69 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่4_ทฤษฎีบททวินาม

คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร

เร่ือง

การนับและความนาจะเปน (เนือ้หาตอนที่ 4)

ทฤษฎบีททวินาม

โดย

ผูชวยศาสตราจารย ดร.ณัฐกาญจน ใจด ี

สื่อการสอนชุดนี ้เปนความรวมมอืระหวาง คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธกิาร

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

1

สื่อการสอน เร่ือง การนับและความนาจะเปน

ส่ือการสอน เร่ือง การนับและความนาจะเปน มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซ่ึงประกอบดวย

1. บทนํา เร่ือง การนับและความนาจะเปน 2. เนื้อหาตอนที่ 1 การนับเบื้องตน

- กฎเกณฑเบื้องตนเกีย่วกับการนับ - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(ส่ิงของแตกตางกนัทั้งหมด)

3. เนื้อหาตอนที่ 2 การเรียงสับเปล่ียน - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (ส่ิงของไมแตกตางกันทั้งหมด) - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

4. เนื้อหาตอนที่ 3 การจัดหมู - วิธีจัดหมู

5. เนื้อหาตอนที่ 4 ทฤษฎีบททวินาม - ทฤษฎีบททวนิาม - ทฤษฎีบทอเนกนาม

6. เนื้อหาตอนที่ 5 การทดลองสุม - การทดลองสุม - ปริภูมิตัวอยาง - เหตุการณและความนาจะเปน

7. เนื้อหาตอนที่ 6 ความนาจะเปน 1 - สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน - การหาความนาจะเปนแบบงาย

8. เนื้อหาตอนที่ 7 ความนาจะเปน 2 - การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ - การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร

9. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 1) 10. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 2) 11. แบบฝกหัด (ขัน้สูง)

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

2

12. สื่อปฏิสัมพันธ เร่ือง หลักการบวกและหลักการคูณสําหรับการนับ 13. สื่อปฏิสัมพันธ เร่ือง การเรียงสับเปล่ียน

14. สื่อปฏิสัมพนัธ เร่ือง ทฤษฎีบททวินาม 15. สื่อปฏิสัมพนัธ เร่ือง ความนาจะเปน 16. สื่อปฏิสัมพนัธ เร่ือง การใสบอลลงกลอง

คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา ส่ือการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับ

ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชส่ือชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร เร่ือง การนับและความนาจะเปน นอกจากนี้หากทานสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่นๆที่คณะผูจัดทําไดดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูช่ือเร่ือง และชื่อตอนไดจากรายชื่อส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมดในตอนทายของคูมือฉบับนี้

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

3

เร่ือง การนับและความนาจะเปน (ทฤษฎีบททวนิาม) หมวด เนื้อหา ตอนที่ 4 (4/7) หัวขอยอย 1. ทฤษฎีบททวินาม

2. ทฤษฎีบทอเนกนาม

จุดประสงคการเรียนรู เพื่อใหผูเรียน

1. เขาใจมโนทัศนเร่ืองทฤษฎีบททวินามและทฤษฎีบทอเนกนาม 2. เขาใจความสัมพันธของทฤษฎีบททวินามและการจัดหมู 3. สามารถขยายแนวคดิของทฤษฎีบททวินามไปสูทฤษฎีบทอเนกนาม และสามารถนําไปใชใน

การแกปญหาได ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง

ผูเรียนสามารถ 1. อธิบายทฤษฎีบททวินามและทฤษฎีบทอเนกนามได 2. อธิบายความสัมพันธระหวางทฤษฎีบททวนิามกับการจดัหมูได 3. ประยุกตใชทฤษฎีบททวินามในการกระจาย n(x y)+ ได 4. ประยุกตใชทฤษฎีบททวินามเพื่อหาสัมประสิทธิ์ของพจนที่สนใจจากการกระจาย n(x y)+ ได 5. ประยุกตใชทฤษฎีบทอเนกนามในการกระจาย n

1 2 m(x x x )+ + + ได

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

4

เนื้อหาในสื่อการสอน

เนื้อหาทั้งหมด

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

5

1. ทฤษฎีบททวินาม

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

6

1. ทฤษฎีบททวินาม

ในหวัขอนี้ ผูเรียนจะไดศกึษาถึงความสัมพันธของทฤษฎีบททวินามและการจัดหมู ขอสังเกตที่นาสนใจของทฤษฎีบททวนิาม พรอมทั้งตัวอยางการประยุกตใชทฤษฎีบทดังกลาว

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

7

เมื่อผูเรียนไดแนวคิดเกี่ยวกับทฤษฎีบททวนิาม พรอมทั้งเห็นตวัอยางการประยุกตใชทฤษฎีบทแลว ผูสอนอาจยกตัวอยางเพิ่มเตมิเพื่อใหผูเรียนไดฝกทกัษะในเรื่องนี้ไดดยีิ่งขึ้น ดังนี้ ตัวอยาง จงใชทฤษฎบีททวินามในการกระจาย 1. 5(2x 3y)−

2. 2 3(x 2y)+ วิธีทํา

1. จากทฤษฎีบททวินามทีว่า

n n n 1 n r r n 1 nn n n n n(a b) a a b a b ab b

0 1 r n 1 n− − −

+ = + + + + + + − (*)

เราจะไดวา 5 5(2x 3y) (2x ( 3y))− = + −

5 4 3 2 2 35 5 5 5(2x) (2x) ( 3y) (2x) ( 3y) (2x) ( 3y)

0 1 2 3

= + − + − + −

4 55 5(2x)( 3y) ( 3y)

4 5

+ − + −

5 4 3 2 2 3 4 5(2x) 5(2x) ( 3y) 10(2x) ( 3y) 10(2x) ( 3y) 5(2x)( 3y) ( 3y)= + − + − + − + − + −5 4 3 2 2 3 4 532x 240x y 720x y 1080x y 810xy 243y= − + − + −

2. จากทฤษฎีบททวินาม (*) จะไดวา

2 3(x 2y)+ 2 3 2 2 2 2 33 3 3 3(x ) (x ) (2y) (x )(2y) (2y)

0 1 2 3

= + + +

6 4 2 2 3x 3x (2y) 3x (4y ) 8y= + + + 6 4 2 2 3x 6x y 12x y 8y= + + +

จากตัวอยางขางตน ผูสอนอาจใหขอสังเกตผูเรียนเพิ่มเติมวา ในตวัอยางขอที ่ 2 ซ่ึงใหกระจาย 2 3(x 2y)+ นั้น จะพบวา แตละพจนที่ไดจากการกระจายนัน้ ผลรวมของเลขชี้กําลังของ 2x กับ y เทากับ 3 แต

ผลรวมของเลขชี้กําลังของ x กับ y ไมจําเปนตองเทากับ 3

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

8

เมื่อผูเรียนไดเห็นตวัอยางการประยุกตใชทฤษฎีบททวินามแลว ผูสอนอาจใหผูเรียนทาํตัวอยางตอไปนี้ เพื่อเพิ่มความเขาใจใหมากยิง่ขึ้น

ตัวอยาง 1. จงหาสัมประสิทธิ์ของ 3 7x y ในการกระจาย 10(x 2y)+

2. จงหาพจนทีไ่มมี x ปรากฏอยูเลยในการกระจาย 12

2 1xx

−

วิธีทํา 1. จากทฤษฎีบททวนิามที่วา

n n n 1 n r r n 1 nn n n n n(a b) a a b a b ab b

0 1 r n 1 n− − −

+ = + + + + + + − (*)

จะไดวา การกระจาย 10(x 2y)+ พจนที่ม ี 7y คือ พจนที่ r 7= นั่นเอง

ดังนั้น พจนที่มี 7y คือ 3 7 3 710x (2y) 15360x y

7

=

เพราะฉะนัน้ สัมประสิทธิ์ของ 3 7x y คือ 15,360

2. จากทฤษฎีบททวนิาม (*) จะเห็นวา แตละพจนที่ไดจากการกระจาย 12

2 1xx

−

จะอยูในรูป

r

2 12 r12 1(x )r x

− −

24 2r r r12(x )( 1) (x )

r− −

= −

24 3r r12x ( 1)

r−

= −

เมื่อ 24 3r 0− = นั่นคอื r 8= จะทําใหเลขชี้กําลังของ x เทากับ 0

ดังนั้น พจนที่ไมมี x ปรากฏอยูเลย คือ 812( 1) 495

8

− =

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

9

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

10

เมื่อผูเรียนไดชมขอสังเกตที่ 1 แลว ผูสอนอาจเขียนขอสังเกตดังกลาวใหอยูในรูปสัญลักษณทางคณิตศาสตร ซ่ึงไดผลดังนี้ ขอสังเกตที่ 1 n n 1 n 1

r r 1 r− −

= + −

พิสูจน n 1 n 1 (n 1)! (n 1)!r 1 r (n r)!(r 1)! (n r 1)!r!− − − −

+ = + − − − − −

(n 1)!r (n 1)!(n r)(n r)!r! (n r)!r!

− − −= +

− −

n!(n r)!r!

=−

nr

=

เมื่อผูเรียนไดชมขอสังเกตที่ 2 แลว ผูสอนอาจใหผูเรียนชวยกันเขยีนขอสังเกตใหอยูในรูปสัญลักษณทางคณิตศาสตร ซ่ึงไดผลดังนี้ ขอสังเกตที่ 2 n n

r n r

= −

พิสูจน n n!r r!(n r)!

= −

n!(n (n r))!(n r)!

=− − −

nn r

= −

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

11

เมื่อผูเรียนไดชมขอสังเกตที่ 3 แลว ผูสอนอาจใหผูเรียนชวยกันเขยีนขอสังเกตใหอยูในรูปสัญลักษณทางคณิตศาสตร ซ่ึงไดผลดังนี้ ขอสังเกตที่ 3 1 2 n n 1

1 1 1 2+

+ + + =

พิสูจน 1 2 n1 2 n

1 1 1

+ + + = + + +

n(n 1)2+

=

n 12+

=

เมื่อผูเรียนไดชมตัวอยางการนําสามเหลี่ยมปาสกาลมาประยุกตใช แลว ผูสอนอาจนําตัวอยางที่เพิ่มเติมใหผูเรียนฝกทกัษะกอนหนานี้มาใหผูเรียนไดฝกทําอีกครัง้หนึ่งโดยใชสามเหลี่ยมปาสกาลเขาชวย ดงันี้

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

12

ตัวอยาง จงใชทฤษฎีบททวินามในการกระจาย 1. 5(2x 3y)−

2. 2 3(x 2y)+ วิธีทํา n 0= 1 n 1= 1 1 n 2= 1 2 1 n 3= 1 3 3 1 n 4= 1 4 6 4 1 n 5= 1 5 10 10 5 1 1. 5 5 4 3 2 2 3 4 5(2x 3y) (2x) 5(2x) ( 3y) 10(2x) ( 3y) 10(2x) ( 3y) 5(2x)( 3y) ( 3y)− = + − + − + − + − + − 5 4 3 2 2 3 4 532x 240x y 720x y 1080x y 810xy 243y= − + − + − 2. 2 3(x 2y)+ 2 3 2 2 2 2 3(x ) 3(x ) (2y) 3(x )(2y) (2y)= + + + 6 4 2 2 3x 6x y 12x y 8y= + + +

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

13

แบบฝกหัดเพิ่มเติม เร่ือง ทฤษฎีบททวินาม

1. จงใชทฤษฎีบททวินามในการกระจาย 1.1 4(2x y)+ 1.2 2 5(x y )+ 1.3 3(x y)−

1.4 4(x 3y)− 1.5 2 2 6(x 2y )+ 1.6 52 y( )

x 3+

2. จงหาสัมประสิทธิ์ของ 3 5x y ในการกระจาย 8(x 2y)+ 3. จงหาสัมประสิทธิ์ของ 3 4x y ในการกระจาย 7(3x 2y)+ 4. จงหาสัมประสิทธิ์ของ 6x ในการกระจาย 8(2x 1)− 5. จงหาสัมประสิทธิ์ของ 10 7x y ในการกระจาย 2 12(x 2y)−

6. จงหาพจนที่ไมมี x ปรากฏอยูเลยในการกระจาย 9

2 2xx

−

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

14

2. ทฤษฎีบทอเนกนาม

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

15

2. ทฤษฎีบทอเนกนาม

ตัวอยาง จงใชทฤษฎีบทอเนกนามในการกระจาย 3(x y z)+ + วิธีทํา 3 3 3 33 3 3

(x y z) x y z3,0,0 0,3,0 0,0,3

+ + = + +

2 2 2 23 3 3 3 3x y x z xy xz xyz

2,1,0 2,0,1 1,2,0 1,0,2 1,1,1

+ + + + +

2 23 3yz y z

0,1,2 0,2,1

+ +

3 3 3 2 2 2 2 2 2x y z 3x y 3x z 3xy 3xz 6xyz 3yz 3y z= + + + + + + + + +

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

16

ผูสอนอาจเนนย้ําผูเรียนเพิ่มเติมวา ในการประยุกตใชทฤษฎีบทอเนกนาม

1 2 m

1 2 m1 2 m

n n nn1 2 m 1 2 m

n n n n 1 2 mn ,n , ,n 0

n(x x x ) x x x

n ,n , , n+ + + =≥

+ + + =

∑…

…

ส่ิงสําคัญ คือ 1 2 mn ,n , , n 0≥… 1 2 mn n n n+ + + = และผูเรียนตองหาผลบวกใหครบทุกแบบ

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

17

แบบฝกหัดเพิ่มเติม เร่ือง ทฤษฎีบทอเนกนาม

1. จงใชทฤษฎีบทอเนกนามในการกระจาย

1.1 3(x y z)+ − 1.2 3(x 2y z)+ − 1.3 2 2 2 3(x y z )+ +

2. จงหา 1 2 3(n , n , n ) ทั้งหมดที่ทําให 1 2 3n n n 4+ + = โดยที ่ 1 2 3n , n , n เปนจํานวนเต็มที่มากกวาหรือเทากับศูนย

3. จงใชทฤษฎีบทอเนกนามในการกระจาย 4(x y z)+ + 4. จงหาสัมประสิทธิ์ของ 2 3xy z ในการกระจาย 6(x y z)+ + 5. จงหาสัมประสิทธิ์ของ 3 4x y z ในการกระจาย 8(x y 2z)+ −

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

18

สรุปสาระสําคัญประจําตอน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

19

สรุปสาระสําคัญประจําตอน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

20

เอกสารอางอิง

1. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสอืเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.

2. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสอืเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 4 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

21

ภาคผนวกที่ 1

แบบฝกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

22

แบบฝกหัดระคน

1. ในการกระจาย 2 8(xy 2y )−− พจนทีม่ีผลบวกของกําลังของ x กับกําลังของ y เทากับ – 4 มี สัมประสิทธิ์เทากับขอใดตอไปนี ้ 1. – 488 2. –1792 3. 1120 4. 56

2. สัมประสิทธิ์ของ rx ในการกระจาย 2n

2 1xx

+

คือขอใดตอไปนี้

1. (2n)!2n r 4n r! !3 3+ −

2. (2n)!4n r3−

3. (2n)!r!(2n r)!−

4. (2n)!(2r)!

3. ขอใดตอไปนี้ถูกตอง

1. ในการกระจาย 8

3 1x2x

+

สัมประสิทธิ์ของ 12x คือ 56

2. ในการกระจาย 8

3 1x2x

+

ไมมีพจนใดเลยที่เปนคาคงตัว

3. ในการกระจาย n n(x y) (x y)+ − − สัมประสิทธิ์ของ 2 n 2x y − คือ n22

เมื่อ n คือจํานวนคูบวก 4. จากการกระจาย n n(x y) (x y)+ − − จนเปนผลสําเร็จแลว จะเหลือพจนอยู n

2 พจน

เมื่อ n เปนจํานวนคูบวก

4. พจนที่ไมม ี x ปรากฏอยูในการกระจาย 15

32

1xx

+

คือพจนใดตอไปนี ้

1.

1011 2. 15

8

3.

915 4.

1015

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

23

5. สัมประสิทธิ์ของ x ในการกระจายแลวบวกกนัเปนผลสําเร็จของ 2 101 (1 x) (1 x) (1 x)+ + + + + + +

คือขอใด 1. 40 2. 45 3. 55 4. 65 6. สัมประสิทธิ์ของ 54x ในอนุกรม

2 2 2 2 501 (1 x ) (1 x ) (1 x )+ + + + + + + คือขอใด 1.

2750 2.

2850 3.

2751 4.

2851

7. ผลบวกของสัมประสิทธิ์ของทุกพจนจากการกระจาย n(a b)+ เปน 256 แลว 2n n 1+ + เทากับขอใด 1. 8 2. 64 3. 72 4. 73 8. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. จํานวนพจนจากการกระจาย 5(2x 3y)− มี 6 พจน ข. พจนกลางจากการกระจาย 8(x 2y)+ คือ 4 41120x y ค. ผลบวกของสัมประสิทธิ์ทุกพจนจากการกระจาย 5(5x 3y)− คือ 32 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. จริงทุกขอ 2. เท็จทุกขอ 3. จริงขอเดียว 4. เท็จขอเดียว

9. ถา a และ b เปนสัมประสิทธิ์ของ 2x− และ 4x ของการกระจาย 10

42

1x2x

−

ตามลําดับ แลว ab

เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 2

7− 2. 1

2− 3. 1

3− 4. 4

15−

10. ขอใดตอไปนี้ผิด 1. สัมประสิทธิ์ของทุกพจนจากการกระจาย 5(a b)+ รวมกันแลวเทากับ 32 2. ถา n,5 n,3P 20P= แลว n 12=

3. 10 10 115 4 5

+ =

4. 5

2

k 1(5k 3) 970

=

− =∑

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

24

ภาคผนวกที่ 2 เฉลยแบบฝกหัด

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

25

เฉลยแบบฝกหัด เร่ือง ทฤษฎีบททวินาม

1. 1.1 4 3 2 2 3 416x 32x y 24x y 8xy y+ + + + 1.2 5 4 2 3 4 2 6 8 10x 5x y 10x y 10x y 5xy y+ + + + + 1.3 3 2 2 3x 3x y 3xy y− + − 1.4 4 3 2 2 3 4x 12x y 54x y 108xy 81y− + − + 1.5 12 10 2 8 4 6 6 4 8 2 10 12x 12x y 60x y 160x y 240x y 192x y 64y+ + + + + +

1.6 2 3 4 5

5 4 3 2

32 80 y 80 y 40 y 10 y yx 3 x 9 x 27 x 81 x 243

+ + + + +

2. 1,792 3. 15,120 4. 1,792 5. 10,1376− 6. 5,376

เฉลยแบบฝกหัด

เร่ือง ทฤษฎีบทอเนกนาม

1. 1.1 3 3 3 2 2 2 2 2 2x y z 3x y 3x z 3xy 3xz 6xyz 3yz 3y z+ − + − + + − + − 1.2 3 3 3 2 2 2 2 2 2x 8y z 6x y 3x z 12xy 3xz 12xyz 6yz 12y z+ − + − + + − + − 1.3 6 6 6 4 2 4 2 2 4 2 4 2 2 2 2 4 4 2x y z 3x y 3x z 3x y 3x z 6x y z 3y z 3y z+ + + + + + + + + 2. (4,0,0), (0,4,0), (0,0,4), (3,1,0), (3,0,1), (2,2,0), (2,0,2), (2,1,1), (1,3,0), (1,0,3), (1,2,1), (1,1,2), (0,3,1), (0,1,3), (0,2,2) 3. 4 4 4 3 3 2 2 2 2 2 3 3x y z 4x y 4x z 6x y 6x z 12x yz 4xy 4xz+ + + + + + + + + 2 212xy z 12xyz+ +

3 3 2 24y z 4yz 6y z+ + + 4. 60 5. − 560

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

26

เฉลยแบบฝกหัดระคน

1. 2 2. 1 3. 4 4. 3 5. 3 6. 4 7. 4 8. 4 9. 1 10. 2

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

27

รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

28

รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน

เรื่อง ตอน

บทนํา เร่ือง เซต

ความหมายของเซต

เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต

เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

เซต

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองแผนภาพเวนน-ออยเลอร บทนํา เร่ือง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร การใหเหตุผล

ประพจนและการสมมูล

สัจนิรันดรและการอางเหตุผล

ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองหอคอยฮานอย

การใหเหตุผลและตรรกศาสตร

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองตารางคาความจริง บทนํา เร่ือง จํานวนจริง สมบัติของจํานวนจริง การแยกตัวประกอบ

ทฤษฏีบทตัวประกอบ

สมการพหุนาม

อสมการ เทคนิคการแกอสมการ คาสัมบูรณ การแกอสมการคาสัมบูรณ กราฟคาสัมบูรณ สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองชวงบนเสนจํานวน

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองสมการและอสมการพหุนาม

จํานวนจริง

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองกราฟคาสัมบูรณ บทนํา เร่ือง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน

การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะทฤษฎีจํานวนเบื้องตน

ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย บทนํา เร่ือง ความสมัพันธและฟงกชัน ความสัมพันธและฟงกชัน

ความสัมพันธ

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

29

เรื่อง ตอน

โดเมนและเรนจ อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน

ฟงกชันเบื้องตน

พีชคณิตของฟงกชนั

อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส

ความสัมพันธและฟงกชัน

ฟงกชันประกอบ

บทนํา เร่ือง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

เลขยกกําลัง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

ลอการิทึม

อสมการเลขชี้กําลัง

ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

อสมการลอการิทึม

บทนํา เร่ือง ตรีโกณมิติ อัตราสวนตรีโกณมิติ เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย ฟงกชันตรีโกณมิติ 1

ฟงกชันตรีโกณมิติ 2

ฟงกชันตรีโกณมิติ 3

กฎของไซนและโคไซน กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ

ตรีโกณมิติ

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองกฎของไซนและกฎของโคไซน บทนํา เร่ือง กําหนดการเชิงเสน

การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร กําหนดการเชิงเสน

การหาคาสุดขีด

บทนํา เร่ือง ลําดับและอนุกรม

ลําดับ

การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต

ลิมิตของลําดับ

ผลบวกยอย อนุกรม

ลําดับและอนุกรม

ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

30

เรื่อง ตอน

บทนํา เร่ือง การนับและความนาจะเปน

การนับเบื้องตน

การเรียงสับเปลี่ยน

การจัดหมู ทฤษฎีบททวินาม

การทดลองสุม

ความนาจะเปน 1

การนับและความนาจะเปน .

ความนาจะเปน 2

บทนํา เร่ือง สถิติและการวิเคราะหขอมูล

บทนํา เนื้อหา แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2 แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3

การกระจายของขอมูล

การกระจายสัมบูรณ 1

การกระจายสัมบูรณ 2

การกระจายสัมบูรณ 3

การกระจายสัมพัทธ คะแนนมาตรฐาน

ความสัมพันธระหวางขอมูล 1

ความสัมพันธระหวางขอมูล 2

โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1

สถิติและการวิเคราะหขอมูล

โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2 การลงทนุ SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย

ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส การถอดรากที่สาม

เสนตรงลอมเสนโคง

โครงงานคณิตศาสตร

กระเบื้องที่ยืดหดได