7. sınıf öğrencilerinin İspata Yönelik Algı ve İspat Yapabilme Becerilerinin İrdelenmesi

7. SINIF ÖĞRENCĠLERĠNĠN ĠSPATA YÖNELĠK ALGI VE

ĠSPAT YAPABĠLME BECERĠLERĠNĠN ĠRDELENMESĠ

EXAMINATION OF 7TH GRADE STUDENTS’ ABILITY ON

PROVING AND THEIR PERCEPTION OF PROVING

Ebru AYLAR

Hacettepe Üniversitesi

Lisansüstü Eğitim-Öğretim ve Sınav Yönetmeliğinin

Ġlköğretim Anabilim Dalı, Ġlköğretim Bilim Dalı Ġçin Öngördüğü

Doktora Tezi

olarak hazırlanmıĢtır.

2014

iii

7. SINIF ÖĞRENCĠLERĠNĠN ĠSPATA YÖNELĠK ALGI VE ĠSPAT YAPABĠLME

BECERĠLERĠNĠN ĠRDELENMESĠ

Ebru AYLAR

ÖZ

Bu araĢtırmada 7. sınıf öğrencilerinin ispata yönelik algı ve becerilerini geliĢtirmeyi

amaçlayan bir öğretim süreci sonrasında öğrencilerin ispata yönelik algı ve

becerilerini betimleyebilmek amaçlanmıĢtır. Bu doğrultuda araĢtırma, nitel

araĢtırma yaklaĢımlarından birisi olan eylem araĢtırması olarak kurgulanmıĢ ve

araĢtırmada betimsel analiz kullanılmıĢtır.

ÇalıĢma grubunun seçiminde maksimum çeĢitlilik örneklemi tercih edilmiĢtir.

AraĢtırmanın çalıĢma grubunu, Ankara ilinde, Çankaya ve Yenimahalle ilçelerine

bağlı iki ortaokulda birer 7. sınıf oluĢturmaktadır. AraĢtırmada 54 öğrenci yer

almıĢtır.

AraĢtırmanın uygulama sürecinde 14 hafta, haftada 1 saat süren ispat öğretimi

gerçekleĢtirilmiĢtir. Bu derslerde doğrudan ispat, karĢı örnek vererek ispat,

tüketerek ispat ve durum yoluyla ispat yöntemleri ele alınmıĢtır. GerçekleĢtirilen bu

uygulamanın ardından öğrencilere, ispata yönelik algılarındaki değiĢimi belirlemeyi

amaçlayan ispat testi 1 ile ele alınan ispat yöntemlerine yönelik beceri ve

performanslarını betimlemeyi amaçlayan ispat testi 2 ve 3 uygulanmıĢtır. Bu testler

araĢtırmacı tarafından geliĢtirilmiĢtir. Bu testlerin ardından, öğrencilerin verdikleri

yanıtları ayrıntılandırmak amacıyla 16 öğrenci ile yarı yapılandırılmıĢ

derinlemesine görüĢme gerçekleĢtirilmiĢtir.

AraĢtırmanın sonucunda, 7. sınıf öğrencilerinin ispat kavramına yönelik algı ve

ispat yapabilme becerilerinde bir geliĢim gözlenmiĢtir. Öğrenciler karĢı örnek

vererek ispat yöntemi ile ispatlanan önermelerde baĢarılı olurken, durum yolu ile

ispat yönteminin kullanılacağı önermelerde belirgin bir Ģekilde baĢarısız

olmuĢlardır. Durum yolu ile ispat yönteminde diğer yöntemlere göre daha çok

zorlanan öğrencilerden bazıları gerçekleĢtirilen görüĢmede öğrenciler,

araĢtırmacının destek ve yönlendirmesi ile bu ispat yöntemi ile de ispat

yapabilmiĢlerdir.

iv

Anahtar sözcükler: Ġspat, ispat algısı, ispat yöntemleri, örnekle doğrulama,

genelleme

DanıĢman: Doç. Dr. Yeter ġAHĠNER, Hacettepe Üniversitesi, Ġlköğretim Anabilim Dalı, Ġlköğretim Bilim Dalı

v

EXAMINATION OF 7th GRADE STUDENTS’ ABILITY ON PROVING AND THEIR

PERCEPTION OF PROVING

Ebru AYLAR

ABSTRACT

This study aims to determine the ability and perceptions of students towards proof

after a teaching process with the objective of developing the perceptions and skills

of 7th grade students towards proof. Accordingly, the study was designed as

action research, which is one of the qualitative research approaches, and

descriptive analysis was employed in the study.

Purposive sampling was preferred in the selection of the study group. The study

group of the study consisted of a 7th grade from each of the two schools from the

districts of Çankaya and Yenimahalle in the province of Ankara. 54 students took

part in the study.

First of all proof teaching for 1 hour a week was performed for 14 weeks in the

application process of the study. Direct proof, proof by counter-example, proof by

exhaustion and proof by cases were discussed during the instruction. After this

application, proof test 1 with the objective of determining the perception of

students towards proving and proof test 2 and 3 with the objective of determining

the abilities of students towards proving was utilized. Than, semi-structured in-

depth interviews were conducted with 16 students in order to refine their

responses to those tests.

As a result of the study, an improvement on ability and perceptions of students

towards proving had been observed. Students were more succesful on proof by

counterexample method than the others. But they clearly failed in proof by cases.

Some of the students who were forced at proof by cases method, could be able to

prove at interviews by the help of researchers support and guidance.

Keywords: Proof, proof perception, proof methods, justification by example, generalization Advisor: Assoc. Prof. Dr. Yeter ġAHĠNER, Hacettepe University, Department of Elementary Education, Division of Elementary Mathematic Education

vii

ĠÇĠNDEKĠLER

ÖZET………………………………………………………………… ..... …………….....iii

ABSTRACT…………………………………………………… ........ …………………….v

ETĠK BEYANNAMESĠ ............................................................................................ vi

ĠÇĠNDEKĠLER…………………………………………… ....... ………………………….vii

TABLOLAR DĠZĠNĠ ............ ……………………… ......... ……………………………....x

ġEKĠLLER DĠZĠNĠ .............…………………… ....... …………………………………...xi

1 GĠRĠġ…………………………………… .... ……………………………………………1

1.1. Matematik ve Ġspat… ......... ………………………......…………………….1 1.2. Ġspat Yöntemleri ve Sınıflandırma .........…………………… .......... …....2 1.3. Bu ÇalıĢmada Ele Alınacak Ġspat Yöntemleri……………… ...........…….6 1.4. Matematik Eğitimi ve Ġspat……….......…… .........………………………...6 1.4. 1. NCTM'de Ġspat Öğretimi…… ......... …….....……………...…......12 1.4. 2. Çocukta Ġspat DüĢüncesinin GeliĢimi…… ......... …………........14 1.4.3. Eğitim Literatüründe Ġspat Kavramı ve Ġspata Yönelik Adlandırmalar.. ......................................................................................... ..16 1.5. AraĢtırmanın Amacı ve Problem Durumu........... .......... .......................21 1.6. AraĢtırmanın Önemi ...................................... ........ ..............................23 1.7. AraĢtırmanın Sayıltıları ................................ ....... ................................24 1.8. AraĢtırmanın Sınırlılıkları ..................................... ................................24 1.9. Tanımlar ................................................... ..... ......................................25

2. ĠLGĠLĠ ARAġTIRMALAR. ........................ ……….............………………………...26

2.1. Ġspat Ġle Ġlgili Türkiye'de Yapılan AraĢtırmalar… .......... …........……….26 2.2. Ġspat Ġle Ġlgili YurtdıĢında Yapılan AraĢtırmalar… ......... …….......…….34

3. YÖNTEM ..................... ……………............................................………………...44

3.1. AraĢtırma Modeli ...... …………………………………………………........44 3.2. ÇalıĢma Grubu ...... ..............................................................................48 3.3. AraĢtırmacının Rolü .......................................................... ...... ............49 3.4. Veri Toplama Süreci ........................................ ..... ..............................49 3.4.1. Pilot Uygulama Süreci……...…… ....... …………………..............49 3.4.2. Uygulama Süresi………………… ....... …………….....................51 3.5. Veri Toplama Araçları ...... ...................................................................72 3.5.1. BaĢarı Testi………………… ....... ………………..........................72 3.5.2. Hazır BulunuĢluk Testi………………………… ....... ……………..73 3.5.3. Ġspat Testi 1 …… ....... ……………………………………….........74 3.5.4. Ġspat Testi 2 ….. ........ ..........................……………………………78 3.5.5. Ġspat Testi 3 …… ....... ………………………................................79

viii

3.5.6. Yarı YapılandırılmıĢ GörüĢme Formu…… ....... ………………….79 3.6. Veri Analizi ............... ..... .....................................................................80 3.6.1. Verili Ġspatı Değerlendirme Sorularına ĠliĢkin Kodlar ........……..81 3.6.2. Ġspat Performansına ĠliĢkin Kodlar… ....... ……………………......83 3.6.2.1. Doğrudan Ġspat Yöntemine ĠliĢkin Kodlama ...... ........... ...83 3.6.2.2. KarĢı Örnek Vererek Ġspat Yöntemine ĠliĢkin Kodlama .... 84 3.6.2.3. Tüketerek Ġspat Yöntemine ĠliĢkin Kodlama ....... ........... ..84 3.6.2.4. Durum Yolu Ġle Ġspat Yöntemine ĠliĢkin Kodlama....... ......85 3.7. Geçerlik ve Güvenirlik ...... ...... .............................................................86

4. BULGULAR VE YORUM ..................................................... ................... .........88

4.1. Uygulama Öncesinde Ġspat Algısı ve becerisine ĠliĢkin Bulgular ....... ..85 4.2. Uygulama Sonrasında ispat Algısı ve Becerisine ĠliĢkin Bulgular .... ....93 4.2.1. Öğrencilerin Ġspat Kavramını AlgılayıĢlarına ĠliĢkin Bulgular.. .... 93 4.2.1.1. Ġspat mı, Doğrulama mı? ........................................ ....... 94 4.2.1.2. Önerme hem Doğru Hem yanlıĢ Olabilir mi?.. ...... ..........97 4.2.1.3. ÖnermeninBirden Fazla Ġspatı Olabilir mi?........ ......... ..101 4.2.1.4. Hangi Cebirsel Gösterim Önermenin Ġspatıdır?.. ....... .. 104 4.2.1.5. Özet .............................................................................. 106 4.2.2.Öğrencilerin Ġspat Beceri ve Performanslarına ĠliĢkin

Bulgular .................................................................................................... 107 4.2.2.1. Öğrencilerin Doğrudan Ġspat Yöntemine ĠliĢkin Beceri

ve Performansları ..................................................................................... 110 4.2.2.2. Öğrencilerin KarĢı Örnek Vererek Ġspat Yöntemine

ĠliĢkin Beceri ve Performansları. ....................................................... ........121 4.2.2.3. Öğrencilerin Tüketerek Ġspat Yöntemine ĠliĢkin Beceri

ve Performansları .......... ...........................................................................127 4.2.2.4. Öğrencilerin Durum Yolu Ġle Ġspat Yöntemine ĠliĢkin

beceri ve Performansları ....... ................................................................ ...135 4.2.2.5. Özet ................................................................................ 143

5. SONUÇ VE ÖNERĠLER . ................... .............................................................145

5.1. Sonuç ..... .... .....................................................................................145 5.1.1. Uygulama Öncesi Öğrencilerin Ġspat Algısı ve Becerisine

ĠliĢkinSonuçlar ................................................................................... ......145 5.1.2. Uyulama Sonrası Öğrencilerin Ġspat Algısına ĠliĢkin

Sonuçlar ................................................................................................... 146 5.1.3. Uygulama Sonrası Öğrencilerin Ġspat Beceri ve

Performanslarına ĠliĢkin Sonuçlar ............................................................. 148 5.2. Öneriler .... .........................................................................................151

Kaynakça ......................................................................................................... 153

ix

Ekler Dizini ......................................................................................................... 161

EK 1 : Ġspat Öğretim Dersinde Kullanılan Akıl ve Ġspat Oyunları...................... 162 EK 2: Hazır BulunuĢluk Testi ........................................................................... 164 EK 3: Ġspat Testi 1 ........................................................................................... 165 Ek 4: Ġspat Testi 2 ............................................................................................ 169 EK 5: Ġspat Testi 3 ........................................................................................... 173 EK 6: GörüĢme Formu ..................................................................................... 174 EK 7: Ankara Ġl Milli Eğitim Müdürlüğü‟nden Alınan AraĢtırma Ġzni .................. 178

ÖzgeçmiĢ ......................................................................................................... 179

x

TABLOLAR DĠZĠNĠ

Tablo 3.1. Uygulamanın gerçekleĢtiği Ģubeler ....................................................... 49

Tablo 3.2. BaĢarı Testi Ġstatistikleri ........................................................................ 73

Tablo 4.3. Hazır bulunuĢluk testi 1. soruya iliĢkin bulgular .................................... 89




Tablo 4.7. Ġspat testi 1, 1. soruya iliĢkin bulgular ................................................... 94

Tablo 4.8. Ġspat testi 1, 2. soruya iliĢkin bulgular ................................................... 98

Tablo 4.9. Ġspat testi 1, 3. soruya iliĢkin bulgular ................................................. 102

Tablo 4.10. Ġspat testi 1, 4. soruya iliĢkin bulgular ............................................... 104

Tablo 4.11. Ġspat testi 3‟de yer alan sorular ve öğrencilerin bu soruları seçme oranları ............................................................................................. 108

Tablo 4.12. Ġspat testi 2, 1. Gruba iliĢkin bulgular ................................................ 110


Tablo 4.14. Ġspat Testi 3, 2. soruya iliĢkin bulgular .............................................. 119










xi

ġEKĠLLER DĠZĠNĠ

ġekil 1.1. M.E.B.'e göre ispat yöntemleri ................................................................. 3

ġekil 1.2. Rossi'ye (2006) göre ispat yöntemleri ...................................................... 4

ġekil 3.3. Eylem araĢtırması döngüsü ................................................................... 45

ġekil 3.4. Ġspat testi 1, 1. soruda yer alan cevaplar ............................................... 75

ġekil 3.5. Ġspat testi , 2. soruda yer alan yanıtlar ................................................... 76



ġekil 3.8. Ġspat testi 2, soru örneği ........................................................................ 79

ġekil 3.9. Ġspat Testi 1, 1. soru .............................................................................. 82

ġekil 4.10. A ġubesinden Berk - Kod 3 ................................................................. 90

ġekil 4.11. A ġubesinden Gülin - Kod 3 ................................................................ 90

ġekil 4.12. A ġubesinden Nilay - Kod 2 ................................................................. 91

ġekil 4.13. B Ģubesinden Ġlayda - Kod 4 .............................................................. 111

ġekil 4.14. A ġubesinden Selda - Kod 3 .............................................................. 111

ġekil 4.15. B ġubesinden Derya - Kod 4 ............................................................. 112

ġekil 4.16. A ġubesinden Sude - Kod 2 .............................................................. 113

ġekil 4.17. B ġubesinden Derya – Kod 3 ............................................................ 117

ġekil 4.18. A ġubesinden Beyza – Kod 1 ............................................................ 118

ġekil 4.19. B ġubesinden Aynur - Kod 2 ............................................................. 120

ġekil 4.20. A ġubesinden Deniz - Kod 4 .............................................................. 120

ġekil 4.21. B ġubesinden Tuna - Kod 2 ............................................................... 123

ġekil 4.22. B ġubesinden Ġlayda - Kod 3 ............................................................. 124

ġekil 4.23. B ġubesinden AyĢe - Kod 2, 5. soru .................................................. 126

ġekil 4.24. A ġubesinden Sude - Kod 3, 5. soru .................................................. 126

ġekil 4.25. A ġubesinden Berk - Kod 4 ............................................................... 128

ġekil 4.26. A ġubesinden Eylem - Kod 3 ............................................................. 129

ġekil 4.27. A ġubesinden Ömer – Kod 4 ............................................................. 130

ġekil 4.28. B ġubesinden Tuna – Kod 2, 3. soru ................................................. 134

ġekil 4.29. B ġubesinden Özer - Kod 3, 4. soru .................................................. 134

ġekil 4.30. B ġubesinden Yeliz - Kod 3, 3. soru .................................................. 135

ġekil 4.31. A ġubesinden Beyza - Kod 4, 4. soru ................................................ 135

xii

ġekil 4.32. B ġubesinden Bahar – Kod 1 ............................................................ 137

ġekil 4.33. A ġubesinden Mehmet – Kod 2 ......................................................... 137

ġekil 4.34. A ġubesinden Berk – Kod 4 ............................................................... 139

ġekil 4.35. A ġubesinden Dicle - Kod 3, 7. soru .................................................. 143

1

1. GĠRĠġ

1.1. Matematik ve Ġspat

Tüm bilimsel araĢtırma alanları (formel, pozitif veya sosyal), belirli bir mantıksal

temele dayanır. Tüm bu bilim alanları bir sonuca ulaĢmayı, bu sonucun

doğruluğunu ortaya koymayı amaçlasa da kullandıkları kanıtlama yöntemlerinde

ciddi farklılıklar bulunmaktadır. Doğru bilgiye ulaĢma ve doğru bilgiyi üretme

amacıyla kullandıkları bu yöntemler temelde ikiye ayrılır; tümdengelim ve

tümevarım. Tümdengelim, tümel (genel) bir önermeden tikel (özel) bir önerme

çıkarma eylemidir. Tümevarım ise tikel önermeden tümel önerme oluĢturma

sürecidir. Tümevarım yöntemiyle deney, gözlem, hesap yapma gibi yollarla bir

doğa yasasının genel kurallarına ulaĢılmaya çalıĢılır (Karaçay, 2009).

Matematik aksiyomatik bir yapıya sahiptir ve yapısı gereği tümdengelimseldir. Bu

yapı, üzerinde ortaklaĢılmıĢ bazı kavramlar ve önermeler kümesi ile baĢlar.

BaĢlangıç noktası olarak kabul edilen bu küme “tanımsız terimler” ve

aksiyomlardan oluĢur. Hangi konuda olursa olsun her Ģeyin tanımını yapmak

mümkün değildir (Çelik, 2010). Yapılan her tanım kendi içerisinde, tanımlanacak

yeni terimler içerir. Bu terimler tanımlanmaya çalıĢıldığında ise içerisinde farklı

terimleri barındıran yeni terimler kullanılır. Bu tanımlama süreci sınırsız bir süreç

Ģeklinde ilerleyebilir. Yalnız tüm lisanlarda bulunan kelime sayısı sınırlıdır. Sınırlı

sayıdaki kelimeler ile tüm kelimeleri tanımlamak mümkün değildir. Bu nedenle bazı

kelimeleri tanımlamadan kullanmak gerekir. ĠĢte bu terimler tanımlama sürecindeki

baĢlangıç noktasını oluĢtururlar. Matematik alanında tanımlanmadan kullanılan bu

terimlere tanımsız terimler adı verilir (Çelik, 2010). Bu terimler, kendilerinden daha

basit terimler ya da kavramlarla açıklanamazlar. Ama onları sezgilerimizle kolayca

algılayabiliriz (Karaçay, 2009). Nokta, doğru, düzlem vb. tanımlanamayan ama

sezgisel olarak açık olan kavramlardır, matematiğin tanımsız terimleridir. Tanımsız

terimlerin kabulünün ardından ise bu terimlere dayanan ve doğru olduğu

varsayılan çeĢitli önermeler; aksiyomlar ortaya konur. Aksiyomlar ispatsız kabul

edilen önermelerdir (Karaçay, 2009). Örneğin “nokta” teriminden yola çıkılarak “bir

noktadan baĢka bir noktaya tek bir doğru çizilebilir” aksiyomu da doğru kabul edilir.

Matematik, bu temel kavramlar ve aksiyomlar üzerine, yeni bilgiler elde etmek

amacıyla, mantık kuralları doğrultusunda inĢa edilmiĢtir. Tanımlar ve aksiyomlar

2

dıĢında kalan her önerme ispat edilmelidir (Gosset, 2003). Belki de matematik

sahip olduğu bu yapıdan ötürü Sarı ve diğerlerince (2007) “kanıtlama disiplini”

olarak adlandırılmıĢtır.

Genellikle matematiğe özgü bir iĢlem olarak kabul edilen ispat, bir yargı, sav ya da

sonucun doğruluğunu veya yanlıĢlığını, yeterli kanıt göstererek kabul ettirme

çabasıdır (Yıldırım, 1996). Matematikte doğru ya da yanlıĢ kesin hüküm bildiren

ifadelere önerme denir. Teoremler ise ispatlanabilen bilimsel önermelerdir. p q

Ģeklindeki bir önerme doğru ise teoremdir. p q Ģeklinde gösterilen bir teoremde,

p hipotez, q ise hükümdür. p q teoreminin doğru olduğunu gösterme iĢine

teoremin ispatı denir (Irmak, 2008).

Doğru bilgiye ulaĢmak adına takip edilen bir süreç olarak tanımlayabileceğimiz

ispat süreci, birbirinden farklı ama birbiriyle iliĢkili 3 aĢamadan oluĢmaktadır.

Bunlar; ispatı yapılacak Ģeyin ortaya konması, ispatın organizasyonu ve bu ispatın

baĢka kiĢilere ilan edilmesidir (Lee, 2002). Ġspatın tasarlanması olarak bahsedilen

uygulama sürecinin yani ortaya konan önermeyi sınama sürecinin ispat olabilmesi

için mantık kurallarına dayanması gerekir. Ayrıca Hale (2003) mantık kurallarına

ek olarak ispat sürecinde önermenin aĢağıdakilerden bir ya da birkaçı tarafından

muhakkak sınanması gerektiğini de vurgular:

Mantık kuralları

Daha önce ispatlanmıĢ baĢka teoremler

Aksiyomlar

Konu ile ilgili tanımlar

GerçekleĢtirilen ispatın önceki aĢamaları

1. 2. Ġspat Yöntemleri Ve Sınıflandırma

Ġspatın matematikte sahip olduğu öneme karĢın gerek yabancı, gerekse Türkçe

literatürde ispat ile ilgili bir dizi karıĢıklık söz konusudur. Bu karıĢıklıklar ispat

yöntemlerinin neler olduğu ve sınıflandırılması ile yöntemlerin Türkçe karĢılıklarına

yönelik adlandırma ile ilgilidir.

Bu karıĢıklıklardan ilki var olan ispat yöntemlerinin neler olduğu ve

sınıflandırılmasına yöneliktir. Ġspat yöntemleri her kaynakta farklı ele alınmıĢtır.

3

Literatürdeki kaynakların çoğunda var olan ispat yöntemleri Ģu Ģekilde sıralanabilir;

doğrudan, dolaylı, aĢikar, çeliĢki yoluyla, karĢıt tersi ile, tümevarım yolu ile,

tümdengelim yöntemiyle, aksine örnek vererek, deneme yoluyla, tüketerek, çift

koĢullu ve oluĢturarak ispat (Gossett, 2003; Irmak, 2008; Rossi, 2006; MEB,

2011). Ne var ki kaynaklar bu ispat yöntemlerinin hepsine bir arada yer

vermemekte, bazı ispat yöntemleri bazı kaynaklarda hiç ele alınmamaktadır.

Ayrıca bu yöntemlere ek olarak bazı kaynaklarda da “modüler aritmetik yoluyla

ispat” (Irmak, 2008) adlandırmasında olduğu gibi, ispat yapılırken kullanılan

matematik yöntemini adında içeren adlandırmalara da rastlanabilmektedir.

Ġspat yöntemlerinin neler olduğuna yönelik netleĢemeyen bu tabloya ek olarak,

ispat yöntemlerinin sınıflandırmasında da bir kaynaktan diğerine ciddi farklılıklar

bulunabilmektedir. Bazı kaynaklar ispat yöntemi olarak kabul ettiği türleri hiçbir

sınıflandırmaya tabii tutmadan ard arda sıralarken (Gossett, 2003; Rosen, 1995),

bazıları doğrudan ve dolaylı ispat üst baĢlıkları altında bir sınıflandırma yapmakta

(Rossi, 2006), bazıları da tümevarım ve tümdengelimi en üst baĢlıklandırma olarak

tercih etmektedir (MEB, 2011). MEB Ortaöğretim Matematik programında ispat

yöntemleri öncelikle tümevarım ve tümdengelim üst baĢlıkları ile ikiye ayrılarak

sınıflandırılmıĢtır:

ġekil 1.1. M.E.B.'e göre ispat yöntemleri (M.E.B., 2011)

Bu sınıflandırmaya ek olarak ispat yöntemlerini doğrudan ve dolaylı ispat

yöntemleri olarak ikiye ayırıp bu doğrultuda sınıflandıran örnekler de mevcuttur.

ĠSPAT YÖNTEMLERĠ

TÜME VARIM TÜMDEN GELĠM

DOĞRUDAN ĠSPAT DOLAYLI ĠSPAT

OLMAYANA ERGĠ YÖNTEMĠ

ÇELĠġKĠ YÖNTEMĠ ĠLE ĠSPAT

AKSĠNE ÖRNEK VEREREK ĠSPAT

4

ġekil 1.2. Rossi'ye (2006) göre ispat yöntemleri

Rossi (2006), ispat yöntemlerini doğrudan ve dolaylı ispat yöntemleri olarak ikiye

ayırarak sınıflandırmıĢtır. Daha sonra bu ayrıĢmaya dâhil edemediği oluĢturarak

ispat, çift koĢullu ispat, aksine örnek verme ve tüketerek ispat türlerinin varlığına

da değinmiĢtir. Sadece Rossi ve MEB‟in sınıflandırmasına baktığımızda dahi ciddi

uyuĢmazlıklar dikkati çekmektedir. Rossi sadece çeliĢki yoluyla ispat yöntemini

dolaylı ispat olarak tanımlarken, MEB‟in ortaöğretim programında yer verdiği

sınıflandırmada aksine örnek vererek ispat, çeliĢki yoluyla ispat, olmayana ergi

(karĢıt tersi ispat) ve deneme yöntemiyle ispat dolaylı ispat baĢlığı altında

toplanmıĢtır.

p q önermesini doğrudan ispat yöntemiyle ispatlamak istediğimizde, p hipotezi

doğru kabul edilip, q hükmüne ulaĢılmaya çalıĢılır. p q önermesinin doğruluk

değeri bu önermenin karĢıt tersi olan q' p' nin doğruluk değeri ile aynıdır.

Dolayısıyla p q yu ispatlamak, q' p' i ispatlamakla eĢdeğerdir. Bu önermenin

karĢıt tersini ispat etmek için ise yine q' doğru kabul edilip p hükmüne ulaĢılmaya

çalıĢılır. Yani q' p' önermesi için doğrudan ispat yöntemi kullanılmıĢ olur. Ancak,

ispata hükmün değili (q') ile baĢlanması, ispata dolaylılık katmıĢtır. Bu sebepten

bazı sınıflandırmalarda karĢıt tersi ile ispat, hükmün olumsuzu ile baĢlanması

nedeniyle dolaylı ispat, ispatta doğrudan ispat yöntemi kullanılması nedeniyle de

doğrudan ispat kategorisi altında ele alınabilmiĢtir. Doğrudan ve dolaylı ispatın

nasıl tanımlanacağı, hangi ispat yöntemlerinin bu baĢlıklar altında yer alabileceği

konusu da sınıflandırmaya yönelik netleĢilemeyen bir baĢlıktır.

Ġspat yöntemlerinin neler olduğu ve sınıflandırmasına yönelik var olan karmaĢaya

ek olarak Türkçe literatürde yer alan, net olmayan bir diğer konu da ispat

yöntemlerinin isimlerinin TürkçeleĢtirilmesiyle ilgilidir. “Olmayana ergi” kavramı bir

ĠSPAT

YÖNTEMLERĠ

DOĞRUDAN ĠSPAT

DOLAYLI ĠSPAT

ĠLERĠYE DOĞRUDAN ĠSPAT

KARġIT TERSĠ ĠLE ĠSPAT

TÜMEVARIM

ÇELĠġKĠ YOLUYLA ĠSPAT

5

ispat yöntemi olarak pek çok kiĢinin aĢina olduğu bir kavramdır. Buna karĢın

“olmayana ergi” nin tanımı, “proof by contradiction” ve “proof by contrapositive”

içeriğinde iki farklı Ģekilde tanımlanabilmektedir. Örneğin Irmak (2008) ve

ortaöğretim programında MEB (2011) olmayana ergi ile ispatı, teoremin kendisi

yerine, karĢıt tersinin ele alınarak (proof by contraposition) ispatlanmaya

çalıĢılması olarak tanımlamaktadırlar. Yani literatürde geçen baĢka bir adlandırma

ile “karĢıt tersi ile ispat” olarak tanımlamaktadırlar. Yani bu içerikte p q

önermesi için pq ispatlanır.

TÜBĠTAK Bilim Teknik Dergisinde ve bir dizi baĢka kaynakta ifade edildiği Ģekliyle

ise “olmayana ergi”, “proof by contradiction” içeriğinde tanımlanmaktadır. Ġfade

edilen bu yöntemde doğruluğunu ispatlamaya çalıĢtığımız ifadenin tersi ele

alınarak ispatlanmaya çalıĢılır ve bir çeliĢki elde edilir. Bu içerik MEB (2011)

programında “çeliĢki yöntemi ile ispat” olarak adlandırılmıĢtır.

Ġspat, matematik içerisinde önemli bir yere sahiptir. Sahip olduğu bu öneme karĢın

literatürde yer alan ve burada ifade edilen bir dizi karmaĢıklık ispatın ne olduğu ve

nasıl ele alınması gerektiğine dair ciddi bir boĢluk yaratmaktadır. Öyle ki

matematik alanında ispat ve ispat yöntemlerine yönelik net ve üzerinde

ortaklaĢılan bir yaklaĢımın olmayıĢı, eğitim literatüründe de ispat olarak kabul

edilip edilmeyeceği tartıĢılan ispat adlandırılmalarının varlığına zemin

oluĢturmaktadır. Görsel ispat yöntemi buna örnektir. “Proof without words”

tanımlamasıyla yabancı literatürde yer alan bu yaklaĢımın ispat yöntemi olup

olmayıĢı yönündeki tereddütler aslında bu yaklaĢımı literatüre kazandıran kiĢi

tarafından, bu yaklaĢımın temel kaynağı olan kitapta da açıkça ortaya konmuĢtur

(Nelsen, 1993). Nelsen kitabında, bu yaklaĢımın gerçek bir ispat olmadığını

söylemektedir (Nelsen, 1993, vi). Buna karĢın gerek görsel ispat, gerekse çeĢitli

gösterimler, modellemeler aracılığıyla ortaya konan doğrulamalar, örnek vererek

yapılan veya deneyimlere dayanan doğrulamalar eğitim alanıyla ilgili literatürde

ispat olarak adlandırılabilmektedir. Bu durum ispatın ne olduğu, ispat yöntemlerinin

neler olduğu ve ispat öğretiminin tüm bunlar ıĢığında nasıl ele alınması gerektiğine

yönelik çalıĢmalara olan ihtiyacı ortaya koymaktadır. Ancak bu tür çalıĢmalar

ülkemizde yok denecek kadar azdır.

6

1.3. Bu ÇalıĢmada Ele Alınacak Ġspat Yöntemleri

Ġspat yöntemlerinin sınıflandırılması ya da tanımlamasına yönelik farklılıklar bu

araĢtırmanın baĢlıca konusu değildir. Bu farklılıklar okuyucuyu bilgilendirmek

amacıyla, referansları ile birlikte önceki bölümde ele alınmıĢtır. 7. sınıf öğrencileri

üzerinden ispat kavramının ilköğretim düzeyinde öğretilebilirliğinin irdeleneceği bu

çalıĢmada ele alınacak ispat yöntemleri, herhangi bir sınıflandırmaya gerek

görülmeden aĢağıdaki Ģekilde sıralanmıĢtır:

Doğrudan Ġspat Yöntemi

KarĢı Örnek Vererek Ġspat

Tüketerek Ġspat

Durum Yolu Ġle Ġspat

ÇeliĢki Yolu Ġle Ġspat

Ġspat yöntemlerine iliĢkin tanımlamalara, "Tanımlar" bölümünde yer verilmiĢtir.

AraĢtırmanın baĢında 7. sınıf öğrencilerine tabloda yer alan beĢ ispat yöntemini

içeren bir öğretimin uygulanması planlanmıĢtı. GerçekleĢtirilen pilot çalıĢmasının

ardından, ileriki bölümlerde ayrıntılarına değinilecek gerekçeler nedeniyle

araĢtırma, doğrudan ispat, karĢı örnek vererek ispat, tüketerek ispat ve durum yolu

ile ispat yöntemleri ile sınırlandırılmıĢtır.

1.4. Matematik Eğitimi Ve Ġspat

Matematiksel ispat matematiğin önemli bir parçasıdır. Matematik ve matematik

eğitiminin temelinde yer alan önemli kavramlardan birisi olan ispat kavramının

(Lee, 2002) önemine her iki alan literatüründe de değinilmektedir. Ġspat,

matematiksel bilgilerin doğruluğunu ya da yanlıĢlığını ortaya koyarken (Tall &

Mejia-Ramos, 2006), matematik öğretimi açısından ise matematiksel bilginin

inĢasının sağlanmasında önem taĢımaktadır. Knuth (2002) ispatı matematik

öğrenme sürecinin önemli bir aracı olarak niteler. Senk ve diğerlerine göre ise

matematiğin kalbi olan ispat (akt. Albayrak Bahtiyarı, 2010); sadece neyin doğru

olduğu ile ilgili değil, aynı zamanda niçin doğru olduğu ile de ilgilidir (Almedia,

7

1996). Öğrenme sürecinde bir araç olarak ele alınan ispat, sadece doğru

matematiksel bilgiye ulaĢmak adına değil, ayrıca matematik bilmek ve yapmak

adına; matematiksel algının temelini oluĢturmak adına; matematiksel bilginin

kavranması, kullanılması ve geliĢtirilmesi adına da önemsenmektedir (Hanna and

Jahnke,1996; Kitcher,1984; Polya 1981). Tüm bu vurgular ispatın önemini ortaya

koymakla birlikte ispat ile matematik eğitimi arasında da kuvvetli bir iliĢki kurar.

Atfedilen bu öneme karĢın matematik öğretimi süreci içerisinde ispat yoğunluklu

olarak lise ve üniversite düzeyinde ele alınmaktadır. Türkiye de ise öğrenciler az

da olsa ortaokul düzeyinde özellikle de 8. sınıf geometri derslerinde, Pisagor

teoreminin ispatı üzerinden ispat kavramı ile karĢılaĢmıĢlardır. Son müfredat

değiĢikliği ile bu karĢılaĢma 9. sınıfa kaydırılmıĢtır. Matematik eğitiminde ispat tüm

boyutlarıyla aslolarak üniversite düzeyinde, özellikle de matematik ve matematik

eğitimi bölümlerinde ele alınmaktadır.

2005 yılında "Her çocuk matematiği öğrenebilir" ilkesi temel alınarak yenilenen

öğretim programı bugüne kadar bir dizi ufak değiĢikliğe uğratılmıĢtır. En son 2012-

2013 eğitim öğretim yılında uygulamaya baĢlanan ve toplumda 4+4+4 eğitim

sistemi olarak yankı bulan, 12 yıllık zorunlu eğitime geçiĢ programı ile öğretim

programları güncellenmiĢtir. Ġlköğretim ve Eğitim Kanunu'nda nisan ayında

gerçekleĢtirilen değiĢiklik doğrultusunda, 222 nolu kanunun 7. maddesi Ģu Ģekilde

değiĢtirilmiĢtir; “MADDE 7 – İlköğretim; 1 inci maddede belirtilen amacı

gerçekleştirmek için kurulmuş dört yıl süreli ve zorunlu ilkokul ile dört yıl süreli ve

zorunlu ortaokuldan oluşan bir Milli Eğitim ve Öğretim Kurumudur.” (Ġlköğretim ve

Eğitim Kanununun Bazı Maddelerinin DeğiĢtirilmesine ĠliĢkin Kanun, 2012). Bu

bağlamda ilkokul programı 1-4. sınıfları, ortaokul programı 5-8. sınıfları

kapsayacak Ģekilde yeniden düzenlenmiĢtir.

Gerek 2005 düzenlemesini, gerekse bu son düzenlemeyi birlikte incelediğimizde

ilkokul ve ortaokul müfredatında ispata değinilmediği görülmektedir. Öğrencilere

kazandırılması gereken beceriler problem çözme, iliĢkilendirme, iletiĢim, tahmin ve

akıl yürütme olarak sıralanmıĢ, ispata bir beceri olarak programda yer

verilmemiĢtir. Ġspat kavramına programda değinilmemiĢ olsa da, akıl yürütme

becerisi Ģu Ģekilde tanımlanmıĢtır; "Akıl yürütme (muhakeme), eldeki bilgilerden

hareketle matematiğin kendine özgü araç (semboller, tanımlar, ilişkiler, vb.) ve

düşünme tekniklerini (tümevarım, tümdengelim, karşılaştırma, genelleme, vb.)

8

kullanarak yeni bilgiler elde etme süreci" (MEB, 2013, s.5). Ayrıca akıl yürütme

becerisi içerisinde öğrencilerden matematiksel çıkarımların doğruluğunu ve

geçerliğini savunmaları ile kuralları doğrudan ezberlemeleri yerine, kuralların

arkasında yatan kavramlarla iliĢkilerini kurmalarının da beklendiği vurgulanmıĢtır.

Bu bağlamda ispat ile akıl yürütme becerisi arasında dolaylı da olsa bir iliĢki

kurmak mümkün olmaktadır. Bununla birlikte program içerisinde yer alan diğer

beceri baĢlıkları da incelendiğinde, bu becerilerle kazandırılması hedeflenen bazı

davranıĢları, ispat yapabilme yeterliliği ile iliĢkilendirmek de mümkündür (ÇalıĢkan,

2012). Yine de dolaylı olarak kurulan bu iliĢkilendirme yeterli değildir. Ġspat öğretim

programı içerisinde 9. ve 11. sınıf programlarında, geliĢtirilmesi hedeflenen

matematiksel beceri ve yeterlilik olarak ele alınmaktadır. "Matematiksel akıl

yürütme ve ispat yapabilme" ise süreç becerisi olarak vurgulanmıĢtır (MEB,

2013b). 2013 yılında güncellenen ortaöğretim programlarında ispat kavramı ilk

olarak 9. sınıfta "Denklem ve eĢitsizlikler" konu alanında, 2 sayısının rasyonel

sayı olmadığının ispatı ile öğrencilerin karĢısına çıkmaktadır. Daha sonra dik

üçgende Pisagor teoremi ile üçgende kosinüs / sinüs teoremlerinin ispatlarına da

programda yer verilmiĢtir. 11. sınıfta ise "Sayılar ve Cebir" öğrenme alanı

içerisinde aksine örnek verme, karĢıt tersi ile ispat, doğrudan ispat, çeliĢki yoluyla

ispat ve tümevarım yöntemleri programda ispat yöntemleri olarak ele alınmıĢtır.

Ortaöğretim programında ispata yer verilmesine rağmen, ÇalıĢkan'ın 2012 yılında

gerçekleĢtirdiği çalıĢma matematik öğretmenlerinin güncellenmemiĢ program

kapsamında yer alan Mantık Öğrenme Alanı içerisindeki bazı temaları, özellikle de

Ġspat Yöntemleri alt öğrenme alanını derste iĢlememe eğiliminde olduklarını ortaya

koymuĢtur. Ġlhan da 2006 yılında gerçekleĢtirdiği çalıĢmasında programla ilgili bazı

öğrenme alanlarının öğretmenlerce derslerde iĢlenmediğine yönelik var olan bu

soruna değinmiĢtir. Bu durum programda zaten sınırlı oranda değinilen ispat

alanının öğrencilerle olması gerektiği bir içerikte paylaĢılmadığı düĢüncesini

kuvvetlendirmektedir.

Ġspat öğretiminin lise ve ileriki öğretim düzeylerinde yoğunlaĢmasına paralel

olarak, bu alanda gerçekleĢtirilen çalıĢmaların büyük bir bölümü ilk ve ortaokul

düzeyinde ispat öğretimini ele almamakta ve hatta bazı çalıĢmalar okul

matematiğinde ispatın sadece ileri ortaöğretim düzeyindeki öğrencilere uygun

olduğunu, ortaokul öğrencilerinin formel ispatı anlamadığını ve yapamayacaklarını

9

belirtebilmektedir (Bell, 1976; Fischbein, 1982; Knuth, 2002). Bu yaklaĢımlara

karĢın son zamanlarda, okul öncesi öğretim sürecinden baĢlayarak, ispat

öğretiminin erken yaĢ kuĢağında da ele alınabileceğini savunan çalıĢmalarda bir

artıĢ da yaĢanmaktadır (Ball vd., 2002; Cyr, 2011; Hanna, 1995; Schoenfeld,

1994; Stylianides, 2007a; Stylianides, 2007b).

Bahsedildiği üzere matematik eğitiminde ispat matematiksel bilginin kavranması

açısından önem taĢımaktadır. Bu nedenle matematikte ezberin önlenmesi,

kavramsal bilginin inĢası ile anlamlı öğrenmenin gerçekleĢebilmesi açılarından da

ispat matematik öğretiminde kritik bir değer taĢımaktadır. Sonuç olarak

matematiksel ispat, öğrenci seviyesine uygun olabilecek bir içerik ve düzeyde ele

alınarak, öğretim sürecinin daha erken aĢamalarında bu sürecin temel bir bileĢeni

olarak kullanılmalıdır.

NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) de ispatı, müfredatın belirli

konularının belirli zamanlarında yapılan özel bir aktivite olarak ele almamaktadır.

Ġspat ve muhakeme, hangi konuda olunursa olunsun, ders iĢlenme sürecinin doğal

akıĢının bir parçası olmalıdır (NCTM, 2000). Öğretim süreci içerisinde ispata bir

konu alanı olarak yaklaĢmayan, iĢlenen konudan bağımsız olarak ispatın öğretim

sürecinin bir bileĢeni olması gerektiğini savunan bu anlayıĢ, matematik

öğretiminde ispatın önemini daha da artırmaktadır.

NCTM‟in süreç standardı olarak ele aldığı “akıl yürütme ve ispat”, matematiksel

içeriğin, bilginin kavranması ve kullanılmasının önemli bir yoludur. NCTM

matematiği anlamak için ispatı kavramanın önemine değinir. Buna karĢın NCTM‟in

süreç ve içerik standartlarına içeriğinde büyük oranda yer vermeye çalıĢan son

ilköğretim programında ispata aynı derecede önem verildiği görülmemektedir.

Öğretim programında ispat ve muhakeme iliĢkisine yeterince değinilmemiĢ,

NCTM‟in “akıl yürütme ve ispat” standardı sadece “akıl yürütme” kazanımı olarak

programda yer bulmuĢtur.

Benzer bir ilgi eksikliği ortaöğretim programında da yer almaktadır. 9 ve 11.

sınıflarda ispat ve ispat yöntemleri ele alınmıĢ olsa da, ispat programda bir konu

baĢlığı olarak sınırlı kalmakta, öğretim sürecine içselleĢtirilmesinde eksiklikler

bulunmaktadır. Ġspatın üniversite süreci öncesi öğretim programlarında yeterince

yer almayıĢı sadece Türkiye‟de yaĢanan bir durum değildir. NCTM standartlarıyla

10

birlikte matematik eğitiminde ispata yönelik ilgi artmakla birlikte, müfredatlarda

henüz istenen düzeyde ispata yer verilmemektedir (Healy & Hoyles, 2000), hâlbuki

ispat matematikten ayrı düĢünülemez ve müfredatın ayrılmaz bir parçası olmalıdır

(Schoenfeld, 1994).

Ġspat - matematik müfredatları iliĢkisi tarihsel akıĢ içerisinde farklı dönemlerde

farklı Ģekillerde ele alınmıĢtır. ABD‟de 1950 ve 1960‟lı yıllarda gerçekleĢen

ortaöğretim müfredat reformlarında kavramsal öğrenmeye yönelik vurgu artmıĢ,

matematik daha formalist bir yapıda ele alınmıĢtır (Hanna, 1983). Bu süreçte

müfredatta yer alan ispat, formel (rigorous) matematiksel ispattı ve aksiyomatik

yöntem ile formel ispat tüm matematik konularının ve matematiksel düĢünmenin

merkezine yerleĢtirilmiĢti. Ortaöğretim müfredatında matematiği iyice

soyutlaĢtırdığı gerekçesi ile eleĢtirilen bu yaklaĢım, özellikle pedagojik yönlerden

Hanna‟nın da içerisinde yer aldığı bir çevre tarafından sakıncalı bulunarak

eleĢtirilmiĢtir. Bu eleĢtiriler 80 ve 90‟lı yıllarda öğretim programlarında ispata

yönelik baĢka bir bakıĢın ortaya çıkmasına neden olur. Sonuç olarak 1980‟li yıllara

gelindiğinde baĢta ABD‟de olmak üzere, müfredatta ispata yönelik vurguda bir

azalma yaĢanmıĢtır. Bu süreçte ispatın öğretim programlarında sınırlı düzeyde ele

alınıĢını da eleĢtiren Hanna (2000), ispatın lise matematik programında gün be

gün daha az yer bulduğuna değinerek, bunun olası nedenlerini Ģu Ģekilde

sıralamıĢtır:

Ġspatın yükseköğretime devam edecek öğrencilere öğretilmesinin gerekli

olduğu düĢünülmektedir.

Tümdengelimsel ispat yerine kendi kendine öğrenmeye dayanan

(heuristic) yöntemlerin muhakeme etme ve doğrulama becerilerinin

geliĢiminde daha etkili olduğu düĢüncesi yaygın olarak kabul edilmeye

baĢlanmıĢtır.

Matematiksel doğrulamada dinamik yazılımların, görsel tekniklerin

kullanımı giderek artan bir Ģekilde tercih edilmekte ve bu nedenle

sınıflarda tümdengelimsel ispat kullanımı azalmaktadır.

Tüm bu değerlendirmelere ve kendisinin de içerisinde yer aldığı bir çevrenin 50 ve

60‟lı yıllardaki uygulamaları da eleĢtirmiĢ olmasına karĢın Hanna, ispatın

matematik öğretiminde her düzeyde gerekli olduğunu vurgulamaktadır. Ayrıca,

11

ispatın hem kendi kendine öğrenmeye dayanan teknikler, hem de görsel dinamik

öğelerle bir arada da ele alınabileceğini ifade etmiĢtir.

2000‟lere gelindiğinde ispatın öğretim programlarında sınırlı olarak yer almasına

yönelik eleĢtirilerde bir artıĢ gözlenmiĢ, bu artıĢ 2000 yılında yayımlanan NCTM

raporunda ispatın yeniden ele alınmasına neden olmuĢtur. NCTM‟nin “Okul

Matematiğinin Ġlkeleri ve Standartları” raporunda ispata önceki metinlere göre

daha çok değinilmiĢ ayrıca, ispatın matematik öğretimindeki rolü ve önemine de

raporda yer verilmiĢtir. Bu raporun yayınlanmasının ardından gerek müfredat

çalıĢmalarında, gerekse bu alanda yürütülen akademik çalıĢmalarda ilk ve

ortaokullarda ispat öğretimine yönelik vurgu artmıĢtır.

Bu rapordan önce, BirleĢik Krallık ulusal matematik müfredatında (DFE,1995) da

matematiksel ispat sürecini içeren bir modele yer verilmiĢtir. Bu modelde erken

yaĢ kuĢağında çocuklara basit düzeyde örüntüler sunulmakta ve bu örüntülere

yönelik tahminde bulunmaları sağlanmaktadır. Örneğin bu muhakeme sürecinde

onlara "Bu durumda ne olurdu?" Ģeklinde sorular yöneltilmekte, onlardan "Tüm çift

sayılar 2'ye bölünür" biçimindeki genel doğruları algılamaları beklenmektedir. Bu

süreçte öğrencilerden varsayımlarda bulunmaları, genelleme yapmaları, bu

genellemelerini test etmeleri, matematiksel bir açıklama ile deneysel kanıtlar

arasındaki farkı ortaya koymaları beklenmektedir (Jones, 1997). ġu an kullanımda

olan ulusal müfredatta ise 8. sınıf öğrencilerinin bir üçgenin iç açılarının toplamının

180, dörtgenin ise 360 derece olduğunun ispatları ile üçgende bir dıĢ açının

kendisine komĢu olmayan iki iç açının ölçülerinin toplamına eĢit olduğunun ispatını

anlama yeterliliğine sahip olması gerektiği belirtilir (DfEE, 2001).

Amerika BirleĢik Devletleri'nde ise bugün öğrencilerin doğrulama ve ispat yapma

yeterliliğini de geliĢtirmek üzerinden oluĢturulan reform temelli müfredatlar

bulunmakta ve bu müfredatlar bazı okullarda uygulanmaktadır. Connected

Mathematica Project (CMP) temelinde hazırlanan müfredat bunlardan birisidir

(Knuth vd., 2012, Cain, 2002). Bu müfredat Michigan State University‟de, ortaokul

öğrencileri için standart temelli ve problem odaklı olarak geliĢtirilen bir müfredattır.

BaĢta ABD ve Ġngiltere'de olmak üzere ispatın matematik öğretim programlarında

ağırlığı artmakla birlikte gerçekleĢtirilen çalıĢmalar bu artıĢın yeterli olmadığını

ortaya koymaktadır. Buna rağmen ispatın ileri düzeyde matematik eğitiminden

12

ziyade, öğretim sürecinin her düzeyine yayılması gerektiğini vurgulayan ve ispat

uygulamalarının öğrencilerin okuldaki matematik yaĢantılarının bir parçası olarak

görülmesini savunan pek çok çalıĢmaya da rastlanmaktadır (Stylianides, 2007a-b;

Ball & Bass, 2003; Ball vd., 2002; Hanna, 1995; NCTM, 2000). Bu savunular temel

olarak ispatı matematik yapmanın ve matematiği anlamanın temel taĢı olarak ele

alırlar.

1.4.1. NCTM’de Ġspat Öğretimi

NCTM (National Council of Teachers of Mathematics), baĢlangıçta ABD‟deki

okullar arası eĢgüdümü sağlamak amacıyla kurulan ulusal bir merkez olsa da,

bugün dünya çapında kabul görmektedir. Ġlk olarak 1989 yılında “Okul Matematiği

için Öğretim Programı ve Değerlendirme Standardı” adlı kitabı yayınlayan NCTM,

2000 yılında “Okul Matematiğinin Ġlkeleri ve Standartları” adlı raporu yayınladı. Bu

kitapta, okul matematiğinde sağlanması gereken ilkelerin, ulaĢılması beklenen

standartların neler olduğu örnekleriyle açıklanmaktadır (Umay, 2007).

NCTM (2000) bu kitapta sınıf düzeylerine göre, ayrıntılı bir Ģekilde akıl yürütme ve

ispatın geliĢim sürecini ele almıĢ ve bunların geliĢtirilebilmesi için yapılması

gerekenleri Ģu Ģekilde sıralamıĢtır:

Öğrenciler akıl yürütme ve ispatın matematiğin temel bir öğesi olduğunu

kavramalıdır.

Matematiksel tahminlerde bulunabilmeli ve bunları sınayabilmeli.

Matematiksel tartıĢmaları ve ispatı değerlendirip geliĢtirebilmeli.

ÇeĢitli akıl yürütme tiplerini bilmeli ve sınama sürecinde gerekli ispat

yöntemlerini seçip kullanabilmeli.

Bu dört madde incelendiğinde, ülkemizde ortaokul öğrencilerinin ispatı

matematiğin temel bir öğesi olarak algılamalarında, ispat içeren tartıĢmalar

yürütüp bu tartıĢmaları geliĢtirmelerinde, ispat yöntemlerini kullanmalarında eksik

olduklarını söylemek yanlıĢ olmayacaktır. Var olan ortaokul müfredatı bu nitelikleri

sağlamada yeterli değildir.

NCTM “Okul Matematiğinin Ġlkeleri ve Standartları” adlı raporda ispat öğretiminin

erken yaĢ kuĢağında da ele alınması gerektiğini belirtirken, çocukta ispat

13

düĢüncesinin geliĢimine yönelik bir sınıflandırma da yapmıĢtır. Raporda

anaokulundan 8. sınıfa değin, akıl yürütme ve ispata yönelik bireyin geliĢimi ve

öğretmenlerin bu dönemlerde dikkat etmesi gereken noktalar Ģu Ģekilde ele

alınmıĢtır:

Anaokulundan 2.Sınıfa Kadar: Bu süreç zarfında öğrenciler kendi

deneyimlerinden yola çıkarak muhakeme yapabilirler. Muhakeme yaparken

ampirik kanıtları, var olan önceki bildikleri gerçeklere dayanan tümdengelimsel

yaklaĢımı, kendi bakıĢ açılarına dayanan varsayımı kullanırlar. Öğrencilerin bu

dönemdeki akıl yürütmelerinin, genellemelerinin uygun olup olmadığını test etmek

için öğretmenler öğrencileri örnek ve karĢıt örnek vermeleri doğrultusunda

yönlendirmelidirler. Ayrıca öğrencilerin dil becerileri, kendilerini ifade edebilme

yetilerinin geliĢmesi için sadece cevabı söylemelerinden ziyade, onları cevaba

ulaĢtıran muhakemelerini de açıklamaları yönünde teĢvik etmelidirler. Bunun için

de “hayır”, “ve”, “veya”, “bazısı”, “hepsi”, “çünkü”, “eğer … o zaman” kalıplarını da

kullanmaları sağlanabilir.

3–5. Sınıflar Arası: Öğrenciler bu dönemde tümevarım yöntemini tanımaya

baĢlarlar. KarĢıt örnekler vererek akıl yürütmek, ulaĢılan çözümleri karĢılaĢtırmak

ve baĢkalarının muhakemelerini sorgulayıp karĢılaĢtırarak genelleme yapmak,

yapılan bu genellemelerin nedenini sorgulamak ve hangi durumlara

uygulanabileceğine dair akıl yürütmek, bunları savunmak bu dönemde

gerçekleĢtirilebilir. Öğretmenler bu dönemde açık uçlu, meydan okuyucu sorularla

öğrencilerin matematiksel iliĢkilere yönelik varsayım geliĢtirmelerini, bunları test

edip uygulamalarını sağlamalıdırlar.

6–8. Sınıflar Arası: Bu dönemde öğrenciler varsayımlarını derinlemesine

değerlendirmek için tümevarımla birlikte tümdengelimi kullanabilirler. Ayrıca doğru

bir önermenin karĢıtının her zaman doğru olmayacağını örneklerle kavrayabilirler.

NCTM‟in ilköğretim düzeyinde akıl yürütme ve ispata yönelik çizdiği bu tablo ispat

öğretiminin erken bir dönemde ele alınması gerektiğinin altını bir kez daha

çizmektedir. Ġspat öğretimine erken dönemlerde baĢlanması ispat düĢüncesinin

geliĢimini sağlayacaktır. Yukarıdaki aktarımlardan görüleceği üzere NCTM de

öğrencilerin lise öncesi yaĢ dönemlerinde tümevarım ve hatta tümdengelime uzak

olmadığını, ilk dönemlerde deneyimlerine dayanan, ampirik kanıtlarla genelleme

14

yapma eğilimi baskın olacakken, daha sonrasında karĢıt örnekler vererek akıl

yürütebileceklerini net bir Ģekilde ifade etmektedir.

1.4.2. Çocukta Ġspat DüĢüncesinin GeliĢimi

Bireyde biliĢsel geliĢim doğumla birlikte baĢlayan ve çevremizdeki dünyayla bireyin

etkileĢimini sağlayan, bu etkileĢim sonucu dünyanın algılanmasını,

yorumlanmasını ve yorumlandığı noktada bireyin çevresine müdahalesine olanak

sağlayan zihinsel süreçlerdir. DavranıĢçı kuramın aksine bireyi öğrenme sürecinde

aktif kılan Piaget çocuğun duyusal-edimsel öğrenme aĢamasından, soyut iĢlemler

aĢamasına uzanan bir dizi geliĢimsel biliĢsel süreçten geçtiğini savunur.

Tall (2008) bireyde formel ispat yapabilme becerisinin oluĢumunu da biliĢsel

geliĢim süreci içerisinde ele alır. Nesnelerin ve eylemliliklerin ilk algılanma anından

aksiyomatik matematiğe varan biliĢsel geliĢim sürecini “matematiğin üç dünyası”

olarak adlandırır ve Ģu Ģekilde ele alır:

Kavramsal somut dünya (the conceptual-embodied world);

baĢlangıçta gerçek dünyada görünen ve algılanan, daha sonra

zihinde hayal edilen nesnelerin özelliklerinin algılanıp yansıtılmasını

içerir.

Nesnel ve süreçsel sembolik dünya (the proceptual-symbolic

world); sayma iĢlemi gibi bir eylemle ilk olarak somut dünyada geliĢir,

bu sayma iĢlemini örneğin rakamları betimleyerek sembolleĢtirir ve

bu süreçte hem iĢlem süreci hem de kavramın sembolik gösterimi bir

arada düĢünülmektedir.

Aksiyomatik – formel dünya (the axiomatic-formal world); formel

tanım ve ispatlara dayanır. Bu süreçte bilinen nesneler üzerinden

anlam inĢa etme yerine teorik tanımlar üzerinden formel kavramlar

oluĢturulur.

Bu yaklaĢımı toplama iĢlemi üzerinden örneklemek gerekirse; çocuk ilk önce tahta

bloklarla oynamakta, bu blokları gruplandırarak çokluklar oluĢturmaktadır

(kavramsal somut dünya). Daha sonra çocuk bu tahta bloklarla bir eylem ortaya

koyar, çoklukları toplar. Bu eylemlilik süreci içerisinde hangi sıra ile çoklukları bir

araya getirirse getirsin sonucun (toplamın) değiĢmediğini fark eder ve bunu sözel

15

olarak dile getirir (nesnel ve süreçsel sembolik dünya). Çocuk toplama iĢleminde

değiĢme özelliğini fark etmiĢtir. Son aĢamada ise önce rakamlarla bu özellik ortaya

konur (10+7 = 7+10), daha sonra x+y = y+x Ģeklindeki sembolik gösterim

geliĢtirilerek genellemeye ulaĢılır (aksiyomatik-formel dünya) (Tall vd., 2012).

BiliĢsel geliĢim süreci içerisinde AktaĢ (2002) ispat kavramının oluĢmasının okul

öncesi dönemde baĢladığını söyler. Piaget tarafından sezgisel dönem olarak

adlandırılan bu süreç aynı zamanda mantıksal düĢünmeye geçiĢ dönemidir.

Sınıflama, eĢleĢtirme, sıralama, karĢılaĢtırma gibi ispatın temelini oluĢturan

kavramların bu süreçte kazandırılması hedeflenir ve bu hedefler mantıksal

düĢünmeye geçiĢte köprü görevini üstlenirler. Bu köprü bu yaĢ döneminde sağlam

oluĢturulmazsa ileriki dönemlerde sorunlar ortaya çıkacaktır (Altıparmak, ÖziĢ,

2005). Okul öncesi dönemde öğrencilere kazandırılması hedeflenen bu nitelikler

baĢarıyla kazandırılırsa, matematiksel muhakeme geliĢir, öğrenciler neden sonuç

iliĢkisi kurabilir ve tüm bunlar da ispat kavramının oluĢumunda önemli bir zemin

oluĢturur.

Ġlkokul döneminde çocuklar somut iĢlem dönemindedirler. Bu süreç zarfında

öğrencilerin somut nesne ve durumlar üzerinden akıl yürütmeleri ve varsayımda

bulunmaları sağlanmalıdır. 3. sınıfa kadar fiziksel materyaller üzerinden nesneleri

karĢılaĢtıran, benzerlik veya farklılıklarına yönelik muhakemede bulunan ve bunun

üzerinden genellemeye ulaĢan öğrenciler, 3. sınıftan itibaren ulaĢtıkları

genellemeleri ve varsayımları test edip, savunmaya yönelik teĢvik edilmelidir. Bu

seviyedeki öğrenciler varsayımlarını sınamak veya varsayımlarının doğruluğunu

göstermek için birkaç örneğin yeterli olmadığını tartıĢabilmeli, birbirlerinin

muhakemelerini sorgulayabilmeli ve karĢı örnekleri varsayımlarını çürütebilmek

için kullanabilmelidir. Matematiksel iddia kavramı bu yaĢlarda oluĢmaktadır

(Altıparmak, ÖziĢ, 2005). Bu nedenle NCTM‟in de benzer bir içerikte ele aldığı bu

yapının öğrencilerde kurulması önemlidir.

Ortaokul döneminde öğrencilerde soyut düĢüncenin geliĢimi söz konusudur.

Öğrenciler matematiksel iddiaları tümdengelim ve tümevarım yöntemlerini

kullanarak sınayabilmeli, yanlıĢ olan ifadelere karĢı örnekler sunabilmeli,

matematiksel ifadeleri sembolik dil kullanarak ifade edebilmelidirler. Bu dönem

içerisinde öğrencilerin tümdengelim mantığını kullanmaları teĢvik edilmelidir.

16

Lise öğretimi sürecinde ise öğrenciler soyut düĢünme dönemindedirler. Bu yıllarda

daha önceki öğretim kademelerinde inĢa edilen ispat yaklaĢımı kuvvetlendirilmeli,

dolaylı ispat yöntemleri ağırlıklı olarak kullanılmalıdır (Altıparmak, ÖziĢ, 2005).

Tüm bu aktarımlar bireyde biliĢsel geliĢim süreci içerisinde ispat düĢüncesinin de

aĢamalı olarak geliĢeceğini ortaya koymaktadır. Anaokulundan baĢlayarak tüm

öğretim düzeylerinde, bu geliĢimin önemli bir parçası inĢa edilmektedir. Bugün

literatüre baktığımızda öğrencilerin ispata yönelik performanslarının farklı ispat

adlandırmaları (Ģemalar, kodlandırmalar) altında sınıflandırıldığı görülmektedir. Bu

adlandırmalar her ne kadar hangi muhakemenin ve hangi doğrulamaların ispat

olarak kabul edileceğine yönelik ortak bir yaklaĢıma sahip olmasalar da bireyde

ispat düĢüncesinin geliĢimini ortaya koymaları açısından önemlidirler.

1.4.3. Eğitim Literatüründe Ġspat Kavramı ve Ġspata Yönelik Adlandırmalar

BiliĢsel yaklaĢımın babası olarak kabul edilen Piaget‟in duyusal-edimsel öğrenme

aĢamasından, soyut iĢlemler aĢamasına uzanan sınıflandırması, öğrenme

düzeylerine iliĢkin her türlü sınıflandırmanın temelini oluĢturmaktadır. Örneğin Van

Hiele (1986) Öklid Geometrisi üzerine yoğunlaĢtığı çalıĢmalarında çocuktaki

geometri düĢüncesinin geliĢimini 5 düzeye ayırarak somut kavramadan soyuta

ulaĢan ve son basamağında formel düzeyde ispat becerisinin geliĢtiği bir

sınıflandırma yapar:

Düzey 0: Temel seviyedir, kabaca Ģekillerin benzerliklerinin farkında olunur, Ģekiller sınıflandırılabilir. Üçgen ve dörtgen farklı olarak kabul edilir ama paralelkenar ile eĢkenar dörtgenin farkı ortaya konulamaz. Düzey 1 (visual): Temel geometri bilgisi vardır, Ģekillerin özellikleri üzerinden genelleme yapılabilir. ġekil kötü çizilmiĢ olsa da dört dik açısı olan Ģekil dörtgen olarak kabul edilir. Buna karĢın kare dikdörtgen olarak kabul edilmez. Düzey 2 (descriptive): ġekil üzerinden özellikler arası iliĢki kurulabilir. Tümdengelim yapılamaz. Ama özellikler arası iliĢki kurulabildiği için kare dikdörtgen olarak adlandırılabilir. Düzey 3 (relational): Bu seviyede Ģeklin özellikleri arasında karĢılaĢtırma yapılabilir. Temel / basit düzeyde ispat yapılabilir.

17

Düzey 4: Formel ispat yapılabilir. Geometri içerisindeki aksiyomatik yapı fark edilir.

Doğrulama ile ispat arasındaki farka değindikleri çalıĢmalarında Carpenter ve

diğerleri (2003) ilköğretim düzeyindeki öğrencilerin ispat düĢüncesindeki geliĢimini

doğrulama kategorileri olarak adlandırırlar;

Otoriteye BaĢvuru (Appeal to Authority): Bu seviyedeki öğrenciler bazı önermeleri ders kitaplarında yazdığı için veya öğretmeni söylediği için, yani alana özgü otoritelerden edindiği bilgiler nedeni ile doğru kabul ederler. Örnekle Doğrulama (Justification by Example): Öğrenciler önermeleri örnek vererek doğrular ve bu doğrulamalarını genellerler. Otoriteye baĢvurmadan ziyade öğrenciler ifadeyi örnek verip doğrulayarak genellemeye ulaĢma eğilimindedirler. Genellenebilir Argumanlar (Generalizable Arguments.): Çocuklar erken yaĢ döneminde bu yönteme pek baĢvurmaz, yalnız ortaokul düzeyinde öğrenciler artık örnekler yardımıyla sınırlı bir doğrulama düzeyine ulaĢabileceğini fark eder ve bu yaĢlarda çeĢitli genellemeler yapmaya teĢvik edildiğinde farklı metodlar geliĢtirebilir.

Balacheff (1988) ise öğrencilerin kullandığı ispat yöntemlerini betimlerken örnekle

doğrulamayı ispat olarak nitelemektedir. Balacheff ispat yöntemlerini iki temel

düzeyde ele alır; pragmatik ispat (pragmatic proof), zihinsel ispat (intellectual

proof). En alt seviye pragmatic ispattır.

1. Pragmatic Ġspat (Pragmatic Proof): En alt seviyedeki ispat yapma durumlarıdır.

Acemi Deneycilik (Naive Empiricism): Belirli sayıdaki deney durumlarından elde edilen kanıtlarla önerme doğrulanmaya çalıĢılır, yani rastgele seçilen birkaç örnek denenir ve genellemeye varılır.

Kritik Deneyim (Crucial Experiment): Önerme tipik/belirli/tek bir durum içerisinde doğrulanarak gösterilir. Bilinçli bir örnek seçilir ve o örnek kullanılarak genellemeye ulaĢıldığı düĢünülür. Öğrencinin o örneği seçmesinin bir gerekçesi vardır.

18

2. Zihinsel Ġspat (Ġntellectual Proof): Özelliklerin formülasyonu ve özellikler arası iliĢki kullanılır, deney durumu içermez.

Belirleyici / Kapsamlı Örnek – Jenerik Örnek (Generic Example): Matematiğin yapısal özelliklerinden yola çıkarak seçilen belirleyici bir örnek yardımıyla doğrulama yapılır.

DüĢünce Deneyi (Thought Experiment): Önerme örneklerden ziyade matematiğin yapısal özellikleri ile doğrulanır. Bu doğrulama süreci karmaĢık biliĢsel ve dilsel, anlatımsal yapılar içerir.

Ġspat ile ilgili literatürde en çok karĢılaĢılan ve en çok kullanılan sınıflandırma ise

Harel ve Sowder‟in (1998) ispat Ģemalarıdır. Ġspat Ģemaları, ispat yaparken

öğrencinin ispata nasıl yaklaĢtığını ve biliĢsel geliĢimini ortaya koyar.

1. DıĢsal Ġkna Ġspat ġeması (External Conviction Proof Scheme): Öğrenci sadece formülleri uygular, rutin kuralları ezberler, öğretmen ya da kitapları birer otorite olarak kabul edip onlardan edindiği bilgilerle kendisini ya da baĢkalarını ikna etmeye çalıĢır.

Otoriteye Dayalı Ġspat ġeması (Autoritarian Proof Scheme): Sadece kitaplarda yazılanlar ya da öğretmenin söyledikleri, öğrettikleri temel alınır.

AlıĢkanlık EdinilmiĢ Ġspat ġeması (Ritual Proof Scheme): Ġspatın içerdiği doğruluktan ziyade öğrenci ispatın biçimine, görünüĢüne dikkat ederek ikna olur. Doğrulamanın sadece matematiksel notasyonlarla, sembolik gösterimlerle, hesaplamalarla gerçekleĢtirilebileceğine inanırlar.

Sembolik Ġspat ġeması (Symbolic Proof Scheme): Ġspatın içerdiği sembolik muhakemelere dayalı olarak birey ikna olur. Ġspatın anlamını kavramadan, çözüm yapma yaklaĢımına sahip olunmakta.

2. Deneysel Ġspat ġemaları (Empirical Proof Schemes):

Varsayımlar fiziksel gerçekler ya da duyular yardımıyla oluĢturulan deneylerle onaylanmaya çalıĢılır (kabul edilir ya da reddedilir).

Tümevarımsal Ġspat ġeması (Inductive Proof Scheme): Öğrenciler önermenin doğruluğuna yönelik kendi kendilerine araĢtırma yaparak elde ettikleri verileri (örnekleri), nicel değerlendirmelerle baĢkalarını ikna

19

etmede kullanır ve bunu yeterli görür. Bir veya birkaç spesifik durum, özel örnekle genellemeye varılır.

Algısal Ġspat ġeması (Perceptual Proof Scheme): Herhangi bir konu alanındaki ilk öğrenmeler sonucu zihinde oluĢan gösterimler kullanılarak doğrulama yapılmaya çalıĢılır. Büyük oranda yetersiz kalır. Algılara dayalı temel zihinsel imgeler kullanılır.

3. Analitik Ġspat ġemaları (Analytical Proof Scheme): Doğrulamalar mantık kullanılarak ve tümdengelimsel yollarla yapılır.

DönüĢümsel Ġspat ġeması (Transformational Proof Scheme): Amaca yönelik zihinsel iĢlemler uygulanır. Tahminler ve onlara dayalı çıkarımlarla genellenmeye ulaĢılmaya çalıĢılır. Ġkna tümdengelimsel olarak yapılır.

Aksiyomatik Ġspat ġeması (Axiomatic Proof Scheme): Doğrulama tanımsız terimler, aksiyomlar kullanılarak, bunlardan baĢlanılarak yapılır. Aksiyom, tanımız terim, teorem arasındaki fark kavranmıĢtır.

Harel ve Sowder‟ın bu sınıflandırması bireydeki ispat düĢüncesinin geliĢimini

ayrıntılandırması açısından önemli olmakla birlikte literatürde kavramsal bir itirazla

da karĢılaĢmıĢtır. Yakın dönem çalıĢmalarında ispat konusu üzerine yoğunlaĢan

Gabriel J. Stylianides ve Andreas J. Stylianides, ilk ve ortaokul düzeyine

yoğunlaĢtıkları çalıĢmalarında öğrencilerin ispat becerilerini ve ispat yapabilme

düzeylerini incelerken “ispat” kavramının tanımına yönelik de bir tartıĢma

yürütmüĢ, erken yaĢ düzeyindeki her çocuğun genellemeye ulaĢma eğilimlerini

“ispat” olarak adlandırmamak gerektiğini vurgulamıĢlardır. ÇalıĢmalarının

bazılarında ispat ve ampirik doğrulama arasındaki farka ayrıntılı olarak

değinmiĢlerdir (Stylianides, 2007b; Stylianides & Stylianides, 2009, Stylianides,

2007a). Stylianides & Stylianides (2009) bir çalıĢmalarında ise Harel ve Sowder‟in

sınıflandırmasını kullanmakla birlikte bu sınıflandırmayı “ispat Ģeması” olarak değil

de “doğrulama Ģeması – justification scheme” olarak adlandırmanın gerekliliği

üzerine bir tartıĢma yürütmüĢlerdir. Reid (2001) de benzer bir yaklaĢımla Harel ve

Sowder'ın "ispat Ģemaları"nın, otoriteye baĢvurulan, örnekle sınanan,

matematiksel görünüme dayanan doğrulamaları da içerdiğini belirtir. Öğrenciler ilk

ve ortaöğretim düzeyinde yaygın bir Ģekilde ampirik veriler sunarak genellemeye

ulaĢma eğilimindedirler ama onların bu uygulamalarının ispat olarak değerlendirilip

20

değerlendirilmeyeceği tartıĢmalı bir baĢlıktır. Bu çalıĢma kapsamında bu eğilimler

ispat değil doğrulama olarak adlandırılacaktır.

Ġspat düĢüncesinin geliĢimine yönelik bu sınıflandırmalardan farklı olarak Blum ve

Kirsch (1991) ise yazılı ispat örneklerinden yola çıkarak ispat yapmayı; ispat,

preformel ispat ve formel ispat Ģeklinde üçe ayırırlar. Ġspatı deneysel doğrulamalar,

sezgisel argumanların sunulması ve eksik kalmıĢ tümevarım yaklaĢımları olarak

tanımlamakla birlikte preformel ispatı ise geçerli, yalnız formel olarak

gösterilmeyen, ortaya konmayan önermeler olarak ele almıĢlardır. Preformel

ispatlar geçerli ve kesin ispatlardır, yalnız kesinlikleri formel oldukları anlamına

gelmez.

Lakatos da (1978) ispatı formel olma düzeyine göre üçe ayırır; pre-formel, formel

ve post-formel ispat. Pre-formel ispatı Blum ve Kirsch'e benzer bir içerikte, ikna

edici olan, matematikçiler tarafından kabul edilen ama formel olmayan ispat olarak

tanımlamıĢtır. Pre-formel ispatta postulatlar, iyi tanımlanmıĢ mantıksal çıkarımlar

yoktur, sadece teoremin doğru olduğu sezgisel olarak ortaya konulmaktadır. Reid

ve Knipping (2010, s.9) ise matematikçiler tarafından kabul edilen bu informel

ispatı yarı-formel (semi-formal) ispat olarak adlandırmıĢlar, ayrıca gerçekleĢtirilen

ispatların çoğunun yarı-formel ispat olduğunu belirtmiĢlerdir. Harel ve Sowder'in

ispat Ģemaları tekrar dikkate alındığında ispat tümdengelimsel bir yapıya sahip

olmasa da belirli bir kitle için ikna edici olması gerekli iken, Reid ve Knipping için

tümdengelimsel yaklaĢım ispatta vazgeçilmezdir.

Bu çalıĢmada, öğrencilerde ispat düĢüncesinin geliĢiminde önemli bir aĢama olan

örnekle doğrulama eğilimi ispat olarak ele alınmamıĢtır. Bir doğrulama /

yanlıĢlamanın ispat olarak değerlendirilmesinde Stylianides'in (2007a)'in ispat

tanımlaması temel alınmıĢtır. Sınıf içerisinde yapılan ispatlama etkinliklerinin

hangilerinin ispat olduğunu belirlemeye yarayan bu tanımlamada ispat,

matematiksel bir iddiayı doğrulamak ya da yanlıĢlamak üzerinden ortaya konan,

birbiriyle iliĢkili savlar dizisidir. Bu savların ispat sayılabilmesi için aĢağıdaki

özellikleri taĢıması gerekir;

1. Sınıfça doğru olarak kabul edilen ve ekstradan doğrulanmasına ihtiyaç

duyulmayan onaylanmış ifadeler setini (set of accepted statements)

21

içermeli. Matematiksel bağlamda tanımlar, aksiyom ve teoremler de bu

gruba girmektedir.

2. Bilinen ve geçerli kabul edilen veya sınıftaki öğrencilerin kavramsal

olarak algılayabileceği düzeyde olan muhakeme biçimleri (modes of

argumentation) kullanılır. Matematiksel olarak mantık kurallarının

kullanımı, verilen ifadenin olası tüm durumlarda incelenmesi, karĢı

örneğin sunulması, bir çeliĢki elde edilmesi vb. uygulamalar bu

kapsamda ele alınmaktadır.

3. Kullanılan muhakemeler, uygun olan ve bilinen veya sınıftaki

öğrencilerin kavramsal olarak algılayabileceği düzeyde olan aktarım,

temsil yolları (modes of argument representation) ile sunulur.

Matematiksel olarak sözel anlatım, sembolik dil kullanımı, tablo,

diyagram kullanımı bu kapsamda ele alınmaktadır.

Stylianides (2007a) ortaya koyduğu bu tanımlamayı, matematik disiplini ile uyumlu

olan ve ispatı tüm yaĢ kuĢaklarına uygun bir içerikte ele alan, ampirik verilerin

ispat olarak kabul edilmesini engelleyen ve öğretim sürecinde ispatın nasıl ele

alınacağına yönelik öğretmenlere yol sunan bir tanım olarak nitelemektedir.

1.5. AraĢtırmanın Amacı Ve Problem Durumu

Akıl yürütme ve ispat lise müfredatında süreç kazanımı olarak

değerlendirilmektedir. 9. sınıf düzeyinde bazı teoremlerim ispatı ele alınırken, 11.

sınıfta ispat yöntemlerine değinilmektedir. Yakın süreçte yapılan bazı çalıĢmalar

ispata yönelik içeriklerin lise matematik öğretmenlerince sınıfta uygulanmadığını

da ortaya koymaktadır (ÇalıĢkan, 2012; Ġlhan, 2006). Ortaokul düzeyinde ise

ispata yer verilmemekte, akıl yürütme becerisi içerisinde yer alan

değerlendirmelerde, ispata yönelik dolaylı çıkarımlar yapılabilmektedir. Bu tablo

üniversite öncesi öğretim kademelerinde ispat öğretimine ülkemizde yeterince

önem verilmediğini, ispat öğretiminin yeterli düzeyde ele alınmadığını ortaya

koymaktadır. Buna karĢın yakın geçmiĢte ispatın matematik öğretiminin temel bir

bileĢeni olması gerektiğini ve her yaĢ kuĢağının, kendi yaĢına uygun bir Ģekilde

ispat yapabileceğini savunan yaklaĢımlarda artıĢ gözlenmektedir. ABD, Ġngiltere

22

gibi bazı ülkelerin müfredatlarında ispat uygulamaları erken dönemlerde ele

alınabilmekte, anaokulundan itibaren öğrencilerin ispat algıları ve performansları

araĢtırmalara konu olabilmektedir.

Tüm bu araĢtırmalar, ispatı matematikte anlamlı öğrenmenin sağlanması ve

ezberin önlenmesi açısından önemli bulmaktadır. Öğrenciye sadece doğru

matematiksel bilgiyi sunmak değil, bu bilginin neden doğru olduğunu da

öğretebilmek önemlidir. Ġspata yönelik matematiksel muhakemenin geliĢimi erken

yaĢ dönemlerinde, hatta anaokulunda baĢlamaktadır. Bu nedenle anaokulundan

baĢlayarak öğretim süreci içerisinde ispata yönelik muhakemeye yer vermek, ispat

bilgisinin inĢasında öğrencilere kolaylık sağlayacaktır. Öğretim sürecini bu

bağlamda düzenlemek ve çeĢitli öneriler sunabilmek için her bir yaĢ kuĢağının

ispata yönelik yaklaĢımını, ispatı ne düzeyde algılayıp, yapabileceklerini

betimleyebilmek gerekir. Ülkemizde bu alanda yapılmıĢ çalıĢmalar oldukça

sınırlıdır. Türkiye'deki öğrenciler için "erken yaĢ dönemi ve ispat iliĢkisi" pek

bilinemeyen bir baĢlıktır.

Bahsi geçen sorunlara bir nebze cevap üretebilmek için bu araĢtırmada 7. sınıf

öğrencilerinin ispatı algılama düzeyleri ve ispat yapabilme becerilerini

betimleyebilmek amaçlanmıĢtır. Bu doğrultuda, 7. sınıf öğrencilerine ispatın

öğretilebilirliği irdelenmiĢtir, ispat öğretiminin ortaokul düzeyinde ne oranda ele

alınabileceği de araĢtırılmıĢtır.

Ortaokul öğrencileri somut düĢünceden soyut düĢünceye geçiĢ aĢamasında yer

alır, 6. sınıftan itibaren ise cebir öğrenme alanına yoğun olarak girer, sembolik dili

daha çok kullanmaya baĢlarlar. 7. sınıfta ise sembolik dil kullanımı pekiĢmektedir.

Bu nedenle de araĢtırmacı 7. sınıf öğrencilerinin formel ispatı belirli bir düzeyde

algılayıp, yapabileceklerini düĢünerek araĢtırmayı kurgulamaya baĢlamıĢtır.

Bu araĢtırmada ispat kavramıyla birlikte “doğrudan ispat”, “durum yoluyla ispat”,

“aksine örnek vererek ispat” ve “tüketerek ispat” yöntemleri de ele alınmıĢtır.

Sınıfta gerçekleĢtirilen uygulamanın ardından bu yöntemlerin hangilerinin

öğrencilerce rahatça algılanıp, uygulanabildiğine bakılmıĢtır. Öğrencilerin

performansları ile birlikte, bu ispat yöntemlerini uygularken karĢılaĢtıkları zorlukları

da betimlemek hedeflenmiĢtir.

23

Bu amaçlar doğrultusunda, 7. sınıf öğrencilerine ispat kavramının ne oranda

kazandırılabileceği sorusuna yanıt üretebilmek, ele alınan ispat yöntemlerine

yönelik öğrencilerin performansları ve ispat yaparken zorlandıkları noktaları

betimlemek bu araĢtırmanın problem durumunu oluĢturmaktadır. Bu araĢtırmada

aĢağıdaki sorulara yanıt aranacaktır:

1. Uygulamaya dâhil edilen 7. sınıf öğrencilerinin ispata yönelik algıları nasıl

değiĢmiĢtir?

2. Uygulamaya dâhil edilen 7. sınıf öğrencilerinin araĢtırmada ele alınan ispat

yöntemlerine yönelik beceri ve performansları nasıl değiĢmiĢtir?

1.6. AraĢtırmanın Önemi

Son zamanlarda ispatın matematik ve matematik öğretimindeki yerine yönelik

vurgular artarken, atfedilen bu önemin karĢılığı öğretim programlarında

gözlenememektedir. Ġspatın matematik programlarındaki ağırlığının düĢük oluĢuna

ek olarak bir diğer sorun da ülkemizde ilköğretim düzeyinde ispat öğretimine

yönelik çalıĢmaların yetersizliğidir. “Ġspat nedir, nasıl bir akıl yürütme gerektirir?”,

“Ortaokul öğrencileri ispatı ne oranda kavrayabilirler ve ispat yapabilirler mi?”,

“Ortaokul öğrencileri ispat yöntemlerini kavrayabilir, uygulayabilir mi?” vb. sorulara

bugün ülkemizde rahatlıkla yanıt verilememektedir.

Bugün Türkiye'de lise öncesi yaĢ dönemleri ile ispata yönelik yapılan çalıĢmalar

oldukça sınırlıdır. Ortaokul öğrencileri ile yapılan çalıĢmaların bir kısmı

öğrencilerde ispat düĢüncesinin geliĢimine ve öğrencilerin ispat yapabilme

seviyelerine odaklanmıĢ (Arslan, 2007; Zaimoğlu, 2012; ÇalıĢkan, 2012), bir kısmı

ise öğrencilerin ispata yönelik düĢüncelerini belirlemeye çalıĢmıĢtır (Albayrak

Bahtiyari, 2010). Tüm bu çalıĢmalar verili öğretim süreçleri içerisinde

gerçekleĢmiĢ, öğrencilere ispat becerilerini geliĢtirmek doğrultusunda bir

müdahalede bulunulmamıĢtır. Ġspatın müfredatta yer almıyor oluĢu da dikkate

alındığında var olan bu çalıĢmalar, öğrencilere ispat becerilerini geliĢtirmek

doğrultusunda bir öğretim uygulandığında, onların ispat yapıp yapamayacağına,

ispata yönelik kavrayıĢlarının geliĢip geliĢmeyeceğine yanıt üretememektedirler.

Literatürde bu kapsamda önemli bir eksiklik bulunmaktadır.

24

Bu araĢtırma ile ispat öğretiminin 7. sınıf düzeylerinde uygulanabilirliği ele

alınarak, bu alanda var olan boĢluk giderilmeye çalıĢılacaktır. Bu nedenden ötürü

de alana özgün bir katkı sunacağı düĢünülmektedir. Bu araĢtırmadan elde edilen

sonuçların yeni araĢtırmalara ve öğretim programına yönelik katkılara ıĢık tutacağı

umulmakta ve bu doğrultudaki yaklaĢımlara temel oluĢturacağı düĢünülmektedir.

1.7. AraĢtırmanın Sayıtlıları

Bu çalıĢmada öğrencileri daha iyi betimleyebilmek amacıyla uygulanan baĢarı

testinin, öğrencilerin gerçek baĢarı durumlarını ortaya koyduğu varsayılmıĢtır.

Ayrıca öğrencilerin veri toplamak amacıyla uygulanan sınavlarda performanslarını

ortaya koydukları, gerçekleĢtirilen görüĢmelerde içtenlikle ve gerçek görüĢlerini

yansıtacak biçimde cevap verdikleri de varsayılmaktadır.

1.8. AraĢtırmanın Sınırlılıkları

1. Bu araĢtırma kapsamında uygulanan öğretimin 8. sınıflar için de uyun

olduğu düĢünülmektedir. Buna karĢın 8. sınıf öğrencileri yılsonunda

girecekleri merkezi sınav nedeni ile bu araĢtırma kapsamına alınamamıĢtır.

2. AraĢtırma sürecinin baĢında araĢtırma kapsamında doğrudan ispat, karĢı

örnek vererek ispat, tüketerek ispat, durum yolu ile ispat ve çeliĢki yolu ile

ispat yöntemleri yer almaktaydı. GerçekleĢtirilen pilot uygulamanın ardından

çeliĢki yolu ile ispat yöntemi uygulama sürecinin zaman açısından sınırlı

olması ve diğer ispat yöntemlerine daha çok zaman ayrılması gerektiği

gerekçeleri ile araĢtırma kapsamı dıĢına alınmıĢtır.

3. Bu araĢtırmada ispat becerisinin geliĢimine yönelik uygulanan öğretim

yönteminin etkinliği irdelenmemektedir. AraĢtırmada bazı ispat

yöntemlerinin öğretilebilirliğine odaklanılmıĢtır.

25

1.9. Tanımlar

Önerme: Matematikte doğru veya yanlıĢ, kesin hüküm bildiren ifadelerdir.

Önermeler p, q, r gibi harflerle gösterilir.

Bu araĢtırmada uygulama sürecinde ele alınan önermeler, sınıfta ve sınavlarda

matematiksel ifadeler olarak adlandırılmıĢtır.

Teorem: Doğruluğu ispatlanabilen önermelerdir.

Aksiyom: Ġspat edilmesine gerek duyulmadan doğru olarak kabul edilen

önermelerdir.

p q Önermesi: Bu önerme bileĢik bir önermedir ve “p ise q” olarak okunur. “p”

önermenin varsayımı, hipotezidir. “q” ise sonuç, yani hükümdür.

Bu çalıĢma kapsamında ele alınan ispat yöntemleri Ģunlardır:

Doğrudan Ġspat Yöntemi: p q önermesinin ispatı için p hipotezinin

doğruluğundan hareket edilerek, q hükmünün doğru olduğu, bilinen tanım, teorem

ve kurallar kullanılarak gösterilir.

Tüketerek Ġspat: Verilen önerme, ilgili kümenin tüm elemanları tek tek denenerek

doğrulanır. Önermenin doğru olması için, tüm elemanların önermeyi doğrulaması

gerekir.

KarĢı Örnek Vererek Ġspat: Verilen önermenin yanlıĢ olduğunu gösteren en az bir

örnek bularak gerçekleĢtirilen ispat türüdür.

Durum Yolu ile Ġspat: Bu ispat yönteminde, önermenin tanımlandığı kümede tüm

durumlar tek tek denenerek önermenin doğru olduğu gösterilir.

ÇeliĢki Yolu ile Ġspat: Bu yöntemde p q önermesinin ispatı için

(p q) )''( qp denkliğinden yararlanılır ve )'( qp önermesinin yanlıĢ olduğu

gösterilir. BaĢka bir söylemle önermenin ispatında, p hipotezi ile q hükmünün değili

birlikte doğru varsayılır ve bu birleĢik önermenin yanlıĢ olduğu gösterilir.

26

2. ĠLGĠLĠ ARAġTIRMALAR

Bu bölümde ispat ile ilgili yapılan çalıĢmalara yer verilmiĢtir.

2.1. Ġspat Ġle Ġlgili Türkiye’de Yapılan AraĢtırmalar

Her ne kadar erken yaĢ dönemlerinde öğretim süreci içerisinde ispata pek yer

verilmese de yakın dönemde yapılan çalıĢmalarda ispatın matematik öğretim

sürecinin tüm kademelerinde ele alınabileceğine yönelik vurgu artmaktadır. Buna

karĢın ülkemizde erken yaĢ dönemlerinde ispat öğretimine yönelik çok fazla

çalıĢma bulunmamaktadır.

Bu metnin yazıldığı süreçte ortaokul düzeyinde ispatı konu alan 5 lisansüstü tez

çalıĢması mevcuttur (Arslan, 2007; Albayrak Bahtiyari, 2010; ÇalıĢkan, 2012;

Demir, 2011; Zaimoğlu; 2012). Bu çalıĢmalar alana özgün katkılar sunmakla

birlikte, sadece 5 tez ile sınırlı kalınmıĢ olunması, erken yaĢ kuĢağında ispat

öğretimine yönelik Türkiye‟de yapılan çalıĢmaların sınırlı oluĢunu bir kez daha

ortaya koymaktadır.

Arslan 2007 yılında tamamladığı doktora tez çalıĢmasında, ilköğretim 6., 7. ve 8.

sınıf öğrencilerinin muhakeme etme ve ispatlama düĢüncesinin geliĢimi üzerine bir

çalıĢma yürütmüĢtür. Tarama modelinde düzenlenen çalıĢmada öğrencilerin

zihinsel geliĢimine uygun düĢen ispat düzeyini belirleyebilmek amacı ile 5 sorudan

oluĢan bir veri toplama aracı kullanmıĢtır. GerçekleĢtirilen araĢtırmanın

sonucunda, literatürde bu yaĢ kuĢağı ile yapılan çalıĢmalara oranla 6, 7 ve 8. sınıf

öğrencilerinin muhakeme etme düzeylerinin düĢük olduğu, verili bir matematiksel

ifadenin doğruluğunu kanıtlamada beklenen stratejileri yeteri düzeyde

kullanamadıkları ve öğrencilerin kullandıkları stratejiler ile sınıf düzeyleri arasında

bir iliĢki olduğu görülmüĢtür. Biraz daha ayrıntılandırmak gerekirse; soruda verili

kuralı (cebirsel gösterim) kullanarak doğru yanıta ulaĢan öğrenci sayısında sınıf

düzeyi ilerledikçe bir artıĢ gözlenmektedir. Bu oran 6. sınıfta %35,8 iken 8. sınıfta

%61,7‟ye çıkmıĢtır. Yine de soruda verilen cebirsel kurala rağmen, çözümü

cebirsel olarak yeterince ifade edemeyen ve Ģekil üzerinde sayma iĢlemi ile doğru

yanıta ulaĢan öğrenci sayısı da azımsanmayacak düzeydedir. Sınıflara göre

oranları % 13,4 ile % 31,8 arasında değiĢen bu öğrencilerde görsel doğrulama

27

eğilimi baskındır. Uygulanan diğer sorularda da öğrencilerin muhakeme etme

düzeyleri düĢük olmakla birlikte, cebir kullanarak genellemeye ulaĢma, birkaç

durumu denemenin ispat olmadığının farkında olma ve denklem kullanarak doğru

sonuca ulaĢma eğilimleri de düĢük çıkmıĢtır.

Albayrak Bahtiyari'nin 2010 yılında tamamladığı yüksek lisans tezinde ise 8. sınıf

öğrencilerinin mevcut matematik eğitimi ve matematik eğitiminde ispatın önemi

hakkındaki görüĢleri betimlenmeye çalıĢılmıĢtır. Ayrıca öğrencilerin ilköğretim

matematik müfredatında karĢılaĢtıkları ispatları veya muhakemeleri anlamada

yaĢadıkları zorluklar; ispat öğrenirken kullandıkları teknikleri yeterli görüp

görmedikleri ve ne tür muhakeme Ģekillerini kullandıkları da araĢtırılmıĢtır. Bu

araĢtırmada veriler, öğrencilere likert tipi anket uygulanarak elde edilmiĢtir.

AraĢtırmanın sonucunda öğrencilerin birçoğunun ispatın anlamından,

gerekliliğinden, matematiksel geliĢimleri açısından öneminden emin olmadıkları ve

buna ilaveten ispat ve muhakeme açısından yeterli deneyimlere sahip olmadıkları

görülmüĢtür. Yapılan anket sonucunda öğrencilerin %60‟a yakınının problem

çözmek, hesaplama yapmak, matematiksel sembolleri öğrenmek gibi genel

matematiksel becerilerinin olmadığı veya bu becerilere yönelik kuĢkularının olduğu

görülmektedir. Öğrencilerin önemli bir bölümü matematiksel bir sonuç açıkça

doğruysa ispatlamanın anlamı olmadığını, sadece örnekler yardımıyla da bir

önermenin doğru olduğunu anlayabileceklerini ifade etmiĢlerdir.

Benzer bir Ģekilde 8. sınıflarla çalıĢan Zaimoğlu, 2012 yılında tamamladığı yüksek

lisans tezinde ilköğretim 8. sınıf öğrencilerinin geometrik ispat ve akıl yürütme

sürecini, ispat temsil Ģekillerine olan eğilimlerini tümevarım ve tümdengelimsel

muhakeme doğrultusunda incelemeyi amaçlamıĢtır. Bu amaç doğrultusunda veri

toplama aracı olarak, 6. ve 7. sınıf geometri öğrenme alanı ve kazanımlarına

uygun, geometri temelli, üçgen ve açıların daha ön planda tutulduğu toplam 8 açık

uçlu sorudan oluĢan soru formu kullanılmıĢtır. AraĢtırmanın sonucunda,

öğrencilerin örneğe, deney ve gözleme dayalı tümevarımsal yaklaĢımı daha çok

tercih ettikleri, cebirsel ispatı tercih etmedikleri, bilinenlere dayalı doğrudan ispatı

kısmen kullanabildikleri ancak dolaylı ispata dayalı akıl yürütme sürecini

neredeyse hiç bilmedikleri ortaya çıkmıĢtır. AraĢtırmada ulaĢılan bir diğer sonuç

öğrencilerin doğru bir önermeyi doğrulamayı az da olsa yapabilirken, yanlıĢ bir

önermeyi çürütmede baĢarısız olduğudur. Bu durum araĢtırmacı da öğrencilerin

28

karĢıt bir örnek sunma ve çeliĢkiye ulaĢma yöntemlerini bilmedikleri fikrini

oluĢturmuĢtur. Öğrenciler geçersiz bir önermeyi çürütmeyi denememiĢlerdir.

ÇalıĢkan ise 2012 yılında tamamladığı yüksek lisans tezinde iki yönlü bir çalıĢma

yürütmüĢtür. ÇalıĢmasının ilk kısmında ilköğretim 6, 7, 8. sınıf matematik ders

kitaplarındaki etkinlikleri Balacheff‟in ispat düzeylerine göre analiz etmiĢtir. Ġkinci

kısımda ise ilköğretim 8. sınıf öğrencilerinin matematik baĢarılarıyla ispat

yapabilme seviyelerinin arasındaki iliĢkiyi incelemiĢtir. Bu doğrultuda öğrencilerin

SBS sonuçları ile araĢtırmacının iki açık uçlu sorudan oluĢan ispat sınavının

verileri karĢılaĢtırılmıĢtır. AraĢtırmanın ilk boyutunda, ders kitaplarının incelendiği

kısımda matematik öğretim programının öğrencilerin ispat becerilerini geliĢtirmede

yeterli düzeyde olmadığı görülmüĢtür. Ders kitaplarında yer alan etkinlikler

Balacheff‟in düzeylemesine göre alt gruplarda yoğunlaĢmıĢ, örneğin en üst düzey

olan düĢünce deneyine yönelik hiçbir etkinliğin kitaplarda yer almadığı

görülmüĢtür. Tüm ders kitaplarında yer alan etkinlikler genellikle, saf deneycilik

(naive empricism - acemi deneycilik) ile önemli deney (crucial experiment - kritik

deneyim) düzeylerinde yoğunlaĢmaktadır. Bu düzeyler ispat düĢüncesinin geliĢimi

açısından en alt seviye olan pragmatik ispat düzeyinde yer almaktadır.

Genellemeye ulaĢarak ispat yapma çabası yerine örnekle doğrulama eğilimi

taĢımaktadırlar. Türkiye‟de 2000 yılındaki müfredat değiĢikliği kapsamında yeniden

düzenlenen kitaplarda tümdengelim ispat yolu uygulanmaya çalıĢılmıĢ,

ispatlanması istenen durumun öğrencinin bulmasını, keĢfetmesini, öğrencinin eski

bilgileri üzerinde muhakeme yapmasını sağlamak yerine etkinliklerin baĢında bu

durum açıkça verilerek öğrenci sadece doğrulama yapmaya yönlendirilmektedir.

Bu durum da öğrencinin muhakeme yapması, kendi bilgilerinden yola çıkarak

genellemeye ulaĢması yollarını tıkayabilmektedir.

AraĢtırmanın ikinci kısmında ise öğrencilerin ispat becerileri ile SBS sınavından

aldıkları puanların birbirlerine paralel olduğu görülmüĢtür. Öğrencilerin ispat düzeyi

ile SBS baĢarıları arasında anlamlı bir iliĢki vardır. Bunun dıĢında öğrencilerin

ispat performanslarına bakıldığında, öğrencilerin yanıtlarının alt ispat düzeylerinde

yoğunlaĢtığı görülmektedir. 8. sınıf öğrencilerinin üst seviyeler olan sosyal örnek

ve düĢünce deneyi seviyelerinde ispat yapmaları beklenirken, çoğu saf deneycilik

ve önemli deney seviyelerinde kalmıĢtır. Ayrıca, öğrencilerin çoğunun ispat,

doğrulama, sorgulama gibi kavramları bilemediği görülmüĢtür.

29

Bu çalıĢmalar dıĢında literatürde yer alan tezler lise ve özellikle üniversite

düzeyinde (yoğunluklu olarak öğretmen adayları ile yapılan çalıĢmalar)

yoğunlaĢmıĢtır. Yukarıda ele alınan çalıĢmalar ortaokul ders kitaplarının çocukta

ispat düĢüncesinin geliĢtirme noktasındaki eksikliklerini ortaya koymakla birlikte

öğrencilerin ispata yönelik algı ve performans düzeylerine yönelik de bilgiler

sunmaktadır. Öğrencilerde 6. sınıftan 8. sınıfa doğru cebirsel ifadeleri kullanma

eğiliminde bir artıĢ gözlenmektedir, bu eğilim öğretim programında cebirsel

ifadelerin kapladığı alanla doğru orantılıdır. Buna karĢın öğrenciler gerek verilen

önermeyi ispatlamada, gerekse cebirsel ifadeyi kullanmada beklenen düzeyde

değildirler. Öğrenciler ispatı kavrayamamakta, genellemeye ulaĢmak için örnekle

doğrulamayı veya deney ve gözleme dayalı baĢka tümevarımsal yaklaĢımları

tercih etmektedirler. Buna karĢın ele alınan bu çalıĢmalarda öğrencilere ispat

öğretimi üzerinden hiçbir müdahalede bulunulmamıĢ veya öğrenciler ispata yönelik

algılarını geliĢtirecek hiç bir matematiksel süreç içerisine dâhil edilmemiĢlerdir.

Ġspata yönelik algıları veya performans durumları verili öğretim süreci içerisinde

sınanmıĢ ve betimlenmiĢtir. Buna karĢın ortaokul öğretim programı ve hazırlanan

ders kitapları NCTM‟nin (2000) bir süreç standardı olarak ele aldığı ispata yönelik

vurguyu çok sınırlı tutmaktadır. Öğretim sürecimiz içerisinde erken yaĢ

kuĢağındaki öğrenciler ispat düĢüncesinin geliĢimine katkı sağlayacak etkinliklerle

ve matematik dersi kapsamında ispat kavramıyla karĢılaĢmamaktadır. Verili bu

durum lise öncesi yaĢ kuĢağının ispat yapamayacağı anlamını taĢımamaktadır.

Ülkemizde sınırlı sayıda da olsa, küçük yaĢ kuĢağının ispata yönelik

performansını, algısını ortaya koyan baĢka çalıĢmalar da mevcuttur. 2007-2009

yılları arasında, EskiĢehir'de gerçekleĢtirilen ve TÜBĠTAK tarafından desteklenen

EskiĢehir Matematik Okulu (EMO) projesinde ilköğretim 4, 5, 6 ve 7. sınıflar ile

çalıĢılmıĢtır. Bu projenin iki temel hedefi Ģu Ģekilde belirtilmiĢtir; öğrencilerin

matematikle ilgili olumlu tutum geliĢtirmelerini ve matematik süreçlerini

tanımalarını sağlamak (Erdoğan vd., 2012). Erdoğan ve Erdoğan (2013) bu proje

kapsamında gerçekleĢtirdikleri bir diğer çalıĢmalarında ise Guy Brousseau (2002)

önderliğinde geliĢtirilmiĢ olan Didaktik Durumlar Teorisi ile uyumlu bir etkinliğin

analizine yer vermiĢlerdir. Didaktik Durumlar Teorisi (DDT) öğrenme ortamı için

adidaktik ortam tasarımı sunar ve matematiksel süreçleri sistemli bir Ģekilde ele

alır. ÇıkıĢ noktasında matematiğin öğretileceği ortam ve durumların öğrencilere

30

kendi bilgilerini oluĢturmalarını sağlayacak Ģekilde tasarlanması yer alır

(Brousseau, 2002). Hipotez kurma, deneme-yanılma, akıl yürütme, yorumlama

vb. Ģekildeki matematiksel süreçler DDT bağlamında 5 ana baĢlık altında toplanır;

eylem, formüle etme, doğrulama, kurumsallaĢtırma ve bağlamdan çıkarma. Bu

süreçler içerisinde hipotez kurma, hipotezi test etme ve ispatlama önemli bir yer

tutar. Brousseau (2002) ilköğretim seviyesindeki öğrencilerin üç tip ispata

baĢvurduklarını belirtir; pragmatic ispat (deneysel sonuçlara dayanır - oyun

oynamak gibi), semantik ispat (bağlamdan anlam çıkarılmaya çalıĢılır), entellektüel

ispat (mantıksal çıkarımlara dayanır). Entellektüel ispat öğrencilerin mantıksal

çıkarımlar yoluyla genellemeye ulaĢtıkları bir ispat iken semantik ve pragmatic

ispatlar büyük oranda deneme/yanlıma ve somut deneyimlerden yola çıkarak

yapılan doğrulamalardır. Erdoğan ve Erdoğan (2013) bu çalıĢmalarında 20

ilköğretim beĢinci sınıf öğrencisi ile, DDT'ye uygun olarak tasarlanmıĢ bir sınıfta 75

dakika süren bir etkinlik gerçekleĢtirmiĢlerdir. Etkinlik, Brousseau'nun

çalıĢmalarında yer alan "Kim önce 20 diyecek?" isimli, oyun temelli bir etkinliktir.

Oyun çalıĢmada Ģu Ģekilde tanımlanmıĢtır:

"Bir oyuncu 1 veya 2 diyerek oyuna başlar. Diğer oyuncu rakibinin söylediği sayıya 1 veya 2 ekleyebilir. Oyuncular bu şekilde bir birlerinin söyledikleri sayıya 1 veya 2 ekleyerek yeni bir sayı söylerler. İlk önce 20 sayısını söyleyebilen oyuncu oyunu kazanır."

Bu etkinliğin amacı öğrencilere oyunu kazanmak için hipotez öne sürmek ve bu

hipotezleri doğrulamak veya çürütmek olarak açıklanmıĢtır. 75 dakika süren

etkinlik video ve ses kaydına alınmıĢ, bu kayıtlar çözümlendikten sonra iki

araĢtırmacı tarafından DDT'nin aĢamalarına uygun olarak analiz edilmiĢtir. Oyun

boyunca öğrenciler 13 hipotez geliĢtirmiĢ, farklılaĢan sürelerle bu hipotezler

üzerine tartıĢmıĢlardır. 3 Hipotez çeĢitli nedenlerle değerlendirme dıĢında

bırakılmıĢtır. Geri kalan 10 hipotezden dokuzunda öğrenciler pragmatik ispat

kullanmıĢ, sadece 1'inde semantik ispata baĢvurmuĢ, 5 hipotezde yürütülen

tartıĢmada entellektüel ispata da baĢvurulmuĢtur. Bazı hipotezlerde öğretmenin

yönlendirmesi ile ispat türleri arasında geçiĢ de yaĢanmıĢ, örneğin öğrenciler

pragmatik ispat sunarken öğretmenleri tarafından yönlendirilerek entellektüel ispatı

da geliĢtirebilmiĢlerdir.

Öğrenciler etkinliğin baĢında temel bir matematiksel süreç olan deneme/yanılma

stratejisi ile oyunu kazanmaya çalıĢmıĢlardır. Öğrenciler oyun boyunca bu stratejiyi

31

kullanmaktan vazgeçmemekle birlikte süreç içerisinde kullanım sıklıkları azalmıĢ,

farklı matematiksel süreçleri de denemeye baĢlamıĢlardır. Bu süreçlerden bir

tanesi de bir durumu matematiksel olarak ifade etme sürecidir. Bu süreç formüle

etme sürecinin temelini oluĢturur. Etkinlik boyunca en öne çıkan matematiksel

süreç ise doğrulama sürecinin temelini oluĢturan ispat süreci olmuĢtur.

GerçekleĢen bu ispat sürecinde ise araĢtırmacıların oyun oynayarak tezini kabul

ettirme veya karĢı tarafın tezini çürütmeye dayanan yöntem olarak adlandırdığı

pragmatik ispat yöntemi yoğunlukla kullanılmıĢtır. Buna ek olarak mantıksal

argümanlarla bazı hipotezlerin ispatlanması veya çürütülmesine dayanan

entelektüel ispat yöntemi de azımsanmayacak düzeyde kullanılmıĢtır.

Tüm bu çalıĢmalar, ispat içeren matematiksel süreçlerin matematik öğrenimi

açısından önemli olduğunu vurgulamakla birlikte lise öncesi yaĢ kuĢağının ispatı

kavramaya yönelik eksikliklerini de ortaya koymaktadır. Bu çalıĢmalara ek olarak

ülkemizde gerçekleĢtirilen ve daha ileri yaĢ kuĢakları ile yapılan çalıĢmalara

bakıldığında, lise öğrencilerinin de ispata yönelik süreçlerde ciddi sıkıntılar

yaĢadıkları görülmektedir.

Ġspat yapmak matematiksel düĢünme sürecinin önemli bir bileĢenidir. Arslan ve

Yıldız (2010) gerçekleĢtirdikleri bir çalıĢmada 11. Sınıf öğrencilerinin matematiksel

düĢünmenin özelleĢtirme, genelleme, varsayımda bulunma ve ispatlama olarak ele

aldıkları aĢamalarıyla ilgili yaĢantılarını ortaya koymayı amaçlamıĢlardır. Bu

amaca ulaĢmak için nitel araĢtırma yöntemini tercih etmiĢler ve matematiksel

düĢünme süreçlerinin bu aĢamalarını dikkate alan, her biri 9‟ar sorudan oluĢan üç

ayrı çalıĢma yaprağı geliĢtirmiĢlerdir. GerçekleĢtirdikleri pilot çalıĢmanın ardından

bu çalıĢma kâğıtlarını 10‟u kadın, 14‟ü erkek olmak üzere 24 öğrenciye

uygulamıĢlardır. ÇalıĢmanın sonuçları incelendiğinde matematiksel düĢünmenin

aĢamaları ilerledikçe öğrenci baĢarısının düĢtüğünü görülmektedir. Öğrenciler

özelleĢtirme ile ilgili soruları genel olarak doğru yapmakla birlikte genelleme

aĢamasında sayılar veya değiĢkenler arasındaki iliĢkiyi daha çok sözel olarak

ifade etmiĢ ve bu iliĢkiyi matematiksel sembollerle ifade etmede zorlanmıĢlardır.

Varsayımda bulunmayla ilgili olarak ise öğrencilerin çoğunun varsayımlarını sözel

Ģekilde ifade ettikleri görülmüĢtür. Bu durum araĢtırmacılar tarafından öğrencilerin

varsayımda bulunma konusunda yeterli olmadıkları Ģeklinde yorumlanmıĢtır.

Ġspatlamayla ilgili olarak ise ispat soruları büyük oranda boĢ bırakıldığı,

32

öğrencilerin ispat yapma ile ilgili büyük sıkıntılar çektiği gözlenmiĢtir. Öğrenciler

oluĢturdukları varsayımları daha çok aritmetik (yani değiĢkene değer vererek) ya

da geometrik olarak ispat etme eğiliminde olmuĢlardır. Öğrenciler doğrulama

yapmak için varsayımın niçin doğru olduğunu araĢtırmak yerine, Ģekil çizerek veya

değiĢkene değer vererek varsayımı özel durumlarda incelemeyi, örneklemeyi

tercih etmiĢlerdir. Sonuç olarak, ilköğretim ve ortaöğretimdeki öğrencilerden,

varsayım ve iddia oluĢturabilmeleri ve onları değerlendirebilmeleri, matematiksel

iddiaları formüle ederek tümdengelimli ve tümevarımsal muhakemeyi

kullanabilmeleri beklenirken bu çalıĢmada matematiksel düĢünme sürecinde, bir

aĢamadan bir sonrakine geçerken öğrenci baĢarısının düĢtüğü görülmüĢtür.

Özer ve Arıkan (2002) ise gerçekleĢtirdikleri çalıĢmada lise 2. sınıf (10. sınıf)

öğrencilerinin matematik derslerinde ispat yapabilme becerileri ile sahip oldukları

ispat düzeylerini tespit etmeye çalıĢmıĢlardır. Ġspat düzeyini belirlemekte

Miyazaki‟nin (2000) ve Balacheff‟in (1988) düzeylendirmelerini temel almıĢlardır.

AraĢtırma 110 lise öğrencisine 6 sorudan oluĢan açık uçlu sınav uygulanarak ve

daha sonra 3 ayrı, lise 2 öğrenci ile görüĢme yapılarak yürütülmüĢtür.

AraĢtırmanın sonucunda öğrencilerin hemen hemen tamamının amaçlanan

düzeyde tümdengelim ve tümevarım yoluyla ispat yapamadıkları görülmüĢtür.

Öğrenciler açık uçlu soruları genellikle sayısal örnek deneyerek doğrulamıĢtır.

Öğrenciler tüm sorularda çoğunlukla Miyazaki‟ye göre C düzeyinde (tümevarımsal

muhakeme içeren, çizimler, örnekler veya hareket edebilen objelerin kullanıldığı

ispat), Balacheff‟e göre pragmatik düzeyde (en alt seviye, örnek vererek yapılan

doğrulamalar) kalmıĢlardır. Bu çalıĢmada yer alan soruların önemli bir bölümü,

ortaokul düzeyine uygundur ve bu tez kapsamında uygulamada yer alan sorularla

paralellik göstermektedirler (Soru 3: Ġki tek sayının toplamının bir çift sayı

olduğunu gösteriniz, Soru 4: 3 ardıĢık sayının toplamı ortadaki sayının 3 katıdır,

Soru 5: 5 ardıĢık sayının toplamı ortadaki sayının 5 katıdır, Soru 6: a bir çift sayı,

b bir tek sayı ise a2 + b2‟ nin tek sayı olduğunu gösteriniz). Bu soruları tek tek

incelersek; 3. soruda öğrencilerin % 76,4‟ü soruyu örnek vererek doğrularken

sadece % 10‟u ifadeyi tam olarak doğru bir Ģekilde gösterebilmiĢlerdir. 4. soruda

öğrencilerin % 46,4‟ü cebir kullanarak ifadeyi ispatlarken %43,6‟sı ifadeyi örnekle

doğrulama eğiliminde olmuĢtur. 5. soruda 4. soruya benzer bir eğilim ortaya

çıkmıĢ, öğrencilerin % 48,2‟si ifadeyi cebir kullanarak ispatlamıĢtır. % 39,1‟i ise

33

ifadeyi örnek vererek doğrulamıĢtır. 6. soruda ise öğrencilerin sadece % 13,6‟sı

ifadeyi ispatlarken % 66,4‟ü ifadeyi örnekle doğrulama eğilimi göstermiĢtir.

Uğurel ve Moralı (2010) çalıĢmalarında 11. sınıf öğrencilerinin matematik dersinde

ispat yapma etkinliği esnasındaki iletiĢim durumlarının incelemiĢlerdir. AraĢtırmada

nitel yöntem kullanılmıĢ ve tüm sınıf bazında yapılan tartıĢmalara odaklanılarak

söylem çözümlemesi gerçekleĢtirilmiĢtir. ÇalıĢmanın örneklemi özel bir fen

lisesinin 11. sınıfındaki 11 öğrenci ve o sınıfın matematik öğretmeninden

oluĢmuĢtur. TeĢvik edilmiĢ söylem (TES) aracılığıyla öğrencilerin ispat ve

ispatlamaya yönelik bilgileri, anlamaları hakkında verilere ulaĢılmaya çalıĢılmıĢtır.

Bu makalede araĢtırmacının kendisinin belirlediği bir teorem, sınıf içerisinde

matematik öğretmeni tarafından uygulanmıĢ ve bu teorem üzerine sınıfça

yürütülen tartıĢmaların ardından öğrencilerden bireysel olarak yazılı biçimde ispatı

yapmaları da istenmiĢtir. Öğretmen sadece tartıĢmaları yönlendirmiĢtir. Derste

gözlemci olarak bulunan Uğurel, ayrıca dersi video kaydına da almıĢtır. Derste “iki

rasyonel sayı arasında bir irrasyonel sayı vardır” teoremi tartıĢılmıĢtır. AraĢtırma

sonucunda, öğrencilerden ispatı doğru olarak tamamlayan ya da kabul edilebilir bir

yaklaĢım geliĢtiren olmamıĢtır. AraĢtırmacılar bu durumun oluĢmasına etki eden

unsurlardan birisinin öğrencilerdeki ön bilgi eksiklikleri ve kavram yanılgıları

olduğunu belirtmiĢlerdir. Ayrıca araĢtırma sonucunda öğrencilerin ispat yaparken

yaĢadıkları sorunlar Ģu Ģekilde ifade edilmiĢtir;

• Öğrenciler ispatın sadece sözel açıklamalar biçiminde yapılmayacağı

fikrini kavramakta,

• Ġspatlarda örnekler üzerinde deneme yapmanın baĢlangıç için yararlı

olmakla birlikte örnekleme yoluyla tek baĢına bir ispatın oluĢturulamayacağı

fikrini kabul etmekte,

• Ġspat yaparken teorem (ya da önerme) içerisinde geçen tanımların

ve özeliklerin sadece anlamlarını ifade ederek değil, aynı zamanda

matematiksel gösterimlerinin de kullanılmasının gerektiğini kabul etmekte,

• Ġspatın birbirini izleyen bir dizi mantıksal adım içerisinde verilenden

istenene ulaĢma süreci olduğunu kavramada ve bunu kendi ispat yapma

süreçlerine aktarmalarında önemli sıkıntılar yaĢamaktadırlar.

34

Öğrencilerin gerek ilkokul, gerek ortaokul, gerekse lise düzeyinde ispata yönelik

sahip oldukları bu eksiklikler ülkemizde matematik öğretiminin ispat ve ispat

yapmaya yönelik daha nitelikli hale getirilmesi ihtiyacını ortaya koymaktadır.

Öğrenciler ispat ile örnekle doğrulama arasındaki ayrımı net olarak ortaya

koyamamakta, ispat yapmaktan genellikle kaçınmakta, matematiksel dili, özellikle

de cebirsel ifadeleri kullanmaktan kaçınmaktadırlar.

2.2. Ġspat Ġle Ġlgili Yurt DıĢında Yapılan AraĢtırmalar

Matematik eğitiminde ispat matematiksel bilginin kavranması açısından önem

taĢımaktadır. Bu nedenle matematikte ezberin önlenmesi, kavramsal bilginin

inĢası ile anlamlı öğrenmenin gerçekleĢebilmesi açılarından da ispat matematik

öğretiminde kritik bir değer taĢımaktadır. Her ne kadar Ġspat, yaygın olarak ileri bir

matematik uğraĢ alanı olarak görülmüĢ ve hala görülüyor olsa da 2000 yılında

NCTM'in yayınladığı rapor ispat öğretimini her yaĢ kuĢağı için matematik

öğretiminin önemli bir bileĢeni olarak ele almıĢ ve bu alana yönelik ilgi ve

tartıĢmaların yoğunlaĢmasına neden olmuĢtur.

Genel olarak literatürde yer alan çalıĢmalara baktığımızda ispat öğretiminin her

düzeyde ele alınması gerektiğini savunan çalıĢmalar arasında, ilkokul düzeyinde

gerçekleĢtirilen çalıĢmalara da rastlanmaktadır (Zack, 1999 ; Maher, C. A. ve

Martino, A. M., 1996; Komatsu, 2010; Lampert, 1990; Tall, 1999) . Bu çalıĢmalarda

Zack (1999) ve Maher, Martino (1996) çocuklarda ispat fikrinin nasıl geliĢtiği

üzerinde dururken, Lampert (1990) ve Maher, Martino (1996) tümevarım ve

tümdengelimsel akıl yürütmelerin ilk ve ortaokul seviyesinde kazanılmaya

baĢlandığını ifade ederek NCTM‟i destekleyen veriler sunmuĢlardır.

Komatsu (2010) bir araĢtırmasında 5. sınıf öğrencileri ile karĢı örnek verme,

çürütme durumları üzerine çalıĢmıĢtır. ÇalıĢmada öğrencilerin doğru olduğunu ve

ispatladıklarını düĢündükleri varsayımlara araĢtırmacı karĢı örnekler sunarak,

öğrencilerin kendi varsayım ve ispatlarını tekrar gözden geçirmeleri sağlanmıĢtır,

araĢtırmada bu süreç analiz edilmiĢtir. Bu doğrultuda iki Japon beĢinci sınıf

öğrencisi ile örnek olay çalıĢması gerçekleĢtirilmiĢtir. Öğrencilerden önce “iki

basamaklı bir sayı ile bu sayının basamaklarının yer değiştirmesi ile oluşan

sayının toplamı” durumu ile uğraĢmaları, ardından da elde ettikleri sonuca

35

yönelik yorumlarda bulunmaları, bir genelleme yapmaları istenmiĢtir. Öğrenciler ilk

olarak 52, 26, 13 gibi basit sayıları ele almıĢ, bu sayıları verili kurala

uyguladıklarında sırasıyla 77, 88 ve 44 sonucuna ulaĢmıĢlardır. Bu denemeleri

sonucunda da elde ettikleri tüm sayıların birler ve onlar basamağının aynı sayıdan

oluĢacağı sonucuna ulaĢmıĢlardır. Bu sonucu ispatlamak için öğrenciler renkli

pulları kullanmıĢlardır. Daha sonra araĢtırmacı öğrencilerden kullandıkları yöntemi

85+58 iĢlemi için de uygulamalarını ister. Sunulan bu örnek öğrencilerin iddialarını

çürütmüĢ ve öğrencilerin yaklaĢımlarını gözden geçirmelerine neden olmuĢtur.

Öğrenciler ilk olarak iddialarının niçin yanlıĢ olduğu üzerine yoğunlaĢmıĢ, bunun

üzerine bir tartıĢma yürütmüĢlerdir. Daha sonra yine renkli pullarla 93+39 iĢlemini

modelleyerek ve bu iĢlem üzerinde tartıĢarak, verili iki sayının toplamının bu

sayıları oluĢturan rakamların toplamının 11 katı olduğu sonucuna ulaĢmıĢlardır.

AraĢtırmacının sunduğu karĢıt örnek öğrencilerin varsayımları ve ispatlarını

geliĢtirmeye yönelik bir katkı sunmuĢtur.

Maher ve Martino (1996) tek bir öğrenci, Stephanie ile 1. sınıftan 5. sınıfa süren, 5

yıllık bir örnek olay çalıĢması gerçekleĢtirmiĢlerdir. Bu çalıĢmalarında

Stephanie‟nin ispat düĢüncesinin geliĢimini incelemiĢlerdir. ÇalıĢmada birbirine

paralel ama yıllar ilerledikçe zorluk düzeyi bir miktar artan sorular kullanılmıĢtır. 5

yıla yayılan ve 11 etkinlikten oluĢan bu çalıĢmada bazen bu sorular sınıf içerisinde

tartıĢılmıĢ, bazen de sınıfta tartıĢılan soru üzerinden Stephanie ile bire bir

görüĢülmüĢ, sondan bir önceki etkinlikte ise küçük grup (Stephanie ve üç sınıf

arkadaĢı) görüĢmesi ile öğrenciler bir soru üzerine tartıĢmıĢ, birbirlerini ikna

etmeye çalıĢmıĢlardır. Bu çalıĢma kapsamında ele alınan sorular; 2. sınıfta "3 t-

shirt ve 2 pantolon ile kaç farklı giysi kombinasyonu yapılır?", 3. sınıfta " 3 t-

shirt ve 2 pantolon ile kaç farklı giysi kombinasyonu yapılır?", 4. sınıfta "İki

farklı renk küplerden oluşan ve 3 küp uzunluğunda kaç farklı kule yapılır?" -

bu sorunun daha sonra 4, 5 ve 6 küp uzunluğundaki kule versiyonları da ele

alınmıĢtır. Bu çalıĢmanın sonucunda 10 yaĢındaki Stephanie'nin verdiği yanıtı

doğrulamak için yürüttüğü tartıĢmalarda durum yolu ile ispat (proof by cases)

yöntemini keĢfederek ortaya koyduğu gözlenmiĢtir. Stephanie pek çok etkinlikte bu

yöntemi kullanmıĢ ve arkadaĢlarına yaptığı ispatı aktarmıĢtır.

Öğrencilerde matematiksel dilin kullanımı, ispat yazımının geliĢimi üzerine de

değindiği çalıĢmasında Cyr (2011), 6. sınıf öğrencileri ile tümdengelimsel

36

düĢüncenin geliĢimi üzerine çalıĢmıĢtır. ÇalıĢmasında geometrinin öğrencinin

somut düĢünceden soyut düĢünceye geçiĢindeki etkisine değinir, bu nedenle de

çalıĢmasını geometri alanı üzerine kurgular. Geometri alanında öğrencilerin temel

ispat yazım becerilerini geliĢtirmek üzere 25 kiĢilik, iki ayrı 6. sınıf Ģubesine, 4 ay

(toplamda 8 ders) süren öğretme-öğrenme uygulaması gerçekleĢtirilir. Bu

derslerde Kanada ilköğretim programıyla ve öğrenci seviyesiyle uyumlu 8 etkinlik

seçilmiĢtir. Bu etkinlikler öğrenciler için yeni konu baĢlıkları içermemiĢ, bu nedenle

de öğrenciler etkinliklere kolayca dahil olabilmiĢlerdir. Bu etkinliklerde yürütülen

tartıĢmalar ve öğrencilerin geliĢtirdiği yanıtlar incelendiğinde, ilk etkinlikte

öğrencilerin yaklaĢık dörtte üçü (50 öğrencinin 40 tanesi) soruda verilen eksik

bilgiyi, örneğin sorulan açıyı bulmak için ölçme iĢlemini kullanmıĢtır. Sadece 4

öğrenci teorik bilgileri kullanarak tümevarımsal akıl yürütmüĢ, 6 öğrenci ise hem

tümdengelim, hem de ölçme iĢlemi gibi somut yaklaĢımları (karma metot) birlikte

ele almıĢtır. Ġlk dört etkinliğin uygulanmasının ardından öğrencilerin önemli bir

bölümünde (50 öğrencinin 42'sinde) teorik bilgiler ıĢığında tümdengelimsel

çıkarımların ortaya konulmaya çalıĢıldığı gözlenmiĢtir. Öğrencilerin % 50'si bu

aĢamada kendi geliĢtirdikleri yaklaĢımı, ispatlarını uygun bir içerikte ortaya

koyabilmiĢtir. ÇalıĢmanın sonunda ise öğrencilerin tamamı ölçmeye ve gözleme

dayalı yaklaĢımların sınırlılığını fark etmiĢ, basit geometrik durumların geçerliliğini

onaylamak için teorik özellikleri kullanmaya yönelmiĢlerdir. Buna rağmen tüm

öğrencilerin basit ispatlar veya tümdengelimsel çıkarımlara dayalı argümanlar

geliĢtirme yetisine sahip olduğu söylenememektedir. Öğrenciler zorluk düzeyi

yüksek olan sorularda karma metoda baĢvurmuĢ, ölçme veya hesaplama

iĢlemlerini de uygulamıĢlardır. Sonuç olarak öğrencilerin bir kısmı yaptıkları

etkinliklerde somutlaĢtırma eğilimini devam ettirmiĢ olsalar da, öğrencilerin önemli

bir bölümü Houdement ve Kuzniak'ın (2006) adlandırmaları ile Geometri 1 (pratik

geometri) düzeyinden Geometri 2 (teorik geometri) düzeyine geçiĢ sağlamıĢtır. Bu

da somut düĢünmeden soyut düĢünmeye geçiĢte önemli bir aĢama kaydettiklerine

iĢaret etmektedir.

Bu alanda yapılan pek çok çalıĢma doğrulama ve ispatın matematik öğretimindeki

önemine değinmekle birlikte, öğrencilerin tümdengelimsel çıkarımları kullanmak ve

ispat yapmak yerine, örnek ile doğrulamayı daha çok tercih ettiklerini ortaya

koymaktadır. Cooper ve diğerleri (2011) gerçekleĢtirdikleri bir çalıĢmalarında

37

öğrencilerin matematiksel varsayımları doğrulamak için kullanmayı tercih etmiĢ

oldukları bu örneklerin niteliğine de odaklanmıĢlardır. Öğrencilerin sahip olduğu bu

tümevarımsal yaklaĢımın onların tümdengelimsel yaklaĢımı öğrenmelerini nasıl

destekleyebileceği üzerine durulmuĢ, örnekle doğrulama bu bağlamda ispat olarak

değerlendirilmemekle birlikte ispat düĢüncesine giden bir yol olarak

önemsenmiĢtir. AraĢtırmada yedi 6. sınıf, yedi 7. sınıf ve beĢ tane de 8. sınıf

öğrencisi (toplamda 19 öğrenci) ile iki soru üzerinden yarı yapılandırılmıĢ görüĢme

gerçekleĢtirilmiĢtir. AraĢtırma kapsamında ele alınan sorular Ģunlardır; "Bir sayı

tutun, daha sonra bu sayıya bir önceki ve bir sonraki sayıyı ekleyin.

Bulduğunuz sayı daima ilk tuttuğunuz sayının 3 katıdır.", "Çift bir sayı tutun,

daha sonra bu sayıya tuttuğunuz sayının yarısını ekleyin, bulduğunuz sayı

her zaman 3'e bölünebilen bir sayıdır.". Öğrencilerin yanıtları Healy ve Hoyles'ın

(2000) sınıflandırmasına göre kodlanmıĢtır. Bu sınıflandırmada ampirik doğrulama

(empirical justification) belirli bir kaç örneğin denenmesi, anlatımsal ispat (narrative

proof) doğruluğun tümdengelimsel sözel dil kullanarak ifade edilmesi, görsel ispat

(visual proof) genel durumların Ģekil çizilerek betimlendiği, bu yolla doğrulandığı

yaklaĢımdır, cebirsel ispatta (algebraic proof) ise tümdengelimsel formel

yaklaĢımlar kullanılır. Bu tanımlar ıĢığında son üç yaklaĢım geçerli ispat stratejileri

olarak ele alınırken, ampirik doğrulama önermenin doğruluğunu tam olarak ortaya

koymamaktadır.

ÇalıĢmada kullanılan iki soruyu birlikte değerlendirdiğimizde öğrencilerin %47'si

soruyu yanıtlamak, verilen önermenin doğru veya yanlıĢ olduğunu belirtmek

noktasında isteksiz davranmıĢlardır. BeĢ öğrenci her iki soru için de geçerli bir

ispat gerçekleĢtirmiĢlerdir. sekiz öğrenci ise sadece bir soru için geçerli bir ispat

gerçekleĢtirmiĢlerdir. 19 öğrenci, verilen iki soru için toplamda 18 geçerli ispat

gerçekleĢtirmiĢtir. Öğrenciler en çok anlatımsal ispat stratejisini kullanmıĢ, daha

sonra görsel ve en son olarak da cebirsel stratejiyi kullanmıĢlardır. Ġspatı yapan bu

öğrencilerin hepsi ispatla birlikte en az 1 sayısal örneği de deneyerek önermeyi

doğrulamıĢlardır. Bu öğrencilerin örneği ne zaman denediklerinde bir farklılaĢma

bulunmaktadır. Öğrencilerin %22'si ortaya koydukları ispatla yetinmemiĢ, ispatı

yaptıktan sonra önermeleri örnek vererek de doğrulamıĢlardır. %78'i ise ispatı

yapmadan önce önermeyi örnek vererek doğrulamıĢlardır. Yapılan görüĢmelerde

kullanılan bu örneklerin niteliği ve niceliğine yönelik bir sorgulamaya da gidilmiĢtir.

38

Öğrenciler baĢlangıçta doğru olduğunu düĢündükleri ve geçerli bir ispat ortaya

koydukları önermelerde az sayıda ve az çeĢitlilikte örnek deneme eğilimi

göstermiĢlerdir.

Knuth ve Sutherland (2004) benzer bir Ģekilde öğrencilerin örnek ile doğrulama

eğilimine yoğunlaĢtıkları çalıĢmalarında, öğrencilerin kullandığı ampirik temelli

argümanlar, stratejiler ile genelleme içeren argümanlara yönelik yaklaĢımlarını

incelemiĢlerdir. AraĢtırmalarında Ģu sorulara yanıt aramıĢlardır; öğrenciler ne

oranda örnekle doğrulamanın ispat için yeterli olduğunu düĢünmektedir?

Öğrenciler ispatın ne ölçüde genellenebilir bir durum içerdiğini farketmektediler?

Veriler aynı ortaokula giden 394 öğrencinin (6-8. sınıf arası) yazılı sınavlarından

toplanmıĢtır. Bu ortaokul NCTM standartlarına uygun olarak hazırlanan Connected

Mathamatics Program'ını (ABD'de reform temelli oluĢturulan ve Michigan State

Üniversitesinde geliĢtirilen bir müfredat) kullanmaktadır. Uygulanan sınavda ilk

soru olarak öğrencilere bir önerme ("Ardışık iki sayının toplamı her zaman tek

sayıdır.") ile bu önermenin 3 örnek deneyerek doğru olduğunu savunan yanıtı, bir

de genellenebilir bir yargı içeren ispatı sunulmuĢtur. Öğrencilere verili

argümanlardan hangisinin önermenin her zaman doğru olduğunu gösterdiği

sorulmuĢtur. Ġkinci soru ise iki aĢama içermektedir. Ġlk aĢamada öğrencilere sınırlı

bir küme ve bir matematiksel önerme verilmiĢ ve bu küme içerisinde önermenin

doğru olup olmadığı sorulmuĢtur. Ġkinci aĢamasında ise bu önermenin tüm sayılar

için doğru olup olmadığı sorulmuĢtur. Elde edilen veriler Waring'in (2000)

çalıĢmasında kullanılan kod sistemine uygun olarak analiz edilmiĢtir. Öğrencilerin

tek tek sorulara verdikleri yanıtlar incelendiğinde, ilk soruda tüm öğrencilerin

yaklaĢık olarak % 40'ı örnekle doğrulamayı ispat olarak seçmiĢtir. Ġspatı doğru

yanıt olarak seçen öğrencilerin oranı ise %30 da kalmıĢtır. Ġkinci soruda ise

öğrencilerin ispat performansına bakılmıĢtır. Sorunun ilk aĢamasında öğrencilerin

%20'si tüketerek ispatı (proof by exhaustion) gerçekleĢtirmiĢtir. Her iki aĢama

dikkate alındığında ise öğrencilerin önemli bir bölümü önermeyi ispatlamamıĢ,

örnekle doğrulamayı tercih etmiĢtir. Ġlk aĢamada tüketerek ispat yapan öğrencilerin

önemli bir bölümü ikinci aĢamada, ilk aĢamada kullandıkları sayı örneklerini

hatırlatarak veya ekstradan örneğin 2 sayı daha deneyerek önermeyi

ispatladıklarını savunmuĢlardır. Bu durum öğrencilerin tüketerek ispat ile örnekle

doğrulama arasındaki farkı tam olarak bilmediklerini göstermektedir. Sonuç olarak

39

bu çalıĢma pek çok ortaokul öğrencisinin genellenebilir yargıya ulaĢmayı pek fazla

kavrayamadıklarını ortaya koymuĢtur. Yine de her iki soruda da genellemeye

ulaĢmanın farkına varan, bu doğrultuda yanıt verip ispat geliĢtiren öğrencilerin

varlığı önemlidir. Ġlk soruda öğrencilerin %30'u ispat ile örnekle doğrulama

arasındaki farkı ortaya koyabilmiĢ, ne var ki bu öğrencilerden ispat yapmaları

beklendiğinde, kendi ifadeleri ile örnekle doğrulamayı ispat için yetersiz bulmuĢ

olsalar bile baĢka bir argüman geliĢtiremedikleri için örnekle doğrulama eğilimi

göstermiĢlerdir. Ayrıca öğrencilerin %20'si tüketerek ispatı gerçekleĢtirebilmiĢtir.

Tüm bu bulgular öğrencilerin ispata yönelik performans ve kavrayıĢlarını

geliĢtirmek için onların genellemeye ulaĢmaya yönelik farkındalıklarını artırmanın

önemini ortaya koymaktadır.

Knuth vd. (2012) benzer içerikte gerçekleĢtirdikleri bir diğer çalıĢmada ise 2 yıl

boyunca ortalama 400 öğrenciden (6,7 ve 8. sınıf öğrencileri) yazılı sınav Ģeklinde

veri toplamıĢlardır. Verilerin analizinde yine Waring‟in (2000) kodlama sisteminden

yola çıkarak, dört seviyeden oluĢan bir ispat oluĢturma süreci tanımlamıĢlardır.

Ġspat düzeyi 0‟da öğrenciler ispat yapacaklarından ve hatta ispatın gerekliliğinden

habersizdirler. Öğrenci verdiği cevabı gerekçelendirme eğiliminde değildir. Ġspat

düzeyi 1‟de öğrenciler ispat yapacaklarından haberdardırlar ama birkaç örnek

denemenin ispat olduğunu düĢünmektedirler. Ġspat düzeyi 2‟de ise öğrenciler

birkaç örneği denemenin ispat olmadığının farkındadırlar. Öğrenci genelleme

yapması gerektiğinin farkında ama ya geçerli bir argüman sunamamakta, ya da

argümanını tamamlayamamaktadır. Son düzey olan ispat düzeyi 3‟te öğrenciler

geçerli bir genelleme sunabilmektedir. Bu sınavda kullanılan sorular iki grup

altında toplanabilir; ilk grupta 3 soru yer almakta ve sorular “sayı oyunları”nı

içermekte (örn. “Sarah bir sayı oyunu keşfetti. 1 ile 10 arasında bir sayı tuttu

ve bu sayıya 3 ekledi. Bulduğu sayıyı 2 ile çarptı ve elde ettiği sayıyı bir yere

not etti. Daha sonra ilk başta tuttuğu sayıya yeniden döndü, bu sayıyı 2 ile

çarptı ve sonuca 6 ekledi. Bulduğu bu sayıyı da bir yere not etti. Sarah’nın

not ettiği bu iki sayı, 1 ile 10 arasında hangi sayı tutulursa tutulsun her

zaman birbirine eşit mi olur? Yanıtınızı açıklayın.”) , ikinci grupta da 3 soru yer

almakta ve sorular sayıların ardıĢıklık, teklik-çiftlik gibi özelliklerini içeren

ifadelerden (örn. “Üç tek sayıyı topladığınızda her zaman tek sayı mı elde

40

edersiniz? Yanıtınızın her zaman tek sayı olacağına öğretmeninizi ikna etmek

için bir açıklama geliştiriniz.”) oluĢmakta idi.

Ġlk grupta yer alan soruları tek tek incelersek, öğrenciler her üç soruda da

yoğunluklu olarak 1. düzeyde kalmıĢlardır. 1. soruda 6. sınıf öğrencilerin %78‟i, 7.

sınıf öğrencilerin % 79‟u, 8. sınıf öğrencilerin %81‟i 1. düzeyde yer alırken bu oran

diğer sorularda düĢüĢ yaĢamıĢtır (3. soruda 6. sınıfların %36‟sı, 7. sınıfların %

30‟u, 8. sınıfların %31‟i; 2. soruda 6. sınıfların %36‟sı, 7. sınıfların % 51‟i, 8.

sınıfların %49‟u 1. düzeydedir). Ġlk soruda sadece 8. sınıf öğrencilerin % 2‟si ispatı

eksiksiz yaparken, 2. soruda tüm sınıf düzeylerinde öğrencilerin yaklaĢık %20‟si

tüketerek ispatı (proof by exhaustion) gerçekleĢtirmiĢtir. 3. Soruda ise 6. sınıf

öğrencilerin %17‟si, 7. sınıf öğrencilerin % 23‟ü, 8. sınıf öğrencilerin %27‟si ispat

yaparken genellenebilir bir argüman ortaya koymuĢlardır. Bu ilk grup genel olarak

değerlendirildiğinde öğrencilerin ilk soruda diğer sorulara oranla daha çok örnekle

doğrulama eğiliminde oldukları görülmektedir. Bu durum araĢtırmacılar tarafından

eğer sunulan ifade daha karıĢık matematiksel iĢlemler içeriyorsa, öğrenciler ispat

için örnekle doğrulamaya baĢvurmakta, sözel anlatım veya sembolik gösterimlerle

matematiksel iliĢkileri ortaya koymakta zorlanmaktadırlar Ģeklinde yorumlanmıĢtır.

Ġkinci grupta yer alan sorular incelendiğinde ise öğrencilerin örnek vererek

doğrulama eğilimleri bu sorularda da devam etmiĢtir; 1. soru için tüm öğrencilerin

yaklaĢık % 49‟u, 2. soru için yaklaĢık % 60‟ı, 3. soru için ise % 42‟si 1. düzeyde

yanıtlar vermiĢlerdir. Sınıflar bazında 6. sınıftan 8. sınıfa ilerledikçe, 1. düzeyde

bulunan öğrencilerin oranında bir azalma yaĢanmıĢtır. Genellenebilir argümanlar

üretme (2. ve 3. düzeyde) bakımından ise sınıf düzeyleri ilerledikçe oranda da bir

artıĢ yaĢanmaktadır (1. soruda 6. sınıfta %12 olan oran 8. sınıfta % 32‟ye, 3.

soruda ise % 20‟den % 29‟a yükselmiĢtir). Tüm sorular bir arada

değerlendirildiğinde öğrencilerin dörtte birinin 1. ve 3. soru için genellenebilir bir

yargıya ulaĢmaya çalıĢtıkları gözlenirken, aynı eğilimle 2. soruda (“Herhangi iki çift

sayıyı topladığınızda toplamın da her zaman çift sayı olacağını gösteriniz.

Sonucunuzun her zaman çift sayı olacağına sınıf arkadaĢlarınızı ikna etmek için

bir açıklama ortaya koyunuz.”) karĢılaĢılmamıĢtır. Bu durum araĢtırmacılar

tarafından öğrencilerin bildikleri, yerleĢik matematiksel doğruları, doğrulama eğilimi

taĢımadıkları Ģeklinde yorumlanmıĢtır. Bu soruda öğrencilerin %22‟si 0.

düzeydedir, sadece % 8‟i düzey 2 ve 3‟te yer almıĢtır.

41

Bir miktar eski olmakla birlikte, sınıf düzeylerine göre öğrencilerin ispat

performanslarının karĢılaĢtırıldığı bir çalıĢma ilginç sonuçlar ortaya koymaktadır.

Lester (1975) bu araĢtırmasında Piaget‟den yola çıkarak çocukta biliĢsel geliĢimi

ele almıĢ ve her yaĢ kuĢağındaki öğrencilerin farklılaĢan düzeylerde de olsa, bir

düzeyde ispat yapabilecek ya da ispat kavramını anlayabilecek donanıma sahip

olduklarını savunmuĢtur. AraĢtırmasında 1–3, 4–6, 7–9, 10–12. sınıflar arasından

19‟ar kiĢilik dört grupla çalıĢmıĢ ve her bir gruba ilk önce ispata yönelik öğretimde

bulunmuĢtur. Daha sonra bu grupların ispat performanslarını değerlendirdiğinde,

7–9. sınıflardan oluĢan grubun, 10–12. sınıflardan oluĢan grup kadar baĢarılı

olduğunu gözlemlemiĢtir. Ayrıca ispatı gerçekleĢtirmeleri daha uzun süre alsa da,

4–6. sınıflardan oluĢan grubun, kendilerinden yaĢça büyükler kadar iyi bir

performans çıkardığı sonucuna da ulaĢmıĢtır. Bu çalıĢmanın sonucunda Lester,

ortaokul düzeyindeki öğrencilerin ispata çok yakın matematiksel konularda baĢarılı

olabilecekleri bulgusuna ulaĢmıĢtır.

Reid ve Knipping (2010) ispat ile ilgili yapılan çalıĢmalardan çıkan sonuçları Ģu

baĢlıklar altında gruplamıĢlardır:

• Öğrencilerin önemli bir kısmı örnekle doğrulamayı bir önermeyi doğrulamak

için yeterli görmektedir.

Bir kısmı önceki sayfalarda aktarıldığı üzere, gerçekleĢtirilen pek çok çalıĢma tüm

öğretim düzeylerinde yer alan öğrencilerin (ilkokuldan üniversite öğrenimine kadar)

ispat yaparken ampirik verileri kullandığını, örnek deneyerek yapılan doğrulamaları

ispat için yeterli bulduklarını ortaya koymaktadır (Chazan, 1993; ÇalıĢkan, 2012;

Healy ve Hoyles, 2000; Harel ve Sowder, 1998; Özer ve Arıkan, 2002; Stylianides,

2009; Stylianides ve Stylianides, 2009; Zaimoğlu, 2012)

• Öğrenciler bazen tümdengelimsel ispatları doğrulama olarak kabul

etmemektedirler.

Chazan (1993) öğrencilerde oluĢan bu eğilimi lise öğrencileriyle yaptığı bir çalıĢma

sonucu Ģu gerekçelere bağlamıĢtır; öğrenciler ispatın sunduğu genellemeye

42

karĢın, muhakkak sınırlı bir alan içerdiğini düĢünebilmekte ve bunun sonucu olarak

bu alanın dıĢında bir karĢı örneğin var olabileceğini savunmaktadırlar; ispatta

kullanılan varsayımlar yanlıĢ olabilir, bu nedenle de ispat doğru olmayabilir; ya da

ispatı yanlıĢ anlamıĢlar bu nedenle doğru olduğunu düĢünmemiĢlerdir.

• Öğrencilerin bir kısmı verilen karĢı örneği bir önermenin yanlıĢlığını

ispatlamada yeterli görmemektedir.

Galbraith (1981) 12-17 arası yaĢ kuĢağındaki öğrencilerle yaptığı çalıĢmada

öğrencilerin % 18'inin tek bir karĢı örneğin önermeyi çürütmede yeterli olmadığını

düĢündükleri sonucuna ulaĢmıĢtır.

• Öğrencilerin önemli bir bölümü hatalı tümdengelimsel yaklaĢımları ispat

olarak kabul edebilmektedirler.

Bu eğilimde tercih edilen yanıtın anlaĢılmasından ziyade, daha matematiksel ve

ispat gibi görünmesi etkili olmaktadır. Martin ve Harel (1989) öğreten adayları ile

yaptıkları çalıĢmalarında kullandıkları iki ayrı soruda %52 ve % 38 oranında bu

eğilime ulaĢmıĢlardır. Healy ve Hoyles'ın 2000 yılında yayımlanan çalıĢmalarında

2459 öğrenciden (14-15 yaĢ aralığında) veri toplanmıĢtır. Bu çalıĢmada uygulanan

sınavın iki sorusunda (1. ve 6. sorular) öğrencilere matematiksel önerme, bu

önermenin ispatı olarak sunulmuĢ olası yanıtlar ile birlikte sunulmuĢtur. Sorularda

ilk olarak öğrencilerin hangi yanıtı kendilerine yakın buldukları, daha sonra da verili

yanıtlardan hangisinin öğretmen tarafından en yüksek notu alacağı sorulmuĢtur.

Bu iki soruda da cebir kullanılarak gerçekleĢtirilen, hatalı tümdengelimsel ispatlar

yer almıĢtır ve öğrencilerin 1. soruda %40'ı, ikinci soruda %24'ü bu hatalı yanıtların

öğretmenleri tarafından en yüksek notla notlandırılacağını belirtmiĢtir.

• Çok sayıda öğrenci ispat yazamamaktadır.

Healy ve Hoyles'ın (2000) çalıĢmasında bildik bir önermenin ispatında öğrencilerin

sadece %22'si ispatı tam olarak yazabilmiĢ, %18'i eksikli bir ispat yazımı

gerçekleĢtirmiĢtir. Öğrenciler ilk defa karĢılaĢtıkları bir önermede ise sadece %3

oranında ispatı tam olarak, %9 oranında ise eksikli yazabilmiĢlerdir. Bell'in (1976)

43

çalıĢmasında ise öğrencilerin sadece % 19'u tümevarımsal ispat yazımında

baĢarılı olmuĢlardır. Öğrencilerin bu ispatları ya karĢı örnek vererek yapılan ispat

ya da tüketerek ispat yöntemlerine aittir.

Burada kısa özetler Ģeklinde sunulan çalıĢmalar göstermektedir ki her yaĢ

kuĢağından öğrenciler ispat yapmakta zorlanmaktadır, buna karĢın sınıflarda ispat

öğretimi üzerine yoğunlaĢıldığında ve öğrencilerde ispat düĢüncesinin geliĢimi ile

uyumlu etkinlikler onlara sunulduğunda ispata yönelik performanslarında artıĢ

gözlenebilmektedir.

44

3. YÖNTEM

Bu bölümde araĢtırmanın modeli, çalıĢma grubu, uygulama süreci, araĢtırmada

kullanılan veri toplama araçları ve toplanan verilerin çözümlenmesinde kullanılan

tekniklerle ilgili bilgiler yer almaktadır.

3.1. AraĢtırmanın Modeli

Bu araĢtırma nitel araĢtırma yaklaĢımlarından birisi olan eylem araĢtırması olarak

kurgulanmıĢtır. Eylem araĢtırması birbirinden farklı Ģekilde tanımlanabilmektedir.

Her bir tanım eylem araĢtırmasının baĢka bir içeriğine iĢaret eder. Sosyal durum

içerisinde eylemin niteliğini geliĢtirmenin amaçlandığı eylem araĢtırmasında (Elliot,

1991), eğitimcilerin uygulamalarının iyileĢtirilmesi ve onların bu doğrultuda

bilgilendirilmesi de amaçlanabilmektedir (Calhoun, 2002). Diğer taraftan O‟Brain

(2003) eylem araĢtırmasını, bir grup insanın tanımladıkları problemi çözmek için

bir Ģeyler yapması, ardından uygulamalarının ne kadar baĢarılı olduğunu

sınamaları ve eğer sonuçtan memnun değillerse yeniden deneme yaptıkları bir

süreç olarak tanımlar. Yani eylem araĢtırması, yaparak ve yaĢayarak

öğrenmeleridir. Ferrance'a (2002) göre eylem araĢtırması ise yanlıĢ olan durumu

tanımlamakla yetinmez, bu durumu düzeltmek üzerinden de bir çaba ortaya koyar.

Baverly‟nin (1993) çözüm yönelimli bir araĢtırma olarak tanımladığı eylem

araĢtırması tam da belirlenen bu yanlıĢı, problemi çözme süreci olarak

planlanmaktadır.

Son yıllarda matematiksel ispatı ileri düzeyde matematik bilgisi gerektiren bir konu

alanı olarak görmekten vazgeçen, her yaĢ kuĢağının matematiksel ispat

yapabileceğini savunan yaklaĢımlarda bir artıĢ gözlenmektedir. Bu savunular

NCTM'in (2000) de belirttiği üzere ispatı bir konu alanı olarak değil, matematiği

öğretme etkinliklerinin doğal bir parçası olarak ele almaktadırlar. Bu doğrultuda

ispat, baĢta ABD ve Ġngiltere olmak üzere bazı ülkelerde lise öncesi müfredatlarına

dâhil edilmiĢtir. Matematiksel bilginin kavranması, ezberin önlenmesi ve anlamlı

öğrenmenin sağlanması açısından kritik bir önem taĢıyan ispat öğretimi ülkemizde

de daha erken yaĢ kuĢaklarında, bu yaĢ kuĢaklarına uygun bir bağlamda ele

alınmalı, müfredatta yer edinmelidir. Bunun için de bu yaĢ kuĢağı ile ispat öğretimi

45

AraĢtırma Alanının Seçimi

Verilerin Toplanması Eylemin Planlanması

Veri Analizi / Yorumlama

üzerine yapılan çalıĢmaların sayısı artırılmalı, ilkokul ve ortaokul öğrencilerin ispatı

algılama düzeyleri belirlenmelidir. Erken yaĢ kuĢağı ispatı algılayıp, ispat yapabilir

mi? Yoksa ispat ileri düzeyde matematik bilgisi ve yeterliliği gerektiren bir uğraĢ

alanı mıdır? Tüm bu sorulara yanıt üretebilmek, ülkemizde bu bağlamda var olan

boĢluğu bir miktar doldurabilmek bu araĢtırmada problem durumu olarak

tanımlanmıĢtır. Bu bağlamda gerçekleĢtirilen çalıĢma Yıldırım ve ġimĢek'in (2005)

belirttiği üzere "yeni bir yaklaĢımın denenmesi" bağlığı altında da ele alınabilir. 7.

sınıf öğrencilerine müfredat dıĢı bir baĢlık olan ispat öğretimi uygulanarak yeni bir

yaklaĢım denenecektir. GerçekleĢtirilen ispat öğretimi uygulamasının ardından,

ilköğretim 7. sınıf öğrencileri özelinde küçük yaĢ gruplarının ispat, hatta bu

çalıĢmada ele alındığı biçimde formel ispat yapabilme düzeyleri ortaya konulmaya

çalıĢılacaktır.

Eylem araĢtırması döngüsel bir süreç içerir. Eylem araĢtırmasının tanımlarında

olduğu gibi, sürecin aĢamalarına yönelik literatürde de birbirinden farklı

yaklaĢımlar bulunmaktadır (Cresswell, 2005; Fraenkel ve Wallen 2006; Mills,

2003; Yıldıım ve ġimĢek; 2005). Mills (2003; s. 19), eylemin planlanması,

araĢtırma alanının seçilmesi, verilerin toplanması ve verilerin analizi /

yorumlanmasından oluĢan, dört aĢamalı bir diyalektik döngü tanımlar. Bu döngü

Ģu Ģekildedir;

ġekil 3. 3. Eylem araĢtırması döngüsü

46

Frankel ve Wallen (2006, s.570) benzer bir Ģekilde yine dört basamakta

tanımladıkları diyalektik döngünün aĢamalarını Ģu Ģekilde ifade etmiĢlerdir;

araĢtırma probleminin / sorusunun belirlenmesi, soruyu (soruları) yanıtlamak /

problemi çözmek için gerekli bilginin toplanması, toplanan verilerin analizi ve

yorumlanması, son olarak da bir eylem planının geliĢtirilmesi. Bu aĢamaların

doğrusal bir akıĢ izlemesine gerek yoktur. Bazen bazı aĢamalar tekrarlanabilir,

bazı aĢamaların yeri değiĢtirilebilir, aĢamalar arasında geçiĢler farklılaĢabilir. Bu

araĢtırmada Wallen ve Frankel'in aĢamaları temel alınmıĢtır. Daha önce belirtilen

Ģekilde ortaya konan problem durumunu çözüme ulaĢtırmak amacı ile

gerçekleĢtirilen eylem araĢtırması süreci araĢtırmacı, tez danıĢmanı ve emekli bir

öğretim üyesi tarafından aĢağıdaki Ģekilde planlanmıĢ ve yürütülmüĢtür:

Araştırma sorusunu yanıtlamak / problemini çözmek için gerekli bilginin

toplanma süreci

a. Ġspat ve ispat öğretimine yönelik literatür tarandı.

b. Literatürden yola çıkarak 7. sınıf öğrencileri için ispat öğretimini

gerçekleĢtirmek üzere ders planı ve uygulama sonrasında

kullanılacak olan ispat testinin ilk taslağı hazırlandı.

c. Ġspat öğretimi ders planı, iki ayrı okulda, iki 7. sınıf Ģubesinde pilot

uygulama olarak 8 hafta uygulandı.

d. Bu uygulamanın değerlendirilmesi sonucu b maddesine yeniden

dönüldü, ders planı ve ispat testinde değiĢiklikler yapıldı.

AraĢtırmaya ilk baĢlandığında ele alınması düĢünülen “olmayana

ergi” yöntemi gerek öğrenci düzeyine ağır geleceği gerekse

uygulama zamanının sınırlı olması nedeniyle uygulama

kapsamından çıkarıldı.

Buna ek olarak öğrencilerle yapılan pilot uygulama göstermiĢtir ki

öğrenciler ispatla ilgili soruları çözmekte pek istekli değildir ve çabuk

sıkılabilmektedirler. Bunun üzerine araĢtırma baĢında tek bir sınav

olarak kurgulanan ispat sınavını; öğrencinin ispat algısını, ispat

performansını ve hangi ispat yöntemlerini daha çok tercih ettiğini

daha ayrıntılı betimleyebilmek amacıyla üç ayrı sınav olarak

kurgulama kararı alındı.

47

e. Pilot uygulamada dikkat çeken bir diğer nokta öğrencilerin ispat

yaparken örnek vererek doğrulama eğiliminde olduklarıdır. Bu eğilimi

net olarak ortaya koymak amacıyla ana uygulama öncesi hazır

bulunuĢluk sınavının uygulanmasına karar verildi.

f. Pilot uygulama dıĢındaki farklı okullarda seçilen iki 7. sınıf Ģubesinde

ilk olarak hazır bulunuĢluk sınavı uygulandı, daha sonra ana

uygulama olarak 14 hafta boyunca ispat öğretimi gerçekleĢtirildi.

g. Ana uygulamanın ardından 3 aĢamadan oluĢan ispat testi, birer hafta

arayla uygulandı.

h. 3 sınav genel bağlamda değerlendirilerek sınavlarda ortaya konan

tüm eğilimleri kapsayacak Ģekilde 16 öğrenci seçildi. Öğrencilerin

sınavlarda sergiledikleri performansı ayrıntılı Ģekilde sorgulamak,

buna ek olarak ispat ve ispat yöntemlerine yönelik görüĢlerini almak

amacıyla yarı yapılandırılmıĢ görüĢme formu hazırlandı ve

öğrencilerle görüĢme gerçekleĢtirdi.

Toplanan verilerin analizi ve yorumlanması

a. Her bir sınav, sorulara ve ispat yöntemlerine göre geliĢtirilen

kodlama sistemine göre analiz edildi. Kodların yüzde ve frekans

dağılımları tablolaĢtırıldı.

b. AraĢtırma problemi temelinde ispat testleri ve görüĢmeden elde

edilen veriler bir arada ele alınarak yorumlandı. GöüĢmeden elde

edilen veriler öğrencilerin isimleri değiĢtirilerek raporlaĢtırıldı.

Eylem araĢtırmasında verilerin toplanması ve analizi sürecinde çeĢitli yöntem ve

teknikler kullanılabilmektedir. Literatürde yoğunluklu olarak nitel araĢtırmalar

içerisinde yer alan eylem araĢtırmalarında nicel yöntem ve tekniklerinden de

yararlanıldığı görülmektedir. Kock (1997) eylem araĢtırmasının nitel araĢtırma

yaklaĢımı olarak görülmesini bir mit olarak değerlendirir ve eylem araĢtırmasında

kullanılacak yöntemin araĢtırmacıya ve araĢtırmanın konusuna bağlı olduğunu, bu

nedenle de hem nicel hem de nitel yöntemlerin kullanılabileceğini belirtir. Kuzu

(2009) ise eylem araĢtırmasında amaca ulaĢmak ve araĢtırma sonuçlarını

desteklemek amacı ile yoğunluklu olarak nitel araĢtırma yöntemleri kullanılırken,

48

nicel araĢtırma yöntemlerinden de yararlanılacağını söyler. Eylem araĢtırmasının

nicel bir araĢtırma olmadığını belirten Johnson (2002) ise araĢtırmada nicel

yöntemlerin de kullanılabileceğini, buna karĢın araĢtırmada bazı değiĢkenlerin

kontrol edilemeyiĢinden dolayı, uygulamanın sonuçlarının geniĢ topluluklara

genelleĢtirilmesinde çeĢitli sorunların çıkabileceğinin hesaba katılması gerektiğini

belirtmektedir.

Eylem araĢtırmasında nitel ve nicel yöntemlerin bir arada kullanılabileceğini

belirten çalıĢmalara (Aksoy, 2003; Bogdan ve Biklen, 2002; Johnson, 2002; Kock,

1997; Kuzu, 2009; Yıldırım ve ġimĢek, 2005) ek olarak Ekiz (2003) eylem

araĢtırmasının felsefi olarak nicel ve nitel yöntemlerden de farklı olduğunu,

eleĢtirel kuram kapsamında ele alınması gerektiğini belirtmiĢtir. Ekiz bu

değerlendirmesinde eylem araĢtırmasında sadece anlama ya da sadece

değiĢtirmenin yeterli olmadığını belirterek, aslolanın anlama ve değiĢimin birlikte

sağlanması gerekliliği olduğunu vurgulamaktadır. Bu araĢtırmada da nitel ve nicel

yöntemler birlikte kullanılmıĢ, 7. sınıf öğrencilerinin matematiksel ispata yönelik

kavrayıĢ ve yaklaĢımları anlaĢılmaya çalıĢılırken öğretim sürecine yönelik bir

değiĢim önerisi öngörülerek çalıĢma kurgulanmıĢtır.

3.2. ÇalıĢma Grubu

Bu araĢtırma Ankara ilinde, Çankaya ve Yenimahalle ilçelerine bağlı iki ortaokulda

birer 7. sınıf seçilerek, iki Ģubede gerçekleĢtirilmiĢtir. AraĢtırmanın daha zengin

veri sunması amacı ile farklı sosyoekonomik setlerden iki ayrı okul ve Ģube

seçilmiĢtir. ÇalıĢma grubunun seçiminde rastlantısal bir atama uygulanmayarak,

bu atama sürecinde öğretim sürecini araĢtırmacının rahatlıkla yönlendirebileceği

koĢulların varlığına öncelikle dikkat edilmiĢtir.

AraĢtırmacı, okul yönetimi ve matematik öğretmeninin haftalık olarak verebildiği

izin oranında derse girip uygulamayı gerçekleĢtireceği için öncelikli olarak okul

seçiminde bu iki unsurun yol açıcılığı dikkate alınmıĢtır. ġube seçiminde ise

matematik öğretmeninin yönlendirmesi dikkate alınmıĢtır. Bu bağlamda rastlantısal

değil amaçsal bir örneklem oluĢturulmuĢtur. Amaçsal örneklem bağlamında

maksimum çeĢitlilik örneklemi tercih edilmiĢtir (Balcı, 2005). Bu örnekleme

yöntemindeki amaç, çeĢitliliği sağlayarak genellemeye ulaĢmak değil, çeĢitlilik

49

taĢıyan durumlar arasında ne tür ortaklıkların ve benzerliklerin var olduğunu

bulmak, bu çeĢitliliğe bakarak problemin farklı durumlarını ortaya koyabilmektir

(Yıldırım ve ġimĢek, 2005). Maksimum çeĢitlilik bağlamında farklı sosyo ekonomik

setlerden seçilen Ģubelerde yer alan öğrencilerin cinsiyete göre dağılımı Ģu

Ģekildedir:

Tablo 3.1. Uygulamanın gerçekleĢtiği Ģubeler

Şube Bulunduğu İlçe Öğrenci Sayısı

A

Çankaya

30

15 kadın

15 erkek

B

Yenimahalle

24

11 kadın

13 erkek

Her iki Ģubenin baĢarı seviyelerini de karĢılaĢtırabilmek amacı ile araĢtırmanın

uygulama boyutuna geçmeden önce iki Ģubeye baĢarı testi uygulanmıĢtır.

GerçekleĢtirilen bu 15 maddelik baĢarı testinin ardından iki Ģubenin baĢarı

seviyelerinin birbirine yakın olduğu gözlenmiĢtir. BaĢarı testi ile ilgili ayrıntılar

"Bulgular ve Yorum" bölümünde ele alınmaktadır.

3.3. AraĢtırmacının Rolü

Bu çalıĢmada uygulama araĢtırmacı tarafından gerçekleĢtirilmiĢtir. Uygulama

sürecine baĢlamadan önce 2 hafta boyunca araĢtırmacı seçtiği Ģubenin matematik

derslerini takip ederek hem sınıfı tanımaya çalıĢmıĢ, hem de sınıfın kendisine olan

yabancılığını kırmaya çalıĢmıĢtır.

3.4. Veri Toplama Süreci

3.4.1. Pilot Uygulama Süreci

7. sınıflara uygulanacak öğretim süreci ve ele alınacak ispat örnekleri literatür

taramasından yola çıkarak hazırlanmıĢtır. Literatür taramasında Türkiye‟de ispat

öğretim uygulamasını içeren pek fazla çalıĢma bulunmadığı için, genellikle

50

yabancı kaynaklardan yararlanılmıĢtır. Bu nedenle araĢtırma probleminin

oluĢturulduğu süreçte 7. sınıf öğrencilerin formel ispat yapabilme yeterlikleri ve bu

uygulama sürecinde ortaya koyacakları tutumlara yönelik bir öngörüde

bulunulamamaktaydı. Bu durum uygulama sürecine yönelik bir ön gözlem ve

değerlendirmeyi gerekli kılarak pilot uygulamasını önemli kılmıĢtır.

AraĢtırmacı Çankaya ve Mamak ilçelerinde yer alan iki farklı sosyo-ekonomik

setten okul seçerek, 8 hafta süren pilot uygulama gerçekleĢtirmiĢtir. 2011 – 2012

eğitim-öğretim yılı bahar döneminde gerçekleĢtirilen bu uygulamaya baĢlamadan

önce 2 hafta kadar seçtiği Ģubelerin matematik derslerine gözlemci olarak giren

araĢtırmacı, öğrencilerle tanıĢma ve aralarındaki yabancılığı kırma fırsatı

yakalamıĢtır. ġube seçimi matematik öğretmeninin yönlendirmesi ile

gerçekleĢmiĢtir. 8 hafta süren bu uygulama video kaydına alınmıĢ, bu kayıtlar

çözümlenmiĢ ve araĢtırmacı, tez danıĢmanı ve bir öğretim üyesi ile birlikte

değerlendirilerek gerçekleĢtirilecek ana uygulamaya son Ģekli verilmiĢtir.

Pilot uygulama öncesinde doğrudan ispat, karĢı örnek vererek ispat, tüketerek

ispat, durum yolu ile ispat ve olmayana ergi yöntemlerinin hepsi ele alınmıĢ ve bu

yöntemlere yönelik 7. sınıflara uygun ispat örnekleri ve akıl oyunları hazırlanmıĢtı.

Pilot uygulamada gerçekleĢtirilen gözlemler değerlendirilerek çalıĢmanın

kapsamının daraltılmasına neden olmuĢtur.

GerçekleĢtirilen pilot uygulamada öğretim süreci beklenenden yavaĢ ilerlemiĢ,

derslerde genellikle bir ispat örneği, bazen de iki örnek üzerinde durulabilmiĢtir.

Literatürde yer aldığı ve bu nedenle beklendiği üzere öğrencilerde herhangi bir

Ģekilde genellemeye ulaĢmak yerine, örnek vererek doğrulama eğilimi baskın

çıkmıĢtır. Sınıfta matematik dersinde baĢarılı olan öğrenciler araĢtırmacının

yönlendirmesi ile bu eğilimlerini sorgulayabilmiĢken, baĢarısız öğrencilerde örnek

kullanma eğiliminde bir ısrar gözlenmiĢtir. Öğrencilerin baĢarı durumu önceki

dönem karne notu ve matematik öğretmeninin değerlendirmesine göre veri olarak

alınmıĢtır. Öğrenciler durum yolu ile ispat örneklerini kavramada diğer yöntemlere

göre daha çok zorlanmıĢ, bu örnekler üzerinde daha çok zaman harcanmıĢtır.

Buna rağmen sınıfta yürütülen tartıĢmaları anlayarak, tartıĢmaya aktif katılan

öğrenciler de olmuĢtur. AraĢtırmacının yönlendirmesi ile her iki Ģubede de bu

yöntemi uygulayan öğrenciler sayıca az da olsa olmuĢtur. Olmayana ergi

yönteminde ise izlenen süreci öğrenciler kavrayamamıĢ, ifadenin yanlıĢ olduğu

51

kabul edilerek baĢlanan ispat sürecine yönelik sınıfta sürdürülen tartıĢmaya

öğrenciler yeterli katılımı göstermemiĢ, sessiz kalmayı tercih etmiĢlerdir.

Bu bağlamda ana uygulamanın da gerçekleĢtirileceği sürecin sınırlı oluĢu dikkate

alınarak, uygulamada örnek vererek doğrulama ile ispat arasındaki ayrıma daha

çok değinilmesi ve uygulamada kullanılacak yöntemlerin doğrudan ispat, karĢı

örnek vererek ispat, tüketerek ispat ve durum yolu ile ispat ile sınırlandırılmasına

karar verilmiĢtir. Bu doğrultuda ana uygulamaya son Ģekli verilir.

3.4.2. Uygulama Süreci

2012-2013 eğitim öğretim yılı baĢında 4+4+4 diye anılan ve zorunlu eğitimi 12 yıla

çıkaran bir kanun değiĢikliği olmuĢtur. Bu değiĢiklikle birlikte ilköğretim okulları

ilkokul ve ortaokul diye ayrıĢmıĢ, aynı binada eğitim gören bu iki kademeden birisi

dönem baĢında farklı okullara aktarılmıĢtır. Bir önceki eğitim öğretim yılında pilot

uygulamanın gerçekleĢtirildiği okullarda da bu dönüĢüm yaĢanmıĢ, uygulama

sürecine yardımcı olan öğretmenlerin tayin olması nedeniyle yeni okul ve izin

çıkarma arayıĢına girilmiĢtir. Bu nedenle uygulamaya planlanandan yaklaĢık 1,5

ay geç baĢlanmıĢtır.

Ġspat öğretimi 7. sınıflar için müfredat dıĢı yeni bir konu alanıdır. Öğrencilerin hiç

bir ön bilgisinin bulunmadığı bu konuda hazır bulunuĢluk testi kullanılmamıĢ,

öğrencilerin ispat kavramından ne anladıkları betimlenmeye çalıĢılmıĢtır. 2012

Kasım ayında baĢlayan uygulamada, öncelikle A ve B Ģubelerine hazır bulunuĢluk

testi uygulanmıĢtır. Daha sonra haftada 1 saat olmak üzere toplamda 14 hafta

sürecek olan ispat öğretimi ders izlencesine geçilmiĢtir. Bu süreçte, sayılar,

ardıĢıklık, teklik çiftlik ve bölünebilme konuları üzerinde durulmuĢtur. Bu konuların

seçiminde öğrencilerin uygulamanın baĢladığı süreçte bildikleri, müfredat

içerisinde önceki ders yıllarında iĢlemiĢ oldukları konuların seçimine dikkat

edilmiĢtir.

Uygulama sürecinde derslerde sırasıyla doğrudan ispat, karĢı örnek vererek ispat,

tüketerek ispat ve durum yolu ile ispat yöntemleri tanıtılmıĢ ve bu yöntemlerle

ispatlanacak sorulara yer verilmiĢtir. Ayrıca öğrencilerin derse yönelik

motivasyonunu artırmak için derste akıl oyunlarına da yer verilmiĢ, bazı oyunlar

ispat ve ispat yöntemleri ile iliĢkilendirilmiĢtir. Ġspat uygulamalarına geçilmeden

52

önce ilk derslerde önce ispat kavramı üzerine tartıĢılmıĢ, ardından belirlenen

matematik konuları üzerine anlatım, soru-cevap yöntemleri kullanılarak

hatırlatmalarda bulunulmuĢtur. Ele alınacak ispat uygulamalarında gerekli olacağı

düĢünülerek, seçilen konularla ilgili sembolik gösterimlerin kullanımının

pekiĢtirilmesine de önem verilmiĢtir. Bu doğrultuda gerek uygulamanın baĢında ilk

derste, gerekse ders süreci içerisinde ihtiyaç duyulduğu anlarda sembolik

gösterimlerle ilgili hatırlatmalar ve örneklendirmelere yer verilmiĢtir.

Her bir derste, hafta hafta hazırlanan ders planında yer alan sorular üzerinde

durulmuĢtur. Her iki Ģubede de bu plan eksiksiz uygulanmıĢtır, ne var ki uygulama

her hafta paralel gidememiĢtir. Bazen bir Ģubede cebirsel gösterim üzerine

hatırlatmalara daha sık yer verilebilmiĢ, bazen de diğer Ģubede konu anlatımına,

hatırlatmalara plana ek olarak yer verilebilmiĢtir. Bu bağlamda uygulama öncesi

hazırlanan ders planına süreç içerisinde öğrencilerin ihtiyaçları doğrultusunda

eklemeler yapılabilmiĢtir. Uygulama öncesi 12 hafta olarak planlanan ders planı,

uygulama esnasında 14 haftaya çıkarılmıĢtır. 14 haftanın sonunda derslerde ele

alınması planlanan tüm ispat uygulamaları eksiksiz olarak, her iki Ģubede de

tamamlanmıĢtır. 14 hafta boyunca ele alınan ispat örnekleri üzerinden sınıfta soru-

cevap, tartıĢma ve beyin fırtınası yöntemleri kullanılarak matematiksel doğrulama

ile ispat arasındaki fark üzerinde durulmuĢtur.

14 hafta süren uygulamanın ardından öğrencilere birer hafta arayla, 3 ayrı

sınavdan oluĢan ispat testleri uygulanmıĢtır. Bu sınavları da dâhil ettiğimizde 17

hafta süren bir uygulama gerçekleĢtirilmiĢtir.

AraĢtırmanın ikinci kısmında, öğrencilerin peĢ peĢe 3 ayrı sınav Ģeklinde

uygulanan ispat testlerine verdikleri yanıtları ayrıntılandırmak, zorlandıkları

noktaları betimleyebilmek, yapamadıkları soruları, ispat yöntemlerini

araĢtırmacının desteği ile yapıp yapamadıklarına bakmak ve genel olarak

uygulama - ispat ile ilgili düĢüncelerini almak amacıyla öğrencilerle yarı

yapılandırılmıĢ derinlemesine görüĢme gerçekleĢtirilmiĢtir. Ġspat testlerinin

sonuçları değerlendirilmiĢ ve bu sınavlarda verilen yanıtların çeĢitliliğini

kapsayacak Ģekilde 16 öğrenci görüĢme için seçilmiĢtir. Bu öğrencilerle yaklaĢık

40dk süren yarı yapılandırılmıĢ derinlemesine görüĢme gerçekleĢtirilmiĢtir.

53

Nitel görüĢmeler, "derinlemesine görüĢme" olarak da adlandırılır. Nicel

görüĢmelerden farklı olarak yarı yapılandırılmıĢ derinlemesine görüĢmelerde

“yüzeysel” değil, daha “derin”, “detaylı” ve “karmaĢık” bilgilere ulaĢmak amaçlanır

(KuĢ, 2009). Bu doğrultuda hazırlanan görüĢme formu görüĢme sırasında

görüĢmeciye yön verir ama onu sınırlandırmaz. GörüĢülen kiĢinin verdiği yanıtlar

doğrultusunda planlanan görüĢme, formda yer almayan sondaj sorularıyla da

detaylandırılabilir.

AĢağıda dersteki uygulama sürecine hafta hafta ayrıntılı olarak yer verilmiĢtir;

1. Hafta: Ġlk hafta her iki Ģubeye de hazır bulunuĢluk testi uygulandı.

2. Hafta: Ġspat kavramı üzerine bir tartıĢma yürütüldü. Öğrenciler her ne kadar

ispat kavramına matematik dersi kapsamında yabancı olsalar da, günlük

yaĢamlarında oynadıkları oyunlar, girdikleri iddialar üzerinden ispat / kanıt kavramı

ve bir iddianın nasıl ispatlanacağı / kanıtlanacağı üzerine sınıfta bir tartıĢma

yürütüldü. Bu tartıĢmalar sonunda var olan iddianın / önermenin ispatı için, herkesi

ikna edecek veriler, bilgiler, deliller kullanarak genellenebilir kesin yargılara,

savunmalara gereksinim olduğu düĢüncesine ulaĢıldı. Daha sonra Gardner‟dan

(2011, s. 105) uyarlanan "Tatile Giderken" (Ek 1) oyunu sınıfa dağıtılarak, bu

oyunda anlatılan olay örgüsü örnek olay olarak sınıfta ele alındı. Anlatılan örnek

olayın sonunda yer alan iddianın doğruluğu / yanlıĢlığı üzerine bir fikir geliĢtiren

öğrenciler bu konu üzerine tartıĢtırıldı. Ġddiayı doğru bulanlar kendi haklılıklarını,

yanlıĢ bulanlar da kendi haklılıklarını ispat etmeye çalıĢarak sınıfın geri kalanını

ikna etmeye çalıĢtılar. Bu örnek olay üzerinden ispat yapma pratiğine giriĢ yapıldı.

3. Hafta: Ġleriki derslerde kullanılacak olan ispat uygulamalarının içerdiği konu

baĢlıkları; sayılar, ardıĢıklık, teklik çiftlik ve bölünebilme konuları üzerinde anlatım

yolu ile kısa hatırlatmalarda bulunuldu. Ardından cebirsel gösterimlere geçildi.

Önce öğrencilerin 6. sınıfta gördükleri cebirsel alıĢtırmalar ("bir sayının 3 katının 5

eksiği" gibi) üzerinde durularak cebirsel ifadelere yönelik hatırlatmalarda

bulunuldu. Daha sonra tek ve çift sayılar, ardıĢık sayılar, ardıĢık tek sayılar, ardıĢık

çift sayılar, 3'e bölünebilen sayılar vb. ifadelerin sembolik gösterimleri soru-cevap,

tartıĢma yöntemleri kullanılarak öğrencilere aktarıldı.

54

4. Hafta: Bir önceki hafta ele alınan sembolik gösterimlere dair kısa bir hatırlatma

yapıldı. Daha sonra bu derste matematiksel önermelerin ispatları üzerinde

durulacağı belirtilerek öğrencilere; "iki tek sayının toplamı her zaman çift

sayıdır" önermesi verildi. Öğrencilere bu önermenin doğru olup olmadığı ve

verdikleri yanıtları nasıl ispatlayacakları soruldu. AraĢtırmacı öğrencilerin

yanıtlarını müdahale etmeden dinledi, öğrencilerin verdikleri yanıtlar üzerine

tartıĢmalarını sağlayacak Ģekilde sınıfı yönlendirdi. Bu ilk soruda uzun bir süre

verilen cevaplara müdahale edilmedi. Literatür, pilot uygulamadaki gözlemler ve

hazır bulunuĢluk testi sonuçlarında olduğu üzere öğrenciler de verilen önermeyi

örnek vererek doğrulama eğilimindeydiler. Öğrencilerin hiç biri genellenebilir bir

sonuca ulaĢmaya çalıĢmayınca araĢtırmacı tartıĢmaya Ģu soruyu sorarak

müdahale etti; "Peki hep sayı örnekleri deniyorsunuz ama biz bu ifade tüm sayı

kümesi için doğru mu onu bulmaya çalışıyoruz. Ya sizin denemediğiniz bir sayı çifti

bu ifadenin yanlış olduğunu ortaya koyarsa, topladığımızda çift sayı vermezse o

zaman ne olur? Nasıl emin olabiliriz tüm sayılar için bu ifadenin doğru

olduğundan?". Dersin baĢında sembolik gösterimlere yönelik hatırlatmaların

yapılmasına rağmen öğrenciler cebir kullanmaz, A Ģubesinde yaĢanan Ģu diyaloga

benzer bir eğilim her iki Ģubede de yaĢanmıĢtır:

Fırat: O zaman tüm sayıları deneriz.

Hilal: Yok olur mu? Ölene kadar denersin o zaman.

Berk: Öğretmenim şöyle yapsak, haklısınız tek bir sayı denemek bizi yanıltabilir. O zaman

birkaç sayı deneyelim, büyüklü küçüklü olsun. Hatta önce bir basamaklı, sonra çok

basamaklı mesela. Ben öyle yapmıştım, önce 1 ve 3'ü topladım. Sonra 11 ve 25'i, son

olarak da 111 ve 135'i. Rastgele seçtim, üçünde de topladım çift sayı çıktı. Bence bu yeterli.

Araştırmacı: Sizce Berk haklı mı?

Beyza: Ben de öyle yapmıştım, 4 sayı denemişim, hepsinin toplamı çift sayı çıktı.

Sude: Ama hocam ya olmazsa, milyon basamaklı bir sayı olsun topladığımda çıkmasın,

olamaz mı? Nerden bilicez?

Araştırmacı: Peki o zaman ne yapalım ki tüm sayılar için doğru olduğunu gösterelim, bir

fikri olan var mı?

Sınıfta bir süre sessizlik yaĢanır, hemen ardından sınıfın baĢarılı öğrencilerinden

Berk yaptığı iĢlemlere bakarak, iki sayının toplamının tek mi çift mi olduğunu son

basamakların toplamının belirlediğini ifade eder ve Sude'nin çok büyük sayısını

denemeye gerek olmadığını söyler. Berk'in ortaya attığı bu fikir üzerinden Dicle

söz alır ve "Öğretmenim o zaman tüm tek olan rakamları ikili ikili toplarız. Hepsini

55

toplar isek Berk'in dediği gibi, tüm tek sayıların toplamının birler basamağını

bulmuĢ oluruz." der ve ispat için tahtaya kalkar. Tahtada aĢağıdaki gibi 1‟den 10‟a

kadar olan rakamlar içerisindeki tek sayıları, ikiĢer ikiĢer gruplayarak toplar:

1+1=2 3+3=6 5+5=10 7+7=14 9+9=18 1+3=4 3+5=8 5+7=12 7+9=16 1+5=6 3+7=10 5+9=14 1+7=8 3+9=12 1+9=10

Dicle: Tüm ihtimalleri topladık ve hepsinin toplamı çift sayı çıktı. Artık topladığımız

sayılar ne kadar büyük olursa olsun hepsinin birler basamağı bu sayılardan birisi olacak o

yüzden toplamın birler basamağı da buradakilerden birisi olacak, yani çift sayı olacak.

Ġspat bu Ģekilde tamamlandıktan sonra araĢtırmacı sembolik gösterimlerin genel

gösterimler olduğunu da sınıfa hatırlatarak onları bu gösterimleri kullanmaları

doğrultusunda yönlendirdi. Öğrenciler ispatla ilgili bu ilk uygulamada sembolik

gösterimleri kullanmakta epey zorlandı. Bunun üzerine araĢtırmacı tahtaya kalkan

bir öğrenciye soru-cevap yöntemi ile yönlendirdi, cevap veremediği anlarda kendi

hatırlatmalarda bulunarak tek sayıların sembolik gösterimini anımsattı ve bu

Ģekilde ispatı tamamlattı.

5. Hafta: Derse önceki hafta ele alınan soruya benzer bir soru olan “bir tek ve bir

çift sayının çarpımı her zaman çift sayıdır” önermesinin ispatı ile baĢlanır.

Öğrenciler bu soruda da örnek vererek doğrulama eğilimini sürerek, örnek

vermenin de ispat olduğunu düĢünmeye devam ettiler. AraĢtırmacı önceki ders

yaptıkları ispatı hatırlatarak, öğrencilerden cebir kullanmalarını istediğinde az

sayıda öğrenci cebir kullanmaya baĢlar ve ispatı tamamlar. B Ģubesinden Ġlayda

araĢtırmacının yönlendirmesi ile ispatı tamamlayan öğrencilerden birisidir. Ġlayda

oturduğu sıradan parmak kaldırarak araĢtırmacıya Ģu soruyu yöneltir:

İlayda: Öğretmenim cebir kullanın dediniz ya, tek sayı için 2x+1, çift sayı için 2x diyerek

mi yapıcaz?

Araştırmacı: Evet İlayda. Peki çift ve tek sayıları bu şekilde alırsan, sonra nasıl devam

edersin?

İlayda: Bu iki sayıyı çarparım, çarpımı soruyor ya bize soruda.

Araştırmacı: Tamam, gel tahtada devam et, arkadaşlarına da yaptıklarını anlat istersen.

[İlayda tahtaya kalkar ve ispatı anlatarak yapar]

56

İlayda: Şimdi 2x ile 2x+1 ile çarparım. Ama bunları tek tek çarpıcam sanırım. Öğretmenim

parantez içine alayım mı bu sayıları?

Araştırmacı: Olur.

İlayda: O zaman 2x'i tek tek bu sayılarla çarparım [2x+1'de yer alan 2x ve 1 sayılarını

kastetmekte]. 2x çarpı 2x artı 2x. Haa... Şimdi... [2x'i kendisi ile çarpmakta bir miktar

zorlanır ve anlatımı yavaşlar] Öğretmenim 4x2 mi olur? Hani 2 çarpı 2 4, bir de x çarpı x

olur.

Araştırmacı: Evet doğru yapıyorsun, ama işlemini arkadaşlarına da anlat istersen.

İlayda: Tamam. Şimdi 2x ile 2x+1 i çarpmamız gerekiyor. Çarpmayı yanlış yapmayım diye

paranteze aldık. 2x'i 2x+1'deki sayılarla tek tek çarparsam, 2x çarpı 2x 4x2 olur, 2x ile 1'i

çarpınca da artı 1 yazarım. Yani sonuç 4x2 + 2x olur. Soru demiş ki bize bu çarpım her

zaman çift sayı olur, biz çarpımı 4x2 + 2x bulduk, bu da çift sayıdır.

Araştırmacı: Niçin?

İlayda: Çünkü 2'ye bölebilirim bunu. Soru doğruymuş.

AraĢtırmacının gözlemi her iki Ģubede de öğrencilerin cebir kullanmaktan

kaçındıkları ve buna ek olarak örnek vererek doğrulamanın ispat olduğu

düĢüncesinde ısrarlı olduklarıdır. Bunun üzerine ders planında yer alan ve

Gardner‟dan (2011, s. 41) uyarlanan “Dön dolaş aynı yerdeyim” oyununa (Ek 1)

geçilir. Bu oyunda Ģu ifade yer alır;

Aradığım arsayı bulmak için elimdeki yol tarifi ile yola koyuldum. Tarifte bulunduğum noktadan 100 metre güneye gitmem, daha sonra

200 metre doğu yönünde ilerlemem, son olarak da 100 metre kuzeye çıkmam söyleniyordu.

Denileni aynen uyguladığımda baĢladığım noktada olduğumu gördüm. Sizce bu mümkün mü? Mümkünse nasıl mümkün olur?

Öğrencilerden bu oyuna yönelik tahminde bulunmaları, bir hipotez geliĢtirmeleri ve

bu hipotezi ispatlamaları istenir. Öğrencilerin hepsi bir müddet düĢündükten sonra

oyunda verilen durumun mümkün olmadığını savunur ve hipotez olarak

"bulunduğu yerden 200metre doğrudadır" ifadesini sunar. Öğrenciler verilen oyunu

iki boyutlu bir düzlem üzerinde düĢündüklerinde var oldukları noktanın 200 metre

doğusunda olacaklarını bulmuĢ, bazı öğrenciler tahtaya kalkıp verilen yol tarifini

uygulayarak (verili ölçeği küçültmüĢlerdir, ölçeği %1 oranında küçülterek 100

metreyi 1 metre olarak uygulamıĢlardır) aynı noktada olamayacaklarını iddia

etmiĢlerdir. Öğrenciler farklı yöntemler kullanarak ulaĢtıkları sonucun doğru

olduğunu, yani kesinlikle aynı noktada olmayacaklarını, baĢladıkları noktanın 200

metre doğusunda bulunacaklarını iddia etmiĢlerdir. Gözden kaçırdıkları nokta

dünyanın kutuplardan basık olan geoit yapısıdır ve kutuplara çok yakın noktalarda

verilen yol tarifi izlendiğinde baĢladıkları noktaya çok yakın bir noktada

57

bulunacaklardır. BaĢlangıç noktasını kutup noktası olarak aldığımızda ise yolu

tamamladığında baĢladığı noktaya geri dönmüĢ olacaklardır. AraĢtırmacının

tahtaya çizdiği dünya Ģekli üzerinden düĢünmeye baĢlayan öğrenciler bu olasılığın

da mümkün olacağını fark etmiĢ ve çok olası gözükmese de öyle bir noktanın,

kendilerine kesin doğru gibi gözüken bir gerçekliği çürütebileceğini

deneyimlemiĢlerdir. Bu oyun ile yürütülen tartıĢma ile öğrencilere örnek vererek

gerçekleĢtirilen doğrulamanın, denemelerin genellenebilir bir yargı sunmakta

yeterli olmayabileceği hissettirilmeye çalıĢıldı.

Bu uygulamanın ardından öğrencilerde örnekle doğrulama ile ispat arasındaki

farkın daha da pekiĢtirilmesinin gerekli olduğu hissedildi, bu nedenle bu dersin

sonunda ders planına bir haftalık ek yapılmasına karar verildi. Bir sonraki hafta için

örnek vererek doğrulama ile ispat arasındaki farka değinilecek matematiksel bir

etkinliğin kullanılması kararlaĢtırıldı. Ayrıca B Ģubesindeki öğrenciler cebirsel

ifadeleri anlamakta diğer Ģubeye göre daha fazla zorlanmıĢlardır, bunun üzerine

araĢtırmacı bu Ģubedeki öğrencilere daha sık cebirsel ifadelere yönelik

hatırlatmalarda bulunmaya da karar verildi.

6. Hafta: Derste öğrencilere Mason ve diğerlerinden (1982) uyarlanan “Çember

ve Nokta” (Ek 1) problemi dağıtıldı. Bu problem ile öğrencilerin örnek vererek

doğrulama ile genellemeye ulaĢabilecekleri ve bu yolla ispat yapabileceklerine dair

inançları zayıflatılmak istenmiĢtir. Bir önceki derste “Dön dolaĢ aynı yerdeyim”

oyunu ile bir örnek olay üzerinden akıl yürüten öğrenciler, bu problem ile

matematiksel bir uğraĢ içerisinde ispata yönelik kavrayıĢlarını sınamıĢtır.

Öğrencilerden boĢ bir kâğıt çıkarmaları istendi ve onlara bu problem dağıtıldı.

Öğrencilerden bir müddet yerlerinde problem ile uğraĢmaları istendi. Bu sırada

araĢtırmacı soruda yer alan “çember üzerindeki bağımsız bölge” ile neyin

kastedildiğini tahtaya çizdiği çember ve üzerinde aldığı noktaları kullanarak anlatır.

Öğrenciler literatürdeki bulgularla (Stylianides & Stylianides, 2009; Stylianides,

2009; Stylianides, 2011) uyumlu olarak öncelikli olarak basit durumları (çember

üzerinde 2 nokta, 3 nokta, 4 nokta alarak) denediler ve bunlar üzerinden elde

ettikleri sonuçlarla genelleme yapma eğilimi gösterdiler. Bazı öğrenciler çember

üzerindeki aldıkları 5 nokta ile de deneme yaptı, ama bu öğrenciler sayıca azdır.

Öğrencilerin denemeleri sonucu buldukları sonuçlar Ģu Ģekildedir:

58

Çember üzerinde alınan 2 nokta 2 ayrı bölge

3 nokta 4 ayrı bölge

4 nokta 8 ayrı bölge

5 nokta 16 ayrı bölge oluĢturmakta.

Nokta ve bölge sayıları arasında var olan bu iliĢkiye bakarak ilk etapta öğrenciler

bölge sayısının her zaman bir öncekinin 2 katı Ģeklinde arttığını, bu nedenle 6

nokta alınırsa 32, 7 nokta alınırsa 64 bölge bulunacağını savundular. Sınıftaki bazı

öğrenciler soruda çember üzerinde alınan 15 nokta ile kaç bölgenin oluĢacağı

sorulduğu için bir formül geliĢtirme ihtiyacı hissettiler. Bu öğrencilerden bazıları

nokta sayısı ile bölge sayısı arasındaki iliĢkinin 2n-1 olduğunu ifade etti ( n nokta

sayısı). Öğrenciler ulaĢtıkları bu genelleme ile problemi çözdüklerini düĢünürken

araĢtırmacı onlardan boĢ bir kâğıt çıkarmalarını ve büyük bir çember çizip bu sefer

de çember üzerinde 6 nokta almalarını istedi. Çizim öğrencileri biraz uğraĢtırdı

ama sonunda öğrencilerin büyük bir kısmı bekledikleri gibi 32 bölge değil, 31

bölgenin oluĢtuğunu gördü. Bunun üzerine araĢtırmacı tahtaya bir öğrenci kaldırdı

ve renkli kalemler kullanarak öğrenci ile birlikte, 6 nokta alarak çemberi bölgelere

ayırdı. Tüm sınıfın izlediği bu uygulamanın ardından çember üzerinde alınan 6.

noktanın beklenen sonucu vermediği görüldü.

1 ders saatini kaplayan bu uygulamanın ardından araĢtırmacı “Dön dolaĢ aynı

yerdeyim” oyununu da hatırlatarak bu son iki etkinliğin de gösterdiği üzere

denenen örneklerin, ampirik argümanların her zaman genellemeye ulaĢmada

yeterli olmayacağını, bu nedenle de örnek vererek yapılan doğrulamanın ispat

olmadığını vurguladı.

7. Hafta: Derse “Ardışık iki sayının toplamı her zaman tek sayıdır” önermesinin

ispatı ile baĢlandı. Önceki haftalardaki uygulamalar nedeniyle cebirsel ifadeler

kullanmaya alıĢan ve ispat yaparken örnek vererek doğrulama eğilimini bir miktar

bırakan öğrenciler bu derste farklı tartıĢmalar yürüttü. Öğrenciler kendi aralarında

tartıĢarak, itirazlar geliĢtirerek örnek vererek doğrulama eğiliminde olan

arkadaĢlarını ikna etmeye çalıĢtı. Buna karĢın sınıfın önemli bir bölümünün

59

cebirsel ifadeleri kullanmaktan kaçınmaya devam ettiği gözlendi. Bu uygulamanın

ardından karĢı örnek vererek ispat ile ilgili örneklere geçildi.

Ġlk olarak “Her asal sayı tek sayıdır.” önermesi üzerine tartıĢıldı. Öğrencilerin

büyük bir kısmı 2'nin de asal sayı olduğu bilgisini unutarak önermenin doğru

olduğunu savundu. Sınıf içerisinde yürütülen tartıĢmada bu savunuya itiraz

geliĢtiren öğrenciler de oldu ve 2 sayısının asal sayı olduğunu hatırlatan bu

öğrenciler önermenin yanlıĢ olduğunu belirtti. Daha sonra öğrencilere Ģu önerme

verildi; "n tek bir sayı olsun, bu durumda (n+1) / 2 sayısı her zaman tek

sayıdır." . Öğrenciler sayı deneyerek buldukları sonuca göre önermenin doğru ya

da yanlıĢ olduğunu savundu. Yalnız yaptığı iĢlemin sonunda çift sayıya ulaĢan

öğrencilerin hepsi önermenin yanlıĢ olduğunu savunmaya baĢladı. Öğrenciler bir

önermenin yanlıĢ olduğunu ispat etmekte zorlanmıyor gibidirler. Bunun üzerine

araĢtırmacı "bir önermenin yanlış olduğunu ispatlamak için sizce tek bir örnek

yeterli midir?" sorusunu ortaya attı. Sınıfta bazı öğrencilerin bir kaç örnek

deneyerek önermenin yanlıĢ olduğunu savunma eğilimi taĢıdığı gözlendi.

AraĢtırmacı bu öğrencilere niçin çok sayıda örnek denediklerini sorduğunda B

Ģubesinden Ömer gerekçesini Ģu Ģekilde sunar ve sınıfta bunun üzerine tartıĢma

baĢlar:

Ömer: Öğretmenim ya doğrulayan bir örnek daha varsa? Yani iki örnek denedim diyelim

birisinde doğru çıktı diğerinde yanlış o zaman ne olacak doğru mu yanlış mı? O yüzden

daha çok örnek denerim ki yanlış olanların sayısı artsın.

İlayda: Ama öğretmenim soruda her zaman demiyor mu? Ömer'in çok örnek denemesine

gerek yok ki.

Araştırmacı: Niçin İlayda?

İlayda: Soruda her zaman tek sayıdır demiş ama ben mesela 3'ü denedim, sonuç 2 oldu

yani çift. Demek ki her zaman tek değilmiş. Tek bir örnek yeterli bence.

Araştırmacı: [sınıfa] İlayda diyor ki biz bu ifadede hangi sayıyı denersek deneyelim

sonucun tek olmasını istiyoruz çünkü soruda her zaman tek sayıdır denilmiş. O yüzden biz

tek bir örnek denediğimizde eğer sonuç çift sayı çıkıyorsa bu örnek yeterlidir, başka

deneme yapmamıza gerek olmaz. İlayda'nın bu yorumuna ne diyorsunuz?

Ömer: Öğretmenim her zaman mı deniyor soruda?

Araştırmacı: İfadeyi bir kez daha okuyun lütfen.

Emre: Evet öğretmenim tek bir örnek yeterlidir bence de. Her zaman doğru olmayacağını

gösteriyor o örnek çünkü. Bir kez bile yanlışsa her zaman doğru olmaz sonuçta.

Araştırmacı: Peki Ömer, senin dediğine dönelim. İki örnek denedin birisinde tek, diğerinde

çift sayı çıktı. Bu durumda ifade sence doğru mu yanlış mı olur? Ne dersin?

Ömer: Öğretmenim 5 için doğru mesela. O yüzden yanlış değil ki. Tamam 7’yi

denediğimde çift çıkıyor ama hem doğru hem de yanlış gibi.

Araştırmacı: İkisi bir arada mı? Yani bir sayıyı denediğinde hem doğru hem de yanlış mı

çıkıyor ifade?

60

Ömer: Hayır, denediğime göre değişiyor. Bazen doğru bazen yanlış çıkıyor.

Emre: Ömer soruyu bir daha okuyun dedi ya öğretmen, okusana.

Araştırmacı: Ömer, size verdiğim ifadede ne diyor?

Ömer: n tek sayı olsun, n artı 1 bölü 2 her zaman tek sayıdır.

Araştırmacı: Ama demin sen ne dedin, ifade bazen doğru bazen yanlış dedin değil mi?

Soruda ise her zaman doğru diyor. Bu ikisi aynı şey mi?

Ömer: Yok, her zaman…sanırım anladım. Her zaman doğru değil, bazen doğru ama...

Araştırmacı: Evet aynen öyle, bazen doğru ama soruda bize her zaman doğru diyor. O

yüzden de ifade yanlış diyoruz ve örnek vererek bunu ispatlıyoruz. Yani her zaman doğru

olmadığını ispatlıyoruz.

Benzer bir tartıĢma diğer Ģubede de yürütüldü, bu uygulamanın sonunda

öğrencilerin karĢı örnek vererek yapılan ispat mantığında çok zorlanmadıkları

gözlendi.

8. Hafta: Bu derste öğrencilere Küchemann ve Hoyles'dan (2001-03) uyarlanan "5

kart oyunu" dağıtıldı. (Ek 1) Öğrenciler ilk olarak soru ile kendileri uğraĢtı,

ardından buldukları yanıtlar üzerinden sınıfta bir tartıĢma yürütüldü. Bu tartıĢmada

araĢtırmacının rolü sadece tartıĢmayı yönlendirmek oldu, öğrenciler birbirlerinin

verdikleri yanıtları değerlendirdiler, yapılan hataları birbirlerine gösterdiler.

Her iki Ģubede de yere düĢen kartlarda gözlemlenebilecek sayı dizesinin neler

olabileceğine iliĢkin, sorunun tam olarak okunmamasından kaynaklanan hatalar

yapılabilmiĢtir. 1-2 , 3-4, 5-6, 7-8 ve 9-10 sayıları kartlara ard arda yazılmıĢtır,

buna rağmen öğrenciler yere düĢen kartlarda 2, 4, 1, 5, 7 sayılarının

görünebileceğini örnek olarak vererek oyunda yer alan iddianın yanlıĢ olduğunu

savunabildiler. Her iki Ģubede de benzer eğilim gözlendi, öğrencilerin verdikleri bu

hatalı örnekler tahtaya yazıldığında sınıf içerisinden gelen itirazlar ile oyunda

verilen durumun ne olduğu, hangi sayıların aynı anda gelemeyeceği üzerine

konuĢulmaya baĢlandı.

Bunun üzerine araĢtırmacı önceden hazırladığı, üzerinde sayıların yazılı olduğu

kartları çıkararak öğrencilerden deneme yapmalarını ister. Tahtaya kalkan her

öğrenci kartonları önce yere atar, sonra oyunda verili koĢulu (sayılardan ikisi çift,

diğerleri tek sayı olacak) sağlamak için bazı kartların yere düĢen yüzeyini

değiĢtirerek buldukları sayıyı tahtaya yazmaya baĢlar. 3. öğrenciden sonra

araĢtırmacı sınıfa "Yaptığımız denemeler iddiayı doğrulamakta ama kartlar yere

düştüğünde bu kurala uyarak yere düşen tüm sayıların toplamının 27 olacağından

61

nasıl emin olabiliriz? Bu iddiayı nasıl ispatlarız?" sorusunu yöneltir. Sınıf ispat

üzerine tartıĢmaya baĢlar.

Bazı öğrenciler denedikleri örnekleri iĢaret ederek bu örnekleri iddianın ispatı

olarak gösterdiler. Öğrenciler bu uygulamada da ampirik verileri kullanmaya, bir

kaç örnek ile yetinmeye devam etmektedirler. Sınıfta tekrardan kullanılan 1 - 2

örneğin ispat için yeterli olup- olmayacağına yönelik bir tartıĢma yürütülmeye

baĢlandı. A Ģubesinde aĢağıdaki gibi bir diyalog yaĢanmıĢtır;

Ege: Öğretmenim iyi de 3 deneme yaptık tahtada bu üç denemede de farklı sayılar çıkmıştı,

3'ünde de sonuç 27 oldu. Yüksek bir ihtimalle 27 yani.

Beyza: Ama hadi bir tane denedin ve onda toplamı başka çıktı, 29 mesela nasıl emin

olacağız ki? Öğretmenim bende burada da önceki sorulardaki gibi, örnek vererek olmaz,

kesin olmaz yani.

Araştırmacı: [sınıfa] Peki ne yapmalı sizce? Gelebilecek tüm ihtimaller için 27 olacağını

nasıl gösteririz?

Ege: Öğretmenim başka yolu yok ki, sayıları yaptığımız gibi toplayacağız işte.

Araştırmacı: Ama Beyza denediğimiz 2-3 örnek yeterli olmaz diyor.

Ege: Hepsini yazıp toplayalım o zaman. Burada sonsuz sayı yok ki? Biraz uzun olur ama

olur.

Araştırmacı: [sınıfa] Ege yeni bir fikir attı ortaya, diyor ki elimizdeki ihtimaller sonsuz

çoklukta değil diğer sorulardaki gibi, sınırlı sayıda ihtimal var, ispat için hepsini

deneyebiliriz. Ne diyorsunuz?

Oğulcan: Olur öğretmenim, tamamen kesin sonuç olur o zaman. Uzun sürer sanırım,

denemek isteyen var mı?

[O sırada Selin ve Sidar bir kâğıda tüm ihtimalleri yazmıştır]

Selin: Öğretmenim biz yaptık, hepsinde de 27 çıkıyor, iddia doğru.

Bu tartıĢmanın ardından Selin denedikleri 10 durumu tahtaya yazarak tüm

ihtimalleri tüketir. Sınıf tahtada yazılanların dıĢında baĢka sayı ihtimallerinin

gelemeyeceğine karar verdikten sonra ispat tamamlandı. Sınıf bu uygulama ile

sonlu sayıdaki bir küme içerisinde yapılan ispatta tüm ihtimalleri tüketerek ispatın

tamamlanabileceği fikri ile yani tüketerek ispat mantığı ile tanıĢmıĢ oldu. Diğer

Ģubede ise tüm ihtimalleri deneyerek ispatın tamamlanacağı fikri A Ģubesindeki

gibi öğrenciler tarafından ortaya atılmadı, araĢtırmacının "Peki acaba denediğiniz

sayılara ek olarak, kartlar atıldığında gelebilecek tüm sayı dizilerini yazarak ispatı

tamamlayabilir miyiz sizce?" yönlendirmesi ile sınıfta ispat tamamlandı. Bu

uygulama ile ders tamamlandı.

9. Hafta: Bu hafta tüketerek ispat uygulamalarına devam edildi. " x{-1, 0, 1} ise

2x 2 dir." önermesi sınıfa sunuldu. Ġfadenin ispatına geçilmeden önce

62

araĢtırmacı sınıfa " " simgesinin ne anlama geldiğini sordu. "<" veya ">"

iĢaretlerine alıĢık olan sınıf küçük eĢittir iĢaretini yorumlamakta biraz zorlandı.

Bunun üzerine araĢtırmacı bu iĢaretin anlamına yönelik sınıfa bir anlatımda

bulunarak küçük ve büyük eĢittir iĢaretleri ile ilgili bir kaç alıĢtırma yapıldı.

Ardından önermenin ispatına geçildi, her iki Ģubede de öğrencilerin önemli bir

kısmı önermenin doğru olduğunu söyleyerek tahtaya kalkmak için parmak

kaldırdılar. Bunun üzerine bir öğrenci tahtaya kalkar ve x'e 1 değerini vererek

iĢlemi yapar, önermeyi doğrular. Hemen ardından araĢtırmacı öğrenciyi durdurur

ve sınıfa yapılan bu tek örneğin ispat için yeterli olup olmadığını sorar.

Öğrencilerin çoğu hepsini deneyelim yanıtını verir ve bunun üzerine tahtadaki

öğrenci diğer iki sayıyı da deneyerek ispatı tamamlar.

Daha sonra öğrencilere " x {2, 3, 5, 7} ise 2x-1 her zaman asal sayıdır."

önermesi verilir ve araĢtırmacı bu soruda öğrencilerin ispatı ilk önce defterlerine

yapmalarını ister. Öğrenciler tahtaya kalkmak için parmak kaldırırken araĢtırmacı

sınıfta dolaĢarak parmak kaldıran öğrencilerin defterlerine bakar, öğrencilerin

büyük bir kısmı sadece 2 ve 3 sayılarını deneyerek önermeyi doğruladılar. Bunun

üzerine araĢtırmacı tahtaya kaldırmadan öğrencilere sıralarında söz vermeye

baĢlar ve B Ģubesinde aĢağıdaki diyalog yaĢanır:

Araştırmacı: İbrahim sen ne diyorsun ifadeye dair?

İbrahim: Bence doğru öğretmenim.

Araştırmacı: Peki bunu nasıl ispatlarız? Sen nasıl yaptın?

İbrahim: Öğretmenim önce 2'yi denedim 3 çıktı, 3 asal sayıdır. Sonra 3'ü denedim, o

zaman da 7 çıktı. 7 de asal sayı. Böylece bulmuş oldum.

Araştırmacı: [sınıfa] İbrahim verilen kümedeki iki sayıyı denemiş. Sizce bu yaptığı yeterli

mi?

Tuna: Öğretmenim ben 5'i de denedim. O zaman da 31 çıkıyor, 31 de asal sayı. 7'yi

denemedim ama o sayı büyüktü çünkü.

İlayda: Öğretmenim hepsini denemezsek eksikli olur ama yani ispat olmaz. 2x-1'in her

zaman asal sayı olduğunu söylüyor. Doğru olması için kümedeki tüm elemanların

sonucunun asal sayı olması gerek. Ben 7'yi de denedim, tamam o da asal sayı çıkıyor,

sonuç 127 oluyor ki o da asal sayı ama iddia doğru dememiz için hepsini denememiz lazım.

Araştırmacı: [sınıfa] İlayda bize bir şey hatırlattı dikkat ettiniz mi? Eğer iddianın

doğruluğunu ispatlamak istiyorsak tüm sayılar için doğru olduğunu göstermemiz

gerekiyordu. Bu soruda sayı kümemiz sınırlanmış, tüm sayılar için değil de kümedeki

sayılar için doğru olup olmadığına bakmaktayız. İlayda diyor ki ispatlamak için kümedeki

tüm sayıları denemeliyiz? Ne dersiniz?

Tuna: Deneyelim o zaman hocam, zaten İlayda'da eksik kalan sayıyı söylemişti. İspat

tamamlandı.

63

Öğrenciler her ne kadar tüketerek ispat yöntemi mantığına yönelik bir itiraz

geliĢtirmemiĢ, az sayıda örnekle yetinme eğiliminde ısrarcı olmamıĢlarsa da

önermenin tanımlı olduğu kümedeki eleman sayısı arttıkça bu elemanların tümünü

deneme pratiğinden vazgeçmiĢlerdir. Ders araĢtırmacı tarafından bu önermenin

ispatının tüketerek ispat yönteminin mantığı öğrencilere anlatılarak tahtada

tekrarlanması ile tamamlandı.

10. Hafta: Öğrencilere Halıcı'dan (2005, s.49) uyarlanan "Güreşçiler" (Ek 1)

oyunu dağıtıldı. Bu oyun üzerinden durum yolu ile ispat mantığı öğrencilerle

paylaĢılmaya çalıĢıldı. Bu örnek olayda aktarılan hikâye öğrencilerin gözünde

rahat canlansın diye araĢtırmacı tahtaya birbirini dik kesen 20 dikey, 10 yatay

paralel çizgi çizdi. Bu çizgilerin kesiĢme noktaları örnek olayda aktarılan

sandalyelerdir ve güreĢçiler bu kesiĢme noktalarına oturmaktadır. AraĢtırmacı

öğrencilerin örnek olayı bu yerleĢme planı üzerinden düĢünmelerini ister.

Öğrenciler oyuna dair yorumlarda bulunur ama gerekçelerini çok

temellendiremediler. Her bir sıra ve sütunu ayrı ayrı düĢünmek ve bu parçalardaki

değerlendirmelerini bir araya getirmekte zorlandılar. A Ģubesinden Sude bu

oyunda aklının karıĢtığını belirtirken zorlandığı noktayı Ģu Ģekilde ifade eder:

Öğretmenim şimdi siz bu tabloyu verdiniz ya Ali'yi bir yere yerleştireyim diyorum,

sonra da Mehmet'i kolonlara bakarak bir yere yerleştireyim diyorum, sonra da

karşılaştıracağım ama orada karıştırıyorum her şeyi. Kolonlar sıralar kesişiyor

ya, çok alakasız yerlerde de oturuyor olabilirler ya da aynı kolon ya da sırada da

olabilirler. Nasıl bilicez ki? (Sude)

Sude verili anlatımı okuyup kendince oturulan yere göre durumları yorumlamaya

çalıĢırken her iki Ģubede de öğrencilerin büyük bir kısmı verili anlatımı parçalı

düĢünme noktasında zorlandılar. ġu ifadelere benzer aktarımlara her iki Ģubede

de sıkça rastlandı; "Öğretmenim nerde oturduklarını nasıl bilelim, orada bir sürü

sandalye var. Bilemeyiz bence. O şekilde karşılaştırmak mümkün değil." (Emre, B

Şubesi) , " Bence yanlış, çünkü soruda Mehmet seçilenler arsında en ağır olan

diyor zaten. O yüzden Mehmet daha ağır bence." (Ömer, A Şubesi), ",

"Öğretmenim birisi kolona göre kıyaslanmış, diğeri oturduğu sıraya göre bunlar

bağımsız gibi, nerede oturduklarını bilmeden karşılaştırabilir miyiz?" (Berk, A

Şubesi).

64

Bu aktarımlardan da görüldüğü üzere, her iki Ģubede de öğrencilerin bu oyuna

iliĢkin verdikleri yanıtları incelediğimizde bir grup öğrenci verili bilgiler üzerine

ayrıntılı düĢünmek yerine genel bir değerlendirme yapıp (Ali ağırlar arasından

seçilmiĢ, o zaman o daha ağırdır ya da Mehmet seçilenler arasındaki en ağır olanı

imiĢ o zaman o daha ağırdır gibi) yanıtlarını iletmiĢlerdir. Bu öğrenciler her iki

Ģubede de çoğunluktadır. Bazı öğrenciler ise Mehmet ve Ali'yi karĢılaĢtırmak için

oturdukları yerleri bilmek gerektiğini, bunu bilmenin de pek mümkün olmadığını

savunmuĢlardır. Yukarıda Sude'den aktarıldığı üzere bazı öğrenciler ise doğru bir

mantık yürütmüĢler, Ali ve Mehmet'in oturdukları yerin farklı farklı ihtimaller yani

durumlar yaratabileceğini ve her birini değerlendirmek gerektiğini hissetmiĢler. Ne

var ki bu düĢüncelerini uygulamada tamamlayamamıĢlardır.

Sınıf içi tartıĢmalar bu eksende ilerlerken araĢtırmacı verilen örnek olayı çözme

doğrultusunda sınıfı yönlendirmeye baĢlar. Ġlk olarak bazı öğrencilerin de dile

getirdiği üzere Ali ve Mehmet'in oturduğu sandalyelerin birbirlerine göre

konumlarına dikkat etmelerini ister. A Ģubesinde tahtaya "Ali ve Mehmet aynı

sırada oturuyor iseler", "Ali ve Mehmet aynı kolonda oturuyor iseler" ve son olarak

"Ali ve Mehmet aynı kolon ve sırada oturmuyor iseler" olmak üzere 3 ayrı durum

yazar ve öğrencilere sorar;

Araştırmacı: Ali ve Mehmet bu tahtaya çizmiş olduğum sandalye düzeninde bir yerde

oturuyor, ama biz nerede oturduklarını bilmiyoruz. Bir de tahtaya oturdukları yer için üç

ayrı durum yazdım. Sizce bu üç durumun dışında başka bir ihtimal olabilir mi?

[öğrenciler tahtaya bakarak bir müddet düşünür ve kendi aralarında konuşurlar, o sırada

Berk söz alır]

Berk: Yok, yani evet... Şimdi yine düşünüyorum ya aynı sırada olabilirler, ya aynı sütun ya

da bağımsız oturacaklar. Öğretmenim bu yazdığınız üçüncü durum yani aynı kolon ya da

sırada olmamaları bağımsız oturuyor gibi olurlar değil mi? Birisi bir sırada diğeri ayrı bir

kolonda gibi.

Araştırmacı: Evet aynen öyle.

Berk: O zaman bu kadardır, başka bir ihtimal, hmm ... olamaz.

Araştırmacı: Bakın bu üç durum birbirinden ayrı, bağımsız durumlar. Bakın mesela ya

aynı sırada oturuyor olabilirler, gelin iki nokta belirleyelim, birisi Ali diğeri Mehmet olsun.

[o sırada aynı sıra üzerinde iki noktayı kırmızı renk kalem ile belirginleştirir] Ya da aynı

kolon üzerinde [başka iki noktayı siyah kalem ile belirginleştirir]. Son olarak ne dedik

birbirinden bağımsız, alakasız yerlerde oturuyor olabilirler onları da yeşil kalem ile

belirginleştirelim, birisini buradan diğerini de buradan seçelim [yeşil kalemle çizilen

düzende bir sağ üst köşeden bir de sol alt köşeden iki nokta belirginleştirir]. Bu çizdiğimiz

noktalar birbirinden bağımsız durumlar, kırmızı ile siyah noktalar aynı ilişkiye sahip değil

mesela. O yüzden de üçünü de ayrı ayrı incelememiz gerekmekte. Eğer üçünde de Ali ağır

çıkar ise oyunda verilen iddia doğru demektir. Peki, kim bana tahtada yardım eder bu üç

durumu incelemek için?

65

AraĢtırmacı gerek tahtaya kalkan öğrenciye gerekse sınıfa sorular sorarak 3

durumu da tek tek incelettirdi. Her üç durumda da Ali'nin Mehmet'ten ağır olduğu

sonucuna varan öğrencilere son olarak da üç durumda da aynı sonuca ulaĢtıkları

için iddianın doğruluğunu ispatladıklarını vurguladı. AraĢtırmacının doğrudan

yönlendirmesi ile bu oyun tamamlandı.

11. Hafta: Önceki hafta ele alınan durum yolu ile ispat yöntemine yönelik

hatırlatmalarda bulunuldu. Ardından güreĢçilerin oturma yerlerine göre var olan

durumlar anımsatılarak, birbirinden bağımsız olan durumlar sayılar üzerinden

örneklendirilmeye çalıĢıldı. Tamsayılar örnek olarak alındı ve tamsayıların

birbirinden farklı durumlara nasıl ayrılabileceği üzerine konuĢuldu.

Öğrencilerin sayıların olası durumlarını belirlemekte zorlandığı gözlenmiĢtir. Bunun

üzerine B Ģubesinde araĢtırmacı aĢağıdaki yönlendirmelerde bulunur:

Araştırmacı: Şimdi tamsayılar deyince aklınıza ne geliyor?

Yeliz: 1, 2, 3, 4, 5

Araştırmacı: Başka?

Orhan: Eksili sayılar da var öğretmenim, -1, -2, -3 gibi.

Araştırmacı: Tamam şimdi bir sayı doğrusu çizelim [der ve tahtaya sayı doğrusu çizer]

burası 0 noktası olsun, Yeliz'in söylediği sayılar 0'ın sağ tarafında kalmakta, Orhan'ın

söylediği negatif sayılar ise sol tarafta. [0'ın sağ ve sol tarafını daire içerisine alır.] Bakın

bunlar birbirinden bağımsız bölgeler değil mi, bu bölgelerdeki sayılar birbirinden farklı

özellikler taşımakta. O zaman sağ taraf yani pozitif sayılar ve sol taraf negatif sayılar

tamsayıların iki ayrı durumu olabilir diyebilir miyiz sizce? Durumlar ne idi, birbirinden

bağımsız, ayrık ve birleşimi ana kümeyi, yani burada tamsayıları veren alt kümelerdi değil

mi?

Orhan: Öğretmenim ama 0 dışarıda kaldı, onu da katmamız gerekmez mi?

Araştırmacı: Evet, o zaman şöyle diyelim mi tamsayılar pozitif, negatif sayılar ve 0 olarak

üç alt kümeye ayrışabilir. Bu 3 küme tamsayılar kümesinde ele alınacak 3 ayrı durum

olabilir. Bu üç ayrı durum tek tek incelenerek oturma düzeninde olduğu gibi, tamsayıların

tümünü incelemiş oluruz.

Orhan: Evet oluruz.

Öğrenciler sayıların iĢaretlerine göre ayrıĢtırılan bu durumlara ek olarak baĢka

özellikler üzerinden de tamsayıların farklı durumlara ayrıĢtırılabileceğine dair

bilgilendirildi. Daha sonra yine aynı Ģubede tahtaya yeni bir sayı doğrusu çizen

araĢtırmacı tek sayıları kırmızı, çift sayıları siyah kalemle belirtir ve diyalog Ģu

Ģekilde devam eder;

66

Araştırmacı: Şimdi de başka özellikleri üzerinden tamsayıları durumlarına ayıralım.

Tahtaya çizdiğim sayı doğrusunu bir inceleyin, sayılara dair hangi özellik dikkatinizi

çekiyor?

İlayda: Tek ve çift sayılar.

Araştırmacı: Peki bu özellik de sizce sayıların işaretlere göre ayrışmasında olduğu gibi

birbirinden bağımsız alt kümeler oluşturur mu?

Emre: Siz çizmişsiniz zaten, tamsayılar için olur. O zaman tamsayıları tek ve çift sayılar

olarak da inceleyebiliriz değil mi?

Araştırmacı: Evet aynen öyle...

Dersin baĢında sayıları durumlara ayırma konusunda zorlanan öğrenciler,

araĢtırmacının doğrudan yönlendirmesi ile bir miktar ilerleme kaydetmiĢlerdir.

Daha sonra ise araĢtırmacı 2'ye ve 3'e bölünebilme durumlarına göre tamsayıları

durumlarına ayrıĢtırma alıĢtırmalarına geçiĢ yapmıĢtır.

A Ģubesindeki öğrencilere araĢtırmacı Ģu soruyu yöneltti;

Araştırmacı: Şimdi şu soru üzerine düşünmenizi istiyorum, her tam sayı 2'ye bölünür mü?

Nilay: Bölünmez. Tek sayılar var ya, onlar bölünmez.

Araştırmacı: Peki biz 2'ye bölünen sayıları nasıl yazıyorduk?

Nilay: 2x, yani çift sayıları böyle yazıyorduk.

Araştırmacı: Doğru. [der ve tahtaya "2'ye bölünen sayılar 2x" yazar] Peki sayı 2'ye

bölünmüyor ise onu nasıl gösteriyorduk?

Gülin: 2x+1 oluyordu o da.

Araştırmacı: Tamam. [der ve tahtaya "2'ye bölünmeyen sayılar 2x+1" yazar] Peki şimdi

tahtaya kim gelir, birlikte bölme işlemi yapacağız?

[Araştırmacı parmak kaldıran öğrencilerden Ömer'i seçer ve tahtaya kaldırır]

Araştırmacı: Ömer şimdi bir çift sayı almanı ve onu 2'ye bölmeni istiyorum, işlemi

ilkokulda yaptığımız gibi yap bölme işleminde bölüneni, bölümü ve kalanı açık olarak

yazıyorduk ya hani.

[Ömer 18 sayısını 2'ye böler.]

Araştırmacı: Peki Ömer bu bölme işleminde kalan sayı var mı?

Ömer: Kalan 0 oluyor. Yok.

Araştırmacı: Yaptığın bölme işlemine bakıp bölünen sayıyı bölen, bölüm ve kalan sayıları

kullanarak nasıl yazıyorduk hatırlıyor musun?

Ömer: 18'i bunların çarpımı şeklinde mi yazacağım.

Araştırmacı: Evet.

[Ömer tahtaya 18 = 2. 9 yazar]

Ömer: Artı 0 yazmama gerek yok sanırım.

Araştırmacı: Yok evet bu yeterli, bakın Ömer 18'i 2 çarpı 9 şeklinde yazdı. Bu benim en

başta yazığım 2'ye bölünen sayılar gösterimime uygun değil mi?

[sınıftan "evet" sesi yükselir]

Araştırmacı: Ömer şimdi de senden tek bir sayıyı yine bu şekilde 2'ye bölmeni istesem.

67

[Ömer 17 sayısını 2'ye böler]

Ömer: Bunu da 18 gibi yazayım mı?


[Ömer tahtaya 17= 2.8 + 1 yazar]

Ömer: Burada kalan sayı olduğu için onu da ekledim.

Araştırmacı: Bakın Ömer ne yazdı 2 çarpı bir sayı, yani 8 artı 1, yani bu da kalan sayı.

Bizim 2'ye bölünmeyen sayılar için gösterimimiz ne idi; 2x+1. O zaman buradaki artı 1

kalan sayıyı göstermekte imiş değil mi?

[sınıftan "evet" sesi yükselir]

Araştırmacı: İsterseniz siz de başka tek sayıları deneyin, göreceksiniz ki kalan hep 1

olacak. Şimdi tekrar başa dönelim, ne demiştik sayılar ya 2'ye bölünür, ya da 2'ye

bölünmez tek sayı olurlardı. İki durumumuz var bu sefer 2'ye bölünebilme üzerine.

Birisinde [tahtadaki çift sayı gösterimini işaret etmekte] 2'ye bölündüğünde kalan 0 oluyor,

diğerinde ise kalan 1 oluyor. Kalan sayı 2'den küçük olmalı bu nedenle de başka

ihtimalimiz yok zaten. O yüzden tamsayılar, 2'ye bölünebilme ihtimali üzerinden 2 duruma

ayrılır; birisi 2x diğeri de 2x+1 gösterimi. Burada anlaşılmayan bir şey var mı?

Adım adım gerçekleĢtirilen bu aktarımın ardından, durum yolu ile ispat örneği

olarak derste ele alınacak uygulamada kullanılacağı için 3'e bölünebilmesi

üzerinden tamsayıların durumlarına ayrılması alıĢtırmasına geçildi.

Araştırmacı: Peki arkadaşlar 2'ye bölünebilme aslında alışıkta olduğumuz bir uygulama

idi, şimdi biraz daha zorlaştırsak ve 3'e bölünebilme ihtimaline göre tamsayıları

durumlarına ayırsak nasıl yaparız? Aslında 2'ye bölünebilmeden pek farklı değil. Gelin

bunu birlikte yapalım. İlk durumumuzda tamsayı 3'e bölünsün, nasıl gösteririz?

[sınıftan bazı öğrenciler "3x" der, araştırmacı tahtaya "1. Durum: sayı 3'e tam

bölünüyorsa 3x" yazar.]

Araştırmacı: Peki sayı 3'e tam bölünmüyorsa kalan ne olur sizce? 3'e bölünmeyen sayılar

üzerinden düşünebilirsiniz.

Recep: 1 olabilir öğretmenim, mesela ben 7'yi denedim, 1 kaldı.

Araştırmacı: Tamam Recep gel tahtada 7'yi 3'e böl ve 7'yi bölüm ve kalan sayıya göre yaz,

hani Ömer yapmıştı ya 2'ye bölünebilme üzerinden.

[Recep tahtaya kalkar bölme işlemini yapar ama devam ettirmekte zorlanır, araştırmacı

bunun üzerine Recep'i yönlendirmeye başlar]

Araştırmacı: Recep 7'yi 3'e böldüğünde kalan sayı ne oldu?

Recep: 1

Araştırmacı: Peki, bölüm ne oldu? Bölüm ne idi, 7'yi 3'e böldüğünde çıkan sayı idi değil

mi?

Recep: Evet, o da 2 oldu.

Araştırmacı: Tamam şimdi nasıl yazıyorduk; 7 eşittir ... [bu sırada Recep araştırmacının

söylediklerini tahtaya yazmaktadır], bölen sayı çarpı bölüm yani ...

Recep: 3 çarpı 2 artı 1 olur.

Araştırmacı: Evet doğru, teşekkürler Recep. Şimdi 3'e bölünen sayıya 3x demiştik ya bunu

da sembolik olarak, yani 1 kalanını veren sayıları da sembolik olarak göstersek nasıl

gösteririz sence?

68

Recep: 3 ile çarpılacak değil mi? 3x + 1 olur o zaman.

Araştırmacı: Doğru [der ve Recep yerine otururken tahtaya "2. Durum: sayı 3'e

bölündüğünde 1 kalanını veriyorsa 3x+1" yazar.] Şimdi... Sizce bu kadar mı? Başka bir

durum daha var mı?

Berk: Öğretmenim 2 kalanını da verebilir, o zaman da 3x+2 olur.

Araştırmacı: Berk hemen sembolik gösterimi ile birlikte üçüncü durumu da söyledi, onu da

yazalım. Berk ne dedi, herhangi bir sayıyı 3'e böldüğümüzde 2 kalanını da verebilir,

mesela 8'i 3'e bölün. 8 bu koşula uyan bir sayı. 3x+2'yi de yazalım. [tahtaya "3. Durum:

sayı 3'e bölündüğünde 2 kalanını veriyorsa 3x+2" yazar] Peki başka?

Berk: Başka yok çünkü kalan sayı 3'den küçük olmalı, işte 0, 1, 2 olabilir onları da yazdık.

Bir sayının 3'e bölünebilmesi ile ilgili; 3x, 3x+1 ve 3x+2 olmak üzere 3 ayrı

durumun var olduğuna yönelik yürütülen bu tartıĢmanın ardından araĢtırmacı tüm

derste ele alınanları kısaca özetleyerek dersi tamamladı. Yalnız bu uygulama

sırasında her iki sınıfta da derse katılım oranı iyice düĢmüĢ, az sayıdaki öğrenci ile

bu tartıĢma yürütülmüĢtü.

12. Hafta: AraĢtırmacı dersin baĢında geçen hafta ele alınan gösterimlere yönelik

kısa bir hatırlatmada bulundu, geçen hafta incelenen gösterimleri tahtaya yazdı.

Ardından bu gösterimleri akıllarında tutarak öğrencilerden Ģu önermeyi

ispatlamalarını ister; "Bir sayı tutun, daha sonra bu sayı ile ardışığını toplayın.

Elinizde, tuttuğunuz sayı, ardışığı ve bu iki sayının toplamı olsun. Bu üç

sayıdan birisi muhakkak 3'ün katıdır.". AraĢtırmacı öğrencilerden ilk önce kendi

kendilerine, defterlerine yazarak ispat ile uğraĢmalarını istedi.

Bu süreçte sıralar arasında dolaĢarak öğrencileri takip eden araĢtırmacı

öğrencilerin hiç birinin sayıları 3'e bölünebilme ihtimali üzerinden durumlarına

ayırmaya çalıĢmadığını gözlemledi. Bazı öğrenciler cebirsel ifade kullanmaya

çalıĢmıĢ; x, x+1 ve 2x+1 yazdıktan sonra cebirsel olarak ispata devam

edememiĢlerdir. Bir süre sonra öğrenciler parmak kaldırarak ispata yönelik

düĢüncelerini söylemeye baĢladılar, öğrenciler önermenin doğru olduğunu

savunmakta ispat olarak da denedikleri sayısal örnekleri göstermektedirler. Bunun

üzerine defterinde ispata cebirsel gösterimler baĢlayan, buna karĢın sayısal örnek

vererek önermenin doğru olduğunu ifade eden Beyza'ya (A ġubesi) söz verilir;

Araştırmacı: Beyza sen ne söylersin bu ifadeye dair?

Beyza: Öğretmenim doğru bence. Ben 7 aldım, bir sonraki 8 oldu. Toplamı 15. 15 3'e

bölündüğü için doğru bence.

Araştırmacı: Peki bu denediğin sayılar bu ifadenin ispatı mı?

69

Beyza: Değil aslında, sadece denediğim örnekler için doğru oluyor aslında ama başka bir

şey yapamadım.

Araştırmacı: Defterinde ispat yapmaya çalışırken cebirsel ifadeler kullandığını gördüm,

peki niçin cebirle devam etmedin?

Beyza: Edemedim, x'i aldım sayı olarak, ardışığı x+1 olur, toplamları ise 2x+1 ama bunlar

3'e bölünür mü bilemedim. İspatı bu şekilde ilerletemedim.

Araştırmacı: [sınıfa yönelerek] Örnek vermenin ispat olmadığını önceden konuşmuştuk.

Bakın Beyza bu ifadeyi cebir kullanarak ispatlamaya çalışmış ilk önce ama sonra devam

edememiş, ilerleyememiş. Şimdi birlikte Beyza'nın kaldığı yerden devam etmeye çalışalım.

Beyza'nın cebirsel olarak aldığı sayılara tekrar bakalım, [tahtaya x, x+1 ve 2x+1 yazar]

bu sayılardan hiç biri 3'e bölünür gözükmüyor. Aslında bu ifadeleri 3 ile ilişkilendirmek

zor. Beyza da o yüzden devam edemedi. Şimdi, 2 haftadır konuştuğumuz konuyu bir

düşünün. Ne yapıyorduk sayıları durumlarına göre ayırmayı öğrenmiştik. Şimdi bu soruda

sizce sayıyı hangi şekilde durumlarına ayırmak işimize yarar? Bir düşünelim, tek ve çift

gibi mi yoksa 3'e bölünebilme durumuna göre mi ayırmalı sizce?

Berk: 3'e bölünüp bölünemediğine göre ayırmalı soruda onu istiyor çünkü.

Araştırmacı: Tamam, peki 3'e bölünebilme durumuna göre sayıları kaç duruma

ayırıyorduk?

Berk: Hmm, bir saniye, sanırım 3'tü. İlki 3'e tam bölünen sayılardı.

Araştırmacı: Burada şimdilik dur Berk, ispatı hadi birlikte yapalım. [sınıfa yönelerek]

Şimdi Beyza ne yapmıştı cebirsel olarak sayıyı tüm tamsayıları temsil eden bir sembol

olarak, x olarak almıştı. Ama bu şekilde devam edemedi. Şimdi Berk ise bu aldığımız sayıyı

tek bir şekilde değil de 3 ayrı durumda inceleyelim diyor. İlk durum olarak aldığımız sayı

3'e tam bölünsün dedi. Peki, bu durumda sayıyı nasıl gösteriyorduk?

[Sınıftan 3x sesi gelir ve araştırmacı tahtaya " 1. Durum 3x yazar]

Araştırmacı: Peki tuttuğumuz sayı 3x ise, hadi birlikte yazalım ardışığı ne olur? 3x+1,

toplamları ise 6x+1. Peki bu durumda bu 3 sayıdan birisi 3'ün katı çıktı mı?

Selda: Evet öğretmenim ilk aldığımız sayı 3'ün katı zaten.

Araştırmacı: 1. durumumuz ifadeyi doğruladı buraya bir tik atalım. Şimdi ikinci durum, 2.

durum ne olabilir?

Berk: Bu sefer kalan 1 olsun öğretmenim. 3x+1 yazarız bu sefer.

[başarılı öğrencilerden birisi olan Berk hemen atılarak cevap verir, ama sınıfın büyük

çoğunluğu bu tartışmaya aktif katılım sergilemez, bazıları sadece tahtayı izlemekte,

bazıları ise tahta ile hiç ilgilenmemektedir]

Araştırmacı: [söylenen sayıyı tahtaya yazar] ardışığı ne olur? … [sınıftan birileri 3x+2

der] 3x+2, toplamları ise … 6x+3. Peki buradaki üç sayıdan birisi 3'ün katı mı?

[öğrenciler bir süre yazılan sayılara bakar, cevap veren olmaz, daha sonra Sidar söz alır]

Sidar: Evet bu sefer de toplamları 3'ün katı öğretmenim, 6x+3 3'e tam bölünür.

Araştırmacı: Bu 2. duruma da tik atabiliriz o zaman. Geldik son duruma, bunu kim

söyleyecek?

Selda: 3x+2 olur tuttuğumuz sayı. 3'e bölündüğünde 2 kalanını verir yani.

Araştırmacı: Devamını da söyle Selda, ben de tahtaya yazayım söylediklerini.

Selda: Bir sonraki sayı 3x+3 olur. toplamları ise 6x+5. ıııı ... Burada ise 3x+3 3'ün katı

olur.

Araştırmacı: Bakın her 3 durumda da elimizdeki sayılardan birisi muhakkak 3'ün katı çıktı.

O zaman ne diyoruz? İfade doğrudur. İspatını da bu şekilde yapmış olduk. Bakın ne yapmış

olduk, cebir kullanarak ispat yapmaya çalıştık ama bir yerde tıkandık. İşte

ilerleyemediğimiz o noktada x olarak ele aldığımız sayıyı durumlarına ayırdık. Soruda bize

70

3'e bölünebilme ile ilgili bir şey sorulmuştu o yüzden işimizi kolaylaştırmak için ele

aldığımız sayıyı 3'e bölündüğünde kalan sayıya bakarak üç ayrı durumda inceledik.

Ġspatın anlaĢılıp anlaĢılmadığını sorup, anlaĢılmayan yerleri tekrarladıktan sonra

araĢtırmacı öğrencilere yeni bir önerme verdi. Yalnız sınıfın önemli bir bölümü

ispatı anlamadığını belirtmese de yapılanlarla pek ilgilenir gibi

gözükmemekteydiler. AraĢtırmacı öğrencilerden "n tam sayı ise n2-n her zaman

2'ye bölünebilen bir sayıdır." önermesini öncelikle defterlerinde ispatlamalarını

ister. O esnada Ģu hatırlatmada bulunur; “Bakın bu soruda da şu an n2-n 2’ye

bölünür mü bilememekteyiz. İşte ispatı yaparken devam edemediğiniz böyle

anlarda size verilen sayıyı durumlara ayırmayı düşünün. Burada n tamsayısı hangi

şekilde durumlarına ayrılırsa işinize yarar, onu düşünün.”.

Öğrencilerin bir kısmı araĢtırmacıya danıĢarak n sayısını tek ve çift sayı olarak iki

ayrı durumda inceleyeceklerini fark eder. Yalnız bu öğrencilerin sayısı her iki

Ģubede de az olmuĢtur. Öğrencilerin önemli bir bölümü ise ispat ile ilgilenmemek

veya örnek deneyerek önermenin doğru olup olmadığına kontrol etme

eğilimindeydi. Bu önermenin ispatında öğrencilerin cebirsel ifadeleri kullanmaktan

kaçınmalarına ek olarak, 2x+1 ifadesinin karesini almakta da zorlandıkları

gözlenmiĢtir. Öğrenciler anlamadıkları veya zorlandıkları anlarda dersi dinlememe,

baĢka Ģeylerle uğraĢma eğilimi göstermektedir. Bu tüm uygulama boyunca

araĢtırmacının zaman zaman karĢılaĢtığı ve zorlandığı olumsuz anlar yaratmıĢtır.

Yalnız durum yolu ile ispat uygulamasında bu durumla diğer uygulamalara göre

daha sık karĢılaĢılmıĢ, araĢtırmacı büyük oranda dersi sadece ilgili öğrencilerle

devam ettirmek durumunda kalmıĢtır.

Böyle bir anda araĢtırmacı defterinde cebrisel ifadeleri kullanarak ispat yapmaya

çalıĢan Ġlayda‟yı (B Ģubesi) tahtaya kaldırır ve tüm sınıfın kendilerini dinlemesini

ister. Bu önermenin ispatında n sayısını tek ve çift sayı olarak iki ayrı durumda ayrı

ayrı inceleyeceklerini sınıfa belirtir ve Ġlayda‟dan tek tek bu durumları yazarak

ispatı devam ettirmesini ister. Takıldığı noktada Ġlayda‟ya yardımcı olan

araĢtırmacı özellikle de 2x+1 sayısının karesini alırken, bu sayıyı parantez içinde

yan yana yazıp terimleri tek tek çarparak iĢlemleri yapmasını söyler. Ġspat

tamamlandıktan sonra da kendisi 3x+2 teriminin karesini öğrencilere bu tür

iĢlemleri nasıl yapmaları gerektiğini anlatarak gerçekleĢtirir. Ders bu Ģekilde

tamamlanır.

71

13. ve 14. Hafta: Uygulamada ele alınacak ispat yöntemleri tamamlanmıĢtır.

Bunun üzerine son iki hafta bu yöntemlere yönelik hatırlatmalarda bulunmaya

ayrılmıĢtır. 13. haftada uygulama 2 ders saatine yayılmıĢtır ve doğrudan ispat ve

karĢı örnek vererek ispat yöntemleri ile ilgili Ģu örnekler ele alınmıĢtır;

“ArdıĢık iki tek sayının toplamı her zaman 4‟ün katıdır.” (Doğrudan

ispat)

“a ve b rakam olsun, bu durumda ab+ba sayısı her zaman 11‟in

katıdır” (Doğrudan ispat – bu ispat derste ele alınırken iki basamaklı

sayılar üzerinden sayıları basamak değerlerine göre ayrıĢtırma

alıĢtırmaları da yapıldı)

“Bir tek sayı, iki çift sayının çarpımına eklenirse sonuç daima çift sayı

olur.” (KarĢı örnek vererek ispat)

“Bir sayının karesi o sayının kendisinden daima büyüktür.” (KarĢı

örnek vererek ispat)

Bu ispat uygulamaları sırası ile sınıfta uygulanmıĢ ve bu sefer derste

gerçekleĢtirilen ispatların ardından ispat yöntemlerinin adlandırmalarından da

bahsedilerek yapılan ispatlar isimlendirilmiĢtir.

14. hafta da ise tüketerek ispat ve durum yolu ile ispat örneklerine yer verilerek bu

yöntemlere dair hatırlatmalarda bulunulmuĢtur. 14. hafta uygulama 1 ders saati

sürmüĢtür. Yapılan ispatların ardından bu yöntemlere dair adlandırmalar da

öğrencilere verilmiĢtir. Derste Ģu uygulamalar yer almıĢtır;

“n {-2, -1, 0, 1} ise 0< 2n ≤ 2 dir” (tüketerek ispat örneği).

“ArdıĢık iki sayının toplamı 4‟e bölündüğünde her zaman ya 1 ya da 3

kalanını verir” (durum yolu ile ispat örneği).

“ a, b tam sayı ve a > |b| ise a – b > 0 „ dır” (durum yolu ile ispat

örneği).

72

3.5. Veri Toplama Araçları

AraĢtırmacı tarafından veri toplama araçları olarak kullanılan baĢarı testi, hazır

bulunuĢluk testi, ispat testi 1, ispat testi 2, ispat testi 3 ve yarı yapılandırılmıĢ

görüĢme formu 6 öğretim üyesi ve 2 ortaokul matematik öğretmeninden oluĢan

uzmanlara sunularak, onların eleĢtiri ve önerileri doğrultusunda son Ģeklini

almıĢtır. AĢağıda veri toplama araçlarına yönelik ayrıntılar sunulmuĢtur.

3.5.1. BaĢarı Testi

Uygulamanın gerçekleĢtiği Ģubeleri daha iyi betimleyebilmek amacı ile her iki

Ģubeye de 15 soruluk baĢarı testi uygulanmıĢtır. Uygulama 7. sınıfın ilk aylarında

baĢlayacağı için öğrencilere 6. sınıf müfredatını içeren bir test hazırlamak uygun

bulunmuĢtur. Bu doğrultuda 2008, 2009 ve 2010 yıllarına ait 6. sınıf SBS

sorularından konu dağılımı dengesi dikkate alınarak, 15 soruluk seçme bir sınav

oluĢturulmuĢtur.

BaĢarı testinin oluĢturulma sürecinde ilk olarak Milli Eğitim Bakanlığı'na bağlı,

Yenilik ve Eğitim Teknolojileri Genel Müdürlüğü'nden 6. sınıf seviye belirleme

sınavları matematik testine yönelik analizler alınmıĢtır. 2008, 2009 ve 2010

yıllarında gerçekleĢmiĢ olan 6. sınıf seviye belirleme sınavlarının matematik testi

madde analizleri, özellikle madde ayırt edicilik indeksi dikkate alınarak 15 maddelik

test oluĢturulmuĢtur. Seçilen soruların yer aldıkları sınavlar içerisindeki madde

ayırt edicilik indeksleri Ģu Ģekildedir;

1. soru 0,8 6. soru 0,67 11. soru 0,74

2. soru 0,38 7. soru 0,42 12. soru 0,43

3. soru 0,71 8. soru 0,28 13. soru 0,57

4. soru 0,44 9. soru 0,56 14. soru 0,65

5. soru 0,42 10. soru 0,40 15. soru 0,48

Soru seçiminde sadece 8. soru madde ayırt edicilik indeksi düĢük olmasına

rağmen, öğrencilerin iĢlem bilgisini ölçmesi amacı ile sınava dâhil edilmiĢtir.

BaĢarı testi A Ģubesinde 25, B Ģubesinde 23 olmak üzere toplam 48 öğrenciye

uygulanmıĢtır. Testin analizi ITEMAN programı kullanılarak gerçekleĢtirilmiĢtir.

73

Testin uygulandığı öğrenci sayısı az olduğu için madde analizlerinde, her bir

maddenin madde ayırıcılık değerlerine göre ağırlıklandırıldığı çift serili korelasyon

sayısına bakılacaktır (Birnbaum, 1968).

BaĢarı testinde yer alan 15 sorunun biserial korelasyon katsayısı ( çift serili

korelasyon katsayısı) .42 ile .88 arasında değiĢmektedir. A Ģubesinin 15 soru

üzerinden baĢarı ortalaması 11.2 iken, B Ģubesinde ortalama 9.47'de kalmıĢtır.

BaĢarı testi sonuçları için hesaplanan Cronbach α güvenilirlik katsayısı 0,638

çıkmıĢtır. Yapılan madde analizi ile testin ortalama madde güçlük ve ayırt edicilik

endeksleri sırasıyla 0,692 ve 0,415 olarak hesaplanmıĢtır. BaĢarı testinin

sonuçlarının madde analizine dair bazı istatistiki veriler Tablo 2'de sunulmuĢtur.

Tablo 3.2. BaĢarı Testi Ġstatistikleri

Soru Sayısı 15

Uygulanan KiĢi Sayısı 48

Ortalama 10,375

Standart Sapma 2,666

Cronbach Alpha 0,638

Ortalama Madde Güçlüğü 0,692

Ortalama Madde Ayırtediciliği 0,415

3.5.2. Hazır BulunuĢluk Testi

2012-2013 eğitim öğretim yılının Kasım ayında, "Ġspat öğretimi" uygulamasına

geçilmeden önce her iki Ģubeye de 4 sorudan oluĢan bir hazır bulunuĢluk testi

uygulanmıĢtır. Öğrenciler o sürece kadar ispat kavramıyla matematik dersi

bünyesinde hiç karĢılaĢmamıĢlardır. Bu verili durum ıĢığında bu test ile

öğrencilerin ispata yönelik ilk algılarının ve performanslarının belirlenmesi

amaçlanmıĢtır. Öğrenciler için herhangi bir matematiksel önermenin ispatını

yapmak yeni ve bilinmeyen bir durum olduğu için sınav esnasında öğrencilere,

onlardan istenilenin okudukları matematiksel önermenin her zaman doğru ya da

yanlıĢ olduğunu göstermeleri olduğu belirtilmiĢtir.

Matematiksel önermeler, öğrencilerin 6. sınıfı yeni bitirmiĢ olmaları da dikkate

alınarak seçilmiĢtir. Bu seçimde, sayılarla ilgili en temel ve basit yargıların

içerilmesine ve literatürde benzer yaĢ kuĢağına uygulanan matematiksel

önermelerle uyumlu olmasına dikkat edilmiĢtir. Sorular uzman görüĢüne sunularak

son Ģeklini almıĢtır.

74

Ġlk üç soruda öğrencilere matematiksel bir önerme verilmiĢ ve onlardan bu

önermelerin doğruluğunu / yanlıĢlığını ispatlamaları istenmiĢtir. 1. ve 3. soru doğru

bir önermenin ispatının yapılmasını gerektirirken, 2. soruda öğrencilere yanlıĢ bir

önerme sunulmuĢ ve öğrencilerden bu önermeyi karĢı örnek vererek ispatlamaları

beklenmiĢtir. 4. soruda ise öğrencilere önerme ile birlikte bu önermenin ispatı

olduğu savunulan 4 seçenek sunulmuĢtur. Öğrencilerden verilen bu

seçeneklerden hangisinin önermenin ispatı olduğunu seçmeleri ve nedenlerini

açıklamaları istenmiĢtir. Hazır bulunuĢluk testi Ek 2'de yer almaktadır.

3.5.3. Ġspat Testi 1

Bu soru formunda dört soru bulunmaktadır. Öğrencilerin ispat kavramını algılayıĢ

biçimlerini betimleyebilmek amacıyla düzenlenmiĢtir. Her bir soru farklı birer amaç

üzerine kurgulanmıĢtır. Ġspat testi 1, Ek 3'te yer almaktadır.

Birinci soru ile öğrencilerin ispat yapmak ile örnek vererek doğrulamak arasındaki

ayrımın farkında olup olmayıĢları betimlenmek istenmiĢtir. Bu doğrultuda

öğrencilere matematiksel bir önerme (Ardışık 3 sayının toplamı, ortadaki

sayının 3 katıdır.) ile bu önermenin ispatı olduğu savunulan üç seçenek

sunulmuĢtur. Bu seçeneklerden hangisinin önermenin ispatı olduğu sorulmaktadır.

Bu örneklerden birisinde önerme tek bir örnek ile doğrulanırken (AyĢe'nin cevabı),

bir diğerinde bir, iki ve üç basamaklı sayılar kullanılarak 3 çeĢit örnek ile önerme

doğrulanmıĢtır (Belma'nın cevabı). Son cevapta ise sembolik ifadeler kullanılarak

ispat yapılmıĢtır (Mert'in cevabı).

75

AyĢe’nin cevabı Bence doğru; ben Ģu örneği denedim, 3, 4 ve 5 sayılarını aldım.

3 + 4 + 5 = 12

12, ortadaki sayının, yani 4‟ün 3 katı olduğu için ifade doğrudur.

Mert’in cevabı Bence doğru. Üç ardıĢık sayı alalım, bu sayılar, a, (a + 1) ve (a + 2) olur. Sonra toplayalım a + (a+1) + (a + 2) = 3a + 3 olur 3a + 3 = 3 (a + 1) Sonuçta toplayınca ortadaki sayının 3 katını elde ettim, bu nedenle doğru.

Belma’nın cevabı Bence doğru; önce 2, 3 ve 4 sayılarını alalım. 2 + 3 + 4 = 9 9 = 3. 3 Yani ortadaki sayının 3 katı. Sonra 21, 22 ve 23 sayılarını alalım. 21 + 22 + 23 = 66 66 = 3. 22 Yine ortadaki sayının 3 katına ulaĢtım. Daha büyük sayılar denediğimde ise, 101 + 102 + 103 = 306 306 = 3 . 102 Üç ayrı deneme yaptım üçünde de doğru çıktı, bu nedenle ifade doğrudur.

ġekil 3.4. Ġspat testi 1, 1. soruda yer alan cevaplar

Örnek vererek doğrulama eğilimindeki öğrencilerin kullandığı örneklerin niceliği ve

niteliği bugün literatürde farklı adlandırmalar ve düzeyler altında

değerlendirilebilmektedir (Balacheff, 1988; Waring, 2000). Bu nedenle bu

araĢtırma kapsamında, öğrencilerin örnek vererek doğrulama eğilimlerindeki

farklılıklar da ele alınmıĢ, örnek vererek doğrulama eğilimini içeren iki farklı yanıt

bu soruya dâhil edilmiĢtir.

Ġkinci soruda ise öğrencilere verili önermenin (Herhangi bir tek sayıyı 3 ile

çarpıp, çarpıma 6 eklerseniz 6’nın katı olan bir sayı elde edersiniz.) karĢı

örnek verilerek çürütüldüğü bir ispatı (Ceyhun'un yanıtı), bir de sembolik ifadelerin

çarpımı sırasında yaptığı iĢlem hatası sonucunda yanlıĢ bir sonuca ulaĢan ve bu

hatalı sonuca bakarak önermeyi ispatladığını savunan bir yanıt (Canan'ın yanıtı)

sunulmuĢtur. Cevaplardan birisi önermenin yanlıĢ olduğunu savunurken, diğeri

doğru olduğunu savunmaktadır ve bu soru ile öğrencilerin matematiksel bir

önermenin aynı anda doğru ve yanlıĢ olamayacağına dair farkındalıkları ölçülmek

istenmektedir.

76

Ceyhun’un yanıtı; Bu ifade yanlıştır, çünkü tek sayı olarak 17‟yi alırsam ve verilen iĢlemi yaptığımda; (3 . 17) + 6 = 57 çıkar 57 sayısı 6‟nın katı olan bir sayı değildir. Bu nedenle de verilen ifade yanlıĢtır

Canan’ın yanıtı; Bu ifade doğudur; tek sayı olarak (2n + 1) sayısını alırsan verilen iĢlemleri yaptığımda; 3 . (2n + 1) + 6 = 6n + 6 + 6 = 6n + 12 = 6 (n + 2) Görüldüğü üzere iĢlemin sonunda elde ettiğim 6 (n + 2) sayısı 6‟nın katıdır. Bu nedenle de ifade doğrudur.

ġekil 3.5. Ġspat testi , 2. soruda yer alan yanıtlar

Üçüncü soruda öğrencilere verili önermeye (İki tek sayının toplamı her zaman

çift sayıdır.) yönelik 3 cevap sunulmuĢtur. Bunlardan birisi cebir kullanarak

yapılan ispat (Cem‟in cevabı), bir diğeri anlatım yolu ile yapılan ispat (Buse) ve son

olarak da örnek vererek yapılan doğrulama (Mehmet‟in cevabı) idi. Bu soruda

öğrencilere verili cevapların hangisi ya da hangilerinin ispat olduğu sorulmuĢtur ve

bir önermenin birden fazla yolla ispatlanabileceğinin ve ispat ile genellenebilir bir

yargı sunma arasındaki iliĢkinin farkında olup olmadıkları ölçülmeye çalıĢılmıĢtır.

Buse’nin cevabı Doğrudur; çünkü tek sayılar ikiĢerli gruplandırdığımızda her zaman 1 kalanını veren sayılardır. Örneğin 7 sayısını ikiĢerli gruplandırırsam; I Ģeklinde bir tanesi gruplandırmamın dıĢında kalır. Eğer iki tek sayıyı toplarsam, bu sayıların sonunda açıkta kalan 1‟ler de bir ikili grup oluĢturur ve bu iki sayıyı topladığımda tüm sayılar ikili gruplandırıldığı için açıkta kalan 1 olmaz. Bu nedenle de elde etiğim sayı her zaman çift sayı olur, çünkü ikiĢerli gruplandırılabilen bir sayı elde etmiĢ olurum.

Cem’in cevabı Bence doğru; tüm tek sayılar, 2n + 1 Ģeklinde gösterilebilen sayılardır (n tam sayı olsun). Ġki ayrı tek sayı alırsam birisi 2n + 1, diğeri ise 2m + 1 olur. Bu iki sayıyı topladığımda (2n + 1) + (2m + 1) = (2n + 2m) + (1 + 1) = 2n + 2m + 2 = 2 (n + m + 1) ġeklinde bir çift sayı elde ederim. Bu nedenle iki tek sayının toplamı her zaman çift sayıdır.

II II II

77

Mehmet’in cevabı Bence doğru; ben Ģu örnekleri denedim, 11 ve 13 sayılarını aldım, daha sonra da 135 ve 379 sayılarını topladım. 11+ 13 = 24 135 + 379 = 514 24 ve 514 sayıları çift sayılar oldukları için soruda verilen ifade doğrudur. Ġki sayı örneği denedim, ikisinde de çift sayıya ulaĢtım.

ġekil 3.6. Ġspat testi 1, 3. Soruda yer alan cevaplar

Dördüncü soruda da öğrencilere verili önermeye (Her tek sayı ardışık iki sayının

toplamı şeklinde yazılabilir.) yönelik 3 cevap sunulmuĢtur. Bunlardan birisi cebir

kullanarak yapılan ispat (Sedat‟ın cevabı), bir diğeri verili önermenin tersinin cebir

yolu ile ispatı (Deniz) ve son olarak da örnek vererek yapılan doğrulama (Berk‟in

cevabı) idi. Bu soruda öğrencilere verili cevapların hangisinin ispat olduğu

sorulmuĢtur ve örnek vererek doğrulama ile ispat arasındaki ayrımın farkındalığına

ek olarak, iki cebirsel ispat arasındaki ayrımı ortaya koyup koyamadıklarına

bakılmıĢtır.

Sedat’ın cevabı Soruda tek sayı verilmiĢ, bu nedenle bu sayıyı 2n + 1 olarak alabilirim. 2n + 1 sayısı 2 tane n ve 1 sayısının toplamıdır. Yani; 2n + 1 = n + n + 1 olarak yazılabilir. Bu durumda 2n + 1 sayısı n ile (n + 1) in toplamı olarak da yazılabilir. 2n + 1 = n + n + 1 = n + (n+1) n ve (n+1) ise ardıĢık iki sayıdır çünkü (n+1) sayısı n sayısından 1 fazladır. Bu durumda 2n + 1 „i yani tek bir sayıyı iki ardıĢık sayının toplamı Ģeklinde yazmıĢ oldum. Bu nedenle ifade doğrudur.

Deniz’in cevabı ArdıĢık iki sayı alalım, bu sayılar x ve (x+1) olur. Bu iki sayıyı topladığımda; x + (x+1) = 2x + 1 olur. 2x+1 ise tek sayıların sembolik gösterimi olduğu için verilen ifade doğrudur.

78

Berk’in cevabı Ġspatlamak için birkaç sayı denerim. 1 = 0 + 1 (0 ve 1 ardıĢık sayılardır) 3 = 1+ 2 (1 ve 2 ardıĢık sayılardır) 17 = 8 + 9 (8 ve 9 ardıĢık sayılardır) 3 tek sayı aldım, bu üç tek sayıyı da ardıĢık iki sayının toplamı Ģeklinde yazabildim. Bu nedenle verilen ifade doğrudur. ġekil 3.7. Ġspat testi 1, 4. soruda yer alan cevaplar


Bu soru formunda dört grup bulunmaktadır. Her grupta iki matematiksel önerme

verilmiĢtir. Öğrenciden istenen bu önermelerden sadece birini seçerek, altı çizili

olarak belirtilen yöntemle seçtiği önermeyi ispatlamalarıdır. Bu soru grubunun

uygulanmasındaki amaç, öğrencilerin öğretilen ispat yöntemlerini ne derece

uyguladıklarını ölçmektir. Soru formunda yer alan önermelere ve soru formunun

Ģablonuna 8 öğretim üyesi ve 2 ortaokul matematik öğretmeninden oluĢan uzman

görüĢüne baĢvurularak (uzman görüĢü formu ve birebir yapılan görüĢmelerle) son

Ģekli verilmiĢtir. Soru formu Ek 4'te yer almaktadır.

Birinci grupta yer alan matematiksel önermeler doğrudan ispat yöntemiyle, ikinci

grupta yer alan önermeler karĢı örnek vererek ispat yöntemiyle, üçüncü gruptaki

önermeler tüketerek ispat yöntemiyle, dördüncü gruptaki önermeler ise durum yolu

ile ispat yöntemiyle ispatlanabilir önermelerdir. Soru formunda a Ģıkkında,

öğrenciler bu ispat yöntemlerini kullanmaları için yönlendirilmektedir. Öğrencileri

bu ispat yöntemleri ile sınırlandırmamak ve ürettikleri her türlü yanıtı alabilmek

amacı ile soru formunda bir b Ģıkkı da oluĢturulmuĢtur. b Ģıkkında öğrencilerden

verili ispat yöntemini kullanamamaları durumunda kendi geliĢtirecekleri ispat

yöntemini kullanarak önermeyi ispatlamaları istenmektedir. Bu Ģekilde öğrencinin

geliĢtirdiği her türlü yanıtın toplandığı varsayılmıĢtır.

79

Grup 1: AĢağıda verilen ifadelerden birisini seçiniz.

1. Çift bir sayı tutun, daha sonra bu sayıya yarısını ekleyin. Bulduğunuz sayı her zaman 3‟e bölünen bir sayıdır.

2. ab, ba, aa ve bb iki basamaklı sayılar olsun. Bu durumda ab + ba = aa + bb dir.

a. Seçtiğiniz ifadeyi doğrudan ispat yöntemini kullanarak ispatlayınız.

b. Ġspatı yaparken doğrudan ispat yöntemini kullanmakta zorlanıyorsanız, seçtiğiniz ifadeyi kendinizce nasıl ispatlarsınız?

ġekil 3.8. Ġspat testi 2, soru örneği


Bu soru formunda 8 adet matematiksel önermeye yer verilmiĢtir. Öğrencilerden bu

önermelerden sadece dört tanesini seçerek ispatlamaları istenmiĢtir. Her

matematiksel önermenin yanında bu önermenin ispatında kullanılabilecek bir ispat

yöntemi parantez içinde verilmiĢtir. Ġspat testi 3'ün uygulanmasındaki amaç

öğrencilerin ispat performanslarını betimleyebilmekle birlikte, onların tercih hakları

olduklarında hangi ispat yöntemlerini tercih ettiklerini de belirlemektedir. Soru

formunda yer alan önermelere ve soru formunun Ģablonuna da son Ģekli 8 öğretim

üyesi ve 2 ortaokul matematik öğretmeninden oluĢan uzman görüĢüne

baĢvurularak (uzman görüĢü formu ve birebir yapılan görüĢmelerle) verilmiĢtir.

Soru formu Ek 5'te yer almaktadır.

3.5.6. Yarı YapılandırılmıĢ GörüĢme Formu

GerçekleĢtirilen derinlemesine görüĢme, öğrencilerin son testlerde verdikleri

yanıtları ayrıntılandırmak, ne düĢündüklerini betimleyebilmek, ispat ve ispat

yöntemlerine yönelik düĢüncelerini almak ve sınavlarda ispatlayamadıkları bazı

önermeleri, görüĢmecinin desteği ile yapıp yapamayacaklarını ortaya koyabilmek

amacı ile kurgulanmıĢtır. GörüĢme formu son testlere verilen yanıtların analizinin

ardından, öğrencilerin verdikleri yanıt çeĢitliliğini kapsayabilecek Ģekilde

araĢtırmacı ve doktora tez danıĢmanı tarafından geliĢtirilmiĢtir. Formda, tek tek

tüm ispat testlerinde yer alan sorular üzerinden kurgulanan görüĢme sorularına ek

olarak, ispata ve gerçekleĢtirilen uygulamaya yönelik genel sorular da

bulunmaktadır. Yarı yapılandırılmıĢ derinlemesine görüĢme formu Ek 6'da yer

almaktadır.

80

3.6. Veri Analizi

Nitel araĢtırmalarda veri analizi araĢtırmanın baĢından sonuna kadar tüm sürecini

kapsayan ve bu sürecin veri toplama gibi diğer basamaklarından

ayrıĢtırılamayacak bir iĢlem basamağıdır (Creswell, 2005). Bir nevi veri oluĢturma

süreci ile birlikte örülen bir süreçtir (Kümbetoğlu, 2005). Nitel araĢtırmalarda

aslolarak betimsel ve içerik analizi olmak üzere iki veri analiz süreci bulunmaktadır

(Yıldırım ve ġimĢek, 2005). Bu araĢtırmada betimsel analiz kullanılmıĢtır. Betimsel

analizde elde edilen veriler özgün biçimlerine sadık kalınarak düzenlenip,

doğrudan alıntılar yapılarak sunulur. Daha önceden araĢtırma problemine uygun

olarak belirlenen temalar Ģeklinde gruplandırılan veriler özetlenerek yorumlanır.

Bulgular arasında neden- sonuç iliĢkisi kurulurken, olgular arasında

karĢılaĢtırmalar veya benzetmeler de yapılır. Tanımlayıcı bir analiz yapılmaktadır

(Kümbetoğlu, 2005).

Kullanılan ölçme araçlarıyla elde edilen veriler nitel yöntemlere ek olarak nicel

yöntemler kullanılarak da analiz edilmiĢtir. Örneğin baĢarı testinin analizinde

ITEMAN programı kullanılmıĢ, uygulama sonrası gerçekleĢtirilen ispat testlerinde

öğrencilerin yanıtları kodlanarak, bu kodların yüzde ve frekans dağılımına

bakılmıĢtır.

Hazır bulunuĢluk testi ve ispat testlerin analizinde her bir soru öğrencilerin

verdikleri yanıtlar ve kullanılan ispat yönteminin özellikleri dikkate alınarak ayrı ayrı

kodlanmıĢtır. Bu nedenle birden fazla kod sistemi geliĢtirilerek kullanılmıĢ ve bu

kodlar oluĢturulurken literatürde yer alan örneklerden yola çıkılmıĢtır. Waring

(2000), Knuth vd. (2012) ve Küchemann vd. (2012) gerçekleĢtirdikleri

çalıĢmalarında öğrencilerin ispat performansını öğrencilerin verdikleri yanıtlar

üzerinden çeĢitli düzeylere ayırmıĢlardır. Miyazaki (2000) ise öğrencilerin

tümevarımsal veya tümdengelimsel muhakeme sitilleri ile ispatı gerçekleĢtirirken

kullandıkları dil ve stratejilerini içeren bir düzey sistematiği geliĢtirmiĢtir.

Bu çalıĢmada ise öğrencilerin verdikleri yanıtlar ile önermenin ispatında kullanılan

ispat yöntemi doğrultusunda bir kodlama sistemi geliĢtirilmiĢ, kodların kapsam

gerçerliğinin sağlanması için uzman görüĢüne baĢvurulmuĢtur. Öğrenci

yanıtlarının kodlanmasının güvenirliği açısından ise, araĢtırmacıya bir ortaokul

matematik öğretmeni, bir tane de ispat üzerine çalıĢmaları bulunan öğretim

81

elemanı yardımcı olmuĢ, tüm kâğıtların % 20‟si bu kiĢilerce ayrı ayrı okunarak

değerlendirilmiĢtir. FarklılaĢılan noktalar üzerine yürütülen tartıĢmanın ardından

kodlama sistemi ve değerlendirme kriterleri son Ģeklini almıĢ ve tüm testlerin

değerlendirmesi tamamlanmıĢtır.

Verilerin aktarımında ise yüzde ve frekans değerleri hesaplanmıĢ, yüzde ve

frekans dağılımı tablolaĢtırılarak sunulmuĢtur.

Bu çalıĢmada gerek hazır bulunuĢluk testinde, gerekse uygulama sonrası

gerçekleĢtirilen sınavlarda iki çeĢit soru formatı yer almaktadır. Ġlkinde

öğrencilerden ispat yapmaları istenmemiĢ, verili yanıtlardan hangisi / hangilerinin

ispat olduğunu değerlendirmeleri istenmiĢtir. Diğer formatta yer alan sorularda ise

öğrencilerden ispat yapmaları istenmektedir. Bu iki grupta yer alan sorular farklı tür

kod sistematikleri geliĢtirilerek incelenmiĢtir.

AraĢtırmada kullanılan kod sistematiği Ģu Ģekildedir:

3.6.1. Verili Ġspatı Değerlendirme Sorularına ĠliĢkin Kodlar

Bu grupta öğrencilere verili bir önerme ile bu önermenin ispatı olduğu savunulan

seçenekler sunulmuĢ, öğrencilerden bu seçeneklerden birisini önermenin ispatı

olarak seçmeleri istenmiĢtir. Ġspat testi 1‟de yer alan sorular ile hazır bulunuĢluk

testinde yer alan 4. soru bu soru grubuna girmektedir. Bu sorular öğrencilerin verili

yanıtlardaki seçimlerine göre kodlanmıĢtır. Kodları soruda verilen yanıtlar

oluĢturmaktadır.

Örneğin, Ġspat testi 1‟de, 1. soruda öğrencilere matematiksel bir önerme ile bu

önermenin olası üç ispatı (AyĢe, Belma ve Mert‟in yanıtları) sunulmuĢ ve

öğrencilerin yanıtları seçtikleri yanıta bakarak; "tek bir örnek ile doğrulama", “çok

sayıda örnek ile doğrulama” ve "cebirsel gösterim ile ispat" olarak üç ayrı

tanımlama ile kodlanmıĢtır.

82

1. Bir öğretmen matematik sınavında öğrencilerine Ģu soruyu sorar; “Ardışık 3 sayının toplamı, ortadaki sayının 3 katıdır.” Sizce bu ifade doğru mudur? Ġfadenin doğruluğunu / yanlıĢlığını nasıl ispatlarsınız? Bu soruya karĢılık üç öğrenci aĢağıdaki cevapları vermiĢtir.


3 + 4 + 5 = 12




Sizce verilen cevaplardan hangisi bu ifadenin ispatıdır? Neden?

ġekil 3.9. Ġspat Testi 1, 1. soru

Yanıtlardan da görüldüğü üzere AyĢe‟nin önermeyi tek bir örnek ile doğruladığı

yanıtı seçenler Kod 1 (Tek bir örnek ile doğrulama), Belma‟nın bir, iki ve üç

basamaklı olmak üzere 3 farklı örnek ile önermeyi doğruladığı yanıtını seçenler

Kod 2 (Çok sayıda örnek ile doğrulama), Mert‟in cebirsel ifadeler kullanarak

gerçekleĢtirdiği ispatı seçenler Kod 3 (Cebirsel gösterim ile ispat) olarak

kodlanmıĢtır. Bulgular kısmında yer alan tablolarda bu kodlar içerikleri ile birlikte

yer almaktadır.

83

Diğer sorularda da bu soruya benzer bir Ģekilde, öğrencilerin seçtikleri yanıtları

içeren bir kodlama sistematiği kullanılmıĢtır.

3.6.2. Ġspat Performansına ĠliĢkin Kodlar

Ġspat testi 2 ve 3 ile hazır bulunuĢluk testinin ilk 3 sorusu öğrencilerin ispata

yönelik performanslarını belirlemek amacıyla düzenlenmiĢtir ve bu sorularda

öğrencilerden ispat yapmaları istenmiĢtir. Öğrencilerin bu sorulara verdiği yanıtlar

her bir soruda iĢaret edilen ispat yönteminin özellikleri ve öğrencinin verdiği yanıtın

içeriği dikkate alınarak kodlanmıĢtır. Bu soru grubunda kullanılan kodlamalar ispat

yöntemlerine göre ayrıĢmaktadır ve bu nedenle 4 baĢlık altında incelenebilir;

3.6.2.1. Doğrudan Ġspat Yöntemine ĠliĢkin Kodlama

Bu soru türünde öğrencilerin verdikleri yanıtlarda aĢağıdaki eğilimler

gözlenmektedir:

Soru boĢ bırakılmıĢ ve ya soru ile alakasız iĢlemler yapılmıĢ.

Soru sadece “doğru” diyerek geçiĢtirilmiĢ, bir açıklama sunulmamıĢ.

Soru örnek vererek doğrulanmıĢ.

Verilen yanıtta bir genellemeye ulaĢmak amaçlanmıĢ ama iĢlem

hatası gibi çeĢitli hatalar nedeni ile ispat tamamlanamamıĢ.

Doğrudan ispat yapılmıĢ.

Öğrencilerin verdikleri bu yanıtlar da dikkate alınarak aĢağıdaki kod sistemi

geliĢtirilerek kullanılmıĢtır:

Kod 1: Soru boĢ bırakılmıĢ, gerekçe sunulmamıĢ veya soru ile alakasız

iĢlemler yapılmıĢ.

Kod 2: Örnek vererek önerme doğrulanmıĢ. Bu kod kendi içerisinde ikiye

ayrılmaktadır; tek bir örnek ile önermeyi doğrulayanlar ve birden çok örnek

kullanarak önermeyi doğrulayanlar.

Kod 3: Ġspat fikri var ama çeĢitli hatalar nedeniyle ispat tamamlanamamıĢ.

Kod 4: Doğrudan ispat yapılmıĢ.

84

3.6.2.2. KarĢı Örnek Vererek Ġspat Yöntemine Sorulara ĠliĢkin Kodlama

Bu ispat türünde öğrencilerin verdikleri yanıtlar ise aĢağıdaki eğilimleri taĢımakta

idi:

Öğrenciler soruyu boĢ bırakmıĢ.

Ġfadenin doğru olduğunu örnek vererek savunmuĢlar.

Ġfadeyi yanlıĢ olduğunu gösteren bir örnek kullanarak önermenin

yanlıĢ olduğunu savunmuĢlar.

Öğrencilerin verdikleri yanıtlar dikkate alınarak bu ispat türü için aĢağıdaki kod

sistemi geliĢtirilerek kullanılmıĢtır:



Kod 2: Ġfadenin doğru olduğu düĢünülerek çeĢitli Ģekillerde savunulmuĢ.

Kod 3: KarĢı örnek vererek ispat yapılmıĢ.

Yalnız hazır bulunuĢluk testinin ikinci sorusunda öğrencilerin hiç biri örnek yardımı

ile önermenin doğruluğunu savunmamıĢtır. Bu nedenle bu soruda, var olan bu kod

sisteminden Kod 2 çıkarılarak, kodlama 2‟li kod sistemine dönüĢtürülerek

kullanılmıĢtır;

Kod1: Soru boĢ bırakılmıĢ, gerekçe sunulmamıĢ veya soru ile alakasız


Kod 2: Ġfade karĢı örnek vererek ispatlanmıĢ.

3.6.2.3. Tüketerek Ġspat Yöntemine ĠliĢkin Kodlama

Bu ispat türünde öğrencilerin verdikleri yanıtlar aĢağıdaki eğilimleri taĢımaktadır:

Öğrenciler soruyu boĢ bırakmıĢ.

Soruyu sadece “doğru” diyerek geçiĢtirmiĢler, gerekçe sunmamıĢlar.

Bir ya da iki sayı deneyerek önermeyi doğrulamıĢlar.

85

Tüketilecek kümenin tüm elemanlarını denemiĢ, yalnız yaptığı iĢlem

hatası nedeniyle denemelerinin birisi önermeyi yanlıĢlamakta.

Tüketilecek kümenin tüm elemanlarını denemiĢ, yalnız önermeyi

kağıda yanlıĢ aktardığı için baĢka bir önermenin ispatını

tamamlamıĢ.

Tüketerek ispatı eksiksiz yapmıĢ.



Kod 1: Soru boĢ bırakılmıĢ, gerekçe sunulmamıĢ veya soru ile alakasız,

yanlıĢ iĢlemler yapılmıĢ.

Kod 2: Sadece birkaç sayı denenmiĢ, kümedeki tüm elemanlar denenerek

tüketilmeyerek örnekle doğrulama yapılmıĢ.

Kod 3: Tüketerek ispat yöntemi uygulanmıĢ ama önermenin hatalı

geçirilmesi veya iĢlem hatası gibi nedenlerle yanlıĢ sonuca ulaĢılmıĢ, baĢka bir

önerme ispatlanmıĢ.

Kod 4: Tüketerek ispat yapılmıĢ.

3.6.2.4. Durum Yolu Ġle Ġspat Yöntemine ĠliĢkin Kodlama

Bu soru türünde öğrencilerin verdikleri yanıtlarda aĢağıdaki eğilimler

gözlenmektedir:

Soru boĢ bırakılmıĢ veya soru ile alakasız iĢlemler yapılmıĢ.

Soruyu sadece “doğru” diyerek geçiĢtirmiĢler, gerekçe sunmamıĢlar.

Yapılan iĢlem hataları veya bölüm ile kalan kavramlarını

karıĢtırmaları nedeniyle önermenin yanlıĢ olduğu savunulmuĢ.

Örnek vererek önerme doğrulanmıĢ.

Durum yolu ile ispat yapılmıĢ.



86



Kod 2: Ġfade‟nin yanlıĢ olduğu çeĢitli Ģekillerde savunulmuĢ.

Kod 3: Ġfade örnek vererek doğrulanmıĢ.

Kod 4: Durum yolu ile ispat yapılmıĢ.

3.7. Geçerlik – Güvenirlik

Geçerlik ve güvenirlik nitel veya nicel tüm ölçümlerde etkin olan bir meseledir ama

farklı bağlamlarda ele alınır. Nitel araĢtırmalarda araĢtırma sonuçlarının tekrar

edilebilirliği olarak ele alınabilecek olan güvenirlikten ziyade araĢtırma sonuçlarının

doğruluğunun yani geçerliğinin önem kazandığı görülmektedir (Topkaya, 2006).

Bu araĢtırma kapsamında geçerlik ve güvenirliğin sağlanması açısından

araĢtırmacı tarafından alınan önlemler Ģu Ģekildedir;

Tüm uygulama süreci video kaydına alınmıĢtır.

AraĢtırma sürecinde farklı veri toplama araçları yardımı ile farklı türde

veriler (nitel & nicel) toplanarak veri çeĢitlemesi yapılmıĢtır.

Ġspat sınavlarının hazırlanmasında 8 kiĢiden oluĢan uzman görüĢüne

baĢvurulmuĢ, uygulama sürecinin ve görüĢme sorularının

hazırlanmasında ise birisi tez danıĢmanı olmak üzere 2 alan uzmanı

öğretim üyesinin görüĢü alınmıĢtır.

Veri analizinde kullanılan kodlamalar yine birisi tez danıĢmanı olmak

üzere 2 alan uzmanı öğretim üyesinin katılımı ile birlikte geliĢtirilmiĢ,

verilerin kodlanmasında ise araĢtırmacı üçgenlemesi ("Investigator

Triangulation" - Guion (2002) ) yöntemi kullanılmıĢtır. Tüm sınav

kağıtlarının %20'si birisi araĢtırmacı, diğerleri ortaokul matematik

öğretmeni ve ispat alanında çalıĢması bulunan bir akademisyen

tarafından ayrı ayrı okunmuĢ, yanıtlara verdikleri kodlar birbirleri ile

karĢılaĢtırılmıĢ ve verilen farklı kodlar üzerinde tartıĢma yürütülerek

bu kodlarda ortaklaĢılmıĢtır.

Bulguların raporlaĢtırılmasında veriler açık, net ve ayrıntılı bir

biçimde açıklanmıĢtır.

87

Verilerin yorumlanmasında kaynaklardan doğrudan alıntılar

yapılmıĢtır.

Farklı veri toplama araçlarından elde edilen veriler arasındaki

tutarlılık, benzerlik kontrol edilmiĢtir.

Farklı veri toplama araçlarından elde edilen sonuçlar birbirleriyle ve

ilgili literatürle iliĢkilendirilerek raporlaĢtırılmıĢtır.

88

4. BULGULAR VE YORUM

7. sınıf öğrencilerinin formel ispata yakın bir bağlamda, ispat kavramını ne oranda

kavrayabileceği ile onların ispata yönelik performanslarının betimlendiği bu

çalıĢmada, ispat testleri ve görüĢme sonucu elde edilen veriler birlikte ele

alınmıĢtır. Bulgular ispat öğretimi uygulaması öncesi ve sonrası olarak iki ana

baĢlık altında sunulmuĢtur. Uygulama öncesine iliĢkin bulgular hazır bulunuĢluk

testi ile, sonrasına iliĢkin bulgular ise ispat testleri ve görüĢme ile elde edilen

veriler ıĢığında değerlendirilip yorumlanmıĢtır.

4.1. Uygulama Öncesinde Ġspat Algısı ve Becerisine ĠliĢkin Bulgular

Hazır bulunuĢluk testinde ilk üç soru öğrencilerin ispata yönelik becerilerini,

dördüncü soru ise ispata yönelik algılarını betimlemek amacı ile kurgulanmıĢtır.

Hazır bulunuĢluk testinin 1 ve 3. sorularında öğrencilerden verilen önermelerin

doğruluğunun ispatlanması, 2. soruda ise önermenin yanlıĢlığını göstermeleri

beklenmektedir. 4. soruda ise öğrencilere matematiksel bir önerme; “Ardışık 3

sayının toplamı, ortadaki sayının 3 katıdır.” ve bu önermenin ispatı olarak

değerlendirilebilecek 4 seçenek verilmiĢtir. Öğrencilere verili bu seçeneklerden

hangisinin önermenin ispatı olduğu sorulmuĢtur. A Ģubesinde 28, B Ģubesinde 23

öğrenci bu teste dâhil olmuĢtur.

Öğrencilerin büyük kısmı örnek vererek önermenin doğruluğunu veya yanlıĢlığını

sınama eğilimindeyken sadece A Ģubesinden 1 öğrenci cebirsel gösterimleri

kullanmaya çalıĢmıĢ, yine aynı Ģubeden baĢka bir öğrenci de sözel anlatım yolu ile

önermenin doğruluğunu genelleĢtirmeye çalıĢan bir anlatımda bulunmuĢtur. Ne

var ki bu öğrencilerin genellemeye ulaĢma çabaları eksikli kalmıĢ, verdikleri

yanıtlar ispat olarak değerlendirilmemiĢtir. Buna karĢın hazır bulunuĢluk testinin 2.

sorusunda öğrencilerin önemli bir kısmı verilen önermeyi karĢı örnek vererek

çürütmüĢlerdir. Bu testte yer alan soruları ayrıntılı incelemek gerekirse;

89

Hazır bulunuĢluk testinin 1. ve 3. sorularının analizinde aĢağıdaki kod sistemi

kullanılmıĢtır;






Kod 3: Genel bir yargıya ulaĢılmaya çalıĢılmıĢ ama eksik kalmıĢ.

Kod 4: Ġspat yapılmıĢ.

Tablo 4.3. Hazır bulunuĢluk testi 1. soruya iliĢkin bulgular; "Bir tek ve bir çift sayının toplamı tek sayıdır."

Çözüme ilişkin kodlar

A Şubesi (n = 28)

B Şubesi (n = 23)

Toplam (n=51)

f % f % f %

Kod 1 10 35,7 9 39,1 19 37,3

Kod 2

Tek bir örnek 7 25 5 21,7 12 23,5

Çok örnek 11 39,3 9 39,1 20 39,2

Kod 3 - - - - - -

Kod 4 - - - - - -

Her iki Ģubede de öğrencilerin büyük bir kısmı, % 62,7‟si soruyu örnek vererek

doğrulama eğilimindedir, tüm öğrencilerin % 37,3'ü ise soru ile ilgilenmek

istememiĢ, ya yanıt vermemiĢler ya da verdikleri yanıtlarlar soru ile iliĢkili

olmamıĢtır. Bu soruda Kod 2‟de yer alan öğrenciler yoğunluklu olarak birden çok

sayıda örnek kullanarak önermeyi doğrulamıĢlardır. Bu soruda ispat yapan veya

herhangi bir Ģekilde genellenebilir bir yargı sunmaya çalıĢan öğrenci olmamıĢtır.

90

Tablo 4.4. Hazır bulunuĢluk testi 3. soruya iliĢkin bulgular; "Üçün katı olan iki sayının farkı üçe bölünür."


A Şubesi (n = 28)

B Şubesi (n = 23)

Toplam (n=51)

f % f % f %

Kod 1 15 53,6 15 65,2 30 58,8

Kod 2

Tek bir örnek 3 10,7 5 21,7 8 15,7

Çok örnek 8 28,6 3 13 11 21,6

Kod 3 2 7,1 - - 2 4

Kod 4 - - - - - -

Bu soruda ilk soruya göre örnek vererek doğrulama eğiliminde bir düĢüĢ, verilen

yanıtı gerekçelendirmeme (sadece doğru veya yanlıĢ diye belirtme) ya da soruyu

boĢ bırakma eğiliminde bir artıĢ yaĢanmıĢtır. Buna karĢın iki öğrenci, birisi cebirsel

ifadeleri kullanmaya çalıĢarak, diğeri de sözel anlatım yolu ile bir genellemeye

ulaĢmaya çalıĢmıĢ ama eksikli bir açıklama getirmiĢlerdir. Berk , 3'ün katı olan

sayıları sembolik olarak göstermeye çalıĢırken, Gülin 3'ün katı olan iki sayı

arasında yine 3'ün katı oranında bir artıĢ olacağını sözel olarak anlatmaya

çalıĢmıĢtır. Bu çabalarına karĢın ispatı tamamlayamamıĢlardır.

ġekil 4.10: A ġubesinden Berk - Kod 3

ġekil 4.11: A ġubesinden Gülin - Kod 3

91

Hazır bulunuĢluk testinin 2. sorusunda ise öğrencilere yanlıĢ bir önerme verilmiĢ

ve onlardan bu önermeyi ispatlamaları istenmiĢtir. Bu soru ile elde edilen verilerin

analizinde aĢağıdaki kod sistemi kullanılmıĢtır;



Kod 2: Ġfade karĢı örnek vererek ispatlanmıĢ.

Tablo 4.5. Hazır bulunuĢluk testi 2. soruya iliĢkin bulgular; " ArdıĢık iki sayının toplamı çift sayıdır."


A Şubesi (n = 28)

B Şubesi (n = 23)

Toplam (n=51)

f % f % f %

Kod 1 10 35,7 14 60,9 24 47

Kod 2 18 64,3 9 39,1 27 53

Bu soruda tüm öğrencilerin % 53'ü önermeyi karĢı bir örnek vererek çürütmüĢtür.

B Ģubesindeki öğrencilerin önemli bir kısmı soru ile ilgilenmezken önermeyi

ispatlayanların oranı % 39,1'de kalmıĢtır. Bu oran A Ģubesinde ise % 64,3'e

çıkmıĢtır.

A Ģubesinden Nilay diğer sorularda cebrisel gösterimleri kullanmadığı halde, bu

soruda karĢı örnek vermeden önce önermeyi cebirsel olarak da göstermiĢtir.

ġekil 4.12: A ġubesinden Nilay - Kod 2

Hazır bulunuĢluk testinde yer alan bu ilk 3 soru, öğrencilerin ispata yönelik hiç bir

ön bilgilerinin olmadığı durumdaki eğilimlerini ortaya koymaktadır. Öğrenciler bu

aĢamada cebirsel ifadeleri kullanamamakta, önermeleri örnek vererek doğrulama

veya boĢ bırakma / gerekçelendirmeme eğilimindedirler. YanlıĢ olan bir önerme

kendilerine sunulduğunda ise öğrencilerin çoğu (% 53'ü) karĢı örnek vererek

92

önermeyi çürütebilmiĢlerdir. A Ģubesinin %64,3'ü, B Ģubesinin ise %39,1'i

önermenin yanlıĢlığını ispatlayabilmiĢtir.

Hazır bulunuĢluk testinde ter alan son soruda ise öğrencilere matematiksel bir

önerme (Ardışık 3 sayının toplamı, ortadaki sayının 3 katıdır.) ve dört seçenek

verilmiĢtir. Öğrencilere bu seçeneklerden hangisinin önermenin ispatı olduğu

sorulmuĢtur.

Verilen ilk seçenekte AyĢe önermeyi tek bir örnek deneyerek doğrulamıĢ ve

doğrulamanın ispat olduğunu savunmuĢtur. Ġkinci seçenekte ise Belma iki ayrı sayı

grubu denemiĢ ve bu yolla önermeyi doğrulamıĢ, bunun ispat olduğunu

savunmuĢtur. Berk‟in bulunduğu seçenekte ise cebirsel ifadeler kullanılmıĢtır ve

önerme bu yolla ispatlanmıĢtır. Son seçenek olan Zeki‟nin yanıtında ise Zeki iĢlem

hatası yaparak yanlıĢ bir sonuca ulaĢmıĢtır. Bu yanlıĢ sonucu dikkate alarak da

önermenin yanlıĢ olduğunu savunmuĢtur. Öğrencilerin verdiği yanıtlar ispat olarak

kabul ettikleri “örnekle doğrulama” , “cebirsel gösterim” ve “karĢı örnek verme”

yanıtları baz alınarak kodlanmıĢtır. Örnekle doğrulama ise kendi içerisinde “tekil

örnek” ve “çok sayıda örnek” olarak ayrıĢarak iki alt grup oluĢturmaktadır. AyĢe'nin

yanıtını ispat olarak seçen öğrenciler Kod 1: "örnekle doğrulama - tek bir örnek" ,

Belma'nın yanıtını ispat olarak seçen öğrenciler Kod 2: "örnekle doğrulama - çok

sayıda örnek", Mert'in yanıtını seçenler Kod 3: "cebirsel gösterim ile ispat", Zeki'nin

yanıtını seçenler ise Kod 4: "karĢı örnek verme" kodu altında değerlendirilmiĢtir.

Bu soruda ile ilgili elde edilen verilerin Ģubelere göre dağılımı Ģu Ģekildedir;

Tablo 4.6. Hazır bulunuĢluk testi 4. soruya iliĢkin bulgular

Cevaplara dair kodlar

A Şubesi (n=28)

B Şubesi (n=23)

Toplam (n=51)

f % f % f %

Kod 1 7 25 10 43,4 17 33,3

Kod 2 12 42,8 6 26 18 35,3

Kod 3 3 10,7 3 13 6 11,8

Kod 4 6 21,4 4 17,3 10 19,6

Uygulamanın en baĢında her iki Ģubede de öğrencilerin önemli bir bölümü (A

Ģubesi % 67,8 , B Ģubesi % 69,4) örnekle doğrulamanın ispat olduğu

düĢüncesindedir (kod 1 + Kod 2). A Ģubesinde çok sayıda örnek vermenin ispat

93

olduğunu savunan öğrenci sayısı daha çok iken B Ģubesinde tek bir örnek vererek

doğrulama ile yetinen öğrenci sayısı daha çoktur. Her iki Ģubede de sadece 3‟er

öğrenci doğru olan yanıtı yani cebirsel gösterimi ispat olarak belirtmiĢtir.

Tüm öğrencileri dikkate aldığımızda öğrencilerin %68,6'sı örnekle doğrulamayı

ispat olarak kabul ederken, sadece %11,8'i cebirsel gösterimi ispat olarak

değerlendirmiĢlerdir.

Bir bütün olarak hazır bulunuĢluk testinde öğrencilerin verdikleri yanıtlar dikkate

alındığında, öğrencilerden doğru bir matematiksel önermeyi ispatlamaları

istendiğinde öğrenciler ya verilen soruyu yanıtlarını gerekçelendirmeden doğru ya

da yanlıĢ diyerek geçiĢtirmiĢ, soruyu boĢ bırakmıĢ ya da örnek vererek önermeyi

doğrulama eğiliminde olmuĢlardır. Doğru bir önermenin ispatını yapamamıĢlardır.

4. soruda da öğrenciler örnek vererek doğrulamayı ispat olarak seçme eğilimini

sürdürmüĢleridir. YanlıĢ bir önermenin kendilerine sunulduğu durumda ise

öğrenciler karĢı örnek vererek önermenin yanlıĢlığını ispatlamıĢlardır. Tüm

öğrencilerde bu oran yüzde 53'tür.

4.2. Uygulama Sonrasında Ġspat Algısı ve Becerisine ĠliĢkin Bulgular

4.2.1. Öğrencilerin Ġspat Kavramını AlgılayıĢlarına ĠliĢkin Bulgular

Ġspat Testi 1‟de yer alan sorular öğrencilerin ispat kavramını, ispat ile doğrulama

arasındaki farka yönelik farkındalıklarını betimleyebilmek amacı ile kurgulanmıĢtır.

Elde edilen veriler soru formunda yer alan sorular bazında analiz edilmiĢtir. Bu

bölümde öncelikle bu sorular ile amaçlanan anlatılmaya çalıĢılacak, ardından da

soru bazında elde edilen verilere geçilecektir. Her bir soru görüĢme sırasında elde

edilen verilerle de desteklenerek aktarılacaktır.

Ġspat testi 1‟de bulunan dört soru öğrencilerin verdikleri cevaplar dikkate alınarak

kodlanmıĢtır ve öğrencilerin verdikleri yanıtların yüzde ve frekans dağılımı

tablolaĢtırılmıĢtır.

94

4.2.1.1. Ġspat mı Doğrulama mı?

Ġspat testi 1'de yer alan ilk soru öğrencilerin ispat ile örnek vererek doğrulama

arasındaki ayrımın ne oranda farkında olduklarını betimleyebilmek amacıyla

kurgulanmıĢtır. Öğrencilerin verdiği yanıtlar ispat olarak seçtikleri yanıtlar baz

alınarak kodlanmıĢtır. Yanıtlar Kod 1: "tek bir örnek ile doğrulama" - AyĢe'nin

yanıtı, Kod 2: “çok sayıda örnek ile doğrulama” - Belma'nın yanıtı ve Kod 3:

"cebirsel gösterim ile ispat" - Mert'in yanıtı olmak üzere üç ayrı kod altında

incelenmiĢtir. Bu soruya iliĢkin elde edilen bulgular Ģu Ģekildedir:

Tablo 4.7. Ġspat testi 1, 1. soruya iliĢkin bulgular


A Şubesi (n=30)

B Şubesi (n=24)

Toplam (n = 54)

F % f % f %

Kod 1 3 10 6 25 9 16,7

Kod 2 14 46,6 12 50 26 48,1

Kod 3 12 40 5 20,8 17 31,5

A ve B Ģubelerinden birer öğrenci tek bir örnek verilen yanıt ile çok sayıda örnek vererek gerçekleĢtirilen doğrulama arasında tercihte bulunmamıĢ, her ikisini de ispat olarak kabul etmiĢlerdir.

Öğrencilerin önemli bir bölümü, % 68,5'i (B Ģubesinde % 79,2, A Ģubesinde % 60)

örnek vererek doğrulamayı (Kod 1 + Kod 2) ispat olarak kabul etmiĢlerdir. Hazır

bulunuĢluk testinden farklı olarak her iki Ģubede de tek bir örnek vermeyi değil de,

birden çok sayıda örnek vererek önermeyi doğrulamayı ispat kabul edenlerin oranı

bu sınavda daha yüksek çıkmıĢtır. Öğrencilerin seçtikleri yanıta sınavda getirdikleri

açıklamalar incelendiğinde, tek bir örnek ile doğrulamayı ispat olarak kabul eden 9

öğrenciden 7'si gerekçesini belirtmiĢtir. Bu öğrencilerin 4'ü AyĢe'nin verdiği yanıtı

"anlaĢılır" veya "mantıklı" bulduklarını belirtirken, 3 öğrenci bu yanıtı "kolay" olduğu

için ispat olarak seçtiklerini belirtmiĢlerdir; "Bence Ayşe'nin ifadesi doğrudur çünkü

tek rakamlı sayıları kullanarak kolayca ispatlamıştır.” (AyĢe - B Ģubesi)

Çok sayıda örnek deneyerek gerçekleĢtirilen doğrulamayı ispat kabul eden

öğrenciler önermenin ispatına daha Ģüpheci yaklaĢmıĢ, tek bir örnek ile

yetinmemiĢlerdir. Denenen örnek sayısı arttıkça ispatın "inandırıcılığının arttığını",

"doğruluğun güçlendirildiğini" savunmuĢlardır. Belma'nın verdiği yanıtı ispat olarak

kabul eden 26 öğrencinin 21'i gerekçesini belirtmiĢ, bu öğrencilerin 4'ü Belma'nın

95

yanıtını "anlaĢılır" bulurken, 17'si bu yanıtı "daha kesin" veya "daha doğru" olarak

değerlendirmiĢlerdir.

“Bence Belma'nın cevabı doğrudur. Çünkü birden fazla deneme yapmıştır. Ayrıca hem tek,

hem çift hem de üç basamaklı örnekler vererek ispatını güçlendirmiştir.” (Nur - B şubesi)

“Bana göre Belma'nın cevabı ispattır, çünkü Belma 3 deneme de kanıtlamış ve sayılar

gittikçe büyümüş. 1 basamaklıyla Ayşe de kanıtlamış ama bence tek kanıt yeterli değil. Ben

tek kanıtla ispatlandığı zaman inanmıyorum ve 2 örnek daha yapıyorum. O yüzden bence

bir şey ispatlamada 3 örnek gerekiyor." (Beyza - A şubesi)

B Ģubesindeki öğrencilerin %20,8'i doğru yanıtı (Mert'in yanıtını - Kod 3) ispat

olarak kabul ederlerken, A Ģubesindeki öğrencilerde bu oran %40'a çıkmıĢtır.

Cebirsel ifadeyi ispat olarak seçen 10 öğrenci örnek vermenin tüm sayılar için

genellenebilecek bir gösterim olmadığına, cebirsel ifade ile "kesin" ve "evrensel"

yargıya ulaĢıldığına değinmiĢlerdir.

"Mert'in cevabıdır çünkü cebirsel ifade daha evrenseldir.” (Berk - A şubesi)

“Mert'in cevabı bence kesin ispattır. Çünkü sayıları kullanmak bazen insanları

yanıltabilir.” (Gülin - A şubesi)

“Bence Mert'in cevabı doğru, çünkü isterse 10 tane sayı denesin, yine de belki diğer sayı

da çıkmayabilir. Emin olmamız lazım. Mert'in cevabı kanıtsal, bu yüzden Mert dedim.”

(Sultan - B şubesi)

Öğrencilerle yapılan görüĢmelerde onlardan bu soruya verdikleri yanıtı daha

ayrıntılı olarak gerekçelendirmeleri istenmiĢtir. Örnek vererek doğrulamayı ispat

olarak kabul eden öğrencilere örnek vermenin genellemeye ulaĢmak için yeterli

olup olmayıĢı da sorularak verdikleri yanıtlar sorgulatılmaya çalıĢılmıĢtır. B

Ģubesinden Tuna, Belma'nın yanıtını ispat olarak seçtiği sınavda gerekçesini "Ben

Belma'nın cavabını doğru seçerdim. Çünkü aynı kuralı Ayşe de gerçekleştirmiştir

ama Belma üç ayrı deneme yapmıştır. Hem bir basamaklı, hem iki basamaklı, hem

de üç basamaklı sayılarla yapmış ve inandırıcı olmuş." Ģeklinde belirtmiĢtir.

GörüĢmede örnek vererek gerçekleĢtirilen doğrulamanın ispat olup olmayıĢı

sorgulatıldığında ise " ... Mert’in cevabı şekillerle, örneklerle vermiş, pek anlaşılır

değil, herkes anlayamaz. Ayşe ise tek bir örnek vermiş, ama Belma baya örnek

vermiş. Bu yüzden daha ikna edici geliyor bana çok sayıda olunca." açıklamasında

bulunarak verdiği cevabın ispat olduğu noktasında ısrar etmiĢtir. Buna karĢın aynı

96

Ģubeden Yeliz aĢağıda yaĢanan diyalogda görüldüğü üzere ispat ile örnekle

doğrulama arasındaki farka değinildiğinde verdiği yanıtı değiĢtirebilmiĢtir:

Araştırmacı: Sen "Bence Ayşe'nin ifadesi doğrudur, çünkü tek rakamlı sayıları kullanarak

kolayca ispatlamıştır" demişsin. Niçin Ayşe'yi seçtin, onu sormak istiyorum.

Yeliz: Hani çünkü çok sayılar kullanarak zorlanmak değil de küçük sayılarla yaparak

hemen ispatlayabiliriz, daha basit olur.

Araştırmacı: Mesela niçin Belma değil de Ayşe'yi seçtin?

Yeliz: Onun ki çok uzundu, belki zaman kaybı olmasın diye düşünmüşümdür.

Araştırmacı: Peki şimdi tekrar bakmanı istesem şu üç yanıta...

Yeliz: Aslında en önemlisi cebirsel ifade, çünkü o şekilde gösterim bütün sayılar için

geçerli. Mert'in ki aslında biraz doğruydu ama Ayşe'nin ki daha yakın geldi.

Araştırmacı: Peki Mert'in yanıtına bir baksan, Mert'in ne yaptığını anlayabiliyor musun?

Yeliz: Yani evet, ardışık 3 sayı olarak a, a+1, a+2 almış. 3a+3 olmuş, onu da 3'e bölünce

a+1 çıkınca o da katı oluyor. 3e bölünür, sorunun doğru olduğunu gösterir.

Araştırmacı: Anladım, peki cebirsel ifadeleri anlamak örneğe göre daha mı kolay ya da

zor geliyor sana?

Yeliz: Cebir... Cebir de kolay aslında ama diğeri daha yakın geliyor.

Araştırmacı: Bu soru ile ilgili son olarak sana bu üç yanıttan hangisi ispattır diye sorsam,

son kararın ne olur?

Yeliz: Bu sefer Mert'inki derim çünkü cebirsel.

GörüĢme sırasında verdiği yanıtı tekrar değerlendirmesi istendiğinde Yeliz, Mert'in

cebirsel ifadeleri kullanarak gerçekleĢtirdiği ispatı da doğru bulduğuna değinmiĢtir.

Buna rağmen örnek vererek yapılan doğrulamayı kendine yakın bulduğunu da

yinelemiĢtir. Bunun üzerine araĢtırmacı kullanılan sembolik dili anlayıp

anlamadığını sorgular. Mert'in gerçekleĢtirdiği ispatı basamak basamak anlatarak

ispatı anladığını belirten Yeliz, araĢtırmacının yönlendirmesi ile diyalogun sonunda

Mert'in yanıtını ispat olarak belirtse de örnek vererek doğrulamayı kendisine yakın

bulduğunu sürekli tekrarlamıĢtır.

Sınav esnasında Belma'nın yanıtını seçerek örnek vererek doğrulamayı ispat

olarak kabul eden öğrencilerden birisi de Sude'dir. A Ģubesinde öğrenci olan Sude

de görüĢme esnasında, soruyu tekrar incelemiĢ ve yanıtını değiĢtirmiĢtir. Cebirsel

anlatımı anladığını da belirten Sude ile aĢağıdaki diyalog yaĢanmıĢtır:

Araştırmacı: Niçin Belma'yı seçtin, şu an yeniden seçme şansın olsa yine Belma mı dersin?

Sude: Aslında şu an aynı düşünmüyorum, Mert'in cevabı bana daha kanıtlayıcı geldi.

cebirsel ifade kullandığı için a'nın yerine hangi sayıyı koyarsanız koyun doğru çıkacak.

97

Araştırmacı: Şu an Mert'in yaptığına baktığında ne yaptığını, sembolik dili ne için

kullandığını anlıyor musun?

Sude: Evet, önce bir sayı almış a, sonra ardışık olarak devam etmiş. Toplamı da 3a + 3

olmuş. Onu da anladım. Bu da zaten 3 katına eşit oluyor. Evet anladım.

Her ne kadar sınav esnasında öğrencilerin sadece % 31,5'i, ispat içeren yanıtı

seçmiĢ olsalar da görüĢme yapılan öğrencilerin büyük çoğunluğu verdikleri yanıt

sorgulatıldığında doğru olan yanıta, ispata ulaĢabilmiĢtir. Örnekle doğrulamanın

ispat olduğunda ısrar eden öğrenciler ise genel olarak cebirin anlaĢılır olmadığını

düĢünmektedir. Öğrenci ya kendisi cebiri anlamamakta ya da A Ģubesinden

Dicle'de görüldüğü üzere cebirsel gösterimi açıklayabilmesine rağmen anlaĢılır

olmaması nedeni ile o yanıtı seçmemektedir. Bu öğrenciler bir Ģekilde cebirsel

ifadelerden kaçınmaktadırlar.

Araştırmacı: Peki niçin Ayşe değil de Belma'yı seçtin?

Dicle: ııı, [Ayşe'nin yanıtını okumakta] 3, 4, 5 denemiş. Ama tek örnek denemiş. Hani bunu

kanıtlamak, ispatlamak için tek bir örnek yeterli değil bence.

Araştırmacı: O zaman ispat yapmak için çok sayıda örnek mi denemeli?

Dicle: Evet. O yüzden Belma'nın ki ispat. Çünkü diyelim ki tek bir örnekle her şeyi

anlatamayız ama birden fazla örnekle karşımızdakini ikna edebiliriz bence.

Araştırmacı: Peki, Mert'in cevabına dair ne düşünüyorsun?

Dicle: Mert bir sayı vermiş, bu sayıyı bilmiyoruz. Ardışığı bu sayının bir fazlası, diğer sayı

da bu sayının iki fazlası, dolayısıyla 3a+3 olmuş. 3a+3'de bu a+1'in 3 katı. Bu da doğru

ama bence Belma daha iyi. Çünkü bu sembollerde, Mert'in verdiği sembolleri herkes

anlayamıyor. Herkes bilmiyor. Dolayısıyla ben Belma'yı seçtim, o daha anlaşılır.

4.2.1.2. Önerme Hem Doğru Hem de yanlıĢ Olabilir mi?

Ġkinci soruda öğrencilere yanlıĢ bir önerme ile bu önermenin karĢı örnek verilerek

çürütüldüğü ispatı, bir de cebirsel ifadeler kullanılırken yapılan iĢlem hatası

nedeniyle önermeyi doğrulayan bir yanıt sunulmuĢtur. Öğrencilerden verili

önermenin ispatı istenirken, sunulan yanıtlara dair ayrı ayrı değerlendirme

yapmaları da istenmiĢtir.

Sunulan yanıtlardan birisi önermenin yanlıĢ olduğunu savunurken, diğeri doğru

olduğunu savunmaktadır. Bu soru ile öğrencilerin matematiksel bir önermenin aynı

anda doğru ve yanlıĢ olamayacağına dair farkındalıkları ölçülmek istenmektedir.

Ayrıca yanıtların birisinde yapılan iĢlem hatasını ne oranda fark edeceklerine de

bakılacaktır. Öğrencilerin verdikleri yanıtlar; Kod 1: "Ceyhun ispatlamıĢ", Kod 3:

98

"Canan ispatlamıĢ" ve Kod 2: "her ikisi de ispat" kodları altında incelenmiĢtir. Bu

soruya iliĢkin elde edilen bulgular Ģu Ģekildedir; (Ceyhun; karĢı örnek vererek

önermeyi doğru bir Ģekilde ispatlamıĢtır. Canan; cebir kullanmıĢ, iĢlem hatası

yaparak yanlıĢ bir ispat yapmıĢtır.)



A Şubesi (n=30)

B Şubesi (n=24)

Toplam (n=54)

f % f % f %

Kod 1 25 83,3 13 54,2 38 70,4

Kod 2 2 6,6 4 16,6 6 11,1

Kod 3 2 6,6 7 29,2 9 16,7

A ġubesinden bir öğrenci soruya yanıt vermemiĢtir.

B Ģubesindeki öğrencilerin % 54,2'si bu soruya doğru yanıt (Kod 1) verirken, A

Ģubesinde bu oran % 83,3'e yükselmiĢtir. Bu soruya doğru yanıt veren 38

öğrenciden 11'i Canan'ın iĢlem hatası yaptığını fark ederek, onun yanıtının bu

nedenle yanlıĢ olduğunu belirtmiĢtir. Ceyhun'un yanıtını ispat olarak kabul eden 38

öğrenciden 13'ü ise Canan'ın yanıtını anlamadıklarını belirtmiĢlerdir. Bu gruptan

sadece 5 öğrenci Canan'ın yanıtını değerlendirirken Ceyhun'un bu önermeyi

ispatladığı gerekçesi üzerinden, Canan'ın yanlıĢ bir yanıt verdiğini belirtmiĢlerdir.

Onlara göre Ceyhun önermenin yanlıĢ olduğunu zaten ispatlamıĢtır, bu nedenle

Canan'ın yanıtı hatalı olmalıdır. Bu ifadeleri örneklendirmek gerekirse:

“Ceyhun yanlış olduğunu kanıtlamış, Canan'ın yanıtı yanlış çünkü hep 6'nın katı çıkmaz

bunu Ceyhun kanıtlamıştı.” (Eda Nur - A Şubesi)

" Ceyhun'un cevabı doğrudur, çünkü ne kadar örnekle sayı denesek de çıkmıyor. Canan'ın

ne demek istediğini tam olarak anlayamadım." (Gülin - A Şubesi)

B Ģubesindeki öğrencilerin % 16,6'sı her iki ispatı da doğru kabul ederek, verili

matematiksel önermenin hem doğru hem de yanlıĢ olduğunu savunurken (Kod 2),

bu oran A Ģubesinde % 6,6'ya düĢmüĢtür. Cebirsel ifade ile yapılan doğrulamanın

genellenebilir bir yargı içerdiği bu nedenle de Canan'ın yanıtının da doğru olduğu

gerekçesi, bu hatalı yanıtı veren öğrencilerin tamamında görülen bir eğilimdir.

Ceyhun'un yanıtını incelediklerinde önermenin yanlıĢlığını kabul eden bu

99

öğrenciler, Canan'ın yanıtındaki cebirsel anlatımı gördüklerinde bu yanıtın da ispat

olduğunu düĢünmüĢlerdir. Soruda verilen önermenin aynı anda hem doğru hem de

yanlıĢ olduğunu savunarak, doğruluğun ispatı ile karĢı örnek vererek ispatın aynı

önerme için bir arada olabileceğine yönelik bir kavram yanılgısına sahip

olmuĢlardır. Her iki Ģubede de bu kavram yanılgısına sahip öğrencilerin sayısı

genele oranla düĢük çıkmıĢtır. Bu hataya düĢen B Ģubesinin baĢarılı

öğrencilerinden olan Ġlayda her iki yanıtın da doğruluğunu sınavda Ģu cümleler ile

açıklamıĢtır:

"Ceyhun'un yanıtı verdiği örneğe göre doğrudur. Fakat Ceyhun'un verdiği örneği Canan'ın

yanıtına göre uyarlarsak yanlış çıkar. Canan'ın yanıtı ise doğrudur. Çünkü tüm tek sayıları

formüle göre uyarlarsak yanıtı doğru çıkar." (İlayda - B şubesi)

GerçekleĢtirilen görüĢme sırasında bu soruya verdiği yanıtı ayrıntılandırması

istendiğinde ise;

İlayda: Bence her ikisi de doğru gibi geliyordu bana, orada tam ifade edemedim sanırım

ama her ikisi de doğru geliyor. Çünkü nasıl diyeyim Canan’ın verdiği yanıt, genel olarak

göstermiş, formül gibi, ama Ceyhun’un verdiği yanıt o formüle göre bile yaparsak yanlış

çıkıyor. Aslında Ceyhun daha yakın gibi bana ama her ikisi de doğru yapmış, ispatlamış.

aktarımında bulunmuĢtur. GörüĢmenin devamında Ġlayda'ya matematiksel bir

önermenin aynı anda hem doğru hem de yanlıĢ olup olamayacağı

sorgulatıldığında ise;

Araştırmacı: Peki, şöyle desem, Ceyhun diyor ki “bu matematiksel ifade yanlış”, Canan

ise doğru diyor. Verdikleri yanıta hiç bakma şimdi, bu matematiksel ifade sence doğru

mudur yanlış mı? Sen de deneyebilirsin, işlem yapabilirsin…

[İlayda kâğıt ve kaleme yönelir, örnek vererek ifadeyi sınar]

İlayda: Evet doğru, o zaman 21 olsun, 21 ile 3 ü çarparsam, bir de 6 ekleyeceğim 69 oldu.

69, 6’ya bölünür mü? Mmm bölünmez. İfade yanlış o zaman.

Araştırmacı: Tekrar soruya bakalım Ceyhun ifadeye yanlış demiş, Canan doğru demiş.

Aynı ifade hem doğru hem yanlış olabilir mi?

İlayda: Hem doğru hem yanlış? … Verdikleri ifadeye göre değişebilir ama nasıl diyeyim

bu ifade bence yanlış, bu ifade hem doğru hem de yanlış olamaz.

Araştırmacı: Mesela tekrar bu soruya dönersek, iki yanıt var birisi doğru demiş diğeri

yanlış, ikisi birden doğru olabilir mi?

İlayda: Hayır, aslında Ceyhun doğruyu söylemiş gibi, ben de denemiştim az önce.

aktarımında görüldüğü üzere yaĢadığı ikilemi bir miktar aĢmaya baĢlamıĢtır. Bu

diyalogun ardından daha ayrıntılı olarak Canan'ın yanıtını inceleyen Ġlayda

Canan'ın iĢleminde yaptığı hatayı da fark etmiĢtir.

100

İlayda: Canan ne yapmış bir bakayım… [der ve elinde kalem işlemleri tek tek incelemeye

başlar, birkaç saniye sonra] aa, hayır doğru yapmamış.

Araştırmacı: Nerde hata yapmış?

İlayda: 3 ile +1’i çarparken +6 yazmış, yanlış… Sınavda fark etmemiştim.

Yine B Ģubesinden Orhan ise “Bence Ceyhun yanlıĢ cevap vermiĢtir, çünkü

Ceyhun örnekleme yaparak cevap vermiĢ ve örnekleme her zaman doğru

çıkmayabilir. Canan doğru cevap vermiĢtir. Çünkü Canan bu problem de

formüllerden yola çıkmıĢtır ve formüller her zaman doğru yanıt verir.” Ģeklinde

gerekçesini açıkladığı yanıtında, var olan önermenin aksini gösteren bir örneğin,

önermenin yanlıĢlığını ispatlamada yeterli olmadığına yönelik düĢüncesini ortaya

koymuĢtur. Yapılan görüĢmede ise Orhan bu hatasını hemen farketmiĢ, cebirsel

ifadeyi gördüğü için yanıtları ayrıntılı olarak incelemediğini ve cebirsel gösterimin

ispat olduğunu düĢünerek yanıtını verdiğini açıklamıĢtır.

Ceyhun'un yanıtının değil de Canan'ın yanıtının ispat olduğunu savunan 9

öğrenciden 4'ü sınav kağıdında, Orhan'ın ifade ettiğine benzer bir Ģekilde, tek bir

örneğin önermenin yanlıĢ olduğunu savunmada yetersiz olacağını belirtmiĢlerdir.

Bu öğrenciler bir önermenin doğruluğunu ispat ederken kullanılan örneklerin ispat

için yetersiz olacağı fikrinden yola çıkarak, Ceyhun'un kullandığı örneği

değerlendirmiĢlerdir. Benzer bir içerikte yanıt veren B Ģubesinden Gizem'le

görüĢme sırasında bir önermenin yanlıĢlığının ispatlanması üzerine konuĢulmuĢ,

sınavda verdiği yanıt sorgulatılmıĢtır. Bunun üzerine Gizem de verdiği yanıtı

aĢağıdaki diyalogda aktarıldığı Ģekilde değiĢtirmiĢtir:

Araştırmacı: Şimdi, ikinci soruya geçersek, ikinci sorudaki ifade "herhangi bir sayıyı 3 ile

çarpıp, çarpıma 6 eklerseniz 6'nın katı olan bir sayı elde edersiniz" idi. Şimdi sen burada

Ceyhun'un yanıtına yanlış demişsin, Ceyhun niçin yanlış? Soruyu ve yanıtını bir incele

istersen.

[Gizem soruyu okumakta, sessizce inceliyor, kendisi de Ceyhun'un yaptığı işlemi kağıda

tekrarlıyor]

Gizem: Ben de böldüm 6'nın katı değil.

Araştırmacı: Evet, Ceyhun'da aynı işlemi yapmış ve bulduğu sayı senin de gördüğün üzere

6'nın katı değil. Bu nedenle bu ifade her zaman doğru değildir demiş. Doğru mu, yanlış mı

söylemiş sence?

Gizem: Bence bu yaptığına göre doğru söylemiş. Bir işlem yapmış ve bu işlem ile aslında

ifadenin doğru olmadığını göstermiş. Ceyhun sayılardan giderek genelleme yapmamıştır

ama denediği sayı doğru olmadığını göstermiştir.

Araştırmacı: Peki yanlış olduğunu göstermek için tek bir örnek kullanmış bu sence yeterli

olur mu?

101

Gizem: Değil, mesela başka bir tek sayı bulabilirdi, bu sayı ile bu işlemleri yaptığında bu

sefer 6'nın katı çıkabilirdi.

Araştırmacı: Ne olurdu o zaman? O denediğin örnek doğrulamış olurdu ama ifade de ne

diyor "her zaman 6'nın katı olur" diyor. İki örnek var mesela elimizde birisini denedin

doğru çıktı, diğerinde yanlış. Ne olur o zaman? Her zaman doğru olur mu?

Gizem: Olmazdı ama ben olsaydım bir kaç tane daha örnek yapardım.

Araştırmacı: Hadi bir örnek daha yaptın, ikisinde doğru çıktı birinde yanlış. O zaman ne

olurdu, ifade yanlış mı doğru mu olurdu?

Gizem: Ben sanırım yine yanlış derdim öğretmenim, çünkü 2 işlem bile olsaydı biri 6'nın

katı çıktı, diğeri çıkmadı yanlış gibi olur. ... Birisinde bile yanlışsa, hepsi için doğru olmaz.

Buradaki aktarımlardan da görüldüğü üzere öğrencilerin bir bölümü karĢı örnek

vererek bir önermenin ispatlanmasında, tek bir örneğin yeterli olacağı fikrinin

kabulünde sorun yaĢamıĢtır. Öğrencilerin bir kısmı ise örnekle doğrulamanın ispat

olmadığı fikri üzerinden Ceyhun'un yanıtına Ģüpheci yaklaĢabilmiĢ veya cebirsel

gösterimin her zaman ispat olacağı genellemesi üzerinden yanlıĢ sonuca

ulaĢabilmiĢtir. Buna karĢın gerçekleĢtirilen görüĢmede bu hatalar üzerine de

durulmuĢ, öğrencilerin yanılgıları verdikleri yanıtlar kendilerine sorgulatılarak

büyük oranda giderilebilmiĢtir.

4.2.1.3. Önermenin Birden Fazla Ġspatı Olabilir mi?

Üçüncü soruda öğrencilere verili önermeye yönelik 3 seçenek sunulmuĢtur.

Bunlardan birisi cebir kullanarak yapılan ispat (Cem‟in yanıtı), bir diğeri anlatım

yolu ile yapılan ispat (Buse) ve son olarak da örnek vererek yapılan doğrulama

(Mehmet‟in yanıtı) idi. Bu soruda öğrencilere verili cevapların hangisi ya da

hangilerinin ispat olduğu sorulmuĢtur. Bir önermenin birden fazla yolla

ispatlanabileceğinin ve ispat ile genellenebilir bir yargı sunma arasındaki iliĢkinin

farkında olup olmadıkları ölçülmeye çalıĢılmıĢtır.

Bu soruda öğrenciler birden çok sayıda yanıtı ispat olarak seçebilmiĢtir. Mehmet'in

yanıtı Kod 1, Buse'nin yanıtı Kod 2, Cem'in yanıtı Kod 3 ile kodlanmıĢtır. Bu

soruda ulaĢılmak istenen yanıt Kod 2 ve Kod 3, yani Cem ve Buse'nin yanıtlarının

ispat olduğudur. Buna karĢın öğrencilerin verdikleri yanıtların analizinde, sadece

örnekle doğrulamayı ispat olarak kabul edenler, örnekle doğrulamayı da verdikleri

yanıt içerisine dâhil eden öğrenciler ile verdikleri yanıtta sadece ispatlara yer veren

öğrencilerin genele oranı da tablo içerisinde sunulmuĢtur. Bu soruya iliĢkin elde

edilen bulgular Ģu Ģekildedir;

102

Tablo 4.9. Ispat testi 1, 3. soruya iliĢkin bulgular


Kod 1; örnek vererek doğrulama ispattır Kod 2; sözel anlatım ispattır Kod 3; cebirsel gösterim ispattır

B Şubesi

(n=24)

A Şubesi

(n=30)

Toplam (n=54)

f

%

f

%

f

%

Sadece örnekle doğrulamayı seçenler

1

2

8,3

10

33,3

12

22,2

Ġspat olarak doğru yanıtları veya yanıtlardan birini seçmesine rağmen örnekle doğrulamayı da seçenler

1,2

2

8,3

2

6,6

4

7,4

1,3

4

16,6

3

10

7

13

1,2,3

3

12,5

3

10

6

11,1

Toplam

9

37,5

8

26,7

17

31,5

Sadece verili ispatları seçenler

2

3

12,5

1

3,3

4

7,4

3

5

20,8

6

20

11

20,4

2,3

3

12,5

2

6,6

5

9,3

Toplam

11

45,8

9

30

20

37

B Ģubesinden 1, A Ģubesinden 3 öğrenci soruya yanıt vermemiĢ, B Ģubesinden 1 öğrenci ise verilen tüm yanıtların yanlıĢ olduğunu belirttiği için tabloda yer almamaktadır.

Bu soruda sadece örnek vererek doğrulamayı ispat olarak seçen öğrencilerin oranı

diğer sorulara göre daha düĢük çıkmıĢtır. B Ģubesinde bu oran % 8,3 'de kalırken,

A Ģubesinde % 33,3'tür. Buna karĢın ispat olarak seçtiği yanıtlar içerisine var olan

ispatlarla birlikte, örnek vererek doğrulamayı da dâhil eden öğrencilerin oranı tüm

öğrenciler dikkate alındığında % 31,5'dir. Bu durum sadece örnek vererek yapılan

doğrulamayı ispat olarak kabul eden öğrencilerle birlikte düĢünüldüğünde,

öğrencilerin yarısının ispat ile doğrulama arasındaki ayrımın hala net olarak

farkında olmadıklarını ortaya koymaktadırlar.

Buna karĢın gerek cebirsel, gerekse anlatım yolu ile yapılan ispatları yanıt olarak

ileten öğrencilerin oranı % 37 iken, her iki ispatı da belirterek doğru yanıt veren

öğrencilerin oranı % 9,3'te kalmıĢtır. Bu öğrencilerden B Ģubesinde okuyan Orhan

103

gerekçesini “Bence Cem ve Buse doğru cevap vermiştir, çünkü Cem problemde

formüllerden gitmiş, Buse ise tek sayıların özelliklerinden yola çıkmıştır.” ifadesi ile

açıklarken yine aynı Ģubeden Ġlayda benzer bir aktarımsa bulunmuĢtur; “Bu verilen

cevaplardan Buse ve Cem'in verdikleri yanıtlar doğrudur. Bu öğrenciler verdikleri

cevaplarda formül ya da kanıt olarak açıklama yaptıkları için her ikisinin yöntemini

kullandığımızda bu ifadenin doğru olduğunu görürüz.”.

Ġspat testi 1'de yer alan 1. ve 3. soru birlikte dikkate alındığında, ilk soruda örnek

vererek doğrulamayı ispat olarak kabul eden öğrencilerin önemli bir bölümünün bu

soruda genelleme içeren yanıtları da ispat olarak seçtiği gözlenmiĢtir. Ġlk soruda

Belma'nın yanıtını (çok sayıda örnekle doğrulama) ispat olarak seçen Sude (A

Ģubesi) ile AyĢe'nin yanıtını (tek bir örnek ile doğrulama) ispat olarak seçen Yeliz

(B Ģubesi) bu soruda Cem'in yanıtı olan cebirsel gösterimi ispat olarak

seçmiĢlerdir. GörüĢme sırasında yanıtlarındaki bu farklılığın gerekçesi kendilerine

sorulmuĢ, her ikisi de benzer bir yaklaĢımla ilk soruda istenilene çok dikkat

etmediklerini Ģu Ģekilde belirtmiĢlerdir;

Araştırmacı: Üçüncü soruya geldiğimizde ise bu sefer 3 yanıt vardı, hangisi ispattır diye

sorduğumda sen cebir kullanılan cevabı seçmişsin. İlk soruda niçin cebiri seçmedin de bu

soruda cebirsel ifadenin kullanıldığı yanıtı ispat olarak seçtin?

Yeliz: Bilmem ilk soruydu ya sorulara alışmamıştım belki de. Daha ayrıntılı inceledim

diğer soruları.

........

Araştırmacı: Üçüncü soruya geçtiğimizde ise şu dikkatimi çekti, ilk soruda örnekle

doğrulamayı ispat olarak kabul ederken bu soruda cebirsel ifade kullanılan yanıtı, Cem'i

seçmişsin. Bu bana ilginç geldi, niçin iki soru arasında bu fark var sence?

Sude: Bilmem diğeri ilk soruydu ya orada hemen bana en anlaşılır geleni seçmiştim

sanırım.

GörüĢme sırasında öğrencilere Buse'nin yanıtının nasıl bir genelleme içerdiği de

sorulmuĢtur. Gerek sınav esnasında, gerekse görüĢme sırasında, 1. soru için

Belma'nın yanıtını ispat olarak değerlendiren ve cebirsel ifadelerin "anlaĢılmaz"

olduğunu belirten B Ģubesinden Tuna, bu soruda Buse'nin yanıtını seçen

öğrencilerden birisidir. Bu soruda örnek vererek doğrulamanın ispat için yeterli

olmadığına değinen Tuna, Buse'nin yanıtının ifadeyi tüm sayılar için doğruladığını

söylemiĢtir. Buna karĢın aynı değerlendirmeyi ilk soruda yapmadığı görülmektedir.

Tuna: Aslında sayılar sonsuzdur, belki öyle bir sayı çıkacaktır ki yanlış çıkacak sonuç.

Buse ise örnek vermemiş, şekil de çizmiş, anlatmış. Daha anlaşılır olmuş bence. Tek sayıyı

anlatmış ikişerli gruplandırdığımızda diyerek. Tüm sayılar için tanımlamış yani. Tüm

sayılar için doğru olur dediği.

104

Buse ve Cem'in yanıtlarının verili önermenin ispatları olduğunu söyleyen Beyza (A

Ģubesi) ise Buse'nin aktarımının içerdiği genellemeyi Ģu Ģekilde ifade etmiĢtir:

Beyza: Bu sanırım diğeriyle aynı, yani yine bütün sayılar için ispat [Cem'in yanıtını

kastetmekte]. Bu ise cebir kullanmamış [Buse'yi kastetmekte], cebir kullanmak yerine onu

anlatmış gibi bir şey olmuş. Sayılarla göstermemiş, anlatarak cebirsel ifadeyi anlatmış gibi

bir şey.

Araştırmacı: Peki, Buse'nin yaptığında da bir genelleme var mı sence?

Beyza: Bence, hmm, her zaman doğrudur ama burada yine bir örnek vermiş ya, ... ama

onu da anlatmak için kullanmış. Yani genelleme yapmış aslında, evet.

4.2.1.4. Hangi Cebirsel Gösterim Önermenin Ġspatıdır?

Dördüncü soruda öğrencilere verili önermeye yönelik 3 yanıt sunulmuĢtur.

Bunlardan birisi cebir kullanarak yapılan ispat (Sedat‟ın yanıtı), bir diğeri verili

önermenin tersinin ("ArdıĢık iki sayının toplamı tek sayıdır") cebir yolu ile ispatı

(Deniz) ve son olarak da örnek vererek yapılan doğrulama (Berk‟in yanıtı) idi. Bu

soruda öğrencilere verili cevapların hangisinin ispat olduğu sorulmuĢtur. Örnek

vererek doğrulama ile ispat arasındaki ayrımın farkındalığına ek olarak, iki cebirsel

ispat arasındaki ayrımı ortaya koyup koyamadıklarına bakılacaktır.

Bu soruda örnek vererek yapılan doğrulama yanıtı Kod 1, önermenin ispatını

içeren yanıt (Sedat'ın yanıtı) Kod 2 ve diğer cebirsel gösterimi içeren yanıt

(Deniz'in yanıtı) Kod 3 ile kodlanmıĢtır. Soruya iliĢkin elde edilen bulgular Ģu

Ģekildedir;



A Şubesi (n=30)

B Şubesi (n=24)

Toplam (n=54)

f % F % f %

Kod 1 7 23,3 8 33,3 15 27,8

Kod 2 12 40 9 37,5 21 38,9

Kod 3 8 26,6 6 20,8 14 25,9

A Ģubesinden 2, B Ģubesinden 1 öğrenci soruya yanıt vermemiĢ, A Ģubesinden 1 öğrenci ise her üç yanıtı da ispat olarak değerlendirdiği için tabloda yer alan değerlendirmeye dahil edilmemiĢtir.

Bu soruya verilen yanıtlar incelendiğinde örnek vererek doğrulamayı ispat olarak

değerlendiren öğrencilerin oranında diğer sorulara göre düĢüĢ gözlenmektedir.

105

Berk'in yanıtını ispat olarak seçen öğrenciler Berk'in yanıtını basit ve anlaĢılır

bulurken, hepsinin sundukları gerekçede gözlenen ortak eğilim cebirsel ifadeleri

anlamamıĢ olmalarıdır. Sınav kâğıdında gerekçelerini Ģu Ģekilde sunmuĢlardır;

"Berk’in cevabı hem anlatılmış hem de ispatlanmıştır, daha detaylı. Diğer cevapları

anlamadım." (Deniz, A şubesi)

"Berk’in cevabı doğrudur çünkü basit ve açıklayıcıdır. Sedat’ın cevabı fazla karmaşıktır,

Deniz’in cevabı yanlıştır, çünkü x sayıları ile ispat fazla belli değil." (Ünal, A şubesi)

Yapılan görüĢmelerde de örnek ile doğrulamayı ispat olarak kabul eden öğrenciler,

cebirsel ifadeleri anlama ve uygulamada zorlandıklarını belirtmiĢlerdir.

Bu soruya doğru yanıt veren öğrencilerin oranı her iki Ģubede de en yüksek olandır

(Sedat'ın yanıtı). Buna karĢın diğer cebirsel ifadeyi içeren yanıtı (Deniz'in yanıtı)

ispat olarak kabul eden öğrenciler Sedat'ın yanıtını uzun ve anlaĢılmaz

bulduklarını belirtmiĢlerdir. Yine de cebirsel gösterimin ispat olduğu düĢüncesi

üzerinden, Deniz‟in yaptığı iĢlemleri daha anlaĢılır buldukları için Deniz'in yanıtını

önermenin ispatı olarak seçmiĢlerdir. Sınavda öğrenciler Ģu aktarımlarda

bulunmuĢlardır;

“Sedat'ın cevabından hiç bir şey anlamadım. Ama bir öğretmen olsa idim Deniz'in cevabını

ispat olarak seçerdim.” (Nur - B şubesi)

“Deniz’in cevabı doğru ve gayet basit bir dille açıklamış. Sedat’ın cevabını anlamadım ve

mantıksız geldi.” (Selda - A şubesi)

“Sedat’ın cevabı çok uzun doğru olmayabilir, Deniz’in cevabı ispattır işlemleri doğru”

(Sidar - A şubesi)

GörüĢmede daha kısa ve anlaĢılır olduğu gerekçesi ile Deniz'in yanıtını verilen

önermenin ispatı olarak seçen öğrencilere de yer verilmiĢtir. Onlara bu sorudan

bağımsız olarak, baĢka bir kağıtta Deniz'in yaptığı ispat sunulmuĢ ve verili ispatın

hangi matematiksel önermenin ispatı olabileceği sorulmuĢtur. Bu sorunun

yöneltildiği öğrencilerin hepsi verili ispatın "ardıĢık iki sayının toplamı her zaman

tek sayıdır" önermesinin ispatı olduğunu belirtmiĢlerdir. Verdikleri bu cevabın

ardından soruyu tekrar incelemeleri istenen öğrenciler, seçtikleri yanıtın soruda

verilen önermenin ispatı olmadığını kolaylıkla farketmiĢlerdir. B Ģubesinden Orhan

yaptığı hatayı hızla farkederek, iki cebirsel gösterim (Sedat ve Deniz'in yanıtları)

arasındaki farkı aĢağıdaki diyalogda geçtiği Ģekilde ifade etmiĢtir:

106

Araştırmacı: Son soruya geçmeden önce, önce şuna bakmanı istiyorum [sadece Deniz'in

yapmış olduğu cevap sunulur] Deniz'in yanıtına bak, sence Deniz hangi matematiksel

ifadenin ispatını yapmış bu yanıtı ile?

[Orhan Deniz'in yanıtını okumakta]

Orhan: Hmm... Ardışık iki sayının toplamı, toplamının … ıııı her zaman tek sayı olacağını

bulmuş.

Araştırmacı: Evet çok doğru, soruda verilen ifadeye bakmanı istesem. O ifade ne idi?

Orhan: Her tek sayı ardışık iki sayının toplamı şeklinde yazılabilir.

Araştırmacı: Sence bu ikisi aynı şey mi?

Orhan: Hayır değil, bu tersten gibi.

Bu soruda doğru yanıtı seçen öğrenciler ise A Ģubesinden Berk'in; “Sedat'ın

cevabı bence, çünkü tek sayının formülüyle ulaşmış ve her şekilde doğrudur."

cümlesiyle ifade ettiği Ģekliyle cebirsel ifadeyi, yani Sedat'ın yanıtını anladıklarını

belirtmiĢlerdir. Bazı öğrenciler de yine aynı Ģubeden Recep'in "Sedat’ın cevabı

doğrudur, çünkü 30. sayıda böyle bir şey oluyor, 4’te de aynı şekilde öyle oluyor."

diyerek gerekçelendirdiği Ģekilde Sedat'ın yanıtının genellenebilir bir yargı

sunduğuna da değinmiĢlerdir. Sedat'ın yanıtını seçen 21 öğrencinin sınavda

seçimine yönelik yazdığı değerlendirmeler incelendiğinde; 2 öğrenci gerekçe

bildirmemiĢtir. 7 öğrencinin gerekçesinde ise Sedat ve Deniz'in yanıtlarına yönelik

ayrıntılı değerlendirmeler bulunmamakta, bu nedenle de seçimlerinde ispata

yönelik farkındalıkları net olarak gözlenememektedir. A Ģubesinden Öykü bu

öğrencilerdendir ve gerekçesini "Daha bilimsel ve daha zor olduğu için Sedat'ın

yanıtı ispattır." Ģeklinde ifade ederek Deniz'in yanıtına yönelik bir değerlendirmede

bulunmamıĢtır. 12 öğrenci ise net bir Ģekilde Sedat'ın ispatını doğru olan ispat,

Deniz'in yanıtını ise ispat olarak yanlıĢ bulduklarını belirtmiĢlerdir. Yine A

Ģubesinden Aleyna "Sedat’ın yanıtı doğru ispattır ama Deniz’in ne yaptığını

anlamadım, soruya uymuyor gibi" Ģeklinde bir gerekçe sunarak, Deniz'in ispatını

verili önerme ile iliĢkilendirememiĢtir. Yanıtlar incelendiğinde, doğru seçeneği

seçen öğrencilerin % 57,1'inin seçimlerini bilinçli olarak yaptıkları net olarak

söylenebilmektedir.

4.2.1.5. Özet

Her ne kadar ispat testi 1'in ilk sorusunda öğrencilerin önemli bir bölümü, % 68, 5'i,

örnek vererek yapılan doğrulamayı ispat olarak kabul etmiĢ olsa da bu eğilim diğer

sorularda düĢüĢ göstermiĢtir. Öğrenciler gerçekleĢtirilen görüĢmelerde de

107

tümdengelimsel muhakemeleri içeren yanıtlara yönelmiĢ, ispatın verilen

önermenin olası tüm durumlarını kapsaması gerektiğine yönelik vurgularda

bulunmuĢlardır. Sınavın ileriki sorularında sadece cebirsel ifadelere değil,

tümdengelimsel muhakeme içeren diğer temsillere de yönelebilmiĢlerdir. YanlıĢ bir

önermenin ispatında ise öğrenciler çoğunlukla (% 70,4'ü) sunulan karĢı örneği

önermenin ispatı olarak değerlendirmiĢlerdir. Bu bağlamda öğrencilerin ispat ile bir

kaç durumun denendiği doğrulama arasındaki farkı kavrayarak, yanlıĢ

önermelerde ise verilen karĢı örneğin ispat olduğunu vurgulayarak, ispat

kavramına yönelik farkındalıklarının geliĢtiği söylenebilir. Ayrıca düĢük oranlarda

da olsa Ģu bulgulara ulaĢılmıĢtır; öğrenciler tümdengelimsel yaklaĢımların

muhakkak ispat olduğu düĢüncesi üzerinden hatalı yanıtları ispat olarak

değerlendirebilmiĢtir, önermenin doğruluğunun ispatı ile karĢı örnek verilerek

yanlıĢlandığı ispatın birlikte geçerli olduğunu savunabilmiĢtir, yanlıĢ bir önermenin

ispatında tek bir örneğin verilmesinin yeterli olmadığını düĢünebilmiĢlerdir. Sonuç

olarak; uygulamaya dahil edilen 7. sınıf öğrencilerinin ispata yönelik algılarında bir

ilerleme yaĢanmıĢtır.

4.2.2. Öğrencilerin Ġspat Becerilerine ĠliĢkin Bulgular

Ġspat öğretimi uygulaması sırasında derslerde doğrudan ispat, karĢı örnek vererek

ispat, tüketerek ispat ve durum yolu ile ispat yöntemleri ele alınmıĢtır. Öğrencilerin

bu ispat yöntemlerinden hangilerini yapabildikleri, hangi noktalarda zorlandıklarını

ve ispat yapmaya yönelik becerilerini belirleyebilmek amacı ile ispat testi 2 ve ispat

testi 3 olmak üzere iki tane ispat testi geliĢtirilmiĢtir. Ġspat testi 2'de dört soru grubu

altında öğrencilerden bu ispat yöntemlerini içeren ispatlar yapmaları istenmiĢtir.

Ġspat testi 3'te ise öğrencilere kullanabilecekleri ispat yöntemleri ile birlikte 8

matematiksel önerme verilmiĢ ve dördünü seçerek ispatlamaları istenmiĢtir. Bu

ikinci testte öğrencilerin ispat performanslarına ek olarak hangi ispat yöntemlerini

tercih ederek ispatlamaya çalıĢtıklarına da bakılmıĢtır. Daha sonra gerçekleĢtirilen

görüĢmelerde öğrencilere bu tercihlerinin nedeni ayrıntılı olarak da sorulmuĢtur.

Ġspat Testi 2‟de dört grup soru bulunmaktadır. Her grupta iki matematiksel önerme

verilmiĢtir. Öğrencilerden bu önermelerden sadece birini seçerek, altı çizili olarak

belirtilen yöntemle veya bu yöntemi bilmiyorsa kendi seçtiği bir yöntemle, seçtiği

önermeyi ispatlamaları istenmiĢtir. Bu soru formundaki sorular soru bazında değil,

her bir grup bazında analiz edilmiĢtir. Gruplar, o grupta yer alan ispat yönteminin

108

özellikleri ve öğrencilerin verdikleri cevaplar dikkate alınarak kodlanmıĢ ve

öğrencilerin verdikleri cevapların yüzde ve frekans dağılımı tablolaĢtırılmıĢtır.

Ġspat Testi 3‟de ise öğrencilerden sekiz matematiksel önermeden dördünü seçerek

ispatlamaları istenmiĢtir. Her önermenin ispatı için önerilen ispat yöntemleri

parantez içinde belirtilmiĢtir. Bu testte amaçlanan, öğrencilerin ispata yönelik

performansları ile öğrencilere ispat yöntemlerini seçme Ģansı verildiğinde hangi

ispat yöntemlerini seçeceklerini belirlemektir. Ġspat testi 3'de yer alan sorular ve

soruları seçen öğrenci sayısının Ģubelere göre dağılımı Ģu Ģekildedir:

Tablo 4.11. Ġspat testi 3'de yer alan sorular ve öğrencilerin bu soruları seçme

oranları

Öğrenci Sayısı

A Şubesi (n=25)

B Şubesi (n=22)

Toplam (n=47)

1. Herhangi bir tek sayıyı 3 ile çarpıp bu çarpıma 3 eklerseniz 6‟nın katı olan bir sayı elde edersiniz. (Doğrudan Ġspat)

21 18 39

2. Bir tek ve bir çift sayıyı topladığınızda her zaman tek sayı elde edersiniz. (Doğrudan Ġspat)

23 20 43

3. n, {1,2,3,4} kümesinin bir elemanıdır, bu durumda her zaman (n +

2)2 32 dir. (Tüketerek Ġspat)

6 9 15

4. n, {4,6,8,10,12} kümesinin bir elemanı olsun, bu koĢulu sağlayan tüm n sayıları iki asal sayının toplamı Ģeklinde yazılabilir. (Tüketerek Ġspat)

6 6 12

5. Ġki sayının karelerinin toplamı her zaman çift sayıdır. (KarĢı Örnek Vererek Ġspat)

21 20 41

6. a sayısı (b + c)‟yi tam bölen bir sayı olsun. Bu durumda a sayısı hem b, hem de c sayısını tam olarak bölen bir sayıdır. (KarĢı Örnek Vererek Ġspat)

2 8 10

7. Bir tam sayı tutun ve daha sonra bu sayının karesini alın, elde ettiğiniz sayının 4‟e bölümünden kalan her zaman 0 veya 1‟dir. (Durum Yolu ile Ġspat)

15 5 20

8. x tam sayı olsun. Bu durumda x - |x| 0 dır. (Durum Yolu ile Ġspat)

3 1 4

Uygulama öncesinde öğrencilerin ele alınan ispat yöntemlerinden karĢı örnek

verme ile tüketerek ispatı kolay bulacakları, bu sınavdaki soru seçimlerinde de bu

yöntemlerin belirtildiği önermeleri seçecekleri düĢünülmekteydi. Elde edilen

bulgular, ĢaĢırtıcı bir sonuç ortaya çıkarmıĢtır. Tablodan öğrencilerin yoğunluklu

olarak 1, 2 ve 5. ve 7. soruları seçtikleri gözlenmiĢtir. sadece 5. sorunun seçimi

araĢtırmacının beklentisi ile uyumludur. Öğrencilerle yapılan görüĢmede onlara bu

tercihlerinde neye dikkat ettikleri de sorulmuĢtur. Öğrencilerin büyük bir kısmı soru

109

tercihinde ispat yönteminden ziyade verilen matematiksel ifadeyi anlayıp

anlamadıklarına ve ifadenin kolay olup olmayıĢına dikkat ettiklerini söylemiĢlerdir.

GörüĢülen 16 öğrenciden 11'i seçimlerinde önermeye dikkat ettiklerini belirtirken

sadece 2 öğrenci verili ispat yöntemlerine bakarak seçimlerini yaptıklarını, 3

öğrenci ise verilen önermeyle birlikte ispat yöntemlerine de bakarak seçimlerini

yaptığını belirtmiĢtir. Öğrenciler özellikle matematiksel sembolleri (cebirsel ifadeler,

büyük / küçük iĢaretleri, küme iĢareti vb.) içeren önermeleri seçmemiĢ, yapılan

görüĢmede bu tercihlerini de açık olarak belirtmiĢlerdir. Öğrencilerin ispat testi

2'deki soru seçimleri de bu eğilime uygundur. Ġspat testi 2'de de bilinmeyen terim

ve matematiksel sembollerin yoğunluklu olduğu sorular yerine, düz anlatımları

içeren sorular daha çok tercih edilmiĢtir.

GerçekleĢtirilen görüĢmede B Ģubesinden Derya ile seçimini etkileyen faktörler

seçtiği sorular üzerinden konuĢulmuĢtur:

Derya: Ben burada seçerken şuna dikkat ettim, daha çok mesela ... Şu tür sorularda

zorlandığımı düşünüyorum. [8. soruyu göstermekte]

Araştırmacı: Ha anladım bilinmeyen ifadeleri içeren sorularda zorlanıyorsun yani. Bu

sorulardaki sembolik gösterimler mi zor geldi sana?

Derya: Evet hem x'ler, hem de büyük küçük işaretleri var ya o zor geldi. Bir de karışık bir

ifade gibi.

Araştırmacı: Üçüncü soruya bir bakalım, o da mı sana zor geldi, o yüzden mi onu

seçmedin?

Derya: Evet, soru basit aslında ama bu ifade [eşitsizlik] biraz karışık geliyor.

Araştırmacı: Peki, niçin 7. soruyu seçtin, verilen ispat yöntemine değil de ifadeye mi dikkat

ettin?

Derya: Soruyu okudum, ifade kolay geldi, yöntemi düşünmedim o an, ifadeyi okudum ve bir

şekilde yapabileceğimi düşündüm, ifade kolay geldi, yaparım diye düşündüm.

Verili ispat yöntemlerine dikkat ederek soruyu seçen öğrenciler ise gerekçelerini Ģu

Ģekilde belirtmiĢtir:

Beyza: İfadeler de kolay geldi ama ispat yöntemini görünce ne yapacağımı bildim, mesela

tüketerek ispat, ne yapacağımı biliyordum o yüzden onu tercih ettim. Yöntemi biliyordum

çünkü.

Berk: Hiç bir yöntem bana zor gelmedi ve hepsini denemek istedim. En kolay gelenleri

seçebilirdim ya da daha hızlı yaparım diye karşı örnekleri seçebilirdim sadece ama hepsini

denemek istedim.

110

Ġspat testi 2 ve 3'de yer alan sorular, içerdikleri ispat yöntemleri ile ilgili baĢlıklar

altında incelenecektir.

4.2.2.1. Öğrencilerin Doğrudan Ġspat Yöntemine ĠliĢkin Beceri ve Performansları

Bu baĢlık altında ispat testi 2 Grup 1‟de yer alan soru ile ispat testi 3‟de yer alan 1

ve 2. sorular incelenecektir.

Ġspat Testi 2‟de, Grup 1 baĢlığı altında öğrenciler önermeyi doğrudan ispat

yöntemi ile ispatlamaları doğrultusunda yönlendirilmiĢtir. Öğrencilerin verdikleri

yanıtlar aĢağıdaki kod sistemi kullanılarak değerlendirilmiĢtir:








Tablo 4.12. Ġspat testi 2, 1. Gruba iliĢkin bulgular


A Şubesi (n = 27)

B Şubesi (n = 21)

Toplam (n=48)

f % F % f %

Kod 1 - - 10 47,6 10 20,8

Kod 2

Tek bir örnek 7 25,9 2 9,5 9 18,8

Çok örnek 11 40,7 4 19 15 31,2

Kod 3 3 11,1 - - 3 6,2

Kod 4 6 22,2 5 23,8 11 23

Her iki Ģubede de öğrencilerin büyük bir kısmı 1. soruyu seçerek ispatlamaya

çalıĢmıĢtır. Verili sorular içerisinden A Ģubesinden 23 öğrenci 1. soruyu, 4 öğrenci

2. soruyu; B Ģubesinden ise 14 öğrenci 1. soruyu, 5 öğrenci 2. soruyu seçmiĢ, 2

öğrenci de seçim yapmayarak soruyu boĢ bırakmıĢtır.

111

Bu gruptaki soruları ispatlayan öğrencilerin tamamının cebirsel gösterimleri

kullanarak doğrudan ispat yöntemi ile seçtiği önermeyi ispatladığı gözlenmiĢtir.

Ġspat yapan öğrencilerin (Kod 4) yüzdesi her iki Ģubede de birbirine yakındır ve

tüm öğrencilerin % 23'ünü oluĢturmaktadırlar. Örneğin B Ģubesinden bir öğrenci

seçtiği önermeyi (Çift bir sayı tutun, daha sonra bu sayıya yarısını ekleyin.

Bulduğunuz sayı her zaman 3’e bölünen bir sayıdır.) aĢağıdaki Ģekilde

ispatlamıĢtır:

ġekil 4.13. B Ģubesinden Ġlayda - Kod 4

Buna ek olarak A Ģubesinde öğrencilerin % 11,1‟i ispat fikrine sahip olarak yanıt

üretmeye baĢlamıĢ ama çeĢitli hatalar nedeni ile ispatı tamamlayamamıĢtır. Kod 3

ve Kod 4‟ü bir arada düĢündüğümüzde, A Ģubesindeki öğrencilerin % 33,3‟ünde

doğrudan ispat yöntemine iliĢkin bir farkındalığın olduğu söylenebilir. Bu

öğrencilerden birisi olan A Ģubesinden Selda yine aynı önermeyi seçmiĢ, cebirsel

ifadeleri kullanarak ispat yapmaya çalıĢmıĢ ama yaptığı iĢlem hatası nedeniyle

ispatı tamamlayamamıĢtır:

ġekil 4.14. A ġubesinden Selda - Kod 3

112

Ġspat yapan öğrencilerin gerek bu grupta yer alan sorularda, gerekse diğer

sorularda ortaya koyduğu ortak bir eğilim cebir kullanarak yaptıkları ispata ek

olarak, verili önermeyi örnekle de doğrulamalarıdır. B Ģubesinden Derya seçtiği

önermeyi (Çift bir sayı tutun, daha sonra bu sayıya yarısını ekleyin.

Bulduğunuz sayı her zaman 3’e bölünen bir sayıdır.) önce örnek vererek

doğrulamıĢ, ardından cebir kullanarak ispatı tamamlamıĢtır. Örnek vermesinin

nedenini ise; "Öncelikle örnek verme ihtiyacı duyuyorum. Önce onu kendi kafamda

canlandırabilmek istiyorum. Onu yaptıktan sonra doğru ya da yanlış olduğuna

karar veriyorum ve ondan sonra ispatlama yoluna geçiyorum." Ģeklinde ifade

etmiĢtir.

ġekil 4.15. B ġubesinden Derya - Kod 4

B Ģubesindeki öğrencilerin yarıya yakını (% 47,6) soruyu ya boĢ bırakmıĢ, ya

sadece önermenin doğru olduğunu belirtip baĢka bir açıklama getirmemiĢ ya da

soru ile alakasız gösterimlerde bulunmuĢlardır. Buna karĢın A Ģubesindeki

öğrencilerin hepsi verili önermelerden birisini seçerek yanıtlarını gerekçeleri ile

sunmuĢlardır. Bu Ģubedeki öğrencilerin önemli bir bölümü (% 66,6) önermeyi

örnek vererek doğrulamıĢlardır.

Tüm öğrenciler dikkate alındığında öğrencilerin % 50'si (% 18,8'i tek bir örnek, %

31,2'si birden fazla sayıda örnek deneyerek) önermeyi örnek vererek

doğrulamıĢtır. Bu öğrencilerden birisi olan ve A Ģubesinde okuyan Sude, sınavda

seçtiği önermeyi (Çift bir sayı tutun, daha sonra bu sayıya yarısını ekleyin.

Bulduğunuz sayı her zaman 3’e bölünen bir sayıdır.) çok sayıda örnek

deneyerek doğrulamıĢtır.

113

ġekil 4.16. A ġubesinden Sude - Kod 2

Daha sonra kendisi ile yapılan görüĢmede bu soru üzerinde de durulmuĢtur.

GerçekleĢtirilen görüĢmede sınavlar sırası ile ele alınmıĢ, bu nedenle de ispat testi

2'den önce ispat testi 1'de yer alan sorular üzerine konuĢulmuĢtur. Ġspat testi 1 ile

ilgili geçen diyaloglarda, örnekle doğrulamanın ispat olup olmayıĢı sorgulanmıĢtı.

Bu tartıĢmaların ıĢığında Sude bu soruyu tartıĢmaya örnekle doğrulamanın ispat

olmadığı kanaati ile baĢlamıĢtır. Doğrudan ispatı "Doğrudan ispat deyince benim

aklıma ilk olarak, net olarak ispatlamak geliyor. Mesela cebirsel ifade geliyor. Hani

o ilk sınavda Mert'in yaptığı ya da Sedat'ın yaptığı gibi. Verilen ifadeye uygun

olarak, o sıraya uygun olarak cebirle yapılan ispat." olarak tanımlayan Sude,

sorunun ispatı için sembolik gösterimleri kullanmak istediğini belirtir. Çift sayının

sembolünü kolaylıkla hatırladıktan sonra araĢtırmacının ufak yönlendirmeleri ile

ispatı tamamlayabilmiĢtir. GörüĢmede yaĢananlar ve Sude'nin verdiği cevap Ģu

Ģekildedir;

Araştırmacı: Peki, soruya tekrar dönelim, 1'i seçmişsin ya bu ifadeyi birlikte ispatlamaya

çalışsak. Mesela soruda da verilmiş ya çift sayı, tek sayı. Bu gösterimleri birlikte

hatırlayalım önce. Sana şunu sorsam çift sayıyı biz cebirsel olarak nasıl gösteriyorduk?

Sude: 2x

Araştırmacı: Peki, tek sayıyı?

Sude: 2x+1

Araştırmacı: Tamam, bunları hatırlıyorsun, peki şimdi kalemi eline alsan bu ilk soruyu

bana nasıl ispatlarsın, çünkü sen burada ispat yapmamışsın değil mi?

Sude: Evet örnek vermişim.

Araştırmacı: Şimdi ispat yapmanı istesem. Soruyu tekrar oku istersen...

[Sude soruyu okuyor]

114

Sude: 2x 'in yarısını eklememiz lazım. İstenileni yazayım ben. Sayıyı sembolik olarak

yazarsam 2x artı 2x bölü 2 olacak. Bunun her zaman 3e bölünebilen bir sayı olması gerek.

Her zaman 3'e bölünen bir sayı ... [bir müddet düşünür]

Araştırmacı: İstersen şu yazdığın işlemi bir tamamla, bakalım ne çıkacak?

[Yazdığı işlemi devam ettirir]

Sude: 2x 'i ikiye bölücem. 2 tane x yani. Bölersem sadece x olur. O zaman bu da 2x + x

olur yani 3 tane x.

Araştırmacı: İşlemi yapınca sen ne buldun?

Sude: 3x

Araştırmacı: Peki, ifade de ne diyordu, bulduğunuz sayı her zaman 3'e bölünebilen bir

sayıdır. Doğru mu sence bu bulduğuna göre?

Sude: Evet, çünkü 3x. 3x deyince düz mantık yapayım, 2x deyince genelde 2nin katı

oluyordu. 3x'de 3'ün katı olur. 3 çarpı bir sayı. Bunun yerine sayı koyarak da görebiliriz.

Ama 3 çarpı x olduğu için 3'ün katıdır.

GörüĢmelerde örnek vererek doğrulamanın ispat olup olmayıĢı üzerine

gerçekleĢtirilen tartıĢmaların ardından, öğrencilerden örnek vererek doğruladıkları

önermeleri yeniden ispatlamaları da istenmiĢtir. Bazıları yaptıkları doğrulamanın

ispat olduğu noktasında ısrarcı olurken, bazıları da Sude gibi ufak destek ve

yönlendirmelerle ispatı tamamlayabilmiĢtir.

B Ģubesinden Ömer görüĢme boyunca cebirsel ifadeleri anlamadığını ve

sevmediğini belirten, uygulama boyunca da dersle çok ilgili olmayan bir öğrencidir.

Ġlk sınavda yer alan cebir içeren yanıtlara yönelik yaklaĢımını "Bu cebirli yanıtlara

hiç bakmadım, baksam belki anlardım ama cebiri görünce hiç bakmıyorum. Cebiri

gördüm, öbürlerine baktım, öbürlerinde cevabı bulunca cebire hiç bakmadım

zaten." Ģeklinde açıklayarak cebirden kaçındığını belirtmektedir. Ömer ile de aynı

önerme üzerinde durulmuĢ, önermenin ispatını yapmadan önce cebirsel

gösterimlere yönelik ayrıntılı bir tartıĢma yürütülmesi gerekmiĢtir.

Araştırmacı: Şimdi ilk gruptaki yanıtına bakalım. Bir ifade seçmişsin ve örnek vererek

doğrulamışsın. Ama bu yaptığın sence ispat mı?

Ömer: ııı, sanırım değil, çünkü benim yaptığım tüm sayılar için doğru olduğunu

göstermiyor.

Araştırmacı: Peki, bu ifade nasıl ispatlanır sence?

Ömer: Ya tüm sayıları deniycez ki o mümkün değil sanırım, ya da harfli kullanıcaz.

Araştırmacı: Gel cebir kullanarak bu ifadeyi birlikte ispatlayalım.

Ömer: Bir çift sayı tutalım. a + 2 mi olur?

Araştırmacı: Sence?

Ömer: Olabilir.

Araştırmacı: Çift sayı ne idi?

115

Ömer: 2, 4, 6, 8 diye gider.

Araştırmacı: Ben şuraya yazayım, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 diye sayılar gidiyor. Çift sayılar

hangileri, yuvarlak içine alabilir misin?

Ömer: 2, 0 da var, 4, 6

Araştırmacı: Peki, bu sayılar niçin çift sayı?

Ömer: 2 bölünebiliyor, 4 de bölünebiliyor, 6 da bölünebiliyor.

Araştırmacı: Neye bölünebiliyor?

Ömer: Başka sayılara bölünüyor. 6, 3'e bölünüyor, 4, 2'ye bölünüyor.

Araştırmacı: 9 da 3'e bölünüyor. 9 da mı çift sayı?

Ömer: Yok değil.

Araştırmacı: O zaman 2, 4, 6 sayılarının ortak özelliği ne? Niçin bu sayılara çift sayı

diyoruz?

Ömer: Kendisine bölünüyorlar.

Araştırmacı: Her sayı kendisine bölünür. Tek sayılar da. Bak bu sayılar üzerinden düşün 2,

4, 6, 8, bu sayıların ortak özelliği ne olabilir?

Ömer: 2 olabilir. 2'ye bölünüyor. Hııı hepsi 2'ye bölünebildiği için çift sayı diyoruz.

Araştırmacı: Gel birlikte yazalım. 2, 2 çarpı 1; 4, 2 çarpı 2; 6, 2 çarpı 3; 0, 2 çarpı 0. O

zaman çift sayıların ortak özelliği ne?

Ömer: 2'nin katı olmaları.

Araştırmacı: Çift sayılara tekrar bakalım, 2'yi 0'la çarpmışsın. 2'yi 2 ile çarpmışsın. 2'yi 3

ile çarpmışsın. Bu böyle gidiyor. Şimdi sembolik gösterim formül gibi idi. Ben öyle bir

formül bulayım ki bütün çift sayıları kapsasın. Nasıl bulabiliriz?

[Ömer yanıt vermez]

Araştırmacı: Çift sayıların ortak özelliğine bakabiliriz. Ondan yola çıkalım. Ortak

özellikleri ne idi?

Ömer: 2'nin katı olmaları.

Araştırmacı: Tamam dediğini yazalım o zaman. Hangi sembolü kullanalım, 2'nin katı

demişsen 2k olur mu?

Ömer: Olur.

Araştırmacı: Bak yukarıda yazdığımızı buluruz yine, k yerine 0 koy, k yerine 1 koy, k yerine

2 koy. k yerine hangi sayıyı koyarsan koy çift sayı çıkıyor. Tamam mı?

Ömer: Tamam.

Araştırmacı: Peki, tek sayılara bakalım bir de. Tek sayılar hangileri?

Ömer: 1, 3, 5, 7

Araştırmacı: Bunların ortak özelliği ne sence?

Ömer: Bunlar da 3'e mi bölünüyor? Yok bölünmüyor.

Araştırmacı: Çift sayıyı nasıl göstereceğimizi bulduk ya, çift sayılar üzerinden düşünelim

bunu da mesela.

Ömer: Bunlar 2'ye bölünemiyorlar.

Araştırmacı: Evet, doğru 2'ye bölünemeyen sayılar tek sayılar, bir de şu dikkatimi çekti.

Sayılar tek çift tek çift diye ilerliyor. Yani tek sayılar çift sayılardan 1 sonra geliyor bu

dizilişe göre. O zaman tek sayılar için çift sayılardan 1 fazla olan sayılar da diyebiliriz.

Şimdi ben çift sayılara 2k demişsem, tek sayılar da onlardan bir sonra gelen sayılar olduğu

için 2k+1 olur mu?

Ömer: Evet olur.

116

Araştırmacı: k yerine istediğin sayıyı koy şimdi, 1 koy, 2k 2 olur, 2k+1 3. Şimdi de 4 koy

mesela, 2k 4, 2kt1 5 olur. Yani k'ya hangi sayıyı verirsen ver 2k hep çift, 2k+1 hep tek

çıkar. Tek ve çift sayının gösteriminde bir sorun var mı şimdi?

Ömer: Yok. Formülleri bu imiş anladım şimdi.

Tek ve çift sayıların gerek özelliklerine, gerekse sembolik gösterimlerine yönelik

yürütülen bu tartıĢmanın ardından Ömer ifadede verilenleri takip ederek ispatı

tamamlamıĢtır. GerçekleĢtirilen uygulamada cebirsel gösterimlerin sık sık tekrar

edilmesine karĢın dersi dinlemeyip, derse katılım göstermeyen öğrenciler

sınavlarda ve görüĢme sırasında da cebirsel ifadeleri kullanmada zorlanmaya

devam etmiĢlerdir. GerçekleĢtirilen birebir görüĢmede cebirsel ifadelere yönelik bir

anlatım gerçekleĢtirildiği takdirde, bu anlatımın ardından öğrenciler ispatı

yapabilmiĢ ama görüĢmenin ilerleyen kısımlarında baĢka sorular üzerine

konuĢulurken cebirsel ifadelerde tekrar zorlanabilmiĢ, gösterimleri

unutabilmiĢlerdir.

Ġspat testi 3‟de yer alan 1 ve 2. sorularda da öğrenciler doğrudan ispat yöntemini

kullanmaları doğrultusunda yönlendirilmiĢlerdir, bu sorulara verilen yanıtların

analizinde aĢağıdaki kod sistemi kullanılmıĢtır:

Kod 1: Soru boĢ bırakılmıĢ, gerekçe sunulmamıĢ veya soru ile

alakasız/yanlıĢ olan iĢlemler yapılmıĢ.






117



A Şubesi (n = 21)

B Şubesi (n = 18)

Toplam (n=39)

f % f % f %

Kod 1 2 9,5 1 5,5 3 7,7

Kod 2

Tek bir örnek 10 47,6 7 38,8 17 43,6

Çok örnek 3 14,3 6 33,3 9 23,1

Kod 3 1 4,8 2 11,1 3 7,7

Kod 4 5 23,8 2 11,1 7 17,9

Tablodan da görüldüğü üzere 1. soruyu seçen öğrenciler arasından A

Ģubesindekilerin % 23,8‟i, B Ģubesinin % 11,1‟i ispatı eksiksiz olarak

tamamlamıĢtır. A Ģubesinden % 28,6, B Ģubesinden % 22,2‟sinde ise önermenin

ispatının nasıl yapılacağına dair fikir ve uygulama görülmektedir (Kod 3 + Kod 4).

B Ģubesinden Derya önce örnek vererek doğruladığı önermeyi (Herhangi bir tek

sayıyı 3 ile çarpıp bu çarpıma 3 eklerseniz 6’nın katı olan bir sayı elde

edersiniz.) ispatlamaya çalıĢmıĢ, cebirsel olarak tek sayının gösterimini

yazabilmesine rağmen aĢağıda görüldüğü üzere ispatı devam ettirememiĢtir.

ġekil 4.17. B ġubesinden Derya - Kod 3

GörüĢme sırasında aynı önermeyi yeniden ispatlayan Derya daha sonra sınav

kâğıdında yer alan eksiği de fark eder:

Araştırmacı: Şimdi nasıl yaptığına bakalım birlikte, önce örnek vermişsin, sonra cebirsel

gösterime geçmişsin ama burada ufak bir hata var. Yaptığın hatayı fark edebiliyor musun?

[Derya cevabını incelemekte]

Araştırmacı: Ben senden bu ifadeyi yeniden ispatlamanı istesem şuraya [beyaz bir kâğıdı

göstermekte], bana yeniden ispatlar mısın?

Derya: Cebrisel olarak tek sayıyı, 2k+1 olarak gösteriyorduk.

118

Araştırmacı: Evet, doğru, bu dediğini yaz istersen.

Derya: Bunu 3 ile çarpıcam, bir de +3. ... Önce şunları çarparım 3 çarpı, 6k olur, +3, bir

de + 3. Önce şunları toplarım, 6k+6 olur.

Araştırmacı: Şimdi bu bulduğun sayı 6'nın katı mı? Yani bu sayı 6'ya bölünür mü?

Derya: Evet


Derya: 6k, çift sayı ve 6'ya bölünür, +6 var o da 6'ya bölünür. [sonra kendi yaptığına, asıl

soru formuna bakar] Aaa burada devam etmemişim, 2k+1 i 3 ile çarpıp devam etmem

gerekirdi, yapmamışım.

A Ģubesinden Beyza ise 1. sorunun cevabına öncelikle cebirsel gösterimle

baĢlamıĢ, tek sayıyı x olarak alarak verili iĢlemi yazmıĢ ama bu Ģekilde devam

edememiĢtir. Daha sonra önermeyi örnekle sınama yoluna geçen Beyza çift bir

sayı (12) deneyerek önermenin yanlıĢ olduğuna kanaat getirmiĢtir.

ġekil 4.18. A ġubesinden Beyza - Kod 1

GerçekleĢtirilen görüĢme sırasında kendisine bu soru sorulmuĢ ve vermiĢ olduğu

yanıtı tekrar incelemesi istenmiĢtir. YapmıĢ olduğu hatayı fark eden Beyza

aĢağıdaki diyalogda geçtiği üzere, önermenin ispatını da Ģu Ģekilde tamamlamıĢtır:

Araştırmacı: Şimdi sorulara biraz ayrıntılı bakarsak, 1. soruda takılmışız. Birlikte bir

inceleyelim istersen; soruyu ve cevabını bir incele, nerede takıldığını görebilecek misin

bakalım?

[Beyza kâğıdını inceler]

Beyza: Ben burada sanırım karşı örnek vermeye çalışmışım.

Araştırmacı: Kullandığın örnekleri bir incele

Beyza: 3 demişim, 1 ve 12 demişim.

Araştırmacı: Aldığın örnekler uygun mu ifadeye? İfade ne diyor, nasıl başlıyor? "her hangi

bir tek sayıyı ..."

Beyza: Ama ben çift almışım, bu da katı olmadığı için yanlış olmuş.

Araştırmacı: Peki, bu birinci soruyu şimdi senden ispatlamanı istesem, yapar mısın?

119

Beyza: Tabii, doğrudan ispat yöntemini kullanıcam. [der ve kâğıda yazmaya başlar] Her

hangi bir tek sayı, o zaman 2n+1 derim. 3 ile çarpıp, 3 çarpı 2n+1, bu çarpıma 3 ekle...

Eşittir 6'nın katı olan bir şey, 6n gibi mi olur? Sanırım.

Araştırmacı: Sana söylenen işlemi bir yap bakalım.

Beyza: 6n+ 3 yine +3 oluyor, 6n + 6 oldu.

Araştırmacı: İfade bu bulduğun sayının 6’nın katı olduğunu iddia ediyor, 6'nın katı mı?

Beyza: Evet.


Beyza: Çünkü hem 6n var, hem de ona 6 eklemişiz. Tamam, ikisi de 6'nın katı, o yüzden

ifade doğru.

Araştırmacı: Evet, işte doğrudan ispatı yapmış oldun bu şekilde. Peki, aslında burada

cebir kullanmaya çalışmışsın ama devam edememişsin, bir yerde ufak bir hata olmuş,

sonra örneğe geçmişsin. Yaptığını bir incele istersen, nerede hata yapmışsın?

Beyza: Tek sayıyı gösterememişim, o yüzden de devam edemedim. 3x+3 çıkmıştı o da 6'ya

bölünür mü belli değildi.

Ġspat testi 3, 2. soruda da öğrencilerin örnek vererek doğrulama eğilimleri devam

etmiĢtir.



A Şubesi (n = 23)

B Şubesi (n = 20)

Toplam (n=43)

f % f % f %

Kod 1 2 8,7 - - 2 4,7

Kod 2

Tek bir örnek 7 30,4 5 25 12 27,9

Çok örnek 5 21,7 8 40 13 30,2

Kod 3 - - 3 15 3 7

Kod 4 9 39,1 4 20 13 30,2

Bu soruyu seçen ve örnek vererek doğrulayan öğrencilerle yapılan görüĢmede bu

öğrencilerin önemli bir kısmının örnek vererek doğrulamayı ispat olarak kabul

ettikleri ve cebiri anlama ve uygulamada sorun yaĢadıkları gözlenmiĢtir. Örneğin B

Ģubesinden Aynur, tek bir örnek vererek doğruladığı önermeyi cebirsel olarak da

ifade etmeye çalıĢmıĢ ama doğru sembolik gösterimleri seçemediği için sadece

kullandığı örneğe bağlı kalarak önermenin doğruluğunu savunmuĢtur.

120

ġekil 4.19. B ġubesinden Aynur - Kod 2

Bu soruyu seçen 43 öğrencinin % 30,2'si önermenin ispatını eksiksiz olarak

yaparken, ispat fikrine sahip (Kod 4 ve Kod 3) öğrencilerin oranı % 37,2'ye

çıkmaktadır. A Ģubesinden ispatı eksiksiz gerçekleĢtiren öğrencilerden birisi olan

Deniz tek ve çift sayıların cebirsel gösterimini anımsayabilmek için sayıları

sıralayarak tek ve çift sayılar arasındaki iliĢkiyi öncelikle düĢünmüĢ ardından da

ispatı aĢağıdaki Ģekilde tamamlamıĢtır.

ġekil 4.20. A ġubesinden Deniz - Kod 4

Sınavda örnek vererek doğrulama yapan ve yanıtı Kod 2'de yer alan Gizem (B

Ģubesi) ile örnekle doğrulama ve ispat arasındaki fark görüĢmenin ilk kısımlarında

tartıĢılmıĢtı. Bu soruya gelindiğinde Gizem önceki tartıĢmaların etkisi ile soruya

genellenebilir bir yargıya ulaĢmak üzerinden yaklaĢmıĢtır:

Gizem: Yine genelleştirmeden gideriz cebirsel olarak. Mesela bir tek ve bir çift sayıyı

topladığımızda her zaman tek sayı elde ederiz. Tek sayı dediğimizde mesela, 3a olsa, yok…

Araştırmacı: Nasıl gösteriyorduk tek sayıları? Çift sayılar üzerinden düşün.

Gizem: Çift sayılardan her zaman 1 fazla olan sayılar olabilir.

Araştırmacı: Evet. 3a demiştin ya, onu bir düşünelim mesela. a yerine 2 verelim, ne oldu 3

çarpı 2, 6 eder, çift sayı oldu.

Gizem: Hıı, evet olmaz. 2a çift olur, bir fazlası da 2a+1. Buraya öyle mi yazayım?

Araştırmacı: Evet, yaz bakalım.

Gizem: 2a [kağıda da yazar]

121

Araştırmacı: Peki, bu yazdığın ne oldu?

Gizem: Çift sayı.

Araştırmacı: Bir de senden tek sayı yazmanı istiyor değil mi?

Gizem: O da 2a+1 olur [yazar].

Araştırmacı: Soru bize bir tek sayı bir de çift sayı al diyor, sen bu sayıları aldın, bunları

topla diyor, bir topla bakalım.

Gizem: 3a, yok ne yaptım ben…

Araştırmacı: Aldığın tek ve çift sayıyı yan yana düzgünce yazarak topla istersen. Nasıl

topluyorduk benzer terimleri toplayıp, benzemeyenleri yan yana yazıyorduk artı işareti ile

değil mi?

Gizem: 4a artı 1 olur.

Araştırmacı: Tamam, peki bu sayı sence tek sayı mıdır? Çift sayı mıdır?

Gizem: Tek.


Gizem: 1 verdim mesela 5 çıkıyor.

Araştırmacı: İfadenin savunduğu şeyi bulmuş olduk mu?

Gizem: Evet her zaman tek sayıdır diyordu, tek sayı bulduk biz de.

Cebirsel gösterimleri kullanmakta ilk etapta bir miktar bocalayan Gizem ufak bir

yönlendirme ile ispatı tamamlayabilmiĢtir. Buna karĢın 4a+1 sayısının tek ya da çift

sayı olup olmadığını yine a sembolüne sayısal örnek verip deneyerek bulmuĢtur.

Ġspat testi 2 Grup 1‟de yer alan sorular ile ispat testi 3‟te yer alan 1. ve 2. sorular

birlikte değerlendirildiğinde öğrencilerin önemli bir bölümünün örnek vererek

doğrulama eğiliminde olduğu gözlenmektedir. Bu öğrenciler cebiri anlama ve

uygulamada sorun yaĢamaktadırlar. Bu eğilime karĢın öğrenciler % 17,9 ile % 30,2

arasında değiĢen bir oranda verilen önermeleri eksiksiz olarak ispatlayabilmiĢtir.

Bu oran çeĢitli hatalar nedeniyle ispatı tamamlayamayan ama doğrudan ispata

yönelik fikri olan öğrencileri de hesaba kattığımızda % 25,6 ile % 37,2 düzeylerine

çıkabilmiĢtir.

4.2.2.2. Öğrencilerin KarĢı Örnek Vererek Ġspat Yöntemine ĠliĢkin Beceri ve Performansları

Bu baĢlık altında ispat testi 2 Grup 2‟de yer alan soru ile ispat testi 3‟de yer alan 5


122

Ġspat Testi 2‟de, Grup 2 baĢlığı altında öğrenciler önermeyi karĢı örnek vererek

ispatlamaları doğrultusunda yönlendirilmiĢtir. Öğrencilerin verdikleri yanıtlar

aĢağıdaki kod sistemi kullanılarak değerlendirilmiĢtir:







A Şubesi (n = 27)

B Şubesi (n = 21)

Toplam (n = 48)

f % f % f %

Kod 1 5 18,5 7 33,3 12 25

Kod 2 4 14,8 4 19 8 16,7

Kod 3 18 66,6 10 47,6 28 58,3

Her iki Ģubede de öğrencilerin büyük bir kısmı 2. soruyu seçerek ispatlamaya

çalıĢmıĢtır. Verili sorular içerisinden A Ģubesinden 21 öğrenci 2. soruyu, 5 öğrenci

1. soruyu seçmiĢ, bir öğrenci soruyu boĢ bırakmıĢtır. B Ģubesinden ise 16 öğrenci

2. soruyu, 4 öğrenci 1. soruyu seçmiĢ, bir öğrenci ise soruyu boĢ bırakmıĢtır.

Öğrencilerin verdikleri yanıtlar incelendiğinde, her iki Ģubede de öğrencilerin

önemli bir bölümünün karĢı örnek vererek seçtikleri önermeyi ispatladıkları

görülmektedir, bu oran tüm öğrenciler dikkate alındığında % 58,3'dür. Yalnız bu

oran A Ģubesinde kayda değer bir Ģekilde daha yüksektir.

Diğer taraftan bazı öğrenciler (her iki Ģubede de dörder öğrenci) denedikleri tek bir

örnek önermeyi doğruladığı için seçtikleri önermenin doğru olduğunu savunmuĢlar,

soruda seçtikleri önermeyi karĢı örnek vererek ispatlamaları istendiği halde bu

yönteme yönelik bir uygulama gerçekleĢtirmemiĢlerdir. Örneğin B Ģubesinden

Tuna seçtiği önermenin (Tüm n tamsayıları için, n3 ≥ n2 dir.) doğru olduğunu

aĢağıdaki gibi savunmaktadır:

123

ġekil 4.21. B ġubesinden Tuna - Kod 2

Sınavda tek bir örnek deneyerek önermeyi doğrulayan Tuna görüĢme sırasında ilk

anda verdiği yanıtın doğru olduğunu savunmuĢ, ardından da baĢka bir örnek

denemesi doğrultusunda yönlendirilmiĢtir. Bu yönlendirme ile soruda ifade edilen

ispat yöntemi kendisine aĢağıdaki Ģekilde sorgulatılmıĢtır:

Araştırmacı: Şimdi başka bir sayı daha denesen, mesela -1. -1'in üçüncü kuvvetini alsan,

nasıl yaparsın?

Tuna: Üç tane -1 çarparım. -1 olur.

Araştırmacı: -1'in ikinci kuvvetini alsan bir de, ne olur?

Tuna: 1 olur.

Araştırmacı: Peki, bu yaptığına göre ifade doğru mu?

Tuna: Yok, yanlış.

Araştırmacı: Sen sınavda 3'ü denemişsin ifade doğru çıkmış, şimdi -1'i denedin yanlış çıktı.

Bu durumda ifade doğru mu yanlış mı sence?

Tuna: Yanlış, bu son örnek her zaman doğru olmadığını gösterdi.

Araştırmacı: Peki, sana en başta karşı örnek vermek ne demek diye sormuştum, sen de o

doğru diyorsa yanlış olduğunu gösteren bir örnek vermek demiştin. Bu soruyu yaparken

bunun farkında mıydın? Çünkü yanlış olduğunu göstermeye çalışmamışsın.

Tuna: Yok o an aklıma gelmedi. O yüzden b şıkkına yaptım sanırım.

Genel olarak sınav esnasında soruda verilen ispat yöntemlerine yönelik bir

farkındalık ortaya koymayan Tuna, görüĢme sırasında daha baĢarılı bir

performans ortaya koymuĢ, görüĢmeci ile tartıĢarak yukarıdaki örnekte görüldüğü

üzere doğru sonuca ulaĢabilmiĢtir. Gerek uygulama sonrası girdikleri sınavlar,

gerekse gerçekleĢtirilen bu görüĢmeler de ispat öğretim sürecinin birer bileĢeni

Ģeklinde etki yaratmıĢtır.

124

KarĢı örnek vererek yapılan ispatlarda bazı öğrencilerin seçtikleri önermeyi önce

cebirsel olarak ifade ettikleri, önermede yer alan ifadeyi bu Ģekilde gösterdikten

sonra örnek vererek önermeyi çürüttükleri de gözlenmiĢtir. B Ģubesinden Ġlayda bu

öğrencilerden birisidir:

ġekil 4.22. B ġubesinden Ġlayda - Kod 3

Bu eğilimde olan öğrencilerde de sınav esnasında ispat yönteminin adına yönelik

bir farkındalık olmadığı gözlenmektedir. GörüĢme sırasında kendisine ispat

yaparken niçin ilk önce cebir kullandığı sorulan Ġlayda, “Cebirle denedim, çünkü

cebirle bütün sayılar için genel bir yargıya ulaşıyorduk. Örnek çok da doğru olmaz

diye cebir kullandım. Ama bulduğum sonucu 4’e bölemedim. Sonra örnek

üzerinden düşündüm ve yanlış olduğunu gördüm.” Ģeklinde bir açıklamada

bulunmuĢtur. Ġlk olarak önermenin doğruluğunu ispatlayacağını düĢünen Ġlayda,

cebir kullanarak ispata baĢlamıĢ, ilerleyememiĢ, daha sonra denediği örnek

üzerinden önermenin yanlıĢ olduğunu fark etmiĢtir. Soruda "karĢı örnek vererek

ispat yöntemi" adlandırmasını gördüğünde önermenin yanlıĢ olacağı çıkarımında

bulunmamıĢ, önermeyi doğru ya da yanlıĢ olduğunu görmek için ispata

baĢlamıĢtır. Sınavlar sırasında öğrencilerin ispat yöntemlerinin adlarına yönelik

farkındalıklarının düĢük olduğu gözlenmiĢtir. Bu da ispat yöntemlerine yönelik

adlandırmanın uygulamanın son haftalarında, yöntemlere yönelik hatırlatmalarda

bulunulurken yapılmıĢ olmasının etkili ve öğretici bir tercih olmadığını

göstermektedir. Yöntemlere yönelik adlandırma daha erken süreçlerde, ispat

yöntemleri sınıfta ilk ele alındığı anlarda yapılabilirdi.

Ġspat testi 3‟de yer alan 5 ve 6. sorularda da öğrenciler karĢı örnek vererek ispat

yöntemini kullanmaları doğrultusunda yönlendirilmiĢlerdir. Bu sorular için aĢağıdaki

kod sistemi kullanılmıĢtır:

125





Tablo 4.16. Ġspat testi 3, 5. soruya iliĢkin bulgular; " Ġki sayının karelerinin toplamı her zaman çift sayıdır."


A Şubesi (n = 21)

B Şubesi (n = 20)

Toplam (n = 41)

f % f % f %

Kod 1 1 4,8 2 10 3 7,3

Kod 2 - - 4 20 4 9,8

Kod 3 20 95,2 14 70 34 82,9

Tablo 4.17. Ġspat testi 3, 6. soruya iliĢkin bulgular; " a sayısı (b + c)’yi tam bölen bir sayı olsun. Bu durumda a sayısı hem b, hem de c sayısını tam olarak bölen bir sayıdır."


A Şubesi (n = 2)

B Şubesi (n = 8)

Toplam (n = 10)

f % f % f %

Kod 1 - - 1 12,5 1 10

Kod 2 - - - - - -

Kod 3 2 100 7 87,5 9 90

Her iki Ģubenin karĢı örnek vererek yapılan ispatlardaki baĢarı düzeyi oldukça

yüksektir. Bu oran bu soruları seçen tüm öğrencilerde 5. soruda % 82,9, 6.

soruda % 90'dır. Aynı ispat yöntemi ile ispatlanacak bu iki soru içerisinden

öğrenciler 5. soruyu yoğunluklu olarak seçmiĢ, buna karĢın 6. soruyu seçen

öğrenci sayısı oldukça az olmuĢtur. Öğrencilerle yapılan görüĢmelerde onlara bu

sekiz önermeden dördünü seçerken neye dikkat ettikleri de sorulmuĢtur.

Öğrencilerin çoğu soruları seçerken önermenin kolay ve anlaĢılır oluĢuna, üslü

sayılar, eĢitsizlik gibi önermeyi zorlaĢtırdığını düĢündükleri matematiksel

gösterimleri içerip içermediğine dikkat ettiklerini söylemiĢlerdir. Bu iki sorunun

seçimini belirleyen temel etken de ispatlanacağı yöntem değil, önermenin

öğrencilere kolay ve anlaĢılır gelip gelmeyiĢi olmuĢtur.

126

B Ģubesinden 5. soruda verilen önermenin doğruluk değerinin yanlıĢ olmasına

rağmen, önermeyi doğru olarak kabul eden 4 öğrenci önermeyi tek bir örnekle

deneyerek doğrulamıĢlardır. AyĢe denediği tek bir örneğin genellenebilir bir yargı

sunacağını düĢünerek bu hataya düĢen öğrencilerden birisidir.

ġekil 4.23. B ġubesinden AyĢe - Kod 2, 5. soru

A ġubesinden Sude ise aynı önermeyi önce cebirsel olarak ifade ederek, Ģu

Ģekilde ispatlamıĢtır:

ġekil 4.24. A ġubesinden Sude - Kod 3, 5. soru

Sude'nin bu yanıtında da gözlendiği üzere hazır bulunuĢluk testinde sembolik

gösterimleri kullanmayan öğrenciler, gerçekleĢtirilen uygulamanın ardından

cebirsel ifadeleri daha çok kullanmaya baĢlamıĢtır.

KarĢı örnek vererek ispat yönteminin kullanıldığı sorularda öğrencilerin ispatı

yapma oranları oldukça yüksektir. Buna karĢın bazı sorularda, soruda kullanılacak

ispat yönteminin verilmesine rağmen öğrenciler karĢı örnek verme eğiliminde

bulunmamıĢ, denedikleri bir örneğin ifadeyi doğrulamasıyla yetinerek önermenin

doğru olduğunu savunmuĢlardır. Bu oran oldukça düĢüktür, % 0 ile % 16,7

arasında değiĢmektedir. Bu öğrencilerde ispat yönteminin ismine yönelik bir

farkındalık olmadığı gözlenmektedir.

127

4.2.2.3. Öğrencilerin Tüketerek Ġspat Yöntemine ĠliĢkin Beceri ve Performansları

Bu baĢlık altında ispat testi 2 Grup 3‟te yer alan soru ile ispat testi 3‟te yer alan 3


Ġspat testi 2‟de, Grup 3 baĢlığı altında öğrenciler önermeyi tüketerek ispat

yöntemini kullanarak ispatlamaları doğrultusunda yönlendirilmiĢtir. Öğrencilerin

verdikleri yanıtlar aĢağıdaki kod sistemi kullanılarak değerlendirilmiĢtir:



Kod 2: Sadece birkaç sayı denenmiĢ, kümedeki tüm elemanlar denenip

tüketilmemiĢ, örnekle doğrulama yapılmıĢ.


geçirilmesi veya iĢlem hatası gibi nedenlerle yanlıĢ sonuca ulaĢılmıĢ, baĢka

bir önerme ispatlanmıĢ.




A Şubesi (n = 27)

B Şubesi (n = 21)

Toplam ( n= 48)

f % f % f %

Kod 1 4 13,8 10 47,5 14 29,2

Kod 2 13 48,1 7 33,3 20 41,7

Kod 3 4 14,8 - - 4 8,3

Kod 4 6 22,2 4 19 10 20,8

Grup 3 içerisinde yer alan sorulardan A Ģubesinden 17 öğrenci 1. önermeyi, 8

öğrenci 2. önermeyi seçmiĢ, 2 öğrenci soruyu boĢ bırakmıĢtır. B Ģubesinde ise 11

öğrenci 1. önermeyi, 7 öğrenci 2. önermeyi seçmiĢ, 3 öğrenci soruyu boĢ

bırakmıĢtır.

Kodların frekans dağılımına bakıldığında, tüketerek ispat yöntemini uygulamıĢ

ama çeĢitli nedenlerle ispatı tamamlayamamıĢ öğrencileri de (Kod 3) dâhil

ettiğimizde, A ġubesi öğrencilerinin B ġubedeki öğrencilere oranla tüketerek ispat

mantığını daha çok uyguladıkları gözlenmektedir. A Ģubesindeki öğrencilerin %

128

37'si, B Ģubesindeki öğrencilerin % 19'ü tüketerek ispat yöntemi mantığını

uygulamıĢlardır.

A Ģubesinden Berk, 2. önermeyi (Bir sayının karesinin birler basamağındaki

rakam, her zaman {0,1,4,5,6,9} kümesinin bir elemanıdır.) seçerek ispatlayan

tek öğrenci olmuĢtur. GörüĢme sırasında gerçekleĢtirdiği ispatı anlatması istenmiĢ,

bu anlatım sırasında her hangi bir sayının karesinin birler basamağını, o sayının

birler basamağının karesinin belirleyeceğini Ģu Ģekilde belirtmiĢtir:

Berk: Şöyle bir düşünceye sahiptim aslında, bir sayının birler basamağı zaten bu

rakamlardan oluşur. Tek tek onlarda denesem, 1028'in karesini alsam zaten oradaki 8

rakamı ona etki edecek, sonucun birler basamağına yani. O yüzden sadece birler

basamağına baktım.

Berk‟in birler basamağını oluĢturan rakamların karelerini tek tek inceleyerek

gerçekleĢtirdiği tüketerek ispat Ģu Ģekildedir:

ġekil 4.25. A ġubesinden Berk - Kod 4

Yine A Ģubesinden Eylem ise tüketerek ispat yöntemi mantığına uygun olarak

kümedeki elemanları tek tek denemiĢ, buna karĢın seçtiği önermede (A =

{1,2,3,4,5} ve n sayısı A kümesinin bir elemanı ise, n2 – n + 11 sayısı her

zaman asal sayıdır.) yer alan matematiksel gösterimi kendi yanıtına yanlıĢ

aktardığı için ( "n2 – n + 11" yerine "n2 – 1 + 11" yazmıĢtır) ispatı doğru olarak

tamamlayamamıĢ, önermenin yanlıĢ olduğunu savunmuĢtur.

129

ġekil 4.26. A ġubesinden Eylem - Kod 3

Yapılan görüĢmede bu soruya geçilmeden önce öğrencilere "tüketerek ispat"

denildiğinde akıllarına ne geldiği de sorulmuĢtur. Bu soruya verdiği cevap dikkate

alındığında, sınav esnasında da adı geçen ispat yöntemine yönelik bir farkındalık

taĢımadığını ifade eden A Ģubesinden Ömer seçtiği önermenin (A = {1,2,3,4,5} ve

n sayısı A kümesinin bir elemanı ise, n2 – n + 11 sayısı her zaman asal

sayıdır.) ispatını eksiksiz olarak tamamlamıĢtır. Buna karĢın verdiği yanıtın

tüketerek ispat olup olmadığından emin olmadığı için yanıtını b Ģıkkına yapmıĢtır.

GörüĢme sırasında bu durum da kendisine sorulmuĢtur:

Ömer: Hocam ben burada, hani siz tüketerek ispat demişsiniz ya onu çok bilemeden

yaptım. O yüzden b şıkkına yaptım.

Araştırmacı: Ama acaba senin burada yaptığın tüketerek ispat olabilir mi? Evet sen

tüketerek ispatı bilmeden yapmışsın ama gel birlikte yaptığını inceleyelim. Soruda bir A

kümesi verilmiş ve n sayısı bu kümenin bir elemanı demiş.

Ömer: Ben de o yüzden o kümedeki sayıları denedim. n sayısı bu kümedekiler olabilirdi

ancak. Tek tek o sayıları denedim ben de. Aslında evet deneyerek tüketmiş oldum bu

kümeyi. Ama bu da biraz örnekleme gibi ben o yüzden emin olamadım ispat mı diye.

Araştırmacı: Evet, ama bu soruda kullanacağın küme sana verilmiş zaten. Artık ifadede

iddia edilen şey tüm sayılar için doğru olmak durumunda değil. Soru ne diyor bu küme için

doğru diyor. O yüzden tüm sayılar genellemeye ulaşmamıza gerek yok.

Ömer: Doğru. O zaman bu da ispat.

Ömer‟in seçtiği önerme için gerçekleĢtirdiği ispat Ģu Ģekildedir;

130

ġekil 4.27. A ġubesinden Ömer - Kod 4

Öğrencilerin önemli bir bölümü (% 41, 7‟si) önermeyi küme içerisinden 1 ya da 2

örnek deneyerek (Kod 2) doğrulama eğilimi göstermiĢtir. GörüĢmede bu

öğrencilerle verdikleri yanıt üzerine konuĢulmuĢ, yönteme yönelik bir farkındalık

görüĢme sırasında geliĢtirilmeye çalıĢılmıĢtır. B Ģubesinden Derya verdiği yanıtta

sadece 3 sayı örneği deneyerek önermenin doğru olduğunu savunmuĢtur. Bu soru

dıĢında, sınavlarda yer alan hiçbir tüketerek ispat sorusunu yanıtlama tercihinde

bulunmayan Derya ile önermenin (A = {1,2,3,4,5} ve n sayısı A kümesinin bir

elemanı ise, n2 – n + 11 sayısı her zaman asal sayıdır.) ispatına geçilmeden

önce yönteme ve önermenin içerdiği anlama yönelik bir tartıĢma yürütülmüĢtür. Bu

tartıĢma ve tartıĢmanın ardından Derya‟nın yönteme iliĢkin geliĢtirdiği yaklaĢım Ģu

Ģekildedir:

Araştırmacı: n sayısı A kümesinin bir elemanı olsun deniyor soruda. A kümesi nelerden

oluşuyor?

Derya: 1, 2, 3, 4, 5

Araştırmacı: Peki, bu durumda sence n sayısı 10 olabilir mi?

Derya: Hayır.


Derya: Çünkü burada [A kümesini gösteriyor] 10 yok.

Araştırmacı: Evet, doğru, peki bu durumda n hangi sayılar olabilir?

Derya: A kümesindeki, 1 - 5 arasındaki sayılardan olabilir.

Araştırmacı: Tamam, ne demiş olduk, n bu kümenin bir elemanı olsun. Daha sonra şu

işlemi yaptırıyor; n'in karesini al, kendisini çıkar ve 11 ekle. Bu işlemi yaptığında bulduğun

sayı her zaman asal sayıdır demiş. Sanırım soruyu anladık.

Derya: Evet.

131

Araştırmacı: Peki, bu ifade için tüketerek ispat ne demek olabilir? Biz neyi tüketebiliriz

ispat yaparken?

Derya: Bu soruda sadece 1 - 5 arasındaki sayıları deneyeceğim. Her zaman dediği için n

yerine A kümesindeki tüm sayıları koyacağım. Öyle yapacağım ispatı. Şimdi anladım.

Yine aynı Ģubeden Gizem ise tek bir örnek deneyerek önermenin doğruluğunu

savunmuĢtur. Soruya iliĢkin tartıĢmaya geçmeden önce kendisine tüketerek

ispatın ne demek olduğu sorulduğunda, yöntemin adından ve Grup 3‟de yer alan

sorulardan yola çıkarak “Sırayla giden, yani sırayla elenen, biten... Sınırlı bir

kümemiz var, o kümeyi sırayla deniyoruz. Hani buradaki soruda da küme verilmiş

mesela.” tanımlamasında bulunmuĢtur. Onunla da verdiği yanıt üzerinden bir

tartıĢma yürütülmüĢtür:

Araştırmacı: Senin yaptığına bakıyorum da sen sadece bu küme içerisinden 3'ü denemişsin

burada. 1, 2, 4 veya 5'i niye denemedin?

Gizem: O an tek bir örneğin yeteceğini düşündüm. Sorunun doğruluğunu bu şekilde ortaya

çıkarmaya çalıştım.

Araştırmacı: Peki, şimdi bu ispatı yapmanı istesem, sen yine 1 ya da 2 örnek mi denerdin?

Gizem: Yok tüketerek ispat dedik ya, o yüzden hepsini denerdim.

GörüĢme sırasında yukarıdaki örneklerden de görüldüğü üzere Kod 2‟de yer alan

bazı öğrenciler kolaylıkla yönteme iliĢkin doğru yanıtlar üretebilmiĢ ve ispatı

tamamlayabilmiĢtir. Sınavda niçin bu performansı göstermedikleri sorulduğunda

ise o an çok ayrıntılı düĢünmedikleri gerekçesini sunmuĢlardır. Buna karĢın bu

grupta yer alan öğrencilerin bazılarında ise yönteme iliĢkin farkındalığa daha zor

ulaĢılabilmiĢtir. Bu sorudan önce gerek Ġspat Testi 1, gerekse daha önceki sorulara

dair gerçekleĢtirilen tartıĢmaların etkisi ile Tuna (B Ģubesi) tek bir örnek

kullanmaya en baĢta Ģüpheci yaklaĢmıĢ ama daha sonra baĢka bir yaklaĢım

geliĢtiremediği için örnekle doğrulama ısrarını sürdürmeye devam etmiĢtir:

Araştırmacı: Grup 3’te 1. ifadeyi seçmişsin, burada hangi sayıları vermiş sana?

Tuna: 1, 2, 3, 4, 5.

Araştırmacı: Tamam, bu kümeye göre n sayısı 6 olabilir mi mesela?

Tuna: Yok olmaz, kümede yok.

Araştırmacı: Sen bu ifadenin ispatında kümede yer alan tek bir örneği denemişsin. 2'yi

denemişsin. Bu denemene göre ifade doğrudur demişsin. Bu tek bir deneme ispat için

yeterli mi sence?

Tuna: Bence değil. Belki tek sayıda yanlış çıkabilirdi.

Araştırmacı: Peki, bu ifadeyi şimdi ispatlamanı istesem senden, nasıl yaparsın?

Tuna: Bu yaptığım gibi, ya da 2 değil de 3'ü denerdim.

132

Araştırmacı: 3'ü denemen yeterli olur mu peki?

Tuna: Yeterli bence.

Araştırmacı: Peki ya 5'i denediğinde doğru çıkmazsa, ya da 4'ü...

Tuna: O zaman bir çift bir de tek sayı denerim. Yeterli olur.

Araştırmacı: Ama yine hep aynı noktaya geliyoruz, elimizde içinde sonlu sayıda eleman

bulunan bir küme var ve verilen ifadedeki iddia bu kümenin tüm elemanları için geçerli

olmalı diyor. Sen kümenin hepsini değil de birkaç elemanını denersen tüm küme için bir

genellemeye ulaşmış olur musun?

Tuna: Bilmem, belki olur.

Araştırmacı: Ama bu durumda da belki ifadeyi yanlışlayacak örneği denememiş olma

ihtimalin kalıyor geride. Yani tüm küme için bir genellemeye ulaşmış olmuyorsun aslında

çünkü senin denemediğin elemanlar için ne sonuç çıkacak bilmiyorsun.

Tuna: Doğru.

Araştırmacı: Bu yüzden tüketerek ispatta aslolarak yapılması gereken şey tek tek tüm

elemanları denemek, deneyerek kümeyi tüketmek...

Tuna: Deneyeyim mi şimdi?


[Tuna tek tek denemeye başlar ve hepsinde ifade doğrulanır]

Araştırmacı: Peki, emin olmak için sence hepsini denemek gerekir mi?

Tuna: Gerekli, yapılabilirmiş aslında.

Tüketerek ispatı daha sonra “sorunun verdiği sayıları, kümede olanları eleyerek,

azaltarak” yapılan ispat olarak tanımlayan Tuna örneğinde görüldüğü üzere, bazı

öğrencilerde ispat ve ispat yöntemlerine yönelik farkındalık daha yavaĢ ve zor

geliĢebilmiĢtir.

Ġspat testi 3‟de yer alan 3 ve 4. sorularda da öğrenciler tüketerek ispat yöntemini

kullanmaları doğrultusunda yönlendirilmiĢlerdir. Bu soruların analizinde aĢağıdaki

kod sistemi kullanılmıĢtır:



Kod 2: Sadece birkaç sayı denenmiĢ, kümedeki tüm elemanlar denenerek

tüketilmemiĢ.


geçirilmesi veya iĢlem hatası gibi nedenlerle yanlıĢ sonuca ulaĢılmıĢ, baĢka

bir önerme ispatlanmıĢ.


133

Tablo 4.19. Ġspat testi 3, 3. soruya iliĢkin bulgular; " n, {1,2,3,4} kümesinin bir

elemanıdır, bu durumda her zaman (n + 2)2 32 dir."

Çözüme ilişkin

kodlar

A Şubesi (n = 6)

B Şubesi (n = 9)

Toplam ( n=15)

f % f % f %

Kod 1 1 16,6 2 22,2 3 20

Kod 2 - - 2 22,2 2 13,3

Kod 3 - - 2 22,2 2 13,3

Kod 4 5 83,3 3 33,3 8 53,3

Tablo 4.20. Ġspat testi 3, 4. soruya iliĢkin bulgular; " n, {4,6,8,10,12} kümesinin bir elemanı olsun, bu koĢulu sağlayan tüm n sayıları iki asal sayının toplamı Ģeklinde yazılabilir."


A Şubesi (n = 6)

B Şubesi (n = 6)

Toplam (n=12)

f % f % f %

Kod 1 1 16,6 3 50 4 33,3

Kod 2 - - - - - -

Kod 3 - - 1 16,6 1 8,3

Kod 4 5 83,3 2 33,3 7 58,3

Tüketerek ispat yönteminin yer aldığı sorular genel olarak az sayıda öğrenci

tarafından seçilmiĢtir. Buna karĢın A Ģubesindeki öğrencilerin gerek 3, gerekse 4.

sorudaki ispat yapma düzeyleri oldukça yüksektir (% 83,3). B Ģubesinde ise

tüketerek ispat fikrinin kullanıldığı yanıtlar %50'ye ulaĢmaktadır.

Ġspat testi 2'deki tüketerek ispatın yer aldığı sorulara benzer bir Ģekilde Kod 2'de

yer alan öğrenciler, bir ve ya iki sayı örneği deneyerek, kümedeki tüm elemanları

denemeden önermenin doğruluğuna ulaĢtıklarını düĢünmüĢlerdir. B Ģubesinden

Tuna bu öğrencilerden birisidir:

134

ġekil 4.28. B ġubesinden Tuna - Kod 2, 3. soru

Kod 3'te yer alan öğrenciler ise tüketerek ispat mantığını kullanmalarına rağmen

ya 3. sorudaki önermeyi kâğıda yanlıĢ geçirdikleri için baĢka bir önermenin ispatını

yapmıĢlardır, ya da 4. soruda kümedeki sayıları asal iki sayının toplamı Ģeklinde

yazmakta zorlandıkları için ispatı tamamlayamamıĢlardır. Özer ispatı bu nedenle

tamamlayamayan öğrencilerden birisidir;

ġekil 4.29. B ġubesinden Özer - Kod 3, 4. soru

B Ģubesinden Yeliz ise aynı kümede geçerli olmak üzere (n + 2)2 32

eĢitsizliğinin değil, (n+ 22) 3 eĢitsizliğinin doğruluğunu ispatlamıĢtır.

GerçekleĢtirilen görüĢmede yanıtını inceleyen Yeliz, önermeyi sayfaya aktarırken

yaptığı hatayı fark etmiĢ ve hemen ardından doğru olan önermenin ispatını

gerçekleĢtirmiĢtir.

135

ġekil 4.30. B ġubesinden Yeliz - Kod 3, 3. Soru

Tüketerek ispatı eksiksiz olarak tamamlayan Beyza ise 4. soruya aĢağıdaki gibi bir

yanıt üretmiĢtir:

ġekil 4.31. A ġubesinden Beyza - Kod 4, 4. soru

Tüketerek ispat yöntemi kullanılarak ispat yapılan sorular birlikte

değerlendirildiğinde öğrencilerin tüketerek ispat yöntemi ile ilgili soruları tercih

etme ve ispatlama oranları düĢük olduğu gözlenmiĢtir. Ġlk soruda tüketerek ispat

mantığını kullanan öğrencilerin oranı (Kod 3 + Kod 4) % 29,1 iken bu oran diğer

sorularda artsa da bu mantığa sahip öğrencilerde sayıca bir artıĢ yaĢanmamıĢtır.

4.2.2.4. Öğrencilerin Durum Yolu Ġle Ġspat Yöntemine ĠliĢkin Beceri ve Performansları

Bu baĢlık altında ispat testi 2 Grup 4‟te yer alan soru ile ispat testi 3‟te yer alan 7


136

Ġspat testi 2‟de, Grup 4 baĢlığı altında öğrenciler önermeyi durum yolu ile ispat

yöntemini kullanarak ispatlamaları doğrultusunda yönlendirilmiĢtir. Öğrencilerin

verdikleri yanıtların değerlendirilmesinde kullanılan kod sistemi Ģu Ģekildedir:








A Şubesi (n = 27)

B Şubesi (n = 21)

Toplam (n=48)

f % f % f %

Kod 1 13 48,1 11 52,3 24 50

Kod 2 3 11,1 4 19 7 14,6

Kod 3 Tek bir örnek 2 7,4 3 14,3 5 10,4

Çok örnek 8 29,6 3 14,3 11 22,9

Kod 4 1 3,7 -- -- 1 2,1

Grup 4 içerisinde yer alan sorulardan A Ģubesinde 13 öğrenci 1. soruyu, 7 öğrenci

2. soruyu seçmiĢ, 7 öğrenci ise soruyu boĢ bırakmıĢtır. B Ģubesinde ise 9 öğrenci

1. soruyu, 6 öğrenci 2. soruyu seçmiĢ, 6 öğrenci soruyu boĢ bırakmıĢtır. Bu soruda

öğrencilerin bu soruyu boĢ bırakma oranı (toplamda 13 öğrenci) diğer sorulara

göre daha çoktur.

Son test 2 içerisinde öğrencilerin en çok zorlandığı soru bu olmuĢtur. Her iki

Ģubede de öğrencilerin önemli bir bölümü, tüm öğrencilerin % 50'si bu soruyu ya

boĢ bırakmıĢ, ya önermeyle ilgisi olmayan iĢlemler yapıp soruyu geçiĢtirmiĢ, ya da

seçtikleri önermenin neden doğru olduğuna yönelik bir gerekçe sunamamıĢlardır

(Kod 1). B Ģubesinden Bahar bu öğrencilerden birisidir. " a ve b tam sayı olsun.

Bu durumda baba .. dir." önermesini seçen Bahar verilen ifade ile iliĢkili

olmayan iĢlemler yapmıĢ, önermenin doğru ya da yanlıĢ olduğuna yönelik bir yargı

bildirmemiĢtir.

137

ġekil 4.32. B ġubesinden Bahar - Kod 1

Buna ek olarak öğrencilerin bir kısmı örnek vererek doğrulama yolunu kullanırken

yaptıkları iĢlem hataları veya A Ģubesinden Mehmet‟te görüldüğü üzere kalan ve

bölüm kavramlarını karıĢtırmaları nedeni ile önermenin yanlıĢ olduğunu

savunmuĢlardır (Kod 2). "Tüm n tamsayıları için, 6n+2 sayısının 4'e

bölümünden kalan her zaman ya 0'dır ya da 2’dir." önermesinin ispatı için

Mehmet'in verdiği yanıt Ģu Ģekildedir:

ġekil 4.33. A ġubesinden Mehmet - Kod 2

Uygulama sonrası gerçekleĢtirilen tüm sınavlarda baĢarılı bir performans

sergileyen Ġlayda (B Ģubesi), Mehmet ile aynı önermeyi seçmiĢtir. Ġlayda yanıtında

ispatı cebirsel olarak devam ettirmeye çalıĢmıĢ ama devam edemeyip yanıtını

tamamlamadan bırakmıĢtır (Kod 1). Ġspatı nasıl yapacağına dair bir fikrinin

olmadığını belirten Ġlayda ile gerçekleĢtirilen görüĢmede 6n+2 ifadesini 4'e

bölemeyiĢi üzerinden ispat tartıĢılmaya baĢlanmıĢ ve devam edemediği noktadan

yola çıkarak yönteme iliĢkin yönlendirmelerde bulunulmuĢtur. Bu yönlendirmelerin

sonunda Ġlayda ispatı kolaylıkla tamamlayabilmiĢtir.

Araştırmacı: Senin yaptığına bir bakalım, sen önce cebir ile göstermeye çalışmışsın. Ama

6n+2 sayısını 4’e bölmeye çalışsan bölebilir misin?

138

İlayda: Bölemem.

Araştırmacı: Cebir kullanarak doğrudan ispat yapmaya çalışırken burada tıkandık değil

mi? O zaman gel senle bu n sayısının durumlarını inceleyelim. n bir tamsayı idi, bir

tamsayının kaç durumu olabilir sence?

İlayda: Birden çok basamaklı olabilir, basamak sayıları farklı olabilir yani.

Araştırmacı: Tamam peki bu durumu bu ispatta kullanabilir misin?

İlayda: Sanırım zor olur, yani nasıl gösterebilirim bilmiyorum.

Araştırmacı: Zorlanıyorsak onu bir kenara bırakalım. Başka hangi durumlar olabilir?

İlayda: Tek ya da çift olabilir.

Araştırmacı: Mesela evet basamak sayısı farklı olabilir de demiştin ama onu da

sınırlandıramayız değil mi? Bu seçtiğin soruda işimizi kolaylaştırmaz gibi ama tek ve çift

sayı olma durumları incelenebilir mi ayrı ayrı?

İlayda: Evet onu rahat gösteririm sembolik olarak hem sadece iki ayrı durumu incelemiş

olurum.

Araştırmacı: Şimdi bir toparlayalım konuştuklarımızı, bu soruda doğrudan ispatı denedik

ama ilerleyemedik, şimdi kalemi sana versem ve tek, çift demiştin bu iki ayrı durumda

soruyu incelesek.

İlayda: 6n + 2 sayımız. n tek olsa [bu esnada kağıda yazmakta] 6 çarpı (2n+1) olur artı 2.

12n artı 6 artı 2. Topladığımda 12n + 8 çıkar.

Araştırmacı: Peki, sence bu sayı 4’e bölünür mü?

[İlayda bir miktar düşünür]

İlayda: Bölünür çünkü n hangi tek sayı olursa olsun 12 ile çarpılıyor bir de 8 ekleniyor, bu

iki sayı da 4’ün katı. O yüzden bölünür.

Araştırmacı: Kalan ne olur bu durumda?

İlayda: Sıfır olur.

Araştırmacı: İkinci durum, n çift olsa ne olur?

İlayda: 2n yazarım bu durumda, 6 çarpı 2n artı 2. 12n+2 olur.

Araştırmacı: Aynı soruyu sorucam, 12n+2 dörde bölünür mü?

İlayda: 4’e … bu bölünür [12n’i kastetmekte] bölüm 3 olur ama burası bölünmez kalır.

[+2'yi kastetmekte]

Araştırmacı: Peki, bu sayı demek ki tam bölünmeyecek dörde, kalanın ne olur bu

durumda?

İlayda: İşte 2 kalır.

Araştırmacı: Soruda sana verilenlere ulaşmış olduk bu şekilde, o zaman bu ifade doğru

muymuş?

İlayda: Doğruymuş.

Sınavda önermeyi ispatlayamayan, görüĢmenin baĢında da ispata yönelik adım

atamayan Ġlayda, araĢtırmacının yönlendirmesi ile derste yaptıkları uygulamalara

benzer bir Ģekilde ispatı gerçekleĢtirmiĢtir. Yanıtı Kod 2'de yer alan Beyza (A

Ģubesi) ise 2, 3, 20 ve 33 sayılarını deneyerek önermenin doğruluğunu

savunmuĢtur. GörüĢmede verdiği örnekler ile elde ettiği kalan sayı arasındaki iliĢki

üzerinden bir sorgulama yaratılarak, durum yolu ile ispat mantığı kendisine

139

kazandırılmaya çalıĢılmıĢtır. AĢağıda gerçekleĢen diyalogun ardından Beyza da

Ġlayda gibi ispatı tamamlayabilmiĢtir.

Araştırmacı: Örnek vermişsin, örneklerine baktığımda 2, 3, 20 ve 33. Niye bu sayıları

denedin?

Beyza: Bir bakabilir miyim? [yaptıklarına bakar ve bir miktar düşünür] Sanırım öylesine

aklıma gelmiş.

Araştırmacı: Benim dikkatimi ise şu çekti, iki tek iki tane de çift sayı denemişsin.

Beyza: Ya aslında, tüm n tamsayılarında demiş ya, ben de büyüklü küçüklü tek ve çift

sayıları deneyeyim demiştim.

Araştırmacı: Bu dört örneğe bakıp genelleme yapabilir miyiz?

Beyza: Yok yapamayız.

Araştırmacı: Peki, bu sayıları denediğinde, tekleri denediğinde ve çiftleri denediğinde ne

çıkmış kalan olarak? Bir yorum yapabiliyor musun?

[Beyza kağıdını incelemekte]

Beyza: Şey galiba, tekleri bölünce kalansız çıkmış, çiftleri bölünce kalanlı çıkmış.

Araştırmacı: Kalansız çıkmak demek ne demek?

Beyza: Kalan 0 yani, teklerde kalan 0 çıkmış.

Araştırmacı: Çiftlerde kalan kaç?

Beyza: 2 bulmuşum. Teklerde 0, çiftlerde 2 gibi.

Araştırmacı: Acaba durum dediğimiz şeyler bunlar olabilir mi sence? Sayının durumları,

çift olma durumu ve tek olma durumu...

Beyza: Haa… Evet, olabilir aslında. Peki, bunu cebirsel mi deniycez, çift ve teki?

Her iki Ģube içerisinden sadece tek bir öğrenci, A Ģubesinden Berk gösteriminde

eksiklikler ve hatalar olsa da durum yolu ile ispat yöntemini kullanarak seçtiği

önermeyi (a ve b tam sayı olsun. Bu durumda a . b ≤ | a | . | b | dir.)

ispatlamıĢtır.

ġekil 4.34. A ġubesinden Berk – Kod 4

140

GörüĢme sırasında gerçekleĢtirdiği bu ispatı Berk Ģu Ģekilde anlatmıĢtır:

Berk: Burada a ve b tam sayı olsun demiş. Tam sayı olduğu için eksi de artı da olabilirler.

Bu durumda eksi ile artıyı çarptığımızda sıfırdan küçük veya eşitliğine bakıcaz. Ya işte

zaten kafadan düşündüğümüz zaman mutlak değerde iki artı işaretlinin çarpımı olacak,

burada ise [eşitsizliğin ilk kısmını kastetmekte] ya eksi eksi ya da artı artı olduğunda eşit

olabilir. Diğer durumlarda küçük olacağı kesin. Ben de burada bunu gösterdim, eksi artı

verdim tüm durumları yazdım.

GörüĢmenin devamında kendisine bu grupta yer alan ilk önerme de sorulmuĢ, bu

önermeyi ispatlaması istenmiĢtir. Ġspatı yaparken ilk etapta doğrudan, cebir

kullanmaya devam ederek 6n+2'yi 4'e bölmeye çalıĢan Berk, bir müddet bu

ısrarında devam etmiĢtir. 6n+2 ifadesini farklı Ģekillerde ele almaya çalıĢarak ispatı

devam ettirmeye çalıĢmıĢtır. Daha sonra bu yöntem ile devam edemediğini

gördüğü anda önceden bu önermede kullanılabileceğini belirttiği çift ve tek sayı

olma durumlarını deneyerek önermeyi ispatlamıĢtır. Sorunun çözümüne yönelik

diyalog Ģu Ģekilde yaĢanmıĢtır:

Araştırmacı: Mesela senin seçtiğin soruda mutlak değer vardı ve sen pozitiflik negatiflik

durumlarını denedin sayıların. Bu soruda sayının hangi durumlarına bakasın?

Berk: Burada nasıl bir durumda incelerim? n'in hem artı hem de eksi durumu olma

durumu var. Ama ııı...

Araştırmacı: Bu şekilde sayının işaretlerini incelemen soruda sana yardımcı olur mu? Seni

bir yere götürür mü?

Berk: Götürmez aslında.

Araştırmacı: Peki tam sayıları başka nasıl ayırabiliriz? Hangi durumları incelemek bu

soruda işimize yarar sence?

Berk: Tam sayıları ... Tek sayı olarak çift sayı olarak ayırabiliriz.

Araştırmacı: Evet olabilir.

Berk: Şimdi 6n+2 sayısının 4 ile bölümünden kalan ya 0 ya 2 demiş. Aslında duruma hiç

gitmeden de... Şöyle biraz düşünürsem. Bu 6n dediği 2'ye bölünür, biz n e hangi sayıyı

verirsek verelim çift bir sayı olacak bu. 2 eklenmiş o da çift bir sayı olur. Onun 4'e

bölümünden kalan ya 0 dır ya da 2 demiş. O zaman şöyle gösterebilirim, bir çift sayının 2

ile toplanıp 4'e bölümünden kalan 0 ya da 2dir. Onu göstermeye çalışabiliriz. Aslında bu

sayı yerine 2x desek de olur. Çift bir sayının 4'e bölümünden kalanın 0 ya da 2 olması bu

durum.

Araştırmacı: Tamam onu nasıl gösterirsin ispatlarsın peki?

Berk: Bunu, 2x'i 4'e bölersek ... [işlem yapmaya çalışıyor] kalan ... bölemedim.

Araştırmacı: Tamam cebir kullanarak ilerlemeye çalıştın ama burada o sayıyı 4'e

bölemedin ve tıkandın değil mi? Devam edemedin. İşte bu noktada o sayıyı x'i veya n'i

olduğu gibi ele almasak da durumlara ayırsak, bu soru için tek sayı ve çift sayı olma

durumu mesela. Mesela soruda n verilmiş, n sayısını biz çift sayı olarak ele alsak nasıl

yazarız?

Berk: Çift sayı ise 2x olarak yazarım.

Araştırmacı: Tamam öyle yazıp işlemi devam ettirmeye çalış.

Berk: 12x olur bir de artı 2'si var, 12x + 2 olur.

141

Araştırmacı: Peki bu sayıyı 4'e bölsen, tam mı bölünür, bölünmüyor ise kalan ne olur?

Berk: Evet şimdi işlemi daha rahat yapıyorum, bölersem 3x olur buradan ama artı 2 kalır.

Kalanımız 2 olur.

Araştırmacı: Tamam n tek olsaydı ne olurdu?

Berk: Tek olsa idi 2x+1 olarak verecektim. 12 x + 6 olacaktı, artı 2 de var. 12x + 8 olacak.

Bunu 4'e böldüğümüzde 3x + 2 olur, kalan olmaz. 0 yani. Hem kalan 2 bulduk ya da 0

bulduk şimdi.

Araştırmacı: Başta ne olmuştu 6n+2 sayısı üzerinden ilerleyememiştik, daha sonra n

sayısının çift ve tek sayı olma durumlarını ayrı ayrı inceledik ve elde ettiğimiz sayıları 4'e

bölme işlemini rahatça yapabildik ve bu şekilde ispatı tamamladık.

Sınav sırasında sadece tek bir öğrenci ispatı gerçekleĢtirmiĢ olsa da görüĢme

sırasında 9 öğrenci ile bu grupta yer alan önermeler üzerine konuĢulmuĢtur ve

görüĢmecinin çeĢitli yönlendirmeleri ile tüm öğrenciler ispatı durum yolu ile ispat

yöntemini kullanarak tamamlayabilmiĢtir.

Ġspat testi 3‟de yer alan 7 ve 8. sorularda da öğrenciler durum yolu ile ispat

yöntemini kullanmaları doğrultusunda yönlendirilmiĢlerdir. Bu soruların analizinde

de aĢağıdaki kod sistemi kullanılmıĢtır:






Tablo 4.22. Ġspat testi 3, 7. soruya iliĢkin bulgular; " Bir tam sayı tutun ve daha

sonra bu sayının karesini alın, elde ettiğiniz sayının 4’e bölümünden kalan her zaman 0 veya 1’dir."


A Şubesi (n = 15)

B Şubesi (n = 5)

Toplam (n=20)

f % f % f %

Kod 1 4 26,7 1 20 5 25

Kod 2 4 26,7 - - 4 20

Kod 3

Tek bir örnek 3 20 2 40 5 25

Çok örnek 4 26,6 2 40 6 30

Kod 4 - - - - - -

142

Tablo 4.23. Ġspat testi 3, 8. soruya iliĢkin bulgular; " x tam sayı olsun. Bu durumda

x - |x| 0 dır."


A Şubesi (n = 3)

B Şubesi (n = 1)

Toplam (n=4)

f % F % f %

Kod 1 - - 1 100 1 25

Kod 2 - - - - - -

Kod 3 (birden çok örnek deneyenler) 3 100 - - 3 75

Kod 4 - - - - - -

7. ve 8. soruların seçiminde de öğrenciler verili ispat yöntemini temel alarak değil

(sadece A Ģubesinden Berk 7. soruyu seçme nedenini, tüm ispat yöntemlerinden

birer tane yapmak istediğini ve buna göre soruları seçtiğini belirterek açıklamıĢtır)

önermenin kolay ve anlaĢılır olmasına dikkat ederek seçimlerini yaptıklarını

belirtmiĢlerdir. Ġki Ģubede de sınav esnasında hiç bir öğrenci durum yolu ile ispat

yapamamıĢtır.

A Ģubesinden 7. soruyu seçen 4 öğrenci sorunun ispatı için örnek denemiĢ, bölüm

ve bölen kavramlarını karıĢtırdıkları için yaptıkları iĢlemin sonunda önermenin

yanlıĢ olduğunu savunmuĢlardır. Tüm öğrencilerden 5 tanesi ise Kod 1'de yer

almıĢtır. Bu öğrencilerin bir kısmı soruyu sadece doğru veya yanlıĢ diyerek

geçiĢtirmiĢtir. Diğer kısmı ise soru ile alakasız iĢlem ve açıklamalarda

bulunmuĢtur.

Birden çok örnekle önermeyi doğrulayan öğrenciler her ne kadar önermenin

ispatında yer alan durumları örneklendirmiĢ olsalar da kullandıkları örnekler

üzerinden de bir genellemeye varamamıĢlardır. Bu öğrencilerden birisi olan Dicle

7. soruyu seçmiĢ ve önermenin ispatı için çok sayıda örnek denemiĢtir. Denediği

sayılardan tek sayı olanlarının bölümünden kalan sayının 1, çift sayıların

bölümünden kalanının 0 olduğu genellemesine denediği örnekler üzerinden

ulaĢamamıĢ, sadece örneklerin sonucuna bakarak önermenin doğru olduğuna

kanaat getirmiĢtir.

143

ġekil 4.35. A ġubesinden Dicle - Kod 3, 7. soru

Durum yolu ile ispat yönteminin kullanıldığı tüm sorular birlikte dikkate alındığında

öğrencilerin en baĢarısız olduğu yöntem bu olmuĢtur. Diğer yöntemlerin yer aldığı

sorulara göre bu sorularda öğrenciler soru ile ilgilenmeme, soruyu boĢ bırakma

eğiliminde daha çok olmuĢlardır. Tüm öğrenciler içerisinde sadece tek bir öğrenci

durum yolu ile ispat mantığını sınavlarda uygulayabilmiĢtir. GerçekleĢtirilen

görüĢmelerde 9 öğrenci ile bu yöntem üzerinde durulmuĢtur. Öğretim sürecinin bir

bileĢeni olarak ele alınabilecek bu görüĢmelerde öğrenciler bazen kolaylıkla bazen

de zorlanarak ama araĢtırmacının yönlendirmeleri ile bu yöntemi kullanarak ispatı

tamamlamıĢlardır. Öğrencilerin bu yöntemi kullanırken zorlandıkları nokta

önermeyi hangi durumlarda inceleneceklerini bulmak olmuĢtur.

4.2.2.5. Özet

Öğrenciler doğru bir önermenin ispatında yoğunluklu olarak örnek vererek

doğrulama eğiliminde olmuĢlardır. Yapılan görüĢmelerde öğrencilerin bu eğiliminin

ya ispat kavramının mantığını anlamamıĢ olmalarından ya da örnekle

doğrulamanın ispat olmadığını bilmelerine karĢın baĢka bir yöntem

geliĢtirememelerinden kaynaklı olduğu görülmüĢtür. Örnekle doğrulamanın ispat

olmadığının farkında olan yine de örnek vererek önermeyi doğrulayan öğrenciler

cebiri anlama ve uygulamada sorun yaĢamıĢ, cebirsel gösterim dıĢında baĢka

tümdengelimsel muhakeme içeren temsiller de geliĢtirememiĢlerdir. Bu eğilime

karĢın öğrenciler doğrudan ispat yöntemini içeren sorularda % 20 ile % 30

arasında değiĢen bir oranda verilen önermeleri eksiksiz olarak ispatlayabilmiĢtir.

Bu oran doğrudan ispat yöntemi mantığını uygulayan ama çeĢitli hatalar nedeniyle

144

ispatı tamamlayamayan öğrenciler de dahil edildiğinde % 40'a yaklaĢabilmektedir.

Tüketerek ispat yöntemi ile ilgili sorularda da benzer bir eğilim gözlenmiĢ tüketerek

ispat mantığının kullanan öğrencilerin oranı % 30'u geçebilmiĢtir. Öğrencilerin en

baĢarısız olduğu ispat yöntemi ise durum yolu ile ispat yöntemi olmuĢ, sadece 1

öğrenci yapılan sınavda durum yolu ile ispatı gerçekleĢtirebilmiĢtir. Yapılan

görüĢmelerde öğrencilerin önermeyi hangi durumlara göre inceleyeceklerini

bulmakta zorlandıkları gözlenmiĢtir. Öğrencilerin en baĢarılı olduğu ispat yöntemi

karĢı örnek vererek ispat yöntemi olmuĢtur.

145

5. SONUÇ ve ÖNERĠLER

Bu bölümde araĢtırmanın bulgu ve yorumlarına dayalı olarak ulaĢılan sonuçların

özetine ve bu sonuçlardan yola çıkarak geliĢtirilen önerilere yer verilmiĢtir.

5.1. Sonuçlar

5.1.1. Uygulama Öncesi Öğrencilerin Ġspat Algısı ve Becerisine ĠliĢkin Sonuçlar

Matematiksel ispat matematiğin ileri düzeyde matematik bilgisi gerektiren bir

konusu olarak görülmekten çıkmıĢ, anaokulundan itibaren her yaĢ kuĢağının bir

düzeyde gerçekleĢtirebileceği, matematik öğretimine katkı sağlayan bir araç olarak

görülmeye baĢlanmıĢtır. Bu doğrultuda bazı ülkelerde lise öncesi müfredatlarında

ispata yönelik vurgu artmakta, lise çağından küçük öğrencilerin ispata yönelik algı

ve performansları pek çok çalıĢmaya konu edilmektedir. Bu araĢtırmada da 7. sınıf

öğrencilerinin matematik dersi kapsamında yabancı oldukları ispat kavramına

yönelik algı ve performanslarının ne oranda geliĢtirilebileceği sorusuna

odaklanılmıĢtır. Bu bağlamda örneklem olarak seçilen sınıflara toplamda 14 hafta

süren bir ispat öğretimi uygulanmıĢtır.

Bu uygulamanın öncesinde öğrencilerin ispat performanslarına bakıldığında, doğru

bir önermenin ispatında öğrenciler soruyu ya boĢ bırakmıĢ, soru ile uğraĢmama

eğiliminde olmuĢ ya da önermeyi örnek vererek doğrulamıĢlardır. Bu sonuç

literatürde yer alan pek çok çalıĢma (Chazan, 1993; Cooper vd., 2011; ÇalıĢkan,

2012; Healy ve Hoyles, 2000; Harel ve Sowder, 1998, Knuth vd., 2012) ile

uyumludur. Buna ek olarak araĢtırmada ispat performansına yönelik literatürle

uyumlu olmayan bir sonuca da ulaĢılmıĢtır. Hazır bulunuĢluk testinde yer alan

yanlıĢ bir önermenin ispatında öğrencilerin baĢarı düzeyi oldukça yüksek çıkmıĢtır.

Tüm öğrencilerin % 53'ü verilen önermeyi karĢı bir örnek sunarak

çürütebilmiĢlerdir. Bu sonuç Zaimoğlu'nun (2012) 8. sınıf öğrencileri ile

gerçekleĢtirdiği çalıĢmanın, "öğrenciler yanlıĢ bir ifadeyi çürütmede baĢarısızdırlar"

bulgusuyla çeliĢmektedir. Ġspata yönelik algılarının değerlendirildiği soruda da

öğrenciler örnek vererek yapılan doğrulamanın ispat olduğu düĢüncesini

146

sürdürmüĢlerdir, öğrencilerin sadece % 11,8'i ispat içeren seçeneği doğru yanıt

olarak seçmiĢtir.

5.1.2. Uyulama Sonrası Öğrencilerin Ġspat Algısına ĠliĢkin Sonuçlar

Öğrencilerin ispat yapma becerilerini geliĢtirmek üzere uygulanan öğretimin

ardından öğrencilerin bir bölümünde ispata yönelik algılarında bir geliĢme

gözlenmiĢtir. Ġspat öğretimi sadece öğretime yönelik sürdürülen derslerle sınırlı

kalmamıĢ, öğrencilerle yapılan birebir görüĢmelerde de öğrencilerin algı ve

performansını geliĢtirmeye yönelik müdahalelerde bulunulmuĢtur. Bu sürecin

sonunda bazı öğrenciler örnekle doğrulama ile ispat arasındaki farkı algılayabilmiĢ,

ispat için tümdengelimsel muhakemeyi içeren yanıtlara yönelmiĢ, yanlıĢ bir

önermenin ispatında karĢıt bir örneğin sunulmasını ispat için yeterli görmüĢ,

kendilerine sunulan tümdengelimsel muhakemeleri önerme ile iliĢkilendirerek

önermenin ispatını ayırt edebilmiĢlerdir.

Öğrencilerin ispata yönelik algılarını betimlemek amacıyla düzenlenen sınavda,

ispat testi 1, dört soru bulunmaktadır. Ġlk soruda öğrencilerin büyük çoğunluğu (%

68,5'i) örnek verilerek yapılan doğrulamayı ispat olarak değerlendirirken, bu oran

sınavın ileriki sorularında düĢmüĢ, öğrenciler tümdengelimsel muhakemeyi içeren

yanıtlara daha çok yönelmiĢlerdir. Yine de tüm sınav dikkate alındığında

öğrencilerin önemli bir bölümü birkaç durumu denemenin ispat olduğunu

düĢünmeye devam etmiĢlerdir. Buna karĢın sınav sonrası gerçekleĢtirilen

görüĢmelerde bu eğilimdeki öğrencilere de yer verilmiĢtir. Bu öğrencilerle yapılan

görüĢmede, öğrencilerin bazen zorlanarak ve uzunca tartıĢarak, bazen de

kolaylıkla ispat ile örnekle doğrulama arasındaki farkı algılayabildikleri

gözlenmiĢtir.

Öğrencilere hatalı cebirsel iĢlemler içeren, bu nedenle de yanlıĢ bir sonuca ulaĢan

bir cevap ispat olarak sunulduğunda öğrenciler bu cevabı ispat olarak kabul

edebilmektedirler. Bu araĢtırmada öğrencilerin sadece % 16,7'si hatalı

tümdengelimsel bir yaklaĢımı ispat olarak kabul etmiĢlerdir. Soruda öğrencilere

yanlıĢ bir önerme ile bu önermenin ispatı olarak 2 ayrı seçenek sunulmuĢtur. Bu

seçeneklerden birisinde önerme karĢı örnek verilerek çürütülmüĢtür. Diğerinde ise

cebirsel ifadeler kullanılarak baĢlanan ispatta iĢlem hatası yapılmıĢ, sonuç olarak

da önermenin doğru olduğu savunulmuĢtur. Öğrencilerin % 16,7'si sembolik

147

gösterimin daha matematiksel olduğu ve ispat gibi görünmesi nedeniyle bu soruya

yanıt verirken hemen bu seçeneğe yönelmiĢlerdir. Martin ve Harel (1989) ile

Healy ve Hoyles'un (2000) gerçekleĢtirdiği çalıĢmalarda da bu eğilime

değinilmektedir. Yalnız bu araĢtırmada bu eğilim bahsedilen çalıĢmalara oranla

düĢük çıkmıĢtır.

Aynı soruda öğrencilerin % 11,1'i ise benzer bir yaklaĢım sergilemiĢ, ek olarak

karĢı örnek verilerek yapılan ispatı da mantıklı buldukları için her iki seçeneğin de

ispat olduğunu savunmuĢlardır. Öğrenciler bu yanıtları ile önermenin aynı anda

hem doğru, hem de yanlıĢ olduğunu savunmuĢ, aynı önerme için doğrudan ispat

ile, karĢı örnek vererek yapılan ispatın birlikte geçerli olabileceğini savunmuĢlardır.

Stylianides ve Al-Murani (2010), gerçekleĢtirdikleri bir çalıĢmada öğrencilerin

doğruluğun ispatı ile çürütme arasındaki iliĢkiye yönelik algılarına değinmiĢlerdir.

ÇalıĢmalarında ispat testi 1'de yer alan 2. soruya benzer nitelikte bir soru ve bu

sorunun analizine yer vermiĢlerdir. Uygulamalarında öğrencilerin % 45,6'sının bu

kavram yanılgısına sahip oldukları ortaya çıkmıĢtır. Bu araĢtırmada öğrencilerin bu

yanılgıya düĢme oranları, Stylianides ve Al-Murani'nin bulgusuna oranla daha

düĢük çıkmıĢtır. Yine de öğrencilerin ispat öğrenimi sürecinde bu yanılgıya düĢme

ihtimalleri mümkündür ve dikkate alınmalıdır. Sınav esnasında geliĢen bu hatalı

yaklaĢım, görüĢmede de ele alınmıĢ, öğrencilerle birebir kurulan diyaloglarla

giderilebilmiĢtir.

AraĢtırmada dikkati çeken bir diğer bulgu ise bazı öğrencilerin yanlıĢ bir önermenin

ispatında tek bir örneğin yeterli olmayacağını savunmalarıdır. Galbraith (1981), 12-

17 arası yaĢ kuĢağındaki öğrencilerle yaptığı çalıĢmasında öğrencilerin % 18'inin

tek bir karĢı örneğin önermeyi çürütmede yeterli olmadığını düĢündükleri

sonucuna ulaĢmıĢtır. Bu çalıĢmada ise öğrencilerin bu doğrultudaki eğilimi daha

az olmakla birlikte (Canan'ın yanıtının ispat olduğunu vurgulayan 4 öğrenci, tüm

öğrencilerin % 7,4'ünü oluĢturmakta), bu eğilim öğrencilerin yanlıĢ bir önermenin

ispatında cebirsel ifadelere yönlenmesine neden olabilmiĢtir.

Bu çalıĢma kapsamında öğrencilerle bir önermenin karĢıtının nasıl kurulacağı veya

önerme doğru ise karĢıtının doğru olmak durumunda olmadığı Ģeklindeki mantık

kuralları paylaĢılmamıĢtır. Buna rağmen araĢtırma sonunda uygulanan sınavda bir

önermenin karĢıtının ispatına da yer verilmiĢtir. Öğrencilere cebirsel gösterim

içeren iki ayrı tümdengelimsel yaklaĢım sunulmuĢ (önermenin ispatı ile önermenin

148

karĢıtının ispatı), gerek sınavda gerekse görüĢme sırasında verili iki cebirsel

gösterim arasındaki farka yönelik düĢünceleri sorgulanmıĢtır. Öğrencilerin %

38,9'u doğru yanıtı ispat olarak seçerken kendilerine sunulan tümdengelimsel

muhakemeleri ayırt edebilmiĢlerdir. GörüĢme sırasında gerek bu öğrencilere,

gerekse diğer tümdengelimsel muhakeme içeren yanıtı ispat olarak seçen

öğrencilere önermenin karĢıtının ispatı ayrı bir kağıda yazı olarak sunulmuĢ, bu

ispatın hangi önermenin ispatı olduğu sorulmuĢtur. Bu öğrencilerin hepsi kağıtta

ispatlanan önermeyi doğru ifade edebilmiĢtir. Ġfade ettikleri bu önerme ile soruda

verilen önermeyi karĢılaĢtırmaları istendiğinde ise öğrenciler iki önermenin farklı

olduğunu belirtmiĢ, hatta "ifadenin tersi gibi" Ģeklindeki tanımlamalarla önermeler

arsındaki karĢıt olma iliĢkisinin farkına varabilmiĢlerdir.

5.1.3. Uygulama Sonrası Öğrencilerin Ġspat Beceri ve Performanslarına ĠliĢkin Sonuçlar

Öğrencilerin ispata yönelik performanslarında dikkati çeken ilk nokta öğrencilerin

% 20 ile 50 arasında değiĢen bir oranda soruyu yanıtlamama eğiliminde

olduklarıdır. Bu oran doğrudan ispat yöntemi ile ilgili sorularda en az iken, durum

yolu ile ispatla ilgili sorularda yüksek çıkmıĢtır. Bu durum sınıf içerisindeki

öğrencelerin bazılarında ispata yönelik kayda değer bir ilerleme yaĢanırken,

bazılarının ispat yapmaya yönelik ortaya koymuĢ olduğu isteksizlik sınıfın

bütününde ispat yapmaya yönelik bir ilginin yaratılamadığını göstermektedir.

Öğrencilerin ispat testi 2 ile elde edilen bulgular ıĢında yöntemlere göre ispatı

eksiksiz yapma oranları Ģu Ģekildedir; doğrudan ispat yöntemini öğrencilerin %

23'ü; karĢı örnek vererek ispatı % 58,3'ü; tüketerek ispatı % 20,8'i; durum yolu ile

ispatı ise tüm öğrencilerin ancak % 2,1'i yapabilmiĢtir. Uygulanan ispat yönteminin

mantığının uygulandığı tüm yanıtlar dikkate alındığında doğrudan ispat ile

tüketerek ispat yöntemlerinde bu oran yaklaĢık % 29'a çıkmıĢtır. Öğrenciler

beklendiği üzere karĢı örnek vererek ispat yönteminde baĢarılı olmuĢtur.

AraĢtırmanın baĢında öğrencilerin tüketerek ispat yönteminde de baĢarılı

olacakları beklenmekteydi. Ne var ki öğrenciler tüketerek ispat ile ilgi sorularda,

küme içerisinde verilen tüm elemanları denememiĢ, bir kaç örnek ile doğrulama

eğiliminde olmuĢlardır.

Öğrencilerin ispata yönelik performanslarında da örnek vererek doğrulama eğilimi

baskındır. Önermeyi baskın olarak tek bir örnek ile mi, yoksa birden çok sayıda

149

örnek deneyerek mi doğruladıkları sorulara göre değiĢmektedir. Bazı sorularda

yoğunluklu olarak tek örnek denenirken (ispat testi 3, 1. soru gibi), bazı sorularda

da çok sayıda örnek denenerek (ispat testi 2, grup 1 gibi) doğrulama yapılmıĢtır.

Öğrencilerin ispat yaparken örnek vererek doğrulamayı tercih etme oranları, sınıfın

önemli bir bölümünün tercih ettiği sorularda % 30 ile 70 arasında değiĢmektedir.

Öğrencilerle gerçekleĢtirilen görüĢmelerde onların örnek vererek doğrulamayı

ispat olarak kabul etme eğilimleri de sorgulanmıĢtır. Onlarla ispatın ne olduğu,

denenen örnekler ile genellemeye ulaĢılıp ulaĢılmayacağı ve ispat yöntemlerine

yönelik tartıĢmalar yürütülmüĢtür. GerçekleĢtirilen bu tartıĢmalarda öğrenciler

gerektiğinde yönlendirilerek, ufak yönlendirmeler ile doğru bir ispata ulaĢtırılmaya

çalıĢılmıĢtır. GörüĢülen 16 öğrencinin sadece 2 tanesi bu yönlendirmelere rağmen,

ispatları tamamlayamamıĢtır. Geri kalan tüm öğrenciler sınavlarda yapamadıkları

ispatları, araĢtırmacının yönlendirmesi ile tamamlayabilmiĢtir. Vygotsky (1978)

bireyin kendi baĢına problem çözmesi ile belirlenen gerçek geliĢim düzeyi ile

yetiĢkin veya kendisinden daha baĢarılı olan bir akranının desteği yardımıyla

problem çözmesi ile belirlenen geliĢim düzeyi arasında fark olduğunu vurgular.

Çocuğun mevcut düzeyinin hemen üstündeki bu geliĢim düzeyini yakınsal geliĢim

düzeyi (ZPD - Zone of Proximal Development) olarak adlandırır. Tudge (1990)

burada yetiĢkin desteğini, bilgisi ve rehberliği sayesinde çocuğun öğrenme

potansiyelini artıran bir bileĢen olarak tanımlar. GerçekleĢtirilen görüĢmede

araĢtırmacının rolü bu iĢlevi taĢımıĢ, öğrencilerin ders uygulaması ve sınavlar

sonrasında ulaĢtıkları geliĢim düzeyini ilerleten bir etki yaratmıĢtır. Bu durum

öğrencilerin ispata yönelik algı ve performanslarının sınıfta gerçekleĢtirilen

uygulama sonrası ulaĢtıkları düzey ile sınırlı olmadığını, daha da ilerletilebileceğini

ortaya koymaktadır.

AraĢtırmada elde dilen tüm bulgular öğrencilerin cebirsel ifadeleri anlama ve

uygulamada sorun yaĢadığını ortaya koymaktadır. Ġspata yönelik performanslarını

olumsuz etkileyen faktörlerden birisi de budur. Arslan (2007) öğrencilerin cebir

kullanarak genellemeye ulaĢma eğiliminin düĢük olduğunu ortaya koyarken,

Zaimoğlu (2012) öğrencilerin cebirsel ispatı tercih etmediğini belirtmiĢtir. Cooper

ve diğerlerinin (2011) gerçekleĢtirdikleri bir çalıĢmanın sonucuna göre ise

öğrenciler ispat yaparken öncelikle görsel ve anlatımsal yöntemleri, en son olarak

da cebirsel ifadeleri kullanmaktadırlar. Buna karĢın öğrencilerin sınıf düzeyi

150

ilerledikçe (6. sınıftan 8'e doğru) cebir kullanarak doğru sonuca ulaĢma eğiliminde,

beklenen düzeyde olmasa da bir artıĢ yaĢanmaktadır (Arslan, 20007; ÇalıĢkan,

2012). Tüm bu çalıĢmalar cebir öğrenme alanına yeni giriĢ yapan bu yaĢ

kuĢağının bu alanla ilgili yaĢadıkları sorunu ortaya koymuĢtur.

Bu araĢtırmada da öğrenciler anlaĢılır bulmadıkları için cebirsel ifadelerden

kaçınmıĢlardır. Cebirsel gösterimler yerine örnek vererek doğrulamayı ispat olarak

kabul eden öğrencilerle yapılan görüĢmelerde örnek vererek doğrulamanın ispat

olup olmayıĢı da sorgulatılmıĢtır. Ayrıca bu öğrencilerden örnek vererek

doğruladıkları önermeleri yeniden ispatlamaları da istenmiĢtir. Az sayıdaki öğrenci

yaptıkları doğrulamanın ispat olduğu noktasında ısrarcı olurken, öğrencilerin büyük

kısmı ufak destek ve yönlendirmelerle ispatı tamamlayabilmiĢtir.

Öğrencilerin algılayıp uygulamakta en çok zorlandığı ispat yöntemi durum yolu ile

ispat yöntemi olmuĢtur. Sınavlarda bu ispat yöntemine iliĢkin sorularda sadece bir

öğrencinin ispat yöntemini anlayarak uyguladığı görülmektedir. Öğrencilerle

yapılan görüĢmelerde bu yöntemi içeren sorular da ele alınmıĢtır. Öğrenciler

araĢtırmacının yönlendirmesiyle bu ispatları da yapabilmiĢtir. Yalnız ispatı

yaparken diğer ispat yöntemlerine göre daha çok zorlandıkları da gözlenmiĢtir.

Öğrenciler durum yolu ile ispat yöntemini zorlansalar da yapabilmiĢlerdir.

AraĢtırma kapsamında gerçekleĢtirilen uygulamada ispat yöntemlerine yönelik

adlandırma, uygulamanın sonunda ele alınmıĢtı. Elde edilen bulgular öğrencilerin

ispat yöntemlerinin adlandırmasına yönelik farkındalıklarının yeterince

geliĢmediğini ortaya koymuĢtur. Sınav sırasında bir öğrenci "karĢı örnek vererek

ispat" ifadesini gördüğünde karĢı örnek sunarak önermeyi çürüteceğini, "tüketerek

ispat" adlandırmasını gördüğünde ise kümedeki tüm elemanları tek tek deneyerek

tüketeceğini fark edememiĢtir. Öğrenciler bu durumu görüĢmede ifade etmiĢlerdir.

GörüĢmede bu yöntemler üzerine yürütülen tartıĢmaların ardından ise

farkındalıklarının arttığı gözlenmiĢtir. Tüm bu veriler ispat yöntemine yönelik

adlandırmanın, uygulamanın son haftalarında öğrencilere sunulmasının yanlıĢ ve

öğretici olmayan bir tercih olduğunu ortaya koymuĢtur. GörüĢmede ispat testi 3'de

yer alan sorulara geçilmeden önce öğrencilere, bu testteki soru tercihlerini neye

göre yaptıkları sorulmuĢtur. Belki de ispat yöntemlerinin adlandırmasına yönelik

sahip oldukları eksikliklerin de etkisiyle seçimlerinde yönteme yönelik

151

adlandırmadan ziyade, matematiksel ifadenin kolay ve anlaĢılır olmasına dikkat

ettiklerini belirtmiĢlerdir.

5.2. Öneriler

Bu çalıĢma ile elde edilen bulgular ıĢığında aĢağıdaki öneriler sunulmaktadır:

Bu araĢtırmada öğrencilerle formel ispat uygulamaları yapılmıĢ, öğrencilerin

ispatı algılayıp uygulayabildikleri gözlenmiĢtir. Ele alınan ispat

yöntemlerinden durum yolu ile ispat yönteminde diğer yöntemlere göre

daha çok zorlanmıĢ olsalar da, öğrenciler doğrudan ispat, karĢı örnek

vererek ispat, tüketerek ispat ve durum yolu ile ispat yöntemlerini

yapabilmiĢlerdir. Bu yöntemler ve bu yöntemleri içeren akıl yürütme

süreçlerinin müfredata dahil edilebilmesi amacıyla, bu yöntemlere yönelik

sorgulamaları içeren etkinlik ve uygulamaların geliĢtirilmesine yönelik

araĢtırmalar yapılabilir.

7. sınıf öğrencileri somut düĢünceden soyut düĢünceye geçiĢ aĢamasında,

sembolik gösterimleri 6. sınıf öğrencilerine göre daha yoğun

kullanmaktadırlar. Buna rağmen öğrencilerin önemli bir bölümünün cebirsel

ifadeleri kullanma ve anlamada zorlandıkları görülmüĢtür. Cebir alanına

yönelik yaĢadıkları bu zorluk onların ispata yönelik algılarını ve ispat

becerilerinin geliĢimini de etkilemiĢtir. Bu bağlamda bu araĢtırmada cebir ve

ispat iliĢkisine odaklanılmamakla birlikte aralarında birbirlerinin geliĢimini

etkileyen diyalektik bir iliĢkinin var olduğu gözlenmiĢtir. Bu iliĢki daha

derinlemesine araĢtırılabilir, 6, 7 ve 8. sınıf öğrencilerinin cebir konu alanına

iliĢkin yeterlikleri ile ispat becerileri arasındaki iliĢkinin karĢılaĢtırılması yeni

araĢtırmaların konusu olabilir.

Bu araĢtırma kapsamına çeliĢki yoluyla ispat yöntemi bir dizi nedenle dahil

edilememiĢtir. Ne var ki 7. sınıf öğrencilerinin bu ispat yöntemine yönelik

becerilerinin geliĢtirilebileceği düĢünülmektedir. BaĢka çalıĢmalarda bu

ispat yöntemini içeren uygulamalar, çalıĢma kapsamına alınabilir.

Bu araĢtırmanın ispat öğretimi uygulama sürecine yönelik gözlemler, ispat

öğretimi uygulamalarına yönelik bir dizi önerinin geliĢtirilmesine kaynaklık

152

edebilmektedir. AraĢtırmacının sınıfın matematik öğretmeni olmayıĢı ve

görece sınıf için yabancı birisi oluĢu, sınırlı süreç içerisinde gerçekleĢtirilen

uygulamada tüm sınıfın ispat uygulamasına aktif bir Ģekilde dahil

edilemeyiĢinde önemli bir etken olmuĢtur. Okuldaki matematik öğretmenleri

ile gerçekleĢtirilecek çalıĢmalar daha etkili sonuçlar ortaya koyabilecektir.

Ayrıca uygulama sürecinde yapılan ara değerlendirmeler ve bu

değerlendirmelerin öğrencilerle de paylaĢılması öğretim sürecini daha etkin

kılacaktır. Örneğin uygulanan sınavlar öğretici birer süreç olarak ele

alınabilir, uygulanan sınavın sonuçları öğrencilerle paylaĢılarak, ispata

yönelik eksiklikleri veya yanlıĢ öğrenmeleri bu sınavların sonuçlarının

öğrencilerle birlikte değerlendirilmesi ile giderilmeye çalıĢılabilir.

Bu araĢtırmada uygulanan öğretim sürecinin etkililiği araĢtırılmamıĢ, daha

temel bir mesele olan 7. sınıf öğrencilerinin ispat yapıp yapamayacağı

sorusuna yanıt aranmıĢtır. Ġspat öğretiminin nasıl gerçekleĢtirilebileceği

veya ispat öğretiminde etkin stratejilerin belirlenmesi baĢka bir çalıĢmanın

konusu olarak ele alınabilir.

153

KAYNAKÇA

Aksoy, N. (2003). Eylem AraĢtırması: Eğitimsel Uygulamaları ĠyileĢtirme ve DeğiĢtirmede Kullanılacak Bir Yöntem, Kuram ve Uygulamada Eğitim Yönetimi, 36, 474-489.

AktaĢ, Y. (2002). Okul öncesi dönemde matematik eğitimi. Adana: Nobel Tıp kitap evi.

Albayrak Bahtiyari, Ö. (2010). 8. Sınıf Matematik Öğretiminde Ġspat Ve Muhakeme Kavramlarının Ve Önemlerinin Farkındalığı, YayınlanmamıĢ Yüksek Lisans Tezi, Atatürk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Erzurum.

Almedia, D. (1996). Justifying and the Proving in the Mathematics Classroom, Philosophy in Mathematics Education, Exeter University, Philisoph of Mathematical Education Journal, 9.

Almedia, D. (2003). Engendering proof attitudes: Can the genesis of the mathematical knowledge teach us anything? International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 34 (4), 479-488.

Altıparmak, K. ve ÖziĢ, T. (20005). Matematiksel Ġspat ve Matematiksel Muhakemenin GeliĢimi Üzerine Bir Ġnceleme, Ege Eğitim Dergisi, 6 (1), 25-37.

Arslan, Ç. (2007). Ġlköğretim Öğrencilerinde Muhakeme Etme ve Ġspatlama DüĢüncesinin GeliĢimi, YayınlanmamıĢ Doktora Tezi, Uludağ Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü, Bursa.

Arslan, S. ve Yıldız, C. (2010). 11. Sınıf Öğrencilerinin Matematiksel DüĢünmenin AĢamalarındaki YaĢantılarından Yansımalar, Eğitim ve Bilim, 35 (156), 17-31.

Balacheff, N. (1988). "Aspects of Proof in Pupils‟ Practice of School Mathematics" in D. Pimm, Mathematics, Tecahers and Children. Hodder & Stoughton, London. 216-230.

Balcı, A. (2005). Sosyal Bilimlerde AraĢtırma. Ankara: PegemA Yayıncılık.

Ball, D. L., & Bass, H. (2003). Making mathematics reasonable in school. In J. Kilpatrick, W. G. Martin, and D. Schifter (Eds.), A Research Companion to Principles and Standards for School Mathematics, (27-44). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Ball, D.L., Hoyles, C., Jahnke, H.N. & Movshovitz-Hadar, N. (2002). The teaching of proof, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Ed. L.I.Tatsien), Vol. III, Higher Education Press, Beijing, 907–920.

Bell, A. W. (1976). A Study Of Pupıls' Proof-Explanatıons In Mathematıcal Sıtuatıons, Educational Studies in Mathematics, 7, 23-40.

Beverly, J.(1993). Teacher as Researcher. ERIC Digest. (ERIC Clearinhouse on Teacher Education, Washington DC, No: ED355205).

154

Birnbaum, A. (1968). Some latent models and their use in inferring an examinee‟s ability. In F.M. Lord & M. R.Novick (Eds.), Statistical Theories of Mental Test Scores. Reading, MA: Addison-Wesley.

Blum, W., Kirsch, A. (1991). Preformal Provıng: Examples And Reflectıons, Educational Studies in Mathematics, 22, 183-203.

Bogdan, R. C. & Biklen, S. K. (1992). Qualitative Reseach for Education. An Introduction to Theory and Methods (2th Ed). Allyn and Bacon.

Brousseau, G.(2002). Theory of Didactical Situations in Mathematics. Kluwer Academic Publishers: New York, Boston, Dordrecht, London, Moscow.

Cain, J. S. (2002). An Evaluation of the Connected Mathematics Project, The Journal of Educational Research, 95 (4), 224-233.

Calhoun, E. F. (2002). Actian Research for School Improvement. Educational Leadership, 59 (6), March, 18-24.

Carpenter, T.P, Franke, M., and Levi, L. (2003). Thinking mathematically: Integrating algebra and arithmetic in the elementary school. Portsmith, NH: Heinemann.

Chazan, D. (1993). High School Geometry Students Justification For Their Views Of Empirical Evidence And Mathematical Proof. Educational Studies in Mathematics, 24 (4), 359-387.

Cooper, J. L., Walkington, C. A., Williams, C. C., Akinsiku, O. A., Kalish, C. W., Ellis, A. B. & Knuth, E. J. (2011). Adolescent Reasoning in Mathematics: Exploring Middle School Students‟ Strategic Approaches in Empirical Justifications, In Proceedings of the 33rd Annual Conference of the Cognitive Science Society. Boston, MA., http://csjarchive.cogsci.rpi.edu/Proceedings/2011/cogsci11_proceedings.pdf adresinden 13 Eylül 2013 tarihinde indirilmiĢtir.

Creswell, J. W. (2005). Educational research: planning, condacting, and evaluating quantitative and qualitative research (2nd ed.). Upper Saddle River, New Jersey, Pearson Education, Inc.

Cyr, S. (2011). Development of beginning skills in proving and proof writing by elementary school students, Proceedings of the Seventh Congress of the European Society for Research in Mathematics Education, University of Rzeszów, Poland , http://iep.univalle.edu.co/archivos/CENDOPU/CERME%207%202011%20TABLA%20DE%20CONTENIDO.pdf adresinden 13 ġubat 2013 tarihinde indirilmiĢtir.

ÇalıĢkan, Ç. (2012), 8. Sınıf Öğrencilerinin Matematik BaĢarılarıyla Ġspat Yapabilme Seviyelerinin ĠliĢkilendirilmesi, YayınlanmamıĢ Yükseklisans Tezi, Uludağ Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsü, Bursa.

Çelik, B. (2010). Soyut Matematik, Bursa: Dora Yayınları.

Demir, F. (2011), Bir dinamik geometri yazılımının ilköğretim öğrencilerinin geometride ispat becerilerine etkisi, YayınlanmamıĢ Yüksek Lisans Tezi, Erzincan Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Erzincan.

http://csjarchive.cogsci.rpi.edu/Proceedings/2011/cogsci11_proceedings.pdf

http://iep.univalle.edu.co/archivos/CENDOPU/CERME%207%202011%20TABLA%20DE%20CONTENIDO.pdf

http://iep.univalle.edu.co/archivos/CENDOPU/CERME%207%202011%20TABLA%20DE%20CONTENIDO.pdf

155

DFE (Department for Education), (1995), Mathematics in the National Curriculum. London: HMSO.

DfEE (Department for Education and Employment), (2001). Key stage 3 national strategy: Framework for teaching mathematics: Year 7,8 and 9. London:DfEE.

Ekiz, D. (2003). Eğitimde AraĢtırma Yöntem ve Metodlarına GiriĢ. Ankara: Anı Yayıncılık.

Elliot, J. (1991). Action Research for Educational Change. Buckingham : Open University Press.

Erdoğan, A., Özdemir Erdoğan, E., Garan, O. & Güler, M. (2012). Matematiğin PopüleĢtirilmesine Yönelik Tasarlanan Bir Eğitim-Öğretim Ortamının Değerlendirilmesi. İlköğretim Online, 11(1), 51-74.

Erdoğan, A., Özdemir Erdoğan, E. (2013). Didaktik Durumlar Teorisi IĢığında Ġlköğretim Öğrencilerine Matematiksel Süreçlerin YaĢatılması, Ahi Evran Üniversitesi Kırşehir Eğitim Fakültesi Dergisi, 14 (1), 17-34.

Ferrance, E. (2000). Themes in Education. Action Research. LAB. A Program of the Education Alliance. Northeast and Islands Regional Educational Laboratory at Brown University.

Fischbein, E. (1982). Intuition and Proof. For The Learning of Mathematics, 3 (2), 9-18.

Fraenkel, J. R., & Wallen, N. E. (2006). How to design and evaluate research in education (6th Ed.). New York: Mac Graw Hill, Inc.

Galbraith, P. L. (1981). Aspects of Proving: A Clinical Investigation of Process. Educational studies of Mathematics, 12(1), 1-28.

Gardner, M. (2011). Hah, Buldum!. Ankara: TÜBĠTAK Popüler Bilim Kitapları.

Gossett, E. (2003). Discrete Mathematics With Proof. Pearson Education, Inc, USA.

Guion, L.A. (2002). Triangulation: Establishing the Validity of Qualitative Studies. FCS6014 Department of Family, Youth and Community Sciences, Florida Cooperative Extension Service, Institute of Food and Agricultural Sciences, University of Florida. (http://ils.indiana.edu/faculty/hrosenba/www/Research/methods/guion_triangulation.pdf)

Hale, M. (2003). Essentials of Mathematics : Introduction to Theory, Proof, and the Professional Culture, The Mathematical Association of America, USA.

Halıcı, E. (2005). Zeka Oyunları 2, 200 Zeka matematik Mantık Sorusu. Ankara: TÜBĠTAK Popüler Bilim Kitapları.

Hanna, G. (1983). Rigorous Proof in Mathematics Education, Curriculum Series 48, Toronto: OISE Press.

Hanna, G. (1995). Challanges to the Ġmportance of Proof, For he Learning of Mathematics, 15(3), 42-49.

http://ils.indiana.edu/faculty/hrosenba/www/Research/methods/guion_triangulation.pdf

http://ils.indiana.edu/faculty/hrosenba/www/Research/methods/guion_triangulation.pdf

156

Hanna, G.; Jahnke, H. N. (1996), Proof and proving. International Handbook of Mathematics Education (Ed. A. J. Bishop, K. Clements, C. Keitel, J. Kilpatric, & C. Laborde), Dordrecht, Netherlands: Kluwer Academic Publishers, s. 877 – 908.

Hanna, G. (2000). A Critical Exemination of Three Factors in the Decline of Proof, Interchange, 31 (1), 21-33.

Harel, G. and Sowder, L. (1998). Students' Proof Schemes: Results from Exploratory Studies. In A.H. Schoenfeld, J. Kaput, & E. Dubinsky (Eds.), Research in Collegiate Mathematics Education, (234 - 283). Providence, RI: American Mathematical Society.

Healy, L., & Hoyles, C. (2000). A study of proof conceptions in algebra. Journal for Research in Mathematics Education, 31 (4), 396-428.

Houdement, C. & Kuzniak, A., (2006). Paradigmes géométriques et enseignement de la géométrie. Annales de didactique et de sciences cognitives, 11, 175-193, IREM Strasbourg.

Irmak, H. (2008). Soyut Matematik, Ankara: Pegem Akademi.

Ġlhan, B. (2006). Türkiye'de Genel Ortaöğretim Kurumları 9. Sınıf Matematik Eğitim Programının Değerlendirilmesi, YayımlanmamıĢ Yüksek Lisans Tezi, Ġnönü Üniversitesi, Sosyal Bilimler Enstitüsü, Malatya.

Ġlköğretim ve Eğitim Kanununun Bazı Maddelerinin DeğiĢtirilmesine ĠliĢkin Kanun (2012). T. C. Resmi Gazete, 28261,11 Nisan 2012.

Johnson, A. P. (2002). A short guide to action research. Boston: Allyn&Bacon.

Jones, K. (1997). Student-Teachers‟ Conceptions of Mathematical Proof, Mathematics Education Review, 9, 16-24.

Karaçay, T. (2009). Soyut Matematiğe GiriĢ, Ankara: BaĢkent Üniversitesi Yayınları.

Kitcher, P. (1984), The nature of mathematical knowledge. New York: Oxford University Press.

Knuth, E. J. (2002). Teachers‟ conceptions of proof in the context of secondary school mathematics. Journal of Mathematics Teachers Education, 5, 61 – 88.

Knuth, E. J., Chopin, J. M. & Bieda, K. N. (2012), Middle School Students‟ Production of Mathematical Justification, Teaching and Learning Proof Across the Grades A K-16 Perspective (Ed. Stylianou, D. A.; Blanton, M. L.; Knuth, E. J.), London - New York: Routledge.

Knuth, E. & Sutherland, J. (2004). Student understanding of generality. Proceedings of the Twenty-sixth Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 561-567. http://labweb.education.wisc.edu/~knuth/mathproject/papers/Knuth_PMENA04.pdf adresinden 13 ġubat 2013 tarihinde indirilmiĢtir.

http://labweb.education.wisc.edu/~knuth/mathproject/papers/Knuth_PMENA04.pdf

http://labweb.education.wisc.edu/~knuth/mathproject/papers/Knuth_PMENA04.pdf

157

Kock, N. F., Jr. (1997). Myhts in Organizational Action Research: Reflections on a Study of Computer-Supperted Process Redesign Groups. Organizations & Society, 4 (9), 65-91.

Komatsu, K. (2010). Counter-examples for refinement of conjectures and proofs in primary schol mathematics. The Journal of Mathematical Behaviour, 29, 1-10.

KuĢ, E. (2009). Nicel- Nitel AraĢtırma Teknikleri (3. baskı). Ankara: Anı Yayıncılık.

Kuzu, A. (2009). Öğretmen YetiĢtirme ve Mesleki GeliĢimde Eylem AraĢtırması. The Journal of International Social Research, 2(6), 425-433.

Küchemann, D. & Hoyles, C. (2001-03). Longitudinal Proof Project (Technicals Reports For Year 8-10 Surveys). London: Institute of Education.

Küchemann, D. & Hoyles, C. (2012). From Emprical to Structoral Reasoning Ġn Mathematics, Teaching and Learning Proof Across the Grades A K-16 Perspective (Ed. Stylianou, D. A.; Blanton, M. L.; Knuth, E. J.), London - New York: Routledge.

Kümbetoğlu, B. (2005). Sosyolojide ve Antropolojide Niteliksel Yöntem ve AraĢtırma. Ġstanbul : Bağlam Yayıncılık.

Lakatos, I. (1978). Mathematics, science and epistemology. Cambridge, NJ: Cambridge University Press.

Lampert, M. (1990). When the Problem is not the Question and the Solution is not the Answer: Mathematical Knowing and Teaching. American Educational Research Journal, 27, 29–63.

Lee, J. K. (2002). Philosophical perspectives on proof in mathematics education, Philosophy of Mathematics Education, 16.

Lester, K. F. (1975). Developmental Aspects of Children's Ability to Understand Mathematical Proof. Journal for Research in Mathematics Education. 6, 14-25.

Maher, C. A. & Martino, A. M. (1996). The Development of the Idea of Mathematical Proof: A 5-Year Case Study, Journal for Research in Mathematics Education, 27 (2), 194-214.

Mason, J., Burton, L. & Stacey, K. (1982). Thinking Mathematically. London: Addison-Wesley.

M.E.B. (2011). Orta Öğretim Matematik (9.10.11 Ve 12. Sınıflar) Dersi Öğretim Programı, Ankara: Milli Eğitim Basımevi.

M.E.B. (2013a). Ortaokul Matematik Dersi (5, 6, 7 ve 8. Sınıflar) Programı, Ankara: Milli Eğitim Basımevi.

M.E.B. (2013b). Orta Öğretim Matematik (9.10.11 Ve 12. Sınıflar) Dersi Öğretim Programı, Ankara: Milli Eğitim Basımevi.

Martin, G. & Harel, G. (1989). Proof Frames of Preservice Elementary Teachers, Journal for Research in Mathematics Education, 20 (1), 41-51.

158

Mills, G. E. (2003). Action Research. A Guide for the Teacher Researcher. Upper Saddle River, NJ: Pearson Education, Inc.

Miyazaki, M. (2000). Levels of Proof in Lover Secondary School Mathematics. Educational Studies in Mathematics. 41, 47-68. Kulwer Academic Publishers.

NCTM (National Council of Teachers of Mathematics), (2000). Principles and standards for school mathematics, www.nctm.org

Nelsen, R. B. (1993). Proof Without Words, Exercise in Visual Thinking, Washington: The Mathematical Association of America.

O'Brien, R. (2003). An Overview of the Methodological Approach of Action Resaerch. (On-line). http://www.web.ca/~robrien/papers/xx%20ar%20final.htm

Özer, Ö. ve Arıkan, A. (2002). Lise matematik derslerinde öğrencilerin kanıt yapabilme düzeyleri. V. Fen Bilimleri ve Matematik Eğitimi Kongresi Bildiriler Kitabı. http://www.fedu.metu.edu.tr/ufbmek-5/b_kitabi/PDF/Matematik/Bildiri/t245d.pdf adresinden 13 Temmuz 2013 tarihinde edinilmiĢtir.

Polya, G. (1981), Mathematical discovery: on understanding, learning and teaching problem solving . New York: Wiley.

Reid, D. A. (2001). Proof, Proofs, Proving and Probing: Research Related to Proof, Paper based on a Short Oral Presentation at the Twentieth-Fifth Annual Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Utrecht, Netherlands. http://ace.acadiau.ca/~dreid/publications/proof/proof.htm adresinden indirilmiĢtir.

Reid, D. A. & Knipping, C. (2010), Proof in Mathematics Education Research, Learning and Teaching, Sense Publishers: Rotterdam.

Rosen, K. H. (1995), Discrete Mathematics and Its Applications, Boston, USA : McGraw Hill.

Rossi, R. J. (2006), Theorems, Corollaries, Lemmas and Methods of Proof, Wiley-Interscience, USA.

Sarı, M., Altun, A. ve AĢkar, P. (2007), Üniversite Öğrencilerinin Analiz Dersi Kapsamında Matematiksel Kanıtlama Süreçleri: Örnek Olay ÇalıĢması, Ankara Üniversitesi Eğitim Bilimleri Fakültesi Dergisi, 40 (2), 295-319.

Schoenfeld, A. (1994). Reflections on Doing and Teaching Mathematics. In A. Schoenfeld (Ed.), Mathematical Thinking and Problem Solving (53-70). Hillsdale, NJ: Erlbaum.

Stylianides, A. J. (2007a), Proof and Proving in School Mathematics, Journal for Research in Mathematics Education, 38 (3), 289-321.

Stylianides, A. J. (2007b). The notion of proof in the context of elementary school mathematics. Educational Studies in Mathematics, 65, 1–20.

Stylianides, G. J., & Stylianides, A. J. (2009). Facilitating the transition from empirical arguments to proof. Journal for Research in Mathematics Education, 40 (3).

http://www.web.ca/~robrien/papers/xx%20ar%20final.htm

http://www.fedu.metu.edu.tr/ufbmek-5/b_kitabi/PDF/Matematik/Bildiri/t245d.pdf

159

Stylianides, A. J. (2009). Breaking the Equation "Emprical Argument = Proof". Mathematics Teaching. 213, 9-14.

Stylianides, A. J. & Al-Murani, T. (2010). Can a proof and a counterexample coexist? Students' conceptions about the relationship between proof and refutation, Research in Mathematics Education, 12(1), 21-36.

Stylianides, A.J. (2011). Towards a comprehensive knowledge package for teaching proof: A focus on the misconception that empirical arguments are proofs. Pythagoras, 32(1), 1-10.

Tall, D. (1999), The Cognitive Development of Proof:Is Mathematical Proof for Al lor for Some? , Development in School Mathematics Education Around the World, 4, 117-136.

Tall, D. (2008). The transition to formal thinking in mathematics, Mathematics Education Research Journal, 20 (2), 5-24.

Tall, D. & Mejia-Ramos, J. P. (2006). The Long-Term Cognitive Development of Different Types of Reasoning and Proof, presented at the Conference on Explanation and Proof in Mathematics: Philosophical and Educational Perspectives, Essen, Germany.

Tall, D., Yevdokimov, O., Koichu, B., Whiteley, W., Kondratieva, M. & Cheng, Y. (2012). Cognitive development of proof. In: Proof and proving in mathematics education. New ICMI Study (15). New York, NY. United States : Springer Science + Business Media, 13-49.

Topkaya, E.Z. (2006). Yıldırım, Ali ve ġimĢek, Hasan. Sosyal Bilimlerde Nitel AraĢtırma Yöntemleri GüncelleĢtirilmiĢ GeliĢtirilmiĢ 5. baskı, Ankara: Seçkin Yayıncılık, 2005, 366s. ISBN 97502000 [Sosyal bilimlerde nitel araĢtırma yöntemleri kitabının incelemesi]. Eğitimde Kuram ve Uygulama, 2 (2), 113-118.

Tudge, J. (1990). Vygotsky, the zone of proximal development, and peer collaboration: Implications for classroom practice. In L.C. Moll (Ed.), Vygotsky and education: Instructional ımplications and applications of sociohistorical psychology (155-174). Cambridge: Cambridge University Press.

TÜBĠTAK Bilim Teknik Dergisi, http://www.biltek.tubitak.gov.tr/gelisim/matematik/aletkutusu.htm#ergi

Uğurel, I.; Moralı, S. (2010). Bir Ortaöğretim Matematik Dersindeki Ġspat Yapma Etkinliğine Yönelik Sınıf içi TartıĢma Sürecine Öğrenci Söylemleri Çerçevesinde Yakından BakıĢ, Buca Eğitim Fakültesi Dergisi, 28, 135 – 154.

Umay, A. (2007). Eski ArkadaĢımız Okul Matematiğinin Yeni Yüzü, Ankara.

Van Hiele, P. M. (1986). Structure and insight. A theory of mathematics education. Orlando, Florida: Academic Press.

Vygotsky, L S. (1978). Educational implications. In M. Cole, V. John-Steiner, S. Scribner & E. Souberman (Eds.), Mind in society: The development of higher psychological processes (79-153). Cambridge: Harvard University Press.

http://www.biltek.tubitak.gov.tr/gelisim/matematik/aletkutusu.htm#ergi

160

Waring, S. (2000). Can you prove it? Developing concepts of proof in primary and secondary schools. Leicester, UK: The Mathematical Association.

Yıldırım, A. ve ġimĢek, H. (2005). Sosyal Bilimlerde Nitel AraĢtırma Yöntemleri (5. Baskı), Ankara: Seçkin Yayınevi.

Yıldırım, C. (1996). Matematiksel DüĢünme (2. Baskı). Ġstanbul: Remzi Kitabevi.

Zack, V. (1999). Everyday and mathematical language in children's argumentation about proof. Educational Review, 51(2), 129-146.

Zaimoğlu, ġ. (2012), 8. sınıf öğrencilerinin geometrik ispat süreci ve eğilimleri, YayınlanmamıĢ Yüksek Lisans Tezi, Kastamonu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Kastamonu.

161

EKLER DĠZĠNĠ

EK 1 : Ġspat Öğretim Dersinde Kullanılan Akıl ve Ġspat Oyunları

EK 2: Hazır BulunuĢluk Testi

EK 3: Ġspat Testi 1

Ek 4: Ġspat Testi 2


EK 6: GörüĢme Formu

EK 7: Ankara Ġl Milli Eğitim Müdürlüğü‟nden Alınan AraĢtırma Ġzni

162

EK 1: Ġspat Öğretim Dersinde Kullanılan Akıl ve Ġspat Oyunları

Tatile Giderken

Ahmet tatile giderken yolda, küçük bir kasabada otomobili arızalanır. Otomobilinin

tamir edilmesini beklerken Ahmet saç traĢı olmaya karar verir.

Kasabada yalnız iki berber dükkânı olduğunu öğrenir; Berber Nuri ve Berber

Nihat‟ın dükkânları.

Ahmet en yakınında bulunan Berber Nuri‟nin dükkânından içeri baktığında

gördüklerine inanamaz. “ Ne kadar kirli bir dükkân. Aynanın temizlenmesi gerek.

Yerler saç kılları ile dolu. Berberin ise hem sakal traĢına ihtiyacı var hem de saçları

çok kötü kesilmiĢ.” diye düĢünür. Hızla oradan uzaklaĢır ve Berber Nihat‟ın

dükkânına gider.

Nihat‟ın dükkânının penceresinden içeri baktığında ise, “ Burası ne kadar da farklı.

Ayna, yerler tertemiz. Berberin saçları ise ne kadar düzgün kesilmiĢ.” der. Fakat

Ahmet içeri girmez ve “Bu kasabanın en iyi berberi Nuri‟dir” diyerek Berber Nuri‟nin

dükkânına gider.

Sizce Ahmet doğru karar mı verdi? Neden?

Dön DolaĢ Aynı Yerdeyim Aradığım arsayı bulmak için elimdeki yol tarifi ile yola koyuldum.

Tarifte bulunduğum noktadan 100 metre güneye gitmem, daha sonra 200 metre

doğu yönünde ilerlemem, son olarak da 100 metre kuzeye çıkmam söyleniyordu.

Denileni aynen uyguladığımda baĢladığım noktada olduğumu gördüm.

Sizce bu mümkün mü? Mümkünse nasıl mümkün olur?

Çember ve Nokta Bir çember çizin ve bu çemberin üzerinde farklı sayıda nokta alın. Çember

üzerindeki her iki noktayı bir doğru ile birleĢtirin. Bu doğruların çemberi en fazla

kaç bağımsız bölgeye ayırdığını sayın ve bu sayıyı not edin. Çember üzerindeki

163

nokta sayısı ile çizilen doğruların ardından oluĢan bölge sayısı arasında sizce

nasıl bir iliĢki vardır?

Çember üzerinde 15 nokta alındığında, bu noktaların birleĢtirilmesinin ardından

oluĢan bağımsız bölge sayısını bulmanın kolay bir yolu var mı sizce? Nasıl?

GüreĢçiler

GüreĢ seçme kampında 200 güreĢçi, her birinde 20 sandalye bulunan 10 sıra

halinde oturmaktadırlar.

Önce her sıranın en ağır güreĢçisi seçilip, bu seçilen 10 güreĢçi arasından en hafif

olanı belirleniyor. Bu güreĢçinin adı Ali olsun.

Sonra da her kolonun en hafif güreĢçisi seçilip, bu seçilen 20 hafif güreĢçinin en

ağır olanı belirleniyor. Bu güreĢçinin adı da Mehmet olsun.

Belirlenen iki güreĢçi kıyaslandığımda Ali‟nin, Mehmet‟ten daha ağır olduğunu

iddia ediyorum. Sizce bu iddiam doğru mu? Neden?

5 Kart Oyunu

1 – 2 , 3 – 4 , 5 – 6 , 7 – 8 , 9 – 10 ardıĢık sayıları sırası ile 5 kartın ön ve arka

yüzlerine yazılıyor.

Daha sonra bu kartlar havaya atılarak kartların boĢ bir zemine düĢmesi sağlanıyor.

Yerdeki kartların görünen yüzlerinden ikisi çift sayı ise, tüm görünen yüzlerin

toplamının 27 olduğunu iddia ediyorum.

Sizce bu iddiam doğru mu? Neden?

164

EK 2: Hazır BulunuĢluk Testi

AĢağıdaki matematiksel ifadeler sizce her zaman doğru mudur? Cevabınızı açıklayın. 1. Bir tek ve bir çift sayının toplamı tek sayıdır. 2. ArdıĢık iki sayının toplamı çift sayıdır. 3. 3‟ün katı olan iki sayının farkı da 3‟e bölünür. 4. Bir öğretmen matematik sınavında öğrencilerine Ģu soruyu sorar; “Ardışık 3 sayının toplamı, ortadaki sayının 3 katıdır.” Sizce bu ifade doğru mudur? Ġfadenin doğruluğunu / yanlıĢlığını nasıl ispatlarsınız? Bu soruya karĢılık dört öğrenci aĢağıdaki cevapları vermiĢtir.

Ayşe’nin cevabı Bence doğru; ben şu örneği denedim, 3, 4 ve 5 sayılarını aldım.

3 + 4 + 5 = 12 12, ortadaki sayının, yani 4’ün 3 katı olduğu için ifade doğrudur.

Mert’in cevabı Bence doğru. Üç ardışık sayı alalım, bu sayılar, a, (a + 1) ve (a + 2) olur. Sonra toplayalım a + (a+1) + (a + 2) = 3a + 3 olur 3a + 3 = 3 (a + 1) Sonuçta toplayınca ortadaki sayının 3 katını elde ettim, bu nedenle doğru.

Zeki’nin cevabı Bence yanlış, 15, 16 ve 17 sayılarını alalım. 15 + 16 + 17 = 47 47, 16’nın 3 katı değil. Bu yüzden ifade yanlıştır.

Belma’nın cevabı Bence doğru; önce 2, 3 ve 4 sayılarını alalım. 2 + 3 + 4 = 9 9 = 3. 3 Yani ortadaki sayının 3 katı. Sonra 21, 22 ve 23 sayılarını alalım. 21 + 22 + 23 = 66 66 = 3. 22 Yine ortadaki sayının 3 katına ulaştım. İki ayrı deneme yaptım ikisi de doğru çıktı, bu nedenle ifade doğrudur.

Hangi öğrencinin cevabı sizce bu soruya verilecek en uygun ispattır? Neden?

165


1. Bir öğretmen matematik sınavında öğrencilerine Ģu soruyu sorar; “Ardışık 3 sayının toplamı, ortadaki sayının 3 katıdır.” Sizce bu ifade doğru mudur? Ġfadenin doğruluğunu / yanlıĢlığını nasıl ispatlarsınız? Bu soruya karĢılık üç öğrenci aĢağıdaki cevapları vermiĢtir.


3 + 4 + 5 = 12




Sizce verilen cevaplardan hangisi bu ifadenin ispatıdır? Neden?

166

2. “Herhangi bir tek sayıyı 3 ile çarpıp, çarpıma 6 eklerseniz 6’nın katı olan bir sayı

elde edersiniz .” ifadesi her zaman doğru mudur? Niçin? Ceyhun ve Canan öğretmenlerinin sınavda sorduğu bu soruya aĢağıdaki yanıtları vermiĢlerdir.

Ceyhun’un yanıtı; Bu ifade yanlıştır, çünkü tek sayı olarak 17‟yi alırsam ve verilen iĢlemi yaptığımda; (3 . 17) + 6 = 57 çıkar 57 sayısı 6‟nın katı olan bir sayı değildir. Bu nedenle de verilen ifade yanlıĢtır

Canan’ın yanıtı; Bu ifade doğudur; tek sayı olarak (2n + 1) sayısını alırsan verilen iĢlemleri yaptığımda; 3 . (2n + 1) + 6 = 6n + 6 + 6 = 6n + 12 = 6 (n + 2) Görüldüğü üzere iĢlemin sonunda elde ettiğim 6 (n + 2) sayısı 6‟nın katıdır. Bu nedenle de ifade doğrudur.

Öğrencilerin verdikleri bu cevaplara dair ne söyleyebilirsiniz, siz öğretmen olsa idiniz bu cevapları nasıl değerlendirirdiniz? (Doğru mu yanlıĢ mı? Neden?) Ceyhun‟un cevabı: Canan‟ın cevabı:

167

3. Aynı öğretmen aĢağıdaki soruyu da sınavda öğrencilerine sorar; “ İki tek sayının toplamı her zaman çift sayıdır.” Sizce bu ifade doğru mudur? Ġfadenin doğruluğunu / yanlıĢlığını nasıl ispatlarsınız? Bu soruya karĢılık üç öğrenci aĢağıdaki yanıtları vermiĢtir.

Buse’nin cevabı Doğrudur; çünkü tek sayılar ikiĢerli gruplandırdığımızda her zaman 1 kalanını veren sayılardır. Örneğin 7 sayısını ikiĢerli gruplandırırsam; I Ģeklinde bir tanesi gruplandırmamın dıĢında kalır. Eğer iki tek sayıyı toplarsam, bu sayıların sonunda açıkta kalan 1‟ler de bir ikili grup oluĢturur ve bu iki sayıyı topladığımda tüm sayılar ikili gruplandırıldığı için açıkta kalan 1 olmaz. Bu nedenle de elde etiğim sayı her zaman çift sayı olur, çünkü ikiĢerli gruplandırılabilen bir sayı elde etmiĢ olurum.

Mehmet’nin cevabı Bence doğru; ben Ģu örnekleri denedim, 11 ve 13 sayılarını aldım, daha sonra da 135 ve 379 sayılarını topladım. 11+ 13 = 24 135 + 379 = 514 24 ve 514 sayıları çift sayılar oldukları için soruda verilen ifade doğrudur. Ġki sayı örneği denedim, ikisinde de çift sayıya ulaĢtım.

Cem’in cevabı Bence doğru; tüm tek sayılar, 2n + 1 Ģeklinde gösterilebilen sayılardır (n tam sayı olsun). Ġki ayrı tek sayı alırsam birisi 2n + 1, diğeri ise 2m + 1 olur. Bu iki sayıyı topladığımda (2n + 1) + (2m + 1) = (2n + 2m) + (1 + 1) = 2n + 2m + 2 = 2 (n + m + 1) ġeklinde bir çift sayı elde ederim. Bu nedenle iki tek sayının toplamı her zaman çift sayıdır.

Bu verilen cevaplardan hangisi / hangileri verilen ifadeyi sizce ispatlar? Nedeninizi açıklayın.

II II II

168

4. Üç arkadaĢ sınavdan çıktıktan sonra sınavdaki bir soru üzerine konuĢurlar. Üçü de

soruya farklı cevap vermiĢtir. Soru ve öğrencilerin verdikleri cevaplar Ģu Ģekildedir: “Her tek sayı ardışık iki sayının toplamı şeklinde yazılabilir.” Sizce bu ifade doğru mudur? Ġfadenin doğruluğunu / yanlıĢlığını ispatlayınız?

Sedat’ın cevabı Soruda tek sayı verilmiĢ, bu nedenle bu sayıyı 2n + 1 olarak alabilirim. 2n + 1 sayısı 2 tane n ve 1 sayısının toplamıdır. Yani; 2n + 1 = n + n + 1 olarak yazılabilir. Bu durumda 2n + 1 sayısı n ile (n + 1) in toplamı olarak da yazılabilir. 2n + 1 = n + n + 1 = n + (n+1) n ve (n+1) ise ardıĢık iki sayıdır çünkü (n+1) sayısı n sayısından 1 fazladır. Bu durumda 2n + 1 „i yani tek bir sayıyı iki ardıĢık sayının toplamı Ģeklinde yazmıĢ oldum. Bu nedenle ifade doğrudur.

Deniz’in cevabı ArdıĢık iki sayı alalım, bu sayılar x ve (x+1) olur. Bu iki sayıyı topladığımda; x + (x+1) = 2x + 1 olur. 2x+1 ise tek sayıların sembolik gösterimi olduğu için verilen ifade doğrudur.

Berk’in cevabı Ġspatlamak için birkaç sayı denerim. 1 = 0 + 1 (0 ve 1 ardıĢık sayılardır) 3 = 1+ 2 (1 ve 2 ardıĢık sayılardır) 17 = 8 + 9 (8 ve 9 ardıĢık sayılardır) 3 tek sayı aldım, bu üç tek sayıyı da ardıĢık iki sayının toplamı Ģeklinde yazabildim. Bu nedenle verilen ifade doğrudur.

Hangi öğrencinin verdiği cevap sizce bir ispattır? Siz öğretmen olsa idiniz bu cevapları nasıl değerlendirirdiniz? Niçin? Sedat'ın cevabı Deniz'in cevabı Berk'in cevabı

169

Ek 4: Ġspat Testi 2

Ad Soyad: Grup 1: AĢağıda verilen ifadelerden birisini seçiniz.

1. Çift bir sayı tutun, daha sonra bu sayıya yarısını ekleyin. Bulduğunuz sayı her zaman

3’e bölünen bir sayıdır.

2. ab, ba, aa ve bb iki basamaklı sayılar olsun. Bu durumda ab + ba = aa + bb dir.

a. Seçtiğiniz ifadeyi doğrudan ispat yöntemini kullanarak ispatlayınız.

b. Ġspatı yaparken doğrudan ispat yöntemini kullanmakta zorlanıyorsanız, seçtiğiniz ifadeyi kendinizce nasıl ispatlarsınız?

170


1. Tüm n tamsayıları için, n 3 ≥ n 2 dir.

2. Ardışık iki sayının toplamı 4’e bölündüğünde her zaman 3 kalanını verir.

a. Seçtiğiniz ifadeyi karĢı örnek vererek ispatlayınız.

b. Ġspatı yaparken karĢı örnek vererek ispat yöntemini kullanmakta zorlanıyorsanız, seçtiğiniz ifadeyi kendinizce nasıl ispatlarsınız?

171


1. A = {1,2,3,4,5} ve n sayısı A kümesinin bir elemanı ise, n2 – n + 11 sayısı her zaman

asal sayıdır.

2. Bir sayının karesinin birler basamağındaki rakam, her zaman {0,1,4,5,6,9} kümesinin bir elemanıdır.

a. Seçtiğiniz ifadeyi tüketerek ispat yöntemini kullanarak ispatlayınız.

b. Ġspatı yaparken tüketerek ispat yöntemini kullanmakta zorlanıyorsanız, seçtiğiniz ifadeyi kendinizce nasıl ispatlarsınız?

172


1. Tüm n tamsayıları için, 6n+2 sayısının 4'e bölümünden kalan her zaman ya 0'dır ya da

2’dir.

2. a ve b tam sayı olsun. Bu durumda a . b ≤ | a | . | b | dir.

a. Seçtiğiniz ifadeyi durum yolu ile ispat yöntemini kullanarak ispatlayınız.

b. Ġspatı yaparken durum yolu ile ispat yöntemini kullanmakta zorlanıyorsanız,

seçtiğiniz ifadeyi kendinizce nasıl ispatlarsınız?

173


Ad Soyad: AĢağıda sekiz adet matematiksel ifade verilmiĢtir. Her ifadenin ispatı için önerilen ispat yöntemi parantez içinde belirtilmiĢtir. Verilen ifadelerden sadece dört tanesini seçerek ispatlayınız.

1. Herhangi bir tek sayıyı 3 ile çarpıp bu çarpıma 3 eklerseniz 6‟nın katı olan bir sayı elde edersiniz. (Doğrudan ispat yöntemi)

2. Bir tek ve bir çift sayıyı topladığınızda her zaman tek sayı elde edersiniz.

(Doğrudan ispat yöntemi) 3. n, {1,2,3,4} kümesinin bir elemanıdır, bu durumda her zaman (n + 2)2 32 dir.

(Tüketerek ispat yöntemi) 4. n, {4,6,8,10,12} kümesinin bir elemanı olsun, bu koĢulu sağlayan tüm n sayıları iki

asal sayının toplamı Ģeklinde yazılabilir. (Tüketerek ispat yöntemi) 5. Ġki sayının karelerinin toplamı her zaman çift sayıdır. (KarĢı örnek vererek ispat

yöntemi) 6. a sayısı (b + c)‟yi tam bölen bir sayı olsun. Bu durumda a sayısı hem b, hem de c

sayısını tam olarak bölen bir sayıdır. (KarĢı örnek vererek ispat yöntemi) 7. Bir tam sayı tutun ve daha sonra bu sayının karesini alın, elde ettiğiniz sayının 4‟e

bölümünden kalan her zaman 0 veya 1‟dir. (Durum yolu ile ispat yöntemi) 8. x tam sayı olsun. Bu durumda x - |x| 0 dır. (Durum yolu ile ispat yöntemi)

Ġspatlarınız:

174

EK 6: GörüĢme Formu

GörüĢmede ilk olarak soru formlarına dair sorular sorulur, en sonunda genel sorulara geçilir. Test 1 1. soru (AyĢe'yi seçenlere)

AyĢe'nin yanıtını niçin seçtin?

Peki sence bu yanıtın Belma'nınkinden farkı ne?

AyĢe bu kullandığı tek örnek ile verilen ifadeyi tüm sayı kümesi iç,n doğrulamıĢ mıdır sence?

AyĢe'nin verdiği tek bir örneği ispat olarak kabul etmiĢsin, peki karĢı örnekle çürütülebilecek bir soru versem sana ( o sırada böyle bir soru öğrenciye verilir - ArdıĢık iki sayının toplamı 4‟e bölündüğünde her zaman 3 kalanını verir.), bu soruda önce sayı olarak 3 ve 4'ü alsan sonuç ne olur? (iĢlemi yaptıktan sonra) peki Ģimdi de 4 ve 5'i alsan sonuç ne olur? Bu durumda karĢı örnekle ispatlanabilecek bir soruda tek bir örnek ile, yani ilk denediğin örnek ile yetinsek ne olurdu?

(Belma'yı seçenler)

Niçin Belma'nın yanıtını seçtin?

Bu yanıtın AyĢe'nin yanıtından farkı ne?

Belma bu cevabı ile verilen ifadeyi tüm sayı kümesi iç,n doğrulamıĢ mıdır sence?

2. soru (1. soruda Mert'i seçip, 2. soruda da Canan'ı seçenler)

Bu soruda niçin Canan'ın yanıtını ispat olarak kabul ettin? Sence her cebirsel ifade ispat mıdır?

(Ceyhun yanlıĢ diyen ama Canan'ın cevabına dair yorum yapmayanlar)

Bu soruda Canan'ın yanıtına dair bir açıklamada bulunmamıĢsın. Soruya tekrar bakmanı istesem sence Canan'ın yanıtı da ispat mıdır?

(Ceyhun ve Canan'ın yanıtlarının ikisini de ispat olarak değerlendirenler)

Bu soruda her iki yanıtı da ispat olarak değerlendirmiĢsin. Ceyhun ifadenin yanlıĢ olduğunu, Canan ise doğru olduğunu söylemiĢ. peki bu durumda matematiksel bir ifade aynı zamanda hem doğru hem de yanlıĢ olabilir mi?

175

3. soru (Buse'nin yanıtını da ispat olarak belirtenler)

Buse'nin yanıtını da ispat olarak belirtmiĢsin. Buse sence bu yanıtında nasıl bir genelleme yapmıĢ?

4. soru öğrencinin önüne ayrı bir kağıtta yazılı olarak Deniz'in cevabı konulur ve "sana bu ispatı versem, sence kağıtta yazılı olan bu ispat nasıl bir matematiksel ifadenin ispatıdır?" Test 2 Grup 1 1. gruptaki sorularda doğrudan ispat yöntemini kullanmanız istenmiĢti. Doğrudan ispat yöntemi deyince ne geliyor aklına? (örnek vererek doğrulayanlar)

Bu soruda örnek vererek verilen ifadeyi doğrulamıĢsın. Sence örnekle doğrulamak ispat mı?

Peki ispat yaparken tüm sayı kümesi için bir genellemeye ulaĢıyor idik, sen verdiğin bu örnek / örnekler ile bu ifadenin tüm sayı kümesi için doğru olduğunu söyleyebilir misin?

(yanıtı hayır ise) peki genellemeye ulaĢmak için yani ispat yapmak için ne yapmak / neleri kullanmak gerekir bu durumda?

(doğrudan ispatı b Ģıkkına yapanlar)

bu yaptığın ispat yönteminin bir adı var mı?

(doğrudan ispat der ise) peki bu ispatı niçin b Ģıkkına yaptın, yaptığın ispattan emin değil misin?

Grup 2 Bu soruda karĢı örnek vererek ispat yapmanız istenmiĢ. KarĢı örnek vererek ispat yapmak ne demek sence? Doğru bir ifade sence bu yöntemle ispatlanır mı? (karĢı örnek vererek ispat dediğimizde bu ifadenin yanlıĢ bir ifade olduğu anlaĢılıyor mu?) (tek bir örnekle ifadeyi doğrulayanlar)

birkaç örnek daha deneyebilir misin bu soruda?

(ifadeyi yanlıĢlayan bir örnek bulduğunda) peki bu son yaptığını da dikkate alırsan bu soruyu doğru mu yapmıĢsın sence?

176

Grup 3 Bu soruda tüketerek ispat yöntemini kullanman istenmiĢ, sence tüketerek ispat yöntemi ne tür sorularda / ifadelerde kullanılır? (sadece küme içerisindeki birkaç sayıyı deneyenler)

ispat yapmak için verilen kümeden bir kaç sayıyı denemek sence yeterli mi?

(yeterli derse) peki ya diğer sayılar ifadeyi doğrulamasaydı?

emin olmak için kümedeki tüm elemanları denemeyi düĢünmez misin? Grup 4 Bu soruda durum yolu ile ispat yöntemini kullanman istenmiĢ, durum yolu ile ispat denince aklına ne geliyor? (soruyu yapamayanlara)

Bu yöntem diğerlerine göre daha mı zor geldi sana?

Soruyu verilen ispat yöntemi yüzünden mi yoksa matematiksel ifadeler sana zor geldiği için mi yapamadın?

(soruyu bir ya da iki örnek vererek doğrulayanlar)

bu soruda örnek vererek doğrulamıĢsın. Sence bu sorunun 1. gruptaki sorulardan bir farkı var mı? Oradaki soruları da örnek vererek doğrulamıĢsın.

(fark yok diyorsa) peki sence niye bu soruyu doğrudan ispat yöntemi ile değil de durum yolu ile ispat yöntemi ile ispatlaman istenmiĢ olabilir?

(soruda incelenecek durumlara uygun örneklerle deneme yapanlar)

niçin bu örnekleri, örneğin bir tek ve bir çift sayıyı denedin?

(tek ve çift sayılar olarak iki durumdan bahsederse) peki örnek vererek değil de cebirsel ifadeleri kullanmanı istesem bu durumları nasıl ifade edersin ve ispatı nasıl yaparsın?

Test 3

Bu soru formunda en kolay ispat yöntemi sence hangisi idi?

(bahsettiği yöntemden sadece 1ini seçmiĢ ise) niçin bu yöntemle ispatlanan diğer ifadeyi seçmedin?

Peki sence en zor ispat yöntemi hangisi?

(bu yöntemi seçmiĢ ise) zor bulduğun bu yöntemi niçin seçtin?

bu verilen dört ispat yöntemini kolaydan zora sıralamanı istesem nasıl sıralarsın?

peki soruları seçerken neye dikkat ettin? verilen yöntemlerin isimleri mi yoksa verili soruların içeriği mi seçiminde etkili oldu?

daha sonra bu soru formu ile ilgili öğrencilerin ispat uygulamalarına geçilecek.

177

GörüĢmenin en sonunda da genel sorulara geçilir Genel Sorular

Ġspat yapmak sana zor geldi mi?

Nerde zorlandın?

Sembolik dili kullanmak zor mu?

Peki sence niçin ispat yapıyoruz?

Ġspat matematikte gerekli mi sence?

Ġspat yapmaktan zevk aldın mı?

Son olarak ispatlanması istenen her matematiksel ifade doğru mudur?

178

EK 7: Ankara Ġl Milli Eğitim Müdürlüğü’nden Alınan AraĢtırma Ġzni

179

ÖZGEÇMĠġ

Adı Soyadı Ebru Aylar

Doğum Yeri Çorum

Doğum Yılı 1981

Eğitim ve Akademik Durumu

Lise Çorum Anadolu Lisesi 1992-1999

Lisans ODTÜ - Matematik 1999-2004

Yüksek Lisans

Ankara Üniversitesi - E.B.F. - Eğitim Ekonomisi ve Planlaması

2004-2007

Yabancı Dil Ġngilizce

İş Deneyimi Ankara üniversitesi Eğitim Bilimleri Fakültesi, AraĢtırma Görevlisi

2006 - ...

e-mail [email protected]

7. sınıf öğrencilerinin İspata Yönelik Algı ve İspat Yapabilme Becerilerinin İrdelenmesi

Documents