6 Построение эпюр внутренних силовых факторовk102.khai.edu/uploads/editor/17/4274/sitepage_48/files...В.Ф.ДЕМЕНКО.МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ

В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013

1

Рис. 1

Рис. 2

Лекция 6 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса (продолжение)

1 Правила знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

В курсе ММК приняты следующие правила знаков:

а) для поперечных сил:

Внешняя сила, действующая по любую

сторону от данного сечения, дает

положительный вклад в величину

поперечной силы, действующей в сечении,

если пытается повернуть

рассматриваемую часть балки по часовой

стрелке относительно главной

центральной оси инерции данного

сечения, перпендикулярной плоскости чертежа:

б) для изгибающих моментов (рис.2):

Внешняя сила, действующая по

любую сторону от данного сечения,

дает положительный вклад в

величину изгибающего момента,

действующего в данном сечении, если

действие этой внешней силы

приводит к сжатию верхних и растяжению нижних слоев балки.

2 Примеры построения эпюр поперечных сил и изгибающих

моментов

При построении эпюр принято:


2

l PxII I

z x

x

P M x( )y Q x( )z I

II M x( )

P

Qz (x), H

O

O Pl

My (x), Нм

y

Q x( )z

y

y

y

z

z

Рис. 3

1) строить эпюры изгибающих моментов на растянутых волокнах балки. С

учетом принятого правила знаков + – это означает, что положительные

значения моментов откладываются вниз, отрицательные - вверх;

2) ось z в рассматриваемом сечении направлять вниз (для согласования в

дальнейшем правила знаков для изгибающих моментов и нормальных

напряжений).

Консольные балки

При построении эпюр для

консольных балок имеется

принципиальная возможность

обойтись без определения опорных

реакций и реактивного момента в

жестком защемлении.

Пример 1 (рис. 3).

Дано: P, l.

Необходимо: построить эпюры Qz(x)

и My(x).

Решение.

Разделим мысленно балку на две

части I и II. Выделим часть I балки

и рассмотрим ее равновесие:

PxQxQPP zzz 0 , (1)

хPxMxPxMPM yyy 0 . (2)

Соотношение (2) определяет модуль изгибающего момента, но

противоречит принятому ранее правилу знаков. Учитывая это правило

знаков, запишем окончательно:


3

My(x) = -Px. (3)

Эпюра построена на рис. 3.

Замечания 1. Все остальные ВСФ равны нулю в рассматриваемом сечении;

2. Qz(x) и My(x) – это усилие и момент, с которыми части балки I и II взаимодействуют друг с другом.

Пример 2 (рис.4)

Дано: M, l.

Необходимо: построить

эпюры Qz(x), Мy(x).

Решение

1. Построение эпюры Qz(x).

0xQIz (4)

Соотношение (4) имеет место

потому, что момент М создается парой сил, поэтому их суммарная

проекция на любое направление всегда равна нулю.

2. Построение эпюры Му(х).

MxM Iy . (5)

Эпюры построены на рис. 4.

Пример 3 (рис. 5)

Дано: q, l.


эпюры Qz(х) и My(х).

Решение

1. Применим метод сечений и

рассмотрим равновесие пра-

Рис. 4

Рис. 5


4

вой части. Заменим равномерно распределенную нагрузку, действующую

справа, ее равнодействующей и укажем положение линии ее действия

Rq(x) = qx. (6)

2. Запишем уравнение для поперечной силы, используя правило:

qlqxxRxQ lxxqz 00 . (7)

3. Запишем уравнение Му(х):

2

022

2

0

2 qlxq

xxRxM lx

xqy

. (8)

4. Строим эпюры (рис. 5). Пример 4 (рис 6)

Дано: l, линейный закон

распределения внешней нагрузки по

длине, ее максимальное значение q0.

Необходимо: построить эпюры Qz(x),

M(x).

Решение 1. Рассмотрим равновесие правой

части. Заменим распределенную

нагрузку ее равнодействующей,

укажем линию ее действия:

2

xxqxRq . (9)

Но очевидна пропорция

l

qxxq

l

x

q

xq

0. (10)

Тогда

l

xqxRq 2

20 . (11)

2. Запишем уравнение для Qz(x) и My(x):

Рис. 6


5

2

02

0

0

20 lq

l

xqxRxQ lx

x

qz

(12)

6

063

20

0

30 lq

l

xqxxRxM lx

x

qy

. (13)


Пример 5 (рис.7) Дано: l, распределенная по

линейному закону нагрузка с

максимальным значением q0.

Необходимо: построить эпюры Qz(x),

My(x). Решение

При рассмотрении равновесия правой

части возникает определенная

трудность вычисления равнодейст-

вующей от трапецеидальной нагрузки

и ее центра тяжести.

Для упрощения вычислений

исходную нагрузку преобразовываем, заменяя ее суммой двух: равномерно

распределенной, действующей вниз и линейно распределенной,

действующей вверх. Эти нагрузки заменяются равнодействующими xRq

и xRq .

Очевидно, что

xqxRq 0 (14)

и

Рис. 7


6

xRq = l

xq

2

20 (15)

Запишем уравнения ВСФ, используя принцип суперпозиции:

2

02

0

0

20

0lq

l

xqxqxRxRxQ lx

x

qqz

, (16)

3

06232

20

0

30

20 lq

l

xqxqxxR

xxRxM lx

x

qqy

. (17)


Двухопорные балки

Для двухопорных балок

построению эпюр Qz и My дол-

жно предшествовать определе-

ние опорных реакций.


Дано: P, a, b.

Необходимо: построить эпюры

Qz(x) и My(x).

Решение

Определение опорных реакций

RA и RB

0ba

aPRbaRPaPM BBA

, (18)

0ba

bPRbaRPbPM AAB

. (19)

Рис. 8


7

2. Разбиваем балку на участки и показываем направления их обхода.

Границами участков являются точки приложения сосредоточенных сил и

моментов, начала и окончания действия распределенной нагрузки.

3. Записываем уравнения:

ba

bPRxQ A

Iz

, (20)

ba

aPRxQ B

IIz

, (21)

ba

baPx

ba

bPxRxM axxA

Iy

00 , (22)

ba

baPx

ba

bPxRxM bxxB

IIy

00 . (23)

Заметим, что скачки на

эпюрах численно равны тем

внешним силовым факторам,

которые приложены в

соответствующих сечениях.

Пример 7 (рис. 9) Дано: М, а, b. Необходимо: построить

эпюры Qz(x), My(x).

1. Определение опорных

реакций.

0baRMPM BA ,

ba

MRB

. (24)

A

RA

x x

M RB

I II

z z a b

O

Qz (x), H

ba

M

My (x), Hм ba

bM

baaM

y

y

O

Рис. 9


8

0baRMPM AB , ba

MRА

. (25)

2. Разбиваем балку на участки и показываем направления их обхода

(см. рис. 9).

3. Записываем уравнение Qz(x) и Му(х)

ba

MRxQ A

Iz

, (26)

ba

MRxQ B

IIz

, (27)

ba

aM

ba

xMxRxM ax

xA

Iy

00

, (28)

ba

bM

ba

xMxRxM bx

xB

IIy

00

. (29)

Замечание. Скачок на эпюре Му(х) в сечении, где приложен сосредоточенный момент М, численно равен этому моменту. Пример 8 (рис. 10)

Дано: q, l. Необходимо: построить эпюры

Qz(x), My(x) Решение

1. Определим опорные реакции

02

2 ql

lRPM BA ,

2

qlRB . (30)

02

2 lR

qlPM AB ,

ql

RA 2 . (31)

4. Запишем уравнения для Qz(x) и

Му(х): Рис.10


9

222 0qlql

qxql

qxRxQlx

xAz

. (32)

8

002

2

20

2 qlqxxRxM l

xlxx

Ay

. (33)


3 Дифференциальные соотношения между распределенной

нагрузкой, поперечной силой и изгибающим моментом

Представим на рисунке двухопорную балку и выделим двумя

бесконечно близкими поперечными сечениями элемент длиною dx:

Пусть в левом поперечном сечении элемента действуют

положительные My и Qz. Т.к. в общем случае они являются произвольными

функциями х, в правом сечении My и Qz будут отличаться соответственно

на dMy и dQz. Поперечная сила и изгибающий момент в правом

поперечном сечении будут тоже положительными в силу малости dx.

Рассмотрим равновесие выделенного элемента:

0 dxxqQdQQP zzzz , откуда

Рис. 11


10

dx

dQxq z . (34)

02

dxQMdx

dxxqdMMPM zyyyA , откуда

dx

dMQ

yz . (35)

Величиной 2

dxdxxq пренебрегаем, т.к. это величина более высокого

порядка малости. Подставляя значения Qz (35) в (34), получаем:

2

2

dx

Md

dx

dQxq

yz . (36)

Замечание Полученные соотношения справедливы с точностью до

знака.

Рассмотрим конкретный

пример, на котором проиллюс-

трируем соотношения (34) –

(36).


Дано: М =80 кНм, q1 = 40 кН/м,

q2 = 20 кН/м,

а = 3 м, b = 2 м, с = 2 м.


Qz(х) и Му(х).

Решение

1. Определение опорных

реакций.

Рис. 12


11

023

2

2 21

c

bacqaa

qbaRMPM BA , откуда RB = 56 кН

0232 21

c

cqbaRa

ba

qMPM AB , RA = 44 кН.

2. Разбиение на участки. Располагаем в центрах тяжести произвольных

сечений I-I, II-II, III-III систему координат x, y, z.

3. Запись уравнений Qz(x) и My(x) на участках:

кН. 166044442

кН, 165640

кН, 400

0

21

2

02

ax

x

AIIIz

BIIz

cxx

Iz

a

xqRxQ

RcqxQ

xqxQ

Рассмотрим справедливость соотношения (34) на I-м участке: q = q2 =

const, следовательно, график Qz(x) на этом участке – наклонная прямая

линия.

На участке II – II q = 0, следовательно, график Qz(x) на этом участке –

прямая, параллельная оси х.

На участке III – III xQIIIz - квадратная парабола, т.к. q = q1 – линейная

функция х.

На опоре А (при х=0) q = 0, следовательно, касательная к графику Qz(x) в

этой точке должна быть || оси х.

кНм 4002

0

22

cx

x

Iy

xqxM ,

кНм 8402 02 bxxB

IIy xR)x

c(cqxM ,


12

кНм 7206

0

31

ax

xA

IIIy a

xqxRxM .

Проиллюстрируем применение (35) при построении эпюры Му(х):

На I участке xM Iy - квадратная парабола, при построении которой

необходимо учитывать, что в сечении х = 0 имеем Qz =0, следовательно,

касательная к графику должна быть горизонтальна.

На II участке xM IIy – линейная функция.

На III участке необходимо учесть, что в сечении х = хЭ имеем Qz = 0,

следовательно, в этом сечении функция xM y имеет экстремальное

значение.

Координата сечения с экстремальным изгибающим моментом хЭ

находится из условия:

кНм. 36,756

м. 57,2 02

31

21

a

xqxRM

xxa

qRxQ

ЭЭA

Эy

ЭЭAIIIz

Очевидно, что при х = хЭ касательная к графику Му(х) параллельна оси х.

4 Проверка правильности построения эпюр Qz(x) и My(x)

1. Величины скачков на эпюре Qz(x) численно равны значениям

внешних сил, приложенных в соответствующих сечениях.

2. В точках (сечениях), где приложены сосредоточенные моменты

внешних сил, имеют место скачки на эпюре My(x), численно равные

величинам этих моментов.


13

3. Проверка правильности построения эпюр осуществляется также по

дифференциальным соотношениям (34) и (35).

4 Построение эпюр внутренних силовых факторов для статически

определимых плоских рам

Вводные замечания. Стержневая система, элементы которой работают на растяжение – сжатие, называется фермой. Для фермы характерно шарнирное соединение элементов и приложение внешних усилий в узлах соединения элементов. Примеры ферм приведены на рис. 13.

Рис. 13 Если элементы стержневой системы работают, в основном, на изгиб или кручение,

такая система называется рамой. Для рамы характерно жесткое соединение элементов в узлах и приложение внешних нагрузок в произвольных точках. Примеры плоских рам представлены на рис. 14.

Рис. 14 Отличие фермы от рамы ясно из рис. 15.


14

Рис. 15 Система называется статически определимой, если реакции внешних связей и

внутренние силовые факторы могут быть определены с помощью уравнений статического равновесия (см рис. 16, где слева показана статически определимая рама, а справа – статически неопределимая).

Рис. 16

Будем рассматривать простейшие плоские статически определимые

рамы. Для всех элементов таких рам Qy = 0, Mz = 0, Mx = 0,

если ось у нормальна к плоскости рамы.

При построении эпюр N(x), Qz(x), My(x) будем пользоваться принятыми

ранее правилами знаков. Заметим, что положительное направление оси z

на горизонтальных участках предпочтительно выбирать совпадающим с

направлением вниз.


Дано: Р, a, b.

Рис. 17


15

Необходимо: построить эпюры N(x), Qz(x), My(x).

Решение

1. Разбиваем раму на участки и показываем направления их обхода.

2. Определяем ВСФ в произвольных поперечных сечениях участков:

NI(x) = 0, 0xQI

z , РaPxxM axxIy 00 ,

PxN II , 0xQIIz , РaxM II

y .

3. Строим эпюры (рис. 18)

Рассмотрим особенности построения эпюр ВСФ для рам, содержащих

элементы с криволинейной осью.


Дано: M, P, R.


эпюры N(x), Qz(x), My(x).

Решение

Рис. 18

Рис. 19


16

1. Разбиваем брус на участки и показываем направления их обхода.

2. Определяем N(x), Qz(x), My(x) в поперечных сечениях участков I и II.

I – I 0<</2

NI(x) = 0; 0xQI

z ; MxM Iy .

II – II 0<</2

PsinPxN /II 20 0 , 020 /

IIz PcosPxQ ,

PRMMsinPRMxM /IIy 20 .

3. Строим эпюры (рис. 20).

Плоские рамы могут быть как

консольными, так и двухопорными.

Очевидно, построению эпюр для

последних должно предшествовать

определение опорных реакций.


Дано: М = 40 кНм, q = 10 кН/м,

а = 1м.


N(x), Qz(x), My(x).

Рис. 20

Рис. 21


17

Решение

1. Определение опорных реакций. Для плоской системы сил можно

составить три линейно независимые уравнения статического равновесия:

кН 30 0R 0

кН 30022R 0

кН 20 02 0

B

2B

ABABz

BA

AГAГx

RRP

RqaMaPM

RRqaP

2. Разбиение на участки. Показываем направления их обхода.

Границами участков, кроме точек приложения внешних усилий, являются

точки соединения прямолинейных и криволинейных участков.

Участок I-I: ax 0

30 BIx RxN кН, Qz

I(x) = 0, My

I(x) =0.

Участок II-II: 20

030 20 cosRxN BIIx ,

300 20 sinRxQ BIIz кН,

3001 20 aRcosaRxM BBIIy кНм.

Участок III-III: 20

300 20 sinRxN BIII кН,

030 20 cosRxQ BIIIy ,

20101 20 MsinaRxM BIIIy кНм.

Участок IV-IV: a20

30 ABIV RxN кН, 020 20 xxAГ

IVy qxRxQ ,


18

2002 2

0

2

x

xАГ

IVy

qxxRxM кНм.

3. Построение эпюр (рис. 22)

4. Проверка правильности построения эпюр производится по наличию

скачков и по дифференциальным соотношениям, а также по условиям

равновесия в узлах.

6. Построение эпюр внутренних силовых факторов для произвольно

нагруженных пространственных ломаных брусьев

Плоско-пространственным называют брус, все элементы которого

жестко соединены в узлах и расположены в одной плоскости, а внешние

усилия действуют в произвольных направлениях.

При решении внешние силы представляют в виде проекций на

принятые координатные направления. Расчет каждого из участков

ломаного бруса представляет собой результат наложения полученных

ранее решений.


Дано: а = 3м, b = 2м, с =1м, Р = 10 кН, q = 10кН/м.

Рис. 22


19


внутренних силовых факторов

N(x), Qz(x), Qy(x), Mx(x), My(x),

Mz(x).

Решение.

1. Разбиваем брус на участки I,

II, III и в произвольных сечениях

каждого из них на расстоянии х от

начала располагаем систему

координат так, чтобы ось х совпадала с продольной осью бруса, ось z была

направлена вниз, а горизонтальная ось у составляла бы с двумя первыми

ортогональный базис одного и того же вида (правый или левый).

2. Записываем уравнения ВСФ в произвольном сечении каждого

участка, пользуясь ранее принятыми правилами знаков (вспомните,

какими?).

I-I 0 x a

0xN Ix , 0xM I

x ,

кН10 PxQIy , кН3000 axx

Iz qxxQ ,

кНм452

02

2

0 qax

qxxM axxIy ,

кНм3000 axxIz PxxM .

II-II 0 x b

кН10 PxN IIx , кНм45

2

aqaxM II

x ,

0xQIIy , кН30 qaxQII

z ,

кНм6000 bxxIIy qaxxM , кНм30 PaxM II

z .

III-III 0 x c

Рис. 23


20

0xN IIIx , кНм60 qabxM III

x ,

кН10 PxQIIIy , кН30 qaxQIII

z ,

15452 cx0

x

IIIy

axqaxM кНм,

кНм20300 cxxIIIz xaPxM .

3. Строим эпюры (рис. 24)

Замечание На прямых углах происходит взаимный «переход» Мх в Му и

наоборот.

Рис. 24

6 Построение эпюр внутренних силовых факторовk102.khai.edu/uploads/editor/17/4274/sitepage_48/files...В.Ф.ДЕМЕНКО.МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ

Documents