非線形システム解析とオブザーバ

非線形システム解析とオブザーバ

非線形システムの表現

( ) ( ( ), ( ), ), ( ) , ( )

( ) ( ( ), ( ), ), ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ( )) ( ) ( )

( )

n m

p

x t f x t u t t x t R u t R

y t h x t u t t y t R

x t f x G x u t

y t h x t J x u t

f x

時変非線形システム

非線形アフィンシステム

はドリフト項と呼ばれる

非線形システムの安定性（１）Ｌｙａｐｕｎｏｖの意味の安定性

0

0 ( , , )

0, ( ) 0, ( )

e e

e e

f x u t

x x x t x

0

0

[ ]

( ) 0, lim ( ) 0

[ ]

0, 0 ( )

e et

te e

Lyapunov

x x x t x

c x t x ce x x

局所漸近安定システムが の意味で安定で、

局所指数安定局所漸近安定で、

非線形システムの安定性（２）

( ),0 ( ) (1)

1. ( ) 0, ( ) 0

2. ( ) ( ) 0( )

[ ]

e

e

e

e

x f x f x

x

V x V x

V x V x x x

Lyapunov

以下で与えられるシステムに対して、

次の条件を満たすスカラ関数が存在するとき、平衡点 は局所漸近安定である

は時間に関して連続微分可能で、

の安定定理

非線形システムの安定性（３）

( ) : , 0

[ ]

LTI

[ ]

LTI , >0

[ ]

( ) :

( ) ( ) 0

LTI

T

T

T

T T T T T T T

x Ax

V x x Px P

Fact

A

Fact

P Q

A P PA Q

V x x Px

V x x Px x Px xA Px x PAx x A P PA x x Qx

システムが漸近安定 行列 の全ての固有値の実部が負

システムが漸近安定 次式のリアプノフ方程式を満たす が存在する

十分性

システムの場合

非線形システムの安定性（４）

2 2

(1) ( )

1. ( ) 0, ( ) 0

2. ( ) ( ) 0( )

3. ( ) 0 ( )

0

1 1( )

2 2

( ) (

[ ]

e

e

e

e

V x

x

V x V x

V x V x x x

V x x t x

my dy ky

V x my ky

V x y

LaSalle

式で与えられるシステムに対して、次の条件を満たすスカラ関数 が存在するとき、 は局所漸近安定である

は時間に関して連続微分可能で、

を仮定した時、微分方程式（１）の解が のみである

[ ]例

の定理

2) 0

0

0

0

dy ky kyy dy

y

y

ky

時変非線形システムの場合（１）

0( , ), (0) (2)

0 ( , )

[ ]

1. : , (0) 0

2. ( ) 0, 0

3.

e

x f x t x x

f x t

R R

p p

クラスＫ関数

は非減少関数 p

( )p

時変非線形システムの場合（２）

1. ,

(|| ||) ( , ) (|| ||)

2. ( , )

( , ) (|| |

]

|)

[

(2

1

[

.

]

) e

x V x t x

V x t

V x t x

V t

Lyapun

x

ov

は（局所）一様漸近安定である

あるクラスＫ関数 が存在して次の条件を満たす

　 　 　 (上下限の関数が時間に依存しない所がポイント！）

あるクラスＫ関数 が存在して が次の条件を満たす

注意

のシステムが次の条件を満たすときの安定定理（時変シス

は時間

）、

テム

の関数で2.

あってもよいが時間の関数ではない

関数の挙動に関する注意

1. ( ) 0 ( ) log

2. ( ) 0 ( ) exp( )cos(exp( ))

3. ( ) ( ) 0

f t f t f t t

f t f t f t at bt

f t f t f t

　 　 　 が で収束する。例えば

　 　 　 　 　が で収束する 。例えば

は下に有界で は で収束する

Ｂａｒｂａｒａｔ（バーバラ）の補題

1 2 1 2 1 2

[ ]

( )

0, ( ) 0, 0, 0, ( ) ( )

( ) 0( )

[ ]

( ) 0( )

[ ]

f t

R R t t t t f t f t R

f t f f t t

f t f f t t

Barbalet

関数の一様連続性関数 が次の条件を満たすとき、一様連続であるという。

関数 が微分可能で、 で収束し、 が一様連続なら

系

関数 が微分可能で、 で収束し、 が有界なら

の補題

安定性に関する便利な補題

2

2

2

( )

( ) ( ) (

[ ]

[ ]

)

( ) 0( )

H s

u L

Y s H s U s

y y L L

f f L f L

f f t t

厳密にプロパーで厳密に安定な伝達関数 があり、(0, )であるとき、

(0, ) (0, )によって を与えると、

(0, ) (0, )関数 が で、その時間微分 である

補題１

補題とき、

は一様

２

連続で

多変数関数の微分と接ベクトル・余接ベクトル２変数関数の場合

（余接ベクトル）　　　（接ベクトル）

1x

2x

1 2( , )h x x

vT

v

Frobeniousの定理（１）分布

分布 のゼロ化空間

j jd jとなる の存在性

？

3 次元空間の幾何学的関係Ｔ

1 x

となる があるならば

Frobeniousの定理（２）

リー括弧積

インボリューティブ条件

[ ]Frobenius

正則な分布 が完全可積分であるための必要十分条件はがインボリューティブであることである

の定理

ベクトル場に沿った関数の微分

f

hL h f

x

( ) ( ( ( )))( ( ))

( ) ( ( )) f

x t f x x t h hy x f x t L h

y t h x t x x

1x

2x

1 2( , )h x x

可制御性（１）

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3)

[1,0] [0, )

[0,1] [ , 2 )( )

[ 1,0] [2 ,3 )

[0, 1] [3 ,4 )

m m

T

T

T

T

x t G x u t g x u t g x u t g x u t

t h

t h hu t

t h h

t h h

ドリフトの無いアファインシステム

1g

2g1g

2g

21 2[ , ]g g h

可制御性（２）2

2 11 1

2 22 2

2 2 21 2 21 1 2 1

1( ) (0) (0) (0) ..

2( (0))1

(0) ( (0)) ( (0)) ...2

( ( ))1(2 ) ( ) ( ( )) ( ( )) ...

2( (0)) ( (0))1 1

(0) ( (0)) ( (0)) ( (0)) ( (0))2 2

x h x hx h x

g xx hg x h g x

xg x h

x h x h hg x h h g x hx

g x g x gx hg x h g x hg x h g x h

x x

2

2 21 2 21 2 1 1 2

2 11 1

1 2

( (0))( (0)) ..

( (0)) ( (0)) ( (0))1 1(0) ( (0)) ( (0)) ( (0)) ( (0)) ( (0)) ..

2 2

( (2 ))1(3 ) (2 ) ( (2 )) ( (2 )) ...

2

(0) ( ( (0)) ( (0)))

xg x

xg x g x g x

x h g x g x h g x g x h g xx x x

g x hx h x h hg x h h g x h

x

x h g x g x h

2 1 2 21 1 2

2 21 11 1 2 1

2 2 12 1 2

( (0)) ( (0)) ( (0))1 1( (0)) ( (0)) ( (0))

2 2

( (0)) ( (0))1( (0)) ( (0)) ( (0)) ( (0)) ..

2( (0)) ( (0)) 1

(0) ( (0)) ( (0)) ( (0))2

g x g x g xg x g x g x

x x x

g x g xhg x h g x g x h g x

x xg x g x g

x hg x h g x g xx x

2

2

2 22 2

2 2 1 22 1 2 2

22 2

( (0))( (0)) ..

( (3 ))1(4 ) (3 ) ( (3 )) ( (3 )) ...

2( (0)) ( (0)) ( (0))1

(0) ( (0)) ( (0)) ( (0)) ( (0))2

( (0))( (0)) ( (0))

( (0))

xg x

x

g x hx h x h hg x h h g x h

xg x g x g x

x hg x h g x g x g xx x x

g xhg x g x

x x

2 22

2 2 11 2

21 2

( (0))1( (0)) ..

2

( (0)) ( (0))(0) ( (0)) ( (0)) ..

(0) [ , ] ..

g xh g x

x

g x g xx h g x g x

x x

x h g g

リー括弧積の性質

[ , ]f g f g g fL h L L h L L h

つまり、リー微分に対する可換性を見るものにもなっている

可制御性（３）1 2

1 1 1 1

0

1

{ ( ), ( ), , ( )}

[ , ],

(3)

(

[ ]

1

m

i

i i i

i

i i

i i p

g x g x g t

G

G G G G G

G x

G G

G p G G i p

次の漸化式で作られる集合 を のフィルターづけという

このとき、

フィル (fi l trati oターづけ

が の近傍で一定のランクを持っているとき、は正則であるといい、すべての が正則であるとき、 のシステムは正則であるという

が正則であるとき、ある に対して

n)

)

p

となる。

このとき、 を分布 の非ホロノミック次数という

可制御性（４）

1 2

( )

[ ]

p

x x

rankG x n for x U

システム（３）がレギュラーなとき、システムの状態を有る集合Ｕ内の任意の２点 から に制御することが出来るための必要条件は

となることである

Chowの定理

非ホロノミックシステム○速度が出せない方向には移動できな？○自由度よりもアクチュエータの数が少ないシステムは、その自由度全てを制御できない？

違いは？

移動ロボットと可積分性

スリップなし条件

移動ロボットの運動方程式

移動ロボットの運動を拘束する平面はあるか？可積分性のチェック

/ 2, / 2 , cos( ), sin( )a d b d L c s

可観測性（１）

1 ( 1)

( ) 0

( ( )) ( ( )) ( ), ( ) , ( ) (4)

( ) ( ( )) ( )

( ) ( ( ))

( ) ( ( ))

( ) :

( ) ( (

))

[ (

n

f

n nf u t

x f x t g x t u t x t R u t

y t h x t u t

h x y x t

L h x y x tx

L h x y x

R

R

t

drift o

ドリフト可観測(

: ( )

)

)]n

n

Q xx

x R

bservabl

R

e

が 内で微分同相写像であるとき、システム（４）は

であるとき、単にドリフト可観測という。

微分同相写像であるための必要十分

則

条件

が正

は

ドリフト可観測であるという。また、

（多入出力系に対しても同様の定義があるが、ここでは省略）

可観測性（２）

( 1) 1

1

( ) ( )

( ) ( )

( ( ))

( ( ))( ) :

( ( ))n n

n

x t Ax t

y t cx t

y x t c

y x t cAx x

y x t cA

c

cA

x

cA

上記のシステムに対するドリフト可観測性は通常の完全可観測性は同じ。つまり

が正則

可観測性（３）

1

0 (1 2)

0

ig f

rg f

L L h i r

L L

r

h

のとき、 をシステムの相対次数という

ＬＴＩシステムの状態観測器（１）

(0)

ˆ ˆ ˆ, (0) (0)

ˆ ˆ ˆ( )ˆ ˆ

ˆ:

( )

det( ) det( )

x

x Ax Bu x x

x Ax Bu K y yy Cx Du

x x

x Ax Bu

A KC

T T TsI A KC sI A C K

初期状態 が既知であれば、状態は次式で計算可能

全次元オブザーバー

ＬＴＩシステムの状態観測器（ 2）

,

( , , )

[ ]

T T T

A B A BF A BF

A A B C B K

Fact

F A BF

が与えられたとき という形で の固有値を任意に配置出来る条件は？

によって の固有値を任意に配置できるための必要条件はシステムが完全可制御であること

[完全可制御性の条件 ]

T1t -At T -A t1 0

1

(a) W(0,t ):= e BB e dt

(

(b) : [ , ,..., ]

( )

[ , ]

nV B AB A B

c A

rank I A B n

が正則

　 　このＷを可制御グラミアンという）

可制御性行列 の列フルランクを の任意の固有値とするとき次式が成り立つ

ＬＴＩシステムの状態観測器（３）

1

( )( )

( )

( ) ( )ˆ ˆˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

:

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )

ˆ

ˆ 0

ˆ ˆ 0

z t Ux t

y t C

U z t z tx C D

C y t y t

z Az By Ju

Ux z

A UB J u UA AU BC x

A

UB J

UA AU BC

が安定

最小次元オブザーバー

ドリフト可観測なシステムの状態観測器（１）

1

( 1) ( 1)

1 1

( ( )) ( ( )) ( ), ( ) , ( ) (4)

( ) ( ( )) ( )

( ) ( ) ( )

( )0

: , ( ) :

( )

[

]

1.

n

rg

r x n r

n r ng

x f x t g x t u t x t R u t

y t h x t u t

Q x g x FH x

L L h x

F H x

R

IL L h

R

x

仮定

システムはドリフト可観測で、

1

1

1 1

( ), ( )

,

( ( )), ( ( ))

,

3. | ( ) |H L

M

z x x z

H z L z

u t u

は一様リプシッツで、リプシッツ定数 をもつ

2. は一様リプシッツで、リプシッツ定数をもつ

入力は有界で、

ドリフト可観測なシステムの状態観測器（２）

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ( ( )) ( ( )) ( ) ˆ( ( ) ( ( ) ( ( )))

0

( ) ( ) 2 0

0 1 0 0

0 1: , : ,

1 0

0 0 1

)

T

T T T

Q x t Kx f x t g x t u t y t h x t

P P K

A KC P P A KC BB FF P P

A B

このシステムに対する一つの状態観測器は次の式で与えられる

ただし、 は適当な正の数で、 、 は次の不等号を満たす

ただし、

1

2 2 2

max

min

: 1 0 0

:

( )ˆ ˆ( ) ( ) (0) (0) , :

( )

ML H

t

C

u

Px t x t x xe

P

この状態推定器による推定誤差は次の不等号を満足する

参考文献

Ｈ．Ｋ．ＫＨａｌｉｌ：Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｓｙｓｔｅｍｓ，Ｐｒｅｎｔｉｃｅ－Ｈａｌｌ（２０００）

Ｓ．Ｓａｓｔｒｙ：Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｓｙｓｔｅｍｓ，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ（１９９９）

Ｍ．Ｄ .Ｍｏｒａ，ｅｔｃ： A State Observer for Nonlinear Dynamical Systems, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Application, Vol.30, No.7.pp/4485/4496(1997)

M.D.Mora etc.:Design of State Observer from a Drift-Observability Property,IEEE Trans. on AC, Vol. 45, No.8, August (2000)