6-Funções-Logarítimas

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6 ) Logaritmo e Funo Logartmica

Professora Laura Aguiar

6.1) Estudando Logaritmo

Os logaritmos foram desenvolvidos pelo escocs John Napier (1550 1617), no incio do sculo XVIII.Antes do seu desenvolvimento, efetuar clculos como, por exemplo, 1,45786.2,38761 era, em geral,trabalhoso e demorado. Contudo, aps a descoberta de Napier, operaes deste tipo puderam sertransformadas em adies e subtraes, o que na maioria dos casos era muito mais simples e rpido.

6.1.1) Definio de Logaritmo

Chamase logaritmo de um nmero N > 0 em relao a uma base a (0 < a 1), o expoente a que sedeve elevar a base a, a fim de que a potncia obtida seja igual a N.

NaNa

log , onde: N > 0, a > 0 e a 1.

logaritmo.o

base.aa

a.basenadedologaritmanoN

E podemos pensar:- Qual o logaritmo de N na base a?- Qual o nmero que devemos exponenciar o a para o que o resultado seja N ?

Exemplo:Calcular log3729Basta igualar ax, assim: log3729 = x, da, por definio, o logaritmando igual base elevado ao resultadox, veja:log3729 = x 729 = 3

x . Fatoramos 729 e encontramos 729 = 36, logo:log3729 = x 729 = 3

x 36= 3xe nessa igualdade, temos que se as bases soiguais, ento seus expoentes tambm so iguais, logo,x = 6.

6.1.2) Consequncias da Definio

Decorrem da definio de logaritmo as seguintes conseqncias para:

0 < a 1, N > 0 e

R

C.1. 01loga , pois a0=1

C.2. 1aloga , pois a = a

C.3. aloga , pois a= a.

C.4. Na Na

log , pois NaNlogNlog Nlogaa a

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6.2) Propriedades dos Logaritmos

Logaritmo do produto

Se 0 < a 1, M > 0 e N > 0 ento:

NMNMaaa

loglog)(log

Ex.: log5(25.625) = log5(25) + log5(625) = log552+ log55

4 = 2 + 4 = 6

Logaritmo do Quociente

Se 0 < a 1, M > 0 e N > 0, ento:

NlogMlogN

Mlog aaa

Ex.: log4(1/16) = log41log416 = 02 = -2

Logaritmo da Potncia

Se o < a 1 e N > 0 e m R, ento:

Nlogm)N(log am

a

Ex.: log2 31/2 = log23

-Mudana de Base

_

6.3) Funo Logartmica

6.3.1) Definio

Dada a funo exponencial f: R R+ tal que y = ax, com o < a 1, podemos determinar a sua

funo inversa, visto que, estas condies, a funo exponencial BIJETORA. A funo logartmica afuno inversa da exponencial, isto :

ylogxay ax

ou permutando as variveis: xlogy a

6.3.2) O grfico de uma funo logartmica

Podemos representar graficamente uma funo logartmica escolhendo alguns valores para xe montando

uma tabela com os respectivos valores de f(x). Depois localizamos os pontos noplano cartesianoetraamos a curva do grfico.

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Vamos representar graficamente a funo e como estamos trabalhando com um logaritmode base10, para simplificar os clculos vamos escolher para xalguns valores que so potncias de 10:0,001, 0,01, 0,1, 1, 10e 2.Temos ento seguinte a tabela:

x y = log x

0,001 y = log 0,001 = -3

0,01 y = log 0,01 = -20,1 y = log 0,1 = -11 y = log 1 = 010 y = log 10 = 1

Temos o grfico desta funo logartmica, no qual localizamos cada um dos pontos obtidos da tabela e osinterligamos atravs da curva da funo:

Veja que para valores de y < 0,01os pontos esto quase sobre o eixo das ordenadas, mas de fato nuncachegam a estar.Note tambm que neste tipo de funo uma grande variao no valor de x implica numa variao beminferior no valor de y.Por exemplo, se passarmos de x = 100para x = 1000000, a variao de yser apenas de 2para 6.Isto porque:

De maneira geral, temos que:

Uma funo logartmica crescente se a>1. Sempre que aumentamos os valores de x, os valores

correspondentes de y tambm aumentam, isto : 2a1a21 xlogxlogxx0

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Uma funo logartmica decrescente se a > 1. Sempre que aumentamos os valores de x, os

valores correspondentes de y diminuem, isto : 2a1a21 xlogxlogxx0

6.4) Fixao

1) Se log 10 8 = a ento log 10 5 vale

a) a3 b) 5a1 c) 2a/3 d) 1 + a/3 e) 1 - a/3

2) A soma das razes da equao 32log 53

2

2

xx :

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3) Nessa figura, est representado o grfico de f(x) =log n x. O valor de f(128) :

a) 5/2b) 3c) 7/2d) 7

4) A energia nuclear, derivada de istopos radiativos, pode ser usada em veculos espaciais para fornecerpotncia. Fontes de energia nuclear perdem potncia gradualmente, no decorrer do tempo. Isso pode ser

descrito pela funo exponencial 2500.

t

ePP

na qual P a potncia instantnea, em watts, de

radioistopos de um veculo espacial; P 0 a potncia inicial do veculo; t o intervalo de tempo, em dias, apartir de t 0 = 0; e a base do sistema de logaritmos neperianos. Nessas condies, quantos dias sonecessrios, aproximadamente, para que a potncia de um veculo espacial se reduza quarta parte dapotncia inicial? (Dado: In2=0,693)

a) 336 b) 338 c) 340 d) 342 e) 347

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5) (UFF) A figura representa o grfico da funo f definida por f(x) = 2 :

A medida do segmento PQ igual a:

a) b) c) log 5 d) 2 e) log 2

6) (PUC-PR) Se log (3x+23)log (2x-3) = log 4, encontrar x.

a) 4 b) 3 c) 7 d) 6 e) 5

7) (UFSM) O grfico mostra o comportamento da funo logartmica na base a. Ento o valor de a :

a) 10 b) 2 c) 1 d) 1/2 e) -2

8) (UERJ) O nmero, em centenas de indivduos, de um determinado grupo de animais, x dias aps a

liberao de um predador no seu ambiente, expresso pela seguinte funo:

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Aps cinco dias da liberao do predador, o nmero de indivduos desse grupo presentes no ambiente ser

igual a:

a) 3 b) 4 c) 300 d) 400

9) O resultado da expresso :a) 8 b) 3 c) 7 d)2 e)5

10) (UFSM) O grfico mostra o comportamento da funo logartmica na base a.

Ento o valor de a :

a) 10 b) 2 c) 1 d) e) -2

11) (MACKENZIE) O pH do sangue humano calculado por pH = log , sendo X a molaridade dos ons

H3O+. Se essa molaridade for dada por 4,0 .10-8 e, adotando-se log 2 = 0,30, o valor desse pH ser:

a) 7,20 b) 4,60 c) 6,80 d) 4,80 e) 7,40

12)(UFSCar SP-01) A altura mdia do tronco de certa espcie de rvore, que se destina produo demadeira, evolui, desde que plantada, segundo o seguinte modelo matemtico: h(t) = 1,5 + log3(t+1), comh(t) em metros e t em anos. Se uma dessas rvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, otempo (em anos) transcorrido do momento da plantao at o do corte foi de:a) 9. b) 8. c) 5. d) 4. e)3.

13) Os tomos de um elemento qumico radioativo possuem uma tendncia a se desintegrarem(emitindo partculas e se transformando em outro elemento). Assim sendo, com o passar do tempo, aquantidade original desse elemento diminui. Suponhamos que certa quantidade de um elemento radioativocom inicialmente 0 m gramas de massa se decomponha segundo a equao matemtica: m(t)=m0 . 10

-t/70,onde m(t) a quantidade de massa radioativa no tempo t (em anos). Determine quantos anos demorarpara que esse elemento se decomponha at atingir um oitavo da massa inicial.

a) 63 anosb) 70 anosc) 8 anosd) 49 anose) 0 anos

14)(Puccamp 2005) No dia 7 de fevereiro de 1984, a uma altura de 100 km acima do Hava e com uma

velocidade de cerca de 29 000 km/h, Bruce Mc Candless saindo de um nibus espacial, sem estar preso

por nenhuma corda, tornou-se o primeiro satlite humano. Sabe-se que a fora de atrao F entre o

astronauta e a Terra proporcional a (m.M)/r, onde m a massa do astronauta, M a da Terra, e r adistncia entre o astronauta e o centro da Terra.

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(Halliday, Resnick e Walker. Fundamentos de Fsica. v. 2. Rio de Janeiro: LTC, 2002. p.36)

A lei da atrao gravitacional, dada pela frmula F = G [(m . M)/r2] equivalente a

a) log F = 1/2 (log G + log m + log M - log r)

b) log m = 1/2 (log G + log M + log F - log r)

c) log r = 1/2 (log G + log m + log M - log F)d) log M = 1/2 (log G + log m + log F - log r)

e) log F = (log G) . (log m) . (log M) - 2 log r

15) (Puccamp 2005) O ponto forte das polticas pblicas de conservao de gua da cidade de Campinas

est relacionado a um amplo programa de educao ambiental, em especial no que diz respeito

recuperao da qualidade dos cursos d'gua urbanos.

Na tabela abaixo, tm-se dados sobre a utilizao de gua em Campinas no perodo de 1993 a 2003.

(Adaptado da Revista Saneamento Ambiental. Ano XIV. n. 105. So Paulo: Signus. p. 39)

Para a concretizao da melhoria da qualidade dos cursos d'gua urbanos, obras de ampliao da redecoletora e de construo de estaes de tratamento esto sendo realizadas de modo que, aps t anos, a

quantidade de poluentes seja dada por Q = Q0. 2-n, em que n uma constante e Q0a quantidade de

poluentes observada inicialmente. Se 36% da quantidade de poluentes foram removidos ao fim do segundo

ano, ento a porcentagem da poluio restante ao fim de seis anos, em relao a Q0, ser

a) 33%

b) 25% Dado:

c) 20% log 2 = 0,30

d) 16%

e) 12%

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16) O altmetro dos avies um instrumento que mede a presso atmosfrica e transforma esse resultadoem altitude. Suponha que a altitude h acima do nvel do mar, em quilmetros, detectada pelo altmetro deum avio seja dada, em funo da presso atmosfrica p, em atm, por

Num determinado instante, a presso atmosfrica medida pelo altmetro era 0,4 atm. Considerando aaproximao log10 2 = 0,3, a altitude do avio nesse instante, em quilmetros, era de:

a) 5b) 8c) 9d) 11e) 12

17) (FUVEST) A figura abaixo mostra o grfico da funo logaritmo na base b. O valor de b :

a) 1/4b) 2c) 3d) 4

e) 10

18) (FUVEST 2010)A magnitude de um terremoto na escala Richter proporcional ao logaritmo, na base 10, da energialiberada pelo abalo ssmico. Analogamente, o pH de uma soluo aquosa dado pelo logaritmo, na base10, do inverso da concentrao de ons H+. Considere as seguintes afirmaes:

I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justificasse pelas variaes exponenciais das grandezasenvolvidas.

II. A concentrao de ons H+ de uma soluo cida com pH 4 10 mil vezes maior que a de uma soluo

alcalina com pH 8.

III. Um abalo ssmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro, demagnitude 3.

Est correto o que se afirma somente em:

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a) Ib) IIc) IIId) I e IIe) I e III

19) Os bilogos dizem que h uma alometria entre duas variveis, x e y, quando possvel determinar duas

constantes, c e n, de maneira que nxcy . . Nos casos de alometria, pode ser conveniente determinar c e

n por meio de dados experimentais. Consideremos uma experincia hipottica na qual se obtiveram osdados da tabela a seguir.

Supondo que haja uma relao de alometria entre x e y e considerando 301,02log , pode-se afirmar

que o valor de n :a) 0,398 b) 0,699 c) 0,301 d) 0,477

20) (UERJ) Para melhor estudar o Sol, os astrnomos utilizam filtros de luz em seus instrumentos deobservao. Admita um filtro que deixe passar da intensidade da luz que nele incide. Para reduzir essaintensidade a menos de 10% da original, foi necessrio utilizar n filtros. Considerando log 2 = 0,301, omenor valor de n igual a:

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12

Gabarito

1.e 2.c 3.a 4.e 5.b 6.c 7.d 8.c 9.b 10.d

11.e 12.b 13.a 14.c 15.b 16.b 17.d 18.d 19.a 20.c

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6.5) Pintou no ENEMA Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como Mw), introduzida em 1979 porThomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos emtermos de energia liberada. Menos conhecida pelo pblico, a MMS , no entanto, a escala usada paraestimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS uma escala logartmica. Mwe M0se relacionam pela frmula:

Onde M0 o momento ssmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfcie,atravs dos sismogramas), cuja unidade o dina.cm.O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de Janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maiorimpacto no Japo e na comunidade cientfica internacional. Teve magnitude Mw= 7,3.U.S. GEOLOGICAL SURVEY.Historic Earthquakes.Disponvel em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em 1 maio 2010 (adaptado)

U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy.Disponvel em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em 1 maio 2010 (adaptado)Mostrando que possvel determinar a medida por meio de conhecimentos matemticos, qual foi o

momento ssmico M0do terremoto de Kobe em (dina.cm)?

a) 10-5,10 b) 10-0,73 c) 1012,00 d) 1021,65 e) 1027,00

Resposta: e

6.6) Sesso Leitura

pH

OpH smbolo para agrandezafsico-qumica potencial hidrogeninicoque indicaaacidez,neutralidade oualcalinidade de umasoluo aquosa.O termo pHfoi introduzido, em 1909, pelo bioqumico dinamarqusSren Peter Lauritz Srensen (1868-1939) com o objetivo de facilitar seus trabalhos no controle de qualidade de cervejas (na poca trabalhavanoLaboratrio Carlsberg,dacervejaria homnima). O "p" vem doalemopotenz, que significa poder deconcentrao, e o "H" para o on dehidrognio (H+).Wikipdia

pH o log negativo de base 10 da concentrao molar de ons hidrognio (H+)

pH: - log [H+]

Exemplo: a concentrao molar por litro do suco gstrico : [10 -1] mol/l. Qual seria seu pH?pH: - log [H+]pH: - log [10-1]

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Dicas sobre logaritmos: O expoente que esta no nmero 10 , "cai" pH = - -1 log [10]

Multiplicando o logaritmo, no caso o 1 do expoente de 10 ir multiplicar o1 j presente. pH = + 1 log [10]

Como a base do logaritmo dez, ento: pH = log [10] = 1

O pH do suco gstrico 1.

Se o expoente do log for negativo, o pH ser positivopOH

pOH o smbolo para potencial hidroxiinico.Para encontrar o valor do pOH , calculamos o valor do logaritmo negativo de base 10 da concentraomolar de hidroxilas [OH-] da soluo

pOH: - log [OH-]Escala de pH

A escala de pH foi criada pelos qumicos, ela eficaz para classificar as substncias em cidas ou bsicas.Assim, se solues a 25 C tem pH variando de 0 at um valor inferior a 7 ser uma soluo cida, se o pHfor um valor superior a 7 e inferior a 14 a soluo ser uma base e se a soluao tiver um pH de 7 a soluoser neutra.

Quando o valor da concentrao molar hidrogeninica da soluo:[H+] FOR GRANDE O VALOR DO pH SER PEQUENO.

Quando o valor do pH FOR PEQUENO O VALOR DA CONCENTRAO HDROGENINICA: [H + ] SER

GRANDE.

Escala de pOH

Os valores de pH e pOH somados resultam 14, ou seja:pH + pOH : 14.

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6.7) Referncias

MELLO,J. L.P. (2005). Matemtica: Construo e significado. Volume nico. 1. Ed. So Paulo: Moderna

SOUZA, Joamir. (2010). Matemtica: Novo Olhar. Volume 1. 1 Ed. So Paulo: FTD

PAIVA,Manoel. (2005). Matemtica. Volume nico. 1 Ed. So Paulo: Moderna

acessado em 10/01/2014