第7章 信 道 编 码

第第 77 章 信 道 编 码章 信 道 编 码7.1 信道编码的基本概念7.2 线性分组码7.3 循 环 码7.4 BCH 码7.5 卷 积 码7.6 纠正突发错误码7.7 交 织 码7.8 级 连 码7.9 信道编码的性能界限7.10 实际信道编码应用7.11 Turbo 码7.12 高效率信道编码TCM

7.1 7.1 信道编码的基本概念信道编码的基本概念信道编码的目的是为了改善数字通信

系统的传输质量。由于实际信道存在噪声和干扰的影响，使得发送的码字与经信道传输后所接收的码字之间存在差异，我们称这种差异为差错。一般，信道噪声、干扰越大，码字产生差错的概率也就越大。

在有记忆信道中，噪声、干扰的影响往往是前后相关的，错误是成串出现的，一般在编码中我们称这类信道为突发差错信道。实际的衰落信道、码间干扰信道均属于这类信道。

有些实际信道既有独立随机差错也有突发性成串差错，我们称它为混合信道。

从信道编码的构造方法看，其基本思路是根据一定的规律在待发送的信息码中加入一些人为多余的码元，以保证传输过程可靠性。信道编码的任务就是构造出以最小多余度代价换取最大抗干扰性能的“好码”。

1. 1. 不重复不重复2. 2. 重复一次 重复一次 3. 3. 重复两次重复两次

线性分组码在构造时，将输入信息分成 k 位一组进行编码，并按照一定线性规律加上人为多余的码元，构成 n(n ＞ k) 位一组的输出，故一般可采用符号 (n ， k) 表示，其中 n 表示输出的码组长度， k 表示输入信息分组，即输出码组中信息码位数，显然余下的 r ＝ n-k 位码元则表示在编码过程中按照一定线性规律人为加入的多余码元。

前向纠错也称为自动纠错。发端发送具有一定纠错能力的码，收端译码时，若传输中产生差错的数目在码的纠错能力之内译码器可以对差错进行定位并自动加以纠正。反之，若差错数目大于纠错能力则无能为力。前向纠错 FEC 方式的主要优点是不需要反馈信道并能自动纠正差错，所以它比较适合于实时传输系统。

本章主要介绍应用最广的前向纠错，又称纠错编码。

上世纪 90 年代以来，相继寻找到并行级联的 Turbo 码和低密度校验码（ LDPC ）能在低频谱效率的二进制条件下逼进 Shannon 限。

7.2 7.2 线性分组码线性分组码线性分组码中的线性是指码组中码元间的约束关系

是线性的，而分组则是对编码方法而言。即编码时将每k 个信息位分为一组进行独立处理，变换成长度为 n(n＞ k) 的二进制码组。

由上述定义可见，一个线性分组编码 f 是一个从矢量空间 GF(2k) 到另一个矢量空间 GF(2n) 上的一组线性变换。它可应用线性代数理论中有限维的矩阵来描述。

(1) 将同一伴随式 S 所对应的错误图样排成一行，它总共有 2k 个彼此正交的元素 ( 码 ) ，构成一个集合，称它为陪集合；

(2) 将上述 2k 个正交元素 ( 码 ) 中汉明重量最小的元素放在该行的首位，并称它为陪集首；

(3) 将不同类型伴随式 S 所决定的2n-k 种 2k 个元素组成的行放在不同的列，而在不同列中行的排列与第一行相同，并完全对应；

(4) 所有各行中第一列的元素组成了一个集合，称它为陪集首集合，它是在最小距离准则下最可能产生错误的集合。

7.3 7.3 循 环 码循 环 码一个 (n ， k) 线性分组码，如

果每个码字经任意循环移位之后仍然是一个线性分组码，那么就称此码是一个循环码。

由于对任意一个 n 维矢量

c=(c0c1…cn-1)都可以用一个次数不超过 n-1 的多项式按下式惟

一的确定：

c(x)=c0+c1x+…+cn-1xn-1

当 c 是一个码字时，称相应 c(x) 的为码字多项式。

循环码是线性分组码的一个大子类，线

性分组码的一些主要性质，循环码均具有。因

此，循环码也可以分为系统码和非系统码两类，

它们之间是一种初等变换的关系。

CRC 即循环冗余校验 Cyclic Redundancy

Cheek 就是一种广泛用于检错的循环码。

循环码特别适合于检测错误，这是由于它既具有很强的检测能力，同时实现起来也比较简单。 CRC 用于检错，一般能检测如下错误：

(1) 突发长度＜ n-k+1 的突发错误；(2) 大部分突发长度＝ n-k+1 的错误，其中不可检出错

误仅占 2-(n-k-1)；(3) 大部分突发长度＞ n-k+1 的错误，其中不可检出错

误仅占 2-(n-k)；

(4) 所有与许用码组码距≤ dmin－ 1 的错误；(5) 所有奇数个错误。

常用的 CRC 码，已成为国际标准，有下列 4 种：CRC － 12

CRC － 16

CRC-CCITT

CRC － 32

其中 CRC － 12 用于字符长度为 6bit情况，后 3 种则用于8bit 字符。 CRC 码在数码通信及移动通信中得到广泛的应用。

7.4 7.4 BCH BCH 码码BCH 码是一类最重要的循环码，能纠正多

个 随 机 错 误 ， 它 是 1959 年 由 霍 昆 格 姆(Hocquenghem) 、 博 斯 (Bose) 和 查 得 胡 里(Chaudhuri)各自独立发现的二元线性循环码，人们用他们 3 人名字的字头 BCH命名为 BCH 码。由于它具有纠错能力强、构造方便、编码简单、译码也较易实现一系列优点因而广泛被采用。

BCH 码的码长为奇数，在实际使用中，为了得到偶数码长，并增加其检错性能，可以在 BCH 码的生成多项式中乘上一个 (1+x)因式，从而得到 (n+1,k+1)扩展 BCH 码，其码长为偶数。扩展 BCH 码相当于在BCH 码上加了一个全校验位，扩展后码距增加 1 。然而扩展BCH 码已不再具有循环性。例如 (23 ， 12)戈雷码在使用中常采用它的扩展形式，变成 (24 ， 12)扩展戈雷码，它能纠正 3 个错误，同时发现 4 个错误。

这里简要介绍彼得森译码的基本思路如下：1．用生成多项式 g(x) 的各因式作为除式，对接

收到的码多项式求余，得到 t 个余式，称为部分伴随式；2．用 t 个部分伴随式构造一个特定的译码多项式，

它以错误位置数为根；3．求译码多项式的根，得到错误位置；4． 纠正错误位置。

7.5 7.5 卷 积 码卷 积 码卷积码是 1955 年埃里亚斯 (Elias) 最早提出，稍后，

1957 年伍成克拉夫 (Wozencraft)提出了一种有效译码方法，即序列译码。 1963 年梅西 (Massey)提出了一种性能稍差，但比较实用的门限译码方法，由于这一实用性进展使卷积码从理论走向实用化。而后 1967 年维特比(Viterbi)提出了最大似然译码法。它对存储器级数较小的卷积码的译码很容易实现，人们后来称它为维特比算法或维特比译码，并被广泛地应用于现代通信中。

7.5.1 7.5.1 卷积码编码卷积码编码卷积码的编码器是由一个有 k 个输入位

（端）、 n 个输出位（端），且具有 m节移位寄存器所构成的有限状态的有记忆系统，通常称它为时序网络。卷积码编码原理图见图 7-5-1 。

图 7-5-1 卷积码编码器原理图

若输入信息序列为 u＝ (u0u1u2…)

则对应输出为两个码字序列：c①＝ (c0

①c1①c ２

①…… )

c②＝ (c0②c1

②c ２②…… )

其相应编码方程可写为：c①＝u*g①

c②＝u*g②

其中“ *” 表示卷积运算， g①、g②表示编码器的两个脉冲冲激响应。

7.5.2 7.5.2 卷积码的译码卷积码的译码1967 年，维特比 (Viterbi)引入了一种卷积码的译

码算法，这就是著名的维特比算法。后来小村 (omura)证明维特比算法等价于求通过一个加权图的最短径问题的动态规划解。最后，福尼 (Forney) 指出它事实上就是卷积码的最大似然译码算法。即译码器所选择的输出总是能给出对数似然函数值为最大的码字。

维特比算法，即是找出通过格子图中具有最大度量值的最大似然路径。这个算法在实际应用中是采用迭代方式来处理的。在每一步中，它将进入每一状态的所有路径的度量值进行比较。并存储具有最大度量值的路径，即幸存路径。其具体步骤可归纳如下。

① 从时刻 l=m开始，计算进入每一状态的单个路径的部分度量值，并存储每一状态下的幸存路径及其度量值。

② l增加 1 ， l=m+1 ，将进入某一状态的分支度量值与前一时间段的幸存度量值相加，然后计算进入该状态的所有最大度量的路径，即幸存路径及其度量，并删去所有其他路径。

③ 若 l ＜ L+m=5+2=7 ，重复步骤②，否则停止。

下面讨论维特比译码器的改进。从上面例子可看出维特比算法有如下特点。

(1) (n,k,m)卷积码编码器共有 2km 个状态，因此维特比译码器必须有 2km 个存储器，以便存储 2km 个幸存路径 (或信息序列u) 以及每一个路径与 y=(y0y1y2…yj-1) 的距离 dj 。可见译码器复杂性随 km 指数增长。为了使译码器不太复杂，一般取 m≤10 。

(2) 信息序列存储器存储的信息长度为 KL ，若 L很大则译码器存储量也随之增大，以致难以实用。

前面我们讨论了 BSC 信道中的维特比译码，它是硬判决译码，为了充分利用信道输出的信号所提供的有关信息，提高译码性能，我们可以不将解调器输出波形进行硬判决｛ 0 1｝，而是进行多电平量化 (Q=2m) ，然后再输入维特比译码器，我们称这种适应 Q 进制输入的维特比译码器为软判决维特比译码器。

*7.5.3 *7.5.3 卷积码的距离特性卷积码的距离特性在分组码中，常以最大的最小距离作为纠错能力的

度量。用状态图求生成函数的方法可以求得卷积码的距离

特性，特别是自由距离 df 。但是在给定 n,k 和 N 是无法求得 df 与卷积码生成多项式间的计算公式，必须逐个计算不同卷积码生成函数才能获得最大 df 的好码。

7.6 7.6 纠正突发错误码纠正突发错误码纠突发差错，既可采用分组码，也可采用卷积

码。在分组码中，循环码不仅对检测突发差错很有效，而且对纠正突发差错也是很有效的。其中最为典型的是法尔 (Fire) 码和 RS 码，法尔码是一类纠正突发差错的循环码，且能用很简单的电路实现译码。除法尔码以及 RS 码以外，应用分析法和计算机搜索方法也可构造一些纠正突发差错的循环编码。

纠 突 发 差 错 的 卷 积 码 首 先 是 由 哈 格 尔 巴 杰(Hagelberger) 构造。同一类型更为有效的码是稍后由岩垂(Iwadare) 和梅西 (Messey) 独立构造。怀纳 (Wyner) 和阿什(Ash) 最先研究用于纠定段突发差错的卷积码，同一类型最佳码稍后由伯利坎普 (Berlekemp) 和普霍帕拉塔 (preparatc)独立地发现。

除了法尔码以外，通过分析方法和计算机搜索，已找到一些非常有效的纠单个短突发错误的循环码和缩短循环码。

7.7 7.7 交 织 码交 织 码迄今为止，前面所介绍的各类信道编码除法尔码及

RS 码以外，都是用于无记忆信道的， 即是针对独立差错 ( 随机错误 )设计的。

这里，我们所要讨论的是可以纠正很长的突发差错，而且也不仅限于一个突发。在某种意义上说，它是一种信道改造技术，它通过信号设计将一个原来属于突发差错的有记忆信道改造为基本上是独立差错的随机无记忆信道。

假若，发送一组信息 X ＝ (x1x2…x24x25) ， 首先将 X 送入交织器， 同时将交织器设计成按列写入按行取出的 5×5 阵列存储器。然后从存储器中按行输出送入突发差错的有记忆信道， 信道输出送入反交织器， 它完成交织器的相反变换， 即按行写入按列取出， 它仍是一个 5×5 阵列存储器。

推广至一般，我们称这类交织器为周期性的分组交织器，分组长度为：

L ＝ M×N故又称之为 (M ， N) 分组交织器。它将分

组长度 L 分成 M 列 N 行并构成一个交织矩阵，该交织矩阵存储器是按列写入按行读出。

分组周期交织方法其特性可归纳如下。(1) 任何长度 l≤M 的突发差错，经交织

变换后，成为至少被 N-1 位隔开后的一些单个独立差错。

(2) 任何长度 l ＞ M 的突发性差错，经去交织变换后，可将长突发 l 变换成短突发l1＝［ l / M ］。

(3) 完成交织与去交织变换在不计信道时延的条件下，两端间的时延为 2MN 个符号，而交织与去交织各占MN 个符号，即要求存储MN 个符号。

(4) 在很特殊的情况下，周期为M 个符号单个独立差错序列经去交织后，会产生相应序列长度的突发错误。

7.8 7.8 级 连 码级 连 码在很多实际通信的信道中，出现的差错既不是单

纯随机独立的也不是明显的单个突发差错，而是混合型差错。为了对付这类混合差错，采用仅能纠正随机独立差错或纠正单个突发差错的码都不太合适。因此，我们希望能设计一类既能纠随机独立错误又能纠单个或多个突发差错的码。交错码、乘积码、级连码均属于这类纠错码。其中性能最好，最为有效，也最常采用的是级连码。

级连码是一种由短码构造长码的一类特殊的、有效的方法。它首先是由范尼 (Forney)提出的。

在编码时，首先将 k1·k2 个二进制信息元划分为 k2

个字节，每一个字节有 k1 个信息元。同时每一个字节内的 k1 个信息元按照二进制分组码或卷积码编成 (n1,k1)的内码 c1 ，即字节间共有 k2 个字节则一般按照非二进制 RS 码编成 (n2,k2) 的外码 c2。

1984 年美国 NASA给出一种用于空间飞行

数据网的级连码编码方案，以后被人们称为标准

级连码系统，它采用 (2 ， 1 ， 7)卷积码作为内

码、 (255 ， 223)RS 码作为外码，并加上交织器。

*7.9 *7.9 信道编码的性能界限信道编码的性能界限

信道编码的性能界限一般可划分为两大类型：一类是存在性的理论性能界限，即信道编码定理所要讨论的理论上的误码概率界限；另一类是构造性的性能界限，它又称为工程实现上的最小距离界限。

*7.9.1 *7.9.1 信道编码定理信道编码定理信道编码定理所要讨论的是信道编码的

存在性的理论性能界限，也即信道编码的极限或渐近性能，它是以随机编码为基础的。

*7.9.2 *7.9.2 信道编码的构造性能界限信道编码的构造性能界限所谓信道编码的构造性能界限即最小距离界限，

它在构造新码，估计新码性能时，很有用处，它可说明所寻找的新码与最好性能的码接近的程度。

伯利坎普 (Berlekamp)曾将编码理论研究归结为如下 3 个问题，最佳码性能有多好，如何设计好码以及如何译码。

*7.10 *7.10 实际信道编码应用实际信道编码应用

从前面分析可以看出，信道编码是提高通信系统可靠性的最主要手段，它不仅成功地用于典型的加性高斯噪声AWGN 信道，也成功的用于各类变参量的衰落信道。

在 GSM 中其信道编码和交织的总体方案包括以下 3 个步骤。

(1) 用分组码 ( 系统循环码 ) 进行外编码，建立由“信息比特 +奇偶校验比特”构成的码字，然后在其后加若干比特“ 0”作为尾比特。

(2) 用卷积码进行内编码，即将（ 1 ）中得到的“信息比特 +奇偶校验比特对于 TCH/FS还要进行重排 +尾比特”用卷积码进行编码，建立“编码比特”。

(3) 采用重排 ( 随机接入信道 RACH 和同步信道SCH除外 ) 和交织技术将衰落引起长突发错误改造为独立错误信道。

1.1. 外编码外编码 (( 分组循环编码分组循环编码 ))首先将输入待编码数据分成 20ms 的 260bit 一帧，并将其中一

级比特前 50bit( 一级 A 类 ) 进行 (53 ， 50 ， 2)截短循环码，其生成多项式为：

g(x)=1 ＋ x ＋ x3

得到 3 个奇偶校验比特 p(0),p(1),p(2) 。

码多项式为：

d(0)x52+d(1)x51+…+d(49)+p(0)x2+p(1)x+p(2)

2.2. 内编码内编码 (( 卷积器卷积器 ))首先将编码得到的 189bit 进行码速率为 1[]2

的 (2 ， 1 ， 4)卷积编码，其生成多项式为：

g0(x)=1 ＋ x3+x4

g1(x)=1+x+x3+x4

3.3. 重排和交织重排和交织

7.11 7.11 Turbo Turbo 码码1993 年法国人 Berrou等在 ICC国际会议上提出了

一种采用重复迭代（ Turbo ）译码方式的并行级联码，并采用软输入 / 输出译码器，可以获得接近 Shannon极限的性能，至少在大的交织器和 BER≈10-5 条件下，可以达到这种性能。 Turbo 码的优良性能，受到移动通信领域的广泛重视，特别是在第三代移动通信体制中，非实时的数据通信广泛采用 Turbo 码。本节将重点介绍它产生的背景和基本原理。

1. 1. 产生背景产生背景由 于 Turbo 码 的 性 能已逼近理 论 上 最 优 的

Shannon 信 道 编 码 的极限 ，因此 这里需首先简介Shannon 信道编码定理。

（（ 11 ） ） ShannonShannon 信道编码定理信道编码定理1948 年信息创始人 C.E.Shannon 从理论上证明了

信道编码定理，又称为 Shannon 第二编码定理。

Shannon等人的证明中引用了三个基本条件：

① 采用随机编译码方式；

② 编译码的码长 L∞ ；

③ 译码采用最佳的最大后验译码。

（ 2 ）目前实际工程中实现的信道编码① 长期以来，由于译码的复杂度高，人们

将构造信道编码的重点放在短码上，即寻找较简单可译码的短码结构，并使其具有尽可能大的最小距离，如分组码和卷积码等。

② 1996 年， Forney首先提出利用两个短码串接构成串行级联码。

· 其典型形式是内码采用较简单的卷积码，外码则采用较复杂的 RS 码；

· 其纠错能力亦为两者串联乘积，内码纠正组内（字节）随机独立差错，外码则纠正内码不能纠正的字节内、外随机与突发差错。

（（ 33 ） 关于最佳译码） 关于最佳译码① 就最大后验或最大似然准则而言，其译码复杂度一

般为 O （ 2k）， O （ 2n-k），其中 k 为分组信息码元长度。

② 从译码算法上看，到目前为止，工程上可用的最佳译码算法仅有约束长度较小（一般≤ 10 ）的维特比译码。

③ 准（次）最佳译码大致分为两个方向：逐位软判决译码和逐字（组）软判决译码。

④ Turbo 码采用的译码是 1997 年 Babl等人提出的计算每位码元最大后验概率的迭代算法，又称为 BCJR算法。

⑤ 采用 Forney 串接级联方式，虽然可由短码串接成长码，但由于码型确知，构造规则确知，一旦码率 R 接近信道容量 C ，其渐近性能都很差。

（（ 44 ）级联码的软输出译码）级联码的软输出译码① 理论与实际证明，软判决译码要比硬判决译

码改善大约 2 dB 。② 所谓硬判决是指传统的两电平“ 0” ，“ 1”

判决，在低信噪比时判决，容易丢失有用信息；而软判决则是按 m=2n 的多电平判决。

③ 传统的级联码典型结构如图 7-11-1 所示。

④ 为了改进级联码译码性能，最好让级联码中的外码 也 实 现软判决，但是 其 前提是 内 码必须软输出， BCJR逐位码元最大后验概率迭代算法可提供软输出译码算法，这样外码可以从传统的 RS 码改为软入 /软出的卷积码，又称为 SISO 译码算法。

⑤ 再进一步，若能将外码的软输出译码反馈至内码输入端，则使迭代译码成为可能，但是现有典型串接式反馈方式是难以实现的。

⑥ 难以实现的原因有两个：· 由串接编码方程，对于外码： c1=f(x)；对于内码：

c2=g(c1) ，因此外译码输出关于符号 x 的信息并不能直接提供关于内码输入 c2 的软信息；

· 简单反馈可能引入正反馈，使算法不收敛。⑦ 为了克服以上两个缺点，采用并行级联方式，并要求

两层码均为系统码，而通过两层间充分交织处理后，去掉已用过的关于该符号本身部分，则可消除正反馈。

2. 2. TurboTurbo 码编、译码结构码编、译码结构（ 1 ） Turbo 码的提出 Turbo 码是 1993 年在 ICC

国际会议上 由两位 法国教授与 一 位缅甸籍博士生（ C.Berrou,A.Clavieux 和 P.Thitimajshlwa ）共同提出。英文中前缀Turbo带有涡轮驱动，即反复迭代的含义。

（ 2 ） Turbo 码编码原理

（ 3 ） Turbo 码译码器结构（ 4 ） 结论初步分析经初步分析，其优良性能是由分量码设计、交织

器设计、译码算法及其并联结构进行组合优化共同取得的。

① Turbo 码的主要特色（优点） ② Turbo 码的主要缺点

7.12 7.12 高效率信道编码高效率信道编码 TCMTCM

1. 1. TCMTCM 提出的背景提出的背景为了适应电信工程上在模拟电话线

上高速拨号上网传送数据的需求，即研究限带（ 0 ～ 4kHz ）高速数据传输的要求 Ungerboeck 提出了网络编码调制（ TCM ）的新概念。

（ 1 ） 信号抗干扰性能主要决定于调制后信号在欧氏空间的距离大小。

（ 2 ） 一维调制 MASK 抗干扰性不如二维调制的 MPSK 和 MQAM ，因为在二维欧氏空间中的信号点的距离比在一维欧氏空间中的大。

（ 3 ） 在不增加总信号平均功率的条件下，信号点间的欧氏距离越来越密，这时要想进一步增加抗干扰性能，必须利用信道纠错码增大信号空间的维数以进一步扩大信号点间的欧氏距离。同时多维调制下的信道编码又会遇到两类距离的问题。

2. 2. 两类距离的概念两类距离的概念根据上面的分析，在调制中其抗干扰性主要取决

于调制后信号点在欧氏空间中距离的大小，即被调信号在欧氏空间中的距离越大，其抗干扰性也就越强。

因 此 在 这 种 情 况 下 特 别 是 对 二 进 制 通信， Shannon曾建议将通信系统优化的两个主要部分调制与信道编码分开来优化，这样可简化分析和实现。

3. 3. UngerboeckUngerboeck 子集划分理论子集划分理论1982 年， Ungerboeck 对多进制情况下的两

类距离的不一致性进行了深入的研究，并在此基础上提出了“子集划分”理论。利用这一理论将待传送的信源消息变成为待发送的调制信号，并用计算机搜索了一批符合子集划分且具有最大欧氏距离的信道纠错码，称它为 UB 码。

4. 4. TCMTCM 的实现的实现从上面的讨论可以看出 TCM 是通过扩展信号

的星座图的大小，而不是利用传统的扩展频带来获取编码增益的，故其频谱效率高，并称为高效编码调制。

这类最佳分割具有以下两个特点。（ 1 ） 星座中的所有信号点数大于未编码同类调

制所需的信号点数，通常是信号点扩大 1倍，扩大后多余的信号点为纠错编码提供了冗余度。

（ 2 ） 采用卷积码在信号点之间引入某种依赖性，只有某些信号点序列是允许出现的，这些允许信号点序列可以模型化为网格结构，故称为网格编码调制。

5. 5. TCMTCM 的应用的应用基于 Ungerboeck 对高效 TCM 的研究成果，很快

将这一技术应用于模拟电话线（ 0～ 4kHz ）的限带高速、高效数据传输中。 1986 年 ITU-T 通过了以 Wei提出的 8状态（ 3 ， 2 ， 4 ）非线性二维码为基础的 V.32和 V.33标准，后来接着又通过了仍以 Wei提出的另一种以 16状态（ 3 ， 2 ， 5 ）线性四维码为基础的 V.34标准。