Quantum wells, wires and dots Dimensionalità (a) Quantum well (2d) (b) Quantum wire (1d) (c) Quantum dot (0d)
Quantum wells, wires and dots
Dimensionalità (a) Quantum well (2d)
(b) Quantum wire (1d)
(c) Quantum dot (0d)
Densità degli stati (DOS) e dimensionalità
La dimensionalità governa l’andamentodella DOS ed influenza pesantemente leproprietà fisiche (es. trasporto, proprietàottiche, etc.)
Quantum well:
In una buca infinita, i.e. ∆Ec = ∞, larga dx :
Funzione d’onda:
ψ(x,y,z) = An sin (nπx/dx) exp [±i(kyy + kzz)] per 0 ≤ x ≤ dx
= 0 fuori la buca
Energia:
E -Ec = En + (ћ2/2m*)(ky2 + kz
2) con En = π2h2n2/2m*dx2
Densità di stati:
ρ(E) = (m*/π2ћ) per E ≥ En per ogni n
Quantum wire:
In un filo infinito, i.e. ∆Ec = ∞, dx per dy:
Funzione d’onda:ψ(x,y,z) = Anm sin (nπx/dx) sin (mπx/dy) exp [±i kzz)] per 0 ≤ x ≤ dx,
0 ≤ y ≤ dy= 0 fuori il filo
Energia:
E -Ec = En,m + (ћ2/2m*) kz2 con En,m = (π2ћ2 /2m*)(n2/dx
2 + m2/dy2)
Densità di stati:
ρ(E) = {m*/[2ћ2π2(E - Ec - En,m)]}1/2 per ogni n,m
N.B.: combinazioni diverse di n e m possono dare la stessa energia
Quantum box:
In una scatola infinita, i.e. ∆Ec = ∞, dx per dy per dz:
Funzione d’onda:ψ(x,y,z) = Anmsin(nπx/dx)sin(mπx/dy)sin(pπx/dz) per 0 ≤ x ≤ dx, 0 ≤ y ≤ dy , 0 ≤ z ≤ dz
= 0 fuori la scatola
Energia:E - Ec = En,m,p con En,m,p = (π2ћ2/2m*)(n2/dx
2 + m2/dy2 + p2/dz
2)
Densità di stati:ρ(E) = uno per scatola per ogni combinazione di n, m, e pN.B.: alcune combinazioni di n e m possono dare le stesse energie
Densità di stati DOS
1. Materiale di bulkVolume nello spazio k per stato: (2π/L)3
Volume nello spazio k occupato da stati con energia inferiore a E:
Vk = 4πk3/3 con k =c2 EEm2
−h
Numero di stati elettronici in questo volume:
23c
23
22
3
3
3
)EE(m23L
)L/2(3/k42)E(N −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
π=
ππ
=h
Densità di stati con energie fra E e E+dE per unità di volume:
21c
23
22331 )EE(m2
21
dE)E(dN
L1]meV)[E( −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
π==ρ −−
h
2. Quantum wellArea nello spazio k 2-d (i.e., ky,kz) per stato: (2π/L)2
Area nello spazio k occupato da stati con energia inferiore a En:
Ak = πk2 con k = cn2 EEEm2−−
h
Numero di stati elettronici nella banda n:
)EEE(*mL)L/2(
k2)E(N cn22
2
2
2
n −−π
=ππ
=h
Densità di stati nella buca fra E and E+dE per unità di area:
22n
221
n*m
dE)E(dN
L1]meV)[E(
hπ==ρ −−
e 2x
222
n d*m2nE hπ
=
Larghezza dk
DOS costante
3. Quantum wireDistanza nello spazio k per stato: 2p/L
Distanza nello spazio k occupato da stati con energia inferiore a En,m:
Lk = k con k = cm,n2 EEEm2−−
h
Numero di stati elettronici nella banda n,m:
cn2m,n EEE*m2LL/2
k2)E(N −−π
=π
=h
Densità di stati fra E e E+dE per unità di lunghezza del filo:
m,nc22
m,n11m,n EEE
12
*mdE
)E(dNL1]meV)[E(
−−π==ρ −−
h
e ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
π= 2
y
2
2x
222
m,n dm
dn
*m2E h
3. Quantum boxLa densità di stati è data dal numero di stati che è pari a 2 per ogni livello energetico discreto possibile, En,m, p, per la degenerazione del livello, (ossia il numero di combinazioni di n, m, e p che danno lo stesso valore di En,m, p).
m,nc22
m,n11m,n EEE
12
*mdE
)E(dNL1]meV)[E(
−−π==ρ −−
h
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
π= 2
z
2
2y
2
2x
222
p,m,n dp
dm
dn
*m2E h
Riassunto:
Bulk21
c
23
2331 )EE(m2
21
dE)E(dN
L1]meV)[E( −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
π==ρ −−
h
Well 22n
221
n*m
dE)E(dN
L1]meV)[E(
hπ==ρ −−
Wire
Riassumendo : dipendenza della DOS dall’energia per diverse dimensionalità
d=1 : nanofilo,d=2 : strato sottiled=3 : cristallo di bulk
Per un quantum dot (d=0) la DOS ha un comportamento a delta:
Energie permesse discrete
Profili di densità di stati:
Supponendo dx = dy = dz
Profili di densità di stati:
Supponendo dx = dy = dz
Eterostrutture
Le buche di potenziale confinano i portatori in 1 dimensione. Sono invece liberi nelle altre due. Per essere “quantica” la buca deve essere piuttosto sottile – in genere inferiori a alcune decine di nm, difficilmente più di 100nm
Sistemi confinati: Proprietà Ottiche
Bandgap in un QW:
Eg = Ega + E1(elettrone) + E1(buca)
Il bandgap effettivo è più grande di quello del materiale del QW. Inoltre può essere modificato cambiando la larghezza del pozzo Lz. Il blue shift del bandgap è detto “quantum size effect”.
Proprietà ottiche:
• La diminuzione della dimensione del materiale nanostrutturato aumenta la differenza di energia, ΔE, fra i livelli energetici permessi
• Quando un elettrone transisce da uno stato a energia superiore a uno stato a energia inferiore, viene emesso un fotone di lunghezza d’onda, λ= hc/ΔE
• ΔE maggiori implicano lunghezze d’onda inferiori (“blue shift”)
Assorbimento/emissione in quantum well
Spettro di emissione
Eg = 2.55eV (10K)
Eg = 2.45eV (300K)
• L’energia di emissione cambia da Eg a (Eg + Ee1 + Ehh1)
• λ viene modulata cambiando d
• Più intensa che nel bulk per il miglior overlap elettrone-buca
• Usata nei laser a diodi e per i LED
Assorbimento 2-D
• Assorbimento ∝ densità di stati
• Densità di stati costante in 2-D: g2D(E) = m / πħ2
• Soglia ħω > (Eg + Een+ Ehn)
• Band edge spostato a (Eg + Ee1+ Eh1)
Transizioni tra sottobande
• Energia di transizione ~ 0.1 eV (~ 10 µm, infrarosso)
• Assorbimento usato per detettori nell’infrarosso
• Emissione usata per laser nell’infrarosso (Quantum cascadelasers)