59264520 Fisica Basica Solucionario Capitulo 1 Tipler

_________________________________________ CAPITULO 1 Introducción

1

LL ii bb rr oo ss oo ll uu cc ii oo nn aa rr ii oo

FFÍÍSSIICCAA

TOMO I

Autor Paul A. Tipler

Editorial

Reverté S.A.

Antonio Lázaro Morales

Diplomado en Ciencias Empresariales &

Licenciado en Marketing

FÍSICA (Paul Allen Tipler – 2ª Edición) _______________________________________

2


3

I

Introducción

Cuestiones

1. ¿Cuáles son las ventajas e inconvenientes de utilizar la longitud del brazo de una perso-na como patrón de longitud?

Como ventaja encontramos la sencillez, ya que dicha medida viene determinada por la longi-

tud del brazo de cada individuo, la cual está siempre disponible. Como inconveniente nos encontramos con la desigualdad en la longitud del brazo entre in-

dividuos. Así, por ejemplo, la longitud del brazo de un niño difiere notablemente de la longitud del brazo de un adulto, llegando ambos a medidas diferentes para una misma distancia. Imagínese que usted quiere comprar una mesa de tres brazos de largo; la longitud de la mesa será más corta o más larga de lo se esperaba, dependiendo de la longitud del propietario del brazo.

2. Cierto reloj adelanta constantemente a un reloj de cesio patrón en un 10%. Otro reloj

varía de un modo al azar en un 1%. ¿Qué reloj sería más útil como patrón secundario en un laboratorio? ¿por qué?

Sería más conveniente el que adelanta un 10%, pues si bien difiere más en valor absoluto de

la medida de tiempo exacta, sí sabemos que siempre adelanta, por lo que la medida exacta se obten-dría dividiendo el tiempo obtenido por el reloj de laboratorio entre 1,1.

El otro reloj se aproxima, en términos absolutos, más al valor exacto, ya que sólo difiere en un 1%, pero esta diferencia puede variar por encima o por debajo del tiempo exacto. Así, si llama-mos rt al tiempo real y st al tiempo del reloj de laboratorio, tenemos que en un experimento obte-nemos los siguientes datos:

xtr =

⎩⎨⎧

=−=+

=xxxxxx

ts 99,001,001,101,0

La relación que existe entre los tiempos es de

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

===

01,199,01

99,0

9900,001,11

01,1

xx

xx

tt

s

r

Así pues, el tiempo real se encontrará en el intervalo ) 01,1 , 9900,0( ss tt . Al variar al azar en

un 1% no podemos determinar el valor exacto, tan sólo podemos hallar el intervalo de tiempo en el que se encontrará este valor exacto.


4

Ejercicios

1. Las expresiones son las siguientes:

a) 1.000.000 vatios = MW 1 b) 0,002 gramos = mg 2

c) =× − metros 103 6 m3μ

d) 30.000 segundos = ks 30

2. Las expresiones son las siguientes: a) == W000040,0W 40 μ W1040 6−× b) == s 000000004,0ns 4 s 104 9−×

c) == W000.000.3MW 3 W103 6×

d) == m 000.25km 52 m 105,2 4×

3. Las expresiones son las siguientes: a) =− gritos 10 12 picogrito 1

b) =bajos 109 gigabajo 1

c) =− teléfonos10 6 onomicroteléf 1

d) =− niños 10 18 attoniño 1

e) = teléfonos106 nomegateléfo 1

f) =− cabras 10 9 nanocabra 1

g) = toros1012 teratoro1


5

4. Las unidades son las siguientes:

a) =1C m ; TCtCL ][][ 22 == → TLC =][ 2 , luego =2C m/s

b) 21

212

1 ][][ TCtCL == → 21 ][TLC = , luego =1C 2m/s

c) Las dimensiones de la velocidad al cuadrado son 2

222][

TL

TLv =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= .

LCxCTL ][]2[ 112

2

== → 21 ][TLC = , luego =1C 2m/s

d) Las funciones trigonométricas y exponenciales deben ser adimensionales, es decir, no tie-

nen dimensión. Por tanto, tenemos que:

=1C m

TCtC ][][1 22 == → 12

1][ −== TT

C , luego =2C 1s−

e) Las dimensiones de la velocidad son TLv =][ .

=1C m

TCtC ][][1 22 =−= → 12

1][ −== TT

C , luego =2C 1s−

5. Las dimensiones son las siguientes: a) m1 =C → =][ 1C L

m/s2 =C → =][ 2C 1−LT b) 2

1 m/s=C → =][ 1C 2−LT c) 2

1 m/s=C → =][ 1C 2−LT d) m1 =C → =][ 1C L

12 s−=C → =][ 2C 1−T

e) m/s1 =C → =][ 1C 1−LT

12 s−=C → =][ 2C 1−T


6

6. Las dimensiones de las constantes siguen siendo las mismas, ya que lo único que cambia son las unidades de medida.

7. Podemos representar la tierra como una circunferencia:

a) Una circunferencia está constituida por cuatro cuadrantes. Si la longitud del arco de cir-

cunferencia de un cuadrante de la tierra es de 107 metros, entonces la circunferencia del globo terrestre será igual a cuatro veces esta longitud, es decir, m 104 7× .

b) Por álgebra sabemos que la longitud de una circunferencia obedece a la expresión

Rl π2= , donde R representa el radio. Como la longitud l ya la hemos calculado en el apartado anterior, para obtener el radio sólo nos basta con despejar éste de la ecuación de

longitud =×

==ππ 2

m 1042

7lR m 1037,6 6×

c) Las respuestas en millas se calculan utilizando el factor de conversión 1 mi = 1.609 m.

Así pues, tenemos:

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×=

m 609.1mi 1m) 104( 7l mi 860.24

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×=

m 609.1mi 1m) 1037,6( 6R mi 1096,3 3×

A

B

A = Polo norte B = Ecuador

Distancia (A,B) = 107 metros


7

8. Las igualdades son las siguientes:

a) ≅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

km 1,609mi 1km/h) 100(km/h 100 mi/h 15,62

b) ≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

cm 10in 39,37cm) 60(cm 60 2

in 62,23

c) ≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yd 1,904m 1yd) 100(yd 100 m 52,52

9. Sustituyendo sus expresiones por las unidades que expresan tenemos:

a) === 1

smm

sm

2

2

2

2

xav aladimension

b) ==== 2

2

2 s

smm

m/sm

ax s

c) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∝ )(s

sm

21 2

222 atat m . Obviamos el valor numérico en el cálculo de las unidades,

ya que los números son adimensionales, es decir, no tienen dimensión y, por lo tanto, tampoco uni-dad.

10. Este factor de conversión lo podemos deducir del apartado a) del ejercicio 8. Así pues,

tenemos que este factor de conversión es:

mi/h 15,62km/h 100 = → 15,62

km/h 100mi/h 1 = → km/h 609,1mi/h 1 =

11. Las soluciones a los apartados son las siguientes:

a) ≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

mins 60

hmin 60

díah 24

añodías 365,24año) 1(año 1 s 103,16 7×

b) Para contar 1.000.000.000 $ = $ 109 hacen falta s 109 , y como tenemos el factor de con-

versión de años en segundos, la solución es ≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛× s 103,16año 1s) (10 7

9 años 31,7


8

c) Operando de forma similar al apartado anterior tenemos que la solución es

≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

×s 103,16

año 1s) 10(6 723 años 101,90 16×

12. En primer lugar despejamos la constante G, esto es 21

2

mmFrG = . Las unidades SI son:

=⋅

⋅

==kgkg

ms

mkg 22

21

2

mmFrG

kgsm2

3

y sus dimensiones

[ ] =GMT

L2

3

13. Los factores de conversión buscados son:

a) km/s 103m 10

km 1)s/m 103(mi/s 186.000 53

8 ×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×= . Como sabemos que las velocidades

son equivalentes y que en el mismo tiempo recorren la misma distancia km 103mi 186.000 5×= , el

factor de conversión entre la milla y el kilómetro es ≅××

= km 10186

103mi 1 3

5km 1,61

b) Los datos que nos dan son libras 62,4pie 1 3 = y g 1cm 1 3 = . Nos piden el peso en libras de 1 kg de masa., esto es:

≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×≅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

333

33

3

pielibras 62,4)pie1035,3(

cm 30,48pie 1)cm 1.000(

gcm 1g) 1.000(kg 1 libras 2,20

14. Los números son:

a) =× 4103 000.30

b) =× −3102,6 0062,0

c) =× −6104 000004,0

d) =× 51017,2 000.217


9

15. Los números son: a) 51000,1 × b) 81003,3 −× c) 231002,6 × d) 3104,1 −× 16. Los números son: a) 2102,12 × b) ≅× 6102566368,1 61026,1 × c) 51000,2 −× d) ≅×+× )1078,2()104,51( 22 31042,5 × e) ≅×=×+× −−− 555 1099,009.900.19)1099,9()10000.900.19( 21099,1 × 17. Los números son: a) ≅×=× 54 1013886,1)1099,9)(14,1( 51014,1 × b) ≅×=×−× −−− 998 1049,22)1031,5()1078,2( 81025,2 −× c) ≅×=× − 33 1026735,8)1056,4/(12π 31027,8 × d) ≅×=×+ 22 10266,6)1099,5(6,27 21027,6 ×


10

18. Los números son: a) ≅= 37,372.114)3,569)(9,200( 51014,1 × b) ≅=× 599,319)103,62)(000000513,0( 7 21020,3 × c) ≅=×+ 401,828.57)1078,5(401,28 4 41078,5 × d) ≅=× − 8657,167.15)1017,4/(25,63 3 41052,1 ×

19. Los valores de x son:

a) 15453 −=x → =−

=3

1545x 10

b) 9512−=

x →

54512 −

=x

→ =−=−

=4410

451)5)(2(x 22

5−

c) xx 3

2151−= →

xx

x 32451 −

= → 2453 −= x → =+

=45

23x 91

20. Los dos valores que puede tomar x son:

a) 01272 =+− xx → =±

=−±

=2

172

4877 2

x⎩⎨⎧

==

34

2

1

xx

b) 14 2 =x → ==41x

⎩⎨⎧

−=

=

21

2

21

1

xx

c) 0)126( =+xx → =1x 0 0126 2 =+x =−=6

122x 2−

d) 0162 2 =++ xx → =±−

=±−

=−±−

=4

7264

2864

866 2

x

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−=

+−=

273

273

2

1

x

x


11

21. Como la intensidad del sonido I es inversamente proporcional al cuadrado de la distan-cia d a la fuente, la fórmula genérica de la intensidad será:

2dCI =

La relación que existe entre dos intensidades es:

2

2

122

21

21

22

1

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

dd

dd

dCdC

II →

2

2

112 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ddII

a) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

22

2 m 4m 3)mW/m 4(I 2mW/m 25,2

b) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

22

2 m 6m 3)mW/m 4(I 2mW/m 00,1

c) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

22

2 m 10m 3)mW/m 4(I 2mW/m 360,0

d) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

22

2 m 2m 3)mW/m 4(I 2mW/m 00,9

22. Sabemos que la superficie y el volumen de un globo varían de forma directamente pro-porcional al radio de la esfera, es decir, a mayor radio mayor será la superficie y el volumen de la esfera. Llamamos 1r a la longitud del radio inicial y 2r a la longitud del radio cuando se hincha la esfera, sabiendo que 12 2rr = . Las fórmulas del volumen y superficie de una esfera obedecen a las siguientes expresiones: 3CrV = 2KrS = donde C y K son constantes. Pues bien, las relaciones que existen entre los volúmenes de la esfera antes y después de que ésta se hinche son:

81

)2( 31

31

32

31

2

1 ===rr

CrCr

VV


12

Sabiendo que antes de hinchar la esfera ésta tenía un volumen de 31 m 113,0=V , el nuevo

volumen, si se duplica su radio, será:

== 12 8VV 3m 904,0

De igual forma precedemos con las superficies:

41

)2( 21

21

22

21

2

1 ===rr

KrKr

SS

Sabiendo que antes de hinchar la esfera ésta tenía una superficie de 2

1 m 13,1=S , la nueva superficie, si se duplica su radio, será:

== 12 4SS 2m 52,4 23. Conociendo las siguientes conversiones:

º902=

π º454=

π º180=π º1354

3=

π

las respuestas son:

a) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2sen π 1

b) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2cos π 0

c) =π tg 0

d) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

4cos

4sen

4tg

π

ππ 1

e) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

4sen π

22

f) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

43cos π

22

−


13

24. Las conversiones son las siguientes:

a) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

πππ º18044

º45

b) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

πππ º1802

32

3 º270

c) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

πππ º18022

º90

d) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

πππ º18066

º30

e) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

πππ º1806

56

5 º150

25. Las conversiones son las siguientes:

a) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

º180)º60(º60 π rad

3π

b) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

º180)º90(º90 π rad

2π

c) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

º180)º30(º30 π rad

6π

d) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

º180)º45(º45 π rad

4π

e) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

º180)º180(º180 π rad π

f) ≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

º180)º37(º37 π rad 646,0

g) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

vueltaradvuelta 2

º360 1)º720(º720 π rad 4π


14

26. Los factores de conversión son:

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

s 60min 1

revrad 2πrev/min) 1(rev/min 1 rad/s

30π

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

rad π180ºrad/s

30πrev/min 1 s/º6

27. Vamos a calcular, en primer lugar, las vueltas que da el disco en un segundo:

rps 0,555s 60

min 1rpm) (33,3rpm 33,3 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Sabiendo este dato, los ángulos que el disco gira en 1 segundo son:

≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

vueltarad 2π vueltas)(0,555 vueltas0,555 rad 3,49

≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

vuelta360º vueltas)(0,555 vueltas0,555 º002

28. Sabemos que la longitud de una circunferencia es cm 302

22 ππππ ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== DDRl .

a) Un punto A situado en el borde del disco, al cabo de una vuelta habrá completado una dis-

tancia equivalente a la longitud del disco, ya que el punto volverá a estar en la misma posición que con respecto al principio (véase figura).

A A

l=30π cm

y

x


15

b) La velocidad en cm/s es de ≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

s 60min 1

vueltacm 30πrpm) (33,3rpm 33,3 cm/s 52,3

29. Gráficamente el problema es el siguiente:

==54cos 1θ 8000,0 ==

53sen 1θ 6000,0 ==

43tg 1θ 7500,0

==53cos 2θ 6000,0 ==

54sen 2θ 8000,0 ==

34tg 2θ 333,1

Para el cálculo de los grados de estos dos ángulos, lo haremos buscando para cualquiera de

los datos calculados anteriormente, aquellos grados que “rodean” el valor calculado. Por ejemplo, para el dato 8000,0cos 1 =θ vamos a comprobar en las tablas qué dos ángulos contienen este valor:

8090,0º36cos = y 7986,0º37cos =

El valor de la tangente del ángulo α es:

8000,08090,0º36

7986,08090,0º36º37 tg 1

−−

=−−

=θ

α → ≅= º8653,361θ º9,36

3

4 5

θ2

θ1

cos θ

37º

36º

0,7986 0,8090 0,8

θ

θ1 α


16

Como sabemos, los ángulos interiores de un triángulo han de sumar 180º, el valor de 2θ es inmediato, esto es 1809021 =++θθ , de donde: =−−= 9,36901802θ º1,53

30. El ejercicio es similar al anterior, siendo su gráfica la siguiente:

a) El valor de la hipotenusa nos lo da el teorema de Pitágoras, esto es:

222 cba =+ → ==+= 6882 22c 172

b) Los valores pedidos son:

==172

8cos 1θ 9701,0 ==1722sen 1θ 2425,0 ==

82tg 1θ 2500,0

==1722cos 2θ 2425,0 ==

1728sen 2θ 9701,0 ==

28tg 2θ 000,4

c) Por ejemplo, para el dato 2500,0 tg 1 =θ vamos a comprobar en las tablas qué dos ángulos

contienen este valor:

2493,0º14 tg = y 2679,0º15 tg =

a = 2

b = 8 c

θ2

θ1

tg θ

15º

14º

0,2493 0,2679 0,25

θ

θ1 α


17

El valor de la tangente del ángulo α es:

2493,02500,0º14

2493,02679,0º14º15 tg 1

−−

=−−

=θ

α → ≅= º0376,141θ º0,14

Como sabemos, los ángulos interiores de un triángulo han de sumar 180º, el valor de 2θ es

inmediato, esto es 1809021 =++θθ , de donde: =−−= 0,14901802θ º0,76 31. Las soluciones son:

a) =≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

45 2πrad

45 2πsen

180ºrad π)(8ºsen 8ºsen 0,140

b) =≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

36π

36rad π tg

180ºrad π)(5º tg5º tg 0,087

32. Desarrollando el binomio tenemos:

=−−

+−

++=+ 323

)2)(3()23)(13(3

2)13(331)1( xxxx 32331 xxx +++

Haciendo la multiplicación de forma directa obtenemos: 22 21)1)(1()1( xxxxx ++=++=+

=+++++=+++=++ 32222 221)1)(21()1()1( xxxxxxxxxx 32331 xxx +++

Como es lógico, los resultados coinciden. 33. Las soluciones son:

a) 21

212

121

21

)01,01(10)01,01(100100

11100100100100)1100(99 −=−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=

y utilizando la aproximación nxx n +≅+ 1)1( 1<<x

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+≅ )01,0(

2111099 95,9

b) =−+≅+=+

= − )1(01,01)01,01()01,01(

101,11 1

199,0


18

c) 31

331

31

31

31

)008,01(125125

11125125125125)1125(124 −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+≅ )008,0(

3115124 3

1

698,4

34. Utilizando la expresión 2)1( −+ x vamos a desarrollar esta expresión por el desarrollo del

binomio utilizando la ecuación 1-15, esto es:

...54321)1( 4322 ++−+−=+ − xxxxx

Es obvio que los coeficientes son: 10 =a 21 −=a 32 =a 43 −=a

54 =a y así sucesivamente. Por tanto, la expresión general del coeficiente na es:

=na )1()1( 2 +− − nn

Este desarrollo de serie infinita de potencias es válido para 1|| <<x . 35. Utilizando la aproximación nxx n +≈+ 1)1( tenemos que:

a) [ ] 22222 )02,01(10)02,01(10)2,010()8,9( −=−=−= [ ] =−+≅ )02,0(21100)8,9( 2 96 b) =−+≅−= )001,0(51)001,01()999,0( 55 995,0 c) =−≅+= −− )002,0(21)002,01()002,1( 22 996,0


19


20

Problemas

1. El ángulo θ , expresado en radianes, puede definirse como Mm 384

D=θ

Despejando el diámetro D en la fórmula anterior, tenemos que, aproximadamente, el diáme-tro de la luna vale:

≅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= Mm 51188,3

º180rad )º524,0Mm)( 384( πD Mm 51,3

2. La longitud de la rueda es de m 62,02

m 62,022

22 ππππ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

DRl .

a) Cuando el coche recorre 1 km, el número de vueltas que da es

≅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛m 0,62π

vuelta1m) (1.000 vueltas513,4

b) Expresamos la velocidad lineal de la rueda en rad/s, esto es:

rad/s 44,8 vuelta1

rad 2πkm 1 vueltas513,4

s 3.600h 1km/h) 50(km/h 50 ≅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Así pues, en 1 segundo la rueda recorre 44,8 radianes o, lo que viene a ser lo mismo:

≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

rad 2π vuelta1rad) (44,8 vueltas7,13

3. Sabemos que 122121 cossencossen)(sen θθθθθθ +=+ , y si hacemos que θθθ == 21 en-

tonces nos queda:

=+= θθθθθ cossencossen2sen θθ cossen2


21

4. Las soluciones son: a) 1)º64 (cos)º64sen ( 22 =+ → ≅−=−= 22 )9,0(1)º64sen (1º64 cos 4359,0

b) Utilizando la expresión θθθ 22 sencos2 cos −= , siendo º32=θ , obtenemos la siguiente expresión:

º32cos21)º32cos1(º32cosº64 cos 222 +−=−−= , y como tenemos calculado el valor de 4359,0º64cos = (ver en el apartado anterior), nos queda que:

≅+

=+

=24359,01

2º64 cos1º32 cos 8473,0

b) Utilizamos la misma expresión que en el apartado anterior, siendo º64=θ

≅+−=+−=−−= 2222 )4359,0(21º64cos21)º64cos1(º64cosº128 cos 6200,0−

d) º52cosº128cos −= . Utilizando la expresión θθθ 22 sencos2 cos −= , siendo º26=θ ,

obtenemos la siguiente expresión:

º26sen21º26sen)º26sen1(º26sen26cosº52 cos 22222 −=−−=−= , y como tenemos el va-lor 6200,0º128 cosº52 cos =−= (calculado en el apartado anterior), nos queda que:

≅−

=−

=26200,01

2º52 cos1º62sen 4359,0

e) =−=−−= º64sen )º180º244(senº244sen 9000,0− f) Utilizando la expresión )º32(52ºsen º48sen )º96(180ºsen º96sen +==−= , y desarro-

llándola nos queda:

cos52º32ºsen cos32º52ºsen )º32(52ºsen +=+ , y como 6200,0º52cos = y 8473,0º32cos = tenemos: 7846,0)6200,0(1)º25 cos(1º25sen 22 =−=−= 5311,0)8473,0(1)º23 cos(1º23sen 22 =−=−= Así pues, tenemos que: ≅+=+= )6200,0)(5311,0()8473,0)(7846,0()º32sen(52º96ºsen 9941,0


22

g) ≅==4359,09000,0

º64 cosº64sen º64tan 065,2

5. El esquema del paralelepípedo es el siguiente:

Si pasamos el triángulo formado por el ángulo θ a un plano bidimensional nos queda:

El valor de d es 222 cm) 15(cm) 15( d=+ , de donde se obtiene que cm 215=d Por el teorema de Pitágoras el valor del ángulo θ es de:

885618,1cm 215

cm 40tan ==θ ⇒ ≅= 885618,1arctan θ º1,62

6. El valor de los ángulos, con la ayuda de una hoja de cálculo, son los siguientes: a) rad )1(2 −nπ ≤≤ θ rad )1(242969966,0 −+ nπ para ,...3 ,2 ,1=n b) rad 0 ≤≤ θ 74897489,0 c) rad 0 ≤≤ θ 05346325,1

θ

40 cm

d

θ

15 cm

40 cm

d


23

d) rad )1(2 −nπ ≤≤ θ rad )1(2451026799,0 −+ nπ para ,...3 ,2 ,1=n y también rad )1(2832158508,5 −+ nπ ≤≤ θ rad )1(2 −nπ para ,...3 ,2 ,1=n

7. a) La función a ajustar es nCmT = que linealizamos tomando logaritmos

llamando

⎪⎭

⎪⎬

⎫

===

mXCATY

logloglog

se transforma en nXAY +=

Ahora formamos la siguiente tabla:

jT im jY iX ij XY 2iX

0,56 0,83 1,05 1,28 1,55 1,75 2,22

0,10 0,20 0,40 0,50 0,75 1,00 1,50

-0,2518120 -0,0809219 0,0211893 0,1072100 0,1903317 0,2430380 0,3463530

-1,0000000 -0,6989700 -0,3979400 -0,3010300 -0,1249387 0,0000000 0,1760913

0,2518120 0,0565620 -0,0084321 -0,0322734 -0,0237798 0,0000000 0,0609897

1,0000000 0,4885591 0,1583563 0,0906191 0,0156097 0,0000000 0,0310081

0,5753881 -2,3467875 0,3048784 1,7841522

El sistema de ecuaciones (ajuste potencial a una recta) es:

∑∑∑∑

∑ ∑

=== =

= =

+=

+=

7

1

27

1

7

1

7

1

7

1

7

1

ii

ii

i jij

j iij

XnXAXY

XnNAY

es decir

nAnA

7841522,13467875,23048784,03467875,275753881,0

+−=−=

que nos dan como solución

4990884,0=n 24952036,0=A

Así pues, tenemos que 776316,1loganti == AC . Por tanto, la fórmula del período es:

mnCT logloglog +=


24

5,0)78,1( mT = → mT /kg)s 16,3( 2= Ahora construimos la siguiente tabla:

jT Ajuste funcional Diferencia 0,56

0,83 1,05 1,28 1,55 1,75 2,22

0,56290075 0,79555902 1,12437967 1,25683900 1,53873826 1,77631600 2,17472993

-0,00290075 0,03444098 -0,07437967 0,02316100 0,01126174 -0,02631600 0,04527007

A la vista de las diferencias obtenidas entre el dato real del período y el obtenido mediante la fórmula ajustada, podemos decir que los datos que más se desvían son aquellos en los que el objeto tiene una masa de 0,4 kg y 1,50 kg. 8. a) La función a ajustar es nCrT = que linealizamos tomando logaritmos

rnCT logloglog +=

llamando

⎪⎭

⎪⎬

⎫

===

rXCATY

logloglog

se transforma en nXAY +=

Ahora formamos la siguiente tabla:

jT ir jY iX ij XY 2iX

0,44 1,61 3,88 7,89

0,088 0,208 0,374 0,600

-0,3565473 0,2068259 0,5888317 0,8970770

-1,0555173 -0,6819367 -0,4271284 -0,2218487

0,3763419 -0,1410421 -0,2515068 -0,1990154

1,1141168 0,4650376 0,1824387 0,0492169

1,3361873 -2,3864311 -0,2152224 1,8108100

El sistema de ecuaciones (ajuste potencial a una recta) es:

∑∑∑∑

∑ ∑

=== =

= =

+=

+=

4

1

24

1

4

1

4

1

4

1

4

1

ii

ii

i jij

j iij

XnXAXY

XnNAY

es decir

nAnA

8108100,13864311,22152224,03864311,243361873,1

+−=−−=


25

que nos dan como solución

50358465,1=n 23109713,1=A

Así pues, tenemos que 02539,17loganti == AC . Por tanto, la fórmula del período es:

5,1)03,17( rT = → 332 )/Gmaños 290( rT =

b) Se descubre un satélite de período 6,20 años. Si sustituimos este dato en la fórmula halla-da y despejamos r obtendremos el valor del radio, esto es:

años 20,6)Gm/años 290( 332 == rT

≅== Gm 5098,0Gm/años 290

años) 20,6(3

32

2

r Gm ,5100

9. a) La ecuación que nos da el período T es de la forma:

ba gLkT ⋅⋅=

=k Constante

En principio desconocemos los valores de los exponentes. Sin embargo, la ecuación tiene que ser homogénea (mismas dimensiones en ambos miembros), por lo que usando el análisis di-mensional nos queda:

ba

TLLT ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 2

1

bba TLT 21 −+ ⋅=

Ahora podemos plantear un sistema de ecuaciones en base a los exponentes, esto es:

bab+=

−=0

21 → ⎩⎨⎧

−=

=

21

21

ba

Por tanto, el período T depende directamente de la longitud del péndulo e inversamente de la

gravedad, esto es:

gLkT =


26

b) y c) Los resultados obtenidos de la experiencia han sido: cm 501 =L s 4,11 =T cm 302 =L s 1,12 =T

Sustituyendo en la fórmula, y sabiendo que la constante k es un múltiplo de π , πCk = , nos queda:

)s 709251676,0(m/s 81,9

m 500,02

11 CC

gLCT === ππ → 973911,1

s 709251676,0s 4,1

==C

)s 549383986,0(m/s 81,9

m 300,02

22 CC

gLCT === ππ → 002242,2

s 549383986,0s 1,1

==C

Este múltiplo de π que estamos buscando es 2=C , con lo cual, la fórmula definitiva del período de un péndulo simple es:

gLT π2=

10. La ecuación que nos da el alcance R es de la forma:

ba gvkR ⋅⋅=

=k Constante

En principio desconocemos los valores de los exponentes. Sin embargo, la ecuación tiene que ser homogénea (mismas unidades de medida en ambos miembros), por lo que usando el análisis dimensional nos queda:

ba

TL

TLL ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 2

1

baba TLL 21 −−+ ⋅=


baba

201

−−=+= →

⎩⎨⎧

−==

12

ba

Por tanto, el alcance R depende directamente del cuadrado de la velocidad inicial e inversa-

mente de la gravedad, esto es, =Rgvk

2


27

11. a) Al aumentar H es de esperar que aumente el alcance R, ya que a mayor altura más tiempo tardará en tocar suelo la pelota.

De igual forma ocurre con la velocidad v, es decir, a mayor velocidad mayor será la distan-cia horizontal recorrida por unidad de tiempo. b) La ecuación que nos da el alcance R es de la forma:

cba HgvkR ⋅⋅⋅=

=k Constante

En principio desconocemos los valores de los exponentes. Sin embargo, la ecuación tiene que ser homogénea (mismas unidades de medida en ambos miembros), por lo que usando el análisis dimensional nos queda:

cba

LTL

TLL ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 2

1

bacba TLL 21 −−++ ⋅=


bacba

201

−−=++= →

⎩⎨⎧

−=−=

122

cbca

Para el valor 1=c , los parámetros a y b se hacen cero y, por consiguiente, el alcance R sólo

dependería de la altura. Para evitar esto, vamos a dar a c un valor distinto de 1, por ejemplo 21=c

Así pues, el alcance R depende directamente de la velocidad inicial y de la altura e inversa-mente de la gravedad.

=R gHvk ⋅⋅

El valor real de la constante k es de 2 , con lo que la fórmula anterior queda gHvR 2

= .

12. Los volúmenes de la esfera para los radios r y rr Δ+ son:

3 34)( rrV π=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ+

Δ+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ+=Δ+=Δ+

≈44 344 21

0

323

333 331

341

34)(

34)(

rr

rr

rrr

rrrrrrrV πππ


28

a) El volumen de la capa esférica limitada por los dos radios es igual a:

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ+=−Δ+ 33

3431

34)()( r

rrrrVrrV ππ rr Δ2 4π

b) El volumen de la capa esférica es rr Δ2 4π , que equivale a rAΔ , donde A es el área de la esfera. Por similitud, el área de una esfera de radio r es =A 2 4 rπ .

13. El esquema de la pirámide de Keops es el siguiente:

Un observador que mire la pirámide en el sentido que indica la flecha, obtendrá un triángulo

formado por los vértices ∧

ABC . Así pues, tenemos:

222 m

51º

h

aA

B

C

a/2

222 m

51º


29

m 222

2º51 cos

a

= → ≅= )º51 cosm)( 444(a m 4,279

14. Como conocemos las expresiones )(sen 21 θθ + y )( cos 21 θθ + tenemos que:

2121

1221

21

2121 sen sen cos cos

cossen cossen )( cos)(sen )( tg

θθθθθθθθ

θθθθ

θθ−+

=++

=+

Y si dividimos el numerador y el denominador por la expresión 21 cos cos θθ nos queda:

=−

+=

−

+=+

21

21

2

2

1

1

21

21

21

21

21

12

21

21

21

cos cossen sen 1

cossen

cossen

cos cossen sen

cos cos cos cos

cos cos cossen

cos cos cossen

)( tg

θθθθθθ

θθ

θθθθ

θθθθ

θθθθ

θθθθ

θθ21

21

tg tg1 tg tgθθθθ

−+

15. El esquema del problema es el siguiente:

a) Cuando ha recorrido 10 km se encuentra a: == )º30 coskm)( 10(x km 66,8 de la carretera norte-sur == )º30km)(sen 10(y km 5 de la carretera este-oeste

N

E O

S

30º

10 km

a 30º


30

b) La distancia que deberá andar hasta alcanzar la carretera norte-sur es la distancia a seña-lada en el gráfico.

a

)º30 coskm)( 10(º30sen = → ≅=º30tg

10a km 3,17

16. a) Los términos pedidos 2)1(21 xnn − son:

Valor de n y x Valor del término % a) 1/2 y 0,01 a) -0,0000125 -0,00125 b) -1 y 0,01 b) 0,0001 0,01 c) 1/3 y 0,008 c) -0,00000711 -0,000711

b) Las diferencias son:

Valor aproximado Valor exacto Diferencia % a) 9,95 a) 9,949874371 0,000125629 0,0012626 b) 0,99 b) 0,990099009 -0,000099009 0,0099999 c) 4,986666666 c) 4,986630952 0,000035714 0,0007161

17. Las soluciones son las siguientes:

a) Los términos pedidos 2)1(21 xnn − son:

Valor de n y x Valor del término % a) 2 y 0,002 a) 0,0004 0,04 b) 5 y 0,001 b) 0,00001 0,001 c) -2 y 0,002 c) 0,000012 0,0012

b) Las diferencias son:

Valor aproximado Valor exacto Diferencia % a) 96 a) 96,04 0,04 0,041649 b) 0,995 b) 0,99500999 0,00000999 0,001004 c) 0,996 c) 0,996011968 0,000011968 0,001201

18. Con la ayuda de la hoja de cálculo Excel, las soluciones son: a) =θ rad 8955,1 b) =θ º22,40rad 702034,0 = c) =θ rad 1,0

59264520 Fisica Basica Solucionario Capitulo 1 Tipler

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