6. Quantenrealität 6.1. Das Paradoxon von Einstein, Podolski und Rosen ( EPR-Paradoxon ) Postulate der klassischen Realität : 1)Realität: Physikalische Phänomene werden durch reale physikalische Objekte bzw. Größen bewirkt, die unabhängig von deren Beobach-tung durch den Experimentator (oder durch Katzen) existieren. 2)Logik: Die Gesetze der (zweiwertigen) Logik sind auf physikalische Ereignisse anwendbar. 3)Lokalität: Eine irgendwie geartete Wirkung zwischen zwei Systemen überträgt sich höchstens mit Lichtgeschwindigkeit. V z A B Beispiel: Massenpunkt im Potentialtopf Teilchen ist in A Teilchen ist nicht in B Teilchen ist nicht in A Teilchen ist in B
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6. Quantenrealität 6.1. Das Paradoxon von Einstein, Podolski und Rosen ( EPR-Paradoxon ) Postulate der klassischen Realität: 1)Realität: Physikalische.
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6. Quantenrealität6.1. Das Paradoxon von Einstein, Podolski und Rosen ( EPR-Paradoxon )
Postulate der klassischen Realität:1) Realität: Physikalische Phänomene werden durch reale physikalische
Objekte bzw. Größen bewirkt, die unabhängig von deren Beobach-tung durch den Experimentator (oder durch Katzen) existieren.
2) Logik: Die Gesetze der (zweiwertigen) Logik sind auf physikalische Ereignisse anwendbar.
3) Lokalität: Eine irgendwie geartete Wirkung zwischen zwei Systemen überträgt sich höchstens mit Lichtgeschwindigkeit.
V
zA B
Beispiel: Massenpunkt im Potentialtopf
Teilchen ist in A Teilchen ist nicht in B
Teilchen ist nicht in A Teilchen ist in B
Quantenrealität: Das reine Quantensystem ist fundamental unscharf (d. h. nicht-lokal). Durch Beobachtung wird ein scharfer Zustand erzeugt. Die Beobachtung deckt keinesfalls nur einen vor der Messung schon vorliegenden Zustand auf.
Bemerkung: Die QM ist nicht-lokal. Hingegen ist die Kausalität nicht verletzt: Wegen der Zufälligkeit von nicht-lokalen Quanten-effekten kann mit diesen keine Information übertragen werden.
V
z
A BGrundzustand:
Aufenthaltswahrscheinlich-keit symmetrisch auf A und
B verteilt.
V
z
A BMessung eines Beobachters in A oder B Teilchen wird zufällig lokalisiert. Beobachter A weiß danach instantan,
ob in B ein Teilchen beobachtet würde.
x
EPR-Gedankenexp.: Symmetrischer Zerfall eines ruhenden Teilchens
Beispiele: , γγπ0 00 BB
Idealer DetektorMessgröße pA
AB
Mutterteilchen ruhend ( Ruhelage unscharf) BA pp BA pp
Messung von pA in A Impuls pB in B instantan festgelegt
Folge: Zwar ist die Schwerpunktskoordinate xA xB unscharf, jedoch ist der Abstand xA xB scharf.
EPR-Folgerung:
pB muss vorher real gewesen sein und wurde nur aufgedeckt.
Varianten nach Bohm:
a) Erzeugung eines Spin-½-Paars mit Gesamtspin S 0
0s,sχSs,sχss 21z21z2z1 0s,sχSs,sχss 21z21z2z1
ssS 21
ssS 21
ss 2
1z2z1 ss 2
1z2z1
Erzeugungvon
50%
50%
z-Achse beliebig aber fest
Stern-Gerlach-
Filter
100%Stern-
Gerlach-Test-Filter
b) Erzeugung von Photon-Paaren mit identischer (unbestimmter) Polarisation P
Methode: Nichtlineare Kristalle
P
Detektor
Polfilter
Achse
Polarisation unbestimmt
ErzeugungsortP
PolfilterTest-Analysator
Detektor
6.2. Die Bellsche Ungleichung
John Bell (1928-1990)Elementarteilchen-/
Beschleunigerphysiker CERN
Der (feige?) Ausweg aus der Nichtlokalität (und damit aus dem EPR-Paradoxon):
Hypothese: Der mikroskopische Quanten-zustand wird durch verborgene Parameter vollständig, d. h. ohne prinzipielle Unschär-fen festgelegt. ,,Leider“ sind diese Parame-ter aber prinzipiell unmessbar (und Ihr Experimentatoren braucht es daher gar nicht erst zu versuchen. Ätsch!).
• Ein reines Quantensystem ist ein statistisches Ensemble der vollständig bestimmten Mikrozustände.
• Wellenfunktion Häufigkeitsverteilung innerhalb des Ensembles.
John Bells bahnbrechende Entdeckung: Auch wenn die verborgenen Parameter selbst nicht messbar sind, erzeugt ihre reine Existenz messbare Effekte!
Der Ausweg der verborgenen Paramter ist nicht feige und kein Ätsch.
Beispiel: Spin-½-Paar mit Gesamtspin S 0 (Singulett 00)
S 0
00
①② αn
βn
Spinfilter 1 Achse αn
Spinfilter 2 Achse βn
Zähler 1Zähler 2
Quantenmechanisch: Wenn ein Spin bzgl. gemessen wurde, ist die Frage ,,Was hätte man bei einer Messung bzgl. gemessen“ sinnlos.
αn
γn
Klassische Realität: Wenn ein Spin bzgl. gemessen wurde, besitzt er trotzdem einen definitiven Wert bzgl. . Dieser Wert ist aber ein verborgener Parameter und daher nicht messbar.
αn
γn
β|αN :nα
:nβ
ja
β|αγNβ|γαN :n:n γα
:n:n γβ
nein
βγ|αNγβ|αN :n:n γα
:n:n γβ
nein
Koinzidenz-Wahrscheinlichkeit
Spin bei Filter 1 Spin bei Filter 2 messbar?
S 0
00
①② αn
βn
Spinfilter 1 Achse αn
Spinfilter 2 Achse βn
Zähler 1Zähler 2
Folgerungen: γβ|αNβ|γαNβ|αN
β|γαNβ|αγNαβ|γNβ|αγNβ|Nγα
γβ|αNβγ|αNβγ|αNγ|βαNγ|αNγβ
Bellsche Ungleichung
β|γNγ|αNβ|αN
β|αN :nα
:nβ
ja
β|αγNβ|γαN :n:n γα
:n:n γβ
nein
βγ|αNγβ|αN :n:n γα
:n:n γβ
nein
Koinzidenz-Wahrscheinlichkeit
Spin bei Filter 1 Spin bei Filter 2 messbar?
Quantenmechanische Berechnung von N( ): ssS 21
ssS 21
S 0
00
①② αn
βn
Zähler 1Zähler 2 χ 2
100 χ
21
00
2432
43
21
χ2121
22
21
2 20ssss2ssS00
Übung: 0ss0000 χj2χj1 0ss
0000 χj2χj1 kj4
χ21kj3
1
χk2j1 δssδss2
0000
Einteilchen-Messoperator für bezüglich :21 s,s
βα n,n
2β1α
sn
21sn
21 ,
0sn
1sn
α1α1
21
αα1α1
21
0sn
1sn
β2β1
21
ββ2β1
21
Beweis:
S 0
00
①② αn
βn
Zähler 1Zähler 2 χ 2
100 χ
21
00
Einteilchen-Messoperator für bezüglich :21 s,s
βα n,n
2β1α
sn
21sn
21 ,
Folgerung:
snsnβ|αN 00χ
2β1
21
1α1
21 )()(
snsnβ|αN 00χ
2β1
21
1α1
21 )()(
snsnβ|αN 00χ
2β1
21
1α1
21 )()(
snsnβ|αN 00χ
2β1
21
1α1
21 )()(
ssnnsnsnβ|αN 00
2
0000χk2j1
3
1k,jkβjα
1
χ2β2
1
χ1α2
141
0
0
kj2
41 δ
βα41
kj
3
1k,jkβjα4
141 nn1δnn
αn
βn
Bsp.: Koplanare Spinanalysatoren: αβcosnn βα
2αβ2
21
41 sinαβcos1αβNβ|αN 2
αβ221
41 sinαβcos1αβNβ|αN
1104
114
0 14
αβP
βα,
βα
βα,
βα
βα,
βα,
βα,
βα
50% je falls
50% je falls
25% je falls
21
41
Def.: Korrelationsfunktion 1αβN4αβP 1αβN4αβP
Zusammenfassung: 1αβN4αβP 1αβN4αβP
Klassische Realität mit verborgenen Parametern
γβNαγNαβN γβPαγP1αβP γβPαγP1αβP
Quantenmechanische nicht-lokale Realität
αβcos1αβN 41 αβcosαβP αβcosαβP
Beispiel: 0º 90º 45º
245cosγβP
245cosαγP
090cosαβP
21
21
γβPαγP2
11αβP
Die Quantenmechanik verletzt die Bellsche Ungleichung. Die Hypothese der klassichen Realität mit verborgenen Parametern ist
experimentell überprüfbar.
p
p
2pkin cmE
p
6.3. Experimentelle Tests der Bellschen UngleichungHeute in modernen Labors zur Quantenoptik Routine für jede Studentin!
a) Spin-½-Systeme: Proton-Proton-Streuung
Proton-Beschleuniger
Wasserstoffgas
p
Streufolie (C)
Detektoren
Detektoren
Dominanter Streumechanismus:
pp
p
p
Spin-Flip
LS-Kernkraft Spin-abhängige Streurichtung
a) Die Bellsche Ungleichung wird verletzt. Die klassiche Realität ist unhaltbar!
b) Die Vorhersage der Quantenmechanik wird bestätigt!
Klassisch verbotener Bereich
b)2-Photon-Systeme: Laseranregung von Atomen (Ca, Hg)
Optisches Pumpen (Laser)
J 0
J 0
Grundzustand (stabil)
Angeregter Zustand (metastabil)
J 1MJ 1
MJ 0 MJ 1
1
2
Makroskopische Abstände ( 100 km) mit Lichtfaser-Leitung realisiert.
P
Detektor
AchseAngeregte QuellatomeP
Polfilter, -Platte...Test-Analysator
Detektor
Polfilter, -Platte...x
y
z
1γ2γ
MJ
1 0 1
1 0 1
verschränkt
Wahl der Quantisierungsachse ist willkürlich. Zwei Beispiele:
MJ-Quantisierung bzgl. z-Achse
MJ Polarisationszustand 1 2 1 2
1 1 y-linear y-linear
0 0 z-linear z-linear
1 1 y-linear y-linear
MJ-Quantisierung bzgl. x-Achse
MJ Polarisationszustand 1 2 1 2
1 1 R-zirkular R-zirkular
0 0
1 1 L-zirkular L-zirkular
Verschränkung mit positiver Photon-Spinkorrelation
1
2
MJ
1 0 11 0 1
P
Detektor
AchseAngeregte QuellatomeP
Polfilter, -Platte...Test-Analysator
DetektorPolfilter, -Platte...
x
y
z
1γ2γ
c) 2-Photon-Systeme: Frequenzhalbierung mit nichtlinearen Kristallen
Grundzustand
Angeregter Zustand
virtuelles Zwischenniveau
Pump-Laser
ω
1
2
ω21
ω21
d)2-Photon-Systeme: Positronium-Zerfall
ee
Grundzustand: 1 1S0 (L S J 0)
E 511 keV
E 511 keV Zerfall
L , R
L , R
Resultat immer gleich: Quantenmechanik , klassische Realität
6.4. Quanten-Kryptografie Weitere Anwendungen:• Teleportation• Quanten-Computer
Theorem: Ist Schlüsselcode Zufallsfolge von Bits, ist die Vernam-Codierung ohne Kenntnis des Schlüsselcodes prinzipiell nicht brechbar.
Problem: Wie kommunizieren Alice und Bob den Schlüsselcode?
Lösung 1: Persönliches Treffen und Austausch eines Schlüsselbuches (z.B. mit Codes für jeden Tag des kommenden Jahres). Sehr anfällig! Buch kann unbemerkt von Eve ausspioniert werden.
Lösung 2: Public-Key-Methoden (z.B. RSA-Keys): Übermittle öffentlich einen Verschlüsselungscode. Entschlüsselung erfordert Zusatzkenntnis (z.B. die Primfaktorzerlegung des Schlüssels), deren Berechnung mit heutigen Computern nicht (effizient) möglich ist. Problem: Quantencomputer erlauben die Berechnung!
Lösung 3: Ad hoc Erzeugung von Codes durch simultane Messung an verschränkten Photonen. Vorteil: Spionage während der Übertragung wird sicher aufgedeckt. Quantenkryptografie
Erzeugung von echter Zufallsfolge von Bits, identisch für Alice und Bob:
Orientierung der Nicol-Prismen jeweils zufällig unter 0º oder 45º
Nach der Datennahme Alice und Bob kommunizieren öffentlich die Zeitpunkte (aber nicht die Messungen) identischer Prismenorientierun-gen und selektieren beide die zugehörige Zufallsfolge von Bits:
Wenn die Vergleichszufallsfolgen für Alice und Bob völlig identisch sind, wird der Verschlüsselungscode validiert. Sonst wird ein neuer Code generiert (nachdem Eve aufgespürt und vertrieben wurde).
Fall 1: Die Orientierung bei Eve ist (zufällig) identisch mit der bei Alice Das Resultat bei Alice bleibt unverändert.
Effekt eines Lauschangriffs von Eve:
Fall 2: Die Orientierung bei Eve ist nicht identisch mit der bei Alice Das Resultat bei Alice ändert sich in 50% der Fälle. Dies
fliegt beim Sicherheitstest sofort auf!
Die Methode ist völlig abhörsicher, da keine verborgenen Parameter existieren, d. h. da durch das Lauschen ( Messung) das Photon fundamental verändert wird.
Die Methode ist völlig abhörsicher, da keine verborgenen Parameter existieren, d. h. da durch das Lauschen ( Messung) das Photon fundamental verändert wird.
-Quelle
Nicol-Prisma (0º oder 45º)
1γ2γO.S.
A.O.S.
1
0
zu Alice zu Bob
Eve
Polarisation wie gemessenPolarisation
wie gemessen
Photon-Quelle
... es sei denn ...
-Quelle
Quanten-Klonierer
1γ2γ
zu Alicezu Bob
Eve
2γ
2γzu Eve’s Detektor
... aber ach ...
No-Clone-Theorem: Quantenobjekte sind nicht klonierbar.
No-Clone-Theorem: Quantenobjekte sind nicht klonierbar.
Beweis (exemplarisch für diesen Fall):
Wirkung des hypothetischen Klon-Operators:
KK
KK
KK
ψψ0ψK
1101K
0000K
KK
KK
KK
ψψ0ψK
1101K
0000K
Klonierung von 2 :
KKK
2
K
2
KK0110βα11β00αψψ0ψK
Jedoch:KKKKK
11β00α01Kβ00Kα0ψK
Widerspruch ⃞
Anfangszustand des im Klonierer erzeugten Photons (o.B.d.A.): K