三三三三三三三三三三 6 6.1 利利利利利利利利利利利利利利利 利利利利 中, 中中中 ABC , R C c B b A a 2 sin sin sin 中中中中中中 中 中中 ABC R
Jan 27, 2016
三角形的解法及其應用三角形的解法及其應用6
6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形
正弦公式
中,在任意 ABC
,RC
c
B
b
A
a2
sinsinsin
的外接圓半徑是其中 ABCR
6 三角形的解法及其應用
6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形
證明:
6 三角形的解法及其應用
6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形
證明:
6.3 圖
RA
a2
sin
RC
cR
B
b2
sin 2
sin 及同理可證,
RC
c
B
b
A
a2
sinsinsin
A'A sinsin
BA'
BC
R
a
2
o90' CBA
'AA
6 三角形的解法及其應用
解:
例 6.1
ABCcBAABC 5 70 60 oo 解及 ,在
6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形
、
o
ooo
50
7060180
C
6 三角形的解法及其應用
o
ooo
50
7060180
C
C
c
A
a
sinsin
o
o
50sin
60sin5a
)2( 65.5 位小數準確至
C
c
B
b
sinsin
6.8 圖o
o
50sin
70sin5b
)2( 13.6 位小數準確至
解:
例 6.1
ABCcBAABC 5 70 60 oo 解及 ,在
6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形
、
6 三角形的解法及其應用
解:
例 6.2
ABCbaAABC 10 6 30 o 解及 中,在
6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形
、
6 三角形的解法及其應用
B
b
A
a
sinsin
a
AbB
sinsin
6
5
6
30sin10 o
) 2 ( 56.12344.56180 ) 2 ( 44.56 oooo 位小數準確至或位小數準確至 BB
時,當 o44.56 (i) B
6.9 圖
) 2 ( 56.93
44.5630180o
ooo
位小數準確至C
A
Cac
sin
sin
) 2 ( 98.1130sin
56.93sin6o
o
位小數準確至
解:
例 6.2
ABCbaAABC 10 6 30 o 解及 中,在 、
6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形
6 三角形的解法及其應用
時,當 o56.123 (ii) B
) 2 ( 44.26
56.12330180o
ooo
位小數準確至C
A
Cac
sin
sin
) 2 ( 34.530sin
44.26sin6o
o
位小數準確至
34.5 44.26 56.123
98.11 56.9344.56 oo
oo
cCB
cCB
及或及 因此,
解:
例 6.2
ABCbaAABC 10 6 30 o 解及 中,在 、
6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形
、、
6.9 圖
6 三角形的解法及其應用
解:
ABCbaAABC 2 6 30 o 解及 中,在
6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形
例 6.3、
6 三角形的解法及其應用
B
b
A
a
sinsin
6.10 圖
a
AbB
sinsin
6
1
6
30sin2 o
) 2 ( 170.4159.9180
) 2 ( 59.9 ooo
o
小數準確至
或小數準確至
B
B
時,當 o59.9 (i) B
) 2 ( 41.140
59.930180o
ooo
位小數準確至
C
A
Cac
sin
sin
) 2 ( 65.730sin
41.140sin6o
o
位小數準確至
解:
ABCbaAABC 2 6 30 o 解及 中,在
6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形
例 6.3
、
6 三角形的解法及其應用
時,當 41.170 (ii) oB
o
oo
41.170
18041.200
B
BA
所以,應捨去
7.65 41.140
59.9 o
o
cC
B
及因此,
6.10 圖
解:
ABCbaAABC 2 6 30 o 解及 中,在
6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形
例 6.3
、
、
6 三角形的解法及其應用
6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形
餘弦公式
中,在任意 ABC
Abccba cos2222
6 三角形的解法及其應用
6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形
證明:
6 三角形的解法及其應用
6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形
證明:
是銳角圖 6.11(a) A
222
222
)(
xcah
xbh
BCD
CDA
中,得和應用畢氏定理於
22222 2 xbxcxca
cxcba 2 222
2222 )( xbxca
Ab x
CDA
cos
得,從
Abccba cos2 222
6 三角形的解法及其應用
6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形
證明:
是鈍角圖 6.11(b) A
222
222
)(
xcah
xbh
BCD
CAD
中,得和應用畢氏定理於
22222 2 xbxcxca
cxcba 2 222
2222 )( xbxca
Ab
Ab x
CAD
cos
)cos(
得,從
Abccba cos2 222
6 三角形的解法及其應用
解:
例 6.4 ABCcbaABC 6 54 解及 中,在
6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形
、
6 三角形的解法及其應用
bc
acbA
2cos
222
6.12 圖
4
3
)6)(5(2
465 222
) 2 ( 41.41 o 位小數準確至 A
ac
bcaB
2cos
222
16
9
)6)(4(2
564 222
) 2 ( 77.55 o 位小數準確至 B
) 2 ( 82.8277.5541.41180 oooo 位小數準確至C
解:
例 6.4 ABCcbaABC 6 54 解及 中,在
6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形
、
6 三角形的解法及其應用
解:
例 6.5
6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形
在 ABC 中, A=20º 、 b=2 及 c=3 。解 ABC 。
6 三角形的解法及其應用
Abccba cos2222
6.13 圖
724.1
20cos)3)(2(232 o22
) 2 ( 31.1
313.1
位小數準確至 a
ac
bcaB
2cos
222
8535.0)3)(313.1(2
23313.1 222
) 2 ( 40.31 o 位小數準確至 B
) 2 ( 60.12840.3120180 oooo 位小數準確至C
解:
例 6.5
在 ABC 中, A=20º 、 b=2 及 c=3 。解 ABC 。
6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形
6 三角形的解法及其應用
解:
例 6.9
PQx
QPBxAB
BA
αQPA
2
0
W N km
2
0
E N E N
表和 試以
,其中均為的方位角和點測得,這時,從
點,設點駛至正東方向的若該船從其中
,和的方位角分別為和點測得兩座燈塔一艘船從
6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形
、 、
6 三角形的解法及其應用
6.16 圖
中,在 ABQ
2 ,
2QBAQAB
22 AQB由此,
QBA
AQ
AQB
AB
sinsin
根據正弦公式得,
)sin(
)2
sin(
xAQ km
)sin(
cos
x
解:
例 6.9
6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形
、 、
PQx
QPBxAB
BA
αQPA
2
0
W N km
2
0
E N E N
表和 試以
,其中均為的方位角和點測得,這時,從
點,設點駛至正東方向的若該船從其中
,和的方位角分別為和點測得兩座燈塔一艘船從
6 三角形的解法及其應用
PAQ
APQ
中,在
)()(
)( 外角由此, PAQAQBAPQ
APQ
AQ
PAQ
PQ
sinsin
根據正弦公式得,
)sin(
)sin(])sin(
cos[
x
PQ
km)sin()sin(
)sin(cos
x
例 6.9
PQx
QPBxAB
BA
αQPA
2
0
W N km
2
0
E N E N
表和 試以
,其中均為的方位角和點測得,這時,從
點,設點駛至正東方向的若該船從其中
,和的方位角分別為和點測得兩座燈塔一艘船從
6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形
、 、
6.16 圖
6 三角形的解法及其應用
Wingeom
圖 6.30
6.2 三維空間的問題
詞彙與定義
1. 垂直於平面的直線若一直線 L 垂直於平面 內所有直線,則稱直線 L 與平面 垂直。
平面 上的任意直線
平面
L
6.30 圖
如果想看書內 WinGeom 圖 6.30 立體圖形,可先於 http://math.exeter.edu/rparris/winGeom.html 下載 Wingeom 軟件。然後進入以下網頁http://www.hkep.com/Resources/maths/amaths.html
6 三角形的解法及其應用
(ii) 角是直線 AB 與平面 的交角, 也被稱為直線 AB 在平面 上的傾角。
6.2 三維空間的問題
Wingeom
圖 6.31
2. 直線與平面的夾角在圖 6.10 中,直線 AB 與平面 相交於 A 點。B 是直線 L 上的一點,並自 B 點向平面 作一垂線 BB’ , B’ 是 B 點在平面 上的垂足。
平面
B
B’A
6.31 圖注意: (i) 直線 AB’ 是直線 AB 在平面 上的投影。
如果想看書內 WinGeom 圖 6.31 立體圖形,可先於 http://math.exeter.edu/rparris/winGeom.html 下載 Wingeom 軟件。然後進入以下網頁http://www.hkep.com/Resources/maths/amaths.html
6 三角形的解法及其應用
6.2 三維空間的問題
Wingeom
圖 6.32
3. 兩相交平面的夾角 圖 6.11 所示,兩平面 1 與 2 相交於一直線,
這直線稱為兩平面的公共棱。
6.32 圖
兩直線 L1 與 L2 夾成的銳角,稱為兩平面的夾角。
平面 1
公共棱 平面 2
L2
L1
如果想看書內 WinGeom 圖 6.32 立體圖形,可先於 http://math.exeter.edu/rparris/winGeom.html 下載 Wingeom 軟件。然後進入以下網頁http://www.hkep.com/Resources/maths/amaths.html
6 三角形的解法及其應用
6.2 三維空間的問題
Wingeom
圖 6.33
4. 最大斜率的直線以下就讓我們考慮斜面 3 與水平平面 4 (見圖 6.12 )
6.33 圖而兩平面的夾角 ,又稱為最大斜率的角。
最大斜率的直線
公共棱 水平平面 4
斜面 3
如果想看書內 WinGeom 圖 6.33 立體圖形,可先於 http://math.exeter.edu/rparris/winGeom.html 下載 Wingeom 軟件。然後進入以下網頁http://www.hkep.com/Resources/maths/amaths.html
6 三角形的解法及其應用
6.2 三維空間的問題
立體圖形的問題例 6.10圖 6.34 表示一長方體。已知 AB=10cm、 BC=6cm 及 GC=5cm 。試求(a) 直線 AG 與平面 ABCD 所成的角;(b) 平面 HABG 與平面 ABCD 所成的角。答案須準確至最接近的度。
6 三角形的解法及其應用
6.34 圖
解:
Wingeom
圖 6.34
6.2 三維空間的問題
立體圖形的問題例 6.10圖 6.34 表示一長方體。已知 AB=10cm、 BC=6cm 及 GC=5cm 。試求(a) 直線 AG 與平面 ABCD 所成的角;(b) 平面 HABG 與平面 ABCD 所成的角。答案須準確至最接近的度。
如果想看書內 WinGeom 圖 6.34 立體圖形,可先於 http://math.exeter.edu/rparris/winGeom.html 下載 Wingeom 軟件。然後進入以下網頁http://www.hkep.com/Resources/maths/amaths.html
6 三角形的解法及其應用
6.35(a) 圖
AC
GCGACGAC tan 中,在
22 BCAB
GC
22 610
5
)( 23 o 準確至最接近的度 GAC
Wingeom
圖 6.35
6.34 圖
解:
Wingeom
圖 6.34
6.2 三維空間的問題
立體圖形的問題例 6.10圖 6.34 表示一長方體。已知 AB=10cm、 BC=6cm 及 GC=5cm 。試求(a) 直線 AG 與平面 ABCD 所成的角;(b) 平面 HABG 與平面 ABCD 所成的角。答案須準確至最接近的度。
(a) 注意 AC 是 AG 在平面 ABCD 上的投影。 所以 GAC 便是直線 AG 與平面 ABCD 所成的角。
如果想看書內 WinGeom 圖 6.35 立體圖形,可先於 http://math.exeter.edu/rparris/winGeom.html 下載 Wingeom 軟件。然後進入以下網頁http://www.hkep.com/Resources/maths/amaths.html
6 三角形的解法及其應用
AD
HDHADHAD tan 中,在
6
5
)( 40 o 準確至最接近的度 HAD
6.34 圖
解:
Wingeom
圖 6.34
6.2 三維空間的問題
立體圖形的問題例 6.10圖 6.34 表示一長方體。已知 AB=10cm、 BC=6cm 及 GC=5cm 。試求(a) 直線 AG 與平面 ABCD 所成的角;(b) 平面 HABG 與平面 ABCD 所成的角。答案須準確至最接近的度。
6.35(b) 圖
Wingeom
圖 6.36(b) 注意 AB 是平面 HABG 與平面 ABCD 相交的公共棱,而且 HA 及 DA 也垂直 於此公共棱。所求的角便是 HAD 。
如果想看書內 WinGeom 圖 6.36 立體圖形,可先於 http://math.exeter.edu/rparris/winGeom.html 下載 Wingeom 軟件。然後進入以下網頁http://www.hkep.com/Resources/maths/amaths.html
6 三角形的解法及其應用
例 6.12
6.2 三維空間的問題
ABCD 與 CDEF 為相互垂直的兩個矩形平面。若 FBC=、 FAC= 及 AFB= ,試求 、 及 的關係。
6 三角形的解法及其應用
解:
6.40 圖
Wingeom
圖 6.40是一個矩形注意: ABFE
ABF 考慮
例 6.12
6.2 三維空間的問題
ABCD 與 CDEF 為相互垂直的兩個矩形平面。若 FBC=、 FAC= 及 AFB= , 試求 、 及 的關係。
如果想看書內 WinGeom 圖 6.40 立體圖形,可先於 http://math.exeter.edu/rparris/winGeom.html 下載 Wingeom 軟件。然後進入以下網頁http://www.hkep.com/Resources/maths/amaths.html
6 三角形的解法及其應用
AF
BFcos
6.41 圖
sin
sinFC
FC
sin
sin
sin cossin 因此,所求的關係式為
解:
6.40 圖
Wingeom
圖 6.40是一個矩形注意: ABFE
ABF 考慮
例 6.12
6.2 三維空間的問題
ABCD 與 CDEF 為相互垂直的兩個矩形平面。若 FBC=、 FAC= 及 AFB= , 試求 、 及 的關係。
考慮 BFC
考慮 AFC
6 三角形的解法及其應用
6.2 三維空間的問題
三維空間的實用問題例 6.13A、 B 和 C 是水平地面上的三點。已知BAC=71 ,而 TB 是在同一水平地面上直立於 B 點的一座塔。從 A 點和 C 點分別測得塔頂 T 的仰角為 60 和 30 。若 A、 C 兩點相距 100 米,試求塔的高度。答案須準確至最接近的米。
6 三角形的解法及其應用
Wingeom
圖 6.43
6.43 圖
解:為塔的高度設 m h
6.2 三維空間的問題
三維空間的實用問題例 6.13A、 B 和 C 是水平地面上的三點。已知BAC=71 ,而 TB 是在同一水平地面上直立於 B 點的一座塔。從 A 點和 C 點分別測得塔頂 T 的仰角為 60 和 30 。若 A、 C 兩點相距 100 米,試求塔的高度。答案須準確至最接近的米。
如果想看書內 WinGeom 圖 6.43 立體圖形,可先於 http://math.exeter.edu/rparris/winGeom.html 下載 Wingeom 軟件。然後進入以下網頁http://www.hkep.com/Resources/maths/amaths.html
6 三角形的解法及其應用
6.44(a) 圖
mhh
AB360tan o
Wingeom
圖 6.43
6.43 圖
解:為塔的高度設 m h
6.2 三維空間的問題
三維空間的實用問題例 6.13A、 B 和 C 是水平地面上的三點。已知BAC=71 ,而 TB 是在同一水平地面上直立於 B 點的一座塔。從 A 點和 C 點分別測得塔頂 T 的仰角為 60 和 30 。若 A、 C 兩點相距 100 米,試求塔的高度。答案須準確至最接近的米。
6 三角形的解法及其應用
mhh
AB360tan o
mhh
BC 330tan o
6.44(b) 圖
mhh
AB360tan o
Wingeom
圖 6.43
6.43 圖
解:為塔的高度設 m h
6.2 三維空間的問題
三維空間的實用問題例 6.13A、 B 和 C 是水平地面上的三點。已知BAC=71 ,而 TB 是在同一水平地面上直立於 B 點的一座塔。從 A 點和 C 點分別測得塔頂 T 的仰角為 60 和 30 。若 A、 C 兩點相距 100 米,試求塔的高度。答案須準確至最接近的米。
6 三角形的解法及其應用
o222 71cos))((2
ACABACAB BC
ABC
中,根據餘弦公式得,在
6.44(c) 圖
hh
h
3
71cos20010000
33
o22
100003
71cos200
3
80
o2
hh
)( 69.68 59.54 捨去或 h)( m 55 準確至最接近的米因此,塔的高度為
Wingeom
圖 6.43
6.43 圖
解:
6.2 三維空間的問題
三維空間的實用問題例 6.13A、 B 和 C 是水平地面上的三點。已知BAC=71 ,而 TB 是在同一水平地面上直立於 B 點的一座塔。從 A 點和 C 點分別測得塔頂 T 的仰角為 60 和 30 。若 A、 C 兩點相距 100 米,試求塔的高度。答案須準確至最接近的米。