6
Yosritzal, MT.
Bayu Martanto Adji, MT.Diktat Statistik dan ProbabilitasJurusan
Teknik Sipil
Fakultas Teknik
Universitas Andalas
VI. DISTRIBUSI PROBABILITAS
6.1 TIPE DISTRIBUSI PROBABILITAS
Kita mengenal dua tipe variabel yaitu variabel menerus
(contonous variabels) dan variabel diskrit (descrete variabels).
Variabel disebut menerus apabila secara teoritis dapat memiliki
nilai diantara dua angka yang ditentukan dan bila tidak maka
disebut variabel diskrit. Istilah ini selanjutnya akan kita gunakan
untuk pembahasan berikut ini.
A. Distribusi probabilitas diskrit
Jika variabel acak x diasumsikan memiliki nilai diskrit x0, x1,
x2, , xk, dengan probabilitas masing-masing p0, p1, p2, , pk,
dimana pi(0 untuk semua i, dan
Maka probabilitas (x = x0) atau p(xi)=pi disebut distribusi
probabilitas diskrit untuk variabel x.
Gambar 6.1 PMF dan PDF
B. Distribusi Probabilitas Menerus
Variabel menerus dapat diplot kedalam bentuk histogram dan
kemudian dapat digambarkan polygon frekuensinya. Jika jumlah
observasi tak terhingga, dan lebar kelas mendekati nol, maka
histogram dan polygon frekuensi akan membentuk suatu kurva yang
disebut kurva distribusi frekuensi. Jika tinggi kurva distandardkan
sehingga luas area dibawah kurva adalah sama dengan 1 (satu), maka
distibusi probabilitas menerus telah terbentuk.
Gambar 6.2 Probability density function
Pada gambar diatas, p(x) adalah probability density function
(pdf) dimana:
Karenanya luas daerah dibawah kurva antara garis x=x1 dan x= x2
adalah probabilitas bahwa x bernilai antara x1 dan x2.
Probabilitas (x1 < x < x2) =
Gambar 6.4 Probabilitas x antara x1 dan x2
6.2 FUNGSI NORMAL
Persamaan distribusi normal dapat ditulis dalam berbagai bentuk.
Jika kita membutuhkan kurva normal distribusi frekuensi, persamaan
mesti memenuhi kondisi dimana luas total area dibwah kurva sama
dengan jumlah data N.
Kurva tersebut dapat langsung dibandingkan dengan histogram
dimana luas daerah dibawah histogram sama dengan jumlah data N.
Persamaan kurva normal untuk distribusi frekuensi adalah:
Namun akan lebih bermanfaat berbicara probabilitas daripada
bicara distribusi frekuensi. Karena total probabilitas adalah satu,
maka luas total daerah dibawah kurva adalah satu. Kurva demikian
disebut kurva yang dinormalisasi.
Gambar 6.5 Posisi dan bentuk kurva normal berdasarkan dan
Dalam hal ini, perubahan nilai tidak akan merubah kurva,
melainkan hanya menggeser kurva sepanjang sumbu x. Bentuk kurva
hanya akan berubah jika nilai berubah.
Dengan demikian akan lebih baik jika ditransformasi ke bentuk =
0 dan = 1 dengan menggunakan:
Karena p(x) dx = f(z) dz, maka:
Transformasi kurva normal menjadi kurva normal standard:
Gambar 6.5 Kurva normal
Gambar 6.6 Kurva normal yang sudah di-standard-kan
Contoh soal:
Diketahui kuat tekan beton mengikuti distribusi normal.
Pengujian sampel mendapatkan:
Tentukan probabilitas mendapatkan kuat tekan beton antara 200
kg/cm2 sampai 400 kg/cm2.
Jawab:
Gambar 6.7 Perobahan kurva menjadi kurva normal standard
Dengan menggunakan Tabel Distribusi Normal Standard
diperoleh:
p(-2,5 < Z < 2,5) = 0,4938 + 0,4938 = 0,9876
Perlu dicatat bahwa:
1. Kurva normal memiliki ciri khas yaitu: simetris terhadap
garis tegak lurus yang melewati x = .
2. Luas total daerah dibawah kurva adalah 1, luas daerah dibawah
kurva antara - sampai adalah 0,5 dan luas daerah dibawah kurva
antara sampai + juga 0,5.
3. Pada kurva normal standard, dimana =0 dan =1, juga berlaku
hal yang sama.
4. Ciri seperti ini akan memudahkan dalam pembuatan dan
pembacaan tabel distribusi normal standard.
5. Tabel distribusi normal standard biasanya dibuat untuk kurva
dari 0 - +.
6.3 LEVEL OF SIGNIFICANCE
Pada kurva normal anggaplah F(z) adalah luas daerah dibawah
kurva f(z) antara 0 sampai z. Maka [1-2F(z)] adalah luas daerah
diluar . Probabilitas tersebut disebut juga dengan Level of
Significance (Tingkat Keberartian) dari uji statistic dan
disimbolkan dengan .
Gambar 6.7 Uji dua pihak
Gambar 6.8 Uji dua pihak
Jika z = 1,96, maka [1-2F(z)] = 0,05 dan dikatakan tingkat
keberartiannya (level of significance) adalah 5 persent. Artinya
jika kita mendapatkan data hasil pengamatan menyimpang dari
rata-rata sedikitnya 1,96 kita dapat mengatakan bahwa pengamatan
kita berbeda secara berarti terhadap tubuh data dan probabilitas
kesalahan adalah 5%. Atau dengan kata lain, jika kita mengambil
keputusan yang sama berkali-kali, kemungkinan kita salah
menyimpulkan 5% dari semua kasus.
Jika terdapat probabilitas 5% data yang diperoleh lebih besar
dari 1,96, berarti 95% data berada dalam interval 1,96, dan angka
95% disebut sebagai tingkat kepercayaan (level of confidence).
Nilai z yang sering digunakan pada tingkat signifikansi tertentu
diberikan pada Tabel 6.1
Tabel 6.1 Nilai z untuk beberapa tingkat signifikansi
Tingkat Signifikansi
(persentase data diluar range),
persent
z
Tingkat Kepercayaan
(persentase data dalam range),
persent
10
1,645
90
5
1,960
95
2
2,326
98
1
2,576
99
0.1
3,291
99,9
0.01
3,891
99,99
6.4 DISTRIBUSI BERNOULLI
Menyatakan suatu eksperimen acak dengan dua keluaran yang
mungkin
Sukses (1)
Gagal (0)
Nilai 1 berpeluang p (nilai 0 berpeluang (1-p))
6.5 DISTRIBUSI BINOMIAL
Probabilitas 1 sukses dalam 1 percobaan adalah p
Probabilitas 2 sukses dalam 2 percobaan adalah p x p = p2
Probabilitas 3 sukses dalam 3 percobaan adalah p x p x p =
p3
.
.
.
Probabilitas r sukses dalam r percobaan adalah pr
6.6 DISTRIBUSI POISSON
Distribusi Poisson tersusun dari deret berikut:
, , , , ,
Dimana e = bilangan natural dan adalah frekuensi rata-rata
terjadinya peristiwa. Urutan tersebut merepresentasikan
probabilitas terjadinya peristiwa sebanyak 0, 1, 2, 3, 4,
Jika r adalah jumlah terjadinya peristiwa yang probabilitasnya
ingin diketahui, maka kita dapat menulis susunan deret tadi
sebagai:
Contoh:
Jumlah kendaraan yang melewati Tol selama interval waktu pukul
10 11 adalah 1200. kendaraan tersebut melewati tol sendirian atau
bersamaan secara acak. Tulislah persamaan probabilitas bahwa tidak
lebih dari 4 kendaraan yang melewati tol selama interval 1 menit
dari 10:45 10:46. Turunkan persamaan untuk probabilitas 5 kendaraan
yang melewati tol pada interval yang sama.
Jawab:
Jumlah kendaraan dalam 60 menit: 1200
Rata-rata jumlah kendaraan dalam 1 menit = 1200/60 = 20 = np
=
Probabilitas tidak lebih dari 4 kendaraan yang lewat pada
interval yang diberikan adalah:
= jumlah probabilitas mulai dari 0 kendaraan sampai 4
kendaraan
=
Dengan demikian, probabilitas mendapatkan 5 kendaraan atau lebih
adalah:
= 1-
Catatan pada Distribusi Poisson:
Dimana:
n = jumlah percobaan
p = probabilitas terjadinya peristiwa tertentu
Distribusi ProbabilitasPage 9 of 11
_1148559041.unknown
_1152298837.vsdx1
x2
p(x)
x
_1155416661.unknown
_1155418003.unknown
_1155419263.unknown
_1155419418.unknown
_1155418540.unknown
_1155419185.unknown
_1155418568.unknown
_1155418505.unknown
_1155417182.unknown
_1155417751.unknown
_1155416750.unknown
_1155416478.unknown
_1155416504.unknown
_1155416446.unknown
_1152298024.vsdVariabel acak x
Frekuensi
Frekuensi relatif
_1152298438.unknown
_1152298578.unknown
_1152298310.vsdp(x)
dx
x
_1148560368.vsd
0
z
Kurva Normal Standard
_1148564414.vsd
m
m-zs
m+zs
x
F(z)
Daerah Penolakan, Luas = 2(a/2)a = level of significance
F(z)
Daerah PenerimaanLuas = 2 F(z)=Tingkat kepercayaan (confidence
level)
_1152296616.unknown
_1148564665.vsd
m
m+zs
x
F(z)
0,5
Daerah PenerimaanLuas = 0,5 + F(z)
Daerah Penolakan, Luas = aa = 0,5 - F(z)
_1148562657.unknown
_1148560331.vsd
300
200
400
x
Kurva Normal
_1148557952.unknown
_1148558826.vsd
0
z
Kurva Normal Standard
_1148558989.unknown
_1148558778.vsd
m
a
b
x
Kurva Normal
_1148556639.unknown
_1148557398.unknown
_1148557631.unknown
_1148555472.vsd
m
x
Y = f(x)
s
s
_1148556416.unknown
_1148554457.unknown