Università degli studi di Bologna D.I.E.M. Dipartimento di Ingegneria delle Costruzioni Meccaniche, Nucleari, Aeronautiche e di Metallurgia 6a Efflusso ugelli e diffusori rev. Nov. 2008 1
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Transcript
Università degli studi di Bologna
D.I.E.M.
Dipartimento di Ingegneria delle Costruzioni Meccaniche,
Nucleari, Aeronautiche e di Metallurgia
6a Efflusso
ugelli e diffusorirev. Nov. 2008
1
Si voglia arrestare isoentropicamente un fluido in moto con velocità c ed entalpia h
Entalpia di ristagno
Sia il fluido un gas perfetto risulta pertanto:
( )12
20 ttchh
cdhcdc
pfinale −=−=−⇒−=
1−=k
kRcp
L’entalpia del fluido in quiete hfinale si chiama entalpia totale o di ristagno h0
2
02
2h
chh finale =+=
211
2000 c
Tk
kRT
k
kRTch p +
−=
−==
Si può ricavare la temperatura finale raggiunta dal fluido
Temperatura di ristagno
3
220
20
2
)1(1
2
)1(1
2
)1(
Mak
kRT
ck
T
T
kR
ckTT
−+=
−+=
−+=
kRT
c
c
cMa
s
==
Numero di Mach
k
k
p
p
T
T1
00−
=
la pressione di ristagno vale…
Ricordando il legame temperatura pressione
pressione finale raggiunta dal fluido
Pressione di ristagno
4
12
100
2
)1(1
−−
−+=
=
k
k
k
k
Mak
T
T
p
p
densità finale raggiunta dal fluido
1
1
2
100
2
)1(1
−
−+=
=
kk
Mak
p
p
ρρ
Velocità del suono (1)
2
cost
s
s
cd
dp=
=ρ
2
2
Mac
c
s
=
Per una trasformazione adiabatica
reversibile di un gas perfetto si ha:
Velocità del suono
Numero di Mach
5
( )
2
cost
0
0
cost
s
s
k
kk
ckRTp
kd
dp
dk
p
dp
pd
ppv
RTp
===
=−
=
==
=
=
−
−
ρρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
6
Velocità del suono (2)
( )( )[ ] ( )
cduduA
mdp
cducmdpppA
ccmF ingressouscita
ρ==
−−=+−
−=∑
&
&
&
)(
Osservatore fisso
All’istante t = 0 il pistone si
mette in moto con velocità
du e si genera un’onda di
pressione che si propaga
con velocità c
L’osservatore mobile vede
entrare da destra un flusso
con velocità c che esce
rallentato e compresso
Teroema della quantità di moto per l’osservatore mobile;:
7
Velocità del suono (3)
Eq. continuità
Osservatore mobile( ) ( )
ducd
dudducdcc
ducAdAc
ρρρρρρρ
ρρρ
=
−−+=
−+=
22
scd
dpc
du
cdu
cd
dp
==
=
ρ
ρρ
ρ
Dividendo membro a
membro l’eq della q.d.m. e
quella di continuità si ottiene:
Trasformazioni
non iso-entropiche
8
dpp
RTdTc
dpdhdQ
T
dQssss
p −=−=
=−=− ∫
ρ
0
0
1
0
0
0
0
101
0
0
0
10
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
ln essendo
lnln11
0
0
0
0
p
pRssTT
p
pR
T
T
k
kR
p
dpR
T
dT
k
kRss
−=−⇒=
−−
=−−
=− ∫∫
0
0
0
1
0
0
0
1 ppss <⇒>Aumento di entropia
Diminuzione della pressione di ristagno
condotto accelerante per espandere un fluido
dalla pressione po alla pressione p1 assegnate
Ugello fisso
tt hh
ccdhcdc 10
2
0
2
1
220 −=−⇒=+
( )tt hhc 1
0
01 2 −=Velocità teorica di efflusso:
9
ttt hhh
ch
c1
0
01
2
00
2
1
22−=−+=
( ) ( )10
01
0
01 22 hhhhc t −=−=ϕ
1
0
01
2
00
2
1
22hhh
ch
c−=−+=
Velocità reale di efflusso:
Fattore di perdita energetica
Riferito alla velocità teorica
Fattori di perdita
10
Fattore di perdita energetica
Riferito alla velocità reale
( )2
12
12
1110t
t
chhR ϕ−=−=−
11
2/ 222
1
11
1
0
0
11 −==−
=−−
=′ϕϕ
ζζ
c
hh
hh
hh tt
2
2
1
11
1
0
0
11 12/
ϕζ −=−
=−−
=t
t
t
t
c
hh
hh
hh
10−R
Fattori di perdita (2)
11
ζϕζ
ζ ′=′+
′ 2
1
ζ−1=ϕ=ζ
=′ζ
ϕ ζ
ζ
ϕ
ζ ′
ζ ′
21 ϕ−
112−
ϕ ζζ−1
ζ ′+11
Rendimento isoentropico
riferito alla quota di entalpia traformata
rispetto alla sola quota trasformabile
Rendimento dell’ugello Rendimento fluidodinamico:
12
ζζϕη
′+=−===
−−
=1
11
2/
2/ 2
2
1
2
1
1
0
0
1
0
0
tt c
c
hh
hh
ηη <−−
=−−
=2
0
2
1
2
0
2
1
10
10
cc
cc
hh
hh
tt
is
condotto decelerante per comprimere un fluido
dalla pressione po alla pressione p1 assegnate
Incremento della entalpia statica
Diffusore fisso
10
2
0
2
1
220 hh
ccdhcdc −=−⇒=+
13
222
2
10
0
2
1
2
001
ch
cchh −=−+=
Nel caso di condotto decelerante reale con perdite energetiche, per
comprimere un fluido dalla pressione po alla pressione p1 occorre rallentarare
la corrente in misura maggiore di quanto richiesto nel caso isoentropico
222
2
10
0
2
1
2
001
ttt
ch
cchh −=−+=
11
11
cc
hh
t
t
>
>
Fattore di perdita energetica
Riferito alla energia cinetica
iniziale
Fattori di perdita nei diffusori
14
Fattore di perdita
di pressione totale
0
0
0
0
1
0
0
pp
ppY
−−
=
0
0
0
11
2
0
11
2/ hh
hh
c
hh tt
−−
=−
=ζ
thhR 1110 −=−
Perdita energetica
Rendimento isoentropico
Rendimento del diffusore
15
Rendimento di diffusione
L’energia cinetica di
scarico è conteggiata come
“effetto utile”
( )00
01110 hhhhR t −=−=− ζ
0101
01
01
01 1hh
R
hh
Rhh
hh
hh tis −
−=−−−
=−−
=η
( )2
1
2
0
2
0
01
0
0
0 11cc
c
hh
hhis −
−=−−
−= ζζ
η
2/
2/2
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
2
101
c
hh
hh
hh
hh
chh tttD
−=
−−
=−+−
=η
Rendimento del diffusore (2)
16
Rendimento di diffusione *(def. 2)
*Mette in relazione il solo incremento
di pressione statica all’energia
cinetica iniziale disponibile
( )00
01110 hhhhR t −=−=− ζ
2/2
0
01
0
0
0
01
c
hh
hh
hh ttD
−=
−−
=′η
0
0
00
0
0
0
2
11
0
0
0
2
101 12/2/
hh
R
hh
hRch
hh
chh tD −
−=−
−−+=
−+−
=η
ζη −=−
−= 110
0
0 hh
RD
Rendimento di diffusione
Si voglia determinare la forma di un ugello (condotto fisso accelerante) per espandere
adiabaticamente un fluido comprimibile dalla pressione po alla pressione p1 assegnate
Efflusso da un ugello
Sia il fluido un gas perfetto risulta pertanto:
( )1010
2
0
2
1
22ttchh
ccdhcdc
p−=−=−⇒−=
( )101 2 hhc −=Nel caso in cui il fluido sia inizialmente in quiete si ha:
17
( )10
01 2 hhc −=
La velocità finale allo scarico dell’ugello vale quindi:
Eq. continuità
0
0
=++
=
=
A
dA
c
dcd
md
Acm
ρρ
ρ&
&
0
logloglog0
)log(log
=++
++=
=
A
dA
c
dcd
Adcdd
Acdmd
ρρ
ρρ&
§
Portata massica costante§
18
Eq. moto
0=++++ dLdRdp
gdzcdcρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρρd
Mac
d
d
dp
c
dp
c
dc
dp
c
c
dc
dp
cdcdpcdc
dL ds
dr
z
222
2
111
10
,0 fisso adiabatico condotto
0 coisoentropi moto
cost
:ipotesi
−=−=−=
−=−=⇒=+
==⇒
=⇒
=
19
Eq. Hugoniot
c
dc
d
dp
c
c
dc
A
dA
c
dcd
A
dA
s
−
=⇒−−=
=cost
2
ρρρ
( )12 −= Mac
dc
A
dARaccogliendo il fattore
comune dc/c si ottiene la
equazione di Hugoniot:
20
Velocità del suono
Combinando l’equazione di continuità e quella del moto si ha:
21
Ugelli fissi
( ) ( )p
dp
kMa
Ma
c
dcMa
A
dA
p
dp
kMa
d
Mac
dc
dk
p
dp
2
22
22
11
111
−=−=
−=−=
=
ρρ
ρρ
Andamento dell’area durante l’espansione
22
Andamento delle aree (2)
23
Velocità di efflusso
( )
k
k
p
p
p
T
TpRT
T
TT
k
kRTT
k
kRc
Tk
kRTch
hhc
1
0
0
0
0
0
0
0
00
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
2
;
1112
1
2
−
==
−
−=−
−=
−==
−=
ρ
−
−=
−k
k
p
pp
k
kc
1
0
0
0
0
0
0 11
2ρ
Velocità di efflusso
24
Velocità massica
−
−==
=
−
−=
+
−
k
k
k
k
k
k
p
p
p
pp
k
kc
A
m
p
p
p
pp
k
kc
1
0
0
2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
12
11
2
ρρ
ρρ
ρ
&
25
Rapporto critico di espansione
Velocità massica massima
( )( )
1
2
1
2
1
2
012
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
2
0
0
0
0
+=
+
=
+
=
=
+−
=
−
−
−
kT
T
k
kp
p
p
p
k
k
p
p
kppd
cd
crit
k
crit
k
k
crit
kk
k
ρρ
ρ
26
Velocità critica
s
crit
critcrit
crit
k
k
cp
kkRTc
RTk
RTp
p
pp
k
kc
=
==
+==
−
−=
−
ρ
ρ
ρ
2
1
11
2
0
00
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0 1
2 −
+
=
k
k
critkp
p
crit
crit
Tk
TkT
T
2
1
1
2 0
00
0
+=⇒
+=
27
Area di passaggio di un ugello
Siano noti: 1000 ;;;; pcpm ρ&
1
1
0
0
0
00
0
0
01
1
0
0
1
0
0
1
2
0
0
10
0
0
0
11
1
00
0
1
22
12
1
2
12
−+
−
+
+
=
+
+
==
−
−
==
=
k
kkcritcrit
g
k
k
k
kkp
m
p
k
k
k
m
c
mA
p
p
p
pp
k
k
m
c
mA
c
mA
ρρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
&&&
&&
&
28
Portata di efflussoSi consideri una
progressiva diminuzione
delle pressione p1
1
1
0
0
0
0
0
01
1
0
0
1
2
0
0
1
0
0
0
0
0
01
1
2
12
−+
+
+
=
−
−=
k
k
crit
k
k
k
kk
p
pAm
p
p
p
p
k
k
p
pAm
ρ
ρ
&
&Ugello convergente
Comportamento fuori progetto
blocco
della
portata
29
Portata di efflusso adimensionale
Ugello convergente
1
1
0
01
0
0
0
0*
1
0
0
1
2
0
0
1
0
01
0
0
0
0*
1
2
12
−+
+
+
==
−
−==
k
k
crit
k
k
k
kk
pA
pmm
p
p
p
p
k
k
pA
pmm
crit
ρ
ρ
&&
&
30
Alimentazione con
pressione a monte variabile
Comportamento fuori progetto
convergente - divergente
31
Comportamento fuori progetto
convergente - divergente
32
Il blocco della
portata si raggiunge
per un valore
superiore alla
pressione critica
Ugello per vapore
33
)(1
pfc
v
cm
A===
ρ&
Forme degli ugelli
34
bibliografia
35
Morandi G., “Macchine ed apparecchiature a vapore e frigorifere”, Pitagora, BO.
Sandrolini S., Naldi G.,“Macchine 3: Gli impianti motori termici e i loro
componenti”, Pitagora BO, 2003, ISBN 88-371-1317-X
Sandrolini S., Naldi G., “ Macchine 1: Fluidodinamica e termodinamica delle
turbomacchine”,Pitagora BO, 1996,ISBN 88-371-0827-3
Sandrolini S., Naldi G., “ Macchine 2: Le turbomacchine motrici e operatrici”,
Pitagora BO, 1997,ISBN 88-371-0862-1
Cavallini, Sovrano, “Gasdinamica”, Patron
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