第三章：证明（一）

回顾与思考

直观是重要的 ,但它有时也会骗人 .

直观是把“双刃剑”

注意：① 每个命题都由条件和结论两部分组成 .条件是已知事项 ,结论是由已知项推断出的事项 .② 一般地 ,命题可以写成“如果…… ,那么……”的形式 ,其中“如果”引出的部分是条件 ,“那么”引出的部分是结论 .③ 正确的命题称为真命题，不正确的的命题称为假命题④ 要说明一个命题是假命题 ,通常可以举出一个例子 ,使之具备命题的条件 ,而不具备命题的结论 ,这种例子称为反例．

1. 定义 :对名称和术语的含义加以描述 ,作出明确的规定 , 也就是给出它们的定义 . 2. 命题 :判断一件事情的句子 ,叫做命题 .

回顾与思考

1 ．下列命题中，真命题是（ ）A．有两边相等的平行四边形是菱形 ; B．有一个角是直角的四边形是矩形C．四个角相等的菱形是正方形 ; D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

2 ．下列命题是假命题的是（ ）A．若 a⊥b， a⊥c，则 b⊥c B．互补的两个角不能都是锐角 ; C．乘积是 1的两个数互为倒数 ; D ．全等三角形的对应角相等

基础练习 A:

3 ．“所有的质数都是奇数”的题设是 _____ ，结论是 _____ ，它是一个 _____ 命题．（填“真”或“假”） 4 ．阅读下列语句：⑴ 若 a b∥ ， b c∥ ，则 a c∥ ；⑵ 对顶角相等；⑶ 相等的角是对顶角；⑷ 若 a·b=0 ，则 a=0 ；⑸ 两直线平行，同旁内角互补 .在上述语句中，属于真命题的是 _____( 填序号 ).

基础练习 A:

5 ．在四边形 ABCD 中，给出下列论断：①AB DC∥ ；②AD=BC ；③∠A= C∠ ． �以其中两个作为条件，另外一个作为结论，用“如果……那么……”的形式， � 写出一个你认为正确的命题．

基础练习 A:

公理 : 公认的真命题称为公理 .证明 : 除了公理外 , 其它真命题的正确性都通过推理 的方法证实 . 推理的过程称为证明 .定理 : 经过证明的真命题称为定理 .本套教材选用如下命题作为公理 :1. 两直线被第三条直线所截 ,如果同位角相等 , 那么这两条直线平行 ;2. 两条平行线被第三条直线所截 ,同位角相等 ;3. 两边夹角对应相等的两个三角形全等 ;4. 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 ;5. 三边对应相等的两个三角形全等 ;6. 全等三角形的对应边相等 ,对应角相等 .

回顾与思考

平行线的判定公理 :同位角相等 ,两直线平行 . ∵∠1= 2, a b.∠ ∴ ∥判定定理 1:内错角相等 ,两直线平行 .∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.判定定理 2:同旁内角互补 ,两直线平行 .∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b.

a

b

c

2

1

a

b

c

1

2

a

b

c

1

2

几何的三种语言☞☞

公理 :两直线平行 ,同位角相等 . ∵ a b, 1= 2.∥ ∴∠ ∠性质定理 1:两直线平行 ,内错角相等. ∵ a b, 1= 2.∥ ∴∠ ∠性质定理 2:两直线平行 ,同旁内角互补 . ∵ a b, 1+ 2=180∥ ∴∠ ∠ 0 .

a

b

c

2

1

a

b

c

1

2

a

b

c

1

2

几何的三种语言 平行线的性质

将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（ 1 ）∠ 1 ＝∠ 2 ；（ 2 ）∠ 3 ＝∠ 4 ；（ 3 ）∠ 2+ 4∠ ＝ 90° ；（ 4 ）∠ 4+ 5∠ ＝ 180° ，其中正确的个数 是（　　）A.1 B.2 C.3 D.4

1

2

3

45

基础练习 B:

图 6

a

b

M

P

N

1

23

如图，直线 a b∥ ，点 M 、 N 分别在直线 a 、 b 上。那么∠ 1+ 2 + 3=____________ ∠ ∠

基础练习 B:

如图是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个矩形，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠ 1 、∠ 2 ，则∠ 1+ 2∠ ＝ 度 .

1

2

基础练习 B:

三角形内角和定理

三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 1800.△ABC 中 ,∠A+∠B+∠C=1800.

∠A+∠B+∠C=1800 的几种变形 :∠A=1800 –(∠B+∠C).∠B=1800 –(∠A+∠C).∠C=1800 –(∠A+∠B).∠A+∠B=1800-∠C.∠B+∠C=1800-∠A.∠A+∠C=1800-∠B.这里的结论 ,以后可以直接运用 .

A

B C

回顾与思考

关注三角形的外角三角形内角和定理的推论 :推论 1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 .推论 2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 .推论 3: 直角三角形的两锐角互余 .

△ABC 中 : ∠1=∠2+∠3;∠1>∠2,∠1>∠3.

A

B C D1

2

3 4

这个结论以后可以直接运用 .

几何的三种语言

例 1 已知 : 如图 , 在△ ABC 中 ,AD 平分外角 ∠EAC, B= C. ∠ ∠求证 :AD BC.∥

例题欣赏

A

C

D

B

E

例 2 已知 : 如图 , 在△ ABC 中 , 1∠ 是它的一个外角 , E 为边 AC 上一点 , 延长 BC 到 D, 连接 DE.

求证 : 1> 2.∠ ∠ C

A B F1

3

4

5E

D2

例题欣赏

你认识外角吗 ?已知 : 国旗上的正五角星形如图所示 .求 :∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数 .

A

B

C D

EF1H 2

例题欣赏

你认识外角吗 ? 试一试

已知 : 如图所示 .

求证 : (1) BDC> A;∠ ∠ (2) BDC= A+ B+ C.∠ ∠ ∠ ∠

B

C

AD

1. 如图：将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的线段最短？研究发现，并非对角线最短，而是如图所示的连法最短（即用线段 AE ， DE ，EF ， BF ， CF 把四个顶点连接起来） .已知图中∠ DAE=∠ADE=300 ，∠ AEF=∠BFE=1200 .你能证明此时的 AB∥EF 吗？ .

A B

CD

1题图

E F

试一试

2. 已知：如图，直线 a,b 被 直线 c 所截， a∥b.求证：∠ 1+∠2=1800.

b

a

c

2

1

2 题图

3 4

试一试

3. 已知 : 如图，∠ 1+∠2=1800.求证 : ∠3=∠4.

4

12

3

O

C E

A

BFD

3题图

5

试一试

如图，已知△ ABC为直角三角形，∠ C =90° ，若沿图中虚线剪去∠ C，则∠ 1 ＋∠ 2 等于 ( )

A ． 315° B ． 270° C ． 180° D ． 135°

基础练习 B:

一个顶角为 40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则 1 2 ∠ ∠

基础练习 B:

一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠ α 的度数是 ___ ______ ．

基础练习 B:

如图所示，两平面镜 α ， β 的夹角为 θ ，入射光线AO 平行于 β 入射到 α 上，经两次反射后的出射光线 O′B 平行于 α ，求角 θ 的度数．

基础练习 B:

如图 19 ，在△ ABC 中， BD AC⊥ 与 D ．若∠ A∶ABC ACB∠ ∶∠ ＝ 3 4 5∶ ∶ ， E 为线段 BD 上任一

点．（ 1 ）试求∠ ABD 的度数；（ 2 ）求证：∠ BEC> A∠ ．

图 19

E

D

CB

A

基础练习 B:

某机器零件的横截面如图所示，按要求线段 AB 和 DC 的延长线相交成直角才算合格，一工人测得∠ A=230 ，∠ D=310 ，∠ AED=1430 ，请你帮他判断该零件是否合格．

A

B

C D

E

基础练习 B:

如图 10 一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的∠ A是 120° ，第二次拐的∠ B是 150° ，第三次拐的角是∠ C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠ C是（ ）

基础练习 B:

如图 15 ，要能使 AB∥ED，∠ B，∠ C，∠ D应满足什么条件？

基础练习 B:

如图，∠ A=150 ， AB=BC=CD=DE=EF ，求∠ FEM

基础练习 B:

如图， BE DF∥ ，∠ B = D ∠ ，求证： AD BC ∥

A

B C

DE

F

基础练习 B:

证明一个命题的一般步骤 :(1)弄清题设和结论 ;

(2)根据题意画出相应的图形 ;

(3)根据题设和结论写出已知 , 求证 ;

(4) 分析证明思路 , 写出证明过程 .

回顾与思考

如图 1 ，△ ABC 中，∠ ABC 、∠ ACB 的平分线交于点 O ，那么∠ BOC 与∠ A 有什么关系呢？证明你的猜想．

基础练习 C:

如图 2 ，，△ ABC 中，∠ ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点 P ，试问∠ P 与∠ A有什么关系？证明你的结论．

基础练习 C:

如图 3 ，△ ABC 中，∠ ABC 、∠ ACB 的外角平分线交于点 P ，试问∠ P 与∠ A 有什么关系？证明你的结论．

基础练习 C:

如图 17 （ 1 ），有两条平行直线m、 n、 AOB是两平行线的一折线，则我们会有这样的结论：∠ O= 1+ 2∠ ∠ ．（ 1 ）证明该结论；（ 2 ）如果将折一次改为折两次如图 17 （ 2 ）∠ 1 ，∠ 2 ，∠ 3 ，∠ 4 会满足怎样的关系，证明你的结论；（ 3 ）若此折线继续折下去，折三次，折四次……折 n次，又会得到怎样的结论？请你用自己的语言来描述所得到的结论（不必证明）．

基础练习 C:

公理 :1. 两直线被第三条直线所截 , 如果同位角相等 , 那么这两条直线平行 ;2. 两条平行线被第三条直线所截 , 同位角相等 ;3. 两边夹角对应相等的两个三角形全等 ;4. 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 ;5. 三边对应相等的两个三角形全等 ;6. 全等三角形的对应边相等 , 对应角相等 .

结论：

(1) 等角的补角相等 .(2) 等角的余角相等 .(3) 对顶角相等 .(4) 平行于同一条直线的两条直线平行 .(5) 直角三角形两锐角互余(6) 两锐角互余的三角形是直角三角形(7) 四边形的内角和等于 360 度

判定定理：

(1) 内错角相等，两直线平行 .(2) 同旁内角互补，两直线平行 .

性质定理：

(1) 两直线平行，内错角相等 .(2) 两直线平行，同旁内角互补 .

三角形内角和定理：三角形的内角和等于 180 度

推论 1 ：三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。推论 2 ：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

有这些结论可以用 :