Preparação para a Prova Final de Matemática 2.º Ciclo do Ensino Básico Olá, Matemática! – 6.º Ano Pág. 1 Álgebra Relações e regularidades Sequências e regularidades Proporcionalidade direta (Nota: As expressões numéricas e as propriedades das operações já foram abordadas na ficha Números naturais e Números racionais não negativos) Síntese Sequências e regularidades Lei de formação A lei de formação de uma sequência é a forma como se obtém um novo termo a partir do anterior. Exemplo: Na sequência 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , ... a lei de formação é "somar duas unidades ao termo anterior". Na sequência 3 , 9 , 27 , 81 , ... a lei de formação é "multiplicar por três o termo anterior". Proporcionalidade direta Razão Uma razão é um quociente entre dois números, e (que podem ser inteiros ou não inteiros), que se representa por ou ∶ ( ≠ 0). Antecedente e consequente A razão ou : pode ler-se “a razão de para ”. Esta razão tem dois termos: que é designado por antecedente e que é designado por consequente. Exemplo: Na razão , 7 é o antecedente e 9 é o consequente. Proporção Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Exemplo: A igualdade = é uma proporção. Meios e extremos Na proporção = , os termos e são os extremos e os termos e são os meios.
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Preparação para a Prova Final de Matemática 2.º Ciclo do Ensino Básico
Olá, Matemática! – 6.º Ano
Pág. 1
Álgebra
Relações e regularidades
� Sequências e regularidades
� Proporcionalidade direta
(Nota: As expressões numéricas e as propriedades das operações já foram abordadas na ficha
Números naturais e Números racionais não negativos)
Síntese
� Sequências e regularidades
Lei de formação
A lei de formação de uma sequência é a forma como se obtém um novo termo a partir do
anterior.
Exemplo:
� Na sequência 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , ... a lei de formação é "somar duas unidades ao termo
anterior".
� Na sequência 3 , 9 , 27 , 81 , ... a lei de formação é "multiplicar por três o termo
anterior".
� Proporcionalidade direta
Razão
Uma razão é um quociente entre dois números, � e � (que podem ser inteiros ou não inteiros),
que se representa por �
� ou � ∶ � (� ≠ 0).
Antecedente e consequente
A razão �
� ou �: � pode ler-se “a razão de � para �”.
Esta razão tem dois termos: � que é designado por antecedente e � que é designado por
consequente.
Exemplo:
� Na razão �
, 7 é o antecedente e 9 é o consequente.
Proporção
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões.
Exemplo:
� A igualdade �
�=
��
�� é uma proporção.
Meios e extremos
Na proporção �
�=
�
� , os termos � e � são os extremos e os termos � e � são os meios.
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Propriedade fundamental das proporções
Numa proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
�
�=
�
� é o mesmo que � × � = � × � (� ≠ 0 e � ≠ 0)
Numa proporção, para determinares…
… um extremo multiplicas os meios e divides o produto obtido pelo outro extremo.
… um meio multiplicas os extremos e divides o produto obtido pelo outro meio.
Percentagem
Uma percentagem representa uma razão cujo consequente é 100.
Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas � e � dizem-se diretamente proporcionais se o quociente �
� entre valores
correspondentes destas duas grandezas é constante. Esta constante �
� chama-se constante
de proporcionalidade.
Um gráfico de linha que represente a relação entre duas grandezas diretamente proporcionais
é uma semirreta.
Exemplo:
A tabela seguinte apresenta duas grandezas diretamente proporcionais.
N.º de quilos de
amêndoa (kg) 2 7 11
Preço (em €) 5 17,5 27,5
Como �
�=
��,�
�=
��,�
��= 2,5 , as grandezas preço e número de quilos são diretamente
proporcionais e 2,5 é a constante de proporcionalidade (significa que o preço de um quilo de
amêndoas é 2,5 €).
Escalas
Uma escala é a razão entre as dimensões da representação e as respetivas dimensões reais
de uma figura.
Se a razão é maior do que um representa uma ampliação.
Se a razão é menor do que um representa uma redução.
Escala = �� !"#õ!# �� %!&%!#!"'�çã*
�� !"#õ!# %!��#, em que as dimensões estão na mesma unidade de medida.
Exemplo:
Um retângulo de dimensões 5 cm e 7 cm é uma representação à escala de 2:50 de um
retângulo real. As dimensões reais deste retângulo são 1,25 m e 1,75 m, pois:
� �
�+=
�
� , em que � =
��+
�= 125 cm = 1,25 m ;
� �
�+=
�
� , em que � =
��+
�= 175 cm = 1,75 m .
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Nas próximas páginas encontrarás questões de provas finais de Matemática do 2.º
Ciclo seguidas de novas propostas semelhantes.
Não te esqueças que podes, e deves, consultar a síntese inicial sempre que tiveres
alguma dúvida.
Bom trabalho!
1. Determina os três termos seguintes de cada uma das sequências:
1.1. 1, 4, 9, …
1.2. 4, 16, 64, …
1.3. 5, 10, 20, …
2. Indica a lei de formação das seguintes sequências:
2.1. 5 , 10 , 15 , 20 , ...
2.2. 0 , 3 , 6 , 9 , ...
2.3. 3 , 7 , 11 , 15 , 19 , ...
2.4. 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , ....
2.5. 4 , 12 , 36 , 108 , 324 , ...
2.6. 2 , 1 , �
� ,
�
. ,
�
/ ,
�
�0 , ...
Prova final de Matemática (2013 - Caderno 2)
3. Dois amigos, o João e o Rodrigo, decidiram construir sequências numéricas.
O João construiu uma sequência em que cada termo era uma potência de base 3 e os termos
obtinham-se aumentando uma unidade ao expoente da potência anterior. Já o Rodrigo optou por
construir uma sequência numérica em que o primeiro termo é 4 e para obter cada um dos termos
seguintes adiciona uma unidade ao produto do termo anterior por dois.
Determina os termos inferiores a 100 que são comuns às sequências dos dois amigos.
4. A Patrícia escreveu os primeiros cinco termos de uma sequência cuja lei de formação é adicionar sete
unidades ao termo anterior.
Sabendo que o sexto termo desta sequência é 43, determina o primeiro termo da sequência que a
Patrícia escreveu.
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Prova final de Matemática (2013 - Caderno 2)
5. Observa a sequência de construções feitas com cubos. Para se passar de uma construção para a
seguinte, juntam-se três cubos à construção anterior.
1.ª construção 2.ª construção 3.ª construção 4.ª construção
Assinala com X a opção que apresenta o número de cubos da sétima construção.
� 13 � 19 � 21 � 16
6. A Francisca criou conjuntos com o mesmo número de motociclos e automóveis. Na tabela seguinte a
Francisca relacionou o número de motociclos e automóveis de cada um dos conjuntos com o número
total de rodas do conjunto de veículos.
N.º de motociclos e
automóveis do conjunto 1 2 3
N.º total de rodas dos
veículos 6 12
6.1. Completa a tabela dada.
6.2. Qual o número total de rodas de um conjunto composto por 10 motociclos e 10 automóveis?
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7. Observa a seguinte sequência não numérica, cujo termo seguinte se obtém construindo um novo
triângulo com vértices nos pontos médios dos lados do triângulo construído no termo anterior.
O número de triângulos dos primeiros três termos apresentados são, respetivamente, 1 , 5 , 9 .
7.1. Assinala com X a opção que apresenta o número de triângulos do sétimo termo desta
sequência.
� 20 � 25 � 24 � 21
7.2. Assinala com X a expressão que representa o número de triângulos do termo 1 desta
sequência.
� 41 � 51 3 4 � 41 3 3 � 1
8. Considera as seguintes igualdades.
7 × 1001 = 7007
17 × 1001 = 17017
171 × 1001 = 171171
1771 × 1001 = 1772771
17771 × 1001 = 17788771
177771 × 1001 = 177948771
8.1. Completa a seguinte igualdade, tendo em conta a regularidade sugerida pelas igualdades
anteriores.
1 777 771 × 1001 = ________________________
8.2. Sejam A, B e C os primeiros três termos da sequência cuja lei de formação é multiplicar o termo
anterior por 1001. Se o valor numérico de A é 1, assinala com X a opção que apresenta o valor