辗转相除法和更相减损术

本节课的教授对象是高一学生，他们已经具备一定的数学基础和编程能力， 能够熟练使用 TI 图形计算器。

这种计算器具有数据处理功能、函数功能、图形功能、简单编程功能和进行一些数理实验功能，具有很好的交互性。

3 年前，我校参与人教社“高中数学与信息技术整合”的实验与研究课题，获得了 “优秀 TI 实验学校与实验员”的称号。

本节课是人教版必修三第一章《算法初步》第三节《算法案例》的第一课时，作为案例课，在整章中既是算法的总结，又是一个提升。教材突出了数学的人文价值，又为学生提供了探索算法的平台。

知识与技能目标： 1. 理解两种方法蕴含的数学原理，能根据这些

原理进行算法分析； 2. 能根据已学知识设计完整的程序框图和程序

语句。过程与方法目标： 比较两种方法在算法上的区别，体会

算法与 TI计算器相结合的学习过程，初步掌握把算法转化成程序语句的一般步骤。

情感与德育目标： 1. 体会中国古代数学对世界数学发展的贡献； 2. 培养学生探究能力； 3. 培养理性的精神和动手实践的能力。

重点：探索用辗转相除法和更相减损术求最大公约数的方 法。

难点：把两种方法转换成程序框图和程序语句。

1. 教材处理：依照学生对新知接受和理解的认知规律，特将教材内容的教学顺序变更。

2. 教学方法：探究式教学。

3. 教学手段：主要工具是 TI图形计算器。

在教学过程中，遵循“课堂教学要以学生的发展为本”，注意启发学生自主性学习，引导学生实践数学思维的过程，自得知识，自觅规律，自悟原理，主动发展思维。

“ 努力营造学生在教学活动中独立自主学习的时间和空间，使他们成为课堂教学中重要的参与者与创造者，落实学生的主体地位，促进学生的自主学习和探究。”

温故知新

自主探究

巩固内化

课堂小结

的最大公约数。或与的最大公约数和

)()( baba

ba

引例：求下列各组中两数的最大公约数：（ 1 ） 63 和 49

（ 2 ） 112 和 63

（ 3 ） 175 和 112

（ 4 ） 287 和 175

4977

639

112716

17525

6379

11216

175725

28741

不但让学生发现了最大公约数的一个重要性质，也为引入新课埋下伏笔。 112和 63 的最大公约数是 7 。63+49

49 和 63 的最大公约数是 7 。

175 和 112 的最大公约数是 7 。175-112

63和 112 的最大公约数是 7 。

的最大公约数。或与的最大公约数和

)()( baba

ba

例 1 ：求 8251 和 6105 的最大公约数。

探求算法步骤a 和 b 的最大公约数

= （ a+b) 和 a( 或 b ）的最大公约数

= （ a-b) 和 a( 或 b ）的最大公约数

8251 和 6105 的最大公约数

= 和 6105 的最大公约数

= 和 6105 的最大公约数

153568251+6105

8251-61052146

大数化小数

8251-6105=21466105-2146=39593959-2146=18132146-1813=3331813-333=14801480-333=11471147-333=814814-333=481481-333=148333-148=185185-148=37148-37=111111-37=774-37=37 故 37 是所求最大公约数。

例 1 ：求 8251 和 6105 的最大公约数。 8251-6105=21466105-2146=39593959-2146=18132146-1813=3331813-333=14801480-333=11471147-333=814814-333=481481-333=148333-148=185185-148=37148-37=111111-37=774-37=37 故 37 是所求最大公约数。

探求算法步骤- =

- =

- =

8251 21466105

6105 39592146

3959 2146 1813

以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，再以大数减小数，继续这个步骤，直到所得的数相等为止。这个等数就是最大公约数。

例 1 ：求 8251 和 6105 的最大公约数。

这种方法是反复执行大数减小数，直到减数与差相等停止的循环结构。

探求算法步骤设计程序框图- =

- =

- =

8251 21466105

6105 39592146

3959 2146 1813

- =m n r

n=m

r=n

r=m - n

m = n

n = r

r=n?是 否

反复执行大数减小数

8251-6105=21466105-2146=39593959-2146=18132146-1813=3331813-333=14801480-333=11471147-333=814814-333=481481-333=148333-148=185185-148=37148-37=111111-37=774-37=37 故 37 是所求最大公约数。

例 1 ：求 8251 和 6105 的最大公约数。

探求算法步骤设计程序框图- =

- =

- =

8251 21466105

6105 39592146

3959 2146 1813

- =m n r

n=m

r=n

t = m

m = n

n = t

m<n?

是

否

大数化小数

这种方法是反复执行大数减小数，直到减数与差相等停止的循环结构。

编写程序语句

INPUT "m="; mINPUT "n="; nIF m < n THEN　 t = m　 m = n　 n = tEND IFr = m - nWHILE r <> nIF n < r THEN　 t = n　 n = r　 r = tEND IF m = n　 n = r　 r = m – nWENDPRINT nEND

通过学生合作交流，相互完善，在自主探索中理解知识的形成过程。

开始

输入两个正整数 n ， m

n ＞ m?

t=nn=mm=t

r= m - n

r=n?

m=n

n=r

输出最大公约数 n

结束

TI编程验证

TI 图形计算器在这里起到了“手持电脑”的作用，它帮助学生树立学习编程的自信心，提高学习算法的兴趣。

可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。这种跨学科的学习，

让学生为中华上下五千年的灿烂文明而感到骄傲，增强了他们的民族自豪感。

总结算法步骤

1764-840=924924-840=84840-84=756756-84=672672-84=588588-84=504504-84=420420-84=336336-84=252252-84=168168-84=84所以， 84 是它们的最大公约数。

总结算法步骤

840-84×10=0

1764=840×2+84

1764-840×2=84

例 2 ：求 840 与 1764 的最大公约数。

840=84×10+0

总结算法步骤1764=840×2+84

840=84×10

第一步：用大数除以小数；第二步：除数变成被除数，余数变成除数；第三步：重复第一步，直到余数为 0 。

r=m MOD n

m = n

n = r

r=0?是

否

带余除法

t = m

m = n

n = t

m<n?

是

否

大数化小数

设计程序框图

开始

输入两个正整数 n ， m

n ＞ m?

t=nn=mm=t

r= m MOD n

r=0?

m=n

n=r

输出最大公约数 n

结束

编写程序语句

INPUT “m=”;mINPUT “n=”;nIF m<n THENt=nn=mm=tENDIFr=m MOD nWHILE r<>0 r=m MOD nm=nn=rWENDPRINT mEND

TI编程验证

如果两个数有最大公约数 A ，那么这两个数，以及这两个数的差，还有大数除以小数的余数，必然都是 A 的倍数。所以当最后两个数刚好能整除时，较小的数就是最大公约数。

欧几里德

分别用更相减损术和辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用 TI 图形计算器验证结果。

（ 1 ） 228 与 1995 （ 2 ） 5280 与 12155

练习是学生掌握知识，形成技能，发展智力的重要手段。让学生学有所得，体验到成功的喜悦。

（ 1 ）算法具有通用性，可以解决一类问题；（ 2 ）解决同一类问题，可以有不同的算法，

但是计算的效率是不同的，应该选择高效的算法；

（ 3 ）算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法。

这一环节引导学生对学习内容进行梳理，将知识系统化、条理化、网络化，对在获取新知中体现出来的数学思想方法策略进行反思，从而加深对知识的理解。

更相减损术和辗转相除法

例 1：求 8251 和 6105的最大公约数。

例 2：求 840和 1764的最大公约数。

练习：分别用辗转相除法和更相减损术求下列各组中两数的最大公约数。（ 1） 228与 1995 （ 2） 5280与 12155

小结：算法的多样性； 算法的高效性； 三种逻辑结构表达算法。

数学指导思想：大数化小数 减法化除法 未知向已知探求

1. 教材原有的顺序为先引入辗转相除法再讲更相减损术，我将教材顺序作了调整，这种调整更加符合学生的认知规律，也更好地体现了化归思想。

2. 在课堂教学设计中，从设置情景、提出问题，到动手操作、交流，直至归纳得到结论，整个过程学生不仅探索了求最大公约数的两种方法——辗转相除法和更相减损术，更重要的是经历了知识的形成过程，掌握了一种分析问题、解决问题的方法，积累了数学活动经验，这将有利于学生更好地理解数学，应用数学。

3. 本节课的设计体现了以知识为载体、以培养学生的思维能力为重点的探索性教学模式。 TI图形计算器在整个教学过程中起到了探索验证的作用，使得学生的学习效率和积极性提高。教师以探究任务引导学生自学自悟的方式，为学生提供了自主合作探究的舞台，营造了思维驰骋的空间。