数学实验

数学实验高等数学（下）

曲线积分与曲面积分

实验目的学习用软件计算曲线积分、曲面积分

实验内容一、曲线积分

1 、对弧长的曲线积分若 L ： α≤t≤β，则

)()(

tyytxx

dttytxtytxfdsyxfL

)()()](),([),( 22

若 L ： α≤t≤β，则

)()()(

tzztyytxx

dttztytxtztytxfdszyxfL

)()()()](),(),([),,( 222

[ 例 1] 计算 ， 为 x2+y2=a2 中的 一段弧。

AB

xyds

AB

[ 解 ] 方法Ⅰ：选 x 为参数，则 22 xay

dxyxyxxydsIa

AB

2

0

21)(

y

x

ABa

23

02a

方法Ⅱ：选 y为参数，则 22 yax

dyyxyyxxydsIa

aAB

23

2 1)()(

方法Ⅲ：选 t为参数，则有参数方程

taytax

sincos

22123

arctan t

a

a

2

3arctan

22 )()()()(

dttytxtytx

xydsIAB

>> syms t >>I=int(x*y*sqrt(diff(x)^2+diff(y)^2

), atan(sqrt(3)),pi/2)

运行结果： I

=1/8*a^2*(a^2)^(1/2)>>I=simple(I)运行结果： I=1/8*a^3

2 、对坐标的曲线积分L 是二维有向曲线： t ： α→β

)()(

tyytxx

Γ是三维有向曲线：

)()()(

tzztyytxx

t ： α→β

dttztztytxR

tytztytxQtxtztytxP

dzzyxRdyzyxQdxzyxP

)}()](),(),([

)()](),(),([)()](),(),([{

),,(),,(),,(

[ 例 2]计算∫ Γx3dx+3zy2dy-x2ydz，其中 Γ是从点 A （ 3 ， 2 ， 1）到点 B （ 0 ， 0 ， 0） 的直线段 。 AB

[ 解 ] 直线段 的方程为 化为参数方程 t ： 1→0

AB123zyx

tztytx

23

dttztytxtytytztxtx

ydzxdyzydxx

1

0

223

223

)]()()()()()(3)()([

3

>> syms t >>x=3*t; y=2*t; z=t; >>I=int(x^3*diff(x)

+3*z*y^2*diff(y) -x^2*y*diff(z),t,1,0) 运行结果： I =-87/4

3、格林公式 设闭区域 D由分段光滑的曲线 L围成， 函数 P （ x,y）及 Q （ x,y）在 D上具有一阶 连续偏导数，则有

LD

QdyPdxdxdyyP

xQ )(

其中 L 是 D的取正向的边界曲线。

[ 例 3]计算曲线积分 ∮L(x2+xy)dx+(x2+y2)dy，其中 L是区域 0≤x≤1 ， 0≤y≤1的边界正向。 [ 解 ] 令 P （ x,y ） =x2+xy Q （ x,y ） =x2+y2 由格林公式得

1010

)(yxL

dxdyyP

xQQdyPdx

>> syms x y >>P=x^2+x*y; Q=x^2+y^2;>>I=int(int(diff(Q,x)-diff(P,y),y,0,1),x,0,1) 运行结果： I =1/2

二、曲面积分1 、对面积的曲面积分

若曲面 Σ的方程为 :z=z(x,y),则dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf yx

Dxy

),(),(1)],(,,[),,( 22

［例 4］计算曲面积分其中 Σ 为锥面 被曲面 x2+y2=2ax所截得的部分。

dszxyzxy )(22 yxz

解：步骤(1) 由 Σ的参数方程作曲面 Σ 的图形和 Σ 在 xoy 平面的投影区域 Dxy 的图形；

22 cos2sin

cos

atarrztry

atrx

(0≤t≤2π)

(2)建立直角坐标系下的被积函数；221)(),( yx zzzxyzxyyxF

(3) 将 F(x,y)作极坐标变换 x=rcost, y=rsint; (4)将曲面积分化为对 r,t的二次积分

ta

rdrtrFdtdszxyzxycos2

0

2

2

),()(

(5)化简积分结果

程序：

2、对坐标的曲面积分

dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP ),,(),,(),,(

化为二次积分

xyD

dxdyyxzyxRdxdyzyxR )],(,,[),,(

yzD

dydzzyzyxPdydzzyxP ],),,([),,(

zxD

dxdzzzxyxQdxdzzyxQ ]),,(,[),,(

[ 例 5]计算 ，其中 Σ 是上半球面 的上侧。

dxdyzyxydzdxzyxdydzxz )2()( 2322

222 yxaz

[ 解 ]步骤：1 、作上半球面 Σ的图形及其在三个坐标 平面的投影图形；2 、计算

a

D

DD

rdrtrfdttrztry

dydzzyaz

dydzzyazdydzzyaz

dydzxzI

yz

yzyz

01

0

2222

22222222

21

),(2sincos

2

12222

22222222

322

2

)(

Idxdzzxax

dxdzzxaxdxdzzxax

dzdxzyxI

zx

yzzx

D

DD

a

D

rdrtrfdttrytrx

dxdyyxayxy

dxdyzyxyI

xy

03

2

0

2222

23

),(sincos

)2(

)2(

I ＝ I1 ＋ I2 ＋I3

3 、高斯公式设空间闭区域 Ω 是由 分片光滑的闭曲面 Σ 所围成，函数 p(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) 在 Ω 上具有一阶连续导数，则有

RdxdyQdzdxpdydzdv

zR

yQ

xP )(

[ 例 6]用高斯分式计算例 5

[ 解 ]分析：积分曲面 Σ不是封闭曲面，添加平面 Σ1:z=0 使构成封闭曲面 Σ ＋ Σ1 。 步骤：

(1)计算沿封闭曲面的积分令 P=xz2,Q=x2y-z3,r=2xy+y2z,

a

drsrtsrFdsdt

dvzR

yQ

xP

dxdyzyxydzdxzyxdydzxzI

0

22

0

2

0

23221

)sin(),,(

)(

)2()(1

球面坐标交换

(2)计算 Σ1 上的曲面积分

dyxydxxydxdydxdyzyxyIxa

xa

a

aDxy

22

221

)2(2)2( 22

21

2322 )2()(

II

dxdyzyxydzdxzyxdydzxzI

(3)

01

2

dydzxz 0)(1

32

dzdxzyx

>> syms a x y z s r t>>P=x*z^2;>>Q=x^2*y-z^2;>>R=2*x*y+y^2*2;>>f=diff(P,z)+diff(Q,y)+diff(R,z);>>f=subs(f,{x,y,z},{'r*sin(s)*cos(t)', 'r*sin(s)*sin(t)','r*cos(s)'});>>I1=int(int(int(f*r^2*sin(s),r,0,a),s,0,pi/2), t,0,2*pi) 运行结果： I1 =2/15*a^5*pi

>> I2=int(int('2*x*y',y,-sqrt(a^2-x^2), sqrt(a^2-x^2)),x,-a,a) 运行结果： I2 =0

>> I=I1-I2 运行结果： I = 2/15*a^5*pi

上机实验题 1 、计算下列曲线积分

L

dsy2(1) ,其中 L为摆线一 x=a(t-sint), y=a(1-cost) (0≤t≤2π)。

L

yx dse22(2) ，其中 L为圆周 x2+y2=a2,直

线 y=x及轴在第一象限内所围成的 扇形的整个边界。

L

dyxyydxxyx )2()2( 22(3) ,其中 L是抛 物线 y=x2上从点（－ 1,1）到点（ 1,1）的一段弧。

L yxxdyydx

)(2 22(4) ,其中 L为圆周 (x-1)2+y2=2， 逆时针方向。

2 、计算下列曲面积分

(1) ，其中 Σ为平 面 2x+2y+z=6在处一卦限中的部分 .

dszxxxy )22( 2

(2) ,其中 Σ是球面 x2+y2+z2=R2

的下半部分的下侧。

zdxdyyx 22

(3) ，其中 Σ是界于 z=0 和 z=3之间的圆柱体 x2+y2≤9 的整个表面的外侧。

zdxdyydzdxxdydz