6. Trigonometrie ● Die Trigonometrie ist nicht mehr eigener Bestandteil des Lernstoffs in der Mittelstufe. ● Sin, cos, tan wird z. B. im LS als Teil (2 kleine Abschnitte im Rahmen des Themas „Pythagoras“) behandelt. ● Sin, cos, tan werden (nur) innerhalb des Dreiecks definiert.
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6. Trigonometrie● Die Trigonometrie ist nicht mehr eigener
Bestandteil des Lernstoffs in der Mittelstufe. ● Sin, cos, tan wird z. B. im LS als Teil (2 kleine
Abschnitte im Rahmen des Themas „Pythagoras“) behandelt.
● Sin, cos, tan werden (nur) innerhalb des Dreiecks definiert.
Definition von sin, cos, tan
● Allgemeine Bezeichnungen!
Üben !● Die allgemeine Formulierung muss an
Beispielen geübt werden, bei denen die Katheten bzw. die Hypotenuse nicht a, b, c heißen!
Formeln
● sin ² α + cos ² α = 1● sin α = cos (90° – α)● cos α = sin (90° – α)● tan = sin
cos
Projektarbeit an einer Anwendungsaufgabe
● Grundsätzliche Überlegungen zu einer Projektarbeit:– Umfangreiche Aufgabe– Sinnvolle Arbeitsteilung für S&S oder Gruppen– Manchmal Einbeziehung von externen Experten
oder Institutionen– In der Regel umfangreiche Vorbereitung nötig!– Oft im Rahmen einer Projektwoche– Mögliche Themen / Aktivitäten
● Befragungen, empirische Untersuchungen● Messungen im Freien oder im Schulhaus
● Vorteile von Projektarbeit:● Projektarbeit kann einen Motivationsschub für das Fach Mathematik
bewirken. ● Bei Projektarbeit müssen die Schüler eigenständige Anstrengungen in
Bezug auf Arbeitsaufteilung, Organisation und Lösungssuche unternehmen.
● Zwischenergebnisse müssen festgehalten und anschließend ein Ergebnis präsentiert werden.
● Der Arbeitsauftrag ist nicht starr, er kann während der Arbeit erweitert oder modifiziert werden.
● Schüleraktivierender Unterricht
Nachteile● Hoher Aufwand (Zeit, oft auch Material, Geld)● Verstärkte Aufsichtspflicht● Gefahr des Freizeitcharakters● Absprachen mit KollegInnen notwendig
● Trotz aller Nachteile:● Es lohnt sich !!
Das konkrete Projekt● Bestimmung der Höhe eines Schornsteins!
Berechnungsmethoden
Der Sinussatz ● Der Sinussatz ist im neuen LS zu einer Aufgabe
herabgestuft● Ist aber wichtig für Berechnungen im beliebigen
Dreieck
ab
= sinsin
bc
= sin sin
ca
= sinsin
Beweisfigur Sinussatz
● h = b· sin α = a · sin β
Konstante im Sinussatz
csin
= 2r
asin
= bsin
= csin
= 2r
Der Cosinussatz● Der Cosinussatz ist eine Verallgemeinerung
des Satzes von Pythagoras für beliebige Dreiecke.
● Im beliebigen Dreieck gilt :● c² = a² + b² - 2ab cos γ● a² = b² + c² - 2bc cos α● b² = a² + c² - 2ac cos β
Beweisfigur CosinussatzEntscheidend: SdP im Dreieck ABD
● C² = AD² + BD² = (b·sin γ)² + (a – b cos γ)²● = ... = a² + b² - 2ab cos γ
Zum Vergleich: Wikipedia● Vgl. Beweis in
http://de.wikipedia.org/wiki/Kosinussatz#Beweis● Allerdings dort ungewöhnliche Bezeichnung! ● Mit angepasster Bezeichnung kurzer Beweis
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