6.+Engranajes

8/13/2019 6.+Engranajes

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Captulo 6 Engranajes.

Fundamentos del KBE (Knowledge Based Engineering)Aplicacin al diseo de engranajes de ejes paralelos con Catia v5 189

CAPTULO 6

ENGRANAJES


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6.1. INTRODUCCIN

La aplicacin con Catia v5 al diseo de engranajes de ejes paralelos, exige lacompresin de estos mecanismos. En este captulo se har un repaso de la evolucin delos engranajes a lo largo de la historia, se clasificarn y entraremos de lleno en losengranajes de ejes paralelos y cilndricos, mostrando su geometra y sus parmetros msimportantes.

En un ltimo apartado se hace una breve descripcin de los esfuerzos msimportantes que soporta un engranaje cilndrico.

Todo este apartado corresponde al conocimiento sobre los engranajes que

almacenaremos ms adelante en la aplicacin con Catia v5.

6.2. DEFINICIN

Se denomina engranaje al mecanismo utilizado para transmitir potencia mecnicaentre las distintas partes de una mquina. Los engranajes estn formados por dos ruedasdentadas, de las cuales a la mayor se le denomina corona y a la menor pin. Unengranaje sirve para transmitir movimiento circular mediante contacto de ruedasdentadas. Una de las aplicaciones ms importantes de los engranajes es la transmisindel movimiento desde el eje de una fuente de energa, como puede ser un motor de

combustin interna o un motor elctrico, hasta otro eje situado a cierta distancia y que hade realizar un trabajo. De manera que una de las ruedas est conectada por la fuente deenerga y es conocido como engranaje motor y la otra est conectada al eje que deberecibir el movimiento del eje motor y que se denomina engranaje conducido. Si el sistemaest compuesto de ms de un par de ruedas dentadas, se denomina tren de engranajes.


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Figur a 6.1.Pin y corona

La principal ventaja que tienen las transmisiones por engranaje respecto de latransmisin por poleas es que no patinan como las poleas, con lo que se obtiene exactituden la relacin de transmisin.

6.3. HISTORIA

Desde pocas muy remotas se han utilizado cuerdas y elementos fabricados enmadera para solucionar los problemas de transporte, impulsin, elevacin y movimiento.Nadie sabe a ciencia cierta dnde ni cundo se inventaron los engranajes. La literatura dela antigua China, Grecia, Turqua y Damasco mencionan engranajes pero no aportanmuchos detalles de los mismos.


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Figura 6.2.Mecanismo de Anticitera

El mecanismo de engranajes ms antiguo de cuyos restos disponemos es elmecanismo de Anticitera. Se trata de una calculadora astronmica datada entre el 150 yel 100 a.C. y compuesta por al menos 30 engranajes de bronce con dientes triangulares.

Presenta caractersticas tecnolgicas avanzadas como por ejemplo trenes de engranajesepicicloidales que, hasta el descubrimiento de este mecanismo se crean inventados en elsiglo XIX. Por citas de Cicern se sabe que el de Anticitera no fue un ejemplo aislado sinoque existieron al menos otros dos mecanismos similares en esa poca, construidos por

Arqumedes y por Posidonio. Por otro lado, a Arqumedes se le suele considerar uno delos inventores de los engranajes porque dise un tornillo sin fin.

En China tambin se han conservado ejemplos muy antiguos de mquinas conengranajes. Un ejemplo es el llamado "carro que apunta hacia el Sur" (120-250 dC), uningenioso mecanismo que mantena el brazo de una figura humana apuntando siemprehacia el Sur gracias al uso de engranajes diferenciales epicicloidales. Algo anteriores, deen torno a 50 d.C., son los engranajes helicoidales tallados en madera y hallados en unatumba real en la ciudad china de Shensi.


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Figura 6.3.Transmisin antigua

No est claro cmo se transmiti la tecnologa de los engranajes en los siglossiguientes. Es posible que el conocimiento de la poca del mecanismo de Anticiterasobreviviese y, con el florecimiento de la cultura del Islam los siglos XI-XIII y sus trabajosen astronoma, fuera la base que permiti que volvieran a fabricarse calculadoras

astronmicas. En los inicios del Renacimiento esta tecnologa se utiliz en Europa para eldesarrollo de sofisticados relojes, en la mayora de los casos destinados a edificiospblicos como catedrales.

Leonardo da Vinci, muerto en Francia en 1519, dej numerosos dibujos yesquemas de algunos de los mecanismos utilizados hoy diariamente, incluido varios tiposde engranajes por ejemplo de tipo helicoidal.

Los primeros datos que existen sobre la transmisin de rotacin con velocidadangular uniforme por medio de engranajes, corresponden al ao 1674, cuando el famosoastrnomo dans Olaf Roemer (1644-1710) propuso la forma o perfil del diente enepicicloide.

Robert Willis (1800-1875), que fue considerado uno de los primeros IngenierosMecnicos cuando era profesor de Cambridge, fue el que obtuvo la primera aplicacinprctica de la epicicloide al emplearla en la construccin de una serie de engranajesintercambiables. De la misma manera, de los primeros matemticos fue la idea delempleo de la evolvente de crculo en el perfil del diente, pero tambin se deben a Willislas realizaciones prcticas. A Willis se le debe la creacin del odontgrafo, aparato quesirve para el trazado simplificado del perfil del diente de evolvente.


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Es muy posible que fuera el francsPhillipe de Lahire el primero en concebir eldiente de perfil en evolvente en 1695, muy

poco tiempo despus de que Roemerconcibiera el epicicloidal. La primeraaplicacin prctica del diente en evolventefue debida al suizo Leonhard Euler (1707).

En 1856, Christian Schieledescubri el sistema de fresado deengranajes rectos por medio de la fresa-madre, pero el procedimiento no se lleva ala prctica hasta 1887, a base de la patente

Grant. En 1874, elnorteamericano William Gleason inventa laprimera fresadora de engranajes cnicos ygracias a la accin de sus hijosespecialmente su hija Kate Gleason (1865-1933) ha convertido a su empresa GleasonWorks radicada en Rochester N. Y. en una

Figur a 6.4.Engranaje helicoidal de los fabricantes de mquinasde Leonardo herramientas ms importantes del mundo.

En 1897, el inventor alemn Robert Hermann Pfauter (1885-1914), inventa y

patenta una mquina universal de dentar engranajes rectos y helicoidales por fresa-madre. A raz de este invento y otras muchos inventos y aplicaciones que realiz sobre elmecanizado de engranajes fund la empresa Pfauter Company que, con el paso deltiempo se ha convertido en una multinacional fabricante de todo tipo de maquinas-herramientas.

En 1906 el ingeniero y empresario alemn Friedrich Wilhelm Lorenz (1842-1924)se especializ en crear maquinaria y equipos de mecanizado de engranajes y en 1906fabric una talladora de engranajes capaz de mecanizar los dientes de una rueda de 6 mde dimetro, mdulo 100 y una longitud del dentado de 1,5 m.

A finales del siglo XIX coincidiendo con la poca dorada del desarrollo de losengranajes, el inventor y fundador de la empresa Fellows Gear Shaper Company, EdwinR. Fellows (1846-1945) invent un mtodo revolucionario para mecanizar tornillos sinfnglbicos tales como los que se montaban en las cajas de direccin de los vehculos antesque fuesen hidrulicas.

En 1905, M. Chambon, de Lyon, fue el creador de la mquina para el dentado deengranajes cnicos por procedimiento de fresa madre. Por esas fechas aproximadamente

Andr Citron fue el inventor de los engranajes helicoidales dobles.


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Los engranajes helicoidales tienen la ventaja que transmiten ms potencia que losrectos, y tambin pueden transmitir ms velocidad, son ms silenciosos y ms duraderos;adems, pueden transmitir el movimiento de ejes que se corten. De sus inconvenientes se

puede decir que se desgastan ms que los rectos, son ms caros de fabricar y necesitangeneralmente ms engrase que los rectos.

Lo ms caracterstico de un engranaje cilndrico helicoidal es la hlice que forma,siendo considerada la hlice como el avance de una vuelta completa del dimetroprimitivo del engranaje. De esta hlice deriva el ngulo que forma el dentado con el ejeaxial. Este ngulo tiene que ser igual para las dos ruedas que engranan pero deorientacin contraria, o sea: uno a derechas y el otro a izquierda. Su valor se establece apriori de acuerdo con la velocidad que tenga la transmisin, los datos orientativos de estengulo son los siguientes:

Velocidad lenta: = 5 - 10Velocidad normal: = 15 - 25Velocidad elevada: = 30 - 45

Las relaciones de transmisin que se aconsejan son ms o menos parecidas a lasde los engranajes rectos.

Figura 6.6.Engranaje helicoidal


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6.4.1.3. Dobles helicoidales

Este tipo de engranajesfueron inventados por elfabricante de automvilesfrancs Andr Citron, y elobjetivo que consiguen eseliminar el empuje axial quetienen los engranajeshelicoidales simples. Losdientes de los dos engranajesforman una especie de V.

Figura 6.7.Vehculo Citron con el logotipo derodadura de engranajes helicoidales dobles

Los engranajes dobles son una combinacin de hlice derecha e izquierda. Elempuje axial que absorben los apoyos o cojinetes de los engranajes helicoidales es unadesventaja de ellos y sta se elimina por la reaccin del empuje igual y opuesto de una

rama simtrica de un engrane helicoidal doble.

Un engrane de doble hlice sufre nicamente la mitad del error de deslizamientoque el de una sola hlice o del engranaje recto. Toda discusin relacionada a losengranes helicoidales sencillos (de ejes paralelos) es aplicable a los engranajeshelicoidales dobles, exceptuando que el ngulo de la hlice es generalmente mayor paralos helicoidales dobles, puesto que no hay empuje axial.

Con el mtodo inicial de fabricacin, los engranajes dobles, conocidos comoengranajes de espina, tenan un canal central para separar los dientes opuestos, lo que

facilitaba su mecanizado. El desarrollo de las mquinas talladoras mortajadoras porgeneracin, tipo Sykes, hace posible tener dientes continuos, sin el hueco central. Comocuriosidad, la empresa Citron ha adaptado en su logotipo la huella que produce larodadura de los engranajes helicoidales dobles.


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Figura 6.8.Engranajes dobles helicoidales

6.4.2. Engranajes de ejes perpendiculares

Se fabrican a partir de un tronco de cono, formndose los dientes por fresado desu superficie exterior. Estos dientes pueden ser rectos, helicoidales o curvos. Esta familiade engranajes soluciona la transmisin entre ejes que se cortan y que se cruzan. Losdatos de clculos de estos engranajes estn en prontuarios especficos de mecanizado.

6.4.2.1. Cnicos de dientes rectos

Efectan la transmisin de movimiento de ejes que se cortan en un mismo plano,generalmente en ngulo recto, por medio de superficies cnicas dentadas. Los dientesconvergen en el punto de interseccin de los ejes. Son utilizados para efectuar reduccinde velocidad con ejes en 90. Estos engranajes generan ms ruido que los engranajescnicos helicoidales. Se utilizan en transmisiones antiguas y lentas. En la actualidad seusan muy poco.


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6.4.2.3. Cnicos hipoides

Parecidos a los cnicos helicoidales, se diferencian en que el pin de ataque esta

descentrado con respecto al eje de la corona. Esto permite que los engranajes sean msresistentes. Este efecto ayuda a reducir el ruido del funcionamiento.

Se utilizan en maquinas industriales y embarcaciones, donde es necesario que losejes no estn al mismo nivel por cuestiones de espacio.

Este tipo de engranajes necesita un tipo de aceite de extrema presin para sulubricacin.

Figu ra 6.11.Engranaje cnico hipoide

6.4.2.4. De rueda y tornillo sinfn

Es un mecanismo diseado para transmitir grandes esfuerzos, y como reductoresde velocidad aumentando la potencia de transmisin. Generalmente trabajan en ejes quese cortan a 90. Tiene la desventaja de no ser reversible el sentido de giro, sobre todo engrandes relaciones de transmisin y de consumir en rozamiento una parte importante dela potencia. En las construcciones de mayor

calidad la corona est fabricada de broncey el tornillo sin fin, de acero templado con elfin de reducir el rozamiento. Estemecanismo si transmite grandes esfuerzoses necesario que est muy bien lubricadopara matizar los desgastes por friccin.El nmero de entradas de un tornillo sin finsuele ser de una a ocho. Los datos declculo de estos engranajes estn enprontuarios de mecanizado. Figur a 6.12.Tornillo sin fin de montacargas


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6.4.2.5. Tornillo sin fin y corona glbicos

Con el fin de convertir el punto de contacto en una lnea de contacto y as distribuirmejor la fuerza a transmitir, se suelen fabricar tornillos sin fin que engranan con unacorona glbica.

Otra forma de distribuir la fuerza a transmitir es utilizar como corona una ruedahelicoidal y hacer el tornillo sin fin glbico, de esta manera se consigue aumentar elnmero de dientes que estn en contacto.

Finalmente tambin se produce otra forma de acoplamiento donde tanto el tornillosin fin como la corona tienen forma glbica consiguiendo mejor contacto entre las

superficies.

Figur a 6.13Tornillo sin fin y corona glbica

6.4.3. Aplicaciones especiales

6.4.3.1. Interiores

Los engranajes interiores o anulares son variaciones del engranaje recto en los

que los dientes estn tallados en la parte interior de un anillo o de una rueda con reborde,en vez de en el exterior. Los engranajes interiores suelen ser impulsados por un pin, unengranaje pequeo con pocos dientes. Este tipo de engrane mantiene el sentido de lavelocidad angular. El tallado de estos engranajes se realiza mediante talladorasmortajadoras de generacin.


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Figura 6.14.Mecanismo de engranajes interiores

6.4.3.2. Planetarios

Un engranaje planetario o engranajeepicicloidal es un sistema de engranajes (o trende engranajes) consistente en uno o msengranajes externos o satlites que rotan sobreun engranaje central o planeta. Tpicamente, lossatlites se montan sobre un brazo mvil oportasatlites que a su vez puede rotar enrelacin al planeta. Los sistemas de engranajesplanetarios pueden incorporar tambin el uso de

un engranaje anular externo o corona, queengrana con los satlites.

El engranaje planetario ms utilizado seencuentra dentro de la transmisin de unvehculo.

Figur a 6.15.Planetario

6.4.3.3. De cremallera

El mecanismo de cremallera aplicado a los engranajes lo constituyen una barracon dientes la cual es considerada como un engranaje de dimetro infinito y un engranajede diente recto de menor dimetro, y sirve para transformar un movimiento de rotacin delpin en un movimiento lineal de la cremallera. Quizs la cremallera ms conocida sea laque equipan los tornos para el desplazamiento del carro longitudinal.


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Para la relacin de transmisin valen las ecuaciones de las ruedas dentadas

Este sistema aporta beneficios sustanciales respecto al sistema correa-polea, puesal emplear cadenas que engranan en los dientes de los piones se evita el deslizamientoque se produca entre la correa y la polea. Presenta la gran ventaja de mantener larelacin de transmisin constante (pues no existe deslizamiento) incluso transmitiendograndes potencias entre los ejes (caso de motos y bicicletas), lo que se traduce en mayoreficiencia mecnica (mejor rendimiento). Adems, las cadenas no necesitan estar tantensas como las correas, lo que se traduce en menores averas en los rodamientos de lospiones.

Presenta el inconveniente de ser ms costoso, ms ruidoso y de funcionamiento

menos flexible, al no permitir la inversin del sentido de giro ni la transmisin entre ejescruzados; adems necesita una lubricacin (engrase) adecuada.

6.4.4.2. Polea dentada

Para la transmisin entre dos ejes queestn separados a una distancia donde no seaeconmico o tcnicamente imposible montaruna transmisin por engranajes se recurre a unmontaje con poleas dentadas que mantienen

las mismas propiedades que los engranajes esdecir, que evitan el patinamiento y mantienenexactitud en la relacin de transmisin.

Figura 6.18. Transmisin porpoleas dentadas

Los datos ms importantes de las poleas dentadas son:

Nmero de dientes

PasoAncho de la polea

El paso es la distancia entre los centros de las ranuras y se mide en el crculo depaso de la polea. El crculo de paso de la polea dentada coincide con la lnea de paso dela banda correspondiente.

Las poleas dentadas se fabrican en diversos materiales tales como aluminio, aceroy fundicin.


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6.5.1. Bomba hidrulica

Una bomba hidrulica es un dispositivo tal que recibiendo energa mecnica deuna fuente exterior la transforma en una energa de presin transmisible de un lugar a otrode un sistema hidrulico a travs de un lquido cuyas molculas estn sometidasprecisamente a esa presin. Las bombas hidrulicas son los elementos encargados deimpulsar el aceite o lquido hidrulico, transformando la energa mecnica rotatoria enenerga hidrulica.

Hay un tipo de bomba hidrulica que lleva en su interior un par de engranajes deigual nmero de dientes que al girar provocan que se produzca el trasiego de aceites uotros lquidos. Una bomba hidrulica la equipan todas las mquinas que tengan circuitos

hidrulicos y todos los motores trmicos para lubricar sus piezas mviles.

Figu ra 6.20.Bomba hidrulica


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6.5.2. Mecanismo diferencial

El mecanismo diferencial tiene por objeto permitir que cuando el vehculo d una

curva sus ruedas propulsoras puedan describir sus respectivas trayectorias sinpatinamiento sobre el suelo. La necesidad de este dispositivo se explica por el hecho deque al dar una curva el coche, las ruedas interiores a la misma recorren un espacio menorque las situadas en el lado exterior, puesto que las primeras describen una circunferenciade menor radio que las segundas.

El mecanismo diferencial est constituido por una serie de engranajes dispuestosde tal forma que permite a las dos ruedas motrices de los vehculos girar a velocidaddistinta cuando circulan por una curva. As si el vehculo toma una curva a la derecha, lasruedas interiores giran ms despacio que las exteriores, y los satlites encuentran mayor

dificultad en mover los planetarios de los semiejes de la derecha porque empiezan a rotaralrededor de su eje haciendo girar los planetarios de la izquierda a una velocidadligeramente superior. De esta forma provocan una rotacin ms rpida del semieje y de larueda motriz izquierda. El mecanismo diferencial est constituido por dos piones cnicosllamados planetarios, unidos a extremos de los palieres de las ruedas y otros dos pionescnicos llamados satlites montados en los extremos de sus eje porta satlites y que seengranan con los planetarios.

Una variante del diferencial convencional est constituida por el diferencialautoblocante que se instala opcionalmente en los vehculos todo-terreno para viajar sobrehielo o nieve o para tomar las curvas a gran velocidad en caso de los automviles de

competicin.

Figu ra 6.21.Mecanismo diferencial


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6.5.3. Caja de velocidades

En los vehculos, la caja de cambios o caja de velocidades es el elemento

encargado de acoplar el motor y el sistema de transmisin con diferentes relaciones deengranes o engranajes, de tal forma que la misma velocidad de giro del cigeal puedeconvertirse en distintas velocidades de giro en las ruedas. El resultado en la ruedas detraccin generalmente es la reduccin de velocidad de giro e incremento del torque.Los dientes de los engranajes de las cajas de cambio son helicoidales y sus bordes estnredondeados para no producir ruido o rechazo cuando se cambia de velocidad. Lafabricacin de los dientes de los engranajes es muy cuidada para que sean de granduracin. Los ejes del cambio estn soportados por rodamientos de bolas y todo elmecanismo est sumergido en aceite denso para mantenerse continuamente lubricado.

Figu ra 6.22.Eje secundario de caja de cambios

6.5.4. Reductores de velocidad

El problema bsico de las mquinas es reducir la alta velocidad de los motores auna velocidad utilizable por los equipos de las mquinas. Adems de reducir se debencontemplar las posiciones de los ejes de entrada y salida y la potencia mecnica atransmitir.

Para potencias bajas se utilizan moto-reductores que son equipos formados por unmotor elctrico y un conjunto reductor integrado.

Para potencias mayores se utilizan equipos reductores separados del motor. Losreductores consisten en pares de engranajes con gran diferencia de dimetros, de estaforma el engrane de menor dimetro debe dar muchas vueltas para que el de dimetromayor de una vuelta, de esta forma se reduce la velocidad de giro. Para obtener grandesreducciones se repite este proceso colocando varios pares de engranes conectados uno acontinuacin del otro.


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El reductor bsico est formado por mecanismo de tornillo sinfn y corona. En estetipo de mecanismo el efecto del rozamiento en losflancos del diente hace que estos engranajes tengan los

rendimientos ms bajos de todas las transmisiones;dicho rendimiento se sita entre un 40 y un 90%aproximadamente, dependiendo de las caractersticasdel reductor y del trabajo al que est sometido. Factoresque elevan el rendimiento:

ngulos de avance elevados en el tornillo.Rozamiento bajo (buena lubricacin) del equipo.Potencia transmitida elevada.Relacin de transmisin baja Figur a 6.23.Mecanismo reductor

(factor ms determinante). bsico

Las cajas reductoras suelen fabricarse en fundicin gris dotndola de retenes para que nosalga el aceite del interior de la caja.

6.6. ENGRANAJES DE EJES PARALELOS.

6.6.1. Introduccin a los engranajes rectos de involuta.

Al considerar dos superficies curvas en contacto directo, se ha demostrado que la

relacin de las velocidades angulares es inversamente proporcional a los segmentos enque es cortada la lnea de centros por la lnea de accin o normal comn a las dossuperficies en contacto. Si la lnea de accin siempre interseca la lnea de centros en unpunto fijo, entonces la relacin de las velocidades angulares permanece constante. Estaes la condicin que se desea cuando se acoplan dos dientes de engranajes: la relacin delas velocidades debe ser constante. Es posible suponer la forma del diente en uno de osengranajes y, aplicando el principio anterior (la norma comn interseca la lnea de centrosen un punto fijo), determinar el perfil del diente que se acopla. Dichos dientes seconsideran dientes conjugados y las posibilidades solamente estn limitadas por lahabilidad personal para formar los dientes. De las muchas formas posibles solamente se

han estandarizado la cicloide y la involuta. La cicloide se emple inicialmente, aunqueahora se ha reemplazo con la involuta en todas las aplicaciones excepto en los relojes depulso y pared. La involuta tiene varias ventajas, siendo las ms importantes su facilidadde fabricacin y el hecho de que la distancia entre los centros de dos engranajes deinvoluta puede variar sin cambiar la relacin de velocidades.


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Figura 6.24.Engranajes rectos

Figu ra 6.25. Poleas conectadas por un cable cruzado

Como sucede en el caso de las poleas de cable cruzado, figura 6.25, la relacin delas velocidades angulares es inversamente proporcional a los dimetros de las ruedas. Si

se cambia la distancia entre centros, la involuta 1, seguir moviendo a la involuta 2,aunque ahora estarn en contacto diferentes porciones de las dos involutas. En tanto nose cambien los dimetros de las ruedas, la relacin de velocidades seguir siendo lamisma.

Los crculos empleados como base para generar las involutas se conocen comocrculos base y son el corazn del sistema de engranajes de involuta. En la figura 6.26, elngulo comprendido entre una lnea perpendicular a la lnea de accin que pasa por elcentro del circulo base y una lnea desde O1 a Q (o desde O2 a Q) se conoce comongulo de presin de la involuta y es una dimensin del punto en la involuta en donde


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est ocurriendo el contacto. Si en la figura 6.26se marca como P el punto de interseccinde la lnea de accin y la lnea de centros, la relacin de las velocidades angulares serinversamente proporcional a los segmentos en que este segmento divide la lnea de

centros.

Es posible dibujar crculos por el punto P usando primero O1 como centro y luegoO2. La figura 6.27muestra esta situacin. El punto P se conoce como punto de paso y loscrculos que pasan por este punto se conocen como crculos de paso. Se puededemostrar que cuando la involuta 1 mueve a la involuta 2, los dos crculos de paso semueven juntos con la accin de rodamiento puro. Debido a que los segmentos en que elpunto P divide a la lnea de centros son ahora los radios de los crculos de paso, larelacin de las velocidades angulares es inversamente proporcional a los radios de losdos crculos de paso. Si el dimetro del crculo de paso 1 es D1 y el del crculo 2 es D2

entonces:

=

(6.1)

En una seccin posterior se demostrar que el numero de dientes en un engranees directamente proporcional al dimetro de paso. Por lo tanto:

=

=

(6.2)


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Figu ra 6.26.ngulo de presin Figur a 6.27.Crculos de pasode la involuta

6.6.2. Involumetra.

Al considerar la involuta para la forma de un diente, es necesario poder calculardeterminadas propiedades de la involuta.La figura 6.28muestra una involuta que se gener a partir de un crculo base de radio Rb.La involuta contiene dos puntos, A y B, con radios correspondientes RAy RBy ngulos depresin Ay B. Es fcil establecer una relacin para los factores anteriores debido a queel radio del circulo base permanece constante sin importar el punto que se estconsiderando. Por lo tanto,

Rb= RA cos A (6.3)

oRb = RBcos B

y

cos B =cos A (6.4)


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Figu ra 6.28. Generacin de la involuta

A partir de la ecuacin 6.4es posible determinar el ngulo de presin de la involuta encualquier punto de radio conocido en la involuta.

La figura 6.29 muestra la ilustracin de la figura 6.28 ampliada para incluir todo eldiente del engrane. A partir de esta ilustracin es posible desarrollar una ecuacin para

encontrar el espesor del diente en cualquier punto B, dado el espesor en el punto A.

Por el principio de la generacin de una involuta, el arco DG es igual a la longitudBG. Por lo tanto,

DOG =

=

tan B=

As,

DOG =

Tambin,

DOB = DOG B= tan B- B


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Tambin se puede demostrar que

DOA = tan A A

Figu ra 6.29. Generacin de la involuta ampliada

La expresin tan se denomina funcin de involuta y a veces se escribe comoinv . Es fcil calcular la funcin involuta cuando el ngulo es conocido; se expresa enradianes. Sin embargo es difcil convertir de inv a , por lo que se han publicadoextensas tablas de funciones de involuta.

Haciendo referencia nuevamente a la figura 6.29

DOE = DOB + = inv B+

Tambin

DOE = DOA + = inv A+

De las relaciones anteriores,

tB= 2R [ + inv A inv B] (6.5)


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Es posible calcular el espesor del diente por medio de la ecuacin 6.5 en cualquierpunto de la involuta, si se conoce es espesor en cualquier otro punto. Una aplicacin

interesante de esta ecuacin consiste en determinar el radio en el que el diente tomaforma de pico.

En este proyecto tambin utilizaremos la ecuacin en polares de la involuta:

r = rb (1 + t) (6.6)

siendo

r = el radio al centro de coordenadas del punto de la involuta en el que estemos.

t = el ngulo polar en radianes del punto de la involuta en el que estemos.rb = radio de la circunferencia base.

Junto con su ecuacin en paramtricas en un sistema de referencia cartesiano:

x = rb (cos t + t sen t)y = rb (sen t - t cos t) (6.7)

siendo:

x = coordenada en abscisa del punto de la involuta en el nos encontremos.

y = coordenada en ordenada del punto de la involuta en el que nos encontremos.rb = radio de la circunferencia base.t = parmetro, en este caso es el ngulo polar en radianes.

6.6.3. Detalles de los engranajes rectos

Para poder continuar con el estudio de los engranajes de involuta, es necesariodefinir los elementos bsicos de un engrane como se muestra en las figuras 6.30a yfiguras 6.30b. Tambin se debe sealar que al menor de dos engranes acoplados se le

llama pin; el pin es generalmente el engrane motriz. Si el radio de paso R de unengrane se hace infinito, entonces se obtiene una cremallera como se ve en las figuras6.30c y 6.31.El lado del diente de una cremallera es una lnea recta, que es la forma quetoma una involuta cuando genera sobre un crculo base de radio infinito. De lafigura 6.30a (4.8a), el paso base pbes la distancia desde un punto en un diente al puntocorrespondiente en el siguiente diente medido en el circulo base. El paso circular p sedefine en la misma forma, excepto que se mide en el crculo de paso. El adendo a y eldedendo b son distancias radiales medidas como se muestra. La porcin del flancodebajo del circulo base es aproximadamente una radial. La curva del diente es la lnea deinterseccin de la superficie del diente y la superficie de paso.


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Figura 6.30.Elementos bsicos del engranaje

Figu ra 6.31. Cremallera


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Aunque es imposible mostrarlo en las ilustraciones de la figura 6.30a, el juegoentre dientes es un aspecto importante en los engranajes. El juego entre dientes es lacantidad en que el ancho del espacio de un diente excede al espesor del diente que se

acopla en los crculos de paso. En teora, el juego entre engranes debera ser cero,aunque en la prctica se debe conceder determinada tolerancia para la dilatacin trmicay el error en los dientes. A menos que se especifique lo contrario, en este texto se suponeque el juego entre dientes es cero. En una seccin posterior se proporcionar un mtodopara calcular el juego entre engranes para un cambio en la distancia entre centros.

6.6.4. Caractersticas de la accin de la involuta.

En el estudio de la generacin de la involuta se vio que la normal comn a las dos

superficies involutas es tangente a los dos crculos base. A esta normal comn tambin sele llama la lnea de accin. El inicio del contacto ocurre en donde la lnea de accininterseca al crculo de adendo del engrane movido y el final del contacto ocurre en dondela lnea de accin interseca al crculo de adendo del engrane motriz. En la figura 6.32a sepuede apreciar que esto ocurre, como se muestra con el par de dientes que se aproximanal contacto y el mismo par que posteriormente abandona el contacto (sealado con lneaspunteadas). El punto A es el inicio del contacto y el punto B el final del contacto. Por lotanto, la trayectoria del punto de contacto est a lo largo de la lnea APB. El punto C esdonde el perfil del diente (engrane 1) corta el circulo de paso al inicio del contacto. Elpunto C es donde el perfil corta el circulo de paso al final del contacto. Los puntos D y Dson puntos similares en el engrane 2. Los arcos CC y DD se denominan arcos de accin

y deben ser iguales para que acurra la accin de rodamiento puro de los crculos de paso,como se mencion anteriormente. Los ngulos de movimiento generalmente sedescomponen en dos partes como se muestra en la figura 6.32a, en donde es el ngulode aproximacin y es el ngulo de receso. En general, el ngulo de aproximacin no esigual al ngulo de receso. Para que ocurra una transmisin continua, el arco de accindebe ser igual o mayor que paso circular. Si esto se cumple, entonces un nuevo par dedientes entrar en accin antes de que el par anterior deje de actuar.


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Figu ra 6.32a.Accin de la involuta.

La relacin del arco de accin con respecto al paso circular se conoce comorelacin de contacto. La relacin de contacto para los engranes de involuta tambin esigual a la relacin de la longitud de accin (o sea, la distancia desde el inicio hasta el finaldel contacto medida en la lnea de accin) con respecto al paso base y generalmente secalcula de esta forma, como se mostrar posteriormente. Considerada fsicamente, larelacin de contacto es el nmero promedio de dientes que estn en contacto. Porejemplo, si la relacin es de 1.60, no quiere decir que hay 1.60 dientes en contacto, sinoque alternadamente hay un par y dos pares de dientes en contacto y que bajo una basetemporal el nmero promedia 1.60. Este valor, por supuesto, se debe aumentar paracondiciones reales de operacin. Aunque es difcil sealar valores especficos debido alas muchas condiciones involucradas. Se ha establecido 1.40 como mnimo practico, con1.20 para casos extremos. Sin embargo, se debe notar que entre menor sea la relacin decontacto, mayor ser el grado de exactitud requerida para maquinar los perfiles yasegurar un funcionamiento silencioso.


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La figura 6.32b tambin muestra un ngulo , formado por la lnea de accin y unalnea perpendicular a la lnea de centros en el plano en el punto P. Este ngulo se conocecomo el ngulo de presin de los dos engranes acoplados o engranados y se debe

distinguir del ngulo de presin de la involuta de un punto en una involuta. Cuando los dosengranes estn en contacto en el punto de paso, ngulo de presin de los dos engranesacoplados y los ngulos de presin de involuta de las dos involutas en contacto en elpunto de paso sern iguales. Estos ngulos se pueden ver en la figura 6.10

Figura 6.32b.ngulos de presin e involuta de dos engranajes acoplados


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A partir de la figura 6.32b se puede obtener una ecuacin para la longitud deaccin Z.

En donde:

A = inicio del contactoB = final del contactoE1y E2= puntos de tangencia de la lnea de accin y los crculos baseR0= radio exteriorRb= radio base= ngulo de presinC = distancia entre centros

De acuerdo con la figura,

Z = AB = E1B + E2A E1E2

Por lo tanto,

Z = o1 1 + 2 2 - C sen (6.8)El paso base pbest dado por

pb= (6.9)En donde

Rb= radio baseN = nmero de dientes

La relacin de contacto mpes entonces

mp=

(6.10)


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6.6.5. Interferencia en los engranajes de involuta

Anteriormente se mencion que una involuta comienza en el crculo base y se

genera hacia fuera. En consecuencia, es imposible tener una involuta dentro del crculobase de un par de engranajes acoplados y estos dos puntos representan los lmitesextremos de la longitud de accin. Se dice que estos dos puntos son puntos deinterferencia. Si los dientes tienen una proporcin tal que el inicio del contacto ocurreantes de que se encuentre el punto de interferencia, entonces la porcin involuta delengrane movido se acopla con una porcin no involuta del engrane motriz y se dice queocurre una interferencia de involuta. Esta condicin se muestra en la figura 6.33; E1y E2muestran los puntos de interferencia que deben limitar la longitud de accin, A muestra elinicio del contacto y B muestra el final. Se ve que el inicio del contacto ocurre antes deque se encuentre el punto de interferencia E1; por lo tanto, hay interferencia. La punta del

diente movido socava o rebaja el flanco del diente motriz como se muestra mediante lalnea punteada. Hay varias formas de eliminar la interferencia, una de las cuales consisteen limitar el adendo del engrane movido de manera que pase por el punto de interferenciaE1, con lo que se da un nuevo inicio de contacto. Si se hace esto en este caso, se eliminala interferencia.

Figur a 6.33.Interferencia de involuta


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La interferencia de involuta es indeseable por varias razones. La interferencia y elrebaje resultante no solamente debilitan el diente del pin sino que tambin puedenquitar una pequea porcin de la involuta adyacente al crculo base lo que puede reducir

seriamente la longitud de accin.

Ahora se estudiarn las condiciones para que se presente interferencia entre unacremallera y un pin. En la figura 6.34 aparece un pin y una cremallera acoplados, Elpunto de tangencia de la lnea de accin y del circulo base del pin est sealado comoel punto de interferencia E, igual que como en el caso del pin y el engrane. Enconsecuencia, el punto de interferencia fija el adendo mximo para la cremallera para elngulo de presin mostrado. Con el adendo de la cremallera mostrado en la figura 6.34, elcontacto comienza en A y se presentar socavacin como se muestra mediante la lneapunteada. Si el adendo de la cremallera se extiende solamente a la lnea que pasa por el

punto de interferencia E, entonces el punto de interferencia se convierte en el inicio delcontacto y se elimina la interferencia.

Figu ra 6.34. Interferencia pin-cremallera

En la figura 6.34 se puede ver tambin que si un engranaje de radio finito con elmismo adendo que la cremallera (el adendo de la cremallera ahora pasa por el punto de

interferencia) se llegara a acoplar con el pin, el inicio del contacto ocurrira en la lneade accin en algn punto entre el punto de paso P y el punto de interferencia E. Enconsecuencia, no habra probabilidad de que ocurriera interferencia entre el pin y elengrane. Por lo tanto, se puede concluir que si el numero de dientes en el pin es tal queeste se acople con una cremallera sin interferencia, entonces tambin se acoplar sininterferencia con cualquier otro engrane que tenga el mismo o mayor numero de dientes.


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Aunque se debe evitar la interferencia de involuta y su rebaje resultante, se puedetolerar una pequea cantidad si no reduce la relacin de contacto, para un par deengranes acoplados, por debajo de un valor adecuado. Sin embargo, es difcil el problema

de determinar la longitud de accin cuando ha ocurrido el rebaje y no se puede calcular apartir de la ecuacin 6.8 De la figura 6.32 y la ecuacin 6.8 se puede ver que si el valor decualquier radical es mayor que Csen, entonces se tendr interferencia

6.6.6. Estandarizacin de engranajes

Hasta el momento no se ha intentado tratar el problema de la estandarizacin delos engranajes rectos para facilitar el desarrollo de engranajes intercambiables. Lo que sevio anteriormente solo se aplica a los engranajes rectos en general sin considerar el

aspecto de intercambiabilidad. Junto al problema de la intercambiabilidad se encuentra laforma de cmo se van a cortar los engranajes.

Existen varias formas para maquinar los engranajes rectos, la ms antigua de lascuales consiste en utilizar una fresa de forma para quitar el material entre los dientes amedida que el disco para el engrane se posiciona a lo largo de una revolucin completaen una fresadora. Este mtodo produce un perfil compuesto de involuta y cicloide yencuentra aplicacin principalmente en la fabricacin de engranajes de repuesto que nose pueden obtener econmicamente a partir de las formas convencionales. Losengranajes rectos modernos se generan para producir un perfil de involuta en los dientes.Los dos mtodos ms usuales para producir engranajes rectos actuales son el mtodo de

fresado y el mtodo de formado Fellows.Las figuras 6.35y 6.36muestran, respectivamente, los principios de fresado y del mtodode Fellows para el corte de engranajes exteriores. Para el corte de engranajes internospequeos es necesario utilizar el mtodo de Fellows; sin embargo, si se cuenta conespacio es posible fresar engranajes con resalto o reborde en donde el espacio en unextremo de los dientes es insuficiente para permitir la carrera de una fresa, como semuestra en la figura 6.35a.


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Figu ra 6.35a.Generacin de un engranaje recto con una fresa generatriz


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Figur a 6.35b.Fresadora de engranajes rectos.

Al desarrollarse la tecnologa de los engranajes se busc una forma para clasificarlos cortadores y los engranajes que estos producen. El mtodo adoptado en los EstadosUnidos consisti en especificar la relacin del nmero de dientes con respecto al dimetrode paso. A esta relacin se le dio el nombre depaso diametraly se expresa como

Pd= (6.11)en donde

N = nmero de dientesD = dimetro de paso en pulgadas, pulg.

Aunque las unidades del paso diametral estn en dientes por pulgadas, no se acostumbradar las unidades cuando se especifican valores numricos.

En Europa, el mtodo de clasificacin consiste en especificar la relacin deldimetro de paso con respecto al nmero de dientes, y a esta relacin se le denominamdulo.Por lo tanto, el mdulo es el recproco del paso diametral y se expresa como

m = (6.12)

en donde


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D = dimetro de paso en milmetros, mmN = nmero de dientesLos valores numricos de los mdulos se especifican en unidades de milmetros.

Debe notarse que el paso diametral y el mdulo se definen como relaciones y noson distancias fsicas que se quedan medir en un engrane. El paso circular, por elcontrario, se defini anteriormente como la distancia medida a lo largo del circulo de pasodesde un punto en un diente hasta el punto correspondiente en el siguiente diente, Larelacin entre el paso circular y el paso diametral o modulo puede expresarse como sigue:

p = =

(FPS) (6.13)

p =

=

m (SI) (6.14)

en donde

p = paso circularPd = paso diametralm = mdulo

Figu ra 6.36a.Mtodo Fellows de generacin de engranajes.


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Figura 6.36b.Cortador Fellows.

Para fines de especificar los cortadores de engranes, los valores del paso

diametral y del mdulo se tomaron generalmente como nmeros. La siguiente es una listade fresas para engranes disponibles comercialmente en pasos diametrales con ngulosde presin de 14 y 20.

2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1 2, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30,32, 36, 40, 42, 48, 50, 64, 72, 80, 96, 120

Se pueden especificar pasos ms finos con incrementos pares hasta llegar a 200.Los pasos que se utilizan comnmente para los engranes de precisin en instrumentosson 48, 64, 72, 80, 96 y 120. La AGMA (Asociacin Americana de Fabricantes deEngranajes) tambin incluye en la lista pasos diametrales de y 1, aunque losfabricantes de herramientas generalmente no mantienen en existencia fresas con estostamaos. La siguiente es una lista de fresas estndar en mdulos mtricos (ngulo depresin 20).

1, 1.25, 1.50, 1.75, 2, 2.25, 2.50, 2.75, 3, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20


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Cuando los cortadores se estandarizaron, se adopt un ngulo de presin de 14.Esto se dio como consecuencia del proceso de fundido de engranes que empleaba unngulo de 14 debido a que el seno 14 se aproxima a . Posteriormente, tambin se

adopt un ngulo de 20. Tanto 14 como 20 se han utilizado durante muchos aos,pero la tendencia en aos recientes ha sido hacia el empleo de 20 en preferencia sobreel ngulo de 14. En una seccin posterior se muestra que es posible cortar un pin conmenos dientes y sin socavacin cuando se utiliza una fresa con un ngulo de presin de20 en lugar de una de 14. Como resultado de la tendencia hacia mayores ngulos depresin, la AGMA ha adoptado 20 y 25 para engranajes de paso grueso (1-19.99 Pd) y20 para engranajes de paso fino (20-200 Pd). Los estndares mtricos britnicos yalemanes especifican un ngulo de presin de 20. La Sociedad de Ingenieros

Automotrices (SEA) en su norma aeroespacial ASI 560 para engranes mtricosrecomienda un ngulo de presin de 20 para propsitos generales. Tambin se incluyen

ngulos de presin de 22.5 y 25 debido a que estos ngulos de alta presin se empleanpara los engranajes de la industria aeroespacial.

Las proporciones de los dientes de los engranajes rectos de involuta de la normaamericana (FPS) se presentan en la tabla 6.1.

Paso grueso

(119.99 Pd)

AGMA 201.02

Agosto 1974

20 o 25Profundidadtotal

Paso fino

(20200 Pd)

AGMA 207.06

Noviembre 197720Profundidadtotal

Adendo(a) 1.000/Pd 1.000/Pd

Dedendo(b) 1.250/Pd 1.200/Pd+0.002(min)

Claro c

(dedendoadendo) 0.250/Pd

0.200/Pd+0.002

(min)*

Profundidad de trabajo (hk)

(dobledeladendo) 2.000/Pd 2.000/Pd

Profundidad total (ht)

(adendo+dedendo) 2.250/Pd 2.200/Pd+0.002(min)

Radio de filete de la cremallerabsica(rf) 0.300/Pd Noestdado

Espesordeldiente(t) 1.5708/Pd 1.5708/Pd

*Paradientesrecortadosorectificados,c=0.350/Pd+0.002(min)

Tabla 6.1.Proporciones de los dientes- Engranajes rectos de involuta.


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La tabla 6.2 da las proporciones para los engranajes rectos de 14 deprofundidad total y de 20 con escote. Aunque estos engranajes raras veces seespecifican en los diseos nuevos, son esenciales para los engranajes de repuesto de

maquinaria ms antigua.

Debido a su diseo, los cortadores de forma para engranajes se clasifican nosolamente de acuerdo al paso diametral o mdulo, sino tambin de acuerdo al dimetrode paso y al nmero de dientes. La tabla 6.3 muestra una lista de cortadores de formaestndar para engranajes rectos clasificados segn el paso diametral, y la tabla 6.4muestra una lista de cortadores de forma para engranajes rectos mtricos. La tabla 6.5muestra los mdulos mtricos de la norma britnica. Las proporciones de los dientes sonlas siguientes:

Adendo (a) 1.000 mDedendo (b) 1.250 mngulo de presin () 20

La tabla 6.6 muestra los mdulos mtricos de la norma alemana. Las proporcionesde los dientes son las siguientes:

Adendo (a) 1.000 mDedendo (b) 1.157 m 1.167 m

ngulo de presin () 20

14Profundidadtotal 20conescote

Adendo(a) 1.000/Pd 0.800/Pd

Dedendo(b) 1.157/Pd 1.000/Pd

Claro(c) 0.157/Pd 0.200/Pd

Radiodelfilete(rf) 0.209/Pd 0.304/Pd

espesordeldiente(t) 1.5708/Pd 1.5708/Pd

Tabla 6.2.Proporciones de los dientes para engranajes rectos de 14 de

profundidad total y 20 escotados


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Paso

diametral Dimetrodepaso,pulg Numerodedientes

(a)Angulodepresinde144 4 5 16 20

5 4 20

6 4 5 24 30

8 4 5 32 40

10 3 4 5 30 40 50

12 3 4 36 48

16 3 4 48 64

20 3 4 60 80

24 3 72

32 3 90(b)ngulodepresin20

3 4 12

4 4 5 6 16 20 24

5 4 5 6 20 25 30

6 4 5 6 24 30 36

8 3 4 5 6 24 32 40 48

10 3 4 5 30 50

12 3 4 5 36 40 60

14 4 56 48

16 3 4 48 6418 4 72

20 3 4 60 80

24 3 72

32 3 96

Tabla 6.3.Cortadores de forma para engranajes rectos

Debido a los cortadores para engranes tanto del sistema americano (FPS) como

del sistema mtrico se tomaron generalmente como nmeros enteros, la conversin delos pasos diametrales a los milmetros de los mdulos no produce valores de nmerosenteros. Ver tabla 6.7.

Los smbolos mtricos que se emplean para designar las proporciones de losengranes rectos varan considerablemente con respecto a los recomendados por la

AGMA. La tabla 6.8 muestra la comparacin entre los smbolos de la AGMA y lapropuesta ISO 701 de la norma internacional.


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Modulo

Paso

diametral

Dimetro de

paso,pulg

Nmero de

dientes

1.0 25.400 2.992 761.5 16.933 2.953 50

2.0 12.700 2.992 38

2.5 10.160 2.953 30

3.0 8.466 3.071 26

3.5 7.257 3.031 22

4.0 6.350 4.094 26

4.5 5.644 3.897 22

5.0 5.080 3.937 20

6.0 4.233 4.252 18

8.0 3.175 5.039 16

Tabla 6.4.Cortadores de forma mtricos para engranajes rectos:ngulo de presin de 20 - Profundidad total

Mdulospreferidos Mdulossecundarios

1 1.125

1.25 1.375

1.5 1.75

2 2.252.5 2.75

3 3.5

4 4.5

5 5.5

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20 2225 28

32 36

40 45

50

Tabla 6.5.Mdulos mtricos normales de la norma britnica


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0.3 2.5 8 27

0.4 2.75 9 30

0.5 3 10 330.6 3.25 11 36

0.7 3.5 12 39

0.8 3.75 13 42

0.9 4 14 45

1 4.5 15 50

1.25 5 16 55

1.5 5.5 18 60

1.75 6 20 65

2 6.5 22 70

2.25 7 24 75

Tabla 6.6.Mdulos mtricos de la norma alemana.

Paso

diametral

Mdulo

milmetros

Paso

diametral

Modulo

milmetros

0,5 50,8000 11 2,3091

0,8 33,8667 12 2,1167

1,0 25,4000 13 1,9538

1,3 20,3200 14 1,81431,5 16,9333 15 1,6933

1,8 14,5143 16 1,5875

2,0 12,7000 17 1,4941

2,3 11,2889 18 1,4111

2,5 10,1600 19 1,3368

2,8 9,2364 20 1,2700

3,0 8,4667 24 1,0583

3,5 7,2571 32 0,7938

4,0 6,3500 40 0,6350

5,0 5,0800 48 0,52926,0 4,2333 64 0,3969

7,0 3,6286 72 0,3528

8,0 3,1750 80 0,3175

9,0 2,8222 96 0,2646

10,0 2,5400 120 0,2117

Tabla 6.7.Paso diametral y mdulo mtrico


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AGMA ISO701

Nmerodedientes N z

Radiodepaso R rDimetrodepaso D d'

Radioexterior R0 ra

Dimetroexterior D0 da

Radiobase Rb rb

Anchodecara F b

Adendo a ha

Dedendo b hf

Pasocircular p p

Pasobase pb pb

ngulodepresin

Longituddeaccin Z g

Relacin de contacto

(transversal) mp

Distanciaentrecentros C a

Profundidaddetrabajo hk

Profundidadtotal ht h

Espesordeldiente t s

Claro c c

Juegoentredientes B jt

Tabla 6.8.Smbolos de los engranajes rectos.

Si los engranes rectos se producen con cortadores estndar, podrnintercambiarse si se satisfacen las siguientes condiciones:

1. Los pasos diametrales o mdulos de los cortadores utilizados para producir losengranes son iguales.

2. Los ngulos de presin de los cortadores son iguales.3. Los engranes tienen los mismos adendos y los mismos dedendos.

4. Los espesores de los dientes de los engranajes son iguales a la mitad del pasocircular.

Con frecuencia se emplea el trmino de engranes estndar y significa que elengrane fu cortado por uno de os cortadores estndar presentados anteriormente y que elespesor del diente es igual al espacio del diente que es igual a la mitad del paso circular.Los engranes estndar son intercambiables. Los engranes rectos que se ofrecen a laventa en los catlogos de los fabricantes de engranes son engranes estndar. Sinembargo, la mayora de los engranes usados en la industria automotriz y en la industria


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de la aviacin son del tipo no estndar y presentan ciertas ventajas sobre los engranesentandar:

Obtencin de relacin de velocidad exacta Mejorar la suavidad de operacin Aumentar la capacidad de carga del juego de engranajes empleado Evitar la interferencia

Pero el estudio de engranajes no estndar no es objeto de este proyecto

6.6.7. Nmero mnimo de dientes para evitar la interferencia.

Anteriormente se consider el problema de la interferencia al acoplar un pin y suengrane y al acoplar un pin y una cremallera. Al estudiar la figura 6.34se encontr quesi no hay interferencia entre un pin y una cremallera, no habr interferencia entre elpin y un engrane del mismo tamao o mayor que el pin. Naturalmente, esto suponeque en ambos casos se tienen las mismas proporciones de los dientes.

Cuando se considera un engrane estndar en el que las proporciones de losdientes son las dadas en las tablas, es posible calcular el nmero mnimo de dientes enun pin para que se acople con una cremallera sin que haya interferencia de involuta.Para resolver este caso lmite, la lnea de adendo de la cremallera se pasa por el punto deinterferencia del pin.

En la figura 6.37 se muestran las caractersticas esenciales de un pin y unacremallera para este caso. El punto de paso se designa mediante P y el punto deinterferencia mediante E. Por lo tanto,

sen =

tambin

sen = = /


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Figur a 6.37.Interferencia pin-cremallera.

en donde k es una constante que, al dividirse entre el paso diametral, da el adendo (a=k/Pd). Para el sistema de profundidad total, k= 1.00; y para el sistema con escote, k =0.80. Si las dos ecuaciones para seno se multiplican entre s, se obtiene

sen =

Pero

Pd =

En donde N = nmero de dientes. Por lo tanto,

sen =

y

N =

(6.15)


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A partir de esta ecuacin se puede calcular el nmero ms pequeo de dientes deun pin para que se acople con una cremallera sin que haya interferencia, para cualquiersistema estndar de dientes. Estos valores se muestran en la tabla 6.9 para los sistemas

comunes. Debido a que estos valores se calcularon para un pin que se acopla con unacremallera, tambin se pueden usar como valores mnimos para que un pin que seacopla con un engrane sin que haya interferencia.

14

Profundidad

total

20

Profundidad

total

22.5

Profundidad

total

25

Profundidad

total

N 32 18 14 12

Tabla 6.9.Nmero mnimo de dientes para acoplamiento con una cremallerasin que haya socavacin o rebaje.

Debido a que la accin de los dientes de una fresa que corta a un engrane recto essimilar a la de un pin que se acopla con una cremallera, la ecuacin 6.15 se puedeemplear para determinar los nmeros mnimos de dientes que se pueden cortar sin quehaya socavacin o rebaje. Para este caso, el valor k debe incrementarse desde 1.000para permitir el corte del claro necesario entre los engranes que se acoplan. Esto da porresultado un valor de k= 1.157 para engranajes de 14 y k= 1.250 para engranes 20 y25. Por lo tanto, el nmero mnimo de dientes que se pueden fresar es de 37 para un

ngulo de presin de 14, de 21 para un ngulo de presin de 20 y de 14 para unngulo de 25. La figura 6.38 muestra dos diagramas generados por computadora de unengranaje recto de 10 dientes, socavacin profunda, cortado con una fresa de 20 deprofundidad total.

Figu ra 6.38.Engranaje recto estndar con socavacin, con N=10


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La determinacin del nmero mnimo de dientes que un cortador de piones puedegenerar en un engrane sin que haya socavacin es ms difcil que la determinacin delnmero mnimo de dientes cuando el engrane se corta mediante una cremallera o fresa. A

partir de la figura 6.39 se puede desarrollar una ecuacin para determinar el nmeroaproximado de dientes. En esta figura, el circulo de adendo del engrane 2 pasa por elpunto de interferencia E del engrane 1. La siguiente relacin para el radio exterior delengrane 2 puede escribirse como

R02= 2 Sustituyendo,

R02= R2+ a =

cos

Rb2= R2cos =cos

Figur a 6.39.Interferencia.


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y

C = R1+R2= Por tanto,

=

y

(N2+2k) = (N2) cos + (N1+N2) sen

Si se desarrolla y utiliza la relacin cos + sen = 1 se obtiene la siguienteecuacin a partir de la cual se puede determinar el mayor engrane recto (N2) que sepuede acoplar con un engrane dado (N1) sin que haya interferencia de involuta en elengrane 1:

N2 = N (6.16)

6.6.8. Determinacin del juego entre engranajes.

En la figura 6.40a se muestra el perfil de dos engranajes estndar que se acoplana la distancia estndar entre centros

C =NN (FPS)

C =NN

m (SI)

con un juego entre engranes igual a cero. Los crculos de paso a que operan estos dosengranes son los crculos de paso a que fueron cortados y sus radios estn dados por R =N/2Pd. Los crculos de paso de corte tambin se conocen como crculos de paso estndar.El ngulo de presin a que operarn estos engranes es el ngulo de presin a quefueron cortados; es decir, 14, 20 25. En otras palabras, los crculos de paso decorte de operacin son idnticos al igual que los ngulos de presin de corte y deoperacin.


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Figura 6.40.Juego entre engranajes


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y

R1 + R2 = C

Para dar

R1 = ( )C

y

R2 = ( ) C

Adems del cambio en los crculos de paso, el ngulo de presin tambinaumenta. El ngulo se conoce como el ngulo de presin de operaciny es mayor queel ngulo de presin de corte . A partir de la figura 6.40 se puede obtener fcilmente unaecuacin para el ngulo de presin de operacin de la siguiente forma:

C = = (R1+R2)

= C

o

cos =

cos (6.17)

Tambin,

C = C C = C- C = C 1 (6.18)

Cuando los engranes se operan bajo la condicin de la figura 6.40b, se tendrjuego entre ellos como se muestra en la figura 6.40c. La relacin de velocidadesangulares no se ver afectada siempre y cuando los engranes permanezcan acoplados.Sin embargo, si se invierte la direccin de rotacin, se tendr movimiento perdido. Se

puede obtener una ecuacin para el juego entre engranes a partir del hecho de que lasuma de los espesores de los dientes y el juego entre engranes debe ser igual al pasocircular, estando medidos todos ellos en el circulo de paso de operacin. A partir de lafigura 6.40c se puede escribir la siguiente ecuacin:

t1 + t2 + B = =

(6.19)


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en donde

t = espesor del diente en el crculo de paso de operacin

B = juego entre engranesR = radio del crculo de paso de operacinN = nmero de dientes

De la ecuacin 6.5 que se desarroll en la seccin sobre involumetra,

t1 = 2R1 = t1 2R1(inv inv ) (6.20)

t2 = 2R2 = t2 2R2(inv inv ) (6.21)

en donde

t = espesor del diente en el circulo de paso estndar o de corte (t = p/2 = /2Pd)R = radio del circulo de paso estndar o de corte (R = N/2Pd)= ngulo de presin de corte (14, 20, 25) = ngulo de presin de operacin

Tambin,

== (6.22)

y

C = R1 + R2 (6.23)

Sustituyendo las ecuaciones 6.20, 6.21, 6.22 y 6.23 en la ecuacin 6.19 y recordando que

= p =

B = 1 2 2 (FPS) (6.24)

B = 1 2 2 (SI)

Para los engranajes estndar,

t1= t2==

(FPS)


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t1= t2==

(SI)

y la ecuacin 6.24 se reduce a

B = 2C (inv inv ) (6.25)

La ecuacin 6.51 debe utilizarse si los engranes no son estndar, es decir, si t1 t. En el

manual de engranes AGMA Gear Handbook, Volumen 1, 390.03, se pueden encontrar losvalores recomendados para el juego entre engranes

6.6.9. Engranajes cicloidales

Aunque los engranajes cicloidales han sido reemplazados en gran medida por losde involuta, el perfil cicloidal tiene ciertas ventajas que vale la pena sealar. Estas seestudian brevemente a continuacin.

Los engranajes cicloidales no presentan interferencia, adems de que un dientecicloidal generalmente es ms fuerte que uno de involuta debido a que tiene flancosextendidos en comparacin con los flancos radiales de un diente de involuta.

Adicionalmente, los dientes cicloidales tienen menos deslizamiento y, en consecuencia,menos desgaste. La figura 6.41 muestra el diente de un engrane cicloidal y uno deinvoluta para su comparacin. Sin embargo, una desventaja importante de los engranajescicloidales es el hecho de que para un par de engranes cicloidales solamente hay unadistancia entre centros tericamente correcta para la que transmiten movimiento a unarelacin constante de velocidades angulares. Otra desventaja es que aunque es posiblefresar un engrane cicloidal, la fresa no se fabrica tan fcilmente como en el caso de unafresa de involuta debido a que los dientes cicloidales de cremallera no tienen lados rectoscomo los dientes de involuta de cremallera. Debido a esta razn es posible producir losengranes de involuta con mayor exactitud y economa que los engranajes cicloidales.

Figura 6.41.Diente cicloidal y de involuta.


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Los engranes de involuta han reemplazado completamente a los engranescicloidales para la transmisin de potencia. No obstante, los engranes de cicloidales se

usan ampliamente en los relojes de pulso y de pared y en determinados instrumentos enlos casos en que el problema de interferencia y resistencia es de inters primordial.

6.6.10. Teora de los engranajes helicoidales

Si se hace girar un plano en un cilindro base, una lnea en el plano paralelo al ejedel cilindro generar la superficie del diente de un engrane recto de involuta. Sin embargo,si la lnea generatriz se inclina hacia el eje, entonces se generar la superficie del dientede un engranaje helicoidal. Estas dos situaciones se muestran en las figuras 6.42a y

6.42b, respectivamente.

Figura 6.42.Generatrices en engranajes rectos y helicoidales

Los engranajes helicoidales se emplean para conectar flechas paralelas y flechasparalelas no paralelas que no se intersecan. El primer caso corresponde a engraneshelicoidales paralelosy el segundo a engranes helicoidales cruzados. Ver la figura 6.43.


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Figur a 6.43.Engranajes helicoidales de ejes paralelos y de ejes cruzados.

Figur a 6.44.Paso circular normal (pn) y paso circular en el plano de rotacin (p)


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Al determinar las proporciones de los dientes de un engrane helicoidal, ya seapara flechas cruzadas o paralelas, es necesario considerar la manera en que los dientesse van a cortar. Si el engrane se va a fresar, todas las dimensiones se calculan en un

plano normal al elemento de paso del diente, y el paso diametral y el ngulo de presinson valores estndares en dicho plano. Debido a que la accin de corte de una fresaocurre en el plano normal, es posible utilizar la misma fresa para cortar tanto engranajeshelicoidales como engranajes rectos de un paso dado; en un engranaje recto el planonormal y el plano de rotacin son idnticos. La figura 6.44 muestra un dibujo de unengrane helicoidal con el paso circular medido en el plano normal y en el plano derotacin. De acuerdo a la ilustracin.

pn= p cos =

(FPS) (6.26)pn= m cos (SI)

en donde Pd = paso diametral en el plano de rotacin (tambin conocido como pasodiametral transversal). La figura 6.45 muestra el fresado de engranes helicoidales.

Figur a 6.45.Fresado de un engranaje helicoidal


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Figura 6.46.Diagrama de fuerzas en un engranaje helicoidal.

La potencia del engranaje ser por tanto el par de torsin multiplicado por lavelocidad angular:

Potencia = Par (6.29)

As,

tan n=

y

tan = (6.30)

Tambin es interesante considerar el efecto del ngulo de hlice en el nmero dedientes que se pueden cortar con una fresa en un engrane helicoidal sin que se presenterebaje. Haciendo referencia a la figura 6.37 (engranes rectos), se puede desarrollar unaecuacin para el nmero mnimo de dientes en engranes helicoidales cortados con unafresa como se hizo para los engranes rectos en el punto 6.5.7 (Ver ecuacin 6.15). Estoresulta en:


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N = (6.31)

La AGMA compil una tabla (207.05) que da el nmero mnimo de dientes que sepueden fresar en un engrane helicoidal sin que se presente rebaje. Estos valoresaparecen en la tabla 6.10 en funcin del ngulo de hlice y el ngulo de presin n paradientes de profundidad total.

n

14 20 25

0 engranajesrectos 32 18 12

5 32 17 12

10 31 17 11

15 29 16 11

20 27 15 10

23 26 14 10

25 25 14 9

30 22 12 8

35 19 10 7

40 15 9 6

45 12 7 5

Tabla 6.10.Nmero mnimo de dientes para engranajes helicoidalessin que se presente socavacin o rebaje

Aunque la mayora de las fresas estn diseadas para tener un valor estndar depaso diametral en el plano normal, algunas fresas se producen para tener un valorestndar de paso diametral en el plano de rotacin. Estas fresas se conocen como fresastransversales y el paso en el plano de rotacin se conoce comopaso diametral trasversal.

Si el engrane se va a cortar mediante el mtodo de Fellows para formado deengranajes, las dimensiones se consideran en el plano de rotacin, y el paso diametral yel ngulo de presin son valores estndar en dicho plano. Cuando un engrane helicoidal

se corta con un cortador Fellows, el paso circular p de la figura 6.44 se vuelve igual alpaso circular del cortador de manera que se pueden aplicar las siguientes relaciones:

p = =

(FPS) (6.32)

p = m (SI)


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La ecuacin de los engranes rectos para la distancia entre centros,

C = NN (FPS)C =

NN m (SI)

Tambin se puede emplear para los engranajes para los engranajes helicoidalesparalelos con la condicin de que Pd sea el paso diametral en el plano de rotacin.

Figu ra 6.47.Avance de la cara.

En un engrane helicoidal paralelo, el ancho de la cara se hace suficientemente

grande para de manera que, para un ngulo de hlice dado, el avance de la cara seamayor que el paso circular, como se ilustra en la figura 6.47. Esto producir un contactocontinuo en el plano axial conforme giran los engranajes. Esta relacin (avance de la caracon respecto al paso circular) se puede considerar como una relacin de contacto. De lafigura 6.47se puede ver que para que el avance de la cara sea exactamente igual al pasocircular, el ancho de la cara tendr que ser igual a p/tan. Para tener un margen deseguridad, la AGMA recomienda que este ancho lmite de la cara se incremente un 15%por lo menos, lo cual da por resultado la siguiente ecuacin:

F >.

(6.35)

Los engranajes helicoidales que conectan flechas paralelas tienen contacto linealsimilar al de los engranajes rectos. Sin embargo, en los engranajes rectos el contactolineal es paralelo al eje, en tanto que en los engranajes helicoidales corre diagonalmentea travs de la cara del diente. Los engranajes helicoidales paralelos tienen una accinms suave y por lo tanto menos ruido y vibracin que los engranajes rectos, por lo que seprefieren par trabajos de alta velocidad. La razn por la que su accin es ms suave esque los dientes entran en contacto gradualmente, comenzando en un extremo del diente,avanzando a travs de la superficie del diente, en tanto que los engranajes rectos el


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contacto tiene lugar simultneamente en todo el ancho de la cara. La desventaja de losengranajes helicoidales paralelos est en el empuje terminal producido por la hlice deldiente. Si este empuje terminal es tan grande que los cojinetes no lo pueden soportar

convenientemente, se pueden balancear usando dos engranajes helicoidales de sentidoopuesto o usando un engranaje de espina de pescado que es en efecto un engranajehelicoidal doble cortado en un disco. La figura 6.48 muestra una fotografa de unengranaje helicoidal doble.

Figur a 6.48.Engranaje helicoidal doble

6.7. CALCULO DE ENGRANAJES

6.7.1. Consideraciones dinmicas

La direccin de la fuerza transmitida es segn la lnea de accin que es tangente alas circunferencias base.

En la figura 6.49 se consideran:

- las fuerzas sobre el diente, Fd.- las fuerzas sobre el eje, Fe.

- el par transmitido, T.


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Figur a 6.49.La fuerza transmitida tiene la direccin de la lnea de contacto.

Pot = T. (6.36)

T=FR (6.37)

Si P y son constantes, tambin lo ser T y por tanto tambin F. Lo que si vara

es el punto de contacto, y por tanto el efecto de esta fuerza sobre el diente ser diferentesegn est situada por ejemplo en el extremo de la cara o en el flanco.

6.7.2. Esfuerzos en los dientes

La capacidad de transmisin de un engranaje viene limitada por:

- el calor generado.- el fallo de los dientes por ruptura.- el fallo por fatiga en la superficie de los dientes.- el ruido resultante de velocidades altas o cargas fuertes.

A continuacin se estudiarn los fallos de engranajes: por esfuerzo esttico aflexin, por fatiga a flexin, por fatiga superficial.


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De lo dicho anteriormente se deriva que, probablemente, el punto msdesfavorable ser alguno intermedio donde slo un diente est en contacto.

Otro aspecto que no tiene en cuenta la ecuacin de Lewis es la concentracin detensiones en el pie del diente. Para la determinacin del factor de concentracin seutilizan los datos geomtricos y constructivos del diente (Kf).

La AGMA (American Gear Manufacturers Association) estableci una ecuacin deLewis modificada en la que se contempla el factor Kf, y el hecho de que la carga (debido ala relacin de contacto) cuando slo un diente est en contacto no se aplica en la puntadel diente. Se introduce un nuevo factor, J, factor AGMA:

(6.38)

J (lo mismo que Y) se determina por tablas a partir de adendo, dedendo, rf (radio deacuerdo) y z (nmero de dientes).

6.7.2.2. Efectos dinmicos.

Los fenmenos dinmicos intervienen puesto que se est transmitiendo una cargay hay movimiento. Se vio, por experimentacin, que el parmetro que poda ayudar a

tener en cuenta los efectos dinmicos era la velocidad en la circunferencia de paso, v(v=.r, donde =velocidad rotacin y r=radio de paso).

Se utiliza un factor Kv que afecta a la ecuacin (6.38). Kv = 1 cuando los efectosdinmicos no se tienen en cuenta y las siguientes relaciones proporcionan Kv en funcinde v:

- Engranajes rectos, dientes acabados por sinfn o por alisado:

(6.39)

v en pies/minuto

(1 pie = 12 pulgadas; 1 pulgada = 25,4 mm)


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- Engranajes con dientes de alta precisin alisados o esmerilados. Carga dinmicaapreciable:

(6.40)

v en pies/minuto

Resumiendo se llegara a dos expresiones para la tensin por flexin.

- Ecuacin de Lewis para esfuerzo por flexin

(6.41)- Ecuacin AGMA para esfuerzos por flexin

(6.42)Si adems queremos considerar el efecto de la hlice en los dientes de los

engranajes helicoidales, multiplicaremos las dos expresiones anteriores por un factor Yque depende directamente del ngulo de hlice, , recogido en la siguiente tabla:

ngulo de hlice () Y0 1.005 0.9310 0.8715 0.8220 0.7823 0.7625 0.75

Tabla 6.12.Coeficiente Y


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6.7.3. Durabilidad de la superficie fatiga

En este apartado se tiene en cuenta la fatiga debida a las tensiones de contacto.

Por un lado habr que determinar las tensiones de contacto que se generan en elengrane, H, y la resistencia a la fatiga superficial del material empleado, SH, por otro.

6.7.3.1. Tensiones de contacto.

Hay que recurrir a las expresiones de contacto entre dos cilindros cuyos radios decurvatura son conocidos, y tambin lo es la carga aplicada. Se particulariza paraengranajes:

(6.43)

donde,

Cv = Kv (factor dinmico visto anteriormente).b = ancho del diente.d = dimetro primitivo.

6.7.3.2. Resistencia a la fatiga en la superficie.

La AGMA recomienda que se use la siguiente expresin para el lmite de fatiga:

SH = Sc (6.44)


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Extrapola los resultados experimentales a situaciones reales ms complejas. La ms empleada actualmente en diseo mecnico.

6.7.4.1. Curvas S-N. Lmite de fatiga.

Obtencin de la curva: mediante una serie de ensayos de fatiga.

Figur a 6.52.Lmite de fatiga.

Los ensayos para definir la resistencia de un material se realizan normalmentesobre probetas pulidas y de pequeas dimensiones.

El valor caracterstico de la tensin, S, en la curva es la amplitud en el punto demayor variacin.

Se ajusta una curva del tipo SNb=A a los resultados experimentales. Existen diversas normas de definen la forma de realizacin de los ensayos y

obtencin de la curva (ASTM E 466 y 468). Tambin pueden obtenerse curvas S-N con probetas de diferentes geometras y

acabados superficiales. Permiten conocer la influencia de diferentes parmetros. Igualmente, pueden obtenerse curvas S-N para ensayos con distintos valores de la

tensin media.


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Figu ra 6.53.Influencia Sm

Caractersticas de la curva. Lmite de fatiga

En escala logartmica, la curva correspondiente a una recta. Normalmente, la curva SNb=A representa adecuadamente la relacin S-N

para N>103o 104ciclos. Para N


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Aspectos estadsticos

Varios ensayos con idnticas cargas producen vidas diferentes. La distribucin de vida obtenida es aproximadamente logartmica-normal. La dispersin disminuye a medida que se reduce el val

6.+Engranajes

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