Valores Propios Valores y Vectores Propios Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingenier´ ıa Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos M ´ etodos Computacionales Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 21
7/31/2019 7 Vectores y Valores Propios
http://slidepdf.com/reader/full/7-vectores-y-valores-propios 1/21
Valores Propios
Valores y Vectores Propios
Hermes Pantoja Carhuavilca
Facultad de Ingenierıa Industrial
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Metodos Computacionales
Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 21
7/31/2019 7 Vectores y Valores Propios
http://slidepdf.com/reader/full/7-vectores-y-valores-propios 2/21
Valores Propios
CONTENIDO
Valores Propios
Hermes Pantoja Carhuavilca 2 de 21
7/31/2019 7 Vectores y Valores Propios
http://slidepdf.com/reader/full/7-vectores-y-valores-propios 3/21
Valores Propios
DEFINICIONES Y PROPIEDADES
A matriz cuadrada n × n
v vector dimension n
λ escalarObjetivo: Buscar escalares λ y vectores no nulos v tales que
Av = λv ⇒ λ valor propio de A
v vector propio asociado a λ
Valores Propios Hermes Pantoja Carhuavilca 3 de 21
7/31/2019 7 Vectores y Valores Propios
http://slidepdf.com/reader/full/7-vectores-y-valores-propios 4/21
Valores Propios
Definicion p(λ) = det( A− λ I )
los valores propios de A son las raıces del polinomio caracterıstico
λ valor propio ⇔ p(λ) = 0
Calculo de vectores propios
Para cada valor propio λ resolvemos
(A− λI)v = 0
que debe ser un sistema compatible indeterminado.
Valores Propios Hermes Pantoja Carhuavilca 4 de 21
7/31/2019 7 Vectores y Valores Propios
http://slidepdf.com/reader/full/7-vectores-y-valores-propios 5/21
Valores Propios
DIAGONALIZACION
Valores Propios Hermes Pantoja Carhuavilca 5 de 21
7/31/2019 7 Vectores y Valores Propios
http://slidepdf.com/reader/full/7-vectores-y-valores-propios 6/21
Valores Propios
E JEMPLO
Ejemplo
Dada la matriz
A =
3 −1 0
−1 2 −10 −1 3
Calcule:
1. Valores Propios
2. Vectores Propios3. Diagonaliza la matriz A
Valores Propios Hermes Pantoja Carhuavilca 6 de 21
V l P i
7/31/2019 7 Vectores y Valores Propios
http://slidepdf.com/reader/full/7-vectores-y-valores-propios 7/21
Valores Propios
SOLUCION
Valores Propios Hermes Pantoja Carhuavilca 7 de 21
V l P i
7/31/2019 7 Vectores y Valores Propios
http://slidepdf.com/reader/full/7-vectores-y-valores-propios 8/21
Valores Propios
Valores Propios Hermes Pantoja Carhuavilca 8 de 21
Valores Propios
7/31/2019 7 Vectores y Valores Propios
http://slidepdf.com/reader/full/7-vectores-y-valores-propios 9/21
Valores Propios
Valores Propios Hermes Pantoja Carhuavilca 9 de 21
Valores Propios
7/31/2019 7 Vectores y Valores Propios
http://slidepdf.com/reader/full/7-vectores-y-valores-propios 10/21
Valores Propios
Valores Propios Hermes Pantoja Carhuavilca 10 de 21
Valores Propios
7/31/2019 7 Vectores y Valores Propios
http://slidepdf.com/reader/full/7-vectores-y-valores-propios 11/21
Valores Propios
E JEMPLO:
Consideremos la matriz
A =
−5 12 0−4 9 0−2 4 1
Determinar los valores propios de la matriz A.
Valores Propios Hermes Pantoja Carhuavilca 11 de 21
Valores Propios
7/31/2019 7 Vectores y Valores Propios
http://slidepdf.com/reader/full/7-vectores-y-valores-propios 12/21
Valores Propios
E JEMPLO:
Consideremos la matriz
A =
−5 12 0−4 9 0−2 4 1
Determinar los valores propios de la matriz A.Solucion:
Hallando el polinomio caraterıstico asociado a la matriz A.Su polinomio caracterıstico es
p(λ) = | A− λ.I | = (1− λ)(λ2 − 4λ + 3)λ = 1 de multiplicidad 2λ = 3 de multiplicidad 1
Valores Propios Hermes Pantoja Carhuavilca 12 de 21
Valores Propios
7/31/2019 7 Vectores y Valores Propios
http://slidepdf.com/reader/full/7-vectores-y-valores-propios 13/21
p
TEOREMA
Valores Propios Hermes Pantoja Carhuavilca 13 de 21
Valores Propios
7/31/2019 7 Vectores y Valores Propios
http://slidepdf.com/reader/full/7-vectores-y-valores-propios 14/21
p
E JEMPLO
Para la matriz 5 −2 0−2 3 −10 −1 1
Localice todos sus valores propios:
Valores Propios Hermes Pantoja Carhuavilca 14 de 21
Valores Propios
7/31/2019 7 Vectores y Valores Propios
http://slidepdf.com/reader/full/7-vectores-y-valores-propios 15/21
E JEMPLO
Para la matriz 5 −2 0−2 3 −10 −1 1
Localice todos sus valores propios:
Solucion:Los circulos Zi(i = 1, 2, 3), con radio ri
Z1 = { z ∈ C | z− 5| ≤ | − 2|+ |0|}Z2 = { z ∈ C | z− 3| ≤ | − 2|+ | − 1|}
Z3 = { z ∈ C | z− 1| ≤ |0|+ |1|}
Por lo tanto los valores propios estan localizados en:
0 ≤ z ≤ 7
Valores Propios Hermes Pantoja Carhuavilca 15 de 21
Valores Propios
7/31/2019 7 Vectores y Valores Propios
http://slidepdf.com/reader/full/7-vectores-y-valores-propios 16/21
CIRCULOS DE GERSGORIN
Valores Propios Hermes Pantoja Carhuavilca 16 de 21
Valores Propios
7/31/2019 7 Vectores y Valores Propios
http://slidepdf.com/reader/full/7-vectores-y-valores-propios 17/21
METODO DE LA POTENCIA
Definicion (Valor Propio Dominante)
Es el de mayor m´ odulo. Si
|λ1| > |λ2| > |λ1| . . . > |λn|
entonces λ1 es el valor propio dominante.
Valores Propios Hermes Pantoja Carhuavilca 17 de 21
Valores Propios
7/31/2019 7 Vectores y Valores Propios
http://slidepdf.com/reader/full/7-vectores-y-valores-propios 18/21
Definicion (Vector Normalizado)
v =
v1
v2...
vn
v j es una componente dominante. Si |v j| = ||v||∞Si vdom es una componente dominante de v, entonces el vectornormalizado v es
v =1
vdom .v
Valores Propios Hermes Pantoja Carhuavilca 18 de 21
Valores Propios
7/31/2019 7 Vectores y Valores Propios
http://slidepdf.com/reader/full/7-vectores-y-valores-propios 19/21
Valores Propios Hermes Pantoja Carhuavilca 19 de 21
Valores Propios
7/31/2019 7 Vectores y Valores Propios
http://slidepdf.com/reader/full/7-vectores-y-valores-propios 20/21
METODO DE POTENCIA
Valores Propios Hermes Pantoja Carhuavilca 20 de 21
Valores Propios
7/31/2019 7 Vectores y Valores Propios
http://slidepdf.com/reader/full/7-vectores-y-valores-propios 21/21
E JEMPLO:
Valores Propios Hermes Pantoja Carhuavilca 21 de 21