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Traitement de Signal (TS)HEIG-Vd
Table des matières1 Analyse des signaux périodiques 51.1 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1 Exercice SF 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Exercice SF 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.3 Exercice SF 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.4 Exercice SF 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.5 Exercice SF 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.1.6 Exercice SF 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.1.7 Exercice SF 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.1.8 Exercice SF 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.1.9 Exercice SF 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.1.10 Exercice SF 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.1.11 Exercice SF 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.1.12 Exercice SF 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 Analyse des signaux non périodiques 532.1 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.1.1 Exercice TF 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.1.2 Exercice TF 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.1.3 Exercice TF 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.1.4 Exercice TF 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.1.5 Exercice TF 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1.6 Exercice TF 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1.7 Exercice TF 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.1.8 Exercice TF 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.1.9 Exercice TF 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.1.10 Exercice TF 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.1.11 Exercice TF 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.1.12 Exercice TF 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.1.13 Exercice TF 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.1.14 Exercice TF 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.1.15 Exercice TF 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.1.16 Exercice TF 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Corrigé des exercices, v 1.14 3MEE \co_ts.tex\5 avril 2006
III
HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)
2.1.17 Exercice TF 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.1.18 Exercice TF 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.1.19 Exercice TF 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.1.20 Exercice TF 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.1.21 Exercice TF 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.1.22 Exercice TF 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.1.23 Exercice TF 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.1.24 Exercice TF 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.1.25 Exercice TF 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.1.26 Exercice Corr 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.1.27 Exercice Corr 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803 Echantillonnage des signaux analogiques 813.1 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.1.1 Exercice ECH 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.1.2 Exercice ECH 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.1.3 Exercice ECH 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.1.4 Exercice ECH 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.1.5 Exercice ECH 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.1.6 Exercice ECH 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.1.7 Exercice ECH 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.1.8 Exercice ECH 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.1.9 Exercice ECH 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.1.10 Exercice ECH 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.1.11 Exercice ECH 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.1.12 Exercice ECH 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.1.13 Exercice ECH 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.1.14 Exercice ECH 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.1.15 Exercice ECH 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.1.16 Exercice ECH 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.1.17 Exercice ECH 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.1.18 Exercice ECH 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Corrigé des exercices, v 1.14 4MEE \co_ts.tex\5 avril 2006
HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)
Chapitre 1Analyse des signaux périodiques1.1 Corrigé des exercices1.1.1 Exercice SF 1Considérant les 2 signaux suivants pour lesquels f0= 1[kHz]x1(t) x2(t) = = 6 4 − + 1.8 2 · cos(2 · cos(· 2 π · · π f· 0f· 0t) · t + + 3 π3· )sin(2 + 0.8 · π · sin(6 · f0· t)· π · f0· t)1. dessinez leurs spectres d’amplitude et de phase unilatéraux et bilatéraux;2. écrivez x1(t) et x2(t) sous forme de série de Fourier complexe.
Corrigéx1(t) = 6 − 2 · cos(2 · π · f0· t) + 3 · sin(2 · π · f0· t) :
Pour x1(t), en comparant à la relation générale du développement en sériede Fourier,x(t) =a02+∞∑ak· cos(2 · π · k · f0· t) +∞∑bk· sin(2 · π · k · f0· t) k=1k=1(1.1)on a :1. Une composante continue a20= 122= 62. Une harmonique 1 (fondamental) à f0= 1[kHz], avec a1= −2 etb1= 3Pour la représentation des spectres unilatéraux et bilatéraux, il faut calculerla série de Fourier en cosinus ainsi que la série de Fourier complexe. On atout d’abord pour la série en cosinus :Corrigé des exercices, v 1.14 5MEE \co_ts.tex\5 avril 2006
HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)Signal temporel
1086420 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4Spectre unilatéraltempsx 100 1000 2000 3000 4000 5000k f00 1000 2000 3000 4000 5000Spectre bilatéral−36644220−5000 00 50001k f0−5000 0 5000k f010.50.500−0.5−0.5−1−1k f0f_ex_SF_1_1_1.epsFig. 1.1 – Spectres unilatéral et bilatéral de x1(t) (fichier source).A0=a0
2=122= 6A1√a21√(−2)2 + 32 = 3.6056α1=+ (b21−b=1a1)= arctan(−3−2)= arctan= −2.1588 [rad] = −123.6901 [◦]On peut donc écrire :x1(t) = 6 − 2 · cos(2 · π · f0· t) + 3 · sin(2 · π · f0· t)= A0+ A1
· cos(2 · π · f0· t + α1)= 6 + 3.6056 · cos(2 · π · f0· t − 2.1588)x2(t) = 4 + 1.8 · cos(2 · π · f0· t + π3)+ 0.8 · sin(6 · π · f0· t) :Pour x2(t), on a en se référant au développement en série de Fourier (1.1 ) :1. Une composante continue a02= 82= 4Corrigé des exercices, v 1.14 6MEE \co_ts.tex\5 avril 2006
C C O CCCOTTOCOO
Ill lj
HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)
2. Des harmoniques à f0= 1[kHz] et 3 · f0= 3[kHz], avec a1et b1àcalculer, a3= 0, b3= 0.8Pour la représentation des spectres unilatéraux et bilatéraux, il faut calculerla série de Fourier en cosinus ainsi que la série de Fourier complexe. On apour la série en cosinus :A0=a02= 4A1(=)α1√= 1.8a21+ b21π3A3=√a2
3√02 + 0.82 = 0.8α3=+ (b23−b=3a3)= arctan(−0.80)→ −π2On peut donc écrire :x2= arctan((t) = 4 + 1.8 · cos2 · π · f0· t +π3)+ 0.8 · sin(6 · π · f0· t)= 4 + 1.8 · cos(2 · π · f0)
+ 0.8 · cos(6 · π · f0)= A0· t +π3· t −π2+ A1· cos(2 · π · f0· t + α1) + A3· cos(6 · π · f0· t + α3)Dans le cas général, il aurait fallu calculer a1et b1selon les relations :ak=2T∫·+ T2x(t) · cos(2 · π · k · f0· t) · dt − T2
k ≥ 0bk=2T∫·+ T2−Tx(t) · sin(2 · π · k · f0· t) · dt k ≥ 12En tenant compte des identités trigonométriquescos(α) · cos(β) =121sin(α) · cos(β) =· cos(α + β) +12· sin(α + β) +212· cos(α − β)· cos(α − β)Corrigé des exercices, v 1.14 7MEE \co_ts.tex\5 avril 2006
III
HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)Signal temporel
864200 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4Spectre unilatéraltempsx 100 1000 2000 3000 4000 5000k f00 1000 2000 3000 4000 5000Spectre bilatéral−3443322110−5000 00 50001k f0−5000 0 5000k f010.50.500−0.5−0.5−1−1k f0f_ex_SF_1_2_1.epsFig. 1.2 – Spectres unilatéral et bilatéral de x2(t) (fichier source).Corrigé des exercices, v 1.14 8MEE \co_ts.tex\5 avril 2006
I
TG
è
Ill lj
HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)
on a donc :a1=2T∫·+ T2− T2(1.8 · cos2 · π · f0· t +π3)· cos(2 · π · 1 · f0· t) · dt=[12]· dt=∫+(4 · π · f02T· 1.8 ·T2− T2)+
· cos· t +π3(π312· cos)21(πT23)[t]− T2T2= 0.9b1· 1.8 ·· cos+=T2∫·+T2− T2(1.8 · cos2 · π · f
0· t +π3)· sin(2 · π · 1 · f0· t) · dt=[12]· dt=∫+ T2− T22T(4 · π · f0· 1.8 ·· sin· t +π3)+12· sin(−π3)2T
· 1.8 ·12· sin(π3)[t]+ − T2= −0.9 ·√3T2On vérifie que l’on a bien :A1√√a210.92 +(−0.9 ·)2= 1.8α1=+ b21=√3(0.9 ·)= arctan(−b
1a1)= arctan√30.9= 1.047 =π3Corrigé des exercices, v 1.14 9MEE \co_ts.tex\5 avril 2006
III
Corrigédesexercices,
v1.1410MEE\co_ts.tex\5avril2006
Pour x1
·tPour x2(t) :x2(t) = A0+ A1· cos(2 · π · f0· t + α1
) + A3· cos(6 · π · f0· t + α3)= A0A12+·(e+j·(2·π·f0·t+α1) + e−j·(2·π·f0·t+α1))+A32·(e+j·(6·π·f0·t+α1) + e−j·(6·π·f0
(t) :x1
)= A0
)= X1A12+·(e+j·2·π·f0·t · e+j·α
1 + e−j·2·π·f0·t · e−j·α1)+A32·(e+j·6·π·f0·t · e+j·α
3 + e−j·6·π·f0
︸ (j ︷︷ · 0)︸+X︸ 2(j ︷︷ · 1)︸·ej·2·π·f0·t + X︸ 2(−j ︷︷ · 1)︸·e−j·2·π·f
0·t + X︸ 2(j ︷︷ · 3)︸·ej·6·π·f0·t + X︸ 2(−j ︷︷ · 3)︸·e−j·6·π·f0A0A21·e+j·α1A21·e−j·α1A23·e+j·α3A23·e−j·α3
· (t) = A0+ A1· cos(2 · π · f0t + α1)= A0
)= A0+A21·(e+j·(2·π·f0·t+α1) + e−j·(2·π·f0·t+α1))= X1+A21·(e+j·2·π·f0·t · e+j·α
1 + e−j·2·π·f0·t · e−j·α1
︸ (j ︷︷ · 0)︸+X︸ 2(j ︷︷ · 1)︸·ej·2·π·f0·t + X
︸ 2(−j ︷︷ · 1)︸·e−j·2·π·f0A0A21·e+j·α1A21·e−j·α1
·t+α1
)
·t · e−j·α3
·t
HEIG-VdTraitementde
Signal(TS)
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1.1.2 Exercice SF 2Utilisez les formules d’Euler pour montrer que la série de Fourier du signal suivantx(t) =(1 + cos(2 · π · f0· t +π6))· cos(10 · π · f0· t)est décrite par les harmoniques 4, 5 et 6. Pour ce faire :1. remplacez chaque fonction cosinus par deux phaseurs; effectuez le produit;2. écrivez x(t) sous la forme d’une somme de phaseurs;3. que valent les coefficients X (j · k) non-nuls?4. dessinez les spectres bilatéraux et unilatéraux d’amplitude et de phase.Corrigé des exercices, v 1.14 11MEE \co_ts.tex\5 avril 2006
Corrigédesexercices,
v1.1412MEE\co_ts.tex\5avril2006
Corrigéx(t) =(1 + cos(2 · π · f0· t +π6))· cos(10 · π · f0· t)=
(1 + 0.5 ·(ej·
))· 0.5 ·(ej·10·π·f0)= 0.5 ·(ej·10·π·f0)+ 0.5 ·(ej·
)· 0.5 ·(ej·10·π·f0)= 0.5 ·(0.5·π·f0·t+π6)+ e−j·
(2·π·f0·t+π6)·t + e−j·10·π·f0·t·t + e−j·10·π·f
0·t(2·π·f0·t+ π6)+ e−j·
(2·π·f0·t+ π6)·t + e−j·10·π·f0·t(ej·10·π·f0·t + e−j·10·π·f0·t)+ 0.25 ·(ej·
(2·π·f0·t+ π6)+ e−j·
(2·π·f0·t+ π6))·(ej·10·π·f0
·t + e−j·10·π·f0·t)= 0.5 ·)+ 0.25 ·((ej·
(2·π·f0)· ej·10·π·f0ej·10·π·f0·t + e−j·10·π·f0·t(2·π·f0)· e−j·10·π·f0(2·π·f0)· ej·10·π·f0(2·π·f0)· e−j·10·π·f0)= 0.5 ··t+π6·t + ej··t+
π6·t + e−j··t+π6·t + e−j··t+π6·t(ej·10·π·f0)+ 0.25 ·()ej·
= X(j·4)·ej·8·π·f0·t + e−j·10·π·f0·t(12·π·f0·t+ π6)+ ej·
(−8·π·f0·t+ π6)+ ej·
(8·π·f0·t− π6)+ e−j·
(12·π·f
0·t+ π6)·t+X(−j·4)·e−j·8·π·f0·t+X(j·5)·ej·10·π·f0·t+X(−j·5)·e−j·10·π·f0·t+X(j·6)·ej·12·π·f0·t+X(−j·6)·e−j·12·π·f0·tavecX(j · 4) = 0.25 · e−j· π6X(−j · 4) = 0.25 · ej·π6X(j · 5) = 0.5X(−j · 5) = 0.5X(j · 6) = 0.25 · ej· π6X(−j · 6) = 0.25 · e−j· π6
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