第十五章：量子力學初步

第十五章量子物理初步


教學基本要求• 掌握描述光的波粒二象性的有關理論，包

括黑體輻射規律、普朗克的能量量子化假設、愛因斯坦的光子理論和玻爾理論等。

• 掌握描述實物微觀粒子的波粒二象性的德布羅意物質波假設、不確定關係、波函數和薛定諤方程等基本概念和規律。

• 理解原子結構的量子力學描述。• 瞭解薛定諤方程的應用和原子、分子光譜

的特點及產生機制。


量子概念是 1900 年普朗克首先提出的，此後，經過愛因斯坦、玻爾、德布羅意、玻恩、海森伯、薛定諤、狄拉克等許多物理大師的共同努力，到 20 世紀 30 年代，建立了量子力學的理論體系。

量子力學理論是近代物理的基礎核能半導體技術鐳射

量子力學理論也是交叉學科的基礎量子化學材料物理量子生物學


第一節黑體輻射一、黑體輻射

1. 熱輻射物體內部的原子和分子都在不停地作熱運動。在劇烈的碰撞中，總是不斷有原子吸收動能進入激發狀態，然後又以電磁波的形式將多餘能量輻射出去。這種由熱運動引起的輻射現象稱為熱輻射。

2. 熱平衡輻射一個物體輻射出去的電磁波的能量（即輻射能）等於它同時間內吸收的輻射能時，物體的溫度保持不變。


3. 黑體對入射的各種波長的電磁波能量能全部吸收的物體。（黑體是理想模型）

黑體的實驗模型：不透明材料製成的空腔，外面開一個小孔。

4. 輻射出射度（簡稱輻出度）單位時間內從黑體單位表面積上所發射的各種波長電磁波能量的總和。

5. 單色輻出度單一色光的輻出度。

M T M T0

( ) ( )d


6. 黑體輻射的兩條實驗規律

4( )M T T（ 1 ）斯特藩 - 玻耳茲曼定律

8 2 45.670 10 W m K

斯特藩—玻爾茲曼常量

（ 2 ）威恩位移定律

mT b

32.898 10 m Kb 常量

峰值波長 0 1 2

( )M T

/ m

可見光區

1100K

1700K


例 15-1 已知在紅外線範圍 ( =1~14 µm) 內，人體可近似看作黑體。假設成人體表面面積的平均值為１ .73 m2 ，表面溫度為 33℃=306 K ，求人體輻射的總功率。解：根據（式 15-1 ），人體單位表面積的輻射功率為：M T T 4 8 4 2( ) 5.67 10 306 497(W m )

人體輻射的總功率為：P 1.73 497 860(W)

考慮到周圍環境的溫度 Ts ：

sM T T T4 4( ) ( )


二、普朗克能量量子化假設

o

實驗值( )M T

威恩線

瑞利 - 金斯線

紫外災難

普朗克線

/ m 1 2 3 4 5 6 7 8


346.6260755 10 J sh 普朗克常量

0 h 能量子

普朗克認為：①組成黑體腔壁的分子、原子可看作是帶電的線性諧振子；②諧振子只能處於某些特定的能量狀態，每一狀態的能量只能是最小能量 ε0 的整數倍。

2 5

/( )

2 π( )

e 1hc kT

hcM T

普朗克黑體輻射公式

0 ( 1,2,3, )E n nh n

空腔壁上的帶電諧振子吸收或發射能量應為


第二節光電效應一、光電效應

光電效應的實驗規律：

1. 飽和光電流與照射光強成正比

1I

2Ii

m1im2i

OsU U

2 1I I

（光強）mi I

2. 光電子的最大初動能與遏制電壓成正比

2s

1

2m eUv


3. 不同的金屬有不同的紅限和逸出功

0 僅當才發生光電效應，閾頻率（紅限）與材料有關與光強無關 .

sU

0

Cs K Cu

逸出功 A—— 電子逸出金屬表面要克服逸出電勢所作的功。

4. 遏制電壓與光強無關，而與照射光頻率成線性關係。

s 0 0( ) ( )U k 2s

1

2m eUv

故光電子的最大初動能與照射光的頻率成線性關係5. 光電子是即時發射，弛豫時間不超過 10−9s 。


二、愛因斯坦光子假設1. 光子假設

mc h2 光子的能量：h h

p mcc

光子的動量：

hm

c c2 2

光子的品質：

光具有波動性，又具有粒子性，稱為光的波粒二象性。


2. 解釋實驗愛因斯坦光電效應方程

20

1,

2h m A A h v

① 對同一種金屬，一定，，與光強無關。kE A

② kE A 才能產生光電效應，故。0

③ 光強越大，光子數目越多，在單位時間內產生光電子數目越多，光電流越大。

④ 光照射到金屬上，一個光子的能量被一個電子全部吸收，因而光電子的發射是即時的。


第三節康普頓效應一、康普頓效應

射

線

源

散射物質散射物質

1. 雙峰散射，出現新的波長成分 0

2. 波長改變量隨散射角增大而增大，與散射物質無關2

0 (1 cos ) 2 sin2c c

3. 散射光強度與散射物質的性質有關。


二、光子理論對康普頓效應的解釋光子理論認為康普頓效應是光子與散射體原子中外層電子彈性碰撞的結果。

模型：光子與靜止的自由電子的彈性碰撞

x

y

00

hn

hn

mv

n

0n

2 20 0h m c h mc

能量守恆

00

h hn n m

c c

v

動量守恆


物理意義1. 證明光子理論的正確性，狹義相對論力學的正確性 .

2. 微觀粒子間的相互作用也遵守能量守恆和動量守恆定律 .

20

0

(1 cos ) (1 cos ) 2 sin2c c

h

m c

2 2 1/ 20(1 / )m m c v考慮

2 2

2 0 02 cosh hh h

mc c c c

v

康普頓波長


第四節氫原子光譜玻爾的氫原子理論一、氫原子光譜

1.1885 年，巴耳末發現氫原子光譜可見光部分的規律

2 2

1 1 1( ) 3,4,5,2

R nn

2.1890 年 , 裡德伯給出廣義巴耳末公式

2 2

1 1 1( ), 1, 2,R n k kk n

裡德伯常量 7 11.0973731 10 mR


萊曼系 2 2

1 1 1( ) , 2,3,1

R nn 紫外

2 2

1 1 1( ) , 3,4,2

R nn 巴爾末系可見光

2 2

1 1 1( ) , 4,5,3

R nn 帕邢系

2 2

1 1 1( ) , 5,6,4

R nn 布喇開系

2 2

1 1 1( ) , 6,7,5

R nn 普豐德系

2 2

1 1 1( ) , 7,8,6

R nn 韓弗理系

紅外


二、玻爾的氫原子理論主要思想：

1. 定態假設原子只能處於一系列具有分立能量的狀態，在這些狀態下，電子繞核運動但不輻射能量，稱為定態。

定態存在的量子條件：

( 1, 2, 3, )2

hL m r n n

v ，

約化普朗克常數


2. 躍遷假設原子只有從一個定態向另一個定態躍遷時，才發射或吸收電磁波，其發射或吸收的輻射頻率，由兩定態的能量差決定。

n kh E E 頻率條件

3. 對應原理4. 重要結論

（ 1 ）軌道半徑：

（ 2 ）能級：

22 20

12n

hr n n r

me

玻爾半徑， a0

4

12 2 2 20

1

8n

meE E

h n n

基態能量，− 13.6 eV


（ 3 ）由玻爾假設中的頻率條件推導出巴耳末公式：4

2 3 2 20

1 1

8n kE E me

h h k n

4

2 3 2 20

1 1 1

8

me

c h c k n

裡德伯常數

氫原子的能級

和光譜系

1n

2n3n4n

n 0E

萊曼系

巴耳末系帕邢系

布喇開系

1 13.6eVE


第五節物質的波動性質一、德布羅意物質波假設

法國物理學家德布羅意（ Louis Victor de Broglie 1892 – 1987 )

提出實物粒子也應該有波粒二象性。2E mc h

hp m

v

2. 宏觀物體的物質波長很小，所以宏觀物體的波動性顯示不出來，僅表現出粒子性。

1. 和實物粒子相聯繫的波稱為德布羅意波或物質波。


3. 從德布羅意波推導氫原子波爾理論中的角動量量子化條件 .

利用弦線上的駐波條件

1,2,3,n 2 π r n

將弦彎曲成圓時

h

m

v

電子的德布羅意波長為

2π

hL m r n v角動量量子化條件


例 15-2 設光子波長和電子的德布羅意波長相等，它們的動量和能量是否相等？

解：波長為的光子的動量和能量分別為

p mc hp / E mc hc2p /

波長為的電子的動量和能量分別為p m he e / v

m h c hc cE m c c c E2 2 2e

p e p

vv v v v

可知：波長相等時，動量相等，但電子的能量大於光子


二、電子衍射1. 最早的電子衍射實驗——大衛孫 - 革末實驗 1927年

該實驗首次證實了電子具有波動性

鎳單晶

電子束

探測器θ

相對強度

10 20 5030 40 60 70 800 θ


2.1927 年， G. P. 湯姆孫以一電子束入射到金箔薄膜，也得到了與圓孔衍射相似的清晰的電子衍射圖樣。


三、不確定關係海森伯於 1927 年提出不確定關係。

/ 2yy p / 2xx p

/ 2zz p

1. 座標和動量的不確定關係

用電子衍射說明不確定關係y

/p h a

1 o

x

xp1p

,x a 1sinxp p p

a

xx p h

xx p h 考慮高級次衍射明紋有


2. 能量和時間的不確定關係/ 2E t

不確定關係是微觀粒子具有波粒二象性的反映，是一個重要的基本規律，在微觀問題中，它被用於作數量級的估計。

（ 1 ）微觀粒子某一方向上的座標與動量不可同時準確測量。

物理意義：

（ 2 ）宏觀粒子，，座標與動量可同時準確測量。

0xx p

xx p h 簡明運算式


例 15-3按照玻爾理論，氫原子基態的電子軌道直徑為 10−10m ，電子速率約為 2.18×106m·s−1 。設電子在氫原子內座標的不確定量為 10−10m ，試求電子速率的不確定量。

解：

h

m x

346 1

31 10

6.626 107.2 10 (m s )

9.1 10 10

v

由此可見，電子在原子內沿確定軌道運動沒有意義。


第六節波函數薛定諤方程一、波函數及其統計解釋

自由粒子的動量 p 和能量 E 是確定的，其物質波的頻率和波長均不變，可認為它是一單色平面波。1. 波動方程的複數形式為：

e e2

( )2 ( / )0 0( , )

i Et pxi t x hx t

2. 波函數的統計解釋

（ 1 ） 1926 年玻恩提出德布羅意波是概率波。


某時刻粒子在空間某點附近體積元中出現的概率為

dV2 *d d dw V V

2 *

概率密度：表示粒子在某處單位體積內出現的概率。

2d 1

VV

（ 2 ）基本性質： ①波函數振幅的平方表示粒子在空間某點出現的概率密度； ②波函數滿足單值、連續、有限的標準條件； ③波函數滿足歸一化條件：

④ 波函數適用疊加原理： 1 1 2 2c c


二、薛定諤方程（波函數遵從的微分方程）

1. 自由粒子的薛定諤方程

k2

2 2

2d ( )( ) 0

d

mExx

x

2. 定態薛定諤方程粒子不自由，而是在某力場運動，但粒子的勢能不隨時間變化，稱粒子處於定態。

pE U

2

2 2

d ( ) 2( ) ( ) 0

d

x mE U x

x


2 2 2

2 2 2 2

( ) ( ) ( ) 2( ) ( ) 0

r r r mE U r

x y z

引入拉普拉斯算符22 2

22 2 2x y z

三維定態薛定諤方程的一般式

22

2( ) ( ) ( ) 0

mr E U r

推廣到三維情況


三、一維無限深勢阱

0 (0 )( )

( 0, )

x aU x

x x a

粒子的勢能為

a xO

( )U x

2

2 2

d 2( 0) ( ) 0 (0 )

d

mE x x a

x

薛定諤方程

解出定態波函數為2

( ) sin (0 )n

x x x aa a


波函數 2( ) sin (0 )

nx x x a

a a

( ) 0 ( 0, )x x x a

2 22 π( ) sin

nx x

a a （ 1 ）概率密度

2 2

28n

n hE

ma（ 2 ）能量

2

1 21,8

hn E

ma 零點能


0x / 2a a1n

2n

3n

4n

n

0x / 2a a

2

n

1E14E

19E

116E

粒子在勢阱內的波形和概率密度


( )U x

a xO

U(0 )

( )0 ( 0, )

U x aU x

x x a

粒子的勢能為

四、勢壘隧道效應

薛定諤方程2

2 2

d 2( ) 0 (0 )

d

mE U x a

x

2

2 2

d 20 ( 0, )

d

mEx x a

x


解得各區域的波函數為

1 1

2 2

3

1 1 1

2 2 2

3 3

( ) e e ( 0)

( ) e e (0 )

( ) e ( )

ik x ik x

k x k x

ik x

x A B x

x A B x a

x A x a

其中： 1 22 2

2 2, ( )

mE mk k E U

隧道效應

從左方射入的粒子，在各區域內的波函數波形

1 2 3

( )x

a xO


第七節量子力學的原子結構概念

一、四個量子數

類氫離子的定態薛定諤方程2 2 2 2

2 2 2 20

( ) ( ) ( ) 2( ) ( ) 0

4

r r r m ZeE r

x y z r

1. 能量量子化——主量子數 n

類氫離子的總能量是量子化的，能量值為4 2

2 2 20

, 1, 2, 3,8n

me ZE n

h n


2. 角動量量子化——角量子數 l

電子的軌道角動量是量子化的，其值為

( 1) , 0,1, 2, , 12

hL l l l n

3. 空間量子化——磁量子數 m

電子的軌道角動量在外磁場中的取向是量子化的，其值為

, 0, 1, 2, ,2z

hL m m l

4. 自旋量子化——自旋量子數 s

( 1)2s

hL s s

電子的1

2s

光子的 1s


自旋角動量在 Z軸方向的分量也是量子化的，其值為

, , 1, ,2sz s s

hL m m s s s

ms ：自旋磁量子數

對應於每一個由所確定的函數，電子可能

有兩種不同的運動狀態，這兩種狀態的 ms 取值分

別為和。1

2

1

2

( , , )n l m

綜上所述，對於給定的主量子數 n ，電子可能的運動狀態數為：

12

0

2(2 1) 2n

nl

Z l n


二、多電子原子

1. 能量最小原理最穩定的狀態就是能量最低的狀態，故原子處於正常狀態時，其中每個電子都要趨向於佔有最低的能級。

2. 泡利不相容原理在一個原子內不可能有兩個處於同一量子狀態的電子。

核外電子在殼層和支殼層上的分佈由下面兩條原理決定：


第八節原子光譜和分子光譜一、原子光譜

原子光譜是線狀光譜，它的產生是原子能級躍遷的結果。

1. 明線光譜（發射光譜）原子從能量較高的狀態躍遷到能量較低的狀態時發射的單色光。躍遷遵循選擇定則。

2.暗線光譜（吸收光譜）原子從照射光中吸收特定頻率的光子而躍遷到某一較高能級，其結果將使得照射光的光譜中出現暗線。

光譜分析：利用明線光譜和暗線光譜分析物質的元素成分及量。


二、分子光譜1. 分子光譜是帶狀光譜，一個線系形成一個帶，若干帶形成一個帶系。它的產生是分子能級躍遷的結果。

2. 分子能級（ 1 ）電子能級 /e eE h

（ 2 ）分子中原子振動能級

/v vE h 1

( )2vE n h

（ 3 ）分子轉動能級 /r rE h


分子上述三個運動相互影響，可近似認為分子某一定態的總能量為三部分能量的總和，即

e v rE E E E

當分子的狀態發生變化時，分子能量的改變為：

e v rE E E E

所吸收或發射的光子頻率為：

e v rE E E

h h h

雙原子分子能級的示意圖

電子能級

振動能級

轉動能級

第十五章：量子力學初步

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