9.Flujo de Fluidos compresibles. Cuando un fluido es compresible su densidad cambia a lo largo de la dirección del flujo, producto del cambio en la presión y la temperatura. En general, para un sistema determinado se considera que el fluido es compresible, si su densidad varía más de un 10% entre los puntos de entrada y salida. El flujo de gases a presiones atmosféricas o superiores, puede desarrollarse en régimen laminar o turbulento, con transición para Re = 2000 - 3000. Flujo isotérmico de un gas ideal a través de una cañería horizontal. Se cumple: MRTcte p p p = = = = . 2 2 1 1 ρ ρ ρ p p ⋅ = 1 1 ρ ρ Balance de energía diferencial para condiciones de entrada y salida: p 1 , ρ 1 y p 2 , ρ 2 respectivamente. Figura 9.1. Flujo isotérmico de un gas ideal en una cañería horizontal. 0 2 2 = + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ fc dh dp g v d ρ (9.1) 2 2 2 2 / 0 2 2 v g g v D dx fdp g v dc c c ⋅ = ⋅ ⋅ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ρ (9.2) 0 2 2 2 = ⋅ + ⋅ + D dx fdp v g v dv c ρ (9.3) Por continuidad. G = v⋅ρ= cte. dG = v⋅dρ+ ρ⋅dv = 0 ρ ρ dv dv − = , dp p d⋅ = 1 1 ρ ρ p p ⋅ = 1 1 ρ ρ p dp d= ρ ρ p dp v dv − =
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
5/11/2018 7162267 Cap 09 Flujo de Fluidos Compresibles - slidepdf.com
Cuando un fluido es compresible su densidad cambia a lo largo de la direccióndel flujo, producto del cambio en la presión y la temperatura. En general, paraun sistema determinado se considera que el fluido es compresible, si sudensidad varía más de un 10% entre los puntos de entrada y salida. El flujo degases a presiones atmosféricas o superiores, puede desarrollarse en régimenlaminar o turbulento, con transición para Re = 2000 - 3000.
Flujo isotérmico de un gas ideal a través de una cañería horizontal.
Se cumple:
M
RT cte
p p p==== .
2
2
1
1
ρ ρ ρ
p
p
⋅=1
1 ρ ρ
Balance de energía diferencial para condiciones de entrada y salida: p1, ρ1 y p2,
ρ2 respectivamente.
Figura 9.1. Flujo isotérmico de un gas ideal en una cañería horizontal.
02
2
=++⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ f
c
dhdp
g
vd
ρ (9.1)
2
22 2/ 0
22 v
g
g
v
D
dx f
dp
g
vd c
cc
⋅=⋅⋅++⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ρ (9.2)
0
2
2 2 =⋅+⋅+ D
dx f
dp
v
g
v
dv c
ρ (9.3)
Por continuidad.
G = v⋅ρ = cte.
dG = v⋅dρ + ρ⋅dv = 0
ρ
ρ d
v
dv−= ,
dp p
d ⋅=1
1 ρ ρ p
p⋅=
1
1 ρ ρ
p
dpd =
ρ
ρ
p
dp
v
dv−=
5/11/2018 7162267 Cap 09 Flujo de Fluidos Compresibles - slidepdf.com
Según la ecuación general (9.9), en un comienzo si p2 disminuye G2 aumenta. Se
cumple que indistintamente para p2 →p1, G2→0, y para p2→0, G2→0. Loanterior indica la existencia de un valor máximo para G2 asociado con un valorde p2 crítico p2*.
Figura 9.2. Flujo másico superficial en función de la presión de salida p 2.
La región entre 0 < p < p2* es ficticia, ya que una vez que la presión de salida p2
alcanza el valor crítico p2* no se obtiene un flujo mayor.
La presión p2* crítica se obtiene derivando la ecuación general con respecto a p 2 para un p1 fijo según:
02
2
=dp
dG (9.11)
1ln
2
*
2
1
2
2
1 +=⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∗
N p
p
p
p (9.12)
Resolviendo para p2*. Gmáx
2 correspondiente obedece a la ecuación:
( ) ( )2*
2
1
12*
2
2 p
p
g p
RT
M gG cc
máx
ρ == (9.13)
2
11
112
ln1máx
c
c
máx
G
pg N
pgG
ρ
ρ
++=
(9.14)
5/11/2018 7162267 Cap 09 Flujo de Fluidos Compresibles - slidepdf.com
La cual se puede interpretar como la velocidad de una hipotética onda desonido isotérmica a las condiciones de salida, dado que se dispone de lassiguientes relaciones para la velocidad del sonido y un gas ideal:
ρ d dpgc c= M
RT p
= ρ
Así, la velocidad de una hipotética onda de sonido isotérmica está dada por:
M
RT gc c= (9.17)
En la práctica, sin embargo, las ondas circulan en forma isentrópica, y lavelocidad del sonido es:
M
RT kgc c= (9.18)
Donde,v
p
c
ck =
Flujo adiabático de un gas ideal a través de una cañería horizontal.
Se cumple:
.2
2
1
1 cte p p p
k k k ===
ρ ρ ρ k
k p
p
/ 1
/ 1
1
1 ⋅=ρ
ρ v
p
c
ck =
Balance de energía diferencial para condiciones de entrada y salida: p1, ρ1, T1 y
p2, ρ2, T2 respectivamente.
02
2
=++⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ f
c
dhdp
g
vd
ρ
(9.1)
5/11/2018 7162267 Cap 09 Flujo de Fluidos Compresibles - slidepdf.com
Ecuación general para el flujo másico superficial de un gas ideal adiabáticoequivalente a (9.9):
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
⎥
⎦
⎤⎢
⎣
⎡−
+=
++
−
k
k
k
k
k
k
k
c
p
p N
p p
k k
RT MpgG
/ 2
1
2
1
2
1
1
1
1
12
ln1
2 (9.24)
Ecuación particular si se cumple:2
1
2ln ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ >>
p
p N
Ecuación de Weymouth, equivalente a (9.10):
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+=
++−
k
k
k
k k
k
c p pk
k
NRT
MpgG
1
2
1
1
1
1
12
1
2 (9.25)
Al igual que con flujo isotérmico existe un Gmáx asociado con una presión desalida p2 crítica p2*. La presión p2* crítica se obtiene derivando la ecuacióngeneral con respecto a p2 para un p1 fijo según:
02
2
=dp
dG
(9.11)
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
+=⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
+
∗1
2ln
1
2 / 2
*
2
1
1
2
1
k N
p
p
p
p
k
k k
k
(9.26)
Resolviendo para p2*. Gmáx
2 correspondiente obedece a la ecuación:
( ) ( ) k
k
k
ck
k
k
k
c
máx p
p
k g p p
RT
kM gG
1*
2 / 1
1
11
*
2
1
1
1
2++−
==ρ
(9.27)
( )⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⋅+
=+1
2
2
11
112
ln1
21
2
k
máx
c
c
máx
G
pk g N
k k
pk gG
ρ
ρ
(9.28)
Todas las ecuaciones para flujo adiabático se transforman en las de flujoisotérmico para k = 1.
5/11/2018 7162267 Cap 09 Flujo de Fluidos Compresibles - slidepdf.com
Otro ejemplo de flujo compresible ocurre con la descarga de un gas desde unrecipiente a alta presión a través de una tobera, consistente de una secciónconvergente que conduce a una “garganta”, seguida posiblemente de unasección divergente o “difusor”.
Figura 9.3. Flujo a través de una toberaconvergente/divergente.
El flujo de alta velocidad descargando a la atmósfera es del tipo adiabático ydado que sólo se desarrolla en una corta distancia se le considera sin fricción.
k k pc p
1
1
ρ ρ ==
k
p p
/ 1
1
1 ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛ = ρ ρ
v
p
cck =
Balance de energía entre el recipiente y alguna posición en la tobera donde lavelocidad es v y la presión es p.
022
1
2
1
2
=+− ∫ p
pcc
dp
g
v
g
v
ρ (9.29)
∫ ∫ ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
==− p
p
k k
k
k p
pp
p p
k
k
p
dp pdp
11
11
/ )1(
11
1
/ 1
1
/ 1
1
ρ ρ ρ (9.30)
Reemplazando en el balance y considerando v1 = 0.
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
−=
− k k
c
p
p p
k
k gv
/ )1(
11
121
1
2
ρ (9.31)
5/11/2018 7162267 Cap 09 Flujo de Fluidos Compresibles - slidepdf.com
Figura 9.4. Efecto de la variación de la presión de salida en el flujo de la
tobera.
Dado que w = ρ⋅v⋅A en cualquier punto, donde w es el flujo másico de gas quedescarga y A es el área de sección transversal en la tobera.
k k k
c
p
p
p
p p
k
k g
A
wG
/ 2
1
/ )1(
1
11
2
21
1
2⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ =−
ρ (9.32)
El flujo másico superficial w/A (G) es claramente un máximo en la garganta,donde vale w/AT (o GT). Dado que la presión en la garganta es una variable,existe un valor máximo para w/AT (o GT), que se obtiene de:
0) / (
) / (
) / ( 11
== p pd
Awd
p pd
dG T T (9.33)
Así la razón de presión crítica es:
)1 /(
1 1
2−
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
=k k
cT
k p
p (9.34)
La velocidad vcT correspondiente es:
M RT kg pkg p
k k gv cT c
cT
cT cc
cT ==⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛
+=
ρ ρ 1
12
12 (9.35)
5/11/2018 7162267 Cap 09 Flujo de Fluidos Compresibles - slidepdf.com
En relación a la figura se tienen varias situaciones según la presión de salida p 2.
p2 Fenómenos.
A
Si la presión de salida es ligeramente inferior a la del recipiente, existe unflujo de descarga pequeño. Se puede evaluar utilizando la ecuación (9.32)sustituyendo A = A2 (área de salida) y p =p2. La ecuación (9.32) entrega lavariación de presión en la tobera. El flujo es siempre subsónico.
B Lo mismo que en A, excepto que la velocidad de flujo es más grande.
C
Si la presión de salida se reduce suficientemente, la velocidad en la
garganta alcanza el valor dado por la ecuación (9.35). En la seccióndivergente, la presión crece y el flujo es subsónico.
D
Para una presión de salida entre C y E, no hay solución continua posible.El flujo, que es crítico, es supersónico por una cierta distancia más allá dela garganta, sin embargo existe un incremento repentino de la presión,conocido como “shock”, y a continuación de esto el flujo es subsónico. El“shock” es un fenómeno irreversible, que resulta en bruscos cambios envelocidad, presión y temperatura sobre una extremadamente cortadistancia de unas pocas moléculas en espesor.
E
Para el mismo flujo másico crítico como en C, la ecuación (9.32) tiene unasegunda raíz, correspondiente a una presión de salida E. En este caso, sinembargo, existe un continuo decrecimiento de la presión en el difusor,donde el flujo es ahora supersónico.
FPara una presión de salida más baja que E, una posterior expansiónirreversible ocurre justo afuera de la tobera.
Si no hay difusor, el flujo es esencialmente aquel que se obtiene a través de unorificio de un estanque a presión. El flujo será subsónico si la presión de salidaexcede pcT. Si la presión de salida es igual a pcT, entonces se obtiene un flujocrítico con velocidad sónica a través del orificio. Y si cae bajo este valor, aun seobtendrá flujo crítico, pero con una posterior expansión irreversible justo afueradel orificio.
5/11/2018 7162267 Cap 09 Flujo de Fluidos Compresibles - slidepdf.com
Considere la descarga de un estanque de grandes dimensiones, como lasituación presentada en la figura 9.5:
Figura 9.5. Descarga de un estanque a través de una tubería
Se define el parámetro Gci, como el flujo másico máximo por unidad de áreahipotético que se alcanza con una expansión isotérmica del gas a través delsistema mostrado en la Figura 9.5, cuando N = 0, es decir en el punto 1 o dedescarga.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⋅⋅⋅
⋅=
⋅⋅=
s ft
lb
T R
M g p
pgG mC C
ci 2
0
0
00 718,2718,2
ρ (9.37)
Gráficamente a partir de ecuaciones de balances de energía y de continuidadLapple determinó para diferentes tipos de flujo (k = 1.0, 1.4 y 1.8), la relación
que existe entre la razón G/Gci (flujo másico superficial G en la cañería y elparámetro Gci) con la razón de presiones (p2/p0) o (p3/p0), para diversos valoresde N, número de alturas de velocidad, asociados con la resistencia por fricciónen la cañería.
• G, Gci, p0, p1, p2 y p3 definidos según esquema de descarga.• Otros flujos según valores de k se pueden obtener por interpolación.
Los gráficos de Lapple también identifican un flujo másico superficial máximoGmáx, obtenido de la razón (G/Gci)c crítica o máxima, de acuerdo a las presiones
que se desarrollen a lo largo de la cañería. El valor aludido, para un Ncualquiera, se obtiene cuando la curva en el gráfico se hace vertical.
Las razones (p2/p0) y (p3/p0) son iguales, para un N cualquiera, si la razónG/Gci es menor que el valor crítico o máximo (G/Gci)c.
Sólo cuando se alcanza la razón (G/Gci)c, para un N cualquiera, (p3/p0) puedeser menor que el valor de (p2/p0). En ese caso el flujo es el máximo eindependiente del valor de (p3/p0). La razón (p2/p0) se conserva fija, ya quecorresponde a la presión p2
* crítica definida antes.
5/11/2018 7162267 Cap 09 Flujo de Fluidos Compresibles - slidepdf.com
Figura 9.8. Gráfico de Lapple para flujo adiabático k =1.8
Una situación para el cálculo de flujos compresibles se puede plantearconociendo las condiciones al interior de la cañería. Suponga conocidas lascondiciones de presión y temperatura en 1 y el flujo másico superficial G que
circula por la cañería.
1 2
Para resolver este sistema de modo de conocer la presión y temperatura en unpunto 2 cualquiera. Se puede plantear un arreglo ficticio formado por unestanque a presión y temperatura p0 y T0, para las condiciones hipotéticas de
entrada dadas por el punto 1.
Entonces suponiendo un estanque en condiciones “0” desconocidas:
5/11/2018 7162267 Cap 09 Flujo de Fluidos Compresibles - slidepdf.com
Se puede escribir la razón entre las ecuaciones (9.37) y (9.38):
0
1
1
0
'·
T
T
p
p
G
G
ci
ci =
0
1
0
1
'·
T T
p p
G
G
G
G
CI CI
= (9.40)
0
1
0
2
1
2
p p
p p
p
p= (9.41)
0
1
0
2
1
2
T T
T T
T
T = (9.42)
Método de cálculo:
Se determina G’ci con (9.38) Se supone G/Gci
Se determina para N=0: p1 /p0 y T 1 /T 0 Se calcula G/Gci de (9.40) y se chequea. Si cumple, entonces se determina para N=N : p2 /p0 y T 2 /T 0 Si no cumple se itera con G/Gci
5/11/2018 7162267 Cap 09 Flujo de Fluidos Compresibles - slidepdf.com
1. Gas natural (metano, se asume como gas ideal) circula estacionariamentea 55 ºF por una cañería horizontal de 12” de diámetro nominal de 20millas de longitud, con un factor de fricción f = 0.014. Si la presión deentrada es de 100 [psia], que presión de salida correspondería con lavelocidad de flujo máximo en la cañería? Si la presión de salida real es de10 [psia], cual es la velocidad de flujo del gas en [lbm/h]? Repetir paraflujo adiabático considerando T1 = 55 ºF, (k = 1.31).
ISOTÉRMICODatos generales:
T [ºR] 515 M 16
f 0.014 N 1478.4
L [millas] 20 p1 [psia] 100
L [ft] 105600 p1 [lbf /ft2] 14400
D [ft] 1
Determinación de la presión crítica de salida p2*:
2. Etileno debe ser bombeado a lo largo de una cañería de 6” de diámetrointerno por una distancia de 5 millas a una velocidad de flujo másico de2.0 [lbm/s]. La presión de suministro al final de la cañería debe ser de 2.0atmósferas absolutas, y el flujo se puede considerar isotérmico a 60ºF. Siel factor de fricción f = 0.012, calcular la presión de entrada requerida.Asumir comportamiento de gas ideal, y justificar cualquier suposiciónadicional. Repetir para flujo adiabático considerando T1 = 60ºF, (k =1.255)
ISOTÉRMICODatos generales:
T [ºR] 520 M 28 W [lbm /s] 2.0
f 0.012 N 633.6 Aflujo [ft2] 0.196
L [millas] 5 p2 [atm] 2.0 G [lbm /ft2s] 10.19
L [ft] 26400 p2 [psia] 29.4D [ft] 0.5 p2 [lbf /ft
2] 4233.6
Determinación de la presión de entrada p1 con ecuación general:
3. Calcular la velocidad de descarga de aire a la atmósfera, desde unrecipiente a P0=150 psig y T0 = 70ºF a través de tubería de 33 ft de largo,con diámetro de 2”, Sch 40, acero comercial y 3 codos medio.
Figura. Problema ejemplo, flujo de gases
Para el análisis, se tiene que determinar primero el valor de N.
5/11/2018 7162267 Cap 09 Flujo de Fluidos Compresibles - slidepdf.com