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Diseo factorial 3k
Notacin del diseo 3k
El diseo factorial 3k es un arreglo factorial de k factores que tiene 3niveles cada uno. Seusarn letras maysculas para denotar los factores y las interacciones de estos factores. Se harreferencia a los tres niveles de los factores como bajo, intermedio y alto (esta interpretacintiene ms sentido cuando los factores son cuantitativos o al menos ordinales).
Hay varias notaciones diferentes que se usan para representar estos niveles de los factores: unaposibilidad es representar los niveles de los factores con los dgitos 0 (bajo), 1 (intermedio) y 2(alto). Cada combinacin de tratamientos del diseo 3k se denotara por k dgitos, donde elprimer digito indica el nivel del factor A, el segundo digito indica el nivel del factor B, , y eldgito k-simo indica el nivel del factor K.
Este sistema de notacin pudo haberse usado en losdiseos k2 presentados, anteriormente,utilizando 0 y 1 en lugar del 1 negativo y el 1 positivo, respectivamente, pero se prefiri lanotacin 1 porque facilita la vista geomtrica del diseo y porque puede aplicarsedirectamente al modelado de regresin, la separacin en bloques y la construccin defactoriales fraccionados.
En el sistema de los diseos k3 , cuando los factores son cuantitativos, es comn denotar losniveles bajo, intermedio y alto con -1,0 y +1, respectivamente. Con esto se facilita el ajuste deun modelo de regresin que relaciona la respuesta con los niveles de los factores. Por ejemplo,considere el diseo 23 donde
1x represente al factor A y que
2x represente al factor B. un
modelo de regresin que relaciona y con 1x y 2x que se basa en este diseo es: 22222
111211222110 xxxxxxy (1)
La adicin de un tercer nivel de los factores permite que la relacin entre la respuesta y losfactores del diseo se modele como un modelo cuadrtico.
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El diseo 32
El diseo ms simple del sistema 3kes el diseo 32, el cual tiene dos factores, A y B, cadauno con tres niveles. La notacin a usarse es la digital (0, 1, 2).En un diseo 32, 00 denota la combinacin de tratamientos correspondiente a A y B ambos en
el nivel bajo, y 01 denota la combinacin de tratamientos correspondiente a A en el nivel bajo yB en el nivel intermedio., etc. En la siguiente figura (9-1) se muestra la representacingeomtrica de un diseo 3.
Y la representacin tabular, para una rplica, es la siguiente:
Factor A
Factor B 0 1 2
0 00 01 021 10 11 12
2 20 21 22
Puesto que estn presentes 3=9 combinaciones de tratamientos, los grados de libertad sedistribuyen de la siguiente manera:
8 grados de libertad entre estas combinaciones de tratamientos.o 2 grados de libertad para cada uno de los efectos principales (de A y de B).o 4 grados de libertad para la combinacin de A y B
32(n -1) grados de libertad del error.
32
n-1 grados de libertad totales.Donde n=nmero de rplicas
Cada efecto principal puede representarse con un componente lineal y uno cuadrtico, cadauno con un solo grado de libertad, como se observa en la ecuacin (1). Desde luego, estoslo tiene sentido si el factor es cuantitativo.
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La particin de la interaccin de dos factores AB puede hacerse de dos maneras:
Primer mtodo.-Consiste en subdividir AB en los cuatro componentes con un solo grado de libertad que
corresponden aABL X L,ABL X Q,ABQ X LyABQ X Q. esto puede hacerse ajustando los trminos2211222112 , xxxx y
2
2
2
11122 xx respectivamente.
Fuente deVariacin
Gradosde
Libertad
Suma deCuadrados
Cuadrados Medios Fcalc
A 2 SC[A] [ ]
2
SC ACMA CMA/CMError
A1 1 SC[A1] SC[A1] SC[A1]/CMErrorA2 1 SC[A2] SC[A2] SC[A2] /CMError
B 2 SC[B] [ ]
2
SC B
CMB CMB/CMErrorB1 1 SC[B1] SC[B1] SC[B1] ]/CMErrorB2 1 SC[B2] SC[B2] SC[B2] ]/CMError
AB 4 SC[AB] [ ]
4
SC ABCMAB CMAB/CMError
A1B1 1 SC[A1B1] SC[A1B1] SC[A1B1] /CMErrorA1B2 1 SC[A1B2] SC[A1B2] SC[A1B2] /CMErrorA2B1 1 SC[A2B1] SC[A2B1] SC[A2B1] /CMErrorA2B2 1 SC[A2B2] SC[A2B2] SC[A2B2] /CMError
Error 3 (n -1) SCError
3( 1)
SCErrorCMError
n
Total 3 n-1 SCTotal
* La descomposicin de los factores en sus efectos lineales y cuadrticos slo se realizapara factores cuantitativos
Segundo mtodo.-El segundo mtodo se basa en los cuadrados latinos ortogonales. Considere los totales delas combinaciones de los tratamientos para los datos del siguiente ejemplo:
Se piensa que la vida efectiva de una herramienta de corte instalada en una mquinacontrolada numricamente se afecta por la velocidad de corte y el ngulo de la herramienta.Se seleccionan tres velocidades y 3 ngulos, y se lleva a cabo un experimento factorial con2 rplicas. Los datos se presentan a continuacin:
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denotan por x1y x2, respectivamente, entonces se encuentra que las letras ocupan celdasde acuerdo al siguiente patrn:
Cuadrado bQ:x1+2x2=0 (mod 3)R:x1+2x2=1 (mod 3)
S:x1+2x2=2 (mod 3)
Por ejemplo, en el cuadrado b se observa que la celda de en medio corresponde a 11 x y12 x ; por lo tanto )3(mod03)1)(2(12 21 xx y Q ocupara la celda de en medio.
Cuando se consideran expresiones de la forma ApBp, se establece la convencin de que elnico exponente permitido en la primera letra es 1. si el exponente de la primera letra no es1, la expresin completa se eleva al cuadrado y los exponentes se reducen al modulo 3. Porejemplo, AB es lo mismo que AB porque: AB=(AB)=A4B=AB.
Los componentes AB y AB de la interaccin AB no tienen significado real y por general
no se incluyen en la tabla del anlisis de varianza. Sin embargo, esta particin en granmedida arbitraria de la interaccin AB en dos componentes ortogonales con dos grados delibertad es muy til para construir diseos ms complicados. Adems, no hay relacin entrelos componentes AB y AB de la interaccin y las sumas de cuadrados de ABL x L, ABL x Q,ABQ x L, ABQ x Q.Los componentes AB y AB de la interaccin pueden calcularse de otra manera. Considerelos totales de las combinaciones de los tratamientos en cualquiera de los cuadrados de lafigura 9-3.
Si se hace la suma de los datos en las diagonales hacia debajo de izquierda a derecha, seobtienen los totales -3+4-1=0 , -3+10-1=6 y 5+11+2 =18. La suma de cuadrados entre
estos totales es 0 6 18 24 283*2 9*2
(AB).
-3 -3 5 -3 -3 52 4 10 2 4 10-1 11 -1 -1 11 -1
En forma similar, los totales de la diagonal hacia debajo de derecha a izquierda son5+4-1=8, -3+2-1=-2 y -3+11+10=18. La suma de cuadrados entre estos totales es18 ( 2) 8 24
33.343*2 9*2
(AB).
-3 -3 5 -3 -3 52 4 10 2 4 10
-1 11 -1 -1 11 -1
Yates llamo a estos componentes de la interaccin los componentes I y J de la interaccin,respectivamente. Se usaran aqu indistintamente las dos notaciones; es decir,
I(AB)=ABJ(AB)=AB
Cuadrado aQ:x1+x2=0 (mod 3)R:x1+x2=1 (mod 3)
S:x1+x2=2 (mod 3)
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Del Ejemplo 1:
ijkijjiijky )(
3,2,1i 3,2,1j
Yijk: vida efectiva de una herramienta de corte cuando se aplica el i-simo nivel de lavelocidad de corte y el j-simo nivel del ngulo de la herramienta: Efecto de la media Generali: Efecto del i-simo nivel de la velocidad de cortej: Efecto del j-simo nivel del ngulo de la herramienta()ij: Efecto de la interaccin del i-simo nivel de la velocidad de corte y el j-simo niveldel ngulo de la herramientaijk: Error asociado a la observacin en la que se aplic el i-simo nivel de la velocidad decorte y el j-simo nivel del ngulo de la herramienta.Utilizando R para obtener los resultados:diseno32
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En los grficos se puede apreciar que aparentemente se cumplen los supuestos dehomogeneidad de variancias (porque en el primer grfico no se observa ningn patrn depuntos) y el de normalidad parece no cumplirse (en el segundo grfico los puntos estnmuy alejadas de la lnea de probabilidad normal)
shapiro.test(residuals(modelo32))
Shapiro-Wilk normality test
data: residuals(modelo32)
W = 0.9209, p-value = 0.1343
Ho: Los errores se distribuyen normalmente con media 0 y variancia comn Ha: Los errores no se distribuyen normalmente con media 0 y variancia comn =0.05p-valor=0.1343A un n.s. del 5%, existe suficiente evidencia estadstica para afirmar que los errores sedistribuyen normalmente con media cero y variancia comn
bartlett.test(vida~velocidad+angulo+velocidad*angulo)
Bartlett test of homogeneity of variances
data: vida by velocidad by angulo
Bartlett's K-squared = 3.2781, df = 2, p-value = 0.1942
22
01
2
000 ...: H
:1
H Al menos un 22 ij i=1,2,3 j=1,2,3
=0.05p-valor=0.1942A un n.s. del 5%, existe suficiente evidencia estadstica para afirmar que las variancias sonhomogneasComo los supuestos s se cumplen, es factible realizar el Anlisis de Variancia para probarlas hiptesis
summary(aov(modelo32))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)velocidad 2 25.333 12.667 8.7692 0.007703 **
angulo 2 24.333 12.167 8.4231 0.008676 **
velocidad:angulo 4 61.333 15.333 10.6154 0.001844 **
Residuals 9 13.000 1.444
---
Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1
1
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Hiptesis:
A un nivel de significacin 0.05, no existe suficiente evidencia estadstica para afirmar que
al menos uno de las 3 velocidades de corte produce efectos diferentes sobre la vidaefectiva de una herramienta de corte
A un nivel de significacin 0.05, existe suficiente evidencia estadstica para afirmar que al
menos uno de los 3 ngulos de la herramienta produce efectos diferentes sobre la vida
efectiva de una herramienta de corte
A un nivel de significacin 0.05, existe suficiente evidencia estadstica para afirmar que al
menos una interaccin entre las 3 velocidades de corte y los 3 ngulos de la herramienta
produce efectos diferentes sobre la vida efectiva de una herramienta de corte.
par(mfrow=c(1,2))
interaction.plot(velocidad,angulo,vida)
interaction.plot(angulo,velocidad,vida)
Si queremos que el promedio de vida efectiva de una herramienta de corte instalada en unamquina sea mxima se tiene que tener una velocidad de 150 pulg/min con un ngulo de25 grados. Una velocidad de 175 pulg/min con 20 podra ser una segunda opcin.
0 1 2 3
1
: 0
: Al menos un 0, i=1,2,3i
H
H
0 1 2 3
1
: 0
: Al menos un 0, j=1,2,3j
H
H
0
1
: ( ) 0, para todas las i,j
:Al menos un ( ) 0; i,j=1,2,3
ij
ij
H
H
-1
0
1
2
3
4
5
velocidad
meanofvida
125 150 175
angulo
2
1
2
-1
0
1
2
3
4
5
angulo
meanofvida
15 20 25
velocida
1
1
1
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> velocidad angulo vida modelo31 summary(modelo31)
Call:
lm(formula = vida ~ I(velocidad) + I(velocidad^2) + I(angulo) +
I(angulo^2) + I(velocidad) * I(angulo) + I(velocidad^2) *
I(angulo) + I(velocidad) * I(angulo^2) + I(velocidad^2) *
I(angulo^2))
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.500e+00 -5.000e-01 1.760e-14 5.000e-01 1.500e+00
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) -1.068e+03 7.022e+02 -1.521 0.1626
I(velocidad) 1.448e+01 9.503e+00 1.524 0.1619
I(velocidad^2) -4.960e-02 3.164e-02 -1.568 0.1514
I(angulo) 1.363e+02 7.261e+01 1.877 0.0932 .
I(angulo^2) -4.080e+00 1.810e+00 -2.254 0.0507 .
I(velocidad):I(angulo) -1.864e+00 9.827e-01 -1.897 0.0903 .
I(velocidad^2):I(angulo) 6.400e-03 3.272e-03 1.956 0.0822 .
I(velocidad):I(angulo^2) 5.600e-02 2.450e-02 2.285 0.0481 *
I(velocidad^2):I(angulo^2) -1.920e-04 8.158e-05 -2.353 0.0431 *
---
Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1
Residual standard error: 1.202 on 9 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8952, Adjusted R-squared: 0.802F-statistic: 9.606 on 8 and 9 DF, p-value: 0.001337
> summary(aov(modelo31))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
I(velocidad) 1 21.333 21.333 14.7692 0.0039479 **
I(velocidad^2) 1 4.000 4.000 2.7692 0.1304507
I(angulo) 1 8.333 8.333 5.7692 0.0397723 *
I(angulo^2) 1 16.000 16.000 11.0769 0.0088243 **
I(velocidad):I(angulo) 1 8.000 8.000 5.5385 0.0430650 *
I(velocidad^2):I(angulo) 1 42.667 42.667 29.5385 0.0004137 ***
I(velocidad):I(angulo^2) 1 2.667 2.667 1.8462 0.2073056
I(velocidad^2):I(angulo^2) 1 8.000 8.000 5.5385 0.0430650 *
Residuals 9 13.000 1.444---
Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01* 0.05 . 0.1 1
La ecuacin del modelo es la siguiente:2 2
2 2 2 2
1068 14.48 0.0496 136.3 4.08 1.864 *
0.0064 * 0.056 * 0.000192 *
vida velocidad velocidad angulo angulo velocidad angulo
velocidad angulo velocidad angulo velocidad angulo
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La superficie de respuesta es la siguiente:
library(MASS)
library(spatial)
> superf32 superf332 contour(superf332)
Para maximizar el tiempo de vida, debe llevarse a cabo el proceso a una velocidad de corte
de aprox. 165 pulg/min y a 20.
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El diseo 33
En este caso hay tres factores bajo estudio (A, B y C) y cada uno de estos tiene 3 nivelesdispuestos en un experimento factorial. Se trata de un diseo factorial 3 3. La disposicinexperimental y la notacin de las combinaciones de los tratamientos (0,1,2) se presentan a
continuacin:
Y la representacin tabular, para una rplica
Puesto que estn presentes 33=27 combinaciones de tratamientos, los grados de libertad sedistribuyen de la siguiente manera:
2 grados de libertad para cada efecto principal (A, B, C) 4 grados de libertad para cada interaccin de 2 factores (AB, AC, BC) 8 grados de libertad para la interaccin de 3 factores (ABC) 33(n-1) grados de libertad para el error. 33n-1 grados de libertad totales Donde n: nmero de rplicas
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Las sumas de cuadrados pueden calcularse de manera usual; y si los factores soncuantitativos, los efectos principales pueden particionarse en un componente lineal (L) yuno cuadrtico (Q), cada uno con un grado de libertad.Las interacciones de 2 factores pueden descomponerse en efectos L*L, L*Q, Q*L, Q*Q.Finalmente la interaccin de 3 factores puede partirse en 8 componentes, cada uno con 1
grado de libertad: L*L*L, L*L*Q, L*Q*L, Q*L*L, Q*Q*L, Q*L*Q, L*Q*Q, Q*Q*Q. Sinembargo, esta ltima descomposicin no es de mucha utilidad.
Fuente deVariacin
Grados deLibertad
Suma deCuadrados
Cuadrados Medios Fcalc
A 2 SC[A] [ ]
2
SC ACMA CMA/CMError
A1 1 SC[A1] SC[A1] SC[A1]/CMErrorA2 1 SC[A2] SC[A2] SC[A2] /CMError
B 2 SC[B] [ ]
2
SC BCMB CMB/CMError
B1 1 SC[B1] SC[B1] SC[B1] ]/CMErrorB2 1 SC[B2] SC[B2] SC[B2] ]/CMErrorC 2 SC[C] [ ]
2
SC CCMC CMC/CMError
C1 1 SC[C1] SC[C1] SC[C1] ]/CMErrorC2 1 SC[C2] SC[C2] SC[C2] ]/CMError
AB 4 SC[AB] [ ]
4
SC ABCMAB CMAB/CMError
A1B1 1 SC[A1B1] SC[A1B1] SC[A1B1] /CMErrorA1B2 1 SC[A1B2] SC[A1B2] SC[A1B2] /CMErrorA2B1 1 SC[A2B1] SC[A2B1] SC[A2B1] /CMError
A2B2 1 SC[A2B2] SC[A2B2] SC[A2B2] /CMErrorAC 4 SC[AC] [ ]
4
SC ACCMAC CMAC/CMError
A1C1 1 SC[A1C1] SC[A1C1] SC[A1C1] /CMErrorA1C2 1 SC[A1C2] SC[A1C2] SC[A1C2] /CMErrorA2C1 1 SC[A2C1] SC[A2C1] SC[A2C1] /CMErrorA2C2 1 SC[A2C2] SC[A2C2] SC[A2C2] /CMError
BC 4 SC[BC] [ ]
4
SC BCCMBC CMBC/CMError
B1C1 1 SC[B1C1] SC[B1C1] SC[B1C1] /CMErrorB1C2 1 SC[B1C2] SC[B1C2] SC[B1C2] /CMError
B2C1 1 SC[B2C1] SC[B2C1] SC[B2C1] /CMErrorB2C2 1 SC[B2C2] SC[B2C2] SC[B2C2] /CMError
ABC 8 SC[ABC] [ ]
8
SC ABCCMBC CMABC/CMError
Error 33(n-1) SCError
3( 1)
SCErrorCMError
n
Total 33n-1 SCTotal
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La descomposicin de la interaccin ABC no es muy comn por no ser de utilidad en lamayora de los casos.
La descomposicin de los factores en sus efectos lineales y cuadrticos slo se realiza parafactores cuantitativos, de lo contrario el cuadro de ANVA slo debe presentarse as:
Cuadro de AnvaFuente de Var. GL SC CM FcalcA 2 SC(A) SC(A)/2 CMA/CMErrorB 2 SC(B) SC(B)/2 CMB/CMErrorC 2 SC(C) SC(C)/2 CMC/CMErrorAB 4 SC(AB) SC(AB)/4 CMAB/CMErrorAC 4 SC(AC) SC(AC)/4 CMAC/CMErrorBC 4 SC(BC) SC(BC)/4 CMBC/CMErrorABC 8 SC(ABC) SC(ABC)/8 CMABC/CMErrorError 3(n-1) SCError SCError/(3(n-1))Total 3n-1 SCTotal
Donde n: nmero de rplicas
Modelo Estadstico:
1,2,3 1,2,3 1,2,3
ijk i j k ijk ij ik jk ijk Y
i j k
Yijk: Observacin cuando se aplica el i-simo nivel del factor de A, el j-simo nivel delfactor de B y el k-simo nivel del factor de C: Efecto de la media Generali: Efecto del i-simo nivel del factor Aj: Efecto del j-simo nivel del factor B
k: Efecto del k-simo nivel del factor C()ij: Efecto de la interaccin del i-simo nivel del factor A y el j-simo nivel del factor B()ik: Efecto de la interaccin del i-simo nivel del factor A y el k-simo nivel del factor C()jk: Efecto de la interaccin del j-simo nivel del factor B y el k-simo nivel del factor Cijk: Error asociado a la observacin en la que se aplic el i-simo nivel del factor de A, el j-simo nivel del factor de B y el k-simo nivel del factor de C
Hiptesis:
0 1 2 3
1
: 0
: Al menos un 0, i=1,2,3i
H
H
0 1 2 3
1
: 0
: Al menos un 0, j=1,2,3j
H
H
0 1 2 3
1
: 0
: Al menos un 0, k=1,2,3k
H
H
0
1
: ( ) 0, para todas las i,j
:Al menos un ( ) 0; i,j=1,2,3
ij
ij
H
H
0
1
: ( ) 0, para todas las i,k
:Al menos un ( ) 0; i,k=1,2,3
ik
ik
H
H
0
1
: ( ) 0, para todas las j,k
: Al menos un ( ) 0; j,k=1,2,3
jk
jk
H
H
0
1
: ( ) 0, para todas las i,j,k
: Al menos un ( ) 0; i,j,k=1,2,3
ijk
jk
H
H
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Tambin puede utilizarse el mtodo de los cuadrados latinos ortogonales y particionar lasinteracciones de 2 factores en sus componentes I y J, y las de 3 factores en los componentesW, X, Y y Z. As:I(AB)=AB I(AC)=AC I(BC)=BCJ(AB)=AB J(AC)=AC J(BC)=BC
W(ABC)=ABC X(ABC)=ABC
Y(ABC)=ABC Z(ABC)=ABC
En ningn caso, la primera letra puede tener un exponente diferente a 1. En caso eso ocurradebe elevarse al cuadrado para corregir la situacin, por ejemplo:ABC(ABC)=A4BC=ABC
Ejemplo:Se usa una mquina para llenar contenedores metlicos de 5 galones con jarabe para unabebida gaseosa. La variable de inters es la cantidad de jarabe perdida debido al espumeo.Se piensa que 3 factores influyen en el espumeo: el diseo de la boquilla (A), la velocidadde llenado (B) y la presin de operacin (C). Se seleccionan 3 boquillas, 3 velocidades dellenado y 3 presiones, y se corren 2 rplicas de un experimento factorial 3. Los datos sonlos siguientes:
Tipo de boquilla (A)1 2 3
Velocidad (B)Presin (C) 100 120 140 100 120 140 100 120 140
10 -35 -45 -40 17 -65 20 -39 -55 15-25 -60 15 24 -58 4 -35 -67 -30
15 110 -10 80 55 -55 110 90 -28 110
75 30 54 120 -44 44 113 -26 13520 4 -40 31 -23 -64 -20 -30 -61 545 -30 36 -5 -62 -31 -55 -52 4
Modelo Estadstico:
1,2,3 1,2,3 1,2,3
ijk i j k ijk ij ik jk ijk Y
i j k
Donde:Yijk:Cantidad de jarabe perdida cuando se aplica la i-sima boquilla, la j-sima velocidadde llenado y la k-sima presin de operacin: Efecto de la media Generali: Efecto de la i-sima boquillaj: Efecto de la j-sima velocidad de llenadok: Efecto de la k-sima presin de operacin()ij: Efecto de la interaccin del i-simo nivel de la i-sima boquilla y la j-simavelocidad de llenado()ik: Efecto de la interaccin del i-simo nivel de la i-sima boquilla y la k-sima presinde operacin()jk: Efecto de la interaccin del j-simo nivel de la j-sima velocidad de llenado y lak-sima presin de operacin
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ijk: Error asociado a la Cantidad de jarabe perdida cuando se aplica la i-sima boquilla, laj-sima velocidad de llenado y la k-sima presin de operacinUtilizando R para obtener los resultados:> diseno333 boquilla velocidad presion jarabe modelo333 par(mfrow=c(2,2))> plot(modelo333)
En los grficos se puede apreciar que aparentemente no se cumplen los supuestos dehomogeneidad de variancias (porque en el primer grfico se observa un patrn de embudoabrindose a la derecha) ni el de normalidad (en el segundo grfico las colas estn muyalejadas de la lnea de probabilidad normal). Es necesario aplicar pruebas de hiptesis paraconfirmarlo:
-50 0 50 100
-40
-20
0
20
40
Fitted values
Residuals
Residuals vs Fitted
33
34
22
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
Theoretical Quantiles
Standardizedresiduals
Normal Q-Q
33
34
22
-50 0 50 100
0.0
0.5
1.0
1.5
Fitted values
Standardizedresiduals
Scale-Location333422
-2
-1
0
1
2
Factor Level Combinations
Standardizedresiduals
2 3 1boquilla :
Constant Leverage:Residuals vs Factor Levels
33
34
22
8/12/2019 5Quinto trabajoDiseo factorial 3^k
16/27
> shapiro.test(residuals(modelo33))
Shapiro-Wilk normality test
data: residuals(modelo33)
W = 0.9791, p-value = 0.462
Ho: Los errores se distribuyen normalmente con media 0 y variancia comn Ha: Los errores no se distribuyen normalmente con media 0 y variancia comn =0.05p-valor=0.462A un n.s. del 5%, existe suficiente evidencia estadstica para afirmar que los errores sedistribuyen normalmente con media cero y variancia comn
bartlett.test(jarabe~boquilla+velocidad+presion+boquilla*velo
cidad+boquilla*presion+velocidad*presion+boquilla*velocidad*p
resion)
Bartlett test of homogeneity of variances
data: jarabe by boquilla by velocidad by presion
Bartlett's K-squared = 1.6832, df = 2, p-value = 0.4312 2 2 2 2 2
0 000 001 002 010 222
2 2
1
: ...
: Al menos un i=1,2,3 j=1,2,3 k=1,2,3ijk
H
H
=0.05p-valor=0.431A un n.s. del 5%, existe suficiente evidencia estadstica para afirmar que las variancias son
homogneasComo los supuestos s se cumplen, es factible realizar el Anlisis de Variancia para probarlas hiptesis> summary(aov(modelo333))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
boquilla 2 994 497 1.1650 0.32710
I(velocidad) 1 1406 1406 3.2972 0.08052 .
I(presion) 1 400 400 0.9379 0.34142
I(velocidad^2) 1 59784 59784 140.1737 3.375e-12 ***
I(presion^2) 1 68705 68705 161.0911 6.805e-13 ***
boquilla:I(velocidad) 2 4012 2006 4.7036 0.01768 *
boquilla:I(velocidad^2) 2 2289 1144 2.6831 0.08653 .
boquilla:I(presion) 2 5022 2511 5.8877 0.00755 **
boquilla:I(presion^2) 2 2492 1246 2.9211 0.07105 .
I(velocidad):I(presion) 1 425 425 0.9966 0.32700I(presion):I(velocidad^2) 1 0 0 0.0003 0.98647
I(velocidad):I(presion^2) 1 1378 1378 3.2312 0.08344 .
I(velocidad^2):I(presion^2) 1 11051 11051 25.9110 2.390e-05 ***
boquilla:I(velocidad):I(presion) 2 528 264 0.6185 0.54621
boquilla:I(presion):I(velocidad^2) 2 1219 610 1.4292 0.25705
boquilla:I(velocidad):I(presion^2) 2 787 393 0.9221 0.40983
boquilla:I(velocidad^2):I(presion^2) 2 2096 1048 2.4567 0.10466
Residuals 27 11516 427---
Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1
8/12/2019 5Quinto trabajoDiseo factorial 3^k
17/27
No es prctico trabajar con todas las descomposiciones de las interacciones, entonces:> velocidad presion modelo33 summary(aov(modelo33))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
boquilla 2 994 497 1.1650 0.3271016
velocidad 2 61190 30595 71.7354 1.571e-11 ***
presion 2 69105 34553 81.0145 3.893e-12 ***
boquilla:velocidad 4 6301 1575 3.6934 0.0159498 *
boquilla:presion 4 7514 1878 4.4044 0.0071866 **
velocidad:presion 4 12854 3214 7.5348 0.0003269 ***
boquilla:velocidad:presion 8 4629 579 1.3566 0.2594959
Residuals 27 11516 427
---
Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1
Hiptesis:0 1 2 3
1
: 0
: Al menos un 0, i=1,2,3i
H
H
p-valor:0.32710
A un nivel de significacin 0.05, no existe suficiente evidencia estadstica para afirmar que
al menos uno de los tipos de boquilla produce efectos diferentes sobre la cantidad de
jarabe perdida.
0 1 2 3
1
: 0
: Al menos un 0, j=1,2,3j
H
H
p-valor: 1.571*10
-11
A un nivel de significacin 0.05, existe suficiente evidencia estadstica para afirmar que al
menos una de las 3 velocidades produce efectos diferentes sobre la cantidad de jarabe
perdida.
0 1 2 3
1
: 0
: Al menos un 0, k=1,2,3k
H
H
p-valor: 3.893*10-12
A un nivel de significacin 0.05, existe suficiente evidencia estadstica para afirmar que al
menos una de los 3 niveles de presin produce efectos diferentes sobre la cantidad de
jarabe perdida.
0
1
: ( ) 0, para todas las i,j
:Al menos un ( ) 0; i,j=1,2,3
ij
ij
H
H
p-valor:0.0159
A un nivel de significacin 0.05, existe suficiente evidencia estadstica para afirmar que al
menos una interaccin entre los tipos de boquilla y las 3 velocidades produce efectos
diferentes sobre la cantidad de jarabe perdida.
8/12/2019 5Quinto trabajoDiseo factorial 3^k
18/27
0
1
: ( ) 0, para todas las i,j
:Al menos un ( ) 0; i,k=1,2,3
ik
ij
H
H
p-valor:0.00718
A un nivel de significacin 0.05, existe suficiente evidencia estadstica para afirmar que al
menos una interaccin entre los tipos de boquilla y los 3 niveles de presin produce
efectos diferentes sobre la cantidad de jarabe perd0
1
: ( ) 0, para todas las j,k
: Al menos un ( ) 0; j,k=1,2,3
jk
jk
H
H
p-valor:0.0003
A un nivel de significacin 0.05, existe suficiente evidencia estadstica para afirmar que al
menos una interaccin entre las 3 velocidades y los 3 niveles de presin produce efectos
diferentes sobre la cantidad de jarabe perdida.
0
1
: ( ) 0, para todas las i,j,k
: Al menos un ( ) 0; i,j,k=1,2,3
ijk
jk
H
H
p-valor:0.2594
A un nivel de significacin 0.05, no existe suficiente evidencia estadstica para afirmar queal menos una interaccin entre los tipos de boquilla, las 3 velocidades y los 3 niveles de
presin produce efectos diferentes sobre la cantidad de jarabe perdida.> par(mfrow=c(2,2))
> interaction.plot(boquilla,velocidad,jarabe)
> interaction.plot(boquilla,presion,jarabe)
> interaction.plot(velocidad,presion,jarabe)
-60
-40
-20
0
20
40
boquilla
meanofjarabe
1 2 3
velocidad
140100120
-20
0
20
40
60
boquilla
meanofjarabe
1 2 3
presion
152010
-50
0
50
velocidad
meanofjarabe
100 120 140
presion
1520
10
8/12/2019 5Quinto trabajoDiseo factorial 3^k
19/27
Del grfico de interacciones se puede observar que si se desea obtener una cantidad
mnima promedio de jarabe perdido, el proceso debe desarrollarse a 120C, utilizar la
boquilla 2 (aunque la boquilla 3 produce prdidas muy parecidas a la boquilla 2) y a una
presin de 20.
Para cada boquilla, se puede ajustar un modelo de regresin y graficar una superficie de
respuesta (curva de nivel). No obstante, el diseo 3k
no es la forma ms eficiente demodelar una relacin cuadrtica.
Boquilla 1:> diseno33b1 diseno33b1
> velocidadb1 presionb1 jarabeb1 modelo11 summary(modelo11)
Call:lm(formula = jarabeb1 ~ I(velocidadb1) + I(velocidadb1^2) + I(presionb1)
+
I(presionb1^2) + I(velocidadb1) * I(presionb1))
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-32.056 -9.410 3.111 7.559 39.778
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1217.30556 434.89009 2.799 0.016071 *
I(velocidadb1) -31.25625 6.86061 -4.556 0.000659 ***
I(velocidadb1^2) 0.12917 0.02812 4.594 0.000618 ***I(presionb1) 86.01667 16.58082 5.188 0.000226 ***
I(presionb1^2) -2.87333 0.44989 -6.387 3.47e-05 ***
I(velocidadb1):I(presionb1) 0.02875 0.07953 0.362 0.724010
---
Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1
Residual standard error: 22.49 on 12 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8512, Adjusted R-squared: 0.7892
F-statistic: 13.73 on 5 and 12 DF, p-value: 0.0001298
> summary(aov(modelo11))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
I(velocidadb1) 1 147.0 147.0 0.2905 0.5997466
I(velocidadb1^2) 1 10677.8 10677.8 21.1026 0.0006176 ***I(presionb1) 1 3201.3 3201.3 6.3268 0.0271416 *
I(presionb1^2) 1 20640.1 20640.1 40.7912 3.470e-05 ***
I(velocidadb1):I(presionb1) 1 66.1 66.1 0.1307 0.7240096
Residuals 12 6071.9 506.0
---
Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1
8/12/2019 5Quinto trabajoDiseo factorial 3^k
20/27
Para la boquilla 1:_ 1217.306 31.256 0.129 86.017 2.873 0.03 *jarabe perdido velocidad velocidad presion presion velocidad presion
La superficie de respuesta es la siguiente:> superf1 superf11 contour(superf11)
>title("boquilla1")
-60
-40
-20
-20
0
0
20
20
40
40
60
6
0
100 110 120 130 140
10
12
14
16
18
20
boquilla 1
8/12/2019 5Quinto trabajoDiseo factorial 3^k
21/27
Boquilla 2> diseno33b2 velocidadb2 presionb2 jarabeb2 modelo22 summary(modelo22)
Call:
lm(formula = jarabeb2 ~ I(velocidadb2) + I(velocidadb2^2) + I(presionb2)
+
I(presionb2^2) + I(velocidadb2) * I(presionb2))
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-37.167 -17.125 -5.250 7.354 48.667
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 2526.66667 559.73997 4.514 0.000709 ***
I(velocidadb2) -50.69167 8.83018 -5.741 9.30e-05 ***
I(velocidadb2^2) 0.21063 0.03619 5.820 8.21e-05 ***
I(presionb2) 70.75000 21.34090 3.315 0.006164 **
I(presionb2^2) -2.41000 0.57904 -4.162 0.001318 **
I(velocidadb2):I(presionb2) -0.00750 0.10236 -0.073 0.942798
---
Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1
Residual standard error: 28.95 on 12 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8174, Adjusted R-squared: 0.7413
F-statistic: 10.74 on 5 and 12 DF, p-value: 0.0004211
> summary(aov(modelo22))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
I(velocidadb2) 1 310.1 310.1 0.3699 0.554380
I(velocidadb2^2) 1 28392.3 28392.3 33.8720 8.213e-05 ***
I(presionb2) 1 1800.8 1800.8 2.1483 0.168435
I(presionb2^2) 1 14520.2 14520.2 17.3227 0.001318 **
I(velocidadb2):I(presionb2) 1 4.5 4.5 0.0054 0.942798
Residuals 12 10058.7 838.2
---
Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1
Para la boquilla 2:
_ 2526.7 50.692 0.21 70.75 2.41 0.0075 *jarabe perdido velocidad velocidad presion presion velocidad presio
8/12/2019 5Quinto trabajoDiseo factorial 3^k
22/27
> superf2 superf22 contour(superf22)
> title("boquilla 2")
-80
-60
-60
-40
-40
-20
-20
0
0
20
20
40
40
60
60
100 110 120 130 140
10
12
14
16
18
20
boquilla 2
8/12/2019 5Quinto trabajoDiseo factorial 3^k
23/27
Boquilla 3> diseno33b3 velocidadb3 presionb3 jarabeb3 modelo33 summary(modelo33)
Call:
lm(formula = jarabeb3 ~ I(velocidadb3) + I(velocidadb3^2) + I(presionb3)
+
I(presionb3^2) + I(velocidadb3) * I(presionb3))
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-43.111 -24.403 5.889 20.764 42.389
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 1940.11111 609.21449 3.185 0.007854 **
I(velocidadb3) -46.05833 9.61067 -4.792 0.000439 ***
I(velocidadb3^2) 0.18958 0.03939 4.813 0.000424 ***
I(presionb3) 102.48333 23.22719 4.412 0.000847 ***
I(presionb3^2) -3.79667 0.63022 -6.024 5.99e-05 ***
I(velocidadb3):I(presionb3) 0.10500 0.11141 0.942 0.364536
---
Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1
Residual standard error: 31.51 on 12 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8457, Adjusted R-squared: 0.7814
F-statistic: 13.15 on 5 and 12 DF, p-value: 0.0001600
> summary(aov(modelo33))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
I(velocidadb3) 1 4961 4961 4.9966 0.045178 *
I(velocidadb3^2) 1 23003 23003 23.1661 0.000424 ***
I(presionb3) 1 420 420 0.4231 0.527668
I(presionb3^2) 1 36037 36037 36.2926 5.989e-05 ***
I(velocidadb3):I(presionb3) 1 882 882 0.8883 0.364536
Residuals 12 11915 993
---
Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1
Para la boquilla 3:
_ 1940.11 46.058 0.189 102.483 3.797 0.105 *jarabe perdido velocidad velocidad presion presion velocidad pr
8/12/2019 5Quinto trabajoDiseo factorial 3^k
24/27
> superf3 superf33 contour(superf33)
> title("boquilla 3")
Las grficas de contorno de las superficies de respuesta de la prdida de jarabe constante,
como una funcin de la velocidad y la presin para cada tipo de boquilla. Estas grficas
revelan informacin de considerable utilidad acerca del desempeo de este sistema de
llenado. Puesto que el objetivo es minimizar la prdida de jarabe, se preferira la boquilla
tipo 3, ya que los contornos observados ms pequeos (-80) slo aparecen en esta grfica.
Debern usarse la velocidad de llenado cerca del nivel intermedio de 120 rpm y el nivel de
presin bajo (10). Una conclusin algo similar se obtuvo con las grficas de interaccin de
factores.
-80
-60
-60
-40
-40
-20
-20
0
0
20
20
40
40
60
60
80
100
100 110 120 130 140
10
12
14
16
18
20
boquilla 3
8/12/2019 5Quinto trabajoDiseo factorial 3^k
25/27
Por otro lado, trabajando con los componentes ortogonales
Es matemticamente sencillo mostrar la particin numrica de la interaccin ABC en sus 4
componentes ortogonales con 2 grados de libertad cada uno, utilizando los datos del
ejemplo que se est trabajando.
A Totales
C B 1 2 3 I J
10
100 -60 41 -74 -198 -222
120 -105 -123 -122 -106 -79
140 -25 24 -15 -155 -158
15
100 185 175 203 331 238
120 20 -99 -54 255 440
140 134 154 245 377 285
20
100 9 -28 -85 -59 -144
120 -70 -126 -113 -74 -40
140 67 -51 58 -206 -155
Los datos en negrita son los totales por cada combinacin de tratamiento.
Por ejemplo -60=-35-25, -105=-45-60, etc.
Luego, el total para I, en el nivel C=10, se obtiene repitiendo la tabla de datos a la derecha
y sumando diagonalmente a la derecha:
-60 41 -74 -60 41 -74
-105 -123 -122 -105 -123 -122
-25 24 -15 -25 24 -15
-198=-60-123-15 -106=41-122-25 -155=-74-105+24
Y los totales para J, en el nivel C=10, se obtiene repitiendo la tabla de datos a la izquierda
y sumando diagonalmente a la izquierda
-60 41 -74 -60 41 -74
-105 -123 -122 -105 -123 -122
-25 24 -15 -25 24 -15
-222=-74-123-105 -79=41-105-15 -158=-60-122+24
El procedimiento es el mismo para los totales I para los niveles C=15 y C=20.
Despus los totales I(AB) y J(AB) se arreglan en una tabla de 2 vas con el factor C, y se
calculan los totales de las diagonales I y J de esta nueva disposicin:C I(AB) Totales C J(AB) Totales
I J I J
10 -198 -106 -155 -149 41 10 -222 -79 -158 63 138
15 331 255 377 212 19 15 238 440 285 62 4
20 -59 -74 -206 102 105 20 -144 -40 -155 40 23
8/12/2019 5Quinto trabajoDiseo factorial 3^k
26/27
Los totales de las diagonales I y J calculados arriba son en realidad los totales que
representan las cantidades I[I(AB)*C]=ABC, J[I(AB)*C]=ABC, I[J(AB)*C]=ABC
J[J(AB)*C]=ABC. O los componentes W, X, Y y Z de ABC.
( 149) (212) (102) 165
I I AB *C ABC [ ] 3804.1118 54
W ABC
(41) (19) (105) 165J I AB *C ABC [ ] 221.7718 54
X ABC
(63) (62) (40) 165
I J AB *C ABC [ ] 18.7718 54
Y ABC
(138) (4) (23) 165
J J AB *C ABC [ ] 584.1118 54
Z ABC
Luego 3804.11+221.77+18.77+584.11=4628.76
Que es muy similar a la SC obtenida por R:> summary(aov(modelo33))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
boquilla 2 994 497 1.1650 0.3271016
velocidad 2 61190 30595 71.7354 1.571e-11 ***presion 2 69105 34553 81.0145 3.893e-12 ***
boquilla:velocidad 4 6301 1575 3.6934 0.0159498 *
boquilla:presion 4 7514 1878 4.4044 0.0071866 **
velocidad:presion 4 12854 3214 7.5348 0.0003269 ***
boquilla:velocidad:presion 8 4629 579 1.3566 0.2594959
Residuals 27 11516 427
---
Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1
8/12/2019 5Quinto trabajoDiseo factorial 3^k
27/27
El diseo 3k
Los conceptos utilizados en los diseo 32y 3
3pueden extenderse a k factores, cada uno
con 3 niveles, es decir, a un diseo factorial 3k. Se mantiene la notacin digital. Hay 3k
combinaciones de tratamientos con 3k-1 grados de libertad entre ellas. Estas
combinaciones de tratamientos permiten determinar la suma d cuadrados de k efectos
principales cada uno con 2 grados de libertad,2
k
interacciones de dos factores cada una con 4
grados de libertad,3
k
interacciones de tres factores cada una con 8 grados de libertad, , y una
interaccin de k factores con 2k grados de libertad. Los grados de libertad totales son 3 kn-1 y los
grados de libertad para el error 3k(n-1) siendo n el nmero de rplicas.
Se recomienda no descomponer las interacciones de 3 factores y rdenes superiores. Sin embargo,
cualquier interaccin de h factores con tiene 2h-1 componentes ortogonales con 2 grados de
libertad. Por ejemplo, si interactan 4 factores ABCD hay 24-1=8 componentes ortogonales con 2grados de libertad cada uno, denotados por ABCD, ABCD, ABCD, ABCD, ABCD, ABCD, ABCD,
ABCD y ABCD. El exponente de la primera letra debe ser 1. Si no es 1, la expresin completa
debe elevarse al cuadrado y reducir los exponentes al mdulo 3. Por ejemplo:
ABCD=(ABCD)=A4BCD=A BCD
Estos componentes de la interaccin no tienen ninguna interpretacin fsica, pero son tiles para
construir diseos ms complejos.
El tamao del diseo se incrementa rpidamente con k, por ello con frecuencia, slo se considera
una sola rplica para el diseo 3k y las interacciones de rdenes superiores se combinan para
proporcionar una estimacin del error