-
BLM 6
EVRIMSEL KODLAR
Hata dzeltme kodlarndan beklenen temel zelliklerden
birigereklestirme karmasklgnn dsk olmasdr. Dogrusal blok
kodlarn,evrimsel kodlar olarak adlandrlan bir alt kmesi, kodlayc ve
kodzcleri dogrusal baglanms geri beslemeli telemeli yazclar
yardmylakolayca gereklestirilebilen kodlardan olusmaktadr.
6.1. evrimsel Kodlarn Yapsal zellikleri
x = (x1,x2, . . . ,xn) bir kod szcgn gstermek zere, xin bir
sagaevrimsel telenmisi
x(1) = (xn,x1, . . . ,xn1) ,i kadar saga evrimsel telenmisi
de
x(i) = (xni+1,xni+2, . . . ,xn,x1, . . . ,xni)biiminde
yazlabilir.
TANIM. Bir (n,k) dogrusal blok kodu, eger her kod szcgnn
tmevrimsel telenmisleri de bir kod szcg ise evrimsel koddur.
RNEK. K = {000,011,110,101} kodu bir (3,2) evrimsel
kodudur.RNEK. K = {000000,110110,011011,101101} kodu bir (6,2)
evrimsel kodudur.
x kod szcgnn bilesenlerix(D) = x1+ x2D+ x3D2+ + xnDn1
biiminde bir okterimlinin katsaylar olarak dsnlerek evrimsel
koduncebirsel zellikleri gelistirilebilir. x(D)nin derecesi sfrdan
farkl en bykindisli bileseninin indis degerinin bir eksigidir. x(D)
kod okterimlisi olarakadlandrlr. Her x kod szcg ile x(D)
okterimlisi arasnda bire bir iliskivardr.
x(i) kod szcgne kars dsen kod okterimlisi
x(i)(D) = xni+1+xni+2D+ +xnDi1+x1Di+x2Di+1+ +xniDn1olup x(D) ile
x(i)(D) arasnda
Dix(D) = p(D)(Dn+1)+x(i)(D)iliskisi geerlidir. Burada
p(D) = xni+1+ xni+2D+ + xnDi199
-
100 EVRIMSEL KODLARIN YAPISAL ZELLIKLERI
olup x(i)(D), Dix(D)nin Dn+1e blmnden kalandr.
TEOREM. Bir (n,k) evrimsel kodunun minimum dereceli sfrdan
farklkod okterimlisi tektir.
KANIT. g(D) = g1 + g2D + + gmDm1 + Dm, (n,k) evrimselkodunun
minimum dereceli sfrdan farkl kod okterimlisi olsun. g(D)nintek
olmadgn ve
g(D) = g1+ g2D+ + gmDm1+Dmin de bir kod okterimlisi oldugunu
varsayalm. Kod dogrusal oldugundan
g(D)+ g(D) = (g1+ g1)+(g2+ g2)D+ +(gm+ gm)Dm1de bir kod
okterimlisidir ve derecesi mden dsktr. Bu da g(D)ninminimum
dereceli kod okterimlisi oldugu varsaymna aykrdr. O haldeg(D)+ g(D)
= 0 yani g(D) = g(D) olmaldr. Dolaysyla g(D) tektir.
TEOREM. g(D) = g1 + g2D + + gmDm1 + Dm, (n,k) evrimselkodunun
sfrdan farkl minimum dereceli kod okterimlisi olsun. Budurumda g1 =
1 olmak zorundadr.
KANIT. g1 = 0 oldugunu varsayalm. Buna gre;
g(D) = g2D+g3D2+ +gmDm1+Dmg(n1)(D) = g2+g3D+ +gmDm2+Dm1
olup g(D) evrimsel olarak n 1 kadar saga telendiginde
sfrdanfarkl, derecesi mden kk bir kod okterimlisi elde
edilmektedir. Buda g(D)nin sfrdan farkl minimum dereceli kod
okterimlisi olduguvarsaymna aykrdr. O halde g1 = 1 olmaldr.
m + 1,m + 2, . . . ,n 1 dereceli Dg(D),D2g(D), . . .
,Dnm1g(D)okterimlilerini ele alalm. Bu okterimliler srasyla
(0,g1,g2, . . . ,gm,0, . . . ,0,0)
(0,0,g1,g2, . . . ,gm,0, . . . ,0)...
(0, . . . ,0,g1,g2, . . . ,gm)
vektrlerine kars dser. Bu vektrler g(D)ye kars dsen kodszcgnn
evrimsel telenmisleri oldugundan birer kod szcgdr.Dolaysyla Dg(D) =
g(1)(D),D2g(D) = g(2)(D), . . . ,Dnm1g(D) =g(nm1)(D)ler birer kod
okterimlisidir. evrimsel kod dogrusaloldugundan g(D),Dg(D), . . .
,Dnm1g(D)nin bir dogrusal birlesimi de birkod okterimlisidir. Buna
gre
x(D) =a1g(D)+a2Dg(D)+ . . .+anmDnm1g(D)
=(a1+a2D+ . . .+anmDnm1
)g(D)
ailer 0 veya 1 olmak zere, bir kod okterimlisidir.
-
EVRIMSEL KODLARIN YAPISAL ZELLIKLERI 101
TEOREM. g(D) = 1+ g2D+ + gmDm1 +Dm bir (n,k) evrimselkodunun
sfrdan farkl minimum dereceli bir kod okterimlisi olsun. n 1veya
daha dsk dereceli bir okterimli ancak ve ancak g(D)nin bir katise
bir kod okterimlisidir.
KANIT. 1) Yeterlilik Kant: x(D), n 1 veya daha dsk
dereceli,g(D)nin kat olan bir okterimli olsun. Bu durumda,
x(D) =(a1+a2D+ . . .+anmDnm1
)g(D)
=a1g(D)+a2Dg(D)+ . . .+anmDnm1g(D)
yazlr. x(D); g(D),Dg(D), . . . ,Dnm1g(D) kod okterimlilerinin
birdogrusal birlesimi oldugundan kod okterimlisidir.
2) Gereklilik Kant: x(D) bir kod okterimlisi olsun. g(D)ye
blerek
x(D) = a(D)g(D)+ c(D)
yazlr. c(D) ya sfrdr ya da derecesi g(D)ninkinden dsktr.
c(D) = x(D)+a(D)g(D)
yazarsak x(D) ve a(D)g(D) kod okterimlileri oldugundan c(D)de
kodokterimlisi olmak zorundadr. c(D) 6= 0 ise sfrdan farkl,
derecesig(D)ninkinden dsk kod okterimlisidir. Bu da g(D)nin
minimumdereceli oldugu varsaymna aykrdr. O halde c(D) = 0 olmal,
yani x(D),g(D)nin bir kat olmaldr.
g(D)nin kat olan n 1 veya daha dsk dereceli okterimliler
2nmtanedir. Teorem nedeniyle bu okterimliler (n,k) evrimsel kodunun
tmkod okterimlilerini olusturur. (n,k) kodunda 2k tane kod
okterimlisioldugundan 2nm = 2k olmaldr. Sonu olarak n m = k
olmasgerektiginden g(D)nin derecesi n kdr. Buna gre bir (n,k)
evrimselkodunun sfrdan farkl minimum dereceli kod okterimlisi
g(D) = 1+g2D+g3D2+ +gnkDnk1+Dnk
biimindedir.Bir (n,k) evrimsel koduna iliskin her x(D) kod
okterimlisi
x(D) =a(D)g(D)
=(
a1+a2X + +akXk1)
g(D)
biiminde ifade edilebilir. Eger a(D)nin katsaylar a1,a2, . . .
,akkodlanmas istenen bilgi bitlerine kars dsyorsa x(D) iliskin
kodokterimlisidir. O halde kodlama a(D) bilgi okterimlisi ile g(D)
arplarakgereklestirilmektedir. Buna gre bir (n,k) evrimsel kodu,
sfrdan farklminimum dereceli kod okterimlisi g(D) ile tamamen
belirlenir. g(D)kodun rete okterimlisi olarak adlandrlr. g(D)nin
derecesi kodun eslikdenetim bilesenleri saysna esittir.
-
102 EVRIMSEL KODLARIN YAPISAL ZELLIKLERI
RNEK. g(D) = 1 + D + D3 rete okterimlisince retilen
(7,4)evrimsel koduna iliskin bilgi dizileri, kod szckleri ve kod
okterimlileriasagda verilmistir.
Bilgi Dizisi Kod Szcg Kod okterimlisi0000 0000000 00001 0001101
D3g(D)0010 0011010 D2g(D)0011 0010111
(D2+D3
)g(D)
0100 0110100 Dg(D)0101 0111001
(D+D3
)g(D)
0110 0101110(D+D2
)g(D)
0111 0100011(D+D2+D3
)g(D)
1000 1101000 g(D)1001 1100101
(1+D3
)g(D)
1010 1110010(1+D2
)g(D)
1011 1111111(1+D2+D3
)g(D)
1100 1011100 (1+D)g(D)1101 1010001
(1+D+D3
)g(D)
1110 1000110(1+D+D2
)g(D)
1111 1001011(1+D+D2+D3
)g(D)
TEOREM. Bir (n,k) evrimsel kodunun rete okterimlisi g(D), Dn+1in
bir arpandr.
KANIT. Dkg(D), Dn + 1e blndgnde blm 1 kalan1 + Dk + g2Dk+1 + +
gnkDn1 olup vektrel karslg( 1 0 0 0 1 g2 gnk ) yani g(k)(D)dir.
g(k)(D)debir kod okterimlisi oldugundan g(k)(D) = a(D)g(D)
yazlabilir. O haldeDn + 1 = Dkg(D) + g(k)(D) =
[Dk +a(D)
]g(D) yazlr ve g(D)nin
Dn+1in bir arpan oldugu grlr.
TEOREM. g(D), Dn + 1in bir arpan ve n k dereceli bir
okterimliise bir (n,k) evrimsel kodu retir.
KANIT. n 1 veya daha dsk dereceli g(D),Dg(D), . . .
,Dk1g(D)okterimlilerinin dogrusal birlesimi
x(D) =a1g(D)+a2Dg(D)+ +akDk1g(D)=(
a1+a2D+ +akDk1)
g(D)
de n 1 veya daha dsk dereceli bir okterimli olup g(D)nin
birarpandr. Byle 2k farkl okterimli olup bunlar bir (n,k) dogrusal
koduolusturur. x(D) = x1+ x2D+ + xnDn1 bu koda ait bir kod
okterimlisi
-
EVRIMSEL KODU SISTEMATIK BIIME SOKMA 103
olsun.
Dx(D) =x1D+ x2D2+ + xnDn=xn (Dn+1)+
(xn+ x1D+ x2D2+ + xn1Dn1
)=xn (Dn+1)+x(1)(D)
olup hem Dx(D) hem de Dn + 1, g(D)ye blnebilir oldugundanx(D)nin
bir saga evrimsel telenmisi x(1)(D)de g(D)ye blnebilir. Ohalde
x(1)(D), g(D)nin bir arpandr ve g(D),Dg(D), . . . ,Dk1g(D)lerinbir
dogrusal birlesimidir. Dolaysyla x(1)(D) de bir kod
okterimlisidir.evrimsel kod tanmndan g(D),Dg(D), . . .
,Dk1g(D)lerin dogrusalbirlesimlerinden olusan dogrusal kod bir
(n,k) evrimsel kodudur.
6.2. evrimsel Kodu Sistematik Biime Sokma
Bir (n,k) evrimsel koduna iliskin g(D) rete okterimlisi
verildigindekod szckleri sistematik biimde elde edilebilir. Bylece
her szcgn ensagdaki k bileseni bilgi bilesenlerinden en soldaki n k
bileseni de eslikdenetim bilesenlerinden olusur.
Kodlanacak bilgi dizisi a = (a1,a2, . . . ,ak) ve iliskin bilgi
okterimlisia(D) = a1+a2D+ +akDk1 olsun. a(D), Dnk ile arplarak
Dnka(D) = a1Dnk +a2Dnk+1+ +akDn1elde edilir. Dnka(D), g(D)ye
blnrse
Dnka(D) = d(D)g(D)+ c(D)yazlr. Burada d(D) blm, c(D) de kalan
gstermektedir. g(D)ninderecesi n k oldugundan c(D)nin derecesi n k1
veya daha dsktr:
c(D) = c1+ c2D+ + cnkDnk1.Diger yandan
c(D)+Dnka(D) = d(D)g(D)okterimlisi n 1 veya daha dsk dereceli
olup g(D)nin bir katdr.Dolaysyla g(D)nin rettigi evrimsel kodun bir
kod okterimlisidir. Akolarak yazlrsa,
c(D)+Dnka(D) =c1+ c2D+ + cnkDnk1+a1Dnk +a2Dnk+1+ +akDn1
olup iliskin kod szcg
(c1,c2, . . . ,cnk,a1,a2, . . . ,ak)sistematik biimdedir.
Yaplanlar zetlenirse, sistematik biimde kodlamasu admdan
olusmaktadr:
(1) Dnka(D) arpmn olustur,(2) c(D) kalann (eslik denetim
bilesenleri) Dnka(D)yi g(D)ye
blerek elde et,
-
104 EVRIMSEL KODU SISTEMATIK BIIME SOKMA
(3) Kod okterimlisi c(D) + Dnka(D)yi elde etmek iin c(D)
ileDnka(D)yi birlestir.
RNEK. g(D) = 1 + D + D3 rete okterimlisiyle retilen (7,4)kodunda
a = (1100) bilgi dizisine kars dsen kod szcg sistematikbiimde syle
elde edilir:
(1) Dnka(D) = D3 (1+D) = D3+D4(2) D4+D3 = (1+D)
(1+D+D3
)+(1+D2
), c(D) = 1+D2
(3) x(D) = c(D)+Dnka(D) =(1+D2
)+D3 (1+D)
x(D) = 1+D2+D3+D4, x = (1011100)
6.3. evrimsel Kodlarn rete ve Eslik Denetim Matrisleri
Bir (n,k) evrimsel koduna iliskin rete okterimlisi
g(D) = g1+g2D+ +gnk+1Dnk
olsun. k tane kod okterimlisi g(D),Dg(D), . . . ,Dk1g(D)
yardmyla tmkod okterimlileri olusturulabilir. Buna gre rete
matrisi
G =
g1 g2 gnk+1 0 00 g1 g2 gnk+1 0 00 0 g1 g2 gnk+1 0 0... . . .
...0 0 g1 g2 gnk+1
biiminde olup g1 ve gnk+1 daima 1e esittir.
Bu sekilde olusturulan rete matrisi genel olarak sistematik
yapdadegildir, ancak satr islemleri yardmyla sistematik biime
sokulabilir.
RNEK. g(D) = 1+D+D3 rete okterimlisiyle retilen (7,4) koduiin
rete matrisi
G =
1 1 0 1 0 0 00 1 1 0 1 0 00 0 1 1 0 1 00 0 0 1 1 0 1
olup sistematik yapda degildir. Bu matrisin ilk iki satr aynen
alnpbirinci ve nc satrlarn toplam yardmyla nc satr, ilk iki
satrntoplamna drdnc satr eklenerek drdnc satr olusturulursa,
sistematikbiimdeki
GS =
1 1 00 1 11 1 11 0 1
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
rete matrisi elde edilir. GS, G ile ayn kodu retir.
-
EVRIMSEL KODLARIN RETE VE ESLIK DENETIM MATRISLERI 105
g(D) rete okterimlisinin Dn + 1in bir arpan oldugu gz
nnealnrsa,
Dn+1 = g(D)h(D)yazlabilir. Burada
h(D) = h1+h2D+ +hk+1Dkolup h1 ve hk+1 daima 1e esittir. Simdi
(n,k) evrimsel kodunun eslikdenetim matrisinin h(D) yardmyla elde
edilebilecegini gsterelim.
x = (x1,x2, . . . ,xn)
bir kod szcg olsun. x(D) = a(D)g(D) oldugundan
x(D)h(D) =a(D)g(D)h(D)=a(D)(Dn+1)=a(D)+Dna(D)
yazlr. a(D)nin derecesi k1 veya daha dsk oldugundan
a(D)+Dna(D)ifadesinde Dk,Dk+1, . . . ,Dn1 terimleri gzkmeyecektir.
Bu nedenle sonesitligin sol tarafnda x(D)h(D)ye iliskin Dk,Dk+1, .
. . ,Dn1 terimlerisfra esit olmaldr. Buradan
k+1
i=1
hixni j+2 = 0 1 j n k
biiminde n k tane esitlik elde edilir.h(D)nin tersi,
Dkh(D1) = hk+1+hkD+hk1D2+ +h1Dk
olarak tanmlanrsa, Dkh(D1) okterimlisinin de Dn + 1in bir
arpanoldugu sylenebilir. Bunu grmek iin h(D)g(D) = Dn + 1
esitligindenyararlanlabilir:
h(D) =Dn+1g(D)
h(D1) = Dn+1
g(D1)
Dkh(D1) = Dn+k +Dk
g(D1) D
nk
Dnk=
Dn+1Dnkg(D1)
.
Bu nedenle, Dkh(D1) okterimlisi bir Kd(n,n k) evrimsel
koduretir. Bu kodun rete matrisi
H =
hk+1 hk h1 0 0
0 hk+1 hk h1 0 00 0 hk+1 hk h1 0 0... . . .
...0 0 hk+1 hk h1
(n k)nlik bir matristir. Kd kodu K(n,k) kodunun dual
kodudur.
-
106 EVRIMSEL KODLARIN RETE VE ESLIK DENETIM MATRISLERI
RNEK. g(D) = 1 + D + D3 rete okterimlisiyle retilen
(7,4)evrimsel kodu iin
h(D) =D7+1g(D)
= 1+D+D2+D4
olup h(D)nin tersi
D4h(D1) =D4(1+D1+D2+D4
)=1+D2+D3+D4
olarak bulunur. D4h(D1) bir (7,3) evrimsel kodu retir.
k+1
i=1
hixni j+2 = 0 1 j n k
esitlikleri, (n,k) evrimsel koduna ait her x kod szcgnn, Hnn
hersatrna dik oldugu anlamna gelmektedir. O halde, H, K(n,k)
evrimselkodunun eslik denetim matrisidir. H matrisi h(D)
okterimlisindenelde edildiginden h(D), K evrimsel kodunun eslik
okterimlisi olarakadlandrlr ve bir evrimsel kod eslik
okterimlisince tamamen belirlenir.
rete matrisi sistematik biime syle sokulabilir:Dnk+i1, i = 1,2,
. . . ,k iin g(D)ye blnrse
Dnk+i1 = ai(D)g(D)+ ci(D)
yazlr. Burada ci(D) = ci1 + ci2D + + ci,nkDnk1 biimindedir.ci(D)
+ Dnk+i1 okterimlileri, i = 1,2, . . . ,k iin g(D)nin katdr
vedolaysyla kod okterimlileridir. Bu k tane kod okterimlisi k
nlikmatrisin satrlar olarak alnrsa,
G =
c11 c12 c13 c1,nk 1 0 0c21 c22 c23 c2,nk 0 1 0... . . .
...ck,1 ck,2 ck,3 ck,nk 0 0 1
K kodunun sistematik biimde rete matrisidir. Kars dsen eslik
denetimmatrisi de
H =
1 0 0 c11 c21 ck,10 1 0 c12 c22 ck,2... . . .
...... . . .
...0 0 1 c1,nk c2,nk ck,nk
biimindedir.
RNEK. g(D) = 1 + D + D3 rete okterimlisiyle retilen
(7,4)evrimsel kodu iin
Dnk+i1 = ai(D)g(D)+ ci(D) i = 1,2, . . . ,k
-
EVRIMSEL KODLAYICILAR 107
esitlikleri
D3 =g(D)+(1+D)
D4 =Dg(D)+(D+D2
)D5 =
(1+D2
)g(D)+
(1+D+D2
)D6 =
(1+D+D3
)g(D)+
(1+D2
)olup buradan drt kod okterimlisi, 1+D+D3, D+D2+D4, 1+D+D2+D5 ve
1+D2 +D6 olarak elde edilir. Bu okterimliler yardmyla retematrisi
sistematik biimde
G =
1 1 00 1 11 1 11 0 1
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
olarak elde edilir. Kars dsen eslik denetim matrisi de
H =
1 0 00 1 00 0 1
1 0 1 11 1 1 00 1 1 1
biimindedir.
6.4. evrimsel Kodlayclar
Daha nce bir (n,k) evrimsel kodunun su adm yardmylasistematik
biimde elde edilebildigini grdk:
(1) a(D) bilgi okterimlisini Dnk ile arp,(2) Dnka(D)yi g(D)ye
blerek c(D) kalann bul,(3) c(D)+Dnka(D) kod okterimlisini
olustur.
Bu admlar, (n k) basamakl dogrusal bir telemeli yazcdan
olusanSekil 6.1deki blme devresi yardmyla gereklestirilebilir.
Kodlama islemisu admlar kapsar:
(1) Kap aldgnda k bilgi bileseni a1,a2, . . . ,ak ayn anda
devreyeve kanala girer. Bilgi bitlerini devreye sagdan sokmak
a(D)yi
1x 2x 3x
2g 3g
n kx
n kg
Kap
( )Da
SEKIL 6.1. (n,k) evrimsel kodlayc.
-
108 EVRIMSEL KODLAYICILAR
Kap
(0)aBilgi bitleri
Elik bitleri
Kanal
SEKIL 6.2. (7,4) evrimsel kodlayc.
Dnk ile arpmaya esdegerdir. Tm bilgi bitleri devreyegirdiginde
yazcdaki n k bilesen kod szcgnn eslik denetimbilesenlerini
olusturur.
(2) Kap kapatlarak geri besleme baglants kesilir.(3) Eslik
denetim bilesenleri dsar atlarak kanaldan gnderilir.
RNEK. g(D) = 1 + D + D3 okterimlisi tarafndan retilen
(7,4)evrimsel kodunun kodlayc devresi Sekil 6.2deki gibidir. Bu
kodlaycile a = (1101) bilgi dizisinin kodlanmas durumunda bilgi
bitlerinin hertelenmesi iin telemeli yazc ierigi
Bilgi biti telemeli yazcBaslang 0001. teleme 1 1102. teleme 0
0113. teleme 1 0014. teleme 1 000
biiminde degisir ve sonu olarak x= (0001101) kod szcg olusur.
Karsdsen kod okterimlisi de x(D) = D3+D4+D6dr.
Bir evrimsel kodlayc, kodun eslik okterimlisinden yararlanarak
datasarlanabilir.
h(D) = 1+h2D+ +hkDk1+Dk
olmak zere bir kod szcg x = (x1,x2, . . . ,xn) ile gsterilsin.
Daha nceverilen
k+1
i=1
hixni j+2 = 0 1 j n k
esitlikleri toplamdaki i = k+1e iliskin terim ayrlarak,
xnk j+1 =k
i=1
hixni j+2 1 j n k
-
EVRIMSEL KODLAYICILAR 109
Kap 1Giri
k
Kap 2
N
kh 1kh 2h
SEKIL 6.3. h(D)ye dayal (n,k) evrimsel kodlayc.
biiminde yazlabilir. j = 1,2, . . . ,n k iin bu esitlikler ak
olarak,xnk =h1xn+h2xn1+ +hkxnk+1
xnk1 =h1xn1+h2xn2+ +hkxnk...
x1 =h1xk+1+h2xk + +hkx2biiminde ifade edilirse, sol tarafta n k
tane eslik denetim bileseninin ktane bilgi bileseni ve bir nceki
admda elde edilmis eslik denetim bitiyardmyla elde edilebilecegi
grlr. Bu esitliklere dayal kodlayc devresiSekil 6.3te
verilmistir.
Kodlama islemi su admlar kapsar:(1) Baslangta 1 kaps ak olup 2
kaps kapaldr. k bilgi biti
telemeli yazc ile kanala ayn anda gnderilir.(2) k bilgi biti
telemeli yazcya girer girmez 1 kaps kapanr ve 2
kaps alr. Ilk eslik biti
xnk =h1xn+h2xn1+ +hkxnk+1=ak +h2ak1+ +hka1
N noktasnda olusur.(3) telemeli yazc bir kaydrlr, ilk eslik biti
kanala ve telemeli
yazcya girer. Ikinci eslik biti
xnk1 = h1xn1+h2xn2+ +hkxnkN noktasnda olusur.
(4) 3. adm n k eslik biti olusup kanala kaydrlncaya kadarsrdrlr.
Sonra 1. kap alarak 2. kap kapatlr.
Bu devre k basamakl telemeli yazc kullanmaktadr. nceki
kodlaycdevresi ile bu devre karslastrlrsa su yorum yaplabilir:
Bilgi bilesenindenok eslik denetim biti olan kodlar iin k basamakl
kodlayc devresi dahaekonomiktir. Tersi durumda n k basamakl kodlayc
devresi yeglenir.
RNEK. g(D) = 1 + D + D3 okterimlisi tarafndan retilen
(7,4)evrimsel kodu iin h(D) = 1+D+D2 +D4 eslik okterimlisine
dayal
-
110 HATA BELIRTECININ BULUNMASI
Kap 1Giri
k
Kap 2
N
SEKIL 6.4. h(D)ye dayal (7,4) evrimsel kodlayc.
kodlayc devresi Sekil 6.4te verilmistir. Bu devre yardmyla a =
(1001)bilgi dizisini kodlayalm.
j = 1,2,3 iin eslik denetim denklemleri
x4 j = x8 j + x7 j + x6 jolup x4 = a1 = 1, x5 = a2 = 0, x6 = a3
= 0, x7 = a4 = 1,
x3 =x7+ x6+ x5x2 =x6+ x5+ x4x1 =x5+ x4+ x3
denklemlerinde yerine konursa x3 = 1, x2 = 1, x1 = 0 bulunur ve
x =(0111001) kod szcg elde edilir.
6.5. Hata Belirtecinin Bulunmas
Bir x kod szcg iletildiginde kanal ksnda alnan vektr r =(r1,r2,
. . . ,rn) olsun. Dogrusal bir kodun zlmesinde ilk adm b = rHThata
belirtecinin bulunmasdr. b sfrsa r bir kod szcgdr. Eger bsfrdan
farklysa r bir kod szcg degildir ve hata saptanms olur. ryekars
dsen okterimli
r(D) = r1+ r2D+ r3D2+ + rnDn1olmak zere r(D), g(D)ye blnrse
r(D) = c(D)g(D)+b(D)
elde edilir. b(D) kalan nk1 veya daha dsk dereceli bir
okterimlidir.b(D)nin n k tane katsays b hata belirtecini olusturur.
b(D) ancak veancak r(D) bir kod okterimlisi ise sfrdr. Hata
belirteci Sekil 6.5tekidevre yardmyla elde edilebilir.
Kodun evrimsel yaps nedeniyle hata belirte okterimlisi
b(D)asagda verilen zellige sahiptir.
TEOREM. b(D), r(D)nin hata belirte okterimlisi olsun.
Db(D)ning(D)ye blmnden kalan b1(D) de r(1)(D)nin hata
belirteokterimlisidir.
-
HATA BELIRTECININ BULUNMASI 111
1b 2b
2g 3g
n kb
n kg
Kap
r
SEKIL 6.5. (n,k) evrimsel kodu iin hata belirte devresi.
1b 2b 3b
Kap
KapGiri
1r
SEKIL 6.6. (7,4) evrimsel kodu hata belirte devresi.
KANIT. Dix(D) = p(D)(Dn+1) + x(i)(D) ve p(D) = xni+1 +xni+2D+ +
xnDi1 oldugundan, i = 1 ve x r iin,
Dr(D) = rn (Dn+1)+ r(1)(D)
ve buradanr(1)(D) = rn (Dn+1)+Dr(D)
yazlr. Her iki yan g(D)ye blnp Dn+1= g(D)h(D) iliskisi
kullanlrsa,
f(D)g(D)+v(D) = rng(D)h(D)+D [c(D)g(D)+b(D)]
olup burada v(D), r(1)(D)nin g(D)ye blmnden kalandr.
Dolaysylar(1)(D)nin hata belirtecidir. Bu ifade dzenlenirse,
Db(D) = [f(D)+ rnh(D)+Dc(D)]g(D)+v(D)
elde edilir. Buradan v(D)nin ayn zamanda Db(D)nin g(D)yeblmnden
kalan oldugu grlr.
Db(D) = d(D)g(D)+b1(D)
oldugundan v(D) = b1(D)dir. Buna gre, Dib(D)nin g(D)yeblmnden
kalan bi(D)nin r(i)(D)nin hata belirteci oldugu sonucunavarlr.
r(i)(D), r(D)nin i kadar saga evrimsel telenmisidir. Bu
zellik,evrimsel kodlarn zlmesinde yararl olmaktadr. Burada b1(D),
hatabelirte yazcsnn ierigi b(D) iken, girisi susturarak, kaydrma
yoluylaelde edilir.
RNEK. g(D) = 1 + D + D3 okterimlisi yardmyla retilen
(7,4)evrimsel koduna iliskin hata belirte devresi Sekil 6.6da
verilmistir. Kanal
-
112 HATA BELIRTECININ BULUNMASI
ksnda elde edilen vektr r = 1010110 olsun. Bu durumda hata
belirteyazcsnn ierigi adm adm syle degisir.
teleme Giris Yazc Ierigi 0001 0 0002 1 1003 1 1104 0 0115 1 0116
0 1117 1 001
Buna gre r alnan vektrne kars dsen hata belirteci b =
001dir.Hata belirte yazcsnn ierigi 001 iken giris susturulur ve
ierikkaydrlrsa ierik b1 = 110 olur ve bu da rnin bir saga
evrimseltelenmisi r(1) = 0101011in hata belirtecidir. Hata belirte
yazcs bir kezdaha kaydrlrsa ierigi b2 = 011 olur ki bu da r(2) =
1010101in hatabelirtecidir.
x(D) iletilen kod okterimlisi olsun ve hata okterimlisi
e(D) = e1+ e2D+ e3D2+ + enDn1ile gsterilsin. Buna gre alnan
okterimli
r(D) = x(D)+ e(D)
dir. x(D), rete okterimlisi g(D)nin bir kat oldugundan x(D)
=a(D)g(D) iliskisini saglar. r(D) = c(D)g(D)+b(D) oldugu da gz
nndebulundurulursa
e(D) =x(D)+ r(D)=[a(D)+ c(D)]g(D)+b(D)
yazlr. Buradan, hata belirtecinin, hata okterimlisinin
g(D)yeblmnden kalan oldugu anlaslmaktadr. Hata belirteci, alnan
rvektr yardmyla hesaplanabilir, ancak kod zc e hata vektrnbilmez. O
halde kod zc b(D)ye bakarak e(D)yi kestirecektir. e(D)bir eskme
ncsne kars dsyorsa ve basitlestirilmis kod zme tablosukullanlyorsa
e(D), b(D) yardmyla dzeltilebilir.
6.6. evrimsel Kodlarn zlmesi
evrimsel kodlar dogrusal olduklarndan kod zme islemi admkapsar:
1) Hata belirtecinin belirlenmesi, 2) Hata belirtecine bir
hatadizisinin kars dsrlmesi, 3) Hata dzeltme.
evrimsel kodlarda hata belirtecinin belirlenmesi, karmasklg
eslikdenetim bitlerinin says n k ile orantl bir blme devresi
ilegereklestirilir. Hata dzeltme islemi, hata dizisinin alnan
vektrlemodlo-2 toplanmasdr. Bu islem seri olarak tek bir EXOR
kapsyla,
-
EVRIMSEL KODLARIN ZLMESI 113
irtelemeli YazcKap Dzeltilmi kr
Kap
Kap
Hata Belirte Yazcs
Kap
Hata Dizisi Sezme Devresi Kap
ie
HataDzeltme
Hata Belirteci Dzeltme
SEKIL 6.7. evrimsel Kod zc Blok Diyagram.
paralel olarak n tane EXOR kapsyla gereklestirilebilir. Hata
belirtecininhata dizilerine kars dsrlmesi islemi, iliskin tablonun
birlesimselbir mantk devresiyle gereklestirilmesi yoluyla yaplr.
Kod zckarmasklg n ile stel olarak artar. Ancak evrimsel kodlarn
cebirselzellikleri uygun biimde kullanlrsa, kod zme devresinde
birtakmbasitlestirmeler olanakldr. Kod zcnn genel blok
diyagramSekil 6.7de verilmistir. Bu kod zc Meggitt kod zc
olarakadlandrlr ve herhangi bir evrimsel koda uygulanabilir. Kod
zcnnkarmasklg tamamen hata belirtecine kars dsen hata dizisini
belirlemedevresinin karmasklgna bagldr. Baz durumlarda bu devre
basittir.
Kod zme su admlardan olusur:
(1) Alnan vektr, hata belirte yazcsna kaydrlarak hata
belirteciolusturulur. Alnan vektr ayn zamanda bir telemeli
yazcdatutulur.
(2) Hata belirtecinden birlesimsel bir mantk devresi yardmyla
iliskindzeltilebilir hata dizisi belirlenir. Bu devrenin ks, ancak
veancak hata belirteci, en sagdaki bileseni hatal bir
dzeltilebilirhata dizisine kars dstgnde 1 olacak biimde
tasarlanmstr.Diger bir deyisle, hata dizisi belirleme devresinin
ksnda1 grlmesi, alnan vektr yazcsnn en sagndaki bileseninhatal
oldugu ve dzeltilmesi gerektigi anlamna gelmektedir.0 grlmesi ise
iliskin alnan bilesenin hatasz oldugu ve hatadzeltme islemine gerek
olmadg anlamna gelmektedir.
(3) Ayn anda alnan vektr ve hata belirteci, yazclar ierisindebir
kaydrlr. Hatal bilesen, hata dizisi belirleme devresi ksyardmyla
dzeltilir. Bu ks ayn zamanda hata belirte
-
114 EVRIMSEL KODLARIN ZLMESI
1s
Alnan Vektr YazcsKap
Dzeltilmi kr
Kap Kap
Kap
HataDzeltme
2s 3s
SEKIL 6.8. (7,4) evrimsel Kod zc.
yazcsna geri beslenir, bylece hata etkisi hata
belirtecindentemizlenir ve yeni bir hata belirteci olusur.
(4) Yeni hata belirteci, alnan vektrn simdi en sagda olan
bilesenininhatal olup olmadgn sezmede kullanlr. Kod zc, 2. ve3.
admlar alnan vektrn tm bilesenleri en sagdaki konumagelene kadar
srdrr.
RNEK. g(D) = 1 + D + D3 okterimlisi yardmyla retilen
(7,4)evrimsel kodunu ele alalm. Bu kod iin minimum uzaklk 3 olup
kod tekhata dzeltebilir. 7 tane tek hatal hata dizisi vardr ve
bunlar dzeltilebilirtm hata dizilerini olustururlar. Dzeltilebilir
hata okterimlileri ve iliskinhata belirte okterimlileri asagda
verilmistir.
Hata okterimlisi Hata Belirte okterimlisi1 1D DD2 D2
D3 1+DD4 D+D2
D5 1+D+D2
D6 1+D2
Bu tablodan, alnan vektrn hata belirteci rnegin b = 110
isedzeltilebilir hata dizisinin e = 0001000 oldugu anlaslmaktadr.
Budurumda kanal iletilen kod szcgnn tek bilesenini bozmussa
hatadzeltilecek ve dogru karar verilecektir.
Sekil 6.8de g(D) = 1+D+D3 okterimlisince retilen (7,4)
evrimselkoduna iliskin kod zc devresi grlmektedir.
Kodlaycnn x= (0111001) kod szcgn ilettigini ve kanal ksndar =
(0110001) vektrnn alndgn varsayalm. Grldg gibi yalnzcaD3n katsays
olan bilesen hataldr ve kod zc bu hatay dzeltebilir.
-
EVRIMSEL KODLARIN PATLAMALI HATA SEZME YETENEGI 115
Alnan r vektrne kars dsen hata belirteci daha nce anlatlan
yollab = 110 olarak bulunur. Hata belirteci belirlendikten sonra
hata dzeltmeislemine geilir. Bu islemin admlar asagda
verilmektedir.
DzeltmeAlnan Vektr Yazcs
0 1 0 0 0 11
Hata 0
1 01
Hata BelirteYazcs
Balang
0 1 0 0 01 1
0
10 11. teleme
0 1 0 00 1 1
0
1 112. teleme
0 0 0 1 1 01
1
1 103. teleme
1 0 1 0 1 10
0
0 004. teleme
1 1 0 1 0 10
0
0 005. teleme
1 1 0 0 1 01
0
0 006. teleme
0 1 1 0 0 11
0
0 007. teleme
Hata Dzeltildi
Dzeltilmi Szck
6.7. evrimsel Kodlarn Patlamal Hata Sezme Yetenegi
Bir (n,k) evrimsel koduna iliskin bir x kod szcg
kanaldaniletildiginde e hata dizisi n k veya daha dsk uzunlukta
patlamal hatadizisi olsun, yani n k veya daha dsk sayda ardsl
bileseni 1 iersin.Buna gre,
e = (00 . . .0 1101 . . .1 n k veya dahadsk uzunlukta
patlama
00 . . .0)
-
116 EVRIMSEL KODLARIN PATLAMALI HATA SEZME YETENEGI
olup eye kars dsen okterimli
e(D) = D jc(D) 0 j n1olarak ifade edilebilir. Burada c(D) n k 1
veya daha dsk dereceli birokterimlidir. c(D)nin derecesi
g(D)ninkinden daha dsk oldugundanc(D), g(D)ye blnemez. g(D), Dn +
1in bir arpan oldugundan ve D,g(D)nin bir arpan olmadgndan g(D) ve
D j karslkl asaldr. O haldee(D) =D jc(D), g(D)ye tam blnemez. Sonu
olarak e(D)ye kars dsenhata belirteci sfrdan farkldr. Bunun anlam
bir (n,k) evrimsel kodununn k veya daha dsk uzunlukta patlamal hata
dizilerini sezebildigidir.
evrimsel bir kod iin
e = (101000 . . .01101)hata dizisi 7 uzunlukta patlamal hata
dizisi olarak kabul edilebilir ve (n,k)evrimsel kodu bu biimdeki n
k veya daha dsk uzunlukta patlamalhata dizilerini de sezer.
Gerekte n k+ 1 veya daha uzun patlamal hata dizilerinin de
bykksm sezilir. ei = ei+nk = 1 olmak zere i. bilesende baslayp i+
nk. bilesende biten n k+1 uzunluklu bir hata patlamas gz nne
alalm.Bu biimde 2nk1 farkl patlama vardr. Bu patlamalardan
yalnzca
e(D) = Dig(D)
biiminde olan sezilemez. O halde i. bilesende baslayan nk+1
uzunluklusezilemeyen hata patlamalarnn oran 2(nk1)dir.
l > n k+ 1 iin, i. bilesende baslayan ve i+ l 1. bilesende
biten luzunluklu 2l2 farkl patlama vardr. Bu patlamalardan
sezilemeyenler,
e(D) = Dia(D)g(D)
biiminde olanlardr. Burada
a(D) = a1+a2D+ +al(nk)Dl(nk)1
olup a1 = al(nk) = 1dir. Dolaysyla, bu sekilde sezilemeyen
2l(nk)2farkl patlama vardr. O halde i. bilesende baslayan l
uzunluklu sezilemeyenpatlamalarn oran 2l(nk)2/2l2 = 2(nk)dr.
Sonu olarak, evrimsel kodlar patlamal hatalarn sezilmesinde
sonderece etkilidir.
6.8. Ksaltlms evrimsel Kodlar
l < k olmak zere k l uzunluklu bilgi dizilerini evrimsel bir
(n,k)koduyla kodlamak isteyelim. Bilgi dizisi
a = (a1,a2, . . . ,akl,0,0, . . . ,0 l tane
)
-
KISALTILMIS EVRIMSEL KODLAR 117
biiminde gsterilsin. (n,k) kodu sistematik ise kod szcg
x = (x1,x2, . . . ,xnk,a1,a2, . . . ,ak1,0,0, . . . ,0 l
tane
)
biiminde olacaktr ve sondaki l tane sfr alc bildiginden
iletilmelerinegerek olmayacaktr. Bu durumda kod szck uzunlugu n
ldir ve kod (nl,k l) dogrusal kodudur. Bu kod evrimsel degildir
ancak en az tretildigi(n,k) kodu kadar hata dzeltme yetenegine
sahiptir.
RNEK. g(D) = 1+D+D3 rete okterimlisi yardmyla retilen(7,4)
evrimsel kodunu ele alalm. Bu kodun rete matrisi
sistematikyapda
G =
1 1 00 1 11 1 11 0 1
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
olup l = 1 iin ksaltlms (6,3) kodunun rete matrisi G matrisinin
sonsatr ve son stununu silerek
Gk =
1 1 00 1 11 1 1
1 0 00 1 00 0 1
biiminde olusturulabilir. Kars dsen eslik denetim matrisi de
Hk =
1 0 00 1 00 0 1
1 0 11 1 10 1 1
olacaktr.
Ksaltlms evrimsel kodlar, tretildikleri evrimsel kodunkine
benzerbir kod zc ile zlebilirler.
r(D) = r1+ r2D+ r3D2+ + rnlDnl1alnan okterimli olsun. r(D)yi
zmek iin (n l,k l) ksaltlmsevrimsel kodunun tretildigi (n,k)
evrimsel koduna iliskin kod zcdevresinden yararlanlabilir nk bilgi
dizisi ann sonundaki l tane sfreslik denetim ve hata belirte
hesaplarn etkilemez. Alnan vektrn rnlbilesenini zmek iin uygun hata
belirte yazcs ierigi, Dnklr(D)ning(D)ye blmnden kalandr. r(D)yi
hata belirte yazcsna sagdantelemek r(D)yi Dnk ile arpmaya denk
oldugundan, r(D)yi yazcyabtnyle teledikten sonra yazc ierigi l kez
evrimsel kaydrlmaldr.Bu fazladan l kez telemeden hata belirte
yazcsnn baglantsndegistirerek kurtulunabilir: Dnklr(D)yi g(D)ye
blerek
Dnklr(D) = a1(D)g(D)+bnkl(D)yazlabilir. Bu kez Dnklyi g(D)ye
blelim ve kalan
(D) = 1+2D+ +nkDnk1
-
118 KISALTILMIS EVRIMSEL KODLAR
2g 3g n kg
Kap
( )Dr1 2 n k
Kap
1n kg
1n k 3
SEKIL 6.9. r(D)yi (D) ile arpma ve g(D)ye blmedevresi.
ile gsterelim. Buradan (D) = Dnkl +a2(D)g(D) yazlr ve
(D)r(D) = [a1(D)+a2(D)r(D)]g(D)+bnkl(D)
elde edilir. Bu bagntdan bnkl(D) hata belirtecinin r(D)yi (D)ile
arpp, arpm g(D)ye blerek elde edilebilecegi anlaslmaktadr.bnkl(D)
bu yolla hesaplandgnda hata belirte yazcsnn fazladan l
keztelenmesine gerek kalmaz. Bu durumda kullanlacak devre Sekil
6.9daverilmistir.
evrimsel fazlalk denetim (CRC) kodlar ksaltlms evrimsel
kodlarolup zellikle otomatik yineleme istemeli (ARQ) sistemlerde
hata sezmeamal olarak kullanlrlar. CRC kodlar, hata dzeltme
yetenekleriolmadgndan hata basarmn artrmak iin baska bir hata
dzeltme koduylabirlikte kullanlabilirler.
RNEK. 16-bit CRC-CCITT kodu iin
g(D) = 1+D5+D12+D16
olup kod szckleri D16a(D) bilgi okterimlisini g(D)ye blerek
eldeedilir. Kod szckleri k bilgi biti ve onlar izleyen 16 eslik
denetim bitindenolusur. Kod bir (k+16,k) kodudur. Kodlama islemi
srasnda bilgi bitlerininsonuna, CRC hesabnda kullanlmak zere iki
sfr biti eklenir. Alcda, kodzc yalnzca bilgi bitleri iin CRC hesab
yapar ve sonucu CRC bitlerineekler ve sonucun sfr olup olmadgna
bakar.
Bir (n,k) evrimsel kodundan tretilmis CRC kodu n k veya dahadsk
uzunluklu tm patlamal hatalar sezer. Sezemedigi n k + 1uzunluklu
patlamal hatalarn oran 2(nk+1)dir.
Yaylms spektrumlu hcresel sistemler iin
g(D) =1+D+D2+D6+D7+D8+D11+D12+D13
+D15+D20+D21+D29+D30
-
PROBLEMLER 119
olan CRC kodu kullanlrken ATM protokol iin
g(D) = 1+D+D2+D8
olan CRC kodu geerlidir.
Problemler
6.1. Asagdaki okterimlilerden hangilerinin kod szck uzunlugu n 7
olan bir evrimsel kod retebilecegini belirleyiniz. Iliskin
evrimselkodlarn (n,k) degerlerini belirterek kod szcklerini
yaznz.
a) 1+D3+D4
b) 1+D2+D4
c) 1+D+D3+D4
d) 1+D+D2+D4
e) 1+D3+D5
6.2. g(D) = 1 + D okterimlisinin nin her degeri iin bir
(n,k)evrimsel kodu retebilecegini gsteriniz. Iliskin k degerini
belirtiniz.g(D)nin rettigi (n,k) evrimsel kodunun rete ve eslik
denetimmatrislerini sistematik biimde olusturunuz. Kod szcklerinin
agrlklarhakknda ne sylenebilir?
6.3. bitlik bilgi dizilerini kodlayan bir evrimsel kodun eslik
denetimmatrisi Hnn bir satr 010010 biimindedir.
a) Kodun eslik denetim matrisini olusturunuz.b) Eslik
okterimlisi h(D)yi ve rete okterimlisi g(D)yi bulunuz.c) Kodun rete
matrisini olusturunuz.d) Kod okterimlilerini g(D) yardmyla elde
ederek iliskin kod
szcklerini belirtiniz.
6.4. Asagda birer kod szckleri verilen C1, C2 ve C3 evrimsel
kodlariin en byk dereceli rete okterimlilerini bulunuz. Her kodun
(n,k)parametrelerini ve ka hata dzeltebilecegini belirtiniz.
a) 100011 C1b) 111111 C2c) 011011 C36.5.a) g(D) = (1+D+D2 +D3
+D4)(1+D+D4)(1+D+D2) rete
okterimlisi kullanlarak bir (15,5) evrimsel kodu
tasarlanabileceginigsteriniz. Kodu sistematik biimde olusturarak
minimum uzaklgnbelirtiniz. Bu kod ka hata sezebilir? Ka hata
dzeltebilir?
b) g(D) = (1 + D15)/(1 + D + D2) rete okterimlisi
yardmylaretilen (15,2) evrimsel koduna iliskin kod szcklerini kars
dstkleribilgi dizileriyle birlikte yaznz. Kodun minimum uzaklgn
belirtiniz.
6.6. g(D) = 1+D4 +D6 +D7 +D8 rete okterimlisi 15 uzunluklukod
szcklerinden olusan bir C evrimsel kodu retiyor.
-
120 PROBLEMLER
a) rete ve eslik denetim matrislerini sistematik biimde
olusturunuz.Bu kod ka hata dzeltebilir?
b) Kodlayc devresini minimum sayda telemeli yazc
bellegikullanarak olusturunuz. a = (1010101) bilgi dizisine kars
dsen kodszcgn bu devre yardmyla adm adm elde ediniz.
c) Hata belirte devresini izerek, devre yardmyla y
=(111000001010001) grltl dizisine kars dsen hata
belirtecinibulunuz.