La lgica como sistema formal axiomtico
LA LGICA COMO SISTEMA FORMAL AXIOMTICO: LOS LMITES DE LOS
SISTEMAS FORMALES AXIOMTICOS
El mtodo axiomtico consiste en aceptar sin prueba ciertas
proposiciones como axiomas o postulados, y en derivar luego de esos
axiomas todas las dems proposiciones del sistema, en calidad ya de
teoremas. Los axiomas constituyen los "cimientos" del sistema; los
teoremas son las "superestructuras", y se obtienen a partir de los
axiomas sirvindose, exclusivamente, de los principios de la lgica.
La principal caracterstica de un sistema axiomtico es que si puede
demostrarse de alguna manera la verdad de los axiomas, quedan
automticamente garantizadas tanto la verdad como la consistencia
mutua de todos los teoremas. Durante los dos ltimos siglos el mtodo
axiomtico ha ido adquiriendo fuerza y vigor crecientes. Nuevas y
viejas ramas de las matemticas fueron provistas de los que parecan
ser unos adecuados conjuntos de axiomas. Naci as un estado de
opinin en el que se admita tcitamente que todos los sectores del
pensamiento matemtico podan ser dotados de unos conjuntos de
axiomas susceptibles de desarrollar sistemticamente la infinita
totalidad de proposiciones verdaderas suscitadas en el campo sujeto
a investigacin.
Segn Poincar,
Los axiomas geomtricos no son, pues, ni juicios sintticos a
priori ni hechos experimentales. Son convenciones: nuestra eleccin
entre todas las convenciones posibles est guiada por los hechos
experimentales, pero permanece libre, y slo est guiada por la
necesidad de evitar toda contradiccin [...]. En otros trminos, los
axiomas de la geometra no son sino definiciones disfrazadas (La
ciencia y la hiptesis, Madrid, Espasa-Calpe, 3 ed., 1963, p.
57)
Lo caracterstico del sistema axiomtico como realizacin de la
idea de clculo consiste en disponer de un conjunto de enunciados o
frmulas que se admiten sin demostracin y a partir de los cuales se
obtienen todas as dems afirmaciones de la teora, las cuales se
llaman teoremas. Y las frmulas aceptadas sin discusin son axiomas o
postulados. El conjunto de axiomas, ms la definicin de enunciado o
frmula del sistema (definicin que precede al enunciado de los
axiomas) y el conjunto de las reglas para la obtencin de teoremas a
partir de los axiomas (reglas de transformacin) constituyen la base
primitiva del sistema.
El axiomatismo moderno no slo no acepta la evidencia de los
axiomas de las teoras, sino tampoco la intuitividad de los trminos
bsicos de las mismas: 'punto', 'recta', 'plano', etc., no tienen
significado por s mismos. Son conceptos indefinidos, que slo cuando
se combinan por medio de unos u otros axiomas comienzan a quedar
implcitamente definidos. Establecidas unas reglas de inferencia
lgica, a partir de los axiomas puede deducirse una serie de
teoremas, pero durante esta fase deductiva nada tiene significado:
el clculo es pura sintaxis. nicamente cuando, una vez derivadas las
expresiones bien formadas que pueden inferirse de los axiomas y de
los trminos primitivos (no definidos), comenzamos a buscar
interpretaciones de dicho clculo formal, los trminos comienzan a
adquirir significado y los axiomas pasan a ser verdaderos o falsos.
Cada sistema axiomtico puede poseer varios modelos o
interpretaciones diferentes.
Sin embargo, el conocido como teorema de Gdel puso frente a los
matemticos la asombrosa conclusin de que el mtodo axiomtico posee
ciertas intrnsecas que excluyen la posibilidad de que ni siquiera
la aritmtica ordinaria de los nmeros enteros pueda llegar a ser
plenamente axiomatizada. Demostr que es imposible establecer la
consistencia lgica interna de una amplia clase de sistemas
deductivos, a menos que se adopten principios tan complejos de
razonamiento que su consistencia interna quede tan sujeta a la duda
como la de los propios sistemas. A la luz de estas conclusiones,
resulta inalcanzable una compleja sistematizacin final de muchas y
muy importantes zonas de las matemticas, y no puede darse ninguna
garanta absolutamente impecable de que muchas de las ms
significativas ramas del pensamiento matemtico se hallen
enteramente libres de toda contradiccin interna.
1. El problema de la consistencia
El mtodo axiomtico tiene su antepasado ms antiguo, y tambin ms
ilustre, en Euclides. Como todos sabemos, Euclides formul las bases
para la axiomatizacin de la geometra a partir de cinco axiomas
bsicos. Unos de los axiomas que Euclides utiliz para axiomatizar la
geometra se refiere a las paralelas. El axioma que adopt es
lgicamente equivalente a la hiptesis de que por un punto exterior a
una lnea dada solamente puede trazarse una paralela a esa lnea.
Este axioma es el nico problemtico de todo el sistema euclidiano,
pues es el nico axioma que no es "evidente por s mismo". Se trat, a
lo largo de la historia de las matemticas, por tanto, de deducirlo
de otros axiomas euclidianos que se consideraban claramente
autoevidentes. Puede hallarse una demostracin del axioma de las
paralelas? Generaciones enteras de matemticos trabajaron sin
resultado en esta cuestin. Pero el reiterado fracaso en el intento
de construccin de un prueba no significa que sta no puede ser
encontrada. Fue en el siglo XIX cuando se demostr la imposibilidad
de deducir el axioma de las paralelas a partir de otros axiomas. La
importancia de este resultado radicaba en que llam la atencin hacia
el hecho de que puede demostrarse la imposibilidad de demostrar
ciertas proposiciones dentro de un determinado sistema. En segundo
lugar, la resolucin de la cuestin planteada por el axioma de las
paralelas oblig a admitir que Euclides no haba dicho la ltima
palabra acerca de la geometra, ya que pueden construirse nuevos
sistemas de geometra utilizando cierto nmero de axiomas distintos
de los adoptados por Euclides e incompatibles con ellos.La creencia
tradicional de que los axiomas de la geometra pueden ser
establecidos como tales por su aparente autoevidencia fue as
destruida en su misma base. Adems, fue hacindose cada vez ms claro
que la tarea propia del matemtico puro es deducir teoremas a partir
de hiptesis postuladas, y que, en cuanto tal matemtico, no le atae
la cuestin de decidir si los axiomas que acepta son realmente
verdaderos.
Otro modo de expresar este ltimo punto es la famosa afirmacin
wittgensteiniana de que la lgica es independiente del mundo. En
efecto, al lgico no le interesa para nada el saber si las
proposiciones con las que hace clculos son verdaderas o son falsas,
lo nico que le interesa es saber que "si las proposiciones que toma
como base en sus clculos son verdaderas, las conclusiones a las que
llegue en su clculo tambin sern verdaderas"; es decir, de la
verdad, en un sistema axiomtico, siempre se sigue la verdad; la
verdad es, por tanto, una propiedad hereditaria.
La lgica - y las matemticas en tanto que parte de la lgica -
puede contemplarse por tanto como la disciplina por excelencia que
extrae las conclusiones lgicamente implicadas en cualquier conjunto
dado de axiomas o postulados. La validez de una deduccin lgica - o
matemtica no depende en absoluto de ningn significado especial que
pueda estar asociado con los trminos o expresiones contenidos en
sus postulados. La lgica - y la matemtica - es algo totalmente
abstracto y formal; abstracto, porque las afirmaciones lgicas
pueden ser hechas en principio sobre cualquier objeto, sin estar
esencialmente circunscritas a un determinado conjunto de objetos o
propiedades de objeto; y formal, porque la validez de las
demostraciones lgicas se asienta en la estructura de las
afirmaciones ms que en la naturaleza especial de su contenido. Los
postulados de la lgica, o de la matemtica, nunca versan
intrnsecamente sobre manzanas, propiedades o presupuestos
financieros; y ningn significado especial que pueda asociarse con
los trminos contenidos en los postulados desempea papel esencial
alguno en el proceso de deducir teoremas. La nica cuestin a la que
se enfrenta el lgico no es si los postulados de que parte o las
conclusiones que de ellos deduce son verdaderos, sino si las
conclusiones obtenidas son realmente las consecuencias lgicas
necesarias de las hiptesis iniciales.
As, Hilbert ha podido decir que mientras estemos interesados en
la fundamental labor matemtica de explorar las relaciones
estrictamente lgicas de dependencia entre afirmaciones debemos
prescindir de las connotaciones familiares de los trminos
primitivos, y los nicos "significados" que se deben asociar con
ellos son los que se hallan determinados por los axiomas en que
estn contenidos. Russell dice lo mismo de una forma mucho ms
concisa: "la matemtica pura es la ciencia en la que no sabemos de
qu estamos hablando ni si lo que estamos diciendo es
verdadero".
La ventaja que ofrece una formalizacin tan radical, un tan
radical estar apartado de la experiencia, es que la mente se libera
de las restricciones que la habitual interpretacin de las
expresiones establece para la construccin de nuevos sistemas de
postulados. Puede as surgir nuevas lgicas, nuevas lgebras y nuevas
geometras. Al hacerse ms generales los significados de ciertos
trminos, se hace ms amplia su utilizacin y menos limitadas las
deducciones que pueden extraerse de ellos.
Ahora bien, esta creciente abstraccin plantea un problema: el de
saber si un determinado conjunto de postulados erigidos como bases
de un sistema es internamente consistente, de tal modo que no
puedan deducirse teoremas mutuamente contradictorios a partir de
esos postulados. Es el conocido como problema de la
consistencia.
El mtodo general para resolver el problema de la consistencia
(la idea subyacente a cualquier prueba de consistencia) consiste en
encontrar un "modelo" (o "interpretacin") para los postulados
abstractos de un sistema, de tal modo que cada postulado se
convierta en una afirmacin verdadera respecto del modelo. Por
tanto, una frmula es consistente si tiene un modelo, esto es, si
puede ser interpretada como el valor de verdad V. Una frmula no
consistente se dice inconsistente o insatisfacible.
A partir de aqu podemos decir que un conjunto S de frmulas es
(semnticamente) consistente si todos los elementos admiten un
modelo comn; en caso contrario es inconsistente. Un conjunto de
frmulas es considerado, desde un punto de vista semntico, como la
conjuncin de sus elementos. Si I es una interpretacin y si S es un
conjunto de frmulas, I(s) es verdadero si I(s) es verdadero para
cada sS.
La frmula C es una consecuencia lgica del conjunto finito S sii
S unin {} es inconsistente (principio de reduccin). Un conjunto es
inconsistente si F es una consecuencia lgica de l o,
equivalentemente, si toda frmula es una consecuencia suya.
Formalmente, el principio de reduccin se expresa as:
{H1,...,Hn} |=C {H1,...,Hn,C}|=F
En los diversos intentos realizados para resolver el problema de
la consistencia late siempre una permanente fuente de dificultad,
la cual radica en el hecho de que los axiomas son interpretados por
modelos compuestos de un nmero infinito de elementos. Esto hace
imposible encerrar los modelos en un nmero finito de observaciones;
de ah que la verdad de los axiomas sea objeto de duda. El problema
es an mayor si tenemos en cuenta que la mayora de los sistemas de
postulados que constituyen los fundamentos de las numerosas ramas
de las matemticas y la lgica no pueden ser reflejados en modelos
finitos.
El dilema al que nos vemos abocados es el siguiente: los modelos
finitos bastan, en principio, para demostrar la consistencia de
ciertos conjuntos de postulados, pero stos tienen muy escasa
importancia lgica o matemtica. Los modelos no finitos, necesarios
para la interpretacin de la mayora de los sistemas de postulados
lgica o matemticamente importantes, slo pueden ser descritos en
trminos generales; y no podemos dar por sentado que las
descripciones se hallen exentas de contradicciones.
Podramos sentirnos tentados a sugerir que podemos estar seguros
de la consistencia de las formulaciones en que se describen los
modelos no finitos si las nociones bsicas empleadas son
transparentemente "claras" y "distintas". Sin embargo, ste no es el
caso. As, en ciertas zonas de la investigacin matemtica en que las
hiptesis acerca de los conjuntos infinitos desempean un importante
papel han surgido contradicciones, pese a la intuitiva claridad de
las nociones implicadas en las hiptesis y pese al carcter
aparentemente consistente de las construcciones realizadas.
Bertrand Russell, por ejemplo, fue capaz de construir una
contradiccin dentro del sistema mismo de la lgica elemental. La
antinomia - as se llama a estas contradicciones - puede enunciarse
del modo siguiente: las clases pueden ser de dos tipos, las que no
se contienen a s mismas como miembros y las que s se contienen. Una
clase ser llamada "normal" si, y solamente si, no se contiene a s
misma como miembro; en otro caso se la llamar "no normal". Un
ejemplo de clase normal es la de los lgicos, ya que, evidentemente,
la clase misma no es un lgico y, por tanto, no es un miembro de si
misma. Un ejemplo de clase no normal es la clase de todas las cosas
pensables, ya que la clase de todas las cosas pensables es, a su
vez, pensable y, por consiguiente, un miembro de s misma. Sea "N",
por definicin, la clase de todas las clases normales. Preguntamos
si N mismo es una clase normal. Si N es normal, es un miembro de s
misma (pues, por definicin, N contiene a todas las clases
normales); pero, en este caso, N es no normal, porque, por
definicin, una clase que se contiene a s misma es no normal. Por
otra parte, si N es no normal, es un miembro de s misma (por la
definicin de no normal); pero, en este caso, N es normal, porque,
por definicin, los miembros de N son las clases normales. En
resumen, N es normal, si y solamente si, N es no normal. De lo que
se desprende que la afirmacin "N es normal" es verdadera y falsa a
la vez.1.1 Hilbert: crtica de la evidencia. El criterio de verdad
de un axioma como ausencia de contradiccin lgica
La idea fundamental de Hilbert estriba en que la geometra
euclidiana no es la prescripcin del espacio fsico, ni de la
intuicin espacial humana (como sostena Kant), ni de ninguna
realidad concreta. En definitiva, la geometra eucldea no es una
historia, sino una teora, la descripcin de una estructura que puede
realizarse o no realizarse en el espacio fsico, en la intuicin
humana, etc. Por eso puede haber tantas geometras distintas e
incompatibles entre s, tantas como estructuras abstractas seamos
capaces de definir, con independencia de cualquier realidad. Y esta
situacin no implica contradiccin ninguna, pues los teoremas de que
se compone la teora no son verdaderos ni falsos, a diferencia de
las ideas de que se compone la historia, que s son verdaderas en o
falsas.Hilbert llego en sus Fundamentos de la geometra hasta el
punto de renunciar a la evidencia como criterio de verdad. A los
conceptos bsicos de la geometra euclidiana, como pueden ser los de
punto, recta, plano, corresponden meras variables "x", "y", "z",
cuyos contenidos no se precisan, sino que en principio pueden
interpretarse a discrecin.
Hilbert separa lo lgico-formal de lo manifiesto y evidente y
declara como criterio de verdad y existencia (lgica) la ausencia de
contradiccin lgica. De modo que cuando los axiomas arbitrariamente
establecidos no se contradicen entre s con el conjunto de las
consecuencias, quiere decirse que son verdaderos y por tanto
existen las cosas definidas por los axiomas. Ese es para Hilbert el
criterio de verdad y existencia.
Slo en un segundo paso aade tambin una semntica a los trminos
bsicos y a los axiomas como, por ejemplo, el significado de
"punto", "recta" y "plano" o el de los axiomas euclidianos, aunque
ciertamente sin el axioma de las paralelas.
Ahora bien, la renuncia a la evidencia como criterio de verdad
tiene una consecuencia importante. Mientras que con la evidencia an
se crea poder afirmar que un axioma era evidente en el sentido de
verdadero "en s", ahora ya no se puede afirmar que un axioma es
verdadero "en s", sino que slo es verdadero dentro de la comunidad
lingstica que acepta dicho axioma. Asimismo un teorema slo es
verdadero dentro del lenguaje del correspondiente sistema
axiomtico. La validez universal de la verdad de unos axiomas se
limita as a la comunidad lingstica de los matemticos que comparten
esas afirmaciones y su semntica.
Pero es posible ir un poco ms all. Los axiomas no tienen que ser
unas afirmaciones hechas arbitrariamente. En efecto, tan pronto
como a esos signos sintcticos les asignamos una semntica y sta es
aceptada por una comunidad lingstica, tales asignaciones
constituyen ya las reglas semnticas de una comunidad lingstica, y
tan pronto como tales reglas se han estabilizado, se convierten en
las instituciones semnticas de una comunidad lingstica. Eso
significa que el criterio de la verdad de unos axiomas no debe ser
su mera evidencia ni su fijacin libre de contradicciones, sino que
tambin puede serlo el hecho social de su aceptacin semntica
estabilizada.
Hilbert propuso que se considerasen las matemticas como una
ciencia en la que habra que distinguir tres niveles. El primer
nivel es el prctico cotidiano, cuyo valor es esencialmente
pragmtico ms que verdaderamente matemtico. En este nivel se
expresan las teoras informales que los matemticos, fsicos u otros
cientficos usan en su trabajo diario. En un segundo nivel estn los
sistemas formales que representan simblicamente estas teoras. Las
teoras axiomatizadas son "traducidas" a un sistema formal de
smbolos, es decir, a un conjunto de objetos fsicos con reglas
combinatorias rigurosas y exhaustivas de formacin y derivacin. Las
tesis informales tienen ahora sus correlatos (si el sistema es
completo) en los axiomas y teoremas expresados formalmente. Los
sistemas formales se constituyen as en un dominio de objetos
abstractos independientes de su significado intuitivo de los que se
ocupa propiamente la matemtica.
La filosofa hilbertiana se resume en las tesis de que las
matemticas son una ciencia independiente acerca de estos sistemas
formales y en la prescripcin de que solamente son aceptables las
pruebas metamatemticas constructivas, es decir, las que se reducen
a operaciones recursivas que no empleen infinitos actuales.
2. Pruebas absolutas de consistencia
Las limitaciones inherentes a la utilizacin de modelos para
demostrar la consistencia y la creciente aprensin de que las
formulaciones clsicas de muchos sistemas pudiesen albergar
contradicciones internas condujeron a nuevas formas de abordar el
problema. Hilbert propuso una alternativa a las pruebas relativas
de consistencia. Trat de construir pruebas "absolutas" con las que
pudiera demostrarse la consistencia de los sistemas sin necesidad
de dar por supuesta la consistencia de algn otro sistema.El primer
paso en la construccin de una prueba absoluta es la completa
formalizacin de un sistema deductivo. Esto significa la extraccin
de todo significado de las expresiones existentes dentro del
sistema. Se las debe considerar, simplemente, como signos vacos. La
forma en que se deben manipular y combinar estos signos ha de ser
plasmada en un conjunto de reglas enunciadas con toda precisin. La
finalidad de este procedimiento estriba en construir un sistema de
signos (llamado un "clculo") que no oculte nada y que solamente
contenga lo que expresamente se haya puesto en l. Los postulados y
los teoremas de un sistema completamente formalizado son "hileras"
(o sucesiones de longitud finita) de signos carentes de significado
construidas conforme a las reglas establecidas para combinar los
signos elementales del sistema hasta formar ms amplios conjuntos.
Cuando un sistema ha sido completamente formalizado, la derivacin
de teoremas a partir de los postulados se limita, simplemente, a la
transformacin (siguiendo la regla) de un conjunto de estas
"hileras" en otro conjunto de "hileras". De esta manera se elimina
el peligro de utilizar cualesquiera reglas no declaradas de
razonamiento. Cuando un sistema ha sido formalizado quedan a la
vista las relaciones lgicas existentes entre las proposiciones;
pueden verse los mdulos estructurales de las diversas "hileras" de
signos "carentes de significado", cmo permanecen unidas, cmo se
combinan, cmo se alojan una en otra, etc.
Una pgina entera cubierta con signos "carentes de significado"
no afirma nada; es, simplemente, el diseo abstracto de un mosaico
que posee una determinada estructura. Sin embargo, es perfectamente
posible describir las configuraciones de un sistema as y formular
declaraciones acerca de las configuraciones y de sus diversas
relaciones mutuas. Estas declaraciones poseen significado y pueden
suministrar informacin importante acerca del sistema formal. No
obstante, tales declaraciones significativas acerca de un sistema
carente de significado (o formalizado) no pertenecen plenamente a
dicho sistema. Pertenecen a la "metamatemtica", o a la "metalgica"
(depende de qu estemos hablando). Las declaraciones metamatemticas,
o metalgicas, son declaraciones acerca de los signos existentes
dentro de un sistema lgico formalizado (es decir, un clculo),
acerca de las especies y disposicin de tales signos cuando se
combinan para formar hileras ms largas de signos llamadas
"frmulas", o acerca de las relaciones entre frmulas que pueden
obtenerse como consecuencia de las reglas de manipulacin
establecidas para ellas.
El valor de la distincin entre lgica y metalgica, o entre
matemtica y metamatemtica, radica en que da origen a una minuciosa
codificacin de los diversos signos que entran en la composicin de
un clculo formal, libre de engaosas suposiciones y de irrelevantes
asociaciones de ideas. Exige, adems, disponer de definiciones
exactas de las operaciones y de las reglas lgicas de la construccin
y la deduccin matemtica.
Hilbert capt el ncleo de la cuestin y bas su intento de
construir pruebas "absolutas" de consistencia en la distincin entre
un clculo formal y su descripcin. Trat de desarrollar un mtodo que
produjera demostraciones de consistencia tan ajenas a una autntica
duda lgica como el uso de modelos finitos para demostrar la
consistencia de ciertos conjuntos de postulados, y ello mediante el
anlisis de un nmero finito de caractersticas estructurales de las
expresiones contenidas en clculos completamente formalizados. El
anlisis consiste en anotar los diversos tipos de signos que se dan
en un clculo, indicar cmo combinarlos en frmulas, prescribir cmo
pueden obtenerse nuevas frmulas a partir de otras y determinar si
frmulas de una determinada clase pueden derivarse de otras mediante
reglas operativas explcitamente enunciadas. Hilbert crea posible
presentar cualquier clculo matemtico como una especie de esquema
"geomtrico" de frmulas, en el que las frmulas se relacionaran
mutuamente en nmero finito de relaciones estructurales. Esperaba
demostrar, examinando exhaustivamente estas propiedades
estructurales de las expresiones encerradas en un sistema, que no
pueden obtenerse frmulas formalmente contradictorias a partir de
los axiomas de clculos dados. Requisito esencial del programa de
Hilbert era que las demostraciones de consistencia implicaran
nicamente procedimientos que no hicieran referencia ni a un nmero
infinito de propiedades estructurales de frmulas ni a un nmero
infinito de operaciones con frmulas. Tales procedimientos son
denominados "finitistas", y una prueba de consistencia que se halle
en adecuacin a dicho procedimiento recibe el nombre de "absoluta".
Una prueba absoluta logra sus objetivos utilizando un mnimo de
principios de deduccin y no presupone la consistencia de ningn otro
conjunto de axiomas. Una prueba absoluta de consistencia de la
lgica de primer orden, si pudiera construirse alguna, demostrara,
pues, mediante un procedimiento metalgico, que dos frmulas
contradictorias, tales como A B y su negacin (A B), no pueden
derivarse de los axiomas mediante reglas explcitamente
enunciadas.
3. Construccin de un sistema formal
La construccin de un sistema formal de lgica se lleva a cabo en
cuatro fases que, convenientemente numeradas, son:1. Se prepara un
catlogo completo de los signos que se han de usar en el clculo.
Estos signos son nuestro vocabulario
2. Se establecen las reglas de formacin de frmulas. Estas reglas
declaran qu combinaciones de signos del vocabulario pueden ser
aceptadas como "frmulas". Las reglas pueden ser consideradas como
constitutivas de la gramtica del sistema
3. Se expresan las reglas de transformacin que describen la
estructura precisa de las frmulas de las cuales pueden derivarse
otras frmulas de estructura determinada. Estas reglas son las
reglas de deduccin.
4. Se seleccionas ciertas frmulas como axiomas (o "frmulas
primitivas"). Estas frmulas sirven de fundamento a todo el
sistema.
Un "teorema del sistema" es cualquier frmula que pueda ser
derivada de los axiomas aplicando sucesivamente las reglas de
transformacin. Una "prueba" es una serie finita de frmulas, cada
una de las cuales o es un axioma o puede ser derivada de otras
frmulas anteriores de la serie mediante las reglas de
transformacin.
Para la lgica de proposiciones, el vocabulario es muy sencillo.
Se compone de variables y de signos constantes. Las variables
pueden ser sustituidas por sentencias o proposiciones y reciben por
ello el nombre de "variables sentenciales" o "variables
proposicionales". Son las letras
'p', 'q', 'r', ...
Los signos constantes son "enlaces proposicionales" o signos de
puntuacin. En la lgica de proposiciones estos signos son:
'' que quiere decir 'no' y cuya interpretacin semntica podra
definirse como sigue: el signo representa la negacin de la
proposicin que le sigue. As, si la proposicin es verdadera, la
proposicin negada ser falsa, y viceversa.
'' que quiere decir 'y' y cuya interpretacin es: una conjuncin
afirma la verdad de sus componentes. Es verdadera, pues, cuando sus
dos componentes son verdaderos; cuando uno de ellos es falso, y por
tanto, tambin cuando los dos son falsos, la conjuncin es falsa.
'' que quiere decir 'o', y cuya interpretacin es la siguiente:
la disyuncin de dos proposiciones es verdadera cuando una al menos
de esas dos proposiciones es verdadera - y, por supuesto, cuando
ambas lo son -; es falsa, en cambio, slo cuando ambas son falsas.
Las condiciones de verdad de la disyuncin son la imagen invertida
de las condiciones de verdad de la conjuncin. Para probar la verdad
de una conjuncin hace falta probar la de todos y cada uno de sus
miembros; para probar la verdad de la disyuncin, basta probar la de
uno. Lo mismo ocurre con la falsedad: la falsedad de una conjuncin
se establece con slo probar la de uno de sus miembros; mientras que
la falsedad de una disyuncin requiere probar la de todos y cada uno
de sus elementos.
'' que quiere decir "si... entonces...'. Su interpretacin es:
una implicacin es verdadera siempre que no se d el caso de que el
antecedente sea verdadero y el consecuente falso; y falsa cuando
ese sea el caso.
La interpretacin de estos signos de la lgica proposicional se
suele dar ms abreviadamente mediante lo que se conoce como tablas
de verdad. La tabla de verdad de los cuatro smbolos de nuestro
clculos es la siguiente:
Los signos de puntuacin son los parntesis de apertura y
cierre.
Las reglas de formacin de frmulas son las siguientes:
Cualquier variable proposicional es una frmula
Si S es una frmula, S tambin es una frmula
Si S y P son frmulas, tambin lo son S P, S P y S P.
A continuacin, adoptamos dos reglas de transformacin:
Regla de sustitucin: de una frmula que contenga variables
sentenciales puede siempre derivarse otra frmula sustituyendo
uniformemente con frmulas las variables.
Regla de separacin: De dos frmulas que tengan la forma S y S P
se puede derivar la frmula P. A esta regla tambin se la conoce como
Modus Ponens.
Finalmente, adoptaremos como axiomas de clculo los
siguientes:
1.(pp) pSi (los Beatles eran ingleses, o los Beatles eran
ingleses), entonces los Beatles eran ingleses
2p (pq)Si yo soy listo, entonces (o yo soy listo o el Real
Madrid gana la liga)
3(pq) (qp)Si (o Kant era puntual o la Iglesia es estpida),
entonces (o la Iglesia es estpida o Kant era puntual)
4(pq) ((rp)(rq))Si (si me gusta el whisky entonces pierdo al
ms), entonces (si (o escucho a los Rolling Stones o me gusta el
whisky) entonces (o escucho a los Rolling Stones o pierdo al
ms))
Atendiendo a los ejemplos, es importante sealar que aunque los
consecuentes no guarden relacin con los antecedentes, esto no
afecta en modo alguno a la validez de las conexiones lgicas
establecidas en los mencionados ejemplos.
Con ayuda de las reglas de transformacin mencionadas
anteriormente es posible derivar, a partir de estos axiomas
aparentemente triviales, una clase infinitamente grande de teoremas
que no tienen nada de triviales como, por ejemplo, la frmula:
((pq)((rs)t))((u((rs)t))((pu)(st)))
Demostrar la consistencia de este sistema axiomtico es demostrar
que es imposible derivar, a partir de los axiomas, una frmula y su
negacin, pues si tanto una frmula como su negacin fuesen deducibles
de los axiomas, sera tambin deducible cualquier frmula. Es decir,
si el clculo no es consistente, toda frmula es un teorema, lo que
equivale a decir que de un conjunto contradictorio de axiomas puede
ser derivada cualquier frmula. Esto tiene una contrapartida: si no
toda frmula es un teorema, entonces el clculo es consistente. Lo
que hace falta, por consiguiente, es demostrar que existe por lo
menos una frmula que no puede ser derivada de los axiomas.
La forma de hacerlo es emplear un razonamiento metalgico sobre
el sistema. El procedimiento consiste en encontrar una
caracterstica o propiedad estructural de las frmulas que satisfaga
las tres condiciones siguientes: 1) la propiedad debe ser comn a
todos los axiomas; 2) la propiedad debe ser "hereditaria", segn las
reglas de transformacin, esto es, si todos los axiomas poseen la
propiedad, cualquier frmula adecuadamente derivada de ellos
mediante las reglas de transformacin debe poseerla tambin. Puesto
que cualquier frmula derivada es por definicin un teorema, esta
condicin estipula en esencia que todo teorema debe poseer esa
propiedad; 3) la propiedad no debe pertenecer a toda frmula que
pueda construirse de acuerdo con las reglas de formacin del
sistema; esto es, debemos tratar de encontrar al menos una frmula
que no posea esa propiedad. Si tenemos xito en esta triple tarea
habremos conseguido una prueba absoluta de consistencia. El
razonamiento es el siguiente: la propiedad hereditaria se transmite
desde los axiomas a todos los teoremas; pero si puede encontrarse
un conjunto de signos que sea adecuado a las exigencias de ser una
frmula del sistema y que, sin embargo, no posea esa determinada
propiedad hereditaria, tal frmula no puede ser un teorema. Pero si
descubrimos una frmula que no es un teorema hemos demostrado la
consistencia del sistema, ya que si el sistema no fuese
consistente, todas las frmulas podran ser derivadas de los axiomas.
Por tanto, lo que se necesita es encontrar una sola frmula que
carezca de la propiedad hereditaria.
Una propiedad del tipo requerido es la de ser una "tautologa".
En el lenguaje corriente se dice que una expresin es tautolgica si
contiene una redundancia y manifiesta dos veces la misma cosa con
diferentes palabras. En la lgica se define la tautologa como una
proposicin que no excluye ninguna posibilidad lgica; es decir, una
tautologa es "verdadera en todos los mundos posibles".
Una frmula es una tautologa si es invariablemente verdadera,
independientemente de que sus componentes elementales sean
verdaderos o falsos. Una forma de mostrar que nuestros cuatro
axiomas son tautologas es utilizando las tablas de verdad. En una
tabla de verdad una frmula es una tautologa si en la columna que
contiene la frmula completa slo hay signos V
4. Completud del clculo de predicados
Puesto que todo teorema del clculo de predicados es una
tautologa, una verdad de la lgica, podemos preguntar si,
inversamente, toda verdad lgica susceptible de ser expresada en el
vocabulario de nuestro sistema (es decir, toda tautologa) es tambin
un teorema (esto es, derivable de los axiomas). Si la respuesta es
afirmativa, ello querr decir que los axiomas son suficientes para
engendrar todas las frmulas tautolgicas, todas las verdades lgicas
susceptibles de ser expresadas en el sistema; es decir, que nuestro
sistema es "completo". La completud es una propiedad interesante en
un sistema axiomtico porque ella nos asegura que no hay ninguna
verdad en nuestro sistema que nosotros no seamos capaces de
encontrar. Dicho de otro modo, un sistema "incompleto" no sera muy
til porque, lo mismo que los jueces, el lgico quiere conseguir la
verdad, toda la verdad y nada ms que la verdad. Pero solo podremos
estar seguros de poder alcanzar toda la verdad si nuestro sistema
es completo.Se llama "completo" a un clculo, C, si dada una frmula
bien formada, f, de C, o esta frmula o su negacin (f) es un teorema
de C. Se llama tambin "completo" a un clculo C cuando hay otro
clculo C' tal, que C es inconsistente cuando C' es igual a C
excepto por contener una frmula que no es susceptible de prueba en
C.
5. Las limitaciones de los sistemas formales
El clculo proposicional constituye un ejemplo de un sistema
matemtico en el que se alcanzan plenamente los objetivos de la
teora de la demostracin de Hilbert. Este clculo codifica solamente
un fragmento de la lgica formal, y su vocabulario y su aparato
formal no son suficientes para desarrollar ni siquiera la aritmtica
elemental, pero el programa de Hilbert no es tan limitado. Puede
ser aplicado con xito a sistemas ms amplios, cuyo carcter, a la vez
consistente y completo, puede ser demostrado mediante un
razonamiento metamatemtico. Pero es el mtodo finitista de Hilbert
lo suficientemente potente como para demostrar la consistencia de
un sistema como Principia, cuyo vocabulario y cuyo aparato lgico
son adecuados para expresar toda la aritmtica y no simplemente un
fragmento de ella?. La publicacin en 1931 del artculo de Kurt Gdel
Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia
Mathematica y sistemas afines demostr que no podan por menos de
fracasar todos los esfuerzos que se desenvolvieran dentro de los
estrictos lmites del primitivo programa de Hilbert.Qu es lo que
estableci Gdel?. Sus principales conclusiones son dos: en primer
lugar, demostr que es imposible presentar una prueba metamatemtica
de la consistencia de un sistema lo bastante comprensivo como para
contener toda la aritmtica, a menos que se empleen en la prueba
reglas de deduccin que difieran en ciertos aspectos esenciales de
las reglas de transformacin utilizadas para derivar teoremas dentro
del sistema. Lo que Gdel demostr es que es imposible que pueda
darse una prueba finitista de la consistencia de la aritmtica;
ahora bien, si la prueba no es finitista, no cubre los objetivos
del programa de Hilbert.
La segunda conclusin de Gdel demuestra la existencia de una
fundamental limitacin en la potencia del mtodo axiomtico. Gdel
demostr que los Principia, o cualquier otro sistema dentro del cual
pueda desarrollarse la aritmtica, es esencialmente incompleto, es
decir, dado cualquier conjunto consistente de axiomas aritmticos,
existen proposiciones aritmticas verdaderas que no pueden ser
derivadas de dicho conjunto.
Vemoslo con un ejemplo. Las matemticas abundan en proposiciones
generales a las que no se ha encontrado ninguna excepcin que hasta
ahora haya frustrado todo intento de prueba; una de ellas es el
"teorema de Goldbach", segn el cual todo nmero par es la suma de
dos nmeros primos. Jams se ha encontrado ningn nmero par que no sea
la suma de dos nmeros primos; sin embargo, nadie ha logrado
encontrar una prueba de que la conjetura de Goldbach se aplique sin
excepcin a todos los nmeros pares. Es esta, pues, una proposicin
aritmtica que puede ser verdadera, pero que no puede ser derivada
de los axiomas de la aritmtica.
Supongamos que sea universalmente verdadera. Qu decir ante la
sugerencia de que los axiomas podran ser modificados o aumentados
hasta hacer que las proposiciones hasta el momento indemostrables
fuesen derivables en el sistema ampliado?. Los resultados de Gdel
muestran que, aun cuando los axiomas de la aritmtica fuesen
ampliados con un nmero indefinido de otros axiomas verdaderos,
siempre quedarn verdades aritmticas que no son formalmente
derivables del conjunto ampliado.
Cmo demostr Gdel esto?. La estructura de su argumentacin est
moldeada sobre el razonamiento implicado en la "paradoja
richardiana", propuesta por el matemtico francs Jules Richard en
1905.
Considrese un lenguaje en el que se puedan formular y definir
las propiedades puramente aritmticas de los nmeros cardinales.
Resulta claro que, so pena de caer en un crculo vicioso, no pueden
definirse explcitamente algunos trminos que hacen referencia a
propiedades aritmticas - ya que no podemos definirlo todo y debemos
empezar en alguna parte -. La propiedad de ser un nmero primo puede
ser definida como "no divisible por ningn otro nmero ms que por s
mismo y la unidad"; la propiedad de ser un cuadrado perfecto puede
ser definida como "ser el producto de algn nmero entero por s
mismo", etc.
Cada una de tales definiciones contendr solamente un nmero
finito de palabras y slo un nmero finito de letras del alfabeto.
As, las definiciones pueden ser ordenadas en una serie: una
definicin preceder a otra si el nmero de letras de la primera es
menor que el nmero de letras de la segunda; y si dos definiciones
tienen el mismo nmero de letras, una de ellas preceder a la otra
atendiendo al orden alfabtico de las letras contenidas en cada una.
De este modo, a cada definicin corresponder un nico nmero entero,
que representar el lugar que ocupa la definicin en la serie.
Dado que cada definicin est asociada a un nico nmero entero,
puede ocurrir en algunos casos que un nmero entero posea la misma
propiedad expresada por la definicin con la cual est asociado.
Supongamos que la expresin definidora "no ser divisible por ningn
nmero entero ms que por s mismo y la unidad" se halla en correlacin
con el nmero 17; evidentemente, el 17 tiene la propiedad designada
por esa expresin. Por otra parte, supongamos que la expresin
definidora "ser el producto de algn nmero entero por s mismo" se
halla en correlacin con el nmero 15; est claro que 15 no posee la
propiedad designada por la expresin. Describimos la situacin del
segundo ejemplo diciendo que el nmero 15 tiene la propiedad de ser
richardiano, y la del primer ejemplo, diciendo que el nmero 17 no
tiene la propiedad de ser richardiano. Es decir, "x es richardiano,
sii x no tiene la propiedad designada por la expresin definidora
con la que se halla relacionado en la serie ordenada de
definiciones".
Ahora bien, la expresin definidora de ser richardiano describe
una propiedad numrica de los enteros. La expresin misma pertenece,
por tanto, a la serie de definiciones ya enunciadas antes. De aqu
se desprende que la expresin est relacionada con un cierto nmero
entero. Supongamos que este nmero es n. Es n richardiano?. La
conclusin es contradictoria, pues n es richardiano sii, n carece de
la propiedad designada por la expresin (definidora) con la que est
relacionado. Es decir, n es richardiano sii n no es
richardiano.
Podemos dar de lado a esta paradoja distinguiendo entre las
proposiciones que se producen dentro de la aritmtica y las
proposiciones acerca de algn sistema de notacin en el que se
codifica esa aritmtica. La construccin de esta paradoja sugiere la
posibilidad de que se pueden "representar" declaraciones
metamatemticas acerca de un sistema formal suficientemente amplio
dentro del sistema mismo.
La caracterstica fundamental de la representacin es que puede
demostrarse que una estructura abstracta de relaciones existente en
un campo de "objetos" existe tambin entre "objetos" pertenecientes
a otro campo diferente. Esta caracterstica es lo que impuls a Gdel
a construir sus pruebas. Si, como l esperaba, unas complicadas
proposiciones metamatemticas acerca de un sistema formalizado
pudiesen ser traducidas a (o reflejadas por) proposiciones
aritmticas contenidas dentro del propio sistema, se habra dado un
gran paso en el camino de facilitar las demostraciones
metamatemticas.
La explotacin de la idea de la representacin es la clave de la
argumentacin de Gdel. Gdel demostr que las proposiciones
metamatemticas acerca de un clculo aritmtico formalizado pueden
efectivamente ser representadas por frmulas aritmticas dentro del
clculo. Ide un mtodo de representacin tal, que ni la frmula
aritmtica correspondiente a una determinada proposicin
metamatemtica verdadera acerca de la frmula ni la frmula aritmtica
correspondiente a la negacin de la proposicin son demostrables
dentro del clculo. Comoquiera que una de estas frmulas aritmticas
debe codificar una verdad aritmtica, ninguna de las cuales es, sin
embargo, derivable de los axiomas, los axiomas son incompletos.
Este mtodo de representacin le permiti construir una frmula
aritmtica correspondiente a la proposicin metamatemtica "el clculo
es consistente" y demostrar que esta frmula no es demostrable
dentro del clculo. De ah se desprende que la proposicin
metamatemtica no puede ser demostrada a no ser que se utilicen
reglas de deduccin que no puedan ser representadas dentro del
clculo, de tal modo que, al demostrar la proposicin, se deben
emplear reglas cuya propia consistencia pueda ser tan discutible
como la consistencia misma de la aritmtica
6. Las pruebas de Gdel
6.1 La numeracin de Gdel
Gdel describi un clculo formalizado dentro del cual pueden
expresarse todas las acostumbradas notaciones aritmticas ya
conocidas. Las frmulas del clculo estn constituidas con una clase
de signos elementales que constituyen el vocabulario fundamental.
Los cimientos estn formados por un conjunto de frmulas primitivas,
y los teoremas del clculo son frmulas.Gdel demostr que es posible
asignar un nico nmero a cada signo elemental o a cada frmula (o
sucesin de signos) y a cada prueba (o sucesin finita de frmulas).
Este nmero recibe el nombre de "nmero de Gdel" del signo, frmula o
prueba.
Los signos elementales son de dos clases: constantes y
variables. Supondremos que hay diez signos constantes, a los que se
asocian, como nmero de Gdel, los nmeros enteros del 1 al 10.
Tabla de signos constantes
Adems de los signos elementales constantes, aparecen tres clases
de variables en el vocabulario fundamental del clculo: 1) las
variables numricas, 'x', 'y', 'z'; 2) las variables sentenciales,
'p', 'q', 'r', y 3) las variables predicativas 'P', 'Q', 'R'. A
estas variables se asignan nmeros de Gdel de acuerdo a las
siguientes reglas: a) a cada variable numrica, un nmero primo mayor
que 10; b) a cada variable sentencial el cuadrado de un nmero primo
mayor que 10; y c) a cada variable predicativa el cubo de un nmero
primo mayor que 10.
Tabla de signos variables
Consideremos ahora una frmula del sistema, por ejemplo,
($x)(x=sy). Los nmeros asociados a sus diez signos elementales
son
Es deseable, sin embargo, asimilar a la frmula un solo nmero en
vez de un conjunto de nmeros. Convenimos en asociar a la frmula el
nico nmero que es el producto de los diez primeros nmeros primos en
orden de magnitud, estando cada uno de ellos elevado a una potencia
igual al nmero Gdel del correspondiente signo elemental. As, la
frmula anterior queda asociada al nmero
28345117913111751972313299llamemos m a este nmero. De manera
similar, se puede asignar a toda sucesin finita de signos
elementales y, en particular, a toda frmula, un nico nmero, el
producto de tantos nmeros primos como signos haya.
Consideremos ahora la frmula ($x)(x=s0), y supongamos que su
nmero de Gdel es n. Tenemos as la sucesin de frmulas
($x)(x=sy)($x)(x=s0)
cuyos nmeros de Gdel son, respectivamente, m y n. Igual que
antes, es conveniente disponer de un solo nmero que sirva de rtulo
a la sucesin. Convenimos en asociarla con el nmero que es el
producto de los dos primeros nmeros primos en orden de magnitud,
estando elevado cada uno de los nmeros primos a una potencia igual
al nmero de Gdel de la frmula correspondiente. Si llamamos k a ese
nmero podemos escribir K = 2m 3n. Por este procedimiento de
condensacin podemos obtener un nmero para cada serie de frmulas. En
resumen, toda expresin contenida en el sistema, sea un signo
elemental, una sucesin de signos, o una sucesin de sucesiones,
puede llevar asignado un nico nmero de Gdel.
Con ello, hemos aritmetizado completamente el clculo formal,
dando un conjunto de reglas para establecer una correspondencia
biunvoca entre las expresiones del clculo y una cierta subclase de
los nmeros enteros.
6.2 La aritmetizacin de la metamatemtica
El paso siguiente de Gdel es demostrar que todas las
proposiciones metamatemticas acerca de las propiedades
estructurales de las expresiones contenidas en el clculo pueden ser
adecuadamente reflejadas dentro del clculo mismo. La idea bsica es:
puesto que toda expresin del clculo est asociada a un nmero, puede
construirse una proposicin metamatemtica acerca de las expresiones
y de sus recprocas relaciones como una proposicin acerca de los
correspondientes nmeros y de sus recprocas relaciones aritmticas.
De esta manera queda completamente aritmetizada la
metamatemtica.Cada proposicin metamatemtica se halla representada
por una nica frmula dentro de la aritmtica; y las relaciones de
dependencia lgica entre las proposiciones metamatemticas se
reflejan plenamente en las relaciones numricas de dependencia entre
sus correspondientes frmulas aritmticas. La exploracin de las
cuestiones metamatemticas puede ser desarrollada investigando las
propiedades aritmticas y las relaciones de ciertos nmeros
enteros.
Como ejemplo, consideremos un axioma del sistema formal sujeto a
examen: '(pp)p'. Supongamos que su nmero de Gdel es 'a'.
Consideremos tambin la frmula '(pp)', y supongamos que su nmero de
Gdel es 'b'. Enunciamos ahora la proposicin metamatemtica de que la
frmula '(pp)' es una parte inicial del axioma. A qu frmula
aritmtica del sistema formal corresponde esta proposicin?. Es
evidente que la frmula ms pequea '(pp)' puede ser una parte inicial
de la frmula mayor, que es el axioma, sii el nmero de Gdel, b, que
representa a la primera es un factor del nmero de Gdel, a, que
representa a la segunda. Supuesto que la expresin 'factor de' est
convencionalmente definida en el sistema aritmtico formalizado, la
nica frmula aritmtica que corresponde a la declaracin metamatemtica
antes enunciada es 'b es un factor de a'. Si esta frmula es
verdadera, es cierto que '(pp)' es una parte inicial de
'(pp)p'.
Fijemos ahora nuestra atencin en la frmula metamatemtica: La
sucesin de frmulas con nmero de Gdel x es una prueba de la frmula
con nmero de Gdel z. Esta declaracin est representada por una
frmula definida del clculo aritmtico que expresa una relacin entre
x y z. Escribimos esta relacin entre x y z con la frmula
'Dem(x,z)', para tener presente la proposicin metamatemtica a la
que corresponde (la sucesin de frmulas con nmero de Gdel x es una
prueba de la frmula con nmero de Gdel z).
Una proposicin metamatemtica que dice que una cierta sucesin de
frmulas constituye una prueba de que una frmula dada es verdadera
sii el nmero de Gdel de la pretendida prueba estn con el nmero de
Gdel de la conclusin en la relacin aritmtica designada como 'Dem'.
Por consiguiente, para establecer la verdad o la falsedad de la
proposicin metamatemtica sujeta a examen slo nos interesa la
cuestin de si la relacin Dem se mantiene entre dos nmeros.
Anlogamente, la proposicin metamatemtica 'La sucesin de frmulas con
el nmero de Gdel x no es una prueba para la frmula con nmero de
Gdel z' se representa en el sistema aritmtico formalizado con una
frmula definida. Tal frmula es la contradictoria de 'Dem(x,z)', o
sea, 'Dem(x,z)'.
La frmula '($x)(x=sy) tiene como nmero de Gdel m, mientras que
el nmero de Gdel de la variable 'y' es 13. Si en dicha frmula
sustituimos el nmero de Gdel 13 por el numeral m, el resultado es
la frmula '($x)(x=sm)', que dice que existe un nmero x tal que x es
el sucesor inmediato de m. Esta frmula tambin tiene un nmero de
Gdel que se puede calcular; pero en vez de hacer el clculo podemos
identificar el nmero mediante una caracterizacin metamatemtica: es
el nmero de Gdel de la frmula que se obtiene a partir de la frmula
de nmero de Gdel m, sustituyendo la variable de nmero de Gdel 13
por el numeral de m. Esta caracterizacin metamatemtica determina
unvocamente un nmero definido, que es una cierta funcin aritmtica
de los nmeros m y 13, en la que puede ser expresada la funcin misma
dentro del sistema formalizado. El nmero puede ser designado dentro
del clculo. Esta designacin ser escrita como 'sust(m,13,m)' siendo
la finalidad de esta forma recordar la caracterizacin metamatemtica
que representa, es decir, 'el nmero de Gdel de la frmula obtenida a
partir de la frmula de nmero de Gdel m, sustituyendo la variable de
nmero de Gdel 13 por el numeral de m'.
La expresin 'sust(y,13,y) es la imagen reflejada dentro del
clculo aritmtico formalizado de la caracterizacin metamatemtica 'el
nmero de Gdel de la frmula que se obtiene a partir de la frmula de
nmero de Gdel y, sustituyendo la variable de nmero de Gdel 13 por
el numeral de y'. Cuando se sustituye 'y' por un numeral definido
en 'sust(y,13,y) la expresin resultante designa un nmero entero
definido, que es el nmero de Gdel de una determinada frmula.
6.3 La argumentacin de Gdel
Gdel mostr:1. cmo construir una frmula aritmtica G que
represente la declaracin metamatemtica 'La frmula G no es
demostrable'. La frmula 'Dem(x,z)' representa, dentro de la
aritmtica formalizada, la proposicin metamatemtica 'la sucesin de
frmulas con nmero de Gdel x no es una prueba de la frmula con nmero
de Gdel z'. Ahora introducimos el prefijo (x) en la frmula Dem.
Este prefijo equivale a la frase 'para todo x'. Anteponiendo este
prefijo obtenemos la frmula '(x)Dem(x,z)', que equivale a 'para
todo x, la sucesin de frmulas con nmero de Gdel x no es una prueba
de la frmula con nmero de Gdel z'. Esta frmula es la parfrasis de
'la frmula con nmero de Gdel z no es demostrable'. Lo que Gdel
demostr es que un determinado caso especial de esta frmula no es
formalmente demostrable
2. Gdel mostr tambin que G es demostrable sii es demostrable su
negacin formal G. Si una frmula y su negacin son ambas formalmente
demostrables, el clculo aritmtico no es consistente. Por
consiguiente, si el clculo es consistente, ni G ni G son
formalmente derivables de los axiomas de la aritmtica. Por tanto,
si la aritmtica es consistente, G es una frmula formalmente
indecidible.
3. Gdel tambin mostr qQue aunque G no sea formalmente
demostrable es, sin embargo, una frmula aritmtica verdadera. Es
verdadera en el sentido de que afirma que todo nmero entero posee
una cierta propiedad aritmtica que puede ser exactamente definida y
presentada en cualquier nmero entero que se examine.
4. Puesto que G es al mismo tiempo verdadera y formalmente
indecidible, los axiomas de la aritmtica son incompletos: no
podemos deducir todas las verdades aritmticas de los axiomas. Gdel
demostr adems que la aritmtica es esencialmente incompleta: aun
cuando se admitiesen nuevos axiomas, de tal modo que la frmula
verdadera G pudiera ser formalmente derivada de la incrementada
serie de los mismos, todava podra construirse otra frmula verdadera
pero formalmente indecidible.
5. Gdel describi cmo construir una frmula aritmtica A que
represente a la proposicin metamatemtica 'la aritmtica es
consistente', y demostr que la frmula 'AG' es demostrable. De aqu
se desprende que la consistencia de la aritmtica no puede ser
establecida por un argumento que pueda hallarse representado en el
clculo aritmtico formal.
7. Otros resultados referentes a los fundamentos de la lgica y
las matemticas
Como acabamos de ver, en 1931 Gdel demostr que en un sistema
formal (lgico o matemtico) que sea consistente y en cuyo interior
se pretenda desarrollar acabadamente la lgica o la matemtica,
existen proposiciones de dicho sistema que son indecidibles, esto
es, que ni su afirmacin ni su negacin son demostrables, siendo una
de ellas, precisamente, la que afirma que el sistema es
consistente. Sin embargo, no es este el nico resultado importante
que se ha logrado en este siglo en lo que hace referencia al
fundamento de la lgica y las matemticas. Otros resultados
fundamentales han sido los siguientes:7.1 El teorema de satisfaccin
de Henkin
El teorema de satisfaccin de Henkin establece que "para
cualquier conjunto de frmulas (A) de lgica elemental, si A es
consistente, entonces A es simultneamente satisfacible en un modelo
enumerable". La demostracin del teorema comienza extendiendo al
mximo el conjunto de frmulas "A" por adicin sucesiva de toda frmula
posible que sea compatible con l, es decir, que no atente contra su
consistencia. El resultado ser un conjunto consistente mximo que
incluye al anterior. Este conjunto no slo es consistente, sino que
adems abarca toda frmula consistente.7.2 El teorema de completud de
la lgica cuantificacional de primer orden de Gdel
En 1930 Gdel demostr la completud de la lgica cuantificacional
de primer orden. Literalmente el Teorema de completud de Gdel
establece: "Para toda frmula A de la lgica cuantificacional de
primer orden, si A es lgicamente verdadera, entonces A es
deducible". Dicho formalmente: "Si |= A, entonces |- A". Esto
quiere decir que el sistema formal de la lgica cuantificacional ser
completo si todas las frmulas que representan verdades lgicas son
formalmente deducibles en el sistema. La prueba del teorema de
completud se reduce a consignar las siguientes premisas:1. A es
lgicamente verdadera: |== A.
2. Si A es lgicamente verdadera, entonces A es
insatisfacible.
3. Si A es insatisfacible, entonces A es inconsistente.
4. Si A es inconsistente, entonces da lugar a contradiccin: A |-
B y A |- B.
5. Si A |- B y A |- B, entonces |- A.
La justificacin de estas premisas es la siguiente: 1) es la
hiptesis del teorema de completud; 2) se sigue de la definicin del
concepto de frmula lgicamente verdadera: su negacin ha de ser
satisfacible; 3) es la contraposicin del teorema de Henkin; 4) es
un mero anlisis de la definicin de inconsistencia, y finalmente 5)
se basa en el teorema de deduccin, que permite pasar de A |- B y A
|- B a |- A B y |- A B, respectivamente, y en Modus Ponens, que
permite, con ayuda de estas dos ltimas frmulas, eliminar los
antecendentes en la ley de reduccin al absurdo (|- (A B) ((A B) A);
de |- A se pasa a |- a mediante una aplicacin de MP a la ley de
doble negacin |- A A. Aceptadas estas premiss, se les aplica
reiteradamente la regla MP, empezando por 2) y 1), siguiendo con 3)
y el consecuente de 2), y as sucesivamente, hasta liberar el
consecuente de 5): |- A, que es justamente la tesis del teorema de
Gdel, el cual queda, por tanto, demostrado.
5.1 Teorema de Lwenheim-Skolem
Del teorema de satisfaccin de Henkin se deriva como corolario el
teorema de Lwenheim-Skolem: Si un conjunto de frmulas cualquiera A
es simultneamente satisfacible en cualquier dominio no vaco,
entonces es simultneamente satisfacible en un dominio
enumerable.5.2 Teorema de compacidad
Tambin es una consecuencia del teorema de satisfaccin de Henkin.
Dice as: si todo subconjunto finito de un conjunto infinito de
enunciados es satisfacible, entonces ese conjunto es, todo l,
satisfacible.5.3 Indecidibilidad de la lgica cuantificacional
polidica (teorema de Church)
En 1936 Alonzo Church demostr la imposibilidad de encontrar un
procedimiento mecnico decisorio adecuado para la lgica elemental,
incluyendo la lgica cuantificacional polidica. Este teorema de
Church es, junto al teorema de incompletud de Gdel, uno de los
denominados teoremas de limitacin, que pusieron en crisis la
ilimitada fe que hasta entonces se depositaba en los mtodos
axiomticos y dieron lugar a una de las corrientes ms fecundas de la
investigacin lgico-matemtica: la teora de la
computabilidad.Partiendo del teorema de Gdel, Church prob que no es
posible hallar una solucin general para el problema de la decisin
en teora elemental de nmeros, es decir, que el sistema formal de la
aritmtica es indecidible. Church demostr que el caso general del
problema de la decisin para un sistema formal de lgica elemental es
insoluble, es decir: la lgica elemental de la cuantifacin es
indecidible (teorema de Church).
El inters fundamental de este teorema consiste en que por l se
establece, o se quiere establecer, la no mecanicidad de la lgica
formal. Pues si bien es cierto que existen algoritmos
(procedimientos de decisin) que permiten resolver de modo mecnico
grandes grupos de problemas de lgica elemental, segn este teorema,
no existe ni puede existir un algoritmo que los resuelva
mecnicamente todos. De aqu se deduce que la operacin deductiva de
la razn no es totalmente mecanizable. En opinin de Church slo
existe un algoritmo que solucione un problema lgico o matemtico si
existe una "mquina de Turing" que pueda computerizarlo. De este
modo, para Church, la mente humana es como una mquina de Tring,
pero ms imperfecta.
5.4 La tesis de Chuch-Turing
La tesis Church-Turing hace referencia a la nocin de una mtodo
efectivo o mecnico en lgica y matemticas. "Efectivo" y su sinnimo
"mecnico" son trminos cambiantes en estas disciplinas: no mantienen
su significado siempre. Un mtodo, o procedimiento, M, para alcanzar
algn resultado deseado se denomina "efectivo" o "mecnico" cuando:
1. M es expresado en trminos de un nmero finito de instrucciones
exactas (cada instruccin es expresada por medio de un nmero finito
de smbolos);
2. M debe, si no se produce ningn error, producir siempre el
resultado deseado en un nmero finito de pasos;
3. M puede (en la prctica, o en principio) llevarse a cabo por
un ser humano sin la ayuda de ninguna mquina, simplemente con papel
y lpiz;
4. M no requiere ningn tipo de comprensin ni de ingenio por
parte del humano que intenta resolverlo.
Un ejemplo bien conocido de un mtodo efectivo es la tabla de
verdad para la tautologicidad. En la prctica, por supuesto, este
test no puede realizarse en frmulas que contienen un nmero muy
grande de variables proposicionales, pero en principio uno podra
aplicarlo exitosamente a cualquier frmula del clculo proposicional,
con el suficiente tiempo, tenacidad, papel y lpiz.
La afirmacin de que hay un mtodo efectivo para alcanzar tal
resultado se expresa comnmente diciendo que hay un mtodo efectivo
para obtener los valores de tal funcin matemtica. Por ejemplo, la
afirmacin de que hay un mtodo efectivo para determinar si cualquier
frmula del clculo proposicional es o no una tautologa -v.g., el
mtodo de las tablas de verdad- es expresada diciendo que hay un
mtodo efectivo para obtener los valores de una funcin, llammosla T,
cuyo dominio es el conjunto de frmulas del clculo proposicional y
cuyo valor para cualquier frmula x, escrito T(x), es 1 o 0 en
funcin de si x es, o no, una tautologa.
La nocin de un mtodo efectivo es una nocin informal, y se
caracteriza, tal y como se ha dicho, por la falta de rigor para el
requisito clave de que el mtodo no exija comprensin o ingenio, pues
tal requisito permanece inexplicado. Uno de los logros de Turing
fue presentar un predicado formalmente exacto que permita
reemplazar al predicado informal "puede ser calculado por medio de
un mtodo efectivo". Church hizo lo mismo. Los predicados que Turing
y Church proponan reemplazar eran, a simple vista, muy diferentes
uno de otro, pero eran equivalentes en el sentido de que cada uno
seleccionaba el mismo conjunto de funciones matemticas. La tesis
Church-Turing consiste en la asercin de que este conjunto contiene
toda funcin cuyos valores pueden obtenerse por un mtodo que
satisfaga las anteriores condiciones de eficacia. (Ciertamente, si
las funciones del predicado informal, pero no del predicado formal,
fueran verdaderas, entonces el ms reciente sera menos general que
el anterior y por tanto no sera razonable reemplazarlo). Cuando la
tesis se expresa en los trminos formales propuestos por Turing es
apropiado referirse a ella como la "tesis de Turing"; y mutatis
mutandis en el caso de Church.
El concepto formal propuesto por Turing es el de computable por
una mquina de Turing. He afirmado que si hay (Tesis de Turing) un
mtodo efectivo para obtener los valores de una funcin matemtica, la
funcin puede computarse en una mquina de Turing. La afirmacin
inversa puede establecerse fcilmente. Un programa de una mquina de
Turing es una especificacin de un mtodo efectivo: un ser humano
puede trabajar con las instrucciones del programa y realizar las
operaciones requeridas por este sin necesidad de acudir a la
comprensin o al ingenio. Si la tesis de Turing es correcta, hablar
sobre la existencia o no de mtodos efectivos puede reemplazarse en
matemticas y lgica por la existencia o no de programas de mquinas
de Turing.
La tesis de Turing fue formulada por Turing as:
Tesis de Turing: Las MCLs [mquinas de computacin lgica: la
expresin de Turing para las mquinas de Turing] pueden hacer
cualquier cosa que podamos describir como [un procedimiento]
"puramente mecnico". (Turing 1948:7.)
Y aadi:
Esto est tan bien establecido que es aceptado por muchos lgicos
que "calculable por medio de una MCL" es el modo correcto de aludir
a tales expresiones. (Ibid.)
Turing introdujo esta tesis al argumentar que el
Entscheidungsproblem, o problema de la decisin, para el clculo de
predicados -planteado por Hilbert- es insoluble. He aqu la
formulacin de Church al Entscheidungsproblem:
Por el Entscheidungsproblem de un sistema de lgica simblica hay
que entender el problema de encontrar un mtodo efectivo mediante el
cual, dada cualquier expresin en la notacin del sistema, pueda
determinarse si bien Q o no Q es demostrable dentro del
sistema.
El test de las tablas de verdad es un mtodo de este tipo para el
clculo proposicional. Turing mostr que, dada su tesis, no puede
haber tal mtodo para el clculo de predicados. Demostr formalmente
que no hay ninguna mquina de Turing que pueda determinar, en un
nmero finito de pasos, si una frmula dada del clculo de predicados
es o no un teorema del clculo. As, dada la tesis de que si tal
mtodo efectivo existe, puede realizarse por una de estas mquinas,
se sigue que tal mtodo no puede encontrarse.
Church haba llegado al mismo resultado negativo unos meses
antes, empleando el concepto de definibilidad-lambda en lugar de
computabilidad por una mquina de Turing. Church y Turing llegaron a
este descubrimiento de un modo independiente uno de otro
Church usa la expresin (informal) "efectivamente calculable"
para indicar que hay un mtodo efectivo para calcular los valores de
la funcin. Propone
Definir la nocin... de una funcin efectivamente calculable de
enteros positivos identificndola con la nocin de una funcin
recursiva de enteros positivos (o con una funcin lambda-definible
de enteros positivos)
El concepto de funcin lambda-definible se debe a Church y Kleene
y el concepto de funcin recursiva se debe a Gdel y Herbrand. La
clase de las funciones lambda-definibles y la clase de las
funciones recursivas son idnticas. Esto fue establecido en el caso
de las funciones de enteros positivos por Church y Kleene. Una vez
admitida la propuesta de Church, Turing estableci que el aparato de
la lambda-definibilidad y su propio aparato de computabilidad son
equivalentes. As, en la propuesta de Church, las palabras "funcin
recursiva de los enteros positivos" puede reemplazarse por las
palabras "funcin de los enteros positivos computable por una mquina
de Turing".
El trmino "tesis Church-Turing" parece que fue introducido por
Kleene, como una forma de eliminar prejuicios a favor de
Church:
Por tanto, las tesis de Turing y Church son equivalentes.
Normalmente nos referimos a ambas tesis como tesis de Church, o en
conexin con una de sus versiones que habla de "mquinas de Turing"
como tesis Church-Turing.Se acumul mucha evidencia a favor de la
"hiptesis de trabajo" propuesta por Church y Turing en 1936. La
mayor cantidad de estas evidencias fueron expuestas por C. S.
Kleene: (1) Toda funcin efectivamente calculable que se ha
investigado hasta ahora ha resultado ser computable por una mquina
de Turing. (2) Todos los mtodos u operaciones conocidos para
obtener nuevas funciones efectivamente calculables son mtodos
paralelos para construir nuevas mquinas de Turing a partir de una
mquina de Turing dada. (3) Todos los intentos de hacer un anlisis
exacto de la nocin intuitiva de funcin efectivamente calculable han
resultado ser equivalentes, en el sentido de que cada anlisis
ofrecido se ha realizado seleccionando la misma clase de funciones,
verbigracia, las que son computables por una mquina de Turing.
Debido a la diversidad de los anlisis realizados, esto ltimo se
considera como una evidencia fuerte
5. El sueo roto: verdad en las matemticas?
Entre los matemticos circula este chiste: "Dios existe porque la
matemtica est exenta de contradiccin, y el diablo existe porque la
no contradiccin no se puede probar". En efecto, doscientos aos
despus de Descartes la matemtica entr en una crisis tan radical que
muchos matemticos, pese a los pequeos xitos, perdieron la confianza
en conseguir la verdad con la matemtica. Hasta entonces su progreso
pareca rectilneo, constante e irresistible. Su aplicacin a la
mecnica celeste, a la electricidad, a todos los sectores de las
ciencias naturales y tcnicas ha trado enormes progresos en la
humanidad. Podra hacerse realidad el sueo de Descartes de una
ciencia matemtica universal? Ya Leibniz trat de elaborar un
lenguaje matemtico unitario, postulando una characterstica de la
razn en virtud de la cual las verdades de razn seran alcanzables
mediante el clculo, al igual que en la aritmtica y en el lgebra,
aplicando un mtodo deductivo.La lgica matemtica de los siglos XIX y
XX intent verificar la idea de Descartes y Leibniz. Pero en la
segunda mitad del siglo XIX la teora de conjuntos, base de la
actual matemtica, inicial por Cantor, hizo temblar la no
contradiccin y la incontestabilidad de la matemtica. El posterior
desarrollo de la teora de conjuntos trajo consigo antinomias y
contradicciones: algunos asertos, relacionados con el concepto de
"infinitud" podan ser al mismo tiempo probados y refutados
matemticamente. Sirva como ejemplo la antinomia lgico-matemtica de
Russell (y tambin de Burali y Forti) denominada el "conjunto de
todos los nmeros ordinales": Sobre cada conjunto de nmeros
ordinales hay un nmero ordinal que es mayor que todos los nmeros
ordinales que aparecen en el conjunto. Ahora bien, todo nmero
ordinal que es mayor que el "conjunto de todos los nmeros
ordinales" no puede aparecer en este conjunto (pues es mayor que
l), pero (tambin as se puede probar) debe aparecer en dicho
conjunto, ya que de lo contrario no se tratara del conjunto de
todos los nmeros ordinales.Si estos resultados, por s solos, ya
haban provocado inquietud, los resultados de Gdel y Church
vienieron a agravar la situacin. Pareca que el programa de Hilbert,
el ms bello programa de la historia de la humanidad, quedaba
definitivamente arruinado. Anulaban los resultados de Gdel el
programa de Hilbert? En parte s y en parte no. Anulaban el programa
de Hilbert en el sentido de que no se puede establecer
-simultneamente- la completud y consistencia de un sistema
axiomtico por mtodos puramente sintcticos. Ahora bien, s que hay un
modo de salvar la consistencia de la aritmtica: este modo consiste
en recurrir a la semntica. Es decir, la garanta de la coherencia de
los sistemas formales habr de buscarse en las interpretaciones que
sean modelos de dichos clculos; esto dar lugar al surgimiento de la
teora de modelos. Dado que es posible demostrar que si un clculo
admite un modelo, ese clculo es consistente, la tarea se centra
ahora en la bsqueda de modelos para nuestros clculos; pero con
ellos hemos abandonado el terreno de la sintaxis y nos hemos
adentrado en el terreno de la semntica.
En consecuencia, la situacin no parece tan grave, basta con
cambiar el terreno de la sintaxis por el de la semntica para que
todo siga funcionando. Sin embargo, algunos filsofos han llegado a
afirmar que el resultado de Gdel demuestra "el fracaso de la lgica"
o hasta "el fracaso de la razn". Contra estas afirmaciones bastan
las siguientes palabras de Manuel Sacristn:
[...] estas afirmaciones carecen de fundamento, como puede verse
por las siguientes consideraciones. En primer lugar, lo nico que
demuestra el teorema de Gdel es que resulta imposible conseguir un
conjunto de axiomas y un juego de reglas de transformacin que
suministren todas las verdades formales expresables en el lenguaje
de la lgica de predicados [...]En segundo lugar, el hecho de que la
lgica misma haya descubierto y demostrado los lmites o la
inviabilidad de una realizacin universal del programa algortmico,
en su forma clsica, es ms bien un xito que un fracaso de la
actividad capaz de tal resultado. El resultado mismo significa que
el pensamiento racional puede saber cuales de sus actividades son
algoritmizables, ejecutables (en principio) mecnicamente, y cules
no; cules son, como suele decirse, trabajo racional mecnico, y
cules trabajo racional productivo. Fracaso del pensamiento es ms
bien la situacin en la cual el pensamiento no sabe cul es el
alcance de su actividad, como suele ocurrir, dicho sea de paso, a
muchos filsofos (Introduccin a la lgica y al anlisis formal,
Barcelona, Crculo de Lectores, 1990, pp. 254 ss.)
6. Bibliografa
Blanch, R., La axiomtica, Mxico, UNAM, 1965
Bochenski, I. M., Los mtodos actuales del pensamiento, Madrid,
Rialp, 1973
Boole, G., El anlisis de la lgica, Madrid, Ctedra, 1979
Cohen, M., Nagel, E., Introduccin a la lgicay al mtodo
cientfico, Buenos Aires, Amorrortu, 1968, 2. vols.
Deao, A.: Introduccin a la lgica formal, Madrid, Alianza,
1974
Garrido, M.: Lgica simblica, Madrid, Tecnos, 1983
Gdel, K.: "Sobre proposiciones formalmente indecidibles de
Principia Mathematica y sistemas afines" en Gdel, K.: Obras
completas, Madrid, Alianza
Hilbert, D.: El pensamiento axiomtico, Revista matemtica
hispanoamericana, 1, (1919)
Hofstadter, D.R.: Gdel, Escher, Bach: un eterno y grcil bucle,
Barcelona, Tusquets
Mates, B., Lgica matemtica elemental, Madrid, Tecnos, 1970
Mostern, J.: Lgica de primer orden, Barcelona, Ariel, 1970
Nagel, E. y Newman, J.R.: El teorema de Gdel, Madrid, Tecnos
Poincar, H., La ciencia y la hiptesis, Madrid, Espasa-Calpe,
31963
Russell, B. y Whitehead, A.N.: Principia mathematica, Madrid,
Paraninfo, 1981
Sacristn, M., Introduccin a la lgica y al anlisis formal,
Barcelona, Crculo de Lectores, 1989
Suppes, P., Teora axiomtica de conjuntos, Cali (Colombia),
Norma, 1968
Tarski, A.: Introduccin a la lgica, Madrid, Espasa-Calpe,
1951