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6 Feynman ルールと 生成氾関数
場の理論における最も重要な量は相関関数 (Green関数)である。この章ではその総体を一度に扱う生成氾関数について述べ、それを摂動論で求める際に有用なFeynmanルールを導出する。
6.1 Green関数のgenerating functional Z[J ]
簡単のため、φ4理論を例にとる。ラグランジアンは
L =1
2∂µφ∂µφ − m
2φ2 − λ
4!φ4 (1)
S[φ] =
∫d4x
(1
2φKφ − λ
4!φ4
)(2)
K = −(∂2 + m2) (3)
基本場のn点関数を次のように定義
G(n)(x1, x2, . . . , xn) = 〈φ(x1)φ(x2) · · · φ(xn)〉= 〈0|T ∗(φ(x1)φ(x2) · · · φ(xn)|0〉 (4)
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これは次の経路積分表示を持つ
G(n)(x1, x2, . . . , xn) =1
N
∫DφeiSφ(x1)φ(x2) · · · φ(xn) (5)
N =
∫DφeiS (6)
すべてのG(n)を同時に扱う標準的な方法は、次のように生成氾関数 (gen-
erating functional)を定義すること:
Z[J ] ≡∞∑
n=0
1
n!
∫d4x1 · · ·
∫d4xnG(n)(x1, x2, . . . , xn)
·(iJ(x1))(iJ(x2)) · · · (iJ(xn))
=1
N
∫Dφ exp (iS[φ] + iJ · φ) (7)
ここで J · φ ≡∫
d4xJ(x)φ(x) (8)
φをスピンと見れば、Jは磁場にあたる。(1/i)(δ/δJ(x)) を作用する度毎に、φ(x)が一つ指数関数の肩からおりてくる。Z[J ]を図示すれば、
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Z[J ] = 1 +
J J
J
+ + · · · + · · ·J J
JJ
J
2 Z[J ]の摂動展開 :
λは小さいとして、Z[J ]をλの巾で展開して計算しよう。そのために、作用を freeな部分と相互作用部分に分ける:
S0[φ] =
∫d4x
1
2
((∂φ)2 − m2φ2
)
=
∫d4x
1
2φ(−∂2 − m2)φ (9)
SI[φ] = − λ
4!
∫d4xφ(x)4 (10)
(全体の規格化の因子1/Nはしばらく忘れて)自由な理論に対するgenerat-
ing functional Z0[J ] を考える:
Z0[J ] =
∫Dφ exp (iS0[φ] + iJ · φ) (11)
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指数部分はφの二次式であるから、ガウス積分が容易に実行できる:
1
2φKφ + J · φ =
1
2(φ + K−1J)(φ + K−1J) − 1
2JK−1J (12)
s ss Z0[J ] = exp
(− i
2JK−1J
)(13)
ここでK−1(x, y) = ∆F (x − y)はFeynman propagator:
−(∂2 + m2 − iε)K−1(x, y) = δ4(x − y)
K−1(x − y) =
∫d4p
(2π)4K−1(p)e−ip·(x−y)
K−1(p) =1
p2 − m2 + iε(14)
δ/δ(iJ)を作用すると、経路積分中にφを挿入することができるから、Z[J ]
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を次のように書くことができる:
Z[J ] = G
[δ
δ(iJ)
]F [iJ ] (15)
ここで G
[δ
δ(iJ)
]= exp (iSI[δ/δ(iJ)]) (16)
F [iJ ] = exp
(i
2(iJ)∆F (iJ)
)= Z0[J ] = free part (17)
これをSIの巾で展開することによって、摂動展開が得られる。
実はこの展開を得るための、よりうまい方法があり、それからFeynman di-
agramの規則が自然に得られる。まず、明らかに、
G
[δ
δ(iJ)
]F [iJ ] = G
[δ
δ(iJ)
]F [iJ ]eiJφ
∣∣∣∣φ=0
(18)
これは次のように書き換えられる
G
[δ
δ(iJ)
]F [iJ ]eiJ ·φ = G
[δ
δ(iJ)
]F
[δ
δφ
]eiJ ·φ (19)
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GとFの操作は交換するから、これはさらに次のように書き直せる:
= F
[δ
δφ
]G
[δ
δ(iJ)
]eiJ ·φ = F
[δ
δφ
]G[φ]eiJ ·φ (20)
従って、結局
G
[δ
δ(iJ)
]F [iJ ] = F
[δ
δφ
]G[φ]eiJ ·φ
∣∣∣∣φ=0
(21)
これより、Z[J ]に対する非常に便利な表式を得る:
(?) Z[J ] = exp
(1
2
δ
δφ∆
δ
δφ
)exp (iSI[φ] + iJ · φ)
∣∣∣∣φ=0
(22)
ここで ∆ = i∆F (23)
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さらに、次の簡略記号を用いると以下の計算が容易になる:δ
δφ∆
δ
δφ=
∫d4x1d
4x2
δ
δφ(x1)∆(x1 − x2)
δ
δφ(x2)= ∆ij∂i∂j (24)
δ
δφ(xi)= ∂i (25)
すなわち、添え字iで場の変数を、その和で積分を表す。
2 ファインマン図による表現の例 :
N点関数はJNの係数であることを思い出そう。
0点関数(vacuum bubble): 基本公式(?)でJ = 0とおき、eiSIを展開すると、最初の非自明な項として
iSI[φ] = −iλ
4!φ4 (26)
を得る。最後にφ = 0と置くので、ゼロにならないためにはexp(12∆ij∂i∂j)
部分から4つの微分が必要。これはTaylor展開の第2項から生ずる。従って
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求める寄与は
1
2!
(1
2∆ij∂i∂j
)2 (−i
λ
4!φ4
)=
1
2
(1
2
)2 (−i
λ
4!
)∆12∆34∂1∂2∂3∂4φ
4i
(27)
∂iφj = δijを用い、同一の添え字に付いては和をとることを考慮すると、∂4φ
4i = 4δ4iφ
3iのように次々と微分すると、因子4!が得られ、次の結果を
得る:
1
2
(1
2
)2 (−i
λ
4!
)4!∆ii∆ii =
1
2(−iλ)
︸ ︷︷ ︸standard factor
× 1
4︸︷︷︸symmetry factor
×∆ii∆ii
(28)
これは次の2-loop vacuum bubble diagramで表される:i
すべてのvacuum bubble diagramsを足し合わせたものとしてZ[J = 0]がえられる。従って、
∫ DφeiSで割ることにより、すべてのvacuum bubbleを
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取り除いたものが得られる。このため規格化を次のようにとったのである。
Z[J ] =
∫ DφeiS+iJ ·φ∫ DφeiS
(29)
2点関数(propagator): 次にO(λ)の2点関数を考える。これはSIJJから得られるが、このような項は、Taylor展開における3次の項(SI+J ·φ)3 33SIJJから生ずる。この因子3も考慮すると、
i3
3!× 3 × SI[φ](J · φ)2 =
i3
3!× 3 ×
(−iλ
4!
)φ4
iJjφjJkφk (30)
今度は6個の微分が必要。これはexp(12∆ij∂i∂j) の展開の3次の項から得
られる。従って、求める寄与はi3
3!× 3 ×
(−iλ
4!
)1
3!×
(1
2
)3
JjJk∆12∆34∆56∂1∂2 · · · ∂6(φ4iφjφk)
(31)
Diagramとしては、次の形。
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微分の演算は容易ではあるが、若干面倒である。うまい計算の規則を得るには、まず縮約に関するcombinatiricsを理解する必要がある。
2 縮約のCombinatorics
相関関数の計算に関するファインマン規則は、以下に述べるように、com-
binatoricsのルールが非常に規則的になっていることに起因する。
まず二つの場の積を考えると、1
2
δ
δφ∆
δ
δφ(φ1φ2) =
1
2
δ
δφi
∆ij(δj1φ2 + φ1δj2)
=1
2∆ij(δj1δi2 + δj2δi1)
= ∆12 (s ss ∆ij = ∆ji)
次に2n個の積φ1φ2 · · · φ2nを考える。するとゼロにならない寄与は1
n!
(1
2
δ
δφ∆
δ
δφ
)n
(φ1φ2 · · · φ2n) =1
n!2n
(δ
δφ∆
δ
δφ
)n
(φ1φ2 · · · φ2n)
最初のδ/δφは2n個の異なるφiに働くことができ、二番目の微分は残りの2n − 1のφiに働く。これを繰り返すと微分から生ずる項の数は(2n)!
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となるが、これと1/2nn!の因子を組み合わせると(2n)!
2nn!=
(2n)!!(2n − 1)!!
2nn!= (2n − 1)!!
この数を理解するために、propagatorsの異なる積の combinationsの数を求めてみる。まず一つのφiを選択すると、これとpairをなすことができるφjの数は2n−1であり、これが一つのpropagatorを与える。のこりの2n − 2個のφの中からまた一つ選ぶと、同様にして2n − 3個のpropagatorのchoiceが得られる。この操作を繰り返すと、結局丁度(2n − 1)!!通りのn個のpropagatorの異なる積が得られる。このことから、次の非常にきれいな公式が得られる:
1
n!
(1
2
δ
δφ∆
δ
δφ
)n
(φ1φ2 · · · φ2n) =∑distinct
∆i1i2∆i3i4 · · · ∆i2n−1i2n (32)
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この公式において、右辺の各項の係数は丁度1になっている。つまり、異なるpropagatorの組み合わせが丁度一回ずつ現れる。これより、φiを結ぶ線に一つのpropagatorを対応させることができるのである。
2 Symmetry factorの勘定
上記のルールは、相互作用vertexのように、同一点での場の積を挿入する場合には修正が必要になる。
例1 φ4: すべて異なる位置の場合には(4 − 1)!! = 3通りのdiagramsが生成される。これらは具体的には次の表式と対応する
∆12∆34 + ∆13∆24 + ∆14∆23 (33)
しかし、すべての位置が同じ場合には、同一の図になり、余分な因子3が掛かることになる。
i
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例2 φ1φ2φ43: すべての位置が異なれば、(6 − 1)!! = 15個の異なる図
が生成される。実際には独立な図の数は2個である。
1 2
3
1 23
(a)
(b)
(a) ∆12 と vacuum bubbleからなる。 これに掛かる因子は3。(b)この場合には、φ1とφ2両方がφ4
3とcontractされる。これは4×3 = 12
通り。これらを併せれば正しく15個の図に対応する。
従って、正しい symmetry factorを得るには、まずすべての点が異なるとしてカウントし、次に同一点を同定したときの独立な図をすべて描き、それに対する重複の数を勘定すればよい。
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6.2 連結(connected)グリーン関数に対する生成氾関数W [J ]
外線の数が固定されたグリーン関数に寄与するdiagramはconnectedとdis-
connectedに分類される。物理的に非自明なダイナミックスを表すのは連結された相関関数。非連結相関関数は連結なものの組み合わせで構成される。
連結グリーン関数の生成氾関数W [J ]は次のように定義される:
iW [J ] =∞∑
n=0
1
n!
∫d4x1 · · ·
∫d4xnG(n),c(x1, x2, . . . , xn)
·(iJ(x1))(iJ(x2)) · · · (iJ(xn))
=∞∑
n=0
1
n!G
(n),ci1i2...in
(iJi1)(iJi2) · · · (iJin) (34)
以下で、Z[J ]とW [J ]の関係を二通りの方法で調べる。
2 Combinatoric Method
Z[J ]に寄与する項を連結成分の数で分類する。n個の連結成分を持つ項はW [J ]nから生ずる。どのW [J ]の因子から来るかは関係ないので、n個
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のW [J ]の因子の並べ方の数n!で割らねばならない。従って、各W [J ]にiをつけるconventionを採用すれば、次の関係を得る:
Z[J ] =∑ in
n!W [J ]n = eiW [J ] (35)
この形から、統計物理の立場ではW [J ]はHelmholtzの自由エネルギーF (V, T )にあたることが分かる。対応は、V ∼ J , T ∼ ~となっている。
注: 場を適当に rescaleすると、温度Tは実はcoupling constantに対応していることがわかる。
φ4理論の例: φ = λ−1/2χとおいて作用を書き換えると、
S =1
λ
∫d4x
(1
2∂µχ∂µχ − m
2χ2 − 1
4!χ4
)(36)
となり、T ∼ ~λとなっている。
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全相関関数と連結相関関数の関係の具体例:
〈φi〉c =1
Z
δ
δiJi
Z =δiW
δiJi
=δW
δJi
(37)
Zで割ることで、disconnected diagramsを取り除いている。
〈φiφj〉 =1
Z
1
i
δ
δiJi
1
i
δ
δiJj
Z
=δ2iW
δiJiδiJj
+δiW
δiJi
δiW
δiJj
= 〈φiφj〉c + 〈φi〉c〈φj〉c (38)
2 W [J ]の物理的な特徴 :
W [J ]がconnectedな相関関数の母関数であることは、cluster decompo-
sitionに対する性質から、より物理的に理解することができる。図のようにN -点関数を二つの clusterにわけ、それらを space-likeな遠方に引き離す。
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∼
∼
connected
disconnected
Connectedの場合には、必ず長距離のpropagatorが現れるので、dampしてゼロになる。一方disconnectedの場合には、そこで切れば、必ずしもdampしない。この違いによって、connected graphを区別することができる。
系を有限な箱に入れ、sourceを次のように局所的なsupportを持つ部分に分解する。
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Ω1 Ω2
J1(x) 6= 0, J2(x) = 0 J2(x) 6= 0, J1(x) = 0
J(x) = J1(x) + J2(x)
作用Sが local interactionのみを含むとすると、
S[φ] + J · φ =
∫
Ω1
dnx(L + J1 · φ) +
∫
Ω2
dnx(L + J2 · φ)
+
∫
x /∈Ω1,Ω2
dnxL (Jiに依らない) +境界∂Ωiからの寄与
(39)
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従って、generating functionalは次のように factorizeする:
Z[J ] = Z1[J1]Z2[J2]Z12[J1, J2] (40)
Zi[Ji] =
∫
x∈Ωi
Dφei(S+Ji·φ) (41)
Z12 = 境界 ∂Ωiからの寄与 (42)
ここで全系を linearにscale upして、無限大volumeにすると、境界からの寄与は他の寄与に比べて落ちる。ここでZ = eiWとすると、
W [J ] = W1[J1] + W2[J2] (43)
すなわちWは和に分解される。
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Page 20
これをJの巾で展開して連結相関関数を定義する。
iW [J ] =∑ 1
n!
∫dx1dx2 · · · dxniG(n)
c (x1, . . . , xn)(iJ(x1)) · · · (iJ(xn))
=∑ 1
n!
∫dx1 · · · dxpdyp+1 · · · dyn
× iG(n)c (x1, . . . , xp, yp+1 . . . yn)i
nJ1(x1) · · · J1(xp)
× J2(yp+1) · · · J2(yn)
xi ∈ Ω1 , yj ∈ Ω2
この表式が iW1[J1] + iW2[J2]と分解しなければならないから、二つのsourceが混合した部分はゼロとなる必要がある。すなわち、
G(n)c (x1, . . . , xp, yp+1 . . . yn) −→ 0 as min|xi − yj| → ∞ (44)
これはまさしく connected な相関関数がもつ性質であり、disconnected dia-
gramsはこれを満たさない。• これは非摂動論的にも成立する性質である。
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Page 21
6.3 1PI グラフに対する生成氾関数=有効作用
W [J ]がHelmholtzの自由エネルギーに対応することを見たが、次にGibbs
の自由エネルギーG(P, T )に対応する有効作用 Γ[Φ]を定義する。これはV ↔ J からP ↔ ΦiへのLegendre変換で得られる。
Φi ≡ δiW
δiJi
=δW
δJi
= 〈φi〉c in the presence of Ji (45)
(−iΓ[Φ]) ≡ (iJi)Φi − iW ⇒ Γ[Φ] = W − JiΦi (46)
(45)を逆に解いた式も非常に重要になる。(46)をΦiで氾関数微分すると、
δ(−iΓ)
δΦi
= iJi +δiJj
δΦi
Φj − δiW
δΦi
= iJi +δiJj
δΦi
Φj − δiW
δiJj
δiJj
δΦi
(47)
(45)より、第2項と3項はキャンセルするから、
δ(−iΓ)
δΦi
= iJi ⇒ δΓ
δΦi
= −Ji (48)
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Page 22
注: −iΓ, iW, iJのように適当にiをつけたものを基本と考えると、統計物理との対応が良くなると同時に、符号の規則が系統的になる。
2 Γ[Φ]の意味 :
具体的にΓ[Φ]を計算して、その意味を見てみよう。
• 2点関数: (48) の左側の式を iJiで微分すると
δij =δ2(−iΓ)
δiJiδΦj
=δΦk
δiJi
δ2(−iΓ)
δΦkδΦj
= 〈φiφk〉δ2(−iΓ)
δΦkδΦj
(49)
従って
δ2(−iΓ)
δΦkδΦj
= 〈φkφj〉−1 (50)
となり、これは inverse propagator、すなわちwave operator を表す。
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Page 23
• 3点関数: (49) をiJ`で微分すると、
0 = 〈φiφkφ`〉〈φkφj〉−1 + 〈φiφk〉〈φ`φm〉 δ3(−iΓ)
δΦmδΦkδΦj
s ss 〈φiφjφk〉 = 〈φiφi′〉〈φjφj′〉〈φkφk′〉 iδ3Γ
δΦi′δΦj′δΦk′(51)
これは、propagatorの足を取り去った amputated 3-point function
を表す。
•この式をさらにiJ`で微分すると、
〈φiφjφkφ`〉 =δ
δiJ`
(〈φiφi′〉〈φjφj′〉〈φkφk′〉) iδ3Γ
δΦi′δΦj′δΦk′
+〈φiφi′〉〈φjφj′〉〈φkφk′〉〈φ`φ`′〉 iδ4Γ
δΦi′δΦj′δΦk′δΦ`′
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Page 24
1行目の微分は、3つのconnected 3-pt functionsを生み出す。これらはそれぞれ上記の公式(51)を用いてΓ(3)で書き直せる。従って図示すると、
l
+
i(j, k) j(k, i)
k(i, j)
これより、Γは1粒子のpropagatorで結ばれているもはや1粒子線を含まないようなグラフの総体であることが予想される。そのようなグラフは1粒子既約(1-particle-irreducible=1PI)と呼ばれる。
従って、1PI n-point function (n ≥ 3)でamputated Green’s function と余分な iの因子なしに結ばれているものをΓi1i2...in と書くことにすると、Γは次のような展開を持つことになる
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Γ =i
2ΦiG
−1ij Φj − i
∑ 1
n!Γi1i2...inΦi1Φi2 · · · Φin (52)
2点関数のみ少し例外であり、
Γij = −G−1ij (53)
と定義される。
2 Tree levelでの作用との比較 :
Tree levelではΓはもともとの作用と一致する。例えばscalar理論では(積分記号を省略すると)
Γ(0) =1
2Φi(∆
−1F )ijΦj −
∑ 1
n!λi1i2...inΦi1Φi2 · · · Φin
=i
2Φi∆
−1ij Φj −
∑ 1
n!λi1i2...inΦi1Φi2 · · · Φin (54)
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Page 26
上記の一般形と比較すると
Γ(0)i1i2...in
= −iλi1i2...in (55)
のように同定される。
2 Γの物理的有用性 :
• δΓ/δΦi = −Jiであるから、これをゼロにおくと、ちょうど外部source
をゼロにする条件が得られる。これは量子効果も含めた運動方程式を与える。
• S行列との関係:
6.4 Γ[Φ]が1PI diagramの生成氾関数であることの証明
1PI diagram ⇔ どの1本の lineを切断してもdiagramはconnected
実は、effective action Γ[Φ]はこのようなdiagramsの生成氾関数になっていることを以下で示す。(以後簡単のためΦの代わりにφと書く。)
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Page 27
2 Propagatorを切断するtrick:
作用を次のように少しmodifyしたものを考える:
Sε =1
2
∫dxdyφ(x)φ(y) [K(x, y) + ε] + V (φ) (56)
K(x, y) = wave operator , ε = small parameter (57)
Modified propagator ∆εが次のように定義される:∫dz∆ε(x, z) [K(z, y) + ε] = δ(x − y) (58)
∆εをεの巾で展開すると、
∆ε = ∆ + ε∆(1) + · · · (59)
∆ = K−1 = 通常のpropagator (60)
(58)のεの一次の項は
ε
∫dz
[∆(x, z) + ∆(1)(x, z)∆−1(z, y)
]= 0 (61)
∆(y, w)を掛けてyで積分すると、∫dz∆(x, z)
∫dy∆(y, w) + ∆(1)(x, w) = 0 (62)
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ここでη(x) ≡ ∫dz∆(x, z)と定義すると、
∆(1)(x, y) = −η(x)η(y) (63)
従って、
∆ε(x, y) = ∆(x, y) − εη(x)η(y) + O(ε2) (64)
εの一次の項はfactorizeしているので、これをinsertすると、Feynman diagram
の対応する lineが切断される。従って、示すべきことは、∆εを用いて構成したΓε[φ]において、O(ε)で生成されるdiagramsが依然としてすべてconnectedであること。
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2 Γε[φ]の構成 :
まずZε[J ]をO(ε)まで構成する。作用に付け加えた余分なεに比例する項を考慮すると、
Zε[J ] ≡ eiWε[J ] =
∫Dφ
(1 + i
ε
2
∫dxdyφ(x)φ(y)
)ei(S+J ·φ) + O(ε2)
=
(1 + i
ε
2
∫dxdy
1
i
δ
δJ(x)
1
i
δ
δJ(y)
)eiW [J ] + · · ·
=
(1 + i
ε
2
[(∫dx
δW
δJ(x)
)2
+1
i
∫dxdy
δ2W
δJ(x)δJ(y)
])eiW [J ] + · · ·
従って、
Wε[J ] ' W [J ] +ε
2
[(∫dx
δW
δJ(x)
)2
+1
i
∫dxdy
δ2W
δJ(x)δJ(y)
]
(65)
O(ε)の第一項はdisconnectされているので、Γに行くと落ちる。
次にLegendre変換を行う。一般に、W [J ]があるglobal parameter εによっ
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Page 30
ている場合のLegendre変換の性質を見てみよう。定義より、
Γ[φ] = W [J ] −∫
dxJ(x)φ(x) (66)
φ(x) =δW
δJ(x)= εに依っている (67)
Γ[φ]をεで微分する。左辺にはchain ruleを用いると、
LHS =∂Γ
∂ε+
∫dx
∂φ(x)
∂ε
δΓ
δφ(x)(68)
RHS =∂W
∂ε−
∫dxJ(x)
∂φ(x)
∂ε(69)
左辺第二項のδΓ/δφ(x)は、ε = 0とおくと−J(x)に等しい。従って、∂Γ
∂ε
∣∣∣∣ε=0
=∂W
∂ε
∣∣∣∣ε=0
(70)
これより、εの一次の項はΓとWで相等しい。従って (65)より
Γε[φ] = Γ[φ] +ε
2
∫dxdyφ(x)φ(y) +
ε
2i
∫dxdy
δ2W
δJ(x)δJ(y)+ · · ·
(71)
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第2項はもともとのactinに加えた項であるので無視してよい。第3項はsource
がある場合の connected propagatorを表しており、一つの内線を cutしてもまだconnectedになっていることを表している。図示すると、
x y
J
φ
φ
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従ってΓ[φ]が1PI diagramの generating functionであることが証明された。
qft1-6-31