This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
7 tRIGoNometRI Trigonometri handlar om sidor och vinklar i trianglar. Ordet kommer från grekiskans”trigonon”(trevinklar)och”métron”(mått).Trigonometrihar använts under de senaste 2000 åren inom astronomi, lantmäteri och navigation. Används numera också inom t ex ellära och optik.
SäkertminnsdufrånM1aattdenrätvinkligatriangelnhartvåkateter.Eftersom det är viktigt att man vet vilken som är vilken av dessa kateter, kallas de närliggande respektive motstående katet, och då utgår man från en av de spetsiga vinklarna.
Den katet som är närmast vinkeln v kallas närliggande katet. Den katet som är mitt emot vinkeln v kallas motstående katet.
Eftersom vi vet båda kateterna använder vi definitionen av tan v.
vtan3115
=
v ≈ 64° (64, 17…)
svar: 64°
E X E M P E L 3
I en likbent triangel är toppvinkeln 76,0° och motstående sida 21,6 cm enligt figuren.
Beräkna triangelns omkrets och area.
Vi drar en höjd från toppvinkeln mot basen. Höjden delar basen mitt itu och är dessutom bisektris till toppvinkeln. I den halva likbenta triangeln kallas sidorna a och b enligt nästa figur.
asin38
10,8° =
a10,8
sin38=
°
a ≈ 17,54...
Vi använder räknarens värde på a när omkretsen beräknas. Omkretsen = (2 · 17,54… + 21,6) cm ≈ 56,7 cm.
Nu beräknar vi sidan b, som är den ursprungliga triangelns höjd.
159 Rita, utan att använda gradskiva, en rätvinklig triangel som har en vinkel 58°. Förklara hur du tänker.
160 Vilka koordinater har punkterna P och Q i koordinatsystemen nedan?Svaramedendecimal.
y
x
P
4 le
37°
y
x
Q
5 le
80°
161 Beräkna husgavelns area.
9,2
31°
4,5
(m)
162 En båt seglar rakt mot en fyr enligt skissen nedan. Vid två punkter A och B mäter man vinkeln till fyrens topp. Avståndet mellan A och B är 530 m.a) Beräkna avståndet från B till fyren, dvs BC.
b) Beräkna hur högt över vattenytan som fyrens top ligger, dvs CT.
8 vektoReR Man brukar skilja på skalärer och vektorer.
En vektor är en storhet som har både storlek och riktning. Exempel på vektorer är kraft, hastighet och acceleration.
En skalär en storhet som har en storlek, men saknar riktning. Exempel på skalärer är temperatur, area och energi.
En vektor markeras med ett streck ovanför beteckningen, t ex kraften F .
Vektorer visas med pilar eftersom en pil har både storlek och riktning.
Är några av dessa vektorer lika?
Ja u v= eftersom de är lika till både storlek och riktning.
u
w
v
A
B
AB
Här ska vi utgå från två parallella vektorer, nämligen de två krafterna F 1 = 3 N och F 2 = 2 N.
Hur blir det då dessa krafter adderas?
F1 = 3 N
F2 = 2 N
F1 = 3 N F2 = 2 N
R = F1 + F2 = 5 N
Bilden ovan visar att vi adderar vektorerna genom att låta dessa ”bita varandra i svansen” ! Resultatet av additionen kallas resultant och betecknas ofta R .
Låt oss nu addera en positiv och en negativ vektor, nämligen F 1 = 3 N och F 2 = –2 N.
De här vektorerna har motsatt riktning och olika storlek. När vi adderar vektorerna placerar vi den andra vektorn där den första vektorn slutar.
170 Bestäm vinkeln a mellan en kraft F = 50 N och komposanten Fy = 30 N, när du vet att Fx = 40 N.
171 En kraft F kan delas upp i två komposanter, Fx och Fy enligt figuren. Hur stora blir Fx och Fy om F = 14 kN?
32°
FFy
Fx
172 Bestäm den resulterande kraften till storlek och riktning.
F1 = 25 N
F2 = 45 N
173 En bil åker nerför en brant backe med 15 graders lutning. Hastighetsmätaren visar 90 km/h. Dela upp hastigheten i en horisontell och en vertikal komposant.
174 En kraft med storleken 640 N delas upp i två mot varandra vinkelräta komposanter. Vinkeln mellan kraften och den ena komposanten är 29º. Beräkna komposanterna.
175 En kraft är uppdelad i två mot varandra vinkelräta komposanter. Den ena komposanten är 85 N och bildar vinkeln 63º med kraften. Beräkna resultantens storlek och den andra komposantens storlek.
157 Hypotenusan är alltid den längsta sidan i en triangel. Både i sinx och cosx dividerar vi med
hypotenusans längd. Här är alltså nämnaren större än täljaren, och svaret blir alltid mindre än 1. Vad gäller tanx, kan kvoten bli t ex 3/1 eller 7/2 osv.
158 31 cm2
159 Utgå från tan 58° ≈ 1,6 ⇒ motstående katet ska vara 1,6 gånger större än närliggande katet. Rita en triangel där t ex närliggande katet = 2 cm och motstående katet = 1,6 · 2 cm = 3,2 cm.
160 P ≈ (3,2; 2,4)
Q ≈ (0,9; 4,9)
161 54 m2
162 a) 880 m b) 86 m
8 vEKTorEr163 a) 34 N b) 14 N
c) 26 N
164 a) 18 N b) 4 N c) 30 N
165 a)
u1 u2
u1 + u2
b)
2u1 u2
2u1 + u2
166
u1
u3
u1 + u2 + u3
u2
167 Största resultanten = 3 N + 5 N = 8 N då krafterna har samma riktning. Minsta resultanten = 5 N – 3 N = 2 N då krafterna har motsatt riktning.