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7. GNSS (Global Navigation Satellite System) 7.0 GNSSとは何か？ GNSS (Global Navigation Satellite System) GPS (Global Positioning System, USA):最も popular. 事実上の標準. GLONASS (Russia):最近は地理院の GEONETでも受信している． Galileo (EU) Compass (Beidou北斗, China) QZSS (Quasi Zenith Satellite System) 「みちびき」 「自分がどこにいるのか」・・・海上では問題 昔は星の観測が頼り →人工衛星からの電波を利用しよう 1970年代から開発→1990年代から民間利用 7.1 GPS衛星の構成 6つの軌道面、60°毎のΩがあり、それぞれの軌道面に 4~5機以上飛んでいる。 全部で 2~30 機。離心率 e=0.003（ほぼ円軌道）、周回周期 0.5 恒星日、高度20183kmである。GPS衛星はマイクロ波の信号を発信しながら飛ぶ。 7.2 単独測位の原理 全ての GPS衛星には Cs/Rbの原子時計が搭載されている。S1が t=tsに信号を発信して、t=t1に Rで受信するとする。

ρ!! = c t! − t! 同様に S2、S3からの信号を受信したとすると、

ρ!! = c t! − t! 、ρ!! = c t! − t! ただし、受信機側には精密な時計はなく、GPS 衛星と受信機で時刻は同期していない。このズレδ!も未知数である。

X!! − X! = c t! − t! + δ! X!! − X! = c t! − t! + δ! X!! − X! = c t! − t! + δ! X!! − X! = c t! − t! + δ!

未知数 4つなので、最低 4つの衛星観測が必要。 7.3 GPS衛星からの信号の実際 マイクロ波を用いる GPS に限らず、ラジオテレビ等各種の放送の電波でも正弦波のままでは「情報」を運ぶことはできない。なんらかの「変調」(modulation)が必要で，受信機側でその情報を取り出すために「復調」している。(例. AM: Amplitude Modulation, FM: Frequency Modulation) 「搬送波」=正弦波のこと. Carrier wave(単に Carrier（キャリア）)と呼ぶ． GPSではこの波長がL1(1.5GHz, λ=19cm)とL2(1.2GHz,λ=24cm)の二種類がある． 「コード(測位符号)」: +１と-1 のように一見ランダムに見える「疑似ランダムノイズ(Pseudo Random Noise/PRN)」で搬送波が「位相変調」される．この PRNが各衛星によって決まっているので，受信機は衛星を識別できる．PRNは 1023チップからなり，これを 1ms(ミリ秒)つまり距離にして 300km分ずつ繰り返す． 「航法データ」：衛星軌道データや衛星自身の状態などの各種情報のことで、こ

れが常に 20000km上空から「放送」されている．一定時間毎に更新される． コードと航法データが二重に搬送波に載せられている． 7.4 相対測位(干渉測位) 衛星受信機間の距離を「搬送波」の位相（サイクル数. 2πをかければ radian単位の角度になる）で測る。 搬送波位相 Φ1

A (t) = φ1(t)−φA (t)+ N1

A （単位はサイクル） (1) φ1(t) : 時刻 tでの受信機 1での発信器の位相, φ A (t) : 時刻 tで受信した A衛星からの位相． 時刻 t の瞬間の衛星 A と受信機 1 との間の距離をρ1

Aとすると, 時刻 t での

衛星 Aそのものでの発信器の位相φSA (t)とφ A (t)の関係は以下のようになる．

φ A (t) = φSA (t − ρ1

A

c)

= φSA (t)− dφS

A

dtρ1A

c

= φSA (t)− f ρ1

A

c

よって Φ1A (t) = φ1(t)−φS

A (t)+ ρ1A

λ+ N1

A .

右辺の最初の二項は受信機と衛星の時刻 tでの位相の差を表す．受信機と衛

星に時刻同期の誤差がまったく無く，また搬送波周波数も厳密に同じであれ

ば，この二項は無視できる．実際にはそうはいかない．搬送波周波数 fのズレは時計の同期誤差(ズレ)に含めて， φ1(t) = f (t −δt1), φS

A (t) = f (t −δt A )とす

ると

Φ1A (t) = ρ1

A

λ+ N1

A + fδt A − fδt1 (1)’

と書ける．実際のデータには後述の電離層の効果，対流圏の効果も含まれる． 一つの観測点で，このようなデータを各衛星について 1秒から 30秒おきに取得している． 上の式(1)’の右辺は，未知量が多いため，これだけでは観測点の座標を求めることはできない：衛星の位置座標を既知としても．上の時刻同期の誤差

の未知量を減らすために，衛星 Aと受信機 2の位相データΦ2A (t)との差(「一

重差」とよぶ)と取って，δtAを cancelさせる．衛星 Bについても，受信機 1と受信 2の位相データを用いて，一重差をつくれば δtBは cancelできる．一重差どうしをさらに引き算すると Δ(Φ1

A −Φ2A )−Δ(Φ1

B −Φ2B ) ≡ ΔΦ1,2

A,B

δt1も δt2も cancelさせることができる．具体的な表式は

ΔΦ1,2A,B =

1λ( !xA − !x1 −

!xA − !x2 −!xB − !x1 +

!xB − !x2 )+1λ(N1

A − N2A − N1

B + N2B )

となる．右辺の最後の項はまとめて一つの整数 NA,B1,2と見なせる．左辺の二

重差を観測量として，受信機の座標(どこかは固定して，相対値とする)と整

数値 NA,B1,2を求める．衛星 A, B…の座標値は軌道データ(「暦(れき)」とよぶ)

として与えられる．一つの左辺の位相データに対して，同位相の面は整数値

NA,B1,2に応じて無数にあるが（配布資料の図参照），ある程度長時間の観測デ

ータがあれば，真の点座標だけは時間的に動かないので，一つに定めること

ができる． 最近では，二重差によらない「精密単独測位」とよばれる手法で，座標の

絶対値を求めることもある．

7.5 GPSで測れるもの 地面/物体の動き：広範な周波数帯域． ・電離層の電子数/対流圏の水蒸気量（可降水量）⇒屈折率 n(=c/v)の分布 c:光速、v:伝播速度

n = 1+N!q!!

2ε!m! ω!! −ω!

ε!:誘電率、m!:電子質量、q!: 電子の電荷 ω!:媒質中で束縛される電子の共鳴角振動数(ω = 2πf) ω:外から媒質に入る電磁波の角振動数 N!:単位体積あたりの電子数(1/m!) ω! マイクロ波のω 対流圏 10!"~10!"Hz(紫外線領域) 10!~10!"Hz ->事実上ωに依存しない 電離層 0 (“自由電子”) -> ωの逆二乗に依存(分散) n ≠ 1なので真空に比べて、

∆S = n− 1!!∆!

ds だけ見かけの距離変化を起こす。

電離層では、

n! = 1−af !   a =

N!q!!

8π!q!m!

aは正の量であり，屈折率は１より小さくなり，位相速度は光速よりも速い． （群速度は光速よりも遅くなる）

∆S = − !!!ds   ∝  − !

!!N!ds 全電子数(TEC: Total Electric Content)

二つの周波数 f1と f2を用いた観測を行えば，TEC を測定することができる（いわゆる「電離層補正」）．実際に，GNSSの精密観測では L1=1.5GHz, L2=1.2GHzが用いられているし，VLBI 測地においても S バンド, X バンドの二周波観測が行われている． 一方，対流圏では、周波数f ω への依存性なしで， 2 周波観測は対流圏に対しては無効．以下のような半経験的な式がある：

N! = n− 1 ×10! = 77.6PT− 5.6

eT+ 373×10

! eT!

但し、P: 気圧、T:温度、e:水蒸気分圧 P(hPa)、T(K)、e(hPa)は変動しやすい⇒補正が難しい

∆S! = n− 1 ds = 10!! N!ds

GPSの他の応用例⇒積雪計、テポドン追跡