cumulativa de probabilidade pode ser discreta.

(4) A função densidade de probabilidade de X é calculada por f(x) = )(xFdx

d em que,

F(x) é a função de distribuição acumulada.

(ANPEC 2001/QUESTÃO 13) - Sabe-se que certa característica de uma população tem

distribuição Qui-quadrado com 18 graus de liberdade. Tendo sido extraída uma amostra de 25 elementos desta população, estime a probabilidade de que a média

amostral X esteja no intervalo 15 ≤≤ X 21. Use a tabela da distribuição Normal em anexo. Resposta em percentagem, aproximando para o inteiro superior mais próximo.

(ANPEC 2001/QUESTÃO 14) - Seja X uma variável aleatória contínua, com função

densidade de probabilidade dada por 31,

2

1)( ≤≤= Xxf

. Determine o valor da mediana dessa distribuição.

(ANPEC 2001/QUESTÃO 15) - Seja uma variável aleatória X com média E(X) = 0 e

variância 2xσ = 25. Qual o limite de probabilidade para que [X – E(X)] > 10?

Resposta em percentagem.

(ANPEC 2002/QUESTÃO 03) - Considere um investidor cuja composição da carteira é formada por dois ativos A e B.

(0) Se os retornos esperados de A e B são iguais a 10% e 5%, e as participações de A e

B na carteira são de 40% e 60%, respectivamente, então o retorno esperado da carteira é de 7,5%.

(1) Supondo-se que os retornos dos dois ativos referidos no quesito anterior sejam independentes e que suas variâncias sejam iguais a 10 e 20, respectivamente, então a variância da carteira será igual a 8,8.

(2) Supondo-se que os retornos de A e B tenham a mesma variância, a diversificação dessa carteira nestes dois ativos somente reduzirá o risco total se o coeficiente de correlação entre os respectivos retornos for negativo.

(3) No caso de correlação negativa perfeita, se a variância de A é duas vezes a variância de B, então é preciso investir duas vezes mais em A para eliminar o risco da carteira.

(4) Se existir uma correlação negativa perfeita entre os retornos dos ativos A e B, haverá uma particular composição desses ativos que eliminará completamente o risco da carteira.


58

(ANPEC 2002/QUESTÃO 07) - Em relação às distribuições de probabilidade discretas:

(0) Uma variável aleatória X com distribuição binomial de parâmetro p, baseada em n

repetições, aproxima-se de uma Poisson quando ∞→n e p permanece constante.

(1) Uma variável aleatória Y, definida como o número de repetições necessárias para a primeira ocorrência de A, tem distribuição Geométrica, desde que as repetições sejam independentes e que P(A) = p e P(AC ) = 1-p.

(2) Pode-se utilizar a distribuição Binomial para, por exemplo, calcular a probabilidade de se encontrar k

peças defeituosas em um lote de n peças selecionadas ao acaso, sem reposição.

(3) Se uma variável aleatória segue uma distribuição Hipergeométrica, sua distribuição será próxima da Binomial se o tamanho da população for grande em relação ao tamanho da amostra extraida .

(4) Se Z tiver distribuição de Poisson com parâmetro α , então, E(Z) = V(Z) =α .

(ANPEC 2002/QUESTÃO 08) - Em relação às distribuições de probabilidade contínuas:

(0) Se X tem distribuição Normal( 2,σµ ), então a função densidade de probabilidade de

X, f(x), atinge o seu valor máximo quando x = µ e nesse ponto πσ 2

1)( =xf .

(1) Se X tem distribuição Uniforme no intervalo [0,α ], α >0, então, α tem que ser igual a 4/3 para que P(X > 1) = 1/3.

(2) A distribuição t de Student assemelha-se à Normal padrão, N(0,1), mas possui caudas mais pesadas, quando n, o tamanho da amostra, é maior do que 30.

(ANPEC 2003/QUESTÃO 03) - O custo X de produção de certo bem é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade

≤≤

=contrário caso0

41)(

2 xkxxf

É correto afirmar que:

(0) o valor de k é 63;

(1) o custo médio do produto é aproximadamente 1,04;

(2) o custo é menor do que 2 com probabilidade 1/9;

(3) a variância do custo do produto é aproximadamente 3,04;

(4) o custo é maior do que 3 com probabilidade 8/9.


59

(ANPEC 2003/QUESTÃO 04) - Com relação à variáveis aleatórias discretas é correto afirmar que:

(0) se X1, ..., Xn são variáveis aleatórias identicamente distribuídas com distribuição

Bernoulli com parâmetro p, então ∑=

=n

iiXZ

1

terá uma distribuição Poisson quando

n for grande;

(1) uma variável aleatória com distribuição binomial representa o número de sucessos em n experimentos de Bernoulli;

(2) a distribuição hipergeométrica é um caso especial da distribuição Normal;

(3) a distribuição Qui-quadrado possui média igual a n e variância igual a 4n, em que n é o número de graus de liberdade;

(4) a distribuição binomial pode ser aproximada pela distribuição de Poisson para valores grandes de n (tamanho da amostra) e pequenos de p (probabilidade de sucesso).

(ANPEC 2003/QUESTÃO 09) - Sendo Y e X duas variáveis aleatórias, é correto afirmar que:

(0) Var(Y + X) = Var(Y) + Var(X) - 2Cov(Y, X);

(1) Var(Y - X) = Var(Y) - Var(X) - 2Cov(Y,X);

(2) Var (Y + X) = Var(Y) + Var(X), se Y e X forem independentes;

(3) se Cov(Y, X) = 0, então Y e X são independentes;

(4) se Cov(Y, X) = 0 e se Y e X têm distribuição conjunta normal, então Y e X são independentes.

(ANPEC 2003/QUESTÃO 14) - Considere o vetor aleatório X = (X1, X2, X3) com distribuição de probabilidade

≤≤≤≤≤≤

=contrário caso0

20,10,106),,( 3213

221

321

xxxxxxxxxfX

Encontre a probabilidade de 5,00 1 ≤≤ x .

(Multiplique o resultado por 100).

(ANPEC 2002 - QUESTÃO 13) - Suponha que a função densidade de probabilidade conjunta da variável aleatória bidimensional (X,Y) seja uniformemente distribuída na região de domínio,

20 ,20 )(),( ≤≤≤≤−= yxyxxkyxf

Encontre E(X). Multiplique a resposta por 10 e transcreva somente a parte inteira do número encontrado.


60

(ANPEC 2002 - QUESTÃO 14) - Uma companhia de seguros tem 400 segurados de certo tipo. O prêmio do seguro é R$ 1.000,00 por ano. Caso ocorra um sinistro a seguradora indenizará R$ 8.000,00 a cada acidentado. Sabe-se que a probabilidade de ocorrência de sinistro, é 0,1 por ano. Os custos fixos da seguradora são de R$ 8.000,00 por ano. Qual a probabilidade da seguradora ter prejuízo em um certo ano? (Ignore o fator de correção para continuidade, multiplique sua resposta por 100 e transcreva a parte inteira do número encontrado).

(ANPEC 2002/QUESTÃO 08) - Em relação às distribuições de probabilidade contínuas:

(0) Se X tem distribuição Normal( 2,σµ ), então a função densidade de probabilidade de

X, f(x), atinge o seu valor máximo quando x = µ e nesse ponto πσ 2

1)( =xf .

(1) Se X tem distribuição Uniforme no intervalo [0,α ], α >0, então, α tem que ser igual a 4/3 para que P(X > 1) = 1/3.

(2) A distribuição t de Student assemelha-se à Normal padrão, N(0,1), mas possui caudas mais pesadas, quando n, o tamanho da amostra, é maior do que 30.

(3) Se uma variável aleatória contínua tem função de distribuição

0 se 0

0 se 1)(

<=

≥−= −

x

xexF x

então a função densidade de probabilidade de X será

.0 se 0

0 se )(

<=

≥= −

x

xexf x

(4) A variável aleatória Z tem distribuição Lognormal se e somente se exp (Z) tiver distribuição Normal.

(ANPEC 1991) – Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes tais que: E(X) = 3, E(Y) = 2, E(X2) = 10 e E(Y2) = 7. Pode-se afirmar que: (0) E(X,Y) = 6 (1) VAR(X + Y) = 4 (2) VAR (Y – 3X) = 6 (3) O coeficiente de correlação entre X e Y é igual a 1/9 (4) E[X – E(X)][Y – E(Y) não pode ser calculado.


61

III – Principais teoremas de probabilidade. Teorema de Tchebycheff. Lei dos Grandes Números. Teorema do Limite Central. Inferência estatística. Estimação pôr ponto e pôr intervalo. Propriedades desejáveis dos estimadores em pequenas e grandes amostras

Questões de Concursos Públicos e do Provão do MEC 01 – (ESAF/Analista de Comércio Exterior/2002) - Deseja-se determinar, para uma população com N elementos, em um esquema de amostragem aleatória simples, o tamanho de amostra n necessário para estimar a média populacional do atributo X. Deseja-se que o erro em valor absoluto do procedimento não seja superior a 10% da média populacional, com probabilidade de 95%. De um estudo piloto obtém-se que a variância de X tem o valor 80 e que a média tem o valor 20. Tomando como aproximadamente 2 o quantil de ordem 0,975 da distribuição normal padrão, supondo que a média da amostra tem distribuição aproximadamente normal e desprezando a fração de amostragem n/N, assinale a opção que dá o valor de n. a) 1000 b) 100 c) 80 d) 200 e) 150 02 - (ESAF/AFPS/2002/Administração Tributária Previdênciária) – Em um esquema de amostragem aleatória simples deseja-se determinar o tamanho da amostra que permite estimar a média de um atributo X com erro absoluto não-superior a 2 unidades com probabilidade 95%. Como informação preliminar esperase que X seja aproximadamente uniformemente distribuído com amplitude populacional de cerca de 100 unidades. Considerando como aproximadamente zero a taxa n/N e tomando como 2 o quantil de ordem 97,5% da normal padrão, assinale a opção que dá o valor de n. a) 431 b) 133 c) 400 d) 830 e) 1.000 03 - (ESAF/AFPS/2002/Administração Tributária Previdênciária) – Sejam X1, ... , Xn observações de um atributo X. Sejam

a) Pelo menos 95% das observações de X diferem de x___

em valor absoluto pôr menos

que 2S.

b) Pelo menos 99% das observações de X diferem de x___


que 2S.

c) Pelo menos 75% das observações de X diferem de x___


que 2S.


62

d) Pelo menos 80% das observações de X diferem de x___


que 2S.

e) Pelo menos 90% das observações de X diferem de x___


que 2S. 04 - (ESAF/AFPS/2002/Administração Tributária Previdênciária) – O desvio-padrão da média para uma amostra de tamanho 100 é 30. A fim de tornar o desvio-padrão da média igual a 15, o que deveríamos fazer?

a) Aumentar o tamanho da amostra para 200. b) Aumentar o tamanho da amostra para 150. c) Diminuir a amostra para 50. d) Aumentar o tamanho da amostra para 400. e) Aumentar o tamanho da amostra para 300. 05- (ESAF/AFPS/2002/Administração Tributária Previdênciária) –Assinale a opção correta em referência ao significado do termo amostragem aleatória simples.

a) Refere-se a um método de classificação da população. b) Refere-se à representatividade da amostra. c) É um método de escolha de amostras.

d) Refere-se a amostras sistemáticas de populações infinitas. e) Refere-se à amostragem por quotas. 06 – (VUNESP/Analista do Banco Central – 1998) – Através de uma amostra de 100 trabalhadores de certa categoria profissional, estimou--se um salário médio amostral de R$ 2000,00. O desvio padrão populacional vale R$ 400,00. Desta forma, o intervalo de confiança para o salário médio de toda a categoria foi 2000,00 + 80,00, com um certo coeficiente de confiança. Se tivéssemos obtido o mesmo dado amostral com uma amostra de 400 pessoas, o intervalo de confiança (com o mesmo coeficiente de confiança) seria dado pôr a) 2000,00 + 80,00 b) 2000,00 + 60,00 c) 2000,00 + 40,00 d) 2000,00 + 20,00 e) 2000,00 + 10,00 07 – (ESAF/IBGE – 1999) – X1, X2, X3 é uma amostra aleatória simples de uma distribuição com média µ e variância σ2. A estatística T = (3 X1 – X2 + X3)/5 tem média e variância, respectivamente, iguais a: a) 3µ e 12σ2 b) µ e σ2 c) 0,6µ e 2σ2 d) 0,6µ e 0,44σ2 e) µ e 0,2σ2


63

08 – (ESAF/IBGE – 1999) – Uma amostra simples de tamanho 10 de uma distribuição normal com média µ e variância σ2 forneceu os seguintes valores: 2,0 2,0 2,4 2,7 3,0 3,5 3,8 4,0 4,3 Usando estimação pôr máxima verossimilhança, a estimativa de σ2 é igual a a) 0,025 b) 0,251 c) 0,652 d) 0,725 e) 1,237 09 – (ESAF/IBGE – 1999) – X1, X2, X3, X4 é uma amostra aleatória simples de uma distribuição com média µ. Considere os seguintes estimadores de µ: T1 = 2X1 + X2 + X3/5 T2 = X1 + X2 + X3/4 T3 = 2X1X2 - X3 X4

T4 = X1+ 2X2 - 3X3 + X4 São estimadores não viesados de µ: a) T1 e T2 b) T1 e T4 c) T1 e T3 d) T3 e T4 e) T2 e T4

Questões do Exame Nacional da ANPEC (ANPEC 1992 - QUESTÃO 9) - Considere x x xn1 2, , ,K uma amostra aleatória extraída de uma população que tem distribuição Normal com média µ e variância σ 2 . Pode-se dizer que:

(0) xxi

n

_

=∑

é um estimador não-viesado em µ.

(1) Sxi x

n2

2

1=

−

−∑( )

_

é um estimador não-viesado de σ 2 .

(2) x_

tem distribuição Normal com média µ e variância unitária. (3) S 2 tem distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade.

(4) P[- x_

< µ < x_

] = 68%.


64

(ANPEC 1993 - QUESTÃO 9) - O Teorema Central do Limite (TCL), resultado maior dentre os teoremas da teoria da probabilidade, nas versões estudadas na graduação, estabelece condições que asseguram a convergência de somas de variáveis aleatórias, convenientemente padronizadas, à distribuição normal. (0) Esta convergência se dá em probabilidade, ou seja, é a mesma da Lei Fraca dos

Grandes Números. (1) As variáveis aleatórias utilizadas na composição da soma não precisam ser

independentes. (2) Se as variáveis aleatórias, atendendo às hipóteses do TCL, tem a mesma média µ

e variância σ 2 , o teorema garante que a soma das n primeiras, subtraídas de nµ, e dividida por nσ, converge para uma distribuição normal com média 0 e variância 1 (N(0,1)).

(3) A convergência de uma distribuição binomial (n,p), onde n é o número de ensaios de Bernouilli e p é a probabilidade de sucesso em cada um, quando n aumenta, pode ser provada como um simples caso particular do TCL.

(ANPEC 1993 - QUESTÃO 10) - Quanto à desigualdade de Tchebyshev, supondo-se que uma variável aleatória tenha média e variância finita, ela assegura que a probabilidade: (0) da variável assumir um valor maior ou igual a n é menor ou igual à variância

mais a média divididos por n2 . (1) da variável ultrapassar a média de um valor maior ou igual n vezes o desvio

padrão é menor ou igual ao inverso de n2. (2) da variável ultrapassar a média de um valor maior ou igual a n é menor ou igual

ao inverso de n2. (3) da variável ultrapassar a média de um valor maior ou igual a n é menor ou igual

ao segundo momento dividido por n2. (ANPEC 1993 - QUESTÃO 14) - Dada uma população finita, de tamanho N, e uma amostra aleatória de tamanho n, (0) a média amostral é um estimador não viesado da média da população somente se

a amostragem for feita com reposição. (1) a variância da média amostral será igual à variância da população sobre n

somente se a amostragem for feita com reposição.

(2) δ 2 multiplicado por N

N − 1 é sempre um estimador não viesado da variância da

população. (3) intervalos de confiança para a média da população podem ser obtidos, na

maioria dos casos, i.e. n maior que 40, com o auxílio da distribuição normal. (ANPEC 1994 - QUESTÃO 13) - Suponha que uma certa distribuição com média desconhecida tenha variância igual a um. Quanto deve ser o tamanho da amostra de forma que a probabilidade que a média amostral X difira da média populacional em 1/2, seja pelo menos 0.95?


65

(ANPEC 1995 - QUESTÃO 2) - Sejam ( , , , )X X X n1 2 K uma amostra aleatória com n elementos de certa população e θ um parâmetro dessa população. Pode-se afirmar que: (0) Um estimador T do parâmetro θ é função de ( , , , )X X X n1 2 K . (1) T será um estimador não-viesado de θ se E(T) = θ.

(2) A variância amostral, definida por ( )X X

n

ii

n

−=∑ 2

1 , é um estimador não-viesado

da variância populacional. (3) Tn será uma seqüência consistente de estimadores de θ se: lim ( )

nnE T

→∞= 0 e

lim ( ) .n

nVar T→∞

= 1

(4) Se T1 e T2 são dois estimadores não-viesados de um mesmo parâmetro θ, e se Var(T1) < Var(T2), então T1 é menos eficiente que T2 .

(ANPEC 1996 - QUESTÃO 9) - Seja X Normal~ ( , )µ σ2 . Considere o problema de estimação de µ a partir de uma amostra aleatória X Xn1 , ,K e considere os três estimadores abaixo:

Mn

Xkk

n

1 1

1=

=∑

∑ =+=

n

k kXn

M12 1

1

M Xn

Xkk

n

3 1 2

1

2

1

2= +

=∑

Podemos afirmar que:

(0) M1 é tendencioso. (1) M2 é tendencioso e M3 é não-tendencioso. (2) Somente M1 é não-tendencioso. (3) M2 é o melhor estimador linear não-tendencioso. (4) M2 e M3 são não-eficientes. (5) M1 é consistente.

(ANPEC 1996 - QUESTÃO 13) - Suponha que X1, X2, ... , Xn sejam identicamente

distribuídas, tendo valor esperado e variâncias comuns dados por µ e σ2, respectivamente. Defina a variância amostral como

,)2

1()1( 12 X

n

kX knS −∑

=− −=

e considere as seguintes assertivas: (I) A média amostral é um estimador consistente de µ.

(II) A variável (n-1)S2/σ2 tem distribuição de qui-quadrado com n-1 graus de liberdade.

(III) S2 é estimador não-tendencioso de σ2. (IV) A média amostral tem distribuição normal.


66

Podemos afirmar que: (0) Se X1, X2, ... , Xn são normalmente distribuídas, somente (II) está errada. (1) A assertiva (III) é correta mesmo sem a hipótese de normalidade de X1, X2, ... , Xn. (2) A assertiva (I) é conseqüência da Lei Fraca dos Grandes Números.

(3) Se X1, X2, ... , Xn são normalmente distribuídas, então a variável n X S_

/ 2 tem distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade, mesmo quando µ é diferente de zero.

(ANPEC 1997 - QUESTÃO 8) - Com relação a um estimador $θ do parâmetro populacional θ , pode-se afirmar que:

(0) $θ é dito consistente quando seu valor esperado é igual a θ , mesmo para amostras de tamanho pequeno.

(1) o melhor estimador de θ sob o critério de êrro quadrático médio mínimo não é necessàriamente não-tendencioso.

(2) um estimador de θ é chamado linear se é uma função linear das observações amostrais.

(3) um estimador de θ é considerado relativamente eficiente se: a) é consistente; b) sua variância é menor do que a variância de qualquer outro estimador consistente de θ .

(ANPEC 1997 - QUESTÃO 9) - Com base na Teoria da Estimação, temos:

(0) Se θ é o parâmetro populacional e $θ seu estimador, dizemos que $θ é um estimador

não-tendencioso ou não-viesado de θ se, e somente se, em média, $θ tem o mesmo valor de θ .

(1) Com base numa amostra aleatória de duas observações ( X1 e X2 ) de uma distribuição populacional com média µ , se W = 1 / 3 X + 2 / 3 X1 2⋅ ⋅ , então W é

um estimador tendencioso de µ.

(2) Dada uma amostra aleatória de n observações, dizemos que $θ é um estimador consistente do parâmetro populacional θ se

[ ]lim | $ |n

P→∞

− < =θ θ ε ε1 para qualquer > 0.

(3) Seja X uma variável aleatória com média µ e variância σ2. Pela desigualdade de Tchebycheff temos que

[ ]P X kk

| | .− ≥ ≤ >µσ 2

20 se k

(ANPEC 1997 - QUESTÃO 10) - Seja X1,...,XN uma amostra aleatória de uma

população com média µ e variância σ 2 . Sejam W e Z estimadores de µ dados por:

Wi X

i

ii

N

i

N=⋅

=

=

∑

∑1

1

; ZX

N

ii

N

= =∑

1 .


67

Pode-se afirmar que: (0) W é não-tendencioso. (1) W é tendencioso, e Z é não-tendencioso. (2) Z é consistente. (3) W é consistente. (4) se N > 2 , Z é relativamente mais eficiente que W.

(ANPEC 1998 - QUESTÃO 6) - Seja $θ o estimador do parâmetro θ :

(0) O erro quadrático médio é igual a variância do estimador $θ se $θ for um estimador não-tendencioso de θ .

(1) Um estimador $θ1 é dito eficiente se $θ1 for não-tendencioso e Var( $θ1 ) ≤ Var ( $θ2 ),

onde $θ2 é outro qualquer estimador não-tendencioso de θ .

(2) Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com média µ e variância σ2. Sejam x1 e x2 duas observações de uma amostra aleatória de tamanho 2. Podemos

afirmar que ~µ =+3 2

51 2x x

é um estimador tendencioso de µ.

(3) Se $θ é consistente, então é não tendencioso.

(ANPEC 1998 - QUESTÃO 7) - Com base na teoria da estimação, pode-se fazer as seguintes afirmações :

(0) Se θ é um parâmetro populacional e $θ seu estimador, a afirmação de que $θ é um

estimador consistente de θ se lim $ P θ θ ε− ≤ = 1 para todo ε > 0 quando

n → ∞ , é equivalente a afirmação de que se θθ =)ˆ(lim E e lim ( $)Var θ = 0

quando n → ∞ , então $θ será um estimador consistente de θ .

(1) Se x é uma variável aleatória com E(X) = µ e variância σ 2 , então a média amostral, X , será um estimador consistente da média populacional µ .

(2) A estatística, S

x x

n

ii

n

2

2

1=−

=∑ ( )

, baseada em uma amostra aleatória x 1 ,

x 2 ,x 3 ,....,x n é um estimador não tendencioso da variância populacional.

(3) A estatística, S

x x

n

ii

n

2

2

1=−

=∑ ( )

, baseada em uma amostra aleatória x 1 ,

x 2 ,x 3 ,....,x n é um estimador inconsistente da variância populacional.


68

(ANPEC 1998 - QUESTÃO 11) - Com relação a desigualdade de Tchebycheff e ao Teorema Central do Limite, pode-se afirmar que :

(0) Se uma variável aleatória X tem média µ , E(X)=µ , e variância igual a zero,

Var(X) = 0, então P X − ≤ =µ ε 1 para todo ε > 0 , ou seja, toda a probabilidade

estará concentrada na média E(X) = µ .

(1) Seja X uma variável aleatória com média µ e variância σ2. Quando se considera o evento complementar, uma das formas da desigualdade de Tchebycheff é igual a

2

11

kkXP −≥>− σµ , onde k é um número real.

(2) Se a população tem distribuição Normal, então a distribuição das médias amostrais também será Normal, independente do tamanho da amostra.

(3) Se X tem distribuição desconhecida com média 500 e variância 2.500, para uma amostra aleatória de tamanho 100 podemos afirmar que a média da amostra tem distribuição aproximadamente normal com média 500 e variância 25.

(ANPEC 1999 - QUESTÃO 6) - Com base na teoria da estimação, pode-se fazer as seguintes afirmações : (0) De acordo com o critério de eficiência, medido pela comparação entre as variâncias dos estimadores, a média amostral X é preferível a primeira observação 1X como

estimador da média populacional, supondo-se que 2σ seja a variância da população.

(1) Seja θ um estimador não-viciado de θ . Se g(θ ) é uma função do parâmetro θ ,

então E[g(θ )] ≠ g[E(θ )] com a igualdade ocorrendo somente quando g(θ ) for uma função linear.

(2) A função densidade de probabilidade da variável aleatória x é dada por α1

)( =xf

para α≤≤ x0 e 0 para outros valores. Assim sendo, considerando-se uma amostra aleatória de tamanho n , nxxxx ,,, 321 ⋅⋅⋅⋅ , o estimador de Máxima Verossimilhança de

α será igual ao Mínimo de nxxxx ,,, 321 ⋅⋅⋅⋅ .

(3) Dado que as variâncias das estatísticas S

x x

n

ii

n

2

2

1=−

=∑ ( )

e S

x x

n

ii

n

2

2

1=−

=∑ ( )

são, respectivamente , iguais a 1

2 4

−n

σ e 2

4

)1

(1

2

n

n

n

−

−

σ , então S

x x

n

ii

n

2

2

1=−

=∑ ( )

é mais

preciso do que S

x x

n

ii

n

2

2

1=−

=∑ ( )

embora seja uma estatística viciada.


69

(ANPEC 1999 - QUESTÃO 8) - Deseja-se estimar o faturamento médio, µ , de uma empresa. A informação que se tem é de que o desvio padrão dos valores das faturas desta empresa é de R$25,00. Se existem 500 faturas desta empresa, encontre o tamanho da amostra necessário para estimar, µ, com um limite sobre o erro de estimação de R$5,00. Considere somente a parte inteira da resposta. (ANPEC 1999 - QUESTÃO 9) - Podemos afirmar que: (0) Pelo Teorema do Limite Central podemos afirmar que se a variável aleatória X tem

uma distribuição qualquer com média µ e variância σ2, então a distribuição de X (média da amostra) aproxima-se da distribuição normal com os mesmos parâmetros média µ e variância σ2, quando o tamanho da amostra aumenta.

(1) Sejam as variáveis aleatórias X i (i= 1, 2, …, 10) independentes e normalmente

distribuídas com média µ = 10 e desvio padrão σ = 2. Então, se

Y X ii

==∑

1

10

podemos afirmar que, a medida que n cresce, Y tende para uma

distribuição normal com média E(Y) = 1 e V(Y) = 0,2. (2) Uma distribuição binomial tende a uma distribuição normal quando o número n de

provas independentes de Bernoulli cresce. (3) Se a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é conhecida, podemos

calcular sua esperança e sua variância, se existirem. Embora a recíproca não seja verdadeira, poderemos estabelecer um limite superior (ou inferior) muito útil para as probabilidades da distribuição através do uso da desigualdade de Tchebycheff.

(4) Para qualquer tamanho de amostra, a distribuição amostral de proporções de uma

amostra de sucessos é mais dispersa quando a proporção populacional é igual ½ e é menos dispersa quando a proporção populacional é igual a zero ou a um.

(ANPEC 2000 - QUESTÃO 04) -

Seja X1, X2 , ..., Xn uma amostra aleatória da densidade Normal(0,θ) e seja T=

1/n ∑=

n

iiX

1

2 . É correto afirmar que:

(0) T é o estimador de máxima verossimilhança (EMV) de θ.

(1) T é um estimador tendencioso de θ.

(2) A variável aleatória Z = θ/1

2∑=

n

iiX tem distribuição qui-quadrado com n graus de

liberdade.

(3) E ( 32

21 XX ) = θ2.

(4) T é um estimador eficiente de θ.


70


Seja Y uma variável aleatória contínua com distribuição de probabilidade f(y;θ), em que θ = (θ1,θ2 ,...,θp). Considere uma amostra aleatória de Y, com tamanho n. Com relação à função de verossimilhança L(θ), é correto afirmar que:

(0) l(θ)= ln L(θ) =∑=

n

iiyf

1

);(log θ , em que ln é o logaritmo natural.

(1) A função de verossimilhança é também uma função de densidade de probabilidade, que possui, assim, todas as propriedades matemáticas associadas à uma função de densidade de probabilidade.

(2) Uma condição necessária a que os estimadores de máxima verossi- milhança devem satisfazer é que a matriz jil θθθ ∂∂∂ /)(2 i,j = 1, 2, ..., p, avaliada no

ponto de máximo, seja negativa definida.

(3) Sendo Tn o estimador de máxima verossimilhança do parametro escalar θ1, segue-se que Tn apresenta a seguinte propriedade:

0)|Pr(| 1lim =≥−∞→ εθnTn , ∀ ε > 0.

(4) Sendo φ= g(θ1), em que g(.) é uma função um a um de θ1, e Tn é o estimador de máxima verossimilhança de θ1, segue-se que o estimador de máxima verossimilhança de φ será Gn = g(Tn )[dφ/dθ1] , em que a derivada é avaliada em θ1= Tn.


Sejam p e p~ dois estimadores do parâmetro p da distribuição Binomial, em que Y é a variável desta distribuição e n o tamanho da amostra:

. 1

1~ˆ++

==n

Yp

n

Yp

(0) p é o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro p.

(1) Sob o critério do erro quadrado médio, para pequenas amostras, não há supremacia de um estimador sobre o outro.

(2) O viés do estimador p~ é dado por )]1()1[( np +− .


Dados os seguintes enunciados, é correto afirmar que:

(0) A Lei Fraca dos Grandes Números diz que: dada uma variável aleatória com distribuição arbitrária e média e variância finitas, a média amostral obtida a partir de uma amostra aleatória de tamanho n terá distribuição Normal.

(1) Se X1, X2, ..., Xn são variáveis aleatórias independentes, com distribuição Poisson(θ), θ > 0, então, para n "grande", é válida a seguinte aproximação:

√n (___

X - θ) / θ ~ N(0,1), em que __

X é a média amostral.


71

(2) Se X1, X2, ..., Xn são variáveis aleatórias independentes, com distribuição Normal(µ,σ2), σ2 > 0, então, para qualquer tamanho de n,

√n (___

X - µ) / σ ~ Normal(0,1), em que __

X é a média amostral.

(ANPEC 2001 - QUESTÃO 03) - Uma amostra de tamanho n foi selecionada de uma

população de m elementos. Pode-se afirmar que :

A média amostral X é um estimador não tendencioso e eficiente da média populacional µ se todos elementos de m tiverem a mesma probabilidade de serem selecionados .

A variância da distribuição amostral de X é 2

nσ se a população for infinita ou se a

amostragem for com reposição.

Se a população for finita, a variância da distribuição amostral de X é 2 1

(1 )n n

σ−

porque as observações da amostra são independentes.

Se X for uma variável aleatória qualquer a distribuição de X será normal com média

µ e variância 2

1nσ

− .

Se lim ( ) 0n

E X→∞

= , então X é um estimador assintoticamente não tendencioso.


Seja X uma variável aleatória com distribuição de probabilidade que dependa do parâmetro desconhecido θ, tal que E(X) = θ. Seja também x1, x2, ..., xn uma amostra aleatória de X. Para amostras suficientemente grandes, o estimador de máxima verossimilhança de θ,

caso exista, segue uma distribuição Normal.

Se ∑=

=n

iii xcˆ

1

θ é um estimador de θ, este não será viciado desde que 1cn

1ii =∑

=. Além

do mais, θ terá variância mínima se ci=1/n para todo i.

Se ∑=

=θn

1iix

n

1ˆ é um estimador não viciado de θ, então 2θ também será um estimador

não viciado de 2θ .

Se a variável aleatória X é uniformemente distribuída no intervalo [0,θ], com θ > 0,

então n

nˆ 1+=θ máximo[x1, x2, ..., xn] não é um estimador consistente de θ.

Se 1θ e 2θ são dois estimadores do parâmetro θ em que E ( 1θ ) = θ1 e E ( 2θ ) ≠ θ2

mas Var ( 2θ ) < Var ( 1θ ), então o estimador 2θ deve ser preferível a 1θ .


72

(ANPEC 2002 - QUESTÃO 06) - Indique se as seguintes considerações sobre a Lei dos Grandes Números, Desigualdade de Tchebycheff e teorema do Limite Central são verdadeiras (V) ou falsas (F).

De acordo com a desigualdade de Tchebycheff, se a variância de uma variável

aleatória X for muito próxima de zero, a maior parte da distribuição de X estará concentrada próxima de sua média.

O teorema do Limite Central afirma que,para uma amostra grande o suficiente, a distribuição de uma amostra aleatória de uma população Qui-quadrado se aproxima da Normal.

As condições suficientes para identificar a consistência de um estimador são baseadas na Lei dos Grandes Números.

Em n repetições independentes de um experimento, se Af é a freqüência relativa da

ocorrência de A, então 2A

n

)P1(P1PfP

ε

−−≤ε<− , em que P é a probabilidade

constante do evento A e ε é qualquer número positivo.

Se uma variável aleatória X tem distribuição Binomial com parâmetros n = 20 e P =

0,5, então ( )5

10

−Φ≈≤

aaXP em que )(•Φ é a função de distribuição

Normal padrão.

(ANPEC 2002 - QUESTÃO 15 ) - Quantas vezes ter-se-á de jogar uma moeda equilibrada de forma a se ter pelo menos 95% de certeza de que a freqüência relativa do resultado “cara” fique a menos de 0,01 da probabilidade teórica ½, ou seja, de maneira que a amplitude do intervalo de confiança da probabilidade teórica seja 0,02? (Utilize o teorema de Tchebycheff. Divida a resposta por 1.000 e transcreva a parte inteira do número encontrado).

(ANPEC 2003 - QUESTÃO 02) - Sejam: X1, X2, ..., Xn variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas com média µ e variância σ2;

∑=

−=n

iiXnX

1

1 ; e ∑=

=n

iiYZ

1

2 , em que ( )µσ −= − XYi1 . É correto afirmar que:

X é um estimador tendencioso da média µ;

Z é uma variável aleatória com distribuição 2χ com n graus de liberdade;

( )∑=

− −=n

ii XXns

1

212 é um estimador tendencioso da variância σ2;

Xn é uma variável aleatória normalmente distribuída com média nµ e variância σ2;

a variável aleatória

n

Z

YW i

i = possui distribuição F com n1 e n2 graus de liberdade,

em que n1 = 1 e n2 = 2n.


73

(ANPEC 2003 - QUESTÃO 11) - O número de clientes – Y – que passa diariamente pelo caixa de um supermercado foi observado durante certo período. Constatou-se que o valor médio de Y é de 20 clientes, com desvio padrão igual a 2. Encontre o limite mínimo para a probabilidade de que o número de clientes amanhã se situe entre 16 e 24. (Pista: Utilize o teorema de Tchebycheff). Multiplique o resultado por 100.

IV - Intervalo de Confiança e Teste de Hipóteses. Tipos de erro. Nível de significância


74

Questões de Concursos Públicos e do Provão do MEC

01 - (ESAF/Analista (Planej. e Execução Financeira) - CVM - 2000) - Acredita-se que o preço de um bem (X), em reais, tenha distribuição populacional uniforme no intervalo aberto (1; 7). Assinale a opção que corresponde à probabilidade de se observar na população um valor de X de pelo menos 3 reais e de no máximo 5 reais. a) 2/7 b) 1/3 c) 5/6 d) 1/2 e) 3/4 02 - (ESAF/AFPS-2002/Administração Tributária Previdenciária) - Tem-se uma variável aleatória normal X com média µ e desvio-padrão σ. Assinale a opção que dá o intervalo contendo exatamente 95% da massa de probabilidades de X. a) (µ-0,50σ; µ+0,50 σ) b) (µ-0,67 σ; µ+0,67 σ) c) (µ-1,00 σ; µ+1,00 σ) d) (µ-2,00 σ; µ+2,00 σ) e) (µ-1,96 σ; µ+1,96 σ) 03 – (ESAF/AFPS-2002/Administração Tributária Previdenciária) - Um atributo X tem distribuição aproximadamente normal com média µ e variância σ2. A partir de uma amostra aleatória de tamanho 16 da população definida pôr X, deseja--se testar a hipótese H0: µ = 22, contra a alternativa Ha: µ = 22. Para esse fim, calcula--se a média

amostral 30____

=X e a variância amostral S2 = 100. Assinale a opção que corresponde à

probabilidade de significância (p-valor do teste) a) 2PT>3,2 onde T tem distribuição de Student com 15 graus de liberdade. b) P|Z|>3,2 onde Z tem distribuição normal padrão. c) PZ< - 2,2 onde Z tem distribuição normal padrão. d) PT< - 3,2 onde T tem distribuição de Student com 15 graus de liberdade. e) P|T| > 2,2 onde T tem distribuição de Student com 15 graus de liberdade. Para a questão 04, a tabela abaixo, que dá valores das funções de distribuição da variável normal reduzida e da variável t de Student, pode ser útil.

Z 0,5 1 1,5 2 2,5 3 NORMAL F(z) 0,691 0,841 0,933 0,977 0,994 0,999

t com 9 graus de liberdade F(z) 0,685 0,828 0,916 0,962 0,983 0,993 t com 8 graus de liberdade F(z) 0,685 0,827 0,914 0,960 0,982 0,991 04 – (Analista do Banco Central – 1994) – Uma amostra aleatória simples, de

tamanho n = 9, de uma população normal, revelou média amostral 12____

=X e desvio

padrão amostral S = 6. O intervalo de confiança [8,16], para a média da população, tem nível de confiança de: a) 92%


75

b) 92,4% c) 96% d) 96,2% e) 97,7% 05 – (Analista do Banco Central – 1994) – Um teste de hipótese foi aplicado e, ao nível de significância de 5%, rejeitou-se H0. O que acontecerá, se forem adotados os níveis de significância de 1% e de 10%, respectivamente? a) Rejeitar-se-á H0 em ambos os casos. b) Rejeitar-se-á H0 A 1% e nada se pode afirmar quanto ao de 10%. c) Nada se pode afirmar quanto ao de 1% e rejeitar-se-á H0 a 10% d) Nada se pode afirmar em ambos os casos. e) Aceitar-se-á H0 a 1% e rejeitar-se-á H0 a 10%. 06 – (Analista do Banco Central – 1997) – Um auditor possui 10.000 comprovantes de operações financeiras referentes ao mês de julho de 1997. Uma amostra de 100 comprovantes foi selecionada e apresentou os seguintes resultados: valor médio das operações: R$ 1.500,00 e desvio padrão observado: R$ 270,00 Considerando cálculos para populações infinitas e aproximação normal, julgue os itens seguintes, utilizando, se necessário, a tabela normal padronizada abaixo.

% .00

.01

.02

.03

.04

.05

.06

.07

.08

.09

1.0 .3413

.3438

.3461

.3485

.3508

.3531

.3554

.3577

.3599

.3621

1.1 .3643

.3643

.3686

.3708

.3729

.3749

.3770

.3790

.3810

.3830

1.2 .3849

.3869

.3888

.3907

.3925

.3944

.3962

.3980

.3997

.4015

1.3 .4032

.4049

.4066

.4082

.4099

.4115

.4131

.4147

.4162

.4177

1.4 .4192

.4207

.4222

.4236

.4251

.4265

.4279

.4292

.4306

.4319

1.5 .4332

.4345

.4357

.4370

.4382

.4394

.4406

.4418

.4429

.4441

1.6 .4452

.4463

.4474

.4484

.4495

.4505

.4515

.4525

.4535

.4545

1.7 .4554

.4564

.4573

.4582

.4591

.4599

.4608

.4616

.4625

.4633

1.8 .4641

.4649

.4656

.4656

.4671

.4671

.4678

.4693

.4699

.4706

1.9 .4713

.4719

.4726

.4726

.4738

.4744

.4750

.4756

.4756

.4767

2.0 .4772

.4778

.4783

.4788

.4793

.4798

.4803

.4808

.4812

.4817

a) O valor total das operações realizadas em julho é estimado em R$ 150.000,00. b) Se o intervalo de confiança obtido para o valor médio das operações foi

[1.440;1.560], o nível de confiança utilizado para o cálculo foi superior a 95%.


76

c) A probabilidade de uma dessas operações financeiras de julho ter valor superior a R$ 1.770,00 é inferior a 0,2.

d) Para estimar a proporção de comprovantes com erro de digitação, considerando margem de erro amostral igual a 2% e nível de confiança de 95%, o número de comprovantes a serem analisados deverá ser superior a 2.750,00.

e) Caso, em agosto, o intervalo de confiança para o mesmo estudo tenha sido de [1.450;1.520], com nível de confiança de 97,7%, um teste de hipótese que queira reduzir a 0,01 o risco de se cometer um erro do tipo I não fornecerá evidência para se afirmar que a média de operações foi diferente de R$ 1.515,00.

07 – (CESPE-UnB/Analista do Banco Central/2000) – um psicólogo deseja estudar o tempo (em minutos) que os empregados de uma companhia levam para realizar certa tarefa. Postula-se que os tempos na população considerada seguem uma distribuição normal com média µ e variância σ2, ambas desconhecidas. O psicólogo obteve uma amostra de n = 100 empregados e registrou o tempo que cada um deles precisou para

realizar a tarefa. Para os 100 tempos registrados, obtiveram-se o valor médio 25,6____

=X

minutos e o desvio padrão S = 1 minuto. Valores selecionados da tabela normal Z 1,282 1,645 1,960 2,576 Pr (X<z) 0,900 0,950 0,975 0,995 Se X tem distribuição normal padrão, as entradas representam a probabilidade Pr(X<z). Nessa situação e utilizando, caso seja necessário, os valores selecionados da tabela normal fornecidos acima, julgue os itens a seguir. a) Quando µ = 6,50 e σ2 = 1, a probabilidade de se observar um valor de X menor ou

igual a 6,25 é maior que 0,995. b) O nível de confiança do intervalo 6,09 < µ< 6,41 é menor que 95%. c) Para um nível de significância α = 0,01 (1%), a hipótese nula H0: µ = 6,50 é

rejeitada em favor da alternativa Ha: µ = 6,50. d) Ao testar a hipótese nula H0: µ = 6,50 contra a alternativa Ha: µ = 6,50, o nível de

significância α representa a probabilidade de se aceitar a hipótese nula quando ela for falsa.

e) Se o psicólogo desejar obter um intervalo de confiança de nível 95% para µ cujo comprimento não seja maior que 0,04 minutos, usando como hipótese de trabalho que σ = 1, então ele necessitará obter uma amostra de tamanho igual a 1.000.

08 – (Analista do Banco Central/2001) – Um auditor deseja estimar a proporção p de contas incorretamente contabilizadas no processo contábil de uma instituição financeira. Neste contexto, decide tomar uma amostra aleatória de tamanho n das contas e estimar p usando a proporção amostral de contas incorretamente contabilizadas. O auditor considera a população de contas infinita e que a proporção amostral tenha distribuição


77

aproximadamente normal com expectância p e variância p(1 – p)/n. Suponha variância máxima e que Φ (2) ≅ 0,975, sendo Φ (.) a função de distribuição da normal padrão, assinale a opção que dá o valor de n que o auditor deve tomar para estimar p com erro não superior a 5% para mais ou para menos com nível de confiança de 95%. a) 100 b) 200 c) 400 d) 500 e) 130 09 – (ESAF/IBGE – 1999) – Uma amostra aleatória de tamanho 400 de uma distribuição normal foi observada, verificando-se uma média amostral igual a 20,3 com um desvio padrão igual a 2,0. Um intervalo de confiança com 95% de nível de confiança para a média populacional será dado pôr a) (16,734; 23,866) b) (18,736; 21,864) c) (19,078; 21,522) d) (20,104; 20,496) e) (19,749; 20,851) 10 – (ESAF/IBGE – 1999) – Uma certa característica populacional é descrita pôr uma variável aleatória com média µ e variância 16. Se observarmos uma amostra aleatória simples de tamanho 900, a probabilidade de que a média amostal não se afaste de µ pôr mais de 0,3 unidades é de, aproximadamente: a) 56% b) 73% c) 85% d) 90% e) 98% 11 - (ESAF/IBGE – 1999) – Uma amostra aleatória simples de tamanho n>2 é observada de uma distribuição normal com média µ e variância σ2. Para testar H0: µ = µ0 versus H1: µ = µ0, onde µ0 é um número real qualquer, devemos usar uma estatística de teste que tem, quando a hipótese nula é verdadeira, a seguinte distribuição de probabilidades: a) qui-quadrado com n graus de liberdade b) t-Student com n-1 graus de liberdade c) F com 1 e n – 2 graus de liberdade d) t – Student com 1 grau de liberdade e) F com n – 1 e n – 2 graus de liberdade



78

(ANPEC 1992 - QUESTÃO 10) - O intervalo de confiança permite avaliar a precisão de um estimador. Sobre ele é possível afirmar que: (0) O nível de confiança indica a probabilidade do parâmetro populacional estar

dentro do intervalo estabelecido. (1) O tamanho do intervalo varia inversamente com o tamanho da amostra. (2) Dado um tamanho de amostra, quanto maior o nível de confiança, menor o erro

amostral permitido. (3) O intervalo com 100% de confiança para a variância σ 2 estende-se de -∞ a +∞. (ANPEC 1992 - QUESTÃO 11) - Economistas afirmam que o salário médio anual de advogado é maior do que o salário médio anual de economista. (0) Para testar a afirmação dos economistas é necessário apenas a hipótese de que as

populações originais sejam normais. (1) A estatística do teste tem distribuição normal. (2) A hipótese alternativa deverá ser Ha A E: µ µ≠ . (3) Rejeitar a hipótese nula implica em aceitar a veracidade da afirmativa. (4) A hipótese nula deverá ser H A E0: µ µ= . (ANPEC 1994 - QUESTÃO 7) - De 50.000 válvulas fabricadas por uma companhia, retirou-se uma amostra aleatória de 400 válvulas e verificou-se que a vida média era de 800 horas, com um desvio-padrão de 100 horas. (0) A estimativa da média populacional pertence ao intervalo (787,1 812,9) com

uma confiança de 99%. (1) Com uma confiança de 95% poderíamos afirmar que a vida média está no

intervalo [(800 - 12) (800 + 12)]. (2) Para que seja de 95% a confiança na estimativa [(800 - 7,84) (800 + 7,84)] a

amostra deve ser composta por 625 válvulas. (3) O nível de confiança na estimação por intervalo (por exemplo 95%) significa

que, construídos todos os intervalos possíveis, 95% dos casos conterão o parâmetro populacional.

(4) Quanto mais alto o grau de confiança, mais estreito é o intervalo de confiança correspondente.

(ANPEC 1994 - QUESTÃO 8) - Com relação aos testes de hipóteses, podermos afirmar que: (0) O erro tipo I ou de primeira espécie consiste em se aceitar a hipótese nula ( )H0

quando ela é falsa. (1) Os testes de hipóteses dizem respeito a regras de decisão para aceitar ou rejeitar

uma hipótese estatística com base nos elementos amostrais. (2) A probabilidade β de cometer o erro tipo II aumenta à medida que o valor do

parâmetro se afasta do valor testado. (3) Num teste de hipóteses para a média, quando a variância populacional é

desconhecida, devemos utilizar a estatística Z que tem distribuição N(0,1).


79

(4) Sejam duas amostras provenientes de duas populações normais independentes. Se as variâncias populacionais são iguais porém desconhecidas, a estatística a ser utilizada no teste de igualdade de médias é a “t” de Student com (n+m-2) graus de liberdade, onde n e m são os tamanhos das amostras e (n + m) < 30.

(ANPEC 1994 - QUESTÃO 10) - Deseja-se investigar a afirmação de que o salário médio anual dos economistas em São Paulo é maior do que o salário médio anual dos economistas no Rio de Janeiro. Pode-se afirmar que: (0) É necessário apenas que a amostra em cada população inclua os economistas

com mais de 10 anos de profissão. (1) É necessário assumir que os salários em ambas as populações seguem uma

distribuição normal. (2) A hipótese nula deverá ser H RJ SP0: µ µ< em que µ RJ é a média populacional

dos salários no Rio de Janeiro e µ SP é a média populacional dos salários em São Paulo.

(3) Se o teste for estatisticamente significante podemos concluir que os economistas paulistas, na média, recebem um salário significante superior aos seus colegas cariocas.

(4) Quanto maior o tamanho da amostra, para um mesmo nível de significância, maior a possibilidade de se rejeitar a hipótese nula.

(ANPEC 1995 - QUESTÃO 9) - Com relação aos testes de hipóteses, pode-se afirmar que: (0) A probabilidade do erro tipo I, ou de primeira espécie, é denominada de nível de

significância do teste. (1) O erro tipo II, ou de segunda espécie, consiste em aceitar a hipótese nula ( H0)

quando esta é falsa. (2) Quanto menor for o nível de significância de um teste, mais extremo deve ser o

valor calculado da estatística do teste para que se rejeite (H0). (3) Em um teste de hipóteses para comparação de duas médias provenientes de

populações normalmente distribuídas com variâncias iguais e desconhecidas, a estatística utilizada é a “t” de Student.

(ANPEC 1995 - QUESTÃO 13) - Quando se realiza um teste de hipótese, convém saber que: (0) A conclusão do teste é sensível à forma como se define a hipótese nula. (1) A região de rejeição da hipótese nula deve abranger todos os valores que a

estatística de teste não pode assumir. (2) Sempre que possível, deve-se adotar nível de significância de zero por cento. (3) O poder do teste é dado pela probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando

esta é falsa. (4) A estatística do teste a ser utilizada depende da distribuição do estimador. (ANPEC 1995 - QUESTÃO 14) - O representante de um grupo comunitário informa a uma pessoa interessada em estabelecer um centro comercial que a renda média familiar


80

na área é de R$ 15.000. Suponha que, para a área em questão, seja possível admitir que a renda média familiar tem distribuição aproximadamente normal, e que se possa aceitar o desvio-padrão como sendo R$ 2.000 (com base em um estudo anterior). Para uma amostra aleatória de 16 famílias, a renda média familiar foi de R$ 15.500. O centro comercial só será construído se o nível médio de renda familiar (µ) for maior que o informado. (0) A hipótese nula deve ser H R0 000: $15.µ = . (1) A hipótese alternativa deve ser H R1 000: $15. .µ < (2) Não pode ser realizado qualquer teste pois o número de elementos da amostra é

pequeno. (3) A estatística que deve ser utilizada para a elaboração do teste é a Z, que tem

distribuição N(0,1). (4) Um teste feito ao nível de significância de 5% permite concluir que a condição

para a construção do centro será satisfeita. (ANPEC 1996 - QUESTÃO 8) - Sejam X1, X2, ... , Xm e Y1, Y2, ... , Yn variáveis

aleatórias independentes tais que Xi∼N(µ,σ2) e Yj∼N(ν,τ2). Podemos afirmar que:

(0) Se num teste de hipótese com H0: µµµµ=0 e H1: µµµµ≠≠≠≠0 e nível de significância de 5% rejeitamos H0, então o intervalo de confiança para a média, com nível de confiança igual a 95%, não irá conter o número zero. (1) Se dispomos de dois testes (T1 e T2, digamos) apropriados para testar a hipótese H0: µµµµ=νννν e precisamos escolher um deles, então se a potência (ou poder) de T1 é sempre superior à do teste T2 e ambos tem o mesmo nível de significância, é preferível usar o teste T2. (2) Só podemos testar a hipótese H0: µµµµ=νννν quando m=n.

(3) Só podemos usar o teste F para a hipótese H0: σσσσ2=ττττ2 quando sabemos de antemão que µµµµ=νννν

(ANPEC 1997 - QUESTÃO 11) – vida útil de um tubo de televisão tem distribuição Normal com desvio padrão (conhecido) de 500 horas. O fabricante afirma que a vida útil média dos tubos é de, no mínimo, 9.000 horas. Sabendo-se que a vida útil média encontrada para uma amostra aleatória de 16 tubos foi de 8.800 horas, podemos afirmar que:

(0) Para verificar a veracidade da informação do fabricante através de um teste

estatístico de hipóteses, as hipóteses são: Hipótese nula : H0: µ = 9.000 horas Hipótese alternativa : H1: µ > 9.000 horas

(1) Ao nível de significância de 5%, não podemos contestar a afirmação do fabricante. (2) Se a informação amostral fosse obtida de uma amostra de 36 tubos, ao nível de

significância de 2,5% também não podemos contestar a afirmação do fabricante.


81

(3) O tamanho mínimo da amostra para uma estimativa por intervalo da vida média dos tubos deveria ser de 50 tubos, de modo que o erro da estimativa não excedesse a 100 horas, com uma probabilidade de 95%.

(4) Caso desconheçamos o desvio padrão populacional é impossível testar a validade da afirmação do fabricante.

(ANPEC 1997 - QUESTÃO 12) - Com base na Inferência Estatística, podemos fazer as seguintes afirmações: (0) A redução da probabilidade de erro do tipo I não tem qualquer efeito sobre a

probabilidade de erro do tipo II. (1) Sob condições bastante gerais, à medida em que o tamanho da amostra aumenta, a

distribuição de probabilidade da média da amostra torna-se mais concentrada em torno da média populacional e o intervalo de confiança torna-se menos amplo e mais preciso.

(2) Quando desejamos estimar a média populacional µ, se estamos trabalhando com amostras pequenas, com a variância populacional desconhecida, devemos utilizar a estatística “t” de Student, qualquer que seja a distribuição de probabilidade da

população, sendo tXS

n

=− µ

, onde X = média amostral; S = desvio padrão

amostral; e n = tamanho da amostra. (3) Sejam: H0 a hipótese nula e H1 a hipótese alternativa de uma teste estatístico. Testar

H0 consiste essencialmente em determinar uma região crítica para a estatística em estudo, de forma que a probabilidade da estatística cair na região crítica, sendo H0 verdadeira, é um valor fixo α, concordando em rejeitar esta hipótese se, e somente se, o valor da estatística cair na região crítica.

(4) É possível reduzir as probabilidades dos erros do tipo I e II com o aumento da amostra.

(ANPEC 1998 - QUESTÃO 9) - Uma máquina está sendo examinada com o objetivo de substituir a máquina antiga de certa indústria. Segundo o fabricante da nova máquina, a proporção (P) de peças defeituosas produzida é de 3% ou menos. Uma amostra de 2.000 peças foi examinada e foram encontradas 74 peças defeituosas.

(0) As hipóteses para um teste estatístico de hipóteses devem ser

H0: P = 0,03 e HA: P < 0,03.

(1) Ao realizarmos o teste de hipóteses para o problema, ao nível de significância de 5%, a hipótese nula deve ser rejeitada.

(2) Utilizando a proporção de peças defeituosas encontradas na amostra, a estimativa por intervalo para a verdadeira proporção de peças defeituosas produzida pela nova máquina, utilizando uma confiança de 95%, é ( 2,87%; 4,53%).

(3) Admitindo que a verdadeira proporção de peças defeituosas seja 3%, seria necessário uma amostra de 3.000 peças para que o erro máximo admissível entre a proporção estimada e a verdadeira não excedesse a 1%, com probabilidade de 95%.


82

(4) Se as probabilidade de que um intervalo de confiança contenha o verdadeiro parâmetro populacional θ é igual a (1 - α), isto significa que se retirássemos um número infinito de amostras da população em estudo e se para cada uma das amostras calculássemos o intervalo de confiança do parâmetro θ, então em (1 - α)% destes intervalos conteriam o verdadeiro parâmetro θ.

(ANPEC 1999 - QUESTÃO 7) - O candidato X a governador de certo estado afirma que detém mais de 45% das intenções de voto do eleitorado na próxima eleição. Para verificar a veracidade da informação, o candidato Y mandou realizar um levantamento estatístico utilizando, para tanto, uma amostra aleatória de 625 eleitores. O resultado do levantamento foi o seguinte:

Candidato X Y Outros Total Número de votos 255 265 105 625

Com as informações dadas, podemos concluir que: (0) A afirmação do candidato X é verdadeira com base num teste de hipóteses, para um

nível de significância de 5%. (1) Com uma confiança de 90%, o intervalo de confiança para a verdadeira proporção

de intenções de voto para o candidato Y é (39%; 46%), arredondando para números inteiros as percentagens encontradas.

(2) Com a mesma confiança de 90%, o intervalo estimado para a verdadeira proporção de intenções de voto para o candidato X é (38%; 44%), arredondando para números inteiros as percentagens encontradas.

(3) A afirmação de que o candidato Y detém mais de 42% das intenções de voto é verdadeira, com base num teste de hipóteses com nível de significância de 1%.

(ANPEC 1999 - QUESTÃO 10) - Com relação a teoria de Teste de Hipóteses, pode-se afirmar que : (0) Se o objetivo é testar a hipótese Nula , 00 : θθ =H , contra a hipótese Alternativa de

que, 0: θθ ≠aH , então deve-se rejeitar 0H quando 21

0

0

(

ˆαθ

θθ−

>−

Cdp

onde, o valor

crítico, 21 α−

C , é determinado da distribuição t-Student ou da distribuição Normal

em função do nível de significância α . (1) Um teste de hipótese é dito o mais poderoso se tem o maior poder do que qualquer outro teste, ainda que os níveis de significâncias sejam diferentes. (2) Um teste de hipótese é não-viciado se seu poder é maior ou igual do que a probabilidade do erro do tipo I para todos os valores dos parâmetros. (3) A estatística t-Student é utilizada nos testes de hipóteses para a média populacional quando a variância dos elementos da população, 2σ ,não é conhecida.


83

(ANPEC 2000 - QUESTÃO 05) - Dadas as seguintes afirmativas sobre testes de hipóteses, é correto dizer que:

(0) A probabilidade do erro tipo I é calculada utilizando-se a estatística de teste, para cujo cálculo presume-se que a hipótese nula é falsa.

(1) Uma vez definida a região de confiança para um determinado parâmetro da população, várias hipóteses nulas podem ser testadas utilizando-se este intervalo de confiança.

(2) Quanto maior o p-valor, maior a credibilidade da hipótese alternativa.

(3) A aceitação de determinada hipótese nula implica que esta hipótese seja verdadeira.

(4) O poder de um teste é a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando esta for falsa.


Ao testar a significância do coeficiente angular ß de um modelo de regressão linear

simples encontrou-se valor-p = 3x10 3− . Pode-se afirmar que:

O erro tipo II será igual a 3x10 3− .

A probabilidade de o verdadeiro valor do parâmetro encontrar-se no intervalo

ββ ˆ2ˆ S± é 99,7%.

O mais baixo nível de significância ao qual a hipótese nula pode ser rejeitada é 3x10 3− .

O coeficiente é significante a 99% de confiança.

A potência do teste é definida por (1 – 0,003).

(ANPEC 2001 - QUESTÃO 06) - Em relação ao intervalo de confiança estatístico pode-se afirmar:

Utiliza-se a distribuição normal z padronizada para estimar-se o intervalo de confiança da média populacional somente quando a população for normalmente distribuída.

Emprega-se um fator de correção para a estimativa do desvio-padrão quando a população é finita, ou a amostra é extraída sem reposição.

Para aumentar a precisão de uma estimativa por intervalo, o pesquisador deve aumentar o intervalo de confiança de 95% para 99%, por exemplo.

Aumentando-se o tamanho da amostra, aumenta-se a precisão de uma estimativa por intervalo.

Sendo x = 14 a média de uma amostra aleatória de 36 elementos extraída de uma

população normal cujo desvio padrão é σ = 2, o intervalo de confiança da média

populacional, a 95%, será 14 ± 0,55. Use a tabela da distribuição Normal em anexo.

(ANPEC 2002 - QUESTÃO 05) - Indique se as seguintes considerações sobre a teoria dos testes de hipótese são verdadeiras (V) ou falsas (F).


84

O erro do tipo II é definido como a probabilidade de não se rejeitar uma hipótese nula quando esta for falsa e o erro do tipo I é definido como a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando esta for verdadeira.

No teste de hipótese para proporções, se a variância da proporção populacional for desconhecida, a estatística t de Student com n-1 graus de liberdade (n é o tamanho da amostra) é a indicada para o teste.

Num teste de hipótese bi-caudal, o valor-p (ou valor de probabilidade) é igual a duas vezes a probabilidade da região extrema delimitada pelo valor calculado da estatística do teste.

Não se pode realizar um teste de hipótese para a variância populacional pois a estatística do teste, que segue uma distribuição Qui-quadrado com n -1 graus de liberdade (n é tamanho da amostra), não é simétrica.

No teste de hipótese para a média (H0: µ = 0 contra Ha: µ ≠ 0), ao nível de significância α, se o

intervalo de confiança com 1-α de probabilidade não contiver µ = 0, não se poderá rejeitar H0.

(ANPEC 2003 - QUESTÃO 05) - Com relação a testes de hipótese, é correto afirmar que:

o p-valor de um teste representa a probabilidade de aceitação da hipótese nula;

o nível de significância de um teste é a probabilidade de se cometer o erro tipo I;

a potência do teste é a probabilidade de se cometer o erro tipo II;

em um modelo de regressão linear utiliza-se um teste bilateral para verificar se determinado coeficiente é estatisticamente diferente de zero;

o nível de significância de um teste de hipótese cresce com o tamanho da amostra.

(ANPEC 2001 - QUESTÃO 07) - Sobre testes de hipóteses, pode-se afirmar que:

O erro do tipo I consiste em rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.

Nível de significância é a probabilidade de se cometer erro do tipo II.

Por potência do teste entende-se a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando esta for falsa.

A opção pelo teste unilateral ou bilateral decorre da expectativa teórica sobre o parâmetro que estiver sendo testado.

Um intervalo de confiança de 100(1-α)% também pode ser utilizado para o teste de significância de um parâmetro populacional, caso o teste seja bilateral.

Gabarito das Questões de Concursos Públicos


85

I – Probabilidade 01 – C 02 – B 03 – E 04 – A) .F, B).V, C)F, D)V, E)V 05 - B II – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS E CONTÍNUAS. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE E DENSIDADE DE PROBABILIDADE. DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA, DISTRIBUIÇÃO MARGINAL, INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA. ESPERANÇA MATEMÁTICA E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA. COVARIÂNCIA E COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO. PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES: BERNOULLI, BINOMIAL, POISSON, GEOMÉTRICA, HIPERGEOMÉTRICA, UNIFORME, NORMAL, LOGNORMAL, QUI-QUADRADO, t e F. 01 – C 02 – E 03 – A 04 – C 05 – D 06 – E 07 – B 08 – A 09 – C 10 – A 11 – E 12 – B 13 – C 14 – B 15 – D 16 – D 17 – E 18 – C 19 – B 20 – E 21 – A 22 – C 23 - D III – Principais teoremas de probabilidade. Teorema de Tchebycheff. Lei dos Grandes Números. Teorema do Limite Central. Inferência estatística. Estimação pôr ponto e pôr intervalo. Propriedades desejáveis dos estimadores em pequenas e grandes amostras 01 – C


86

02 – D 03 – C 04 – D 05 – D 06 – C 07 – D 08 – C 09 – E IV - Intervalo de Confiança e Teste de Hipóteses. Tipos de erro. Nível de significância 01 – B 02 – E 03 – A 04 – A 05 – C 06 – (A) F, (B) V, (C) V, (D) F e (E) V 07 - (A) F, (B) V, (C) V, (D) F e (E) F 08 – C 09 – D 10 – E 11 – B 12 – E

Gabarito do Exame Nacional da ANPEC

ANPEC 1990 ANPEC 1991


87

ANPEC 1992 ANPEC 1993 1. (0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V 2. (0) F - (1) V - (2) F - (3) F - (4) V 3. (0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) V 4. (0) F - (1) F - (2) V - (3) V - (4) F 5. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V 6. 03 7. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V 8. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F 9. (0) F - (1) F - (2) F - (3) V 10. (0) F - (1) V - (2) F - (3) F 11. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F - (4) F 12. (0) F - (1) F - (2) F - (3) F - (4) F 13. (0) V - (1) F - (2) F - (3) F - (4) F 14. (0) F - (1) V - (2) V - (3) V 15. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) F ANPEC 1994 1. (0) P - (1) P - (2) V - (3) F - (4) F 2. (0) V - (1) F - (2) V - (3) F 3. 20 4. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F 5. 08 6. (0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V 7. (0) V - (1) F - (2) V - (3) V - (4) F 8. (0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V 9. 03 10. (0) F - (1) V - (2) F - (3) F - (4) V 11. P 12. 55 13. P 14. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F - (4) F - (5) V 15. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F ANPEC 1995 1. 23 2. (0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) F 3. (0) F - (1) F - (2) V - (3) V - (4) V 4. (0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) F 5. (0) F - (1) F - (2) F - (3) V - (4) F


88

6. (0) F - (1) F - (2) F - (3) V 7. (0) F - (1) F - (2) V - (3) V - (4) F 8. (0) F - (1) F - (2) F - (3) F - (4) V 9. (0) V - (1) V - (2) V - (3) F 10. 30 11. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) V 12. (0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V 13. (0) V - (1) F - (2) F - (3) V - (4) V 14. (0) V - (1) F - (2) F - (3) V - (4) F 15. (0) V - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V ANPEC 1996 1. (0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) F - (5) F - (6) V - (7) F 2. 97 3. (0) V - (1) V - (2) F - (3) V - (4) V - (5) F 4. 22 5. (0) V - (1) V - (2) F - (3) V 6. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F 7. 41 8. (0) V - (1) F - (2) F - (3) F 9. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F - (4) V - (5) V 10. (0) V - (1) V - (2) F - (3) F 11. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) F - (5) V 12. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) F 13. (0) F - (1) V - (2) V - (3) F 14. 00 15. (0) V - (1) F - (2) F - (3) F ANPEC 1997 Q U E S T Õ E S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 E C 25 C 58 C C E C C E E 48 C C Q 1 C C C E E C E E C C E C U 2 E C E E C C C C E E E C E 3 C C C E E E C E E C C E S 4 E C C C E C C I 5 T 6 O 7 S 8 9 ANPEC 1998


89

Questões Quesitos

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15

00 V X F V V X X F F V V 25 F V V 01 V F V F F X V V V F F V F V 02 F X V V V X F V V F V F F F 03 F V V V F X F V F F V V F V 04 F V V V ANPEC 1999

PROVA DE ESTATÍSTICA

ques./quest

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

00 E 11 C E C C E X E E C E E E E 01 C C C C C C E E C E C C E 02 C C C C E C C C E C C E C 03 E E E E X E C C E C E C C 04 C C C E E C C

(nc* = não consta) (X = anulada) ANPEC 2000 IT\QUES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 F 20 F V F V V V 32 17 F F V 13 V 1 V F F V V F F F F F V 2 F V V F F F V V V F F 3 F V F F F V V V F 4 V V V F F F V

ANPEC 2001 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 V V V V F F V F F F V V 99 2 25 1 V F V V F F F V V V F F 2 F F F F V F V V F V V V 3 V V F F V V V F F F F F 4 V V F F F F V F F V V V ANPEC 2002

Prova de Estatística (4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


90

0 F F F V A V F V F V F F 20 6 50 1 F V V V F F V F F V V F 2 V F F F F V F F V F V F 3 V V F F F F V V V F F V 4 F F V F F V V F V V F F GABARITO DA PROVA 2 - ANPEC 2003 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 F F F F A F F F F F 75 40 04 25 11

1 F V F V V V F F F V 2 F V V F F F F V V V

3 V F F F V F V F F V 4 V F F V F F V V V F DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO


91

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 .5000 .4960 .4920 .4880 .4840 .4801 .4761 .4721 .4681 .4641 0.1 .4602 .4562 .4522 .4483 .4443 .4404 .4364 .4325 .4286 .4247 0.2 .4207 .4168 .4129 .4090 .4052 .4013 .3974 .3936 .3897 .3859 0.3 .3821 .3783 .3745 .3707 .3669 .3632 .3594 .3557 .3520 .3483 0.4 .3446 .3409 .3372 .3336 .3300 .3264 .3228 .3192 .3156 .3121 0.5 .3085 .3050 .3015 .2981 .2946 .2912 .2877 .2843 .2810 .2776 0.6 .2743 .2709 .2676 .2643 .2611 .2578 .2546 .2514 .2483 .2451 0.7 .2420 .2389 .2358 .2327 .2296 .2266 .2236 .2206 .2177 .2l48 0.8 .2119 .2090 .2061 .2033 .2005 .1977 .1949 .1922 .1894 .1867 0.9 .1841 .1814 .1788 .1762 .1736 .1711 .1685 .1660 .1635 .1611 1.0 .1587 .1562 .1539 .1515 .1492 .1469 .1446 .1423 .1401 .1379 1.1 .1357 .1335 .1314 .1292 .1271 .1251 .1230 .1210 .1190 .1170 1.2 .1151 .1131 .1112 .1093 .1075 .1056 .1038 .1020 .1003 .0985 1.3 .0968 .0951 .0934 .0918 .0901 .0885 .0869 .0853 .0838 .0823 1.4 .0808 .0793 .0778 .0764 .0749 .0735 .0722 .0708 .0694 .0681 1.5 .0668 .0655 .0643 .0630 .0618 .0606 .0594 .0582 .0571 .0559 1.6 .0548 .0537 .0526 .0516 .0505 .0495 .0485 .0475 .0465 .0455 1.7 .0446 .0436 .0427 .0418 .0409 .0401 .0392 .0384 .0375 .0367 1.8 .0359 .0352 .0344 .0336 .0329 .0322 .0314 .0307 .0301 .0294 1.9 .0287 .0281 .0274 .0268 .0262 .0256 .0250 .0244 .0239 .0233 2.0 .0228 .0222 .0217 .0212 .0207 .0202 .0197 .0192 .0188 .0183 2.1 .0179 .0174 .0170 .0166 .0162 .0158 .0154 .0150 .0146 .0143 2.2 .0139 .0136 .0132 .0129 .0125 .0122 .0119 .0116 .0113 .0110 2.3 .0107 .0104 .0102 .0099 .0096 .0094 .0091 .0089 .0087 .0084 2.4 .0082 .0080 .0078 .0075 .0073 .0071 .0069 .0068 .0066 .0064 2.5 .0062 .0060 .0059 .0057 .0055 .0054 .0052 .0051 .0049 .0048 2.6 .0047 .0045 .0044 .0043 .0041 .0040 .0039 .0038 .0037 .0036 2.7 .0035 .0034 .0033 .0032 .0031 .0030 .0029 .0028 .0027 .0026 2.8 .0026 .0025 .0024 .0023 .0023 .0022 .0021 .0021 .0020 .0019 2.9 .0019 .0018 .0017 .0017 .0016 .0016 .0015 .0015 .0014 .0014 3.0 .00135 3.5 .000233 4.0 .0000317 4.5 .00000340 5.0 .000000287


92

Áreas da Distribuição Normal Padronizada - Um dado na tabela é a proporção, sob toda a curva que está compreendida entre z = 0 e um valor positivo de z. Para valores negativos de z, as áreas são obtidas por simetria.

% .00

.01

.02

.03

.04

.05

.06

.07

.08

.09

.0 .0000

.0040

.0080

.0120

.0160

.0199

.0239

.0279

.0319

.0359

.1 .0398

.0438

.0478

.0517

.0557

.0596

.0636

.0675

.0714

.0753

.2 .0793

.0832

.0871

.0910

.0948

.0987

.1026

.1064

.1103

.1141

.3 .1179

.1217

.1255

.1293

.1331

.1368

.1406

.1443

.1480

.1517

.4 .1554

.1591

.1628

.1664

.1700

.1736

.1772

.1808

.1844

.1879

.5 .1915

.1950

.1985

.2019

.2054

.2088

.2123

.2157

.2190

.2224

.6 .2257

.2257

.2324

.2357

.2389

.2422

.2454

.2486

.2518

.2549

.7 .2580

.2580

.2642

.2673

.2704

.2734

.2764

.2794

.2823

.2852

.8 .2881

.2881

.2939

.2967

.2995

.3023

.3051

.3078

.3106

.3133

.9 .3159

.3186

.3212

.3238

.3264

.3289

.3315

.3340

.3365

.3389

1.0 .3413

.3438

.3461

.3485

.3508

.3531

.3554

.3577

.3599

.3621

1.1 .3643

.3643

.3686

.3708

.3729

.3749

.3770

.3790

.3810

.3830

1.2 .3849

.3869

.3888

.3907

.3925

.3944

.3962

.3980

.3997

.4015

1.3 .4032

.4049

.4066

.4082

.4099

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75405026-Apostila-De-Exercicios-De-Estatistica-Basica-E-Avancada-E-Orientacoes.pdf

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