Top Banner
41

ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

Jan 10, 2016

Download

Documents

Keziah

ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior). ลิมิตซูพีเรียร์. พิจารณาเมื่อ มีขอบเขตบน และเมื่อ ไม่มีขอบเขตบน. กรณีที่ มีขอบเขตบน จะมีจำนวนจริง M ที่ s n  M, ทุก n . - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)
Page 2: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

กรณี�ที่�� มี�ขอบเขตบน จะมี�จ��นวนจร�ง M ที่�� sn M, ที่�ก n

1nn}s{

พิ�จ�รณี�เมี��อ มี�ขอบเขตบน และเมี��อ ไมี�มี�ขอบเขตบน

1nn}s{

1nn}s{

Page 3: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

สำ��หร�บแต�ละ n ก��หนดเซต { sn, sn+1, sn+2, … } เช่�น

n = 1 ได# { s1, s2, s3, … } n = 2 ได# { s2, s3, s4, … }

เป็%นต#นซ&�งแต�ละเซตเป็%นเซตที่��มี�ขอบเขตบนให# Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } เน��องจ�ก { sn, sn+1, sn+2, … }

{ sn+1, sn+2, sn+3, … }ที่��ให# Mn Mn+1 ที่�ก n

ด�งน�(น เป็%นล��ด�บไมี�เพิ��มีล��ด�บไมี�เพิ��มีอ�จเป็%นล��ด�บที่��ล)�เข#� หร�อล��ด�บที่��

ล)�ออกสำ)� – อย่��งใดอย่��งหน&�ง

1nn}M{

Page 4: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

บทนิ�ยาม 3.5.1 ให# เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�งที่��มี�ขอบเขตบน และMn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } ลิ�ม�ตซู�พี เรี ยรี�ของลิ�าดั�บ แที่นด#วย่ sup sn

1nn}s{

nlim

ถ้#� เป็%นล��ด�บล)�เข#� แล#วให# sup sn = Mn

ถ้#� เป็%นล��ด�บล)�ออกสำ)� – แล#วให# sup sn = –

1nn}M{

nlim

nlim

1nn}M{

nlim

Page 5: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ต�วอย�าง 1 =

เป็%นล��ด�บที่��มี�ขอบเขตบน Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = 1 ที่�ก n

เป็%นล��ด�บล)�เข#�

sup sn = Mn = 1

1nn}s{

1nn})1({

1nn}s{

1nn}M{

nlim

nlim

Page 6: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ต�วอย่��ง 2 คื�อ 1, –2, , - 4 , , -6

เป็%นล��ด�บที่��มี�ขอบเขตบน Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … }

และล��ด�บ คื�อ 1, , , , , , ,...ซ&�งล)�เข#�

ด�งน�(น sup sn = Mn = 0

1nn}s{

31

51

1nn}s{

1nn}M{ 3

131

51

51

71

71

nlim

nlim

Page 7: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ต�วอย�าง 3 คื�อ –1, –2, –3, –4, –5, …

เป็%นล��ด�บที่��มี�ขอบเขตบน Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = –n , n

เป็%นล��ด�บล)�ออกสำ)� –

sup sn = –

1nn}s{

1nn}s{

1nn}M{

nlim

Page 8: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

บทนิ�ยาม 3.5.2 ถ้#� เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�งที่��ไมี�มี�ขอบเขตบน แล#วให# sup sn =

1nn}s{

nlim

ต�วอย�าง 4 คื�อ 1, 2, 1, 4, 1, 6, …

เป็%นล��ด�บที่��ไมี�มี�ขอบเขตบน

ด�งน�(น sup sn =

1nn}s{

1nn}s{

nlim

Page 9: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

9

ทฤษฎี บท 3.5.3 ถ้#� เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�งและเป็%นล��ด�บล)�เข#� แล#ว sup sn = sn

1nn}s{

nlim

nlim

การีพี�สู�จนิ� ให# sn = L

สำ��หร�บ > 0 จะมี�จ��นวนเต-มีบวก k ที่��ที่��ให#

| sn – L | < , n k L – < sn < L + , n kสำ��หร�บ n k จะมี� L + เป็%นขอบเขตบนของเซต { sn, sn+1, sn+2, … } แต� L – ไมี�เป็%นขอบเขตบนของเซต { sn, sn+1, sn+2, … }

nlim

Page 10: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

L – < Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } L + , n k

{ Mn } เป็%นล��ด�บไมี�เพิ��มีที่��ล)�เข#� และโดย่บที่แที่รก 3.4.4

ที่��ให# L – Mn L +

L – sup sn L +

เน��องจ�ก เป็%นจ��นวนจร�งบวกใดๆ

ด�งน�(นย่�อมีได#ว�� sup sn = L

1n

nlim

nlim

nlim

Page 11: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

บทนิ�ยาม 3.5.4 ให# เป็%นล��ด�บของจ��นวนจร�งที่��มี�ขอบเขตล��ง และ mn = g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } ลิ�ม�ตอ�นิฟี!เรี ยรี� แที่นด#วย่ inf sn

1nn}s{

nlim

1. ถ้#� เป็%นล��ด�บล)�เข#� แล#วให# inf sn = mn1nn}m{

nlim

nlim

2 . ถ้#� เป็%นล��ด�บล)�ออกสำ)� แล#วให# inf sn = 1nn}m{

nlim

Page 12: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

บทนิ�ยาม 3.5.5 ให# เป็%นล��ด�บของจ��นวนจร�งที่��ไมี�มี�ขอบเขตล��ง แล#วให# inf sn = –

1nn}s{

nlim

1nn}s{

1nn})1({

ต�วอย�าง 5 =

เป็%นล��ด�บที่��มี�ขอบเขตล��ง

mn = g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = –1 ที่�ก n เป็%นล��ด�บล)�เข#�

inf sn = mn = –1

1nn}s{

1nn}m{

nlim

nlim

Page 13: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ต�วอย�าง 6 คื�อ 2, 4, 6, 8, 10, …1nn}s{

1nn}s{ เป็%นล��ด�บที่��มี�ขอบเขตล��ง

mn = g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = 2n , n

1nn}m{ เป็%นล��ด�บล)�ออกสำ)�

ด�งน�(น nliminf sn =

Page 14: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ต�วอย�าง 7 1nn}s{ คื�อ 1, –2 , 1, –4, 1, –6, …

1nn}s{ เป็%นล��ด�บที่��ไมี�มี�ขอบเขต

ล��ง

ด�งน�(น nliminf sn = –

Page 15: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ต�วอย�าง 8 1nn}s{

1n

n}n

)1({ =

1nn}s{ เป็%นล��ด�บที่��มี�ขอบเขต

nlimsup sn = n

limMn = 0

nliminf sn = n

limmn = 0

Page 16: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ทฤษฎี บท 3.5.6 ถ้#� เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�งที่��ล)�เข#� แล#ว inf sn = sn

1nn}s{

nlim

nlim

ทฤษฎี บท 3.5.7 ถ้#� เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�ง แล#ว inf sn = supn

1nn}s{

nlim

nlim

Page 17: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

การีพี�สู�จนิ� (1) ถ้#� มี�ขอบเขต1nn}s{

mn = g.l.b.{ sn, sn+1, sn+2, … } l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = Mn

nlimmn n

limMn ด�งน�(น nliminf sn n

limsup sn

(2) ถ้#� ไมี�มี�ขอบเขต1nn}s{

ด�งน�(น nlimsup sn = หร�อ n

liminf sn = –

จ�ก (1), (2) น��นคื�อ nliminf sn n

limsup sn

Page 18: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ทฤษฎี บท 3.5.8 ถ้#� เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�ง sup sn = inf sn

= L และ L แล#ว

เป็%นล��ด�บล)�เข#� และ sn = L

1nn}s{

nlim

nlim

1nn}s{

nlim

การีพี�สู�จนิ� ให# > 0 เน��องจ�ก L = sup sn

= l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … }

nlim

nlim

Page 19: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

จะมี�จ��นวนเต-มีบวก k1 ที่��ที่��ให#| l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } – L | < ,

n k1

l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } < L + , n k1

ที่��ให# sn < L + , n k1 เน��องจ�ก L =

=

nliminf sn

nlimg.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … }

Page 20: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

จะมี�จ��นวนเต-มีบวก k2 ที่��ที่��ให# | g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } – L | < , n

k2

L – < g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } , n k2

ที่��ให# L – < sn , n k2

ให# k = max { k1, k2 } ที่��ให# L – < sn < L + , n k

ด�งน�(น | sn – L | < , n k

น��นคื�อ sn = L

nlim

Page 21: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

21

ทฤษฎี บท 3.5.9 ถ้#� เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�ง และ sup sn = = inf sn แล#วล��ด�บ

เป็%นล��ด�บล)�ออกสำ)�บวกอน�นต0

1nn}s{

nlim

nlim 1nn}s{

การีพี�สู�จนิ� ให# M > 0เน��องจ�ก n

liminf sn = จะมี�จ��นวนเต-มีบวก k ซ&�งที่��ให# g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } > M , n k

sn g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } , n k

ด�งน�(น sn > M , n kน�(นคื�อ ล)�บวกออกสำ)�อน�นต0

nlim

Page 22: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ทฤษฎี บท 3.5.10 ถ้#� และ เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�ง และเป็%นล��ด�บ ที่��มี�ขอบเขต ถ้#� sn tn , n แล#ว

1( ) sup sn sup tn

2( ) inf sn inf tn

1nn}s{

1nn}t{

nlim

nlim

nlim

nlim

Page 23: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

การีพี�สู�จนิ� เน��องจ�ก sn tn , n Mn = l.u.b.{ sn, sn+1, sn+2, … } l.u.b.{ tn, tn+1, tn+2, … } = Mn

และ 1nn }M{

1nn }M{ เป็%นล��ด�บไมี�เพิ��มีที่��ล)�เข#� และจ�กที่ฤษฎี�บที่ 3.4.4

ด�งน�(น sup sn sup tn

nlim

nlim

Page 24: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

mn = g.l.b.{ sn, sn+1, sn+2, … } g.l.b.{ tn, tn+1, tn+2, … } = mn

และ เป็%นล��ด�บไมี�ลดที่��ล)�เข#� และจ�กที่ฤษฎี�บที่ 3.4.4

ด�งน�(น inf sn inf tn

1nn }m{

1nn }m{

nlim

nlim

Page 25: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ทฤษฎี บท 3.5.11 ถ้#� และ เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�ง และเป็%นล��ด�บ ที่��มี�ขอบเขต แล#ว

1( ) sup ( sn + tn ) sup sn + sup tn

2( ) inf ( sn + tn ) inf sn + inf tn

1nn}s{

1nn}t{

nlim

nlim

nlim

nlim

nlim

nlim

Page 26: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

การีพี�สู�จนิ� (1) เน��องจ�ก และ เป็%นล��ด�บที่��มี�ขอบเขต

ให# Mn = l.u.b.{ sn, sn+1, sn+2, … } sk Mn ( k n ) Pn = l.u.b.{ tn, tn+1, tn+2, … } tk Pn ( k n ) พิ�จ�รณี� ผลบวกของล��ด�บ ก�บ

1nn}s{

1nn}t{

1nn}s{

1nn}t{

Page 27: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

จะได#ว�� sk + tk Mn + Pn ( k n )ด�งน�(น Mn + Pn เป็%นขอบเขตบนของ { sn+ tn, sn+1+ tn+1, sn+2+ tn+2, … } โดย่ที่ฤษฎี�บที่ 3.4.4 และที่ฤษฎี�บที่ 3.4.1 l.u.b.{ sn+ tn, sn+1+ tn+1, sn+2+ tn+2, … } Mn + Pn

nlim

nliml.u.b.{ sn+ tn, sn+1+ tn+1, sn+2+ tn+2, … } (Mn + Pn)

น�(นคื�อ sup ( sn + tn ) sup sn + sup tn

สำ��หร�บก�รพิ�สำ)จน0 (2) สำ�มี�รถ้ที่��ได#ในที่��นองเด�ย่วก�นก�บ (1)

nlim

nlim= Mn + Pn

nlim

nlim

nlim

Page 28: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ทฤษฎี บท 3.5.12 ให# เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�ง และเป็%นล��ด�บที่��มี�ขอบเขต ถ้#� sup sn = M แล#วสำ��หร�บ > 0

1( ) sn < M + สำ��หร�บที่�กคื��ของ n ย่กเว#นเพิ�ย่งบ�งคื�� มี�เป็%นจ��นวนจ��ก�ด

2( ) sn > M – สำ��หร�บ n มี�เป็%นจ��นวนอน�นต0

1nn}s{

nlim

Page 29: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

การีพี�สู�จนิ�

(1) สำมีมีต�ข#อคืว�มี (1) ไมี�จร�งจะมี� > 0 ที่��ที่��ให# sn M + สำ��หร�บ

n มี�เป็%นจ��นวนอน�นต0ด�งน�(นแต�ละ n , จะมี� sk { sn, sn+1,

sn+2, … } ซ&�ง sk M + ที่��ให# l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … }

M + , n l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } ( M + )

sup sn M +

nlim

nlim

nlim

Page 30: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ที่��ให# M M + เก�ดก�รข�ดแย่#ง น��นคื�อ ที่�ก > 0 , sn < M +

สำ��หร�บที่�กคื��ของ n ย่กเว#นเพิ�ย่งบ�งคื�� และมี�เป็%นจ��นวนจ��ก�ด

Page 31: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

(2) สำมีมีต�ข#อคืว�มี (2) ไมี�จร�งจะมี� > 0 ที่��ที่��ให# sn > M – สำ��หร�บ

n บ�งคื��มี�เป็%นจ��นวนจ��ก�ดที่��ให#มี�จ��นวนเต-มีบวก k ซ&�ง sn M –

, n kด�งน�(น M – เป็%นขอบเขตบนของ { sn,

sn+1, sn+2, … } , n k และ l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } M – sup sn M – ที่��ให# M M – เก�ดก�รข�ดแย่#ง

น��นคื�อ ที่�ก > 0 , sn > M – สำ��หร�บคื��ของ n มี�จ��นวนเป็%นอน�นต0

nlim

Page 32: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ทฤษฎี บท 3.5.13 ให# เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�ง ที่��มี�ขอบเขตถ้#� inf sn = m แล#วสำ��หร�บ > 0

1( ) sn > m – สำ��หร�บที่�กคื��ของ n ย่กเว#นเพิ�ย่งบ�งคื�� มี�เป็%นจ��นวนจ��ก�ด 2( ) sn < m + สำ��หร�บ n มี�เป็%นจ��นวนอน�นต0

1nn}s{

nlim

Page 33: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

nlim

การีพี�สู�จนิ� (1) สำมีมีต�ข#อคืว�มี (1) ไมี�จร�งจะมี� > 0 ที่��ที่��ให# sn m – สำ��หร�บ n

มี�เป็%นจ��นวนอน�นต0ด�งน�(น สำ��หร�บแต�ละ n, จะมี� sk { sn, sn+1,

sn+2, … } ซ&�ง sk m – ที่��ให# g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … }

m – , n g.l.b. { sn, sn+1, sn+2,

… } ( m – )

inf sn m –

m m – เก�ดก�รข�ดแย่#ง น��นคื�อที่�ก > 0 , sn > m – สำ��หร�บที่�กคื��ของ n อ�จย่กเว#น

เพิ�ย่งบ�งคื��มี�เป็%นจ��นวนจ��ก�ด

nlim

nlim

Page 34: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

(2) สำมีมีต�ข#อคืว�มี (2) ไมี�จร�งจะมี� > 0 ที่��ที่��ให# sn < m + สำ��หร�บ n

บ�งคื��มี�เป็%นจ��นวนจ��ก�ดที่��ให#มี�จ��นวนเต-มีบวก k ซ&�ง sn m + ,

n kด�งน�(น m + เป็%นขอบเขตล��งของ { sn,

sn+1, sn+2, … } , n kและ g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } m +

inf sn

m + m

m + เก�ดัการีข�ดัแย#ง น��นคื�อที่�ก > 0 , sn < m + สำ��หร�บ

n มี�เป็%นจ��นวนอน�นต0

nlim

Page 35: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ทฤษฎี บท 3.5.14 ทฤษฎี บทโบลิซูาโนิ–ไวแยรี�สูตรีาสูสู� สู�าหรี�บลิ�าดั�บ

(The Bolzano–Weierstrass Theorem for Sequence)

ถ้#� เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�งที่��มี�ขอบเขต แล#วจะมี�ล��ด�บย่�อย่ที่��เป็%นล��ด�บล)�เข#�

การีพี�สู�จนิ� เน��องจ�ก เป็%นล��ด�บที่��มี�ขอบเขต

ให# sup sn = M

สำร#�งล��ด�บย่�อย่ ของล��ด�บ

1nn}s{

1nn}s{

nlim

1nn}s{

1iin}s{

Page 36: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

โดย่ที่ฤษฎี�บที่ 3.5.12 (2) จะได#ว�� sn > M – 1 สำ��หร�บ n มี�เป็%นจ��นวนอน�นต0

ให# n1 ที่�� > M – 1

และ sn > M – สำ��หร�บ n มี�เป็%นจ��นวนอน�นต0

ให# n2 โดย่ที่�� n1 < n2 และ > M –

พิจน0ต�อๆไป็ของ สำร#�งในที่��นองเด�ย่วก�น

โดย่ที่��พิจน0ที่�� i ของล��ด�บย่�อย่น�(น ni > ni–1 และ

1ns

21

2ns 21

1nn}s{

ins> M –i1 .....

()

Page 37: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ต�อไป็จะแสำดงว��ล��ด�บย่�อย่ ล)�เข#�1iin

}s{ให# > 0 โดย่ที่ฤษฎี�บที่ 3.5.12 (1) จะ

ได#ว�� sn < M + สำ��หร�บที่�กคื�� n ย่กเว#นเพิ�ย่งบ�งคื��เป็%นจ��นวนจ��ก�ดด�งน�(นจะมี� k ที่��ที่��ให# sn < M +

, n kเล�อก k ซ&�ง k

1< และ nk > k ที่��ให#

kns< M + .....()

Page 38: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

สำ��หร�บ i k จะได#ว�� i1< และ ni >

kจ�ก () และ () จะได#ว�� M – < M – <i

1ins< M + , i k

ins|– M | < , i k

น��นคื�อ 1nin }s{ เป็%นล��ด�บล)�เข#�สำ)� M

Page 39: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ทฤษฎี บท 3.5.15 ให# F เป็%นเซตย่�อย่ของเซตจ��นวนจร�ง F เป็%นเซตป็5ด ก-ต�อเมี��อ ถ้#� เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�ง และเป็%นล��ด�บล)�เข#� ที่�� xnF สำ��หร�บที่�ก n แล#ว xn เป็%นสำมี�ช่�กของ F

1nn}x{

nlim

การีพี�สู�จนิ�( ) เน��องจ�ก เป็%นล��ด�บล)�เข#� ให# xn = x

จะแสำดงว�� xFสำมีมีต� xF ด�งน�(น xFเน��องจ�ก F เป็%นเซตเป็5ด จะมี� > 0 ซ&�งที่��ให#

( x – , x + ) F

1nn}x{

nlim

Page 40: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

เน��องจ�ก x = xn จะมี�จ��นวนเต-มีบวก k ซ&�ง| xn – x | < สำ��หร�บ n k ด�งน�(น xnF

เก�ดก�รข�ดแย่#งเพิร�ะ xnF สำ��หร�บที่�ก nด�งน�(น xF

nlim

Page 41: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

( ) สำมีมีต� F ไมี�ใช่�เซตป็5ด ด�งน�(น F ไมี�ใช่�เซตเป็5ด

จ&งมี� y0F สำ��หร�บแต�ละ n สำร#�งล��ด�บ โดย่ ynF ซ&�ง | yn – y0 | <

1nn}y{

n1

1nn}y{เป็%นล��ด�บใน F ที่�� yn = y0F

เก�ดก�รข�ดแย่#ง

ด�งน�(น F เป็%นเซตป็5ด

nlim