頻率與週期：

頻率與週期：一個呈規律性及週期性變化的訊號，來回振盪 1 次 ( 亦即從波上的一點，行進至下一個波形的相同對應點上 ) 所需要的時間稱為週期。通常以 T 來表示週期，單位為時間的單位，如 sec 、 ms( 毫秒 ) 等。

一個週期性變化的訊號，在 1 秒的時間內所振盪的次數稱為頻率。通常以 f 來表示頻率，單位為 Hz ， 1 Hz 表示每秒振盪 1 次， 2kHz 表示每秒振盪 2仟次。

週期與頻率的關係如下：

T1

f f1

T 或

T正弦波

方波三角波

交流波的種類：1. 弦波

正弦波形或餘弦波形

2. 三角波

上升速率與下降速率相等 上升速率與下降速率不等

3. 鋸齒波

4. 方波

正值時間與負值時間相等

5. 脈波

正值時間與負值時間不等

相位角：將波形的一個週期當作來回一次， 360 ，若以弳度來表示則為 2 個弳度，則波形上每一點的角度如下所示：

0

90

180

270

360 0

2

23

正弦波當時間 t = 0 時，不一定從 0 開始， t = 0 時的角度稱為相位角。相位角 0 相位角 90 相位角 180

相位角 45 相位角 135 相位角 315 或 – 45相位角 225 或 – 135

相位角 270 或 – 90

相位差：兩個相同頻率的波形，相位角不一定相同，兩者相位角的差稱為相位差，用超前或落後多少度來表示兩者間之相位關係。

A 相位角 – 45 ， B 相位角 90 ，A 相落後 B 相 135 或 B 相超前 A 相 135

A 相位角 90 ， B 相位角 0 ，A 相 超前 B 相 90 或 B 相 落後 A 相 90

A 相位角 0 ， B 相位角 – 45 ，A 相 超前 B 相 45 或 B 相 落後 A 相 45

A 相位角 0 ， B 相位角 45 ，A 相落後 B 相 45 或 B 相超前 A 相 45

角頻率 () ：每秒鐘轉了多少角度稱為角頻率或角速度，以 來表示，單位為 rad/sec 。rad 為弳度， 1 個週期或 1 個振盪的角度為 2 個弳度，相當於 360。

頻率 (f) 與角頻率 () 的不同：頻率 f ：每秒振盪多少次。角頻率 ：每秒振盪多少弳度。

振盪 1 次是 2 個弳度，因此 = 2f

正弦波電壓或電流的表示法：從時間為 0 開始，經過了 t 秒的時間，共振盪了 t 個弳度 ( 角位移 = 角速度 × 時間 ) 。若正弦波的相位角為 ( 時間為 0 的初始角度 ) ，則 t 秒後的角度為

= t +

因此正弦波電壓可以表示成 v = Vm sin() = Vm sin(t + ) = Vm sin(2f t + )

Vm

= t +

其中， 為相位角， Vm 為電壓的最大值或峯值，也稱為振幅。

同理，正弦波的電流也可以表示成 i = Im sin() = Im sin(t + ) = Im sin(2f t + )

註：通常以小寫字母來表示交流電。

一般交流電 f = 60Hz 則 = 2 × 60 = 377 rad/sec

正弦波的平均值：

0

Vm

Vav

寬度曲線下面積平均值平均高度

因此

mav V2

V

2正弦波平均值是峯值的 倍。

電壓

mm0 m

av V637.0V2d)sin(V

V

mav I2

I

電流

正弦波的有效值 (eff) ：通常交流電的大小，例如 110V 的交流電壓，其中 110V 並不是交流電壓的峯值，也不是平均值，而是指有效值。

有效值是指功率的平均值，亦即相同大小的交流電與直流電，所提供給負載的功率是一樣的。例如： 110V 的交流電壓施加在一個電熱絲上，與 110V 的直流電壓施加在同一個電熱絲上，兩者所提供的功率是一樣的。

功率： RIR

VP 2

2 無論電壓或電流都有平方項，因此

有效值的求法是 (1) 先平方， (2) 再取平均值， (3) 最後再開根號回來因此有效值又稱為 均方根值 (rms) 。

mm0

2m

02

meff V707.0V

2

14)2sin(

2V

d)]sin(V[V

結論：正弦波電壓或電流的有效值為峯值的 倍，或 0.707 倍。

2

1

mrmseff V2

1VV

mrmseff I2

1II

effm V2V

effm I2I

或

在交流電路中，不同元件的電壓除了大小可能不同外，相位角也可能不同。若兩個電壓大小相同，但相位角相差 180 ，則相加的結果等於零，而不是兩倍。若兩個電壓大小相同，但相位角相差 90 ，則相加後的大小為 倍。兩個交流電壓若要相加，除了大小之外，也要考慮相位角，不可以直接相加。處理交流電壓或電流相加減，或電壓等於電流乘以阻抗 ( 歐姆定律 ) 等數學運算的工具就是相量。

2

交流電的相量表示法：若一個交流電壓大小為 V ，相角為 ，則此交流電壓可以表示成 V ／。

大小可以使用峯值，也可以使用有效值，但若兩個要相加，定義一定要一樣。

例如：若 某交流電壓為 Vm sin(t + ) ，則也可以表示成 Vm ／。。。。。。。。 3 sin(377t + 40) A ，則可以表示成 3 ／ 40 A 。

虛數： 定義： 1j 因此， j2 = –1 ， j3 = – j， j4 = 1

複數：若要將一個實數與一個虛數相加，因性質不同，不可以相加變成一個數，故只用加號在兩數中間，將兩個數組合起來，稱為複數。一般複數的形式為：

a + jb a 為實數部分的大小， b 為虛數部分的大小， a 、 b 都是實數

例如： 2 + j3 ， – 4 + j5 ， 6 – j8 ， – 1 – j7 等

複數平面：複數平面用來表示複數的位置，可以將一個複數標示在複數平面上。橫軸代表實數部分 (Re) 的大小，縱軸代表虛數部分 (Im) 的大小

複數與相量的關係： 相量 r ／ 與複數 a + jb 的關係：

a = r cos()b = r sin()

相量轉成複數：複數轉成相量：

22 bar

若 a 0≧

a

btan 1

若 a < 0

180

ab

tan 1

複數的加減法：將實數部分與實數部分相加減，虛數部分與虛數部分相加減(a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d) (a + jb) – (c + jd) = (a – c) + j(b – d)

相量的加減法：將相量轉換成複數，以複數型態相加減，將結果再轉換回相量。

相量相乘：將大小相乘，相位角相加。

r1 ／ × r2 ／ = r1r2 ／ +

相量相除：將大小相除，相位角相減。

2 12

1

r

r

r

r

2

1

2

1

///

複數相乘：方法 1 ：與多項式的乘法相同

(a + jb) (c + jd) = ac + jad + jbc + j2bd = (ac – bd) + j(ad + bc)

方法 2 ：將複數轉換成相量，以相量型態相乘，將結果再轉換回複數。

複數相除：方法 1 ：將分母有理化，亦即化成實數

2222

22

dc

adbc

dc

bdacdc

)adbc()bdac(

dc

dc

dc

ba

dc

ba

j

jjj

jj

jj

方法 2 ：將複數轉換成相量，以相量型態相除，將結果再轉換回複數。

交流電路之電壓、電流與阻抗：在電路中一個電路元件的阻抗為跨於此元件兩端電壓與流經此元件電流的比值。若為交流電路，電壓與電流的相位角不一定相同，因此要將電壓與電流表示成相量，阻抗定義成電壓相量與電流相量的比值。通常以 Z 來表示阻抗。

ZIV Z

VI

I

VZ 或或

上式可以看成交流電的歐姆定律，也可適用於直流電，唯一不同的是，電壓、電流與阻抗都含有相角。

若電壓的相位角為 V ，電流的相位角為 I ，由式子I

VZ 可知

阻抗的大小等於電壓的大小除以電流的大小，阻抗的相角 Z = V – I ，亦即 阻抗的相角 = 電壓的相位角 – 電流的相位角若阻抗的相角為正，代表電壓超前電流，若阻抗的相角為負，代表電壓落後電流。

電阻的阻抗： 電阻的電壓與電流關係為 v = R i若電阻的電流為 i = Imsin(t + )則電壓為 v = R i = R Imsin(t + )

若表示成相量，則 V = R Im ／。 Im ／

則電阻的阻抗為

I

VZ

R Im ／

Im ／= R ／= R

實數的部分為 R ，虛數的部分為 0

電阻阻抗的相角為 0 ，因此電壓與電流同相位。

電感的阻抗：電感的電壓與電流關係： dt

div L

若電阻的電流為 i = Imsin(t + )

則電壓為 )90tsin(IL)tcos(ILL mm dtdi

v

若表示成相量，則 V = L Im ／。 Im ／

則電感的阻抗為

I

VZ

Im ／= L ／ 9= jL

Ｌ Im ／

電感阻抗的相角為 90 ，因此電壓超前電流 90

電容的阻抗：電容的電壓與電流關係：

dt

dvi C

若電容的電壓為 v = Vmsin(t + )

則電流為 )90tsin(VC)tcos(VCC mm dt

dvi

若表示成相量，則 I = C Vm ／。 VVm ／

則電容的阻抗為

I

VZ

C Vm ／／– 9=

Vm ／C

1

C

1

j

電容阻抗的相角為 – 90 ，因此電壓落後電流 90

阻抗 相位關係 波形

電阻R ／

或R

電壓與電流同相位

電感L ／ 9

。jL

電壓超前電流 90

電容 電流超前電壓 90C

1

j

。

C1

／– 9

交流電的功率：交流電的電壓與電流相位角不一定相同，當相位角不同時，不可以直接將電壓的均方根值與電流的均方根值相乘以求得功率。假設電壓超前電流 角度。兩者可表示為

v = Vm sin(t) ， i = Im sin(t – )

因此，功率

p = v i = Vm Im sin(t) sin(t – ) = Vm Im sin(t) [ sin(t) cos() – cos(t) sin() ]

= Vm Im sin2(t) cos() – Vm Im sin(t) cos(t) sin()

t)sin(2 )(ins I V)]t2cos(1[ )cos( I V

)sin( t)sin(2 I V21

)cos( )]t2cos(1[ I V21

rmsrmsrmsrms

mmmm

交流電的功率可以分成兩部份：1. Vrms Irms cos() [1 – cos(2t)] ，因為 1 cos(2t) –1 1 – cos(2t) 0 ，此部分的的功率永遠大於等於零，元件實際消耗功率，稱為實功率，它的平均值為P = Vrms Irms cos() ，單位為 W ( 瓦特 ) 。

2. Vrms Irms sin() sin(2t) ，因為 1 sin(2t) –1 ，此部分的的功率有時大於零 ( 元件吸收儲存能量 ) ，有時小於零 ( 元件釋放所儲存的能量 ) ，平均值為零，並沒有實際消耗能量，稱為無效功率或虛功率，它的振幅為Q = Vrms Irms sin() ，單位為 VAR 。

視在功率：定義視在功率： ，單位為 VA ，看起來功率好像是電壓乘以電流 ： Vrms Irms ，但實際上並不是，實際消耗的功率僅為P = Vrms Irms cos() ，另一部分 Q = Vrms Irms cos() 為虛功率，

rmsrms22 I VQPS

功率三角形：S = Vrms Irms

P = Vrms Irms cos() = S cos()Q = Vrms Irms sin() = S sin()

其中， 為電壓超前電流的角度

由阻抗 Z 的定義： ，可知阻抗的相角等於電壓的相位角減去電流的相位角 ( 相量的除法 ) ，亦即阻抗的相角等於電壓超前電流的角度，因此 亦為阻抗的相角。因此純電阻電路， = 0 ，純電感電路， = 90 ，純電容電路， = –90 ，

IV

Z

功率因數：定義功率因數為 PF = cos() ， 功率因數的意義是實際消耗的功率佔視在功率的比率。P = S cos() = S × PF