六年级奥数经典题难题集粹

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一、工程问题1.甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要 20小时， 16小时 .丙水管单独开，排一池水要 10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管， 5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？

一、工程问题1.甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要 20小时， 16小时 .丙水管单独开，排一池水要 10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管， 5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？解：　　 1/20+1/16=9/80表示甲乙的工作效率　　 9/80×5=45/80表示 5小时后进水量　　 1-45/80=35/80表示还要的进水量　　 35/80÷（ 9/80-1/10） =35表示还要 35小时注满　　答： 5小时后还要 35小时就能将水池注满。

2.修一条水渠，单独修，甲队需要 20天完成，乙队需要 30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划 16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？ 

2.修一条水渠，单独修，甲队需要 20天完成，乙队需要 30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划 16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？ 解：由题意得，甲的工效为 1/20，乙的工效为 1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10=7/100，可知甲乙合作工效 >甲的工效 >乙的工效。　　又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做， 16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。　　设合作时间为 x天，则甲独做时间为（ 16-x）天　　 1/20*（ 16-x） +7/100*x=1

　　 x=10

　　答：甲乙最短合作 10天

3.一件工作，甲、乙合做需 4小时完成，乙、丙合做需 5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做 6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？

3.一件工作，甲、乙合做需 4小时完成，乙、丙合做需 5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做 6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？解：　　由题意知， 1/4表示甲乙合作 1小时的工作量， 1/5表示乙丙合作 1小时的工作量　　（ 1/4+1/5） ×2=9/10表示甲做了 2小时、乙做了 4小时、丙做了 2小时的工作量。　　根据“甲、丙合做 2小时后，余下的乙还需做 6小时完成”可知甲做 2小时、乙做 6小时、丙做 2小时一共的工作量为 1。　　所以 1-9/10=1/10表示乙做 6-4=2小时的工作量。　　 1/10÷2=1/20表示乙的工作效率。　　 1÷1/20=20小时表示乙单独完成需要 20小时。　　答：乙单独完成需要 20小时。

4.一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需 17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？

4.一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需 17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？解：由题意可知　　 1/甲 +1/乙 +1/甲 +1/乙 +……+1/甲 =1

　　 1/乙 +1/甲 +1/乙 +1/甲 +……+1/乙 +1/甲 ×0.5=1

　　（ 1/甲表示甲的工作效率、 1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做法就不比第一种多 0.5天）　　 1/甲 =1/乙 +1/甲 ×0.5（因为前面的工作量都相等）　　得到 1/甲 =1/乙 ×2

　　又因为 1/乙 =1/17

　　所以 1/甲 =2/17，甲等于 17÷2=8.5天

5.师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了 1/2时，徒弟完成了 120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了 4/5 。这批零件共有多少个？

5.师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了 1/2时，徒弟完成了 120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了 4/5 。这批零件共有多少个？答案为 300个　　 120÷（ 4/5÷2） =300个　　可以这样想：师傅第一次完成了 1/2，第二次也是 1/2，两次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了 4/5，可以推算出第一次完成了 4/5的一半是 2/5，刚好是 120个。

6.一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽 6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽 10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？

6.一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽 6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽 10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？答案是 15棵　　算式： 1÷（ 1/6-1/10） =15棵

7.一个池上装有 3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管， 20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管， 30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙，丙两管用了 18分钟放完，当打开甲管注满水时，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？

7.一个池上装有 3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管， 20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管， 30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙，丙两管用了 18分钟放完，当打开甲管注满水时，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？答案 45分钟。　　 1÷（ 1/20+1/30） =12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。　　 1/12*（ 18-12） =1/12*6=1/2 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了 6分钟的水，也就是甲 18分钟进的水。　　 1/2÷18=1/36 表示甲每分钟进水　　最后就是 1÷（ 1/20-1/36） =45分钟。

8.某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？

8.某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？答案为 6天　　解：　　由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，”可知：　　乙做 3天的工作量 =甲 2天的工作量　　即：甲乙的工作效率比是 3： 2

　　甲、乙分别做全部的的工作时间比是 2： 3

　　时间比的差是 1份　　实际时间的差是 3天　　所以 3÷（ 3-2） ×2=6天，就是甲的时间，也就是规定日期

8.某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？答案为 6天　　解：　　方程方法：　　 [1/x+1/（ x+2） ]×2+1/（ x+2） ×（ x-2） =1

　　解得 x=6

9.两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要 2小时，而点完一根细蜡烛要 1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来电了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的 2倍，问：停电多少分钟？

9.两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要 2小时，而点完一根细蜡烛要 1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来电了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的 2倍，问：停电多少分钟？答案为 40分钟。　　解：设停电了 x分钟　　根据题意列方程　　 1-1/120*x=（ 1-1/60*x） *2

　　解得 x=40

二 .鸡兔同笼问题10.鸡与兔共 100只，鸡的腿数比兔的腿数少 28条，问鸡与兔各有几只？

二 .鸡兔同笼问题10.鸡与兔共 100只，鸡的腿数比兔的腿数少 28条，问鸡与兔各有几只？解：　　 4*100=400， 400-0=400 假设都是兔子，一共有 400只兔子的脚，那么鸡的脚为 0只，鸡的脚比兔子的脚少 400只。　　 400-28=372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少 28只，相差 372只，这是为什么？　　 4+2=6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少 4只（从 400只变为 396只），鸡的总脚数就会增加 2只（从 0只到 2只），它们的相差数就会少 4+2=6只（也就是原来的相差数是 400-0=400，现在的相差数为 396-2=394，相差数少了 400-394=6）　　 372÷6=62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的 100只兔子中有 62只改为了鸡，所以脚的相差数从 400改为 28，一共改了 372只　　 100-62=38表示兔的只数

三 .数字数位问题11.把 1至 2005这 2005个自然数依次写下来得到一个多位数 123456789.....2005，这个多位数除以 9余数是多少？

三 .数字数位问题11.把 1至 2005这 2005个自然数依次写下来得到一个多位数 123456789.....2005，这个多位数除以 9余数是多少？解：　　首先研究能被 9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被 9整除，那么这个数也能被 9整除；如果各个位数字之和不能被 9整除，那么得的余数就是这个数除以 9得的余数。　　解题：首先，任意连续 9个自然数之和能被 9整除，也就是说，一直写到 2007能被9整除。所以答案为 1

12.A和 B是小于 100的两个非零的不同自然数。求 A+B分之 A-B的最大值 .

12.A和 B是小于 100的两个非零的不同自然数。求 A+B分之 A-B的最大值 .

解：　　（ A-B） /（ A+B）  = （ A+B - 2B） /（ A+B）  = 1 - 2 * B/（ A+B）　　前面的  1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 （ A-B） /（ A+B） 最大。　　对于  B / （ A+B） 取最小时，（ A+B） /B 取最大，　　问题转化为求 （ A+B） /B 的最大值。　　（ A+B） /B = 1 + A/B ，最大的可能性是  A/B = 99/1

　　（ A+B） /B = 100

　　（ A-B） /（ A+B） 的最大值是：  98 / 100

13.已知 A.B.C都是非 0自然数， A/2 + B/4 + C/16的近似值是 6.4，那么它的准确值是多少？

13.已知 A.B.C都是非 0自然数， A/2 + B/4 + C/16的近似值是 6.4，那么它的准确值是多少？答案为 6.375或 6.4375

　　因为 A/2 + B/4 + C/16=8A+4B+C/16≈6.4，　　所以 8A+4B+C≈102.4，由于 A、 B、 C为非 0自然数，因此 8A+4B+C为一个整数，可能是 102，也有可能是 103。　　当是 102时， 102/16=6.375

　　当是 103时， 103/16=6.4375

14.一个三位数的各位数字 之和是 17.其中十位数字比个位数字大 1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大 198，求原数 .

14.一个三位数的各位数字 之和是 17.其中十位数字比个位数字大 1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大 198，求原数 .

答案为 476

　　解：设原数个位为 a，则十位为 a+1，百位为 16-2a

　　根据题意列方程 100a+10a+16-2a-100（ 16-2a） -10a-a=198

　　解得 a=6，则 a+1=7 16-2a=4

　　答：原数为 476。

15.一个两位数，在它的前面写上 3，所组成的三位数比原两位数的 7倍多 24，求原来的两位数 .

15.一个两位数，在它的前面写上 3，所组成的三位数比原两位数的 7倍多 24，求原来的两位数 .

答案为 24

　　解：设该两位数为 a，则该三位数为 300+a

　　 7a+24=300+a

　　 a=24

　　答：该两位数为 24。

16.把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原数相加，和恰好是某自然数的平方，这个和是多少？

16.把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原数相加，和恰好是某自然数的平方，这个和是多少？答案为 121

　　解：设原两位数为 10a+b，则新两位数为 10b+a

　　它们的和就是 10a+b+10b+a=11（ a+b）　　因为这个和是一个平方数，可以确定 a+b=11

　　因此这个和就是 11×11=121

　　答：它们的和为 121。

17.一个六位数的末位数字是 2，如果把 2移到首位，原数就是新数的 3倍，求原数 .

17.一个六位数的末位数字是 2，如果把 2移到首位，原数就是新数的 3倍，求原数 .

答案为 85714

　　解：设原六位数为 abcde2，则新六位数为 2abcde（字母上无法加横线，请将整个看成一个六位数）　　再设 abcde（五位数）为 x，则原六位数就是 10x+2，新六位数就是 200000+x

　　根据题意得，（ 200000+x） ×3=10x+2

　　解得 x=85714

　　所以原数就是 857142

　　答：原数为 857142

18.有一个四位数，个位数字与百位数字的和是 12，十位数字与千位数字的和是 9，如果个位数字与百位数字互换，千位数字与十位数字互换，新数就比原数增加 2376，求原数 .

18.有一个四位数，个位数字与百位数字的和是 12，十位数字与千位数字的和是 9，如果个位数字与百位数字互换，千位数字与十位数字互换，新数就比原数增加 2376，求原数 .

答案为 3963

　　解：设原四位数为 abcd，则新数为 cdab，且 d+b=12， a+c=9

　　根据“新数就比原数增加 2376”可知 abcd+2376=cdab，列竖式便于观察　　根据 d+b=12，可知 d、 b可能是 3、 9； 4、 8； 5、 7； 6、 6。　　再观察竖式中的个位，便可以知道只有当 d=3， b=9；或 d=8， b=4时成立。　　先取 d=3， b=9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。　　根据 a+c=9，可知 a、 c可能是 1、 8； 2、 7； 3、 6； 4、 5。　　再观察竖式中的十位，便可知只有当 c=6， a=3时成立。　　再代入竖式的千位，成立。　　得到： abcd=3963

　　再取 d=8， b=4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。

19.有一个两位数，如果用它去除以个位数字，商为 9余数为 6，如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和，则商为 5余数为 3，求这个两位数 .

19.有一个两位数，如果用它去除以个位数字，商为 9余数为 6，如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和，则商为 5余数为 3，求这个两位数 .

解：设这个两位数为 ab

　　 10a+b=9b+6

　　 10a+b=5（ a+b） +3

　　化简得到一样： 5a+4b=3

　　由于 a、 b均为一位整数　　得到 a=3或 7， b=3或 8

　　原数为 33或 78均可以

20.如果现在是上午的 10点 21分，那么在经过 28799...99（一共有 20个 9）分钟之后的时间将是几点几分？

20.如果现在是上午的 10点 21分，那么在经过 28799...99（一共有 20个 9）分钟之后的时间将是几点几分？答案是 10： 20

　　解：　　（ 28799……9（ 20个 9） +1） /60/24整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是10： 21，因为事先计算时加了 1分钟，所以现在时间是 10： 20

四 .排列组合问题21.有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人都相邻的排法有（ ）　　 A 768种  B 32种  C 24种  D 2的 10次方中

四 .排列组合问题21.有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人都相邻的排法有（ ）　　 A 768种  B 32种  C 24种  D 2的 10次方中解：　　根据乘法原理，分两步：　　第一步是把 5对夫妻看作 5个整体，进行排列有 5×4×3×2×1=120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生 5个 5个重复，因此实际排法只有 120÷5=24种。　　第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有 2种排法，总共又 2×2×2×2×2=32种　　综合两步，就有 24×32=768种。

22. 若把英语单词 hello的字母写错了，则可能出现的错误共有 （ ）　　 A 119种  B 36种  C 59种  D 48种

22. 若把英语单词 hello的字母写错了，则可能出现的错误共有 （ ）　　 A 119种  B 36种  C 59种  D 48种解：　　 5全排列 5*4*3*2*1=120

　　有两个 l所以 120/2=60

　　原来有一种正确的所以 60-1=59

五 .容斥原理问题23. 有 100种食品 .其中含钙的有 68种，含铁的有 43种，那么，同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是（ ）　　 A 43， 25 B 32， 25 C32， 15 D 43， 11

五 .容斥原理问题23. 有 100种食品 .其中含钙的有 68种，含铁的有 43种，那么，同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是（ ）　　 A 43， 25 B 32， 25 C32， 15 D 43， 11

解：根据容斥原理最小值 68+43-100=11

　　最大值就是含铁的有 43种

24.在多元智能大赛的决赛中只有三道题 .

　　已知：（ 1）某校 25名学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；　　（ 2）在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的 2倍　　（ 3）只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多 1人；　　（ 4）只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，那么只解出第二题的学生人数是（ ）　　 A， 5 B， 6 C， 7 D， 8

24.在多元智能大赛的决赛中只有三道题 .

　　已知：（ 1）某校 25名学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；　　（ 2）在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的 2倍　　（ 3）只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多 1人；　　（ 4）只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，那么只解出第二题的学生人数是（ ）　　 A， 5 B， 6 C， 7 D， 8

解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为 7类：只答第 1题，只答第 2题，只答第 3题，只答第 1、 2题，只答第 1、 3题，只答 2、 3题，答 1、 2、 3题。　　分别设各类的人数为 a1、 a2、 a3、 a12、 a13、 a23、 a123

　　由（ 1）知： a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①

　　由（ 2）知： a2+a23=（ a3+ a23） ×2……②

　　由（ 3）知： a12+a13+a123=a1-1……③

　　由（ 4）知： a1=a2+a3……④

24.在多元智能大赛的决赛中只有三道题 .

　　已知：（ 1）某校 25名学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；　　（ 2）在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的 2倍　　（ 3）只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多 1人；　　（ 4）只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，那么只解出第二题的学生人数是（ ）　　 A， 5 B， 6 C， 7 D， 8

解：再由②得 a23=a2-a3×2……⑤

　　再由③④得 a12+a13+a123=a2+a3-1⑥

　　然后将④⑤⑥代入①中，整理得到　　 a2×4+a3=26

　　由于 a2、 a3均表示人数，可以求出它们的整数解：　　当 a2=6、 5、 4、 3、 2、 1时， a3=2、 6、 10、 14、 18、 22

　　又根据 a23=a2-a3×2……⑤可知： a2>a3

　　因此，符合条件的只有 a2=6， a3=2。　　然后可以推出 a1=8， a12+a13+a123=7， a23=2，总人数 =8+6+2+7+2=25，检验所有条件均符。　　故只解出第二题的学生人数 a2=6人。

24.在多元智能大赛的决赛中只有三道题 .

　　已知：（ 1）某校 25名学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；　　（ 2）在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的 2倍　　（ 3）只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多 1人；　　（ 4）只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，那么只解出第二题的学生人数是（ ）　　 A， 5 B， 6 C， 7 D， 8

解：又根据 a23=a2-a3×2……⑤可知： a2>a3

　　因此，符合条件的只有 a2=6， a3=2。　　然后可以推出 a1=8， a12+a13+a123=7， a23=2，总人数 =8+6+2+7+2=25，检验所有条件均符。　　故只解出第二题的学生人数 a2=6人。

25.一次考试共有 5道试题。做对第 1、 2、 3、、 4、 5题的分别占参加考试人数的95%、 80%、 79%、 74%、 85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？

25.一次考试共有 5道试题。做对第 1、 2、 3、、 4、 5题的分别占参加考试人数的95%、 80%、 79%、 74%、 85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？答案：及格率至少为 71%。　　假设一共有 100人考试　　 100-95=5

　　 100-80=20

　　 100-79=21

　　 100-74=26

　　 100-85=15

　　 5+20+21+26+15=87（表示 5题中有 1题做错的最多人数）　　 87÷3=29（表示 5题中有 3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为 29人）　　 100-29=71（及格的最少人数，其实都是全对的）　　及格率至少为 71%

六 .抽屉原理、奇偶性问题26.一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出几只手套才能保证有 3副同色的？

六 .抽屉原理、奇偶性问题26.一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出几只手套才能保证有 3副同色的？解：可以把四种不同的颜色看成是 4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副同色的，就是 1个抽屉里至少有 2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出 5只手套。这时拿出 1副同色的后 4个抽屉中还剩 3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出 2只手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类推。　　把四种颜色看做 4个抽屉，要保证有 3副同色的，先考虑保证有 1副就要摸出 5只手套。这时拿出 1副同色的后， 4个抽屉中还剩下 3只手套。根据抽屉原理，只要再摸出 2只手套，又能保证有 1副是同色的。以此类推，要保证有 3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只）　　答：最少要摸出 9只手套，才能保证有 3副同色的。

27.有四种颜色的积木若干，每人可任取 1-2件，至少有几个人去取，才能保证有 3人能取得完全一样？

27.有四种颜色的积木若干，每人可任取 1-2件，至少有几个人去取，才能保证有 3人能取得完全一样？答案为 21

　　解：　　每人取 1件时有 4种不同的取法，每人取 2件时，有 6种不同的取法 .

　　当有 11人时，能保证至少有 2人取得完全一样：　　当有 21人时，才能保证到少有 3人取得完全一样 .

28.某盒子内装 50只球，其中 10只是红色， 10只是绿色， 10只是黄色， 10只是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有 7只同色的球，问：最少必须从袋中取出多少只球？

28.某盒子内装 50只球，其中 10只是红色， 10只是绿色， 10只是黄色， 10只是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有 7只同色的球，问：最少必须从袋中取出多少只球？解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。　　当黑球或白球其中没有大于或等于 7个的，那么就是：　　 6*4+10+1=35（个）　　如果黑球或白球其中有等于 7个的，那么就是：　　 6*5+3+1=34（个）　　如果黑球或白球其中有等于 8个的，那么就是：　　 6*5+2+1=33

　　如果黑球或白球其中有等于 9个的，那么就是：　　 6*5+1+1=32

29.地上有四堆石子，石子数分别是 1、 9、 15、 31如果每次从其中的三堆同时各取出 1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同？（如果能请说明具体操作，不能则要说明理由）

29.地上有四堆石子，石子数分别是 1、 9、 15、 31如果每次从其中的三堆同时各取出 1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同？（如果能请说明具体操作，不能则要说明理由）不可能。　　因为总数为 1+9+15+31=56

　　 56/4=14

　　 14是一个偶数　　而原来 1、 9、 15、 31都是奇数，取出 1个和放入 3个也都是奇数，奇数加减若干次奇数后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数（ 14个）。

七 .路程问题30.狗跑 5步的时间马跑 3步，马跑 4步的距离狗跑 7步，现在狗已跑出 30米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？

七 .路程问题30.狗跑 5步的时间马跑 3步，马跑 4步的距离狗跑 7步，现在狗已跑出 30米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？解：　　根据“马跑 4步的距离狗跑 7步”，可以设马每步长为 7x米，则狗每步长为 4x米。　　根据“狗跑 5步的时间马跑 3步”，可知同一时间马跑 3*7x米 =21x米，则狗跑5*4x=20米。　　可以得出马与狗的速度比是 21x： 20x=21： 20

　　根据“现在狗已跑出 30米”，可以知道狗与马相差的路程是 30米，他们相差的份数是 21-20=1，现在求马的 21份是多少路程，就是  30÷（ 21-20） ×21=630米

31.甲乙辆车同时从 a b两地相对开出，几小时后再距中点 40千米处相遇。已知，甲车行完全程要 8小时，乙车行完全程要 10小时，求 a b 两地相距多少千米？

31.甲乙辆车同时从 a b两地相对开出，几小时后再距中点 40千米处相遇。已知，甲车行完全程要 8小时，乙车行完全程要 10小时，求 a b 两地相距多少千米？答案 720千米。　　由“甲车行完全程要 8小时，乙车行完全程要 10小时”可知，相遇时甲行了 10份，乙行了 8份（总路程为 18份），两车相差 2份。又因为两车在中点 40千米处相遇，说明两车的路程差是（ 40+40）千米。所以算式是（ 40+40） ÷（ 10-8） ×（ 10+8） =720千米。

32.在一个 600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔 4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？

32.在一个 600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔 4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？答案为两人跑一圈各要 6分钟和 12分钟。　　解：　　 600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差　　 600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和　　（ 50+150） ÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数　　（ 150-50） /2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数　　 600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间　　 600/50=12分钟，表示跑得慢者用的时间

33.慢车车长 125米，车速每秒行 17米，快车车长 140米，车速每秒行 22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？

33.慢车车长 125米，车速每秒行 17米，快车车长 140米，车速每秒行 22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？答案为 53秒　　算式是（ 140+125） ÷（ 22-17） =53秒　　可以这样理解：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。

34.在 300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒 5米，乙平均速度是每秒 4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？

34.在 300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒 5米，乙平均速度是每秒 4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？答案为 100米　　 300÷（ 5-4.4） =500秒，表示追及时间　　 5×500=2500米，表示甲追到乙时所行的路程　　 2500÷300=8圈…… 100米，表示甲追及总路程为 8圈还多 100米，就是在原来起跑线的前方 100米处相遇。

35.一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过 57秒火车经过她前面，已知火车鸣笛时离他 1360米，（轨道是直的），声音每秒传 340米，求火车的速度（得出保留整数）

35.一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过 57秒火车经过她前面，已知火车鸣笛时离他 1360米，（轨道是直的），声音每秒传 340米，求火车的速度（得出保留整数）答案为 22米 /秒　　算式： 1360÷（ 1360÷340+57）≈ 22米 /秒　　关键理解：人在听到声音后 57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出 1360÷340=4秒的路程。也就是 1360米一共用了 4+57=61秒。

36.猎犬发现在离它 10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑 5步的路程，兔子要跑 9步，但是兔子的动作快，猎犬跑 2步的时间，兔子却能跑 3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。

36.猎犬发现在离它 10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑 5步的路程，兔子要跑 9步，但是兔子的动作快，猎犬跑 2步的时间，兔子却能跑 3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。正确的答案是猎犬至少跑 60米才能追上。　　解：　　由“猎犬跑 5步的路程，兔子要跑 9步”可知当猎犬每步 a米，则兔子每步 5/9米。由“猎犬跑 2步的时间，兔子却能跑 3步”可知同一时间，猎犬跑 2a米，兔子可跑5/9a*3=5/3a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是 2a： 5/3a=6： 5，也就是说当猎犬跑60米时候，兔子跑 50米，本来相差的 10米刚好追完

37. AB两地，甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是 4： 5，如果甲乙二人分别同时从 AB两地相对行使， 40分钟后两人相遇，相遇后各自继续前行，这样，乙到达 A地比甲到达 B地要晚多少分钟？

37. AB两地，甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是 4： 5，如果甲乙二人分别同时从 AB两地相对行使， 40分钟后两人相遇，相遇后各自继续前行，这样，乙到达 A地比甲到达 B地要晚多少分钟？答案： 18分钟　　解：设全程为 1，甲的速度为 x乙的速度为 y

　　列式 40x+40y=1

　　 x： y=5： 4

　　得 x=1/72 y=1/90

　　走完全程甲需 72分钟，乙需 90分钟

38.甲乙两车同时从 AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离 B地的距离是 AB全程的 1/5。已知甲车在第一次相遇时行了 120千米。 AB两地相距多少千米？

38.甲乙两车同时从 AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离 B地的距离是 AB全程的 1/5。已知甲车在第一次相遇时行了 120千米。 AB两地相距多少千米？答案是 300千米。　　解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了 1个 AB的路程，从开始到第二次相遇，一共又行了 3个 AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的 3倍。即甲共走的路程是 120*3=360千米，从线段图可以看出，甲一共走了全程的（ 1+1/5）。　　因此 360÷（ 1+1/5） =300千米　　从 A地到 B地，甲、乙两人骑自行车分别需要 4小时、 6小时，现在甲乙分别 AB两地同时出发相向而行，相遇时距 AB两地中点 2千米。如果二人分别至 B地， A地后都立即折回。第二次相遇点第一次相遇点之间有（）千米

39.一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要 6小时；逆流 8小时。如果水流速度是每小时 2千米，求两地间的距离？

39.一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要 6小时；逆流 8小时。如果水流速度是每小时 2千米，求两地间的距离？解：（ 1/6-1/8） ÷2=1/48表示水速的分率　　 2÷1/48=96千米表示总路程

40.快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行 33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要 8小时，求甲乙两地的路程。

40.快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行 33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要 8小时，求甲乙两地的路程。解：　　相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是 4： 3

　　时间比为 3： 4

　　所以快车行全程的时间为 8/4*3=6小时　　 6*33=198千米

41.小华从甲地到乙地， 3分之 1骑车， 3分之 2乘车；从乙地返回甲地， 5分之 3骑车，5分之 2乘车，结果慢了半小时 .已知，骑车每小时 12千米，乘车每小时 30千米，问：甲乙两地相距多少千米？

41.小华从甲地到乙地， 3分之 1骑车， 3分之 2乘车；从乙地返回甲地， 5分之 3骑车，5分之 2乘车，结果慢了半小时 .已知，骑车每小时 12千米，乘车每小时 30千米，问：甲乙两地相距多少千米？解：　　把路程看成 1，得到时间系数　　去时时间系数： 1/3÷12+2/3÷30

　　返回时间系数： 3/5÷12+2/5÷30

　　两者之差：（ 3/5÷12+2/5÷30） -（ 1/3÷12+2/3÷30） =1/75相当于 1/2小时　　去时时间： 1/2×（ 1/3÷12） ÷1/75和 1/2×（ 2/3÷30） 1/75

　　路程： 12×〔 1/2×（ 1/3÷12） ÷1/75〕 +30×〔 1/2×（ 2/3÷30） 1/75〕 =37.5（千米）

42.A、 B两城相距 56千米 .有甲、乙、丙三人 .甲、乙从 A城，丙从 B城同时出发 .相向而行 .甲、乙、丙分别以每小时 6千米、 5千米、 4千米的速度行进 .求出发后经 小时，乙在甲丙之间的中点？

42.A、 B两城相距 56千米 .有甲、乙、丙三人 .甲、乙从 A城，丙从 B城同时出发 .相向而行 .甲、乙、丙分别以每小时 6千米、 5千米、 4千米的速度行进 .求出发后经 小时，乙在甲丙之间的中点？答案是 7

　　设经过 x小时后，乙在甲、丙之间的中点，依题意得 6x-5x=5x+4x-56，解得 x=7.

43.兄妹二人在周长 30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走 1.2米，他们第十次相遇时，妹妹还需走  _____米才能回到出发点 .

43.兄妹二人在周长 30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走 1.2米，他们第十次相遇时，妹妹还需走  _____米才能回到出发点 .

答案是 6

　　第一次相遇的时间为： 30？（ 1.3+1.2） =12（秒）；兄妹第十次相遇时走的距离为1.2？ 12？ 10=144（米）；因 144？ 30=4…24（米），故妹妹离出发点的距离为 30-24=6（米） .

44.骑车人以每分钟 300米的速度，从 102路电车始发站出发，沿 102路电车线前进，骑车人离开出发地 2100米时，一辆 102路电车开出了始发站，这辆电车每分钟行 500米，行 5分钟到达一站并停车 1分钟，那么需要 _____分钟，电车追上骑车人 .

44.骑车人以每分钟 300米的速度，从 102路电车始发站出发，沿 102路电车线前进，骑车人离开出发地 2100米时，一辆 102路电车开出了始发站，这辆电车每分钟行 500米，行 5分钟到达一站并停车 1分钟，那么需要 _____分钟，电车追上骑车人 .

不考虑停车时间，电车追上骑车人所用时间为 2100？（ 500-300） =10.5（分），这期间，电车需要经过两站，停车 2分钟 .骑车人在 2分钟内所走的距离为 300？ 2=600（米） .这样，考虑停车时间，电车追上骑车人所用时间为 2100+600） ？（ 500-300） +2=15.5（分） .

45.一个自行车选手在相距 950公里的甲、乙两地之间训练，从甲地出发，去时每 90公里休息一次，到达乙地并休息一天后再沿原路返回，每 100公里休息一次 .他发现恰好有一个休息的地点与去时的一个休息地点相同，那么这个休息地点距甲地有 _____公里 .

45.一个自行车选手在相距 950公里的甲、乙两地之间训练，从甲地出发，去时每 90公里休息一次，到达乙地并休息一天后再沿原路返回，每 100公里休息一次 .他发现恰好有一个休息的地点与去时的一个休息地点相同，那么这个休息地点距甲地有 _____公里 .

这个选手去时休息的地点与甲地距离依次为： 90公里， 180公里， 270公里， 360公里，450公里， 540公里， 630公里， 720公里， 810公里和 900公里，而他返回休息地点时距甲的距离为 850公里， 750公里， 650公里， 450公里， 350公里， 250公里， 150公里和 50公里 .故这个相同的休息地点距甲地 450公里 .

46.一条小河流过 A、 B、 C三镇 .A、 B两镇之间有汽船来往，汽船在静水的速度为每小时 11千米 .B、 C两镇之间有木船摆渡，木船在静水中的速度为每小时 3.5千米 .已知A、 C两镇水路相距 50千米，水流速度为每小时 1.5千米 .某人从 A镇上乘汽船顺流而下到 B镇，吃午饭用去 1小时，接着乘木船又顺流而下到 C镇，共用 8小时，那么 A、 B两镇的水路路程是多少米 .

46.一条小河流过 A、 B、 C三镇 .A、 B两镇之间有汽船来往，汽船在静水的速度为每小时 11千米 .B、 C两镇之间有木船摆渡，木船在静水中的速度为每小时 3.5千米 .已知A、 C两镇水路相距 50千米，水流速度为每小时 1.5千米 .某人从 A镇上乘汽船顺流而下到 B镇，吃午饭用去 1小时，接着乘木船又顺流而下到 C镇，共用 8小时，那么 A、 B两镇的水路路程是多少米 .

设某人从 A镇到 B镇共用 x小时，依题意得，（ 11+1.5） x+（ 3.5+1.5）（ 8-1-x） =50.解得 x=2，故 A、 B两镇的水路距离为（ 11+1.5）？ 2=25（千米）

八 .比例问题47.甲乙两人在河边钓鱼，甲钓了三条，乙钓了两条，正准备吃，有一个人请求跟他们一起吃，于是三人将五条鱼平分了，为了表示感谢，过路人留下 10元，甲、乙怎么分？

八 .比例问题47.甲乙两人在河边钓鱼，甲钓了三条，乙钓了两条，正准备吃，有一个人请求跟他们一起吃，于是三人将五条鱼平分了，为了表示感谢，过路人留下 10元，甲、乙怎么分？答案：甲收 8元，乙收 2元。　　解：　　“三人将五条鱼平分，客人拿出 10元”，可以理解为五条鱼总价值为 30元，那么每条鱼价值 6元。　　又因为“甲钓了三条”，相当于甲吃之前已经出资 3*6=18元，“乙钓了两条”，相当于乙吃之前已经出资 2*6=12元。　　而甲乙两人吃了的价值都是 10元，所以　　甲还可以收回 18-10=8元　　乙还可以收回 12-10=2元　　刚好就是客人出的钱。

48.一种商品，今年的成本比去年增加了 10分之 1，但仍保持原售价，因此，每份利润下降了 5分之 2，那么，今年这种商品的成本占售价的几分之几？

48.一种商品，今年的成本比去年增加了 10分之 1，但仍保持原售价，因此，每份利润下降了 5分之 2，那么，今年这种商品的成本占售价的几分之几？答案 22/25

　　最好画线段图思考：　　把去年原来成本看成 20份，利润看成 5份，则今年的成本提高 1/10，就是 22份，利润下降了 2/5，今年的利润只有 3份。增加的成本 2份刚好是下降利润的 2份。售价都是 25份。　　所以，今年的成本占售价的 22/25。

49.甲乙两车分别从 A.B两地出发，相向而行，出发时，甲 .乙的速度比是 5： 4，相遇后，甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%，这样，当甲到达 B地时，乙离 A地还有 10千米，那么 A.B两地相距多少千米？

49.甲乙两车分别从 A.B两地出发，相向而行，出发时，甲 .乙的速度比是 5： 4，相遇后，甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%，这样，当甲到达 B地时，乙离 A地还有 10千米，那么 A.B两地相距多少千米？解：　　原来甲 .乙的速度比是 5： 4

　　现在的甲： 5×（ 1-20%） =4

　　现在的乙： 4×（ 1+20%） 4.8

　　甲到 B后，乙离 A还有： 5-4.8=0.2

　　总路程： 10÷0.2×（ 4+5） =450千米

50.一个圆柱的底面周长减少 25%，要使体积增加 1/3，现在的高和原来的高度比是多少？

50.一个圆柱的底面周长减少 25%，要使体积增加 1/3，现在的高和原来的高度比是多少？答案为 64： 27

　　解：根据“周长减少 25%”，可知周长是原来的 3/4，那么半径也是原来的 3/4，则面积是原来的 9/16。　　根据“体积增加 1/3”，可知体积是原来的 4/3。　　体积 ÷底面积 =高　　现在的高是 4/3÷9/16=64/27，也就是说现在的高是原来的高的 64/27

　　或者现在的高：原来的高 =64/27： 1=64： 27

51.某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共 30吨香蕉、橘子和梨共45吨。橘子正好占总数的 13分之 2。一共运来水果多少吨？

51.某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共 30吨香蕉、橘子和梨共45吨。橘子正好占总数的 13分之 2。一共运来水果多少吨？答案为 65吨　　橘子 +苹果 =30吨　　香蕉 +橘子 +梨 =45吨　　所以橘子 +苹果 +香蕉 +橘子 +梨 =75吨　　橘子 ÷（香蕉 +苹果 +橘子 +梨） =2/13

　　说明：橘子是 2份，香蕉 +苹果 +橘子 +梨是 13份　　橘子 +香蕉 +苹果 +橘子 +梨一共是 2+13=15份

九、逻辑推理52、甲、乙、丙三人进行跑步比赛 .A、 B、 C三人对比赛结果进行预测 .A说：“甲肯定是第一名 .”B说：“甲不是最后一名 .”C说：“甲肯定不是第一名 .”其中只有一人对比赛结果的预测是对的 .预测对的是

九、逻辑推理52、甲、乙、丙三人进行跑步比赛 .A、 B、 C三人对比赛结果进行预测 .A说：“甲肯定是第一名 .”B说：“甲不是最后一名 .”C说：“甲肯定不是第一名 .”其中只有一人对比赛结果的预测是对的 .预测对的是A、  C的预测截然相反，必一对一错 .因为只有一人对，不论 A、 C谁对， B必　　错，所以甲是最后一名， C对 .

53、 A、 B、 C、 D、 E和 F六人一圆桌坐下 .

　　 B是坐在 A右边的第二人 .

　　 C是坐在 F右边的第二人 .

　　 D坐在 E的正对面，还有 F和 E不相邻 .

　　那么，坐在 A和 B之间的是  .

53、 A、 B、 C、 D、 E和 F六人一圆桌坐下 .

　　 B是坐在 A右边的第二人 .

　　 C是坐在 F右边的第二人 .

　　 D坐在 E的正对面，还有 F和 E不相邻 .

　　那么，坐在 A和 B之间的是  .答案是 E

54、甲、乙、丙、丁与小明五位同学进入象棋决赛 .每两人都要比赛一盘，每胜一盘得 2分，和一盘得 1分，输一盘得 0分 .到现在为止，甲赛了 4盘，共得了 2分；乙赛了 3盘，得了 4分；丙赛了 2盘，得了 1分；丁赛了 1盘，得了 2分 .那么小明现在已赛了 盘，得了 分 .

54、甲、乙、丙、丁与小明五位同学进入象棋决赛 .每两人都要比赛一盘，每胜一盘得 2分，和一盘得 1分，输一盘得 0分 .到现在为止，甲赛了 4盘，共得了 2分；乙赛了 3盘，得了 4分；丙赛了 2盘，得了 1分；丁赛了 1盘，得了 2分 .那么小明现在已赛了 盘，得了 分 .

答案： 2， 3.

　　由题意可画出比赛图，已赛过的两人之间用线段引连（见右图） .由图看出小明赛了2盘 .因为一共赛了六盘，共得 12分，所以小明得了　　 12-（ 2+4+1+2） =3（分） .

55、小赵的电话号码是一个五位数，它由五个不同的数字组成 .小张说：“它是84261.”小王说：“它是 26048.”小李说：“它是 49280.”小赵说：“谁说的某一位上的数字与我的电话号码上的同一位数字相同，就算谁猜对了这个数字 .现在你们每人都猜对了位置不相邻的两个数字 .”这个电话号码是  .

55、小赵的电话号码是一个五位数，它由五个不同的数字组成 .小张说：“它是84261.”小王说：“它是 26048.”小李说：“它是 49280.”小赵说：“谁说的某一位上的数字与我的电话号码上的同一位数字相同，就算谁猜对了这个数字 .现在你们每人都猜对了位置不相邻的两个数字 .”这个电话号码是  .答案是 86240.

　　因为每人猜对两个数字，三人共猜对 2*3=6（个）数字，而电话号码只有 5位，所以必有一位数字被两人同对猜对 .猜对的是左起第三位数字 2.因为每人猜对的两个数字不相邻，所以张、李猜对的另一个数字分别在两端，推知王猜对的数字是 6和 4，进一步推知张猜对 8，李猜对 0.电话号码是 86240.

56、小赵的电话号码是一个五位数，它由五个不同的数字组成 .小王说：“它是93715.”小张说：“它是 79538.”小李说：“它是 15239.”小赵说：“谁说的某一位上的数字与我的电话号码上的同一位数字相同，就算谁猜对了这个数字 .现在你们三人猜对的数字个数都一样，并且电话号码上的每一个数字都有人猜对 .而每个人猜对的数字的数位都不相邻” .这个电话号码是  .

56、小赵的电话号码是一个五位数，它由五个不同的数字组成 .小王说：“它是93715.”小张说：“它是 79538.”小李说：“它是 15239.”小赵说：“谁说的某一位上的数字与我的电话号码上的同一位数字相同，就算谁猜对了这个数字 .现在你们三人猜对的数字个数都一样，并且电话号码上的每一个数字都有人猜对 .而每个人猜对的数字的数位都不相邻” .这个电话号码是  .答案是 19735.道理与上题类似，略去详解。

57、 A、 B、 C、 D四人定期去图书馆，四人中 A、 B二人每隔 8天（中间空 7天，下同）、 C每隔 6天、 D每隔 4天各去一次，在 2月份的最后一天，四人刚好都去了图书馆，那么从 3月 1日到 12月 31日只有一个人来图书馆的日子有 ____ 天 .

57、 A、 B、 C、 D四人定期去图书馆，四人中 A、 B二人每隔 8天（中间空 7天，下同）、 C每隔 6天、 D每隔 4天各去一次，在 2月份的最后一天，四人刚好都去了图书馆，那么从 3月 1日到 12月 31日只有一个人来图书馆的日子有 ____ 天 .

答案是 51天。　　每 24天有 4天只有 1人去图书馆 .3月 1日至 12月 31日有 306天，　　 306/24=12…18，所以所求天数为 4*12+3=51（天） .

58、六年级六个班组织乒乓球单打比赛，每班派甲、乙两人参赛，根据规则每两人之间至多赛一场，且同班的两人之间不进行比赛 .比赛若干场后发现，除一班队员甲以外，其他每人已比赛过的场数各不相同，那么一班队员乙已赛过 ____场 .

58、六年级六个班组织乒乓球单打比赛，每班派甲、乙两人参赛，根据规则每两人之间至多赛一场，且同班的两人之间不进行比赛 .比赛若干场后发现，除一班队员甲以外，其他每人已比赛过的场数各不相同，那么一班队员乙已赛过 ____场 .

答案是 5

　　根据题意，有 11名队员比赛场数各不相同，并且每人最多比赛 10场，所以除甲外的11名队员比赛的场数分别为 0~10.

　　已赛 10场的队员与除已赛 0场外的所有队员都赛过，所以已赛 10场的队员与已赛 0场的队员同班；　　已赛 9场的队员与除已赛 0、 1场外的所有队员都赛过，所以已赛 9场的队员与已赛1场的队员同班；　　同理，已赛 8、 7、 6场的队员分别与已赛 2、 3、 4场的队员同班；所以甲与已赛5场的队员同班，即乙赛过 5场 .

　　注 本题可以求出甲也赛了 5场，分别与已赛 10、 9、 8、 7、 6场的队员各赛 1场 .

59、刘毅、马宏明、张健三个男孩都有一个妹妹，六人在一起打乒乓球，进行男女混合双打，事先规定：兄妹不搭档 .第一盘：刘毅和小萍对张健和小英；第二盘：张健和小红对刘毅和马宏明的妹妹 .小萍、小红和小英各是谁的妹妹？

59、刘毅、马宏明、张健三个男孩都有一个妹妹，六人在一起打乒乓球，进行男女混合双打，事先规定：兄妹不搭档 .第一盘：刘毅和小萍对张健和小英；第二盘：张健和小红对刘毅和马宏明的妹妹 .小萍、小红和小英各是谁的妹妹？刘毅和小红，马宏明和小英，张健和小萍分别是兄妹 .

60、四个人聚会，每人各带了 2件礼品，分赠给其余三个人中的二人，试证明：至少有两对人，每对人是互赠过礼品的 .

60、四个人聚会，每人各带了 2件礼品，分赠给其余三个人中的二人，试证明：至少有两对人，每对人是互赠过礼品的 .

设此四人为甲、乙、丙、丁并用画在平面上的四个点分别表示他们，称为它们的代表点，当某人（例如甲）赠了 1件礼品给另一个（例如乙）时，就由甲向乙的代表点画一条有指向的线，无非有以下两个可能：　　（ 1） 甲、乙、丙、丁每人各收到了 2件礼品 .

　　（ 2） 上面的情形不发生 .这时只有以下一个可能，即有一个人接受了 3件礼品　　（即多于 2件礼品；因为一人之外总共还有三个人，所以至多收到 3件礼品） .（或许会有人说，还有两个可能：有人只收到 1件礼品及有人什么礼品也没收到 .其实，这都可归以“有一人接受了 3件礼品”这个情形 .因为，当有一人（例如甲）只接受了 1件礼品的情形发生时，四人共带来的 8件礼品中还剩下 7件在甲以外的三个人中分配，如果他们每人至多只收到 2件礼品，则收受礼品数将不超过 6件，这不可能，所以至少有一人收到 2件以上（即 3件）礼品，同样，当甲未收到礼品时， 8件礼品分给乙、丙、丁三人，也必定有人收到 3件礼品） .

　　当（ 1）发生时，例如甲收到乙、丙的礼品，由于甲发出的礼品中至少有 1件给了乙或丙，为确切计，设乙收到了甲的礼品，于是我们先有了一对人（甲、乙），他们互赠了礼品，如果丙也收到甲的礼品，那么又有了第二对互赠了礼品的人（甲、丙）；如果收到甲礼品的另一人是丁（如右图）丁的 2件礼品必定分赠了乙及丙（甲已收足了本情形中限定

60、四个人聚会，每人各带了 2件礼品，分赠给其余三个人中的二人，试证明：至少有两对人，每对人是互赠过礼品的 .

的 2件礼品）丙或乙的另一件礼品给了丁，则问题也解决（这时另一对互赠了礼品的人便是（乙、丁）或（丙、丁）但丙的另一件礼品只能给丁，因为这时乙已收足了 2件礼品，所以，当本情形发生时，至少能找到两对互赠过 1件礼品的人 .

　　当（ 2）发生时，不失一般性，设甲收到了来自乙、丙、丁的各 1件礼品，但甲又应向他们之中的某两人（例如乙、丙）各赠送 1件礼品，于是（甲、乙），（甲、丙）便是要找的两对人 .总上可知，证明完毕 .