7. VİSKOZ ( SÜRTÜNMELİ ) AKIŞLAR - eng.harran.edu.treng.harran.edu.tr/moodle/moodledata/19/yesilata/Ders_Notlari/FluidII_ch7full.pdf · Sınır tabakası kavramına örnek olmak
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
PROBLEM 1 Şekilde gösterilen düz yüzeyli levha üzerinden; ortalama sıcaklığı ve hızı sırasıyla 27°C ve 10 m/s olan hava hareketi söz konusudur. Levha uzunluğu 1m, genişliği ise 0.5 m olduğuna göre; yüzey uzunluğu boyunca 0.2 m aralıklarla hidrodinamik sınır tabaka kalınlıklarını tespit ediniz? Not (1): Verilen ortalama sıcaklıkaki havanın özellikleri aşağıda verilmiştir:
scp /m 15,89.10 kj/kg.K; 007.1;kg/m 1614,1 2-63 === νρ Not (2): Türbülanslı akım durumunda sınır tabaka kalınlığı için formül aşağıda verilmiştir:
5/1Re..37,0)( −= xh xxδ
ÇÖZÜM
x=0,2 m için
56 10.26,1
10.89,152,0.10Re === −
∞
νxU
x laminar akış
Hidrodinamik sınır tabaka kalınlığı;
mxx3
2,0
10.82,2Re
2,0.5)( −==δ
x=0.4 m, x=0.6 m, için akış yine laminar olduğundan yukarıdaki işlemler aynen takip edilir.
x=0,8 m için;
56 10.03,5
10.89,158,0.10Re === −
∞
νxU
x türbülanslı akış
x=0.8 m ‘den sonra akım türbülanslı olduğundan dolayı;
m 021,0Re..37,0)( 5/1 == −
xh xxδ x=1 m, için yukarıdaki işlemler aynen takip edilir. Elde edilen değerlere ilişkin tablo aşağıda verilmiştir: x=0,2 m x=0,4 m x=0,6 m x=0,8 m x=1 m
)(xhδ 2,82.10-3 m 3,98.10-3 m 4,88.10-3 m 0,021 m 0,0256 m
PROBLEM 2 Şekilde gösterilen levha üzerinde, boydan boya olmak üzere ‘W’ genişliğinde ince ve eğimli bir kanal (çatlak) bulunmaktadır. Kılcal çatlak içerisinde kararlı bir akış gerçekleştiğine göre; NS denklemlerini kullanarak, akışkana ait hız profilini ve akışkan debisini veren formülü türetiniz?
ÇÖZÜM
Basınç kuvveti ile yerçekimi etkisi birlikte tek bir terim olarak yazılırsa, modifiye edilmiş basınç terimi,
gzPP ρ+=ˆ
şeklinde elde edilir. Navier-Stokes (NS) denklemleri (x- ve z- yönleri için) ise,
∂∂
+∂∂
+∂∂
−=
∂∂
+∂∂
+∂∂
−−
2
2
2
2
2
2
2
2
ˆ0
ˆ0
zv
xv
zP
zv
xv
xP
zz
xx
µ
µ
şeklindedir. NS denklemleri ve süreklilk denkleminden aşağıdaki sonuçlar elde edilir:
00
;0ˆ
2
2
2
2
=∂∂
=∂∂
⇒=
=∂∂
zv
xvv
zP
zzz
xvx
∂∂
= 0
Bu şartlarda NS denkleminin sadece ‘x’ yönünde çözümü gereklidir:
PROBLEM 3 Şekilde gösterilen eğimli silindirik boru içerisinde kararlı bir akış gerçekleştiğine göre; NS denklemlerini kullanarak, akışkana ait hız profilini ve akışkan debisini veren formülü türetiniz?
ÇÖZÜM
Silindirik koordinatlar göz önüne alındığında, şekilde gösterilen ‘x’ yönü için Navier-Stokes denklemi,
∂∂
∂∂
++∂∂
−=rv
rrr
gxP x
xµρ0
şeklinde yazılabilir. Denklemi daha basit forma indirmek için,
gx = gsinφ
olduğundan hareketle;
( )ϕρρ singxPx
gxP
x +∂∂
=+∂∂
yazılabilir. Şekilde verilen bilgilerden, ϕsinx = z, denkleme uygulanırsa,
( )dxPdgzP
xg
xP
x
ˆ=+
∂∂
=+∂∂ ρρ
elde edilir ( P̂ :modifiye edilmiş basınç). Denklem bu durumda aşağıdaki basit forma dönüşür:
PROBLEM 4 Şekilde gösterilen düşey boruda bağıl yoğunluğu SG=0.87 ve kniematik viskozitesi ν=2.2x10-4 m2/s olan yağ, Q=4x10-4 m3/s debisi ile akmaktadır.
a) Boru içerisindeki sürtünme kayıplarını hesaplayınız? b) Manometre sıvısı için SG=1.3 olduğuna gore, ‘h’ yüksekliğinin değerini bulunuz?
S G = 0 .8 7
S G = 1 .3
h
4 m
2 0 m m
Q
ÇÖZÜM
SG = 0.87 olduğundan, ρ = 870 kg/m3
Q= 4×10-4 m3/s a)
273.1D
4π
QAQv
2=== m/s
75.115102.2
)02.0)(273.1(ν
vDRe 4D =×
== − Laminar flow
6.892
)273.1()02.0)(75.115(
)4)(64(2Re
642
222====
vD
LvDfLH
DA J/kg
b)
AHgzvpgzvp+++=++ 2
22
21
21
121
21
ρρ
AHzzgpp ρρ +−=− )( 1221 ( 8.43779)6.89)(13.869()4)(807.9)(13.869(pp 21 =+−=− Pa 12m12 p)hh(gghghp =+ρ−ρ+ρ− gh)hhh(gpp m2121 ρ+++ρ−=− , 4)()( 2121 =−=+ zzhh m ghgghhgpp mm ρρρρρ 4)()4(21 −−=++−=− (
PROBLEM 5 Ani daralan bir boruda akan suyun debisi 0.040 m3/s olup, ani daralan kesitte boru çapı 0.12 m’den 0.06 m’ ye düşmektedir. Boru içi sürtünme kayıplarını ihmal ederek, toplam basınç düşüşünü hesaplayınız? ÇÖZÜM
SORU 1 (25p). Laminar sınır tabaka içerisinde bulunan bir akış için boyutsuz hız bileşenleri;
δy
Uu
=∞
; δx
yU
v4
2
=∞
olarak verilmektedir. Denklemdeki sınır tabaka kalınlığı 2/1cx=δ (c:sabit katsayı) bağıntısı ile ifade edildiğine göre, akışkan partikülünün sınır tabaka içerisindeki herhangi bir noktada ivme vektörüne ait denklemi türetiniz? Çözüm 1
22
22
32
3
2/1
2
2/1
2
2/12/1 28)
4()
4()()(
xcyU
xcyU
xcxyU
yxcxyU
cxyU
xcxyUa
tu
yuv
xuu
DtDua
px
px
∞∞∞∞∞∞ −=∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
+∂∂
==
32
32
22
22
2/12/1
2
2/1
2
2/1 83
4)()
4()
4()(
xcyU
xcyU
cxyU
yxcxyU
xcxyU
xcxyUa
tv
yvv
xvu
DtDva
py
py
∞∞∞∞∞∞ −=∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
+∂∂
==
toplam ivme;
22pypx aaa +=
denkleminden bulunur SORU 2 (25p). İki boyutlu kararlı bir akışa ait hız vektörü; jiV
rrr 2ByAxy −= ; A=4 (ms)-1, B=2 (ms)-1
olarak verilmektedir. Şekilde gösterilen kapalı eğri boyunca sirkülasyon ( ∫=Γ
SORU 3 (30p). .........(a)20p, (b)10p. Potansiyel akım alanı içerisinde sabit-dairesel bir silindir etrafında hareket etmekte olan bir akışkan partikülüne ait hız vektörünün bileşenleri,
θcos]1) [( 2 −=raUvr ; θθ sin]1) [( 2 +=
raUv
olarak verilmektedir. Denklemde ‘a’ silindir yarıçapını temsil etmekte olup, a) Silindir yüzeyine (r=a) etkiyen basınç değişim (gradyant) vektörü ( P∇
r) için geçerli
bağıntıyı Euler momentum denklemi yardımıyla (yerçekimi kuvvetini ihmal ederek) türetiniz?,
b) 2/πθ = ve r/a: 1,2,3,4 ve 5 değerleri için hız (dağılımını) vektörünü gösteriniz? Çözüm 3 a) Euler denklemi;
SORU 4 (20p). Potansiyel akım alanı içerisinde olan bir akış için kompleks potansiyel fonksiyon, ziBAz ln)()( +=ζ denklemi ile tanımlanmaktadır. Bu akış için hız bileşenlerinin (vr ve vθ) hesaplanabileceği formülleri türetiniz? Çözüm 4 ( ) ( ) ziBAz ln+=ς θierz .=
rrr 6 )y-(3 22 xyx −= olarak verilen bir akışı göz önüne alarak aşağıdaki
soruları yanıtlayınız: a) potansiyel akış koşullarının geçerli olup, olmadığını belirleyiniz? b) akım fonksiyonu ve hız potansiyel eğrilerine ait denklemleri türeterek, iki eğri
arasındaki diklik koşulunun geçerli olup, olmadığını belirleyiniz? c) (x,y)=(1,1) noktasında ivme vektörü bileşenlerini ve şiddetini bulunuz? d) (x,y)=(1,1) noktasındaki basınca ait denklemi (serbest akış hız ve basıncının bir
fonksiyonu olarak) türetiniz? e) akışa ait durma noktası (ya da noktalarını) belirleyiniz? f) 0≥x ve 0≥y bölgesinde akışa ait en az üç farklı akım çizgisini (örneğin ψ =1, ψ =2 ve
ψ =3 için) yaklaşık ölçekte çizerek x=1 noktası için, maksimum hızın hangi iki akım çizgisi arasında olabileceği konusunda görüş belirtiniz?
Çözüm 1
( ) { jxyiyxVvu
63 22 −−=43421
a)
0)6(60 =−+⇒=∂∂
+∂∂
⇒ xxyv
xu olduğundan sürekli ve sıkıştırılamaz.
0=∇w
( ) 066 =−−−=∂∂
−∂∂
=⇒ yyyu
xvwz olduğundan irrotasyonel akıştır.
Hız denklemi verilen akış sıkıştırılamaz, sürekli ve döngüsüz olduğundan potansiyel akış koşulları geçerlidir. b) Akım fonksiyonu ( )ψ ve hız potansiyeli ( )φ
SORU 2 (30p). Viskoz, sıkıştırılamaz bir akışa ait hız bileşenleri aşağıda verilmektedir:
yybcau )( +−= , v=0, w=0........................(a, b ve c : sabit katsayılar)
a) NS momentum denklemini kullanarak ‘x’ yönündeki basınç gradyantını veren formülü türetiniz?
b) Kayma gerilmesi ( yxτ ) için geçerli denklemi türeterek, y=0’da yxτ =0 değerine ulaşmak için sabit katsayılar (a,b ve c) arasındaki ilişkinin nasıl olması gerektiğini bulunuz?
Çözüm 2 a)
yybcau )( +−= , v=0 , w=0 (a,b,c sabit)
VgPDtDV 2∇++−∇= µρρ
x yönündeki
∂∂
+∂∂
++∂∂
−=⇒ 2
2
2
2
yu
xug
xP
DtDu
x µρρ
∂∂
+=∂∂
2
2
xug
xP
x µρ
( ) µ222 2
2
=∂∂
⇒=∂∂
⇒+−=∂∂
xP
yuybca
yu
b) kayma gerilmesi için
( ) bcabcaybcayu
xyyx =⇒=−⇒=⇒+−=∂∂
= 00τµµτ
olmalıdır. SORU 3 (30p). .........(a)20p, (b)10p.
a) Şekilde gösterilen dairesel kesitli boru içerisinden akmakta olan motor yağı (SAE-50W) için laminar-tam gelişmiş akış koşulları geçerlidir. Borunun iki noktası arasında ölçülen basınç farkı yardımıyla, akış hacimsel debisi, akış ortalama hızı ve akışa ait Reynold sayısı (Re) tespit edilmek istenmektedir. Söz konusu büyüklükleri, µyağ=0.9 Pas, γciva=13.6 kN/m3 değerlerini göz önüne alarak hesaplayınız?
b) Şekilde gösterilen kılcal borulu viskozimetre yardımıyla, bir
akışkana ( =ρ 900 kg/m3) ait viskozite değeri tespit edilmek istenmektedir. Üst depoda bulunan ∆V=3 cm3 akışkanın, ‘d=1mm’ çaplı kılcal borudan geçerek boşalması ∆t=200s sürmektedir. Kılcal boru boyunca gerçekleşen basınç kaybı, hidrostatik yükseklikle (L=100mm) direkt ilişkili olduğuna göre (tam gelişmiş-laminar akım koşullarında) akışkan viskozitesini hesaplayınız? d
SORU 1 (40p). a) Potansiyel akım alanı içerisinde olan bir akış için, kompleks potansiyel fonksiyon aşağıdaki denklemle verilmektedir. Γ veQ değeri sabit büyüklükler olduğuna göre; akım fonksiyonu, hız potansiyeli ve hız bileşenlerine ( rv ve θv ) ait denklemleri türetiniz?
)(2ln)( Γ+−=Φ iQzzπ
b) Kararlı iki boyutlu bir akışa ait hız vektörü aşağıdaki denklemle tanımlanmaktadır. Şekilde verilen kapalı eğri boyunca, sirkülasyon ( ∫=Γ
Soru 2.....(40p). Dairesel kesitli (R yarıçapında ve L uzunluğunda) bir boru içerisindeki akışa ait hız dağılımı aşağıdaki denklemle ifade edilebilmektedir.
( )
−
∆= 22 )(1
4 RrR
LPrvz µ
……………………………(1)
a) Bilindiği üzere (1) denklemi, momentum ve süreklilik denklemlerinin en genel halinden başlayarak türetilebilmektedir. Türetim sırasında uygulanan varsayım ve sınır şartlarını (denklemi yeniden türetmeden) maddeler halinde yazınız?
b) (1) denklemini kullanarak akışa ait, ortalama hız, maksimum hız ve hacimsel debi büyüklüklerini veren denklemleri türetiniz?
c) (1) denklemini kullanarak, boru uzunluğu boyunca basınç kaybını veren aşağıdaki denklemi türetiniz (D=2R)?
2Re64 2V
DLP
=∆ρ
…………………………………………(2)
d) Aynı akış koşullarına ve aynı (L) uzunluğuna sahip, kenar yüksekliği ‘a’ olan kare kesitli bir kanal için (1) ve (2) denklemlerini ‘a’ nın bir fonksiyonu olarak yazınız?
Çözüm 2 a)
Newtonyan akışkanlar için viskoz kuvvetleri ile deformasyon arasında ilişki lineer olup, stres-
deformasyon ilişkisi momentum denklemine uygulanır ve gerekli işlemler yapılırsa;
SORU 3 (30p). Şekilde gösterilen bir su deposuna bağlı, daire kesitli pürüzsüz bir boru (L=5m, D=3cm) vasıtasıyla dışarıdaki bir hazneye su akıtılmaktadır (ρsu=998 kg/ m3 µsu=10-3 N.s/ m2). Hazneye transfer edilen suyun debisi 11 m3/saat olduğuna göre,
a) Akış karakterini belirleyerek, boru boyunca sürtünme nedeniyle oluşan basınç kaybını (∆P) hesaplayınız?
b) Mevcut boru çapının iki katına çıkarılması halinde (a) şıkkında bulduğunuz değerde oluşacak yüzdesel değişimi belirleyiniz?
c) Mevcut boru uzunluğunun iki katına çıkarılması halinde (a) şıkkında bulduğunuz değerde oluşacak yüzdesel değişimi belirleyiniz?
d) Pürüzlü boru kullanılmış olsaydı, basınç kaybının hesabı için nasıl bir yol izlerdiniz, kısaca belirtiniz?
Hatırlatma: pürüzsüz boru için basınç kayıp katsayısına ait formüller; 1Re64 −=lamf ve 25.0Re3164.0 −=türf