ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล

ฟั�งก์�ชั�นเอ็�ก์ซ์�โพเนนเชั�ยลโดย ครู�ฐิ�ติ�น�นท์� เหรู�ยญท์อ็ง

โรูงเรู�ยนอ็�ดมดรู�ณี� จ.สุ�โขท์�ย

1 .เลขยก์ก์#$ล�ง

บท์น�ย$ม เมื่��อ a เป็�นจำ��นวนจำริ�งใดๆ และ n เป็�นจำ��นวนเต็�มื่บวก

an หมื่�ยถึ�ง a a a a ….. a จำ��นวน n ต็�ว

เช่!น 2 5 = 2 2 2 2 2

บท์น�ย$ม a0 = 1 เมื่��อ a เป็�นจำ��นวนจำริ�งใดๆ ที่#�ไมื่!เที่!�ก�บศู&นย'

บท์น�ย$ม a-n = 1/an เมื่��อ a เป็�นจำ��นวนจำริ�งใดๆ ที่#�ไมื่!เที่!�ก�บศู&นย' และ n เป็�นจำ��นวนเต็�มื่บวก

เช่!น 3-2 = 13/ 2 = 1 /9

สุมบ�ติ�ขอ็งเลขยก์ก์#$ล�ง ท์ฤษฎี�บท์ เมื่��อ a , b เป็�นจำ��นวนจำริ�งที่#�ไมื่!เป็�นศู&นย' และ m , n เป็�นจำ��นวนเต็�มื่

1) am.an = am+n

2) (am)n = amn

3) (ab)n = anbn

4) (a/b)n = an/bn

5) am/an = am-n

ติ�วอ็ย*$ง จำงห�ค่!�ของ (2-3x2y42x-1)-2

2. รู$ก์ท์�+ n ในรูะบบจ#$นวนจรู�ง และจ#$นวนจรู�งในรู�ปก์รูณีฑ์� บท์น�ย$ม เมื่��อ x , y เป็�นจำ��นวนจำริ�ง y เป็�นริ�กที่#�สองของ x ก�ต็!อเมื่��อ y2 = x

สุมบ�ติ�ขอ็งรู$ก์ท์�+สุอ็งxyyx .

y

x

y

x

1) เมื่��อ x 0 , y 0

)245)(273( ติ�วอ็ย*$ง จำงห�ค่!�ของ

ว�ธี�ท์#$

2 ) เมื่��อ x 0 , y > 0

)245)(273( 2)2(2823521215

22341

3. เลขยก์ก์#$ล�งท์�+ม�เลขชั�2ก์#$ล�งเป3นจ#$นวนติรูรูก์ยะ บท์น�ย$ม เมื่��อ a เป็�นจำ��นวนจำริ�ง n เป็�นจำ��นวนเต็�มื่ที่#�มื่�กกว!� 1 และ a มื่#ริ�กที่#� n

nn aa

1

qa

1

pqqp

aa )(

1

q pq

p

aa

53

2

ติ�วอ็ย*$ง จำงที่��ให,ส!วนไมื่!ต็�ดกริณฑ์'

บท์น�ย$ม เมื่��อ a เป็�นจำ��นวนจำริ�ง p , q เป็�นจำ��นวนเต็�มื่ที่#� (p,q) = 1 , q > 0 และ

R โดยที่#� p < 0 แล,ว a ต็,องไมื่!เป็�นศู&นย' or

4. ฟั�งก์�ชั�นเอ็ก์ซ์�โพเนนเชั�ยล บท์น�ย$ม ฟั1งก'ช่�นเอกซ์'โพเนนเช่#ยล ค่�อ f = {(x,y)RR / y = ax , a>0 , a1} y

ข4อ็สุ�งเก์ติ 1 กริ�ฟัของ y = ax ผ่!�นจำ5ด (0 ,1 ) เสมื่อ

2) ถึ,� a > 1 แล,ว y = ax เป็�นฟั1งก'ช่�นเพ��มื่

3) ถึ,� 0 < a < 1 แล,ว y = ax เป็�นฟั1งก'ช่�นลด

4 ) y = ax เป็�นฟั1งก'ช่�น - 11 จำ�ก R ไป็ R+

5 ) โดยสมื่บ�ต็�ของฟั1งก'ช่�น - 11 จำะได, ax = ay ก�ต็!อเมื่��อ x = y

5. ฟั�งก์�ชั�นลอ็ก์$รู�ท์5ม จำ�ก f = {(x,y) RR / y = ax , a>0 , a1} ซ์��งเป็�นฟั1งก'ช่�น - 11 จำ�ก R ไป็ R+

จำ�งมื่#ฟั1งก'ช่�นอ�นเวอริ'สค่�อ f-1 = {(x,y) R+R / x = ay , a>0 , a1}

จำ�ก x = ay ส�มื่�ริถึเข#ยนในริ&ป็ y = f(x) ได, โดยก��หนดเป็�น y = logax

เช่!น 9 = 32 เข#ยนในริ&ป็ลอก�ริ�ที่�มื่เป็�น 2 = log39

32 = 25 เข#ยนในริ&ป็ลอก�ริ�ที่�มื่เป็�น 5 = log232

บท์น�ย$ม ฟั1งก'ช่�นลอก�ริ�ที่�มื่ค่�อฟั1งก'ช่�นที่#�เข#ยนอย&!ในริ&ป็

f = {(x,y) R+R / y = logax , a>0 , a1}

เช่!น y = log2x , f(x) = log5x

y

x

ข4อ็สุ�งเก์ติ 1) กริ�ฟัของ y = logax ผ่!�นจำ5ด 10( , ) เสมื่อ

2) ถึ,� a > 1 แล,ว y = logax เป็�นฟั1งก'ช่�นเพ��มื่

ถึ,� 0 < a < 1 แล,ว y = logax เป็�นฟั1งก'ช่�นลด

3) y = logax เป็�นฟั1งก'ช่�น - 11 จำ�ก R+ ไป็ที่��วถึ�ง R

4) โดยสมื่บ�ต็�ของฟั1งก'ช่�น - 11 จำะได, logax = logay ก�ต็!อเมื่��อ x = y

สุมบ�ติ�ขอ็งลอ็ก์$รู�ท์5ม เมื่��อ a , M , N เป็�นจำ��นวนจำริ�งบวกที่#� a 1 และ k เป็�นจำ��นวนจำริ�ง

1) logaMN = logaM + logaN

2) loga M / N = logaM – logaN

3) loga Mk = k logaM

4) loga a = 1

5) loga 1 = 0

6) logakM = 1/k logaM

7) logb a = 1/ logab

6. ก์$รูห$ค*$ขอ็งลอ็ก์$รู�ท์5ม ลอ็ก์$รู�ท์5มสุ$ม�ญ หมื่�ยถึ�งลอก�ริ�ที่�มื่ฐ�น 10 ซ์��งน�ยมื่เข#ยนโดยไมื่!มื่#ฐ�นก��ก�บ

เช่!น log107 เข#ยนแที่นด,วย log 7

log1015 เข#ยนแที่นด,วย log 15

พ�จำ�ริณ�ค่!�ของลอก�ริ�ที่�มื่ของจำ��นวนเต็�มื่ที่#�ส�มื่�ริถึเข#ยนในริ&ป็ 10n เมื่��อ n I

log 10 = log 101 = 1

log 100 = log 102 = 2

log 1000 = log 103 = 3

ด�งน�7น log 10n = n

จำ��นวนจำริ�งบวก N ใดๆ ส�มื่�ริถึเข#ยนในริ&ป็ N0x10n ได,เสมื่อ เมื่��อ 1 < N0<10 และ n เป็�นจำ��นวนเต็�มื่

เน��องจำ�ก N = N0x10n

ด�งน�7น log N = log (N0x10n)

= log N0+ log 10n

= log N0 + n

log N0 เริ#ยกว!� แมื่นที่�สซ์� (mantissa) ของ log N

n เริ#ยกว!� แค่แริกเที่อริ�สต็�ก (characteristic) ของ log N

ติ�วอ็ย*$ง จำงห�ค่!�ของ log 452 0 พริ,อมื่ที่�7งบอก แมื่นที่�สซ์�และแค่แริกเที่อริ�สต็�ก

ว�ธี�ท์#$ เน��องจำ�ก log 452 0 = log (4.52 x103)

= log 4.52 + log 103

= 0.6551 + 3

= 3.6542

ด�งน�7น log 4510 = 3.6551

แมื่นที่�สซ์�ของ log 452 0 ค่�อ 06551

แค่แริกเที่อริ�สต็�กของ log 452 0 ค่�อ 3

แอ็นติ�ลอ็ก์$รู�ท์5ม ติ�วอ็ย*$ง ก��หนดให, log N = 2.5159 จำงห�ค่!� N

ว�ธี�ท์#$ เน��องจำ�ก log N = 2.5159

= 0.5159 + 2

= log 3.28 + log 102

= log (3.28x102)

= log 328

ด�งน�7น N = 328

7. ก�ริเป็ล#�ยนฐ�นของลอก�ริ�ที่�มื่

ก��หนดให, y = logbx

จำะได, x = by

loga x = loga by

loga x = y loga b

y =

b

x

a

a

log

log

b

x

a

a

log

log ด�งน�7น logbx =

ติ�วอ็ย*$ง จำงห�ค่!�ของ log224

ลอ็ก์$รู�ท์5มธีรูรูมชั$ติ� (Natural logarithms)

ลอก�ริ�ที่�มื่ธริริมื่ช่�ต็� ค่�อลอก�ริ�ที่�มื่ฐ�น e เมื่��อ e เป็�นส�ญล�กษณ'แที่นจำ��นวนอต็ริริกยะ

ซ์��งมื่#ค่!�ป็ริะมื่�ณ 27182818 หริ�อเริ#ยกอ#กอย!�งหน��งว!� “ลอ็ก์$รู�ท์5มแบบเนเป6ยรู�” (Napierian

Logarithms) ในก�ริเข#ยนลอก�ริ�ที่�มื่ธริริมื่ช่�ต็�จำะไมื่!น�ยมื่เข#ยนฐ�นก��ก�บ ด�งน#7

logex เข#ยนแที่นด,วย ln x

loge3 เข#ยนแที่นด,วย ln 3

loge20 เข#ยนแที่นด,วย ln 20

ก�ริห�ค่!�ลอก�ริ�ที่�มื่ธริริมื่ช่�ต็�ที่��ได,โดยก�ริเป็ล#�ยนฐ�นให,เป็�นลอก�ริ�ที่�มื่ส�มื่�ญ

ซ์��ง log e = log 2.7182818 = 0.4343

ติ�วอ็ย*$ง จำงห�ค่!�ของ ln 25

8. สมื่ก�ริเอ�กซ์'โพเนนเช่#ยลและสมื่ก�ริลอก�ริ�ที่�มื่

สุมก์$รูเอ็�ก์ซ์�โพเนนเชั�ยล ค่�อสมื่ก�ริที่#�มื่#ต็�วแป็ริเป็�นเลขช่#7ก��ล�ง ในก�ริห�ค่��ต็อบของสมื่ก�ริ

ที่��ได,โดยใช่,สมื่บ�ต็�ของฟั1งก'ช่�นเอ�กซ์'โพเนนเช่#ยลและสมื่บ�ต็�ของฟั1งก'ช่�นลอก�ริ�ที่�มื่

ติ�วอ็ย*$ง จำงห�เซ์ต็ค่��ต็อบของสมื่ก�ริ 2 x.22x+1 = 4x-2

ว�ธี�ท์#$ 2 x+2x+1 = (22)x-2

23x+1 = 22x-4

จำะได, 3x+1 = 2x-4

x = -5

ด�งน�7น ค่��ต็อบของสมื่ก�ริ ค่�อ {-5}

ติ�วอ็ย*$ง จำงห�เซ์ต็ค่��ต็อบของสมื่ก�ริ 4x + 2x+1 – 24 = 0

สุมก์$รูลอ็ก์$รู�ท์5ม ค่�อสมื่ก�ริที่#�มื่#ลอก�ริ�ที่�มื่ของต็�วแป็ริ ก�ริห�ค่��ต็อบของสมื่ก�ริที่��ได,

โดยใช่,สมื่บ�ต็�ของฟั1งก'ช่�นลอก�ริ�ที่�มื่

ติ�วอ็ย*$ง จำงห�เซ์ต็ค่��ต็อบของสมื่ก�ริ log2(x-2) + log2(x-3) = 1

ว�ธี�ท์#$ log2(x-2) + log2(x-3) = 1

log2(x-2)(x-3) = log22

จำะได, (x-2)(x-3) = 2

x2- 5x + 4 = 0

(x-1)(x-4) = 0

x = 1 , 4

ด�งน�7น ค่��ต็อบของสมื่ก�ริ ค่�อ {4} เพริ�ะว!� เมื่��อต็ริวจำค่��ต็อบ x = 1 ห�ค่!�ไมื่!ได,