บบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบ บบบบบบบบ: บบบ ABC บบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบ a , b บบบ c บบบบบบบบ c 2 = a 2 + b 2 บบบบบบบบ บบบ บบบบบบบบบบ ABC บบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบ บบบบบบบบบบ c บบบบบ บบบบบบบบบบบบบบบบบ บบบ c 2 = b 2 + b 2 บบบบ ABC บบบบ บบบบบบ บบบบบ บบบ บบบบบบบบบบบบ (3 , 4 , 5) (5 , 12 , 13) (7 , 24 , 25) บบบบบบบบบบบ บบบบบบบบบบ จจจ บบบบ
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
บทกลั�บของทฤษฎี�พิ�ทาโกรั�สกลั�าวว�า: ถ้�า ABC เป็�นรั�ป็สามเหลั��ยมม�ด้�านยาว a , b
แลัะ c หน�วยแลัะ c2 = a2+ b2 จะได้�ว�า รั�ป็สามเหลั��ยม ABC เป็�นรั�ป็สามเหลั��ยมม&มฉากแลัะม�ด้�านท��ยาว c หน�วย เป็�นด้�านตรังม&มฉาก
ถ้�า c2 = b2 + b2 แลั�ว ABC เป็�น ม&มฉากในรั�ป็ ใด้ๆ ท��ม�ด้�านยาว (3 , 4 , 5) (5 , 12 , 13) (7 , 24 , 25) เป็�นด้�านของ ม&มฉากเสมอ
จำ��
สรั&ป็
ข�อ1
ก+าหนด้ความยาวของด้�านท�-งสามของรั�ป็สาม เหลั�ยมต�าง ๆ ด้�งต�อน�- จงหาว�าสามเหลั��ยม
ข�อใด้เป็�นสามเหลั��ยมม&มฉาก1) 6 , 8 , 10c2 = a2 + b2102 = 62 + 82100 = 36 + 64100 = 100
2) 4 , 6 , 8c2 = a2 + b282 = 42 + 6264 = 16 + 36
64 52
= ด้�งน�-น เป็�น
สามเหลั��ยมม&มฉาก
ด้�งน�-น ไม�เป็�นสามเหลั��ยมม&มฉาก
3) 8 , 10 , 12c2 = a2 + b2122 = 82 + 102
144 = 64 + 100
ด้�งน�-น ไม�เป็�นสามเหลั��ยมม&มฉาก
144 164
=
4) 8 , 17 , 15c2 = a2 + b2172 = 82 + 152289 = 64 + 225289 = 289
5) 1 , 4 , 6c2 = a2 + b262 = 12 + 4236 = 1 + 1636
17=
ด้�งน�-น เป็�นสามเหลั��ยมม&มฉาก
ด้�งน�-น ไม�เป็�นสามเหลั��ยมม&มฉาก
6) 0.3 , 0.4 , 0.5c2 = a2 + b20.52 = 0.32 + 0.420.25 = 0.09 + 0.16
ด้�งน�-น เป็�นสามเหลั��ยมม&มฉาก
0.25 0.25
=
ข�อ22.1
A
B CD18
24 3
2
AB2 = AD2 + BD2AB2 = 242 + 182AB2 = 576 + 324
= 900AC2 =
AD2 + DC2AC2 = 242 + 322AB2 = 576 + 1024
= 1600
BC2 = AB2 + AC2(18+32)2
= 302 + 402
502 = 900 + 16002500 =
2500
จงแสด้งว�า ABC ในแต�ลัะข�อเป็�นรั�ป็สามเหลั��ยมม&มฉาก
ABC ABC เป็�นเป็�นสามเหลั��ยมม&มฉากสามเหลั��ยมม&มฉาก
CDB
A
25
60
144DB
A
CD
A
CB
A
AB2
= 625 + 3600= 4225= 65
AB
AC2
= 20736 + 3600= 24336= 156
AC
AB2 +
AC2
BC2
= (25 + 144)2
= 652 + 156228
561
28561
=
ABC เป็�นสามเหลั��ยมม&มฉาก
ข�อ3
ก+าหนด้ให� ABC ม� CD ต�-งฉากก�บ AB ท��จ&ด้ D จงพิ�จารัณาว�าความยาวท��ก+าหนด้ให�ในข�อใด้ ท+าให� ABC เป็�นรั�ป็สามเหลั��ยมม&มฉาก เพิรัาะเหต&ใด้ 1) AC = 13 , BC =
15 แลัะ CD = 12BC2 -
CD2
BD2
= D
C
BA
13 1512 152
-
122
BD2
= 225 -
144
BD2
=
= 81AC
2 - CD2
AD2
= 132
-
122
AD2
= 169 -
144
AD2
=
= 25
AC2
+
BC2
AB2
= 132
+
152
(5+9)
2 = 169
+
225
196
=
ABC ไม�เป็�นสามเหลั��ยมม&มฉากเพิรัาะ
AC2
+
BC2
AB2
=
2 ) AC = 10 , BC = 17 แลัะ CD = 8BC
2 - CD2
BD2
= D
C
BA
10 178172
- 82
BD2
= 289 -
64
BD2
=
= 225
AC2 -
CD2
AD2
= 102
- 82
AD2
= 100 -
64
AD2
=
= 36
AC2
+
BC2
AB2
= 102
+
172
(15+6) 2 =
100
+
289
441
=
ABC ไม�เป็�นสามเหลั��ยมม&มฉากเพิรัาะ
AC2
+
BC2
AB2
=
2) AC = 3 , BC = 4 แลัะ CD = 2.4 BC
2 - CD2
BD2
= D
C
BA
3 42.442
-
2.42
BD2
= 16
-
5.76
BD2
=
= 10.24
AC2 -
CD2
AD2
= 32
-
2.42
AD2
= 9 - 5.7
6
AD2
=
= 3.24
AC2
+
BC2
AB2
= 32
+ 42
(3.2+1.8) 2 =
9
+
16
25
=
ABC เป็�นสามเหลั��ยมม&มฉากเพิรัาะ
AC2
+
BC2
AB2
=
60
63
87
A
CB D
บทกลั�บทฤษฎี�บทพิ�ทาโกรั�สBC2 = AB2 + AC2
872 = 632 + 6027569 = 3969 + 3600
= 7569
ข้�อ 4
ABC ม� AB = 63 เซนต�เมตรั AC = 60 เซนต�เมตรั แลัะ BC =
87 เซนต�เมตรั จงหาความส�ง AD (ตอบเป็�นทศน�ยมสองต+าแหน�ง
ด้�งน�-น ABC เป็�นสามเหลั��ยมม&มฉากพิ1-นท��
สามเหลั��ยม =12x ฐา
นส�ง
x
พิ1-นท��สามเหลั��ยม ABC =
12x 6
063
x = 1890
แต�
1890 = 2
1x 87
AD
x
AD =
1890
x 287
= 43.45 เซนต�เมตรั
ข�อ 5
จากรั�ป็ก+าหนด้ให� AB = 21 หน�วย , BC = 28 หน�วย , CD = 7.2 หน�วย DE = 9.6 หน�วย AE = 37 หน�วย จงหาพิ1-นท��ของ ACE
B
E
DC
A
28
9.6
372
17.2
ใน CDECE2 =
CD2 + DE2
CE2 = 7.22 + 9.62
= 51.84
+ 92.16
CE2 = 144
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 212 + 282
= 441
+ 784
AC2 = 1225
ใน ABC AE2 =
AC2 + CE2372 = 352 + 122
= 1225
+ 144
1369 = 1369
ใน ACE
ด้�งน�-น ACE เป็�นสามเหลั��ยมม&มฉาก
B
E
DC
A373
512
พิ1-นท��สามเหลั��ยม =
12x ฐา
นส�ง
x
พิ1-นท��สามเหลั��ยม ACE =
12x 1
235
x
ด้�งน�-น พิ1-นท��สามเหลั��ยม ACE =
210 ตารัางหน�วย
ข�อ6
ชายคนหน4�งต�องการัตรัวจสอบว�า ผน�งของ บ�านต�-งฉากก�บพิ1-นด้�นหรั1อไม� เขาจ4งท+า
เครั1�องหมายท��ผน�งส�งจากพิ1-นข4-นไป็ 8 ฟุ&ต แลั�ว ใช�ป็ลัายข�างหน4�งของเช1อกยาว 10
ฟุ&ต ผ�กท��จ&ด้ท��ท+าเครั1�องหมาย ไว�น�-น ป็ลัายเช1อกข�างหน4�งผ�กไว�ท��หลั�ก ซ4�งป็7ก
อย��บนพิ1-นด้�น รัะยะรัะหว�างหลั�กแลัะผน�ง ต�องเป็�นเท�าไรั จ4งจะบอกได้�ว�าผน�ง ต�-ง
ฉากก�บพิ1-นด้�น
ถ้�าผน�งต4กต�-งฉากก�บพิ1-นด้�น เช1อกจะต�องเป็�นด้�านท��ตรังข�ามม&มฉาก ด้�งน�-น a เป็�นรัะยะห�างจากผน�งต4กก�บหลั�กท��ป็7กบนด้�น
10
8a
จะได้� a2 = 102
- 82 a2 = 100 - 64
= 36
รัะยะห�างจากผน�งต4กก�บหลั�กท��ป็7กบนด้�น = 6 ฟุ&ต
ข้�อ7
รู�ปสี่��เหลี่��ยมด้��นข้น�นรู�ปหน��งม�ด้��นย�ว 7 เซนติ�เมติรู แลี่ะ 12 เซนติ�เมติรู ม�เสี่�นทแยงม�มเสี่�นหน��งย�ว 15
เซนติ�เมติรู รู�ปสี่�มเหลี่��ยมท��เกิ�ด้ข้��นเป นรู�ปสี่�มเหลี่��ยม ม�มฉ�กิหรู"อไม$ ถ้��ไม$เป นรู�ปสี่�มเหลี่��ยมม�มฉ�กิแลี่�วเสี่�น
ทแยงม�มอ�กิเสี่�นหน��งข้องรู�ปสี่��เหลี่��ยมด้��นข้น�นรู�ปน��จำะย�ว กิว$�หรู"อสี่&�นกิว$� 15 เซนติ�เมติรู
712
15
A B
CD ถ้�า ABC เป็�นสามเหลั��ยมม&มฉาก จะได้�ว�า15
2 = 122 + 72
225
= 144 + 49
193
225
แต�ด้�งน�-น ABC ไม�เป็�นสามเหลั��ยมม&มฉาก
เส�นทแยงม&ม BD จะส�-นกว�า เส�นทแยงม&ม AC เพิรัาะ AC เป็�นด้�านป็8ด้ม&มป็9าน แต� BD เป็�นด้�านป็8ด้ม&มแหลัม