TRIGONOMETRI Drs Manaek Lumban Gaol SMK N 2 Doloksanggul
TRIGONOMETRI
Drs Manaek Lumban Gaol SMK N 2 Doloksanggul
Adaptif
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
...AE
EE'
AD
DD'
AC
CC'
AB
BB'
KONSEP SINUS
Adaptif
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
...AE
AE'
AD
AD'
AC
AC'
AB
AB'
KONSEP KOSINUS
Adaptif
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
...AE'
EE'
AD'
DD'
AC'
CC'
AB'
BB'
KONSEP TANGEN
Adaptif
Diketahui segitiga ABC, siku-siku di C. Panjang sisi AB = 10
cm, sisi BC = 5 cm.
Nilai cos A dan tan A berturut-turut adalah ....
didapat 5V3C
B
5
A
10
?
Maka diperoleh : sin A = ½
Jadi : cos A = ½ V3
tan A = 1/3 V3
Perbandingan trigonometri
Adaptif
Sudut KhususSudut khusus
S
A B
C
D P Q
R
ABC sama sisi
panjang sisi = 2aPQRS persegi
panjang sisi = 2a
Perbandingan Trigonometri
Adaptif
Sudut Khusus
Perbandibgan Trigonometri
045
045
21
1
030
060
2
1
3
22
145sin 0 2
2
145cos 0
145 0Tan
32
130;
2
130 00 CosSin
33
1300Tan
32
1600Sin
2
1600Cos
360 0Tan
Adaptif
Perbandingan Trigonometri
Dengan menggunakan gambar di atas,
tentukan nilai perbandingan :
0o 300 450 600 900
…. …. …. …. ….
…. …. …. …. ….
…. …. …. …. ….
…. …. …. …. ….
…. …. …. …. ….
…. …. …. …. ….
sin
cos
tg
ctgsec
eccos
Adaptif
1. Jika αo + βo + γo = 180o , maka:
sin(α + β)o = sin(180 – γ)o = sin γo
cos(α + β)o = cos(180 – γ)o = –cos γo
sin ½ (α + β)o = sin(90 – ½ γ)o = cos ½ γo
cos ½ (α + β)o = cos (90 – ½ γ)o = sin ½ γo
Hal Khusus
2. Jika αo + βo + o = 270o, maka:
sin(α + β)o = sin(270 – )o = –cos o
cos(α + β)o = cos(270 – )o = –sin o
Perbandingan Trigonometri
Adaptif
7.1. Perbandingan trigonometri
1. Perbandingan Trigonometri (Sinus, Cosinus Dan Tangen)
A B
C
Pada gambar di atas , yakni Segitiga ABC siku – siku di Aa. Jika panjang sisi AB = 8 dan Panjang sisi AC = 6.
Tentukanlah panjang sisi BC b. Jika sin = 0.5 dan panjang sisi AC =10. Tentukanlah
Panjang sisi-sisi yang lainnya.c. Jika Cos = 0,5 . Tentukanlah tan dan sin
Adaptif
7.1.1 Perbandingan trigonometri
Relasi / Rumus dasar trigonometri
1. Relasi kebalikan :
2. Relasi perbandingan:
3. Relasi Pythagoras
tan
1cot,
sin
1csc,
cos
1sec dan
sin
coscot
cos
sintan dan
22
22
22
csc1.3
sec1tan.2
1cossin.1
Cot
Adaptif
7.1.1 Perbandingan trigonometri
2. Dengan menggunakan Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa . Lengkapilah tabel berikut ini.
a.
b. Jika sin = 0,6 . Tentukanlah : csc , Cos , tan ,sec , dan cot
o0 300 450 600 900
Sec
Csc
Cot
Adaptif
7.1.2 Perbandingan trigonometri sudut-sudut
diberbagai kwadran
Perhatikan gambar berikut
X
P(a,b)
P1 (b,a)
O
y
P2(-b,a)
P3(-a,b)
P4(-a,-b)
P5(-b,-a) P6(b,-a)
P7(a,-b)
Jika XOP = .
a
b
Absis
OrdinatTan
r
a
jariJari
absisNilaiCos
r
b
jariJari
ordinatNilaiSin
Perhatikan XOP 1 = ( 900 - )
...
...)90(
...
...)90(
...
...)90(
1
1
1
1
PabsisNilai
PordinatNilaiTan
jariJari
PabsisNilaiCos
jariJari
PordinatNilaiSin
Adaptif
7.1.1 Sudut yang berrelasi
Ternyata
1. Sin (90 - ) = Cos
2. Cos (90 - ) = Sin
3. Tan (90 - ) = Cot
Buatlah perbandingan trigonometri untuk masing-masing
1. XOP2 =(90+ ).
2. XOP3=...?
3. XOP4 =...?
4. XOP5 =...?
5. XOP6 =...?
6. XOP7 =...?
Adaptif
2. Fungsi trigonometri sudut-sudut yang berelasia. sin(90 – α)o = cos αo cos(90 – α)o = sin αo
tan(90 – α)o = cot αo cot(90 – α)o = tan αo
sec(90 – α)o = csc αo csc(90 – α)o = sec αo
b. sin(180 – α)o = sin α0 sin(180 + α)o = –sin αo
cos(180 – α)o = –cos α0 cos(180 + α)o = –cos αo
tan(180 – α)o = –tan α0 tan(180 + α)o = tan αo
c. sin(360 – α)o = –sin α0 sin(–αo) = –sin αo
cos(360 – α)o = cos α0 cos(–αo) = cos αo
tan(360 – α)o = –tan α0 tan(–αo) = –tan αo
AllSin
Tan Cos
Bernilai ”+”
7.1.1 Sudut yang berrelasi
Adaptif
Koordinat Kartesius dan Kutub
x
y
y
x
x
Y
P(x,y)
oKoordinat Kartesius
y
x
X
Y
P(r, )
r
O
Koordinat Kutub
x = r cos a
Y = r sin a
r2 = x2 + y2
tan α =
Koordinat Kutub ke Kartesius Koordinat Kartesius ke Kutub
Adaptif
ATURANSINUS BAN KOSINUS
1.Aturan (rumus) sinus dalam segitiga ABC:
sinsinsin
cba
2. Aturan (rumus) kosinus:
a2 = b2 + c2 – 2bc cos αb2 = a2 + c2 – 2ac cos βc2 = a2 + b2 – 2ab cos γ
2ca
2b2a2c
cos α =
cos β =
2bc
2a2c2b
2ab
2c2b2acos γ =
atau
Adaptif
Dari sebuah pelabuhan kapal A bertolak dengan kecepatan 10 knot (mil/jam) ke arah 160o dan kapal B ke arah 220o dengankecepatan 16 knot. Berapa jarak kedua kapal 2 jam kemudian?
160o
220o
60o
20
32
O
A
B
AB2 = 202 + 322 – 2. 20 . 32 . cos 60o
= 400 + 1024 – 640
= 784
AB = 28
Jarak antara kedua kapal 28 mil
Rumus Trigonometri dalam segitiga
U
Adaptif
37
51
20
AB
C
Berapakah nilai tan A dan sin B?
cos A = sehingga sin A =
cos B = sehingga sin B =
Maka Tan A = . . . . .?
Adaptif
Luas segitiga
AbcL
BacL
CabL
sin2
1.3
sin2
1.2
sin2
1.1
AB
C
t
c
Luas segitiga = . tinggialas2
1
AbcL
Abt
sin2
1
sin
Atau L = . . . . . . . . . Bila melibatkan sudut B
Adaptif
LUAS SEGITIGA
D
1200
A B
C
a
c
b
Perhatikan segitiga di bawah ini
tinggialasABCL2
1
060sin2
1bcABCL
Soal :Tentukan luas segitiga ABC pada gambar berikut ini.
1350
C
B
A
8 cm
12 cm
Adaptif
Pembahasan soal Luas segitiga
D
Luas ABC =. . . . . . . ?
1350
C
B
A
Adaptif
LUAS SEGITIGA
Luas segitiga apabila diketahui sebuah sisi dan tiga sudut
2......sin
sin
sinsin
1.................sin2
1
A
Babatau
B
b
A
a
CbaABCL
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :
A
CBaABCL
sin2
sin.sin2
A
B
C
a
B
CAbABCL
sin2
sinsin2
C
BAcABCL
sin2
sinsin2
Perhatikan segitiga ABC di bawahini
Adaptif
Aplikasi penggunaan rumus
Diketahui segitiga ABC sebagai mana gambar di bawahini
A
B
C
Adaptif
PEMBUKTIAN RUMUS LUAS SEGITIGA
Ingat aturan Cosinus
bc
acb
bc
acbASin
CosACosAACosASin
ritrigonometdasarIdentitas
bc
acbCosA
21
21
)1)(1(1
2
2222222
22
222
bccbbccbcb
Notes
cbaacbcb
acbbcacbbccb
22
4
1
)(2)(24
1
22222
2222
22
222222
22
ACosA
ACosASin
22
22
1sin
1
Adaptif
PEMBUKTIAN RUMUS LUAS SEGITIGA
Maka kita dapat tuliskan bahwa:
Lanjutkan;
cbacbaacbacbcb
ASin
cbaacbcb
ASin
22
2
2222
22
2
4
1
)(4
1
cscsccbacba
bsbsbcbabca
asasacbaacb
segitigakelilings
acbs
2222
2222
2222
2
1
2
Adaptif
PEMBUKTIAN RUMUS LUAS SEGITIGA
Maka dapat kita tuliskan bahwa:
Menjadi
Ruas kiri dan ruas kanan sama-sam di kali dengan 4b2 c2
cbacbaacbacbcb
ASin22
2
4
1
csbsasscb
ASin 22224
122
2
Adaptif
Kita peroleh :
))()((
))()((2
))()((42
4
22222
22222 22
csbsassL
csbsassbcSinA
ataucsbsassbcSinA
csbsassbcSinA
csbsassASinbc
Adaptif
JARI –JARI LINGKARAN DALAM SEGITIGA
Perhatikan gambar di bawah ini
C
B
A
rN
L = ++
Atau:=(1/2).c.r=(1/2).b.r=(1/2).a.r
_______________________ +L =(1/2).r.(a+b+c)2(L ) = r.(a+b+c
Keliling
ABCLuasr
2
Adaptif
Penggunaan rumus
C
B
A
rN
Tentukan luas daerah diarsir pada segitiga ABC di bawah ini apabila masing-masing sisinya , a = 4 , b = 5 , dan c = 3
Ingat rumus luas segitiga
csbsassABCL
sl6
36
3126
3656466
Jari-jari lingkaran dalam segitiga:
1
12
62
2
r
r
Keliling
ABCLr
Luas daerah diarsir= ABC – Luas lingkaran = 6-
Adaptif
Jari- jari lingkaran luar segitiga
L
cbaR
4
..
A B
C
P
APBPBCosAPPBAPAB 2222
CRc
CRc
CACBgkatkitaCRc
ACBRc
ACBRc
CRRRRc
sin2
sin2
;sinsin22
2cos12
cos12
cos2
2222
222
22
22
222
Dengan cara yang sama kita perolehPerhatikan APB
BRbdanARa sin2sin2
CabABC sin2
1 Luas
ABC
abcR
R
abcABC
R
cabABC
maka
R
cCganbarPerhatikan
CabABC
Luas4
4 Luas
22
1 Luas
:
2sin
sin2
1 Luas
Adaptif
Rumus-rumus dasar Identitas trigonometri
Rumus trigonometri untuk jumlah dua buah sudut
1.
5.
2.
3.
6.
4.
Rumus trigonometri untuk sudut rangkap
1.
2.
3.
Sin
)(Sin
Cos SinSinCosCos
SinCosCosSin
)(Cos SinSinCosCos
SinCosCosSin
2Tan 21
2
Tan
Tan
2Cos 22 SinCos
2Sin CosSin2
TanTanTan
TanTan
1
TanTanTan
TanTan
1
Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL
Adaptif
RUMUS TRIGONOMETRI UNTUK PERTENGAHAN SUDUT
Kita ketahui bahwa:
Misalkan 2 = →
rumus terahir akan menjadi
Dengan cara yang sama akan kita peroleh
122 2CosCos
212 2 CosCos
222 SinCosCos22 12 CosCosCos
2
1
2
1 CosSin
2
1
2
1 CosCos
2
212 CosCos
Cos
CosTan
1
1
2
1
penyebutnya dirasionalkan
maka diperoleh
Cos
SinTan
12
1
2
1
Drs Manaek Lumban Gaol Guru SMK N 2 Doloksanggul
dstCosCos
CosCos...
11
11
Adaptif
Bentuk equivalen rumus pertengahan sudut bagi tangen
Sin
CosTan
Sin
CosSinTan
Cos
CosSinTan
Cos
Cos
Cos
SinTan
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
12
1
2
2
Adaptif
Contoh penggunaan rumus, sekaligus bukti
2
1
2
1
4
1
2
2
1
2
2
11
2
60160
2
1
2
130
2
00
0
CosSin
Sin
Adaptif
2
30115
00 Cos
Sin
2
32
11
2
2
3
2
2
4
32
322
1
Adaptif
Penggunaan rumus trigonometri untuk pertengahan sudut
1.Nilai eksak dari Cos150 dan Sin(22,5)0 dapat ditentukan dengan rumus pertengahan sudut. Tentu kanlah!
Penyelesaian:
2
30115
00 Cos
Cos
2
32
11
2
2
3
2
2
4
32
322
1
Drs. Manaek Lumban Gaol Guru SMK N 2 Doloksanggul
00
000
30sin45sin30cos45
304515
Cos
CosCos
Adaptif
1324
132
2
1
Buktikan bahwa:
Bukti ruas kiri
baabdanba
bafikasikitaidenti
64
3
64
3;;122
2
1;;
64
32
2
13
8
12
2
13
4
1
2
1
322
132
4
1
bababa .2
Misalkan
a + b =. . . . .
a.b = . . . . . .
033264 2 xx
Adaptif
Soal soal aplikasi
Adaptif
Pembuktian identitas bentuk irasional
Adaptif
222
1
4
22
4
22
2
22
11
2
451
452
15,22
0
0
Cos
CosCos
Adaptif
Perkalian sin dan cos
Dari rumus-rumus trigonometri untuk ( ± )
Dari (1) + (2)
2.Sin .cos =sin ( + )+ sin ( - ). . . . . . . (5)
Dari (1) - (2)
2.Cos .Sin =Sin ( + )- sin ( - ). . . . . . . .(6)
Dari (3) + (4)
2.Cos .Cos =cos ( + )+ cos ( - ). . . . . . . (7)
Dari (3) - (4)
-2.Sin .Sins =Cos ( + )- Cos ( - ). . . . . . . .(8)
Perhatikan penggunaan rumus (5) s/d ()8
1.............sincoscossinsin
2.............sincoscossinsin
3.............sinsincoscoscos
4.............sinsincoscoscos
Drs Manaek Lumban Gaol Guru SMK N 2 Doloksanggul
Adaptif
Pembahasan soal perkalian sin dan cos
1.Nyatakan bentuk berikut ini sebagai jumlah atau selisih sinus
a.
b.
c.
d.
00
2
17cos
2
152cos
00
2
17sin
2
152cos
00 2cos8sin xx
00
2
17sin
2
152sin Xz
Kita pilih satu soal untuk kita jawab:
d. Jawab:
234
1
232
1
2
1
22
13
2
1
2
1
45sin60sin2
1
2
17
2
152sin
2
17
2
152sin
2
1
2
17sin
2
152cos
00
000000
Drs Manaek Lumban Gaol Guru SMK N 2 Doloksanggul
Adaptif
Penggunaan rumus-rumus penjumlahan sin dan cos
Dari rumus-rumus penjumlahan sinus dan cosinus:
Kita misalkan
Maka:
dan
Maka rumus- rumus penjumlahan di atas akan menjadi:
4.............2coscos
2...............coscos2coscos
2.................sincos2sinsin
1.................cossin2sinsin
SinSin
:::; BdanA
BA
BA
B
A
2
1
2
BA
BA
B
A
2
1
2
BABABA
BABABA
BABABA
BABABA
2
1sin
2
1sin2coscos
2
1cos
2
1cos2coscos
2
1sin
2
1cos2sinsin
2
1cos
2
1sin2sinsin
Drs Manaek Lumban Gaol Guru SMK N 2 Doloksanggul
Adaptif
Penggunaan rumus-rumus penjumlahan sin dan cos
Cos
CosCosCosCosCos
CosCosCosCosCos
CosCosCos
3377
3377
32523sin4sin2
Kita buktikan ruas kiri
2. Buktikan bahwa:
Sin 3A + (Cos A + sin A)(1-2Sin A) = Cos 3A
Kita buktikan ruas kiri.
)3(cos)3(3 CosAASinASinAASinCosAASin
SinAASinSinAACosASinCosAASin 22223
CosAACosSinASinAASinCosAASin 333
ACos3
1. Buktikan bahwa :
Sin4 Sin3 + 2Cos5 Cos2 - Cos3 = Cos
Drs Manaek Lumban Gaol Guru SMK N 2 Doloksanggul
Adaptif
Penggunaan rumus-rumus penjumlahan sin dan cos
3. Buktikan bahwa:
Kita jabarkan ruas kiri;5cos3216 23 CosCosSinCos
532
35
22232
322
2222
24
22
116
1616
2
2
223
CosCosCos
CosCosCosCos
SinSinSinSin
SinSinSin
CosSinSin
CosSin
CosSin
CosCosSinSinCos
Drs Manaek Lumban Gaol Guru SMK N 2 Doloksanggul
Adaptif
7.1. Identitas trigonometri
Identitas trigonometri (Kesamaan Trigonometri)
1. Rumus-rumus berkebalikan:
2. Rumus-rumus perbandingan:
3. Rumus Hubungan Sin , Cos , dan Tan
Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL
sec
1
CoSin
SecCos
1
CotTan
1
cos
SinTan
Sin
CosCot
122 CosSin
221 SecTan
22 sec1 CoCot
Adaptif
Rumus-rumus dasar Identitas trigonometri
Rumus-rumus Trigonometri Untuk Setengah Sudut.
1. 2. 3.
Rumus-rumus Perkalian Sinus danCosinus
1. 2.Sin .cos = sin ( + )+ Sin ( - )
2. 2.Cos .Sin = Sin ( + )- Sin ( - )
3. 2.Cos .Cos = cos ( + )+ cos ( - )
4. -2.Sin .Sins = Cos ( + )- Cos ( - )
Rumus-rumus Penjumlahan Sinus dan Cosinus
1.
2.
3.
4.
Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL
2
1Cos
2
1 Cos
2
1Sin
2
1 Cos
Cos
Cos
1
1
2
1Tan
BA sinsin BABA2
1cos
2
1sin2
BA sinsin BABA2
1sin
2
1cos2
BA coscos BABA2
1cos
2
1cos2
BA coscos BABA2
1sin
2
1sin2
Adaptif
Pembahasan soal-soal Identitas Trigonometri
1. Buktikan bahwa:
Penyelesaian:
=
=
=
=
=
Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL
QPCosQPCos
QPSinTanQTanP
2
TanQTanPCosQ
SinQ
CosP
SinP
CosQCosP
SinQCosPCosQSinP
CosQCosP
QPSin
2
2
CosQCosP
QPSin
CosQCosP
QPSin
2
2
QPCosQPCos
QPSin2
Samakan penyebut
Applikasikan Sin ( + ) =.....?
Bagaimana melahirkan angka
2
Ubah perkalian menjadi
penjumlahan
Adaptif
2. Buktikan bahwa:
Penyelesaian:
Kita jabarkan ruas kiri:
=
=
=
=
ATanACosACos
ASinASin3
24
24
ACosACos
ASinASin
24
24
CosAACos
CosAASin
32
32
Ubah penjumlahan Sin dan Cos
menjadi perkalian
sederhanakan
AACosAACos
AACosAASin
242
124
2
12
242
124
2
12
sederhanakan
ACos
ASin
3
3
ATan3
Lalu . . . . . ?
Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL
Adaptif
Pembahasan soal-soal Identitas Trigonometri
3. Tunjukkan bahwa:
Bukti ruas kiri:
=
=
=
=
=
BATan
BATan
SinBSinA
SinBSinA
2
12
1
SinBSinA
SinBSinA
BASinBACos
BACosBASin
2
1
2
12
2
1
2
12
BASin
BACos
BACos
BASin
2
12
1
2
12
2
12
BACos
BASin
BACos
BASin
2
12
1
2
12
1
BATanBATan2
1
2
1
BATan
BATan
2
12
1
Ubah menjadi perkalian
Uraikan menjadi dua fraksi perkalian
Ubah fraksi perkalian menjadi fraksi pembagian
Ingat perbandingan Sin dan Cos
Kemudian. . . . . . . . . .?
Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL
Adaptif
Pembahasan soal-soal Identitas Trigonometri
4. Tuhjukkan bahwa:
Penyelesaian:
Kita jabarkan ruas kiri:
=
=
=
=
Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL
21
22
SinTan
Tan
21
2
Tan
Tan
2
2
1
2
Cos
Sin
Cos
Sin
2
22
2
Cos
SinCos
Cos
Sin
22
2
SinCos
CosSin
2Sin
Ubah
menjadi
catatan sin
dan cos
Jabarkan penyebut
sederhanakan
Adaptif
Pembahasan soal-soal Identitas Trigonometri
5. Tunjukkan bahwa:
Penyelesaian:
Kita jabarkan ruas kiri:
=
=
=
=
=
Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL
SecSinSin
CosCos
32
42
32
42
SinSin
CosCos
32
422
142
2
12
SinSin
SinSin
32
32
SinSin
SinSin
2
2
Sin
Sin
CosSin
Sin
2
2
Sec
Ubah menjadi perkalian
sederhanakan
Sin(- ) = - Sin
Ingat rumus sudut rangkap
sederhanakan
Adaptif
Pembahasan soal-soal Identitas Trigonometri
6. Buktikan bahwa:
Dengan ketentuan:
Penyelesaian:
: dan =
Bukti ruas kiri :
Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL
0180
SinSinSinSinSinSin 4222
01800180
o180
222 SinSinSin
CosSinSinSin 222
CosSinCosSin 2222
122
2
12
CosSinCosSin 22
CosSinCosSin 22
18022 CosSinCosSin
CosSinCosSin 22
CosSinCosSin 22
CosCosSin2
CosSinSin 22
SinSinSin4
=
=
Ingat rumus sudut rangkap
Applikasikan rumus penjumlahan menjadi perkalian !
2
1cos
2
1sin2sinsin BA
CosSinCosSin 21802
Sederhanakan
+ =1800 -
Sin (1800 - ) = Sin
= 1800 – ( + )
Cos (1800 – ) = - Cos
Faktorkan
Adaptif
SOAL LATIHAN IDENTITAS TRIGONOMETRI
1. Buktika bahwa:
a.
b.
2. Diketahui bahwa: dan
Tuniukkan bahwa:
a.
b.
3. Buktikan bahwa:
4. Tunjukkan bahwa:
TanSinSin
CosCos
53
53
BATanBATanCosBCosA
CosBCosA
2
1
2
1
ASinSinAm 3 ACosCosAn 3
ASinACosCosAnm 222
ATann
m2
0240120 00 SinSinSin
4642
642Tan
CosCosCos
SinSinSin
Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL
Adaptif
PERSAMAAN TRIGONO METRI
A.`PersamaanTrigonometri sederhana
1. Persamaan berbentuk : Sin x = Sin a0
Grafik fungsi trigonometri Y=Sin x
Sin a0 = Sin (a0 + k. 3600)
Sin a0 = Sin (1800 – a0). (pelurus dari a0)
Sin a0 = Sin (1800 – a0) + k. 3600 (Perode)
Sehingga :
Sin x = Sina0 dan
Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL
00 360kax000 360180 kax
BulatBilkRBilx .,.
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Axis
Tit
le
Axis Title
Series2
Adaptif
PERSAMAAN TRIGONO METRI
2. Persamaan berbentuk : Cos x = Cos a0
Grafik Fungsi Y = Cos x
Maka untuk Cos X = Cos a
x =a0 + k. 3600 (Perioditas). Dan
Cos a0 = Cos (– a0) Menyebapkan Cos a0 = Cos(-a0 + k.3600)
Sehingga :
Cos x = Cos a0
Maka :
dan00 360kax
00 360kax00 360kaCosx
BulatBilkRx .,
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL
30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360
Adaptif
PERSAMAAN TRIGONO METRI
3. Persamaan berbentuk : Tan x = Tan a0
Grafik Fungsi y = Tan x
Tan a0 = Tan (a + k.3600)
Tan a0 = Tan (1800 + a) dan Tan a0 = Tan(1800 + a0) + k,3600
Sehingga :
Tan x = Tan a0 ↔ x = a0 + k.3600 dan x = (1800 + a) + k.1800 atau
Tan x = Tan a ↔ dengan
Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL
BulatBilkRielBilx .,..
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0180kax
90 180 270 360 450 540 630 720
Adaptif
PEMBAHASAN SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRi
1. Tentukan x yang memenuhi persamaan:
Sin x = Sin 300
Penyelesaian:
Dik: Sin x = Sin 300 maka:
x = 300 + k.3600 dan x = (180-300) +k.3600
x = 1500 + k.3600
2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan:
Sin 2x =Sin 300 dalam selang; 00 ≤ x ≥ 3600
Penyelesaian:
2x = 30 + K.3600 ↔ x = 15 + k. 180
k = -1 → x = 15 – 1800 = -1650 (Tidak memenuhi)
k = o → x = 15
k = 1 → x =195
dan
2x = (180 – 30) + K.360 ↔ x = 75 + k. 180
k = o → x = 75
k = 1 → x = 255
k = 2 → x = 75 + 2.180 ↔ x = 4550 (tidak memenuhi)
Himpunan penyelesaian: {150,750 ,1950,2550 }
3. Tentukan x yang memenuhi persamaan:
Cos x = Cos 600
Penyelesaian:
Dik: Cos x = Cos 600 maka:
x = 600 + k.3600 dan x = ±600 + k.3600
Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL
Rangkuman IPersamaan trigonometri berdasarkan perioditas1. Sin x = Sin a0 maka:
x = a0 + k.3600 dan x = (180 - a0) +k.3600
2. Cos x = Cos a0 maka:x = ± a + k.3600
3. Tan x =Tan a0 maka:x = a + k.1800
Adaptif
PEMBAHASAN SOAL PERSAMAAN TRIGONO METRi
4. Tentulan nilai x yang memenuhi persamaan:
Cos 2x = Cos 400 dalam selang 00 ≤ x ≤ 3600
Penyelesaian:
2x = ±400 +k.3600 ↔ x = ±200 +k.1800
k = -1 → x = 200 – 1800 dan
x = -200 -1800 = -2000 (tidak memenuhi)
x = 200- 180 = -1600 (tidak memenuhi)
k = 0 → x = 200 + 0
x = -200 + 0 = -20 (tidak memenuhi)
x = 200 + 0 = 200
k = 1 → x = ± 200 +1800
x = -20 +1800 = 1600
x = 20 +1800 = 2000
K = 2 → x = 200 + 3600
x = -200 + 3600 = 3400
x = 200 + 3600 = 3800 (tidak memenuhi)
HP: {200 , 1600 , 2000 ,3400 }
Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL
Rangkuman IPersamaan trigonometri berdasarkan perioditas1. Sin x = Sin a0 maka:
x = a0 + k.3600 dan x = (180 - a0) +k.3600
2. Cos x = Cos a0 maka:x = ± a + k.3600
3. Tan x =Tan a0 maka:
x = a + k.1800
Adaptif
PEMBAHASAN SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRi
5. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan: Tan x = tan 300 dalam selang:
00 ≤ x ≤ 3600
Penyeleaian:
x = 300 + k. 1800
k = -1 → x = . . .?
k = 0 → x = 300
k = 1 → x = 300 + 1800
x = 2100
k = 2 → x = 300 + 3600
x = 3900 (tidak mememnuhi)
Himpunan penyelesaian: {300 , 2100}
6. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan: Tan 2x = Tan450 : 00 ≤ x ≤ 3600
Penyelesaian:
2x = 450 +k.1800 ↔ x = 22,50 + k.90
K = 0 → x = 22.50 + 0 x 90 = 22.50
K = 1 → x = 22.50 + 1 x 90 = 112.50
K = 2 → x = 22.50 + 2 x 90 = 202.50
K = 3 → x = 22.50 + 3 x 90 = 292.50
K = 4 → x = 22.50 + 4 x 90 = 382.50 (tidak memenuhi)
Himpunan penyelesaian: {22.50, 112.50, 202.50, 292.50}
Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL
Rangkuman IPersamaan trigonometri berdasarkan perioditas1. Sin x = Sin a0 maka:
x = a0 + k.3600 dan x = (180 - a0) +k.3600
2. Cos x = Cos a0 maka:x = ± a + k.3600
3. Tan x =Tan a0 maka:x = a + k.1800
Adaptif
PEMBAHASAN PERSAMAAN TRIGONOMETRi
4. Persamaan berbentuk : Sin x = Cos a0
Dari hubungan perbandingan trigonometri sudut- sudut diberbagai
kwadran, kita ketahui bahwa: Sin x = Cos a0
00 ≤ a ≤ 900
maka: Cos a0 = Sin (90 - a0) dan Cos a0 = Sin (90 + a0) sehjngga terdapat dua persamaan yang eqivalen dengan persamaan; Sin x = Cos a0 yakni:
Selanjutnya diselesaikan dengan ccara di atas.
5. Persamaan berbentuk : Cos x =Sin a0
Dari hubungan perbandingan trigonometri sudut- sudut diberbagai kwadran, kita ketahui bahwa: Cos x =Sin a0 dalam selang 00 ≤ a ≤ 900
maka: Sin a0 = Cos (90 - a0) dan Sin a0 = Cos (90 + a0) sehjngga terdapat
dua persamaan yang eqivalen dengan persamaan; Sin x = Cos a0 yakni:
Selanjutnya diselesaikan dengan ccara di atas.
00
00
0000
90
9090
aSinSinx
aSinSinxaSinCosaCosaSinx
00
00
0000
90
9090
aCosCosx
aCosCosxaCosSinaSinaCosx
Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL
Adaptif
PEMBAHASAN SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRi
7. Tentulan nilai x yang memenuhi persamaan: Cos x = Sin 400 dalam selang 00 ≤ x ≥ 3600
Penyelesaian:
Cos x = Sin 400
Sin 400 = Cos (900 ± 400 )
I. Cos x = Cos 900 - 400
Cos x = Cos 500
x = ± 500 + k. 3600
k = 0 → x = ± 500 + 0
x = -500 + 0 = -500 < 0 (tidak memenuhi)
X = 500 + 0 = 500
k = 1 → x = ± 500 + 3600
x = -500 + 3500 = 3000
x = 500 + 3500 = 4100 >0 (tidak memenuhi)
II. Cos x =Cos 90 + 400
Cos x = Cos 1300 , maka:
x = ±1300 + k. 3600
k = 0 → x = ± 1300 + 0
x= -1300 + 0 = -130 < 0 (tidak memenuhi)
x = 1300 + 0 = 1300
k=1 → x = ± 1300 +3600
x = - 1300 +3600 = 2300
x = 1300 +3600 = 4900 > 0 (tidak memenuhi)
HP.{500 . 1300 , 2300 , 3000}
Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL
Rangkuman II
Persamaan trigonometri berdasarkan perioditas1. Sin x = Sin a0 maka:
x = a0 + k.3600 dan x = (180- a0) +k.3600
2. Cos x = Cos a0 maka:x = ± a + k.3600
3. Tan x =Tan a0 maka:x = a + k.1800
4.
5.
00
00
0000
90
90
90
aCosCosx
aCosCosx
aCosSinaSinaCosx
00
00
0000
90
90
90
aSinSinx
aSinSinx
aSinCosaCosaSinx
Adaptif
PEMBAHASAN SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRi
8. Tentulan nilai x yang memenuhi persamaan: Cos x = Sin 300 dalam selang 00 ≤ x ≥ 3600
Penyelesaian:
Sinx = Cos 400
I. Cos 400 = Sin (90 ±40)
Sin x = Sin 500 maka:
x = (1800 – 500) + K. 3600
x = 1300 + k.3600
k = 0 → x = 1300 + 0 = 1300
k = 1 → x = 1300 + 3600 = 3900 (tidak memenuhi)
dan
x = 50 + k.3600
k = 0 → x = 500 + 0 = 500
k = 1 → x = 500 + 3600 = 4100 (tidak memenuhi)
II. Cos 40 = Sin (900 +400)
Sin x = Sin 1300 maka:
x = (1800 – 1300) + K. 3600
x = 500 + k.3600
k = 0 → x = 500 + 0 = 500
k = 1 → x = 500 + 3600 = 4100 (tidak memenuhi)
x = 1300 + k.3600
k = 0 → x = 1300 + 0 = 1300
k = 1 → x = 1300 + 3600 = 4900 (tidak memenuhi)
HP: {50, 130,}
Rangkuman II
Persamaan trigonometri berdasarkan perioditas1. Sin x = Sin a0 maka:
x = a0 + k.3600 dan x = (1800 - a0) +k.3600
2. Cos x = Cos a0 maka:x = ± a + k.3600
3. Tan x =Tan a0 maka:x = a + k.1800
4.
5.
00
00
0000
90
90
90
aCosCosx
aCosCosx
aCosSinaSinaCosx
00
00
0000
90
90
90
aSinSinx
aSinSinx
aSinCosaCosaSinx
Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL
Adaptif
PEMBAHASAN PERSAMAAN TRIGONOMETRi
6. Persamaan trigonmetri berbentuk : a Cos x + b Sin x = c
Simaklah uraian berikut ini.
r Cos ( - ) = r. Cos Cos + r. Sin Sin = c
Misalkan; a = r. Cos dan b = r. Sin . Terdapat hubungan yakni
a2 + b2 = r2 Cos2 +r2 Sin2
a2 + b2 = r2 (Cos2 + Sin2 )
a2 + b2 = r2↔ dan
Persamaan persamaan trigonmetri berbentuk : a Cos x + b Sin x = c dapat diselesaik dengan terlebih dahulu mengubah persamaan itu menjadi bentuk;
r Cos(x - ) = c dan memenuhi persyaratan apabila:
;
Dari itu maka harus dipenuhi syarat: c2 ≤ a2 + b2
Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL
22 barb
aTanTan
Cosr
Sinr
b
a2
2
2222 0011)( rcrcrcrcrcrr
c
r
cxCos
Kesimpulannya:Persamaan trigonmetri berbentuk : a Cos x + b Sin x = c ;memenuhi syarat; c2 ≤ r2
a = r Cos b = r Sin ;
22 bar
b
aTan