三角形和特殊三角形

主讲：高金凤

旧知回眸

本专题的内容分别在苏科版教材七年级下册第 7 章《平面图形的认识（二）》第 4 、 5 节、

八年级上册第 1 章《轴对称图形》第 4 、 5 、 6 节

和第 2 章《勾股定理与平方根》第 1 、 2 节，主要

研究三角形与特殊三角形的概念、性质和判定方法。

1 、三角形的知识结构

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（ 1 ）三角形三条边之间具有什么关系？怎样把握？ 三角形三条边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．掌握和灵活运用这个关系可以解决与之相关的许多问题． 注意已知三角形的两边长求第三边的取值范围时，一定要同时考虑第三边大于另两边之差，小于另两边之和；在三角形三边的大小关系可确定的情况下，也可用较小的两边之和与第三边比较，判断其是否满足三角形的三边关系。

2 、要点归纳

例 1. 一个三角形的两边长分别为 5cm 和 11cm ，那么第三边的长度在以下选项中只能是 ( )A.3cm B.4cm C.5cm D.7cm

【点拨】根据三角形三边之间的关系，第三边长的取值范围是大于 6cm, 小于 16cm, 故

选 D. 【点评】本题考查了三角形三边之间的关系，考查一般有以下呈现方式：①已知两边，求第三边的可能取值；②给定三线段的长度，判断能否构成三角形；③已知三角形的三边长分别为 a 、 b 、 c ，判断“ a+b+c 、 a+b-c 、

a-b-c” 正负性 .

（ 2 ）怎样认识三角形的三个内角之间的关系？ “ 三角形三个内角和等于 180°” ，是三角形中角与角之间的一个重要关系，根据这个关系可得：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于与他不相邻的两个内角和，三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角；③一个三角形中最多只有一个直角或钝角．因此，三角形按角的大小分类可以分为三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，三角形三个内角之间的关系有着广泛的应用． 在解决和三角形有关的问题时，内角和等于 180° ，是一个非常重要的等量关系，我们常利用它来得到和角有关的方程 ( 组 ) ，从而可把和三角形有关的几何问题转化为方程 ( 组 )的代数问题来解决．

（ 3 ）三角形的角平分线、中线和高线有什么区别？ 三角形的角平分线、中线和高线都是三角形中的重要线段．每个三角形都有三条角平分线、三条中线、三条高，它们之间的相同点：①都是线段；②都是从顶点画出；③都能交于一点． 不同点：①角平分线平分内角，中线平分边，高垂直于边；②三角形的角平分线和中线都是在三角形的内部，直角三角形有两条高都在边上，钝角三角形有两条高在三角形的外部．三角形的形状未知时，三角形高的位置也未知，需要分类 .

例 2 . 为美化小区环境，某小区有一块面积为 160m2 的等腰三角形草地，测得其腰长为 20m ，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则栅栏的长度为　　　　　ｍ．　　 　　　 　　

【点评】草地的形状是等腰三角形 , 可以是锐角三角形也可以是钝角三角形，因此需要分两种情况：① 高在三角形的内部 ,如图１ ,AC=20m ， CD=16m, 于是可得 AD=12m,BD=8m,BC= m,周长为 (40+ )m

5858

D

图 1-(1)

CB

A

② 高在三角形的外部，如图 2 ， AC=20m,CD=16m,于是 AD=12m,BD=32m,BC= m, 其周长为 (40+ )

m.

516 516

【点评】本题的条件中潜藏着图形的不确定因素：“等腰三角形的顶角是锐角、还是钝角”，因此需要分情况画出图形，运用勾股定理进行计算 .

图 1-(2)

D

CB

A

（ 4 ）怎样把握等腰三角形？ ① 等腰三角形的分类：可分为一般等腰三角形（腰和底不等）和特殊的等腰三角形（三边都相等的等腰三角形）即等边三角形． 另外顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形． ② 等腰三角形的性质及其两个推论． 性质：等腰三角形的两个底角相等． 推论 1 ：等腰三角形顶角平分线垂直平分底边，即“三线合一”． 推论 2 ：等边三角形的各个内角都相等，即每个内角都等于 60° ．

例 3 ．如图 2-(1) ，在 Rt ABC△ 中， AB=AC ，∠ BAC=90 º ， O 为 BC 中点，以 O为端点任作两条互相垂直的射线与两腰分别相交于M、 N点。(1)请猜想△ OMN 的形状，并证明你的猜想；

【点拨】 (1) 根据等腰三角形的“三线合一”，连接 AO ，易得△ AMO CNO,≌△ 所以 OM=ON ，∠ AOM= CON,∠ 所以∠ AOC= MON=90°∠ ，所以△ OMN 是等腰直角三角形；

N

M

O CB

A

图 2-(1)

(2)将∠MON绕点 O旋转，使其两边分别与 BA 、 AC的延长线相交于点 M 、 N ，如图 2-(2),试问 (1) 中的结论是否仍成立，并说明理由。

【点拨】 (2) 根据等腰三角形的“三线合一”，连接 AO ，易得△ AMO CNO,≌△ 所以 OM=ON ，∠ AOM= CON,∠ 所以∠ AOC= MON=90∠ ° ，所以△ OMN 是等腰直角三角形。

O

N

M

CB

A

图 2-(2)

【点评】判断三角形的形状一般从两个角度入手：①边的特征；②角的特征 . 等腰三角形中遇底边的中点通常想到“三合一线” . 图形旋转变化是几何问题拓展变式的重要策略，因此把握图形旋转的特征有助于拓展我们的思维，找到便捷的解题思路 .

例 4 ．如图 3 ，△ DAC 和△EBC均是等边三角形， AE、 BD 分别与 CD 、 CE� 交于点M、 N，有如下结论：①△ACE≌△DCB ；② CM=CN；③ AC=DN；④MN∥AB ．其中 ,正确结论的个数是 ( ) A． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1

【点拨】根据等边三角形的性质可得 AC=DC=AD,CE=CB=BE, ACD= ECB=60°,∠ ∠ 所以∠ DCE=60°由此可得△ACE

DCB, MCE NCB.≌△ △ ≌△ 显然△MCN 是等边三角形，故选 B.

NM

E

BCA

D

图 3

【点评】本题属于结论开放性题型 . 以特殊的等腰三角形——等边三角形为问题的载体，构图复杂，在复杂图形中识别基本图形，熟悉基本图形的结论是解决几何探索题的基本技能 .

例 5. 如图 4 ，己知△ ABC 中， AB＞ AC ．试用直尺 ( 不带刻度 ) 和圆规在图中过点 A作一条直线，使点 C 关于直线l 的对称点在边 AB 上 ( 不要求写作法，也不必说明理由，但要保留作图痕迹 ) ．

【点拨】如果点 C 关于直线的对称点 C’ 在 AB 上，连接 CC’,则有 AC=AC’,CC’⊥l，于是 l为∠ A 的角平分线所在的直线 .

【点评】本题是利用作图问题为问题原型设计的填空题，考查等腰三角形的“三线合一”的性质，虽不需要说理，但是考生必须熟悉图形的基本性质才能完成 .

A

B C

图 4

另外，等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线，底边上的中线或底边上的高所在的直线． ③ 等腰三角形的判定：一是根据定义判定，即看它是否有两边相等；二是运用“等角对等边”． ④在进行等腰三角形的边、角的相关计算时，如果没有明确腰和底、顶角和底角，通常需要分类讨论 .

例 6 ．如图 5 ，点 A 的坐标是 (2,2) ，若点 P 在 x 轴上，且△APO 是等腰三角形则点 P 的坐标不可能是（ ） A ． (4 ， 0) B ． (1 ． 0) C. (-2 ， 0) D ． (2 ，0)

【点拨】分两种情况： ①OA 为底，点 P 的坐标为 (2,0) ②OA 为腰，点 P 的坐标为 (4,0) 、 ( ) ， 故选 B.0,22

1 2 3 4-1

1

2

x

y

A

0

图 5

【点评】本题将等腰三角形置于坐标背景之中，探求等腰三角形的顶点 P 的坐标，其顶点 P 的位置具有不确定性：可以在 x 轴的负半轴、也可以在 x 轴的正半轴；可以是顶角的顶点、也可以是底角的顶点，求解时以定线段 OA 分类，兼顾点 P 的位置 . 本题可以将“点 P 在 x 轴上”改为“点 P 在坐标轴上”；也可以将“点 A 的坐标是 (2,2)”改为“点 A 的坐标是 (3,4)”. 条件开放、条件一般化是问题变式的重要策略，同学们在解题之后要养成解后反思的习惯，考虑原问题是否可以变式，这样有助于深化对原问题的认识，以达触类旁通之效 .

例 7 ．已知，点 O 到△ ABC 的两边 AB 、 AC所在直线的距离相等，且 OB＝ OC.

(1)如图 6- (1) ，若点 O 在 BC 上，求证： AB＝ AC ；(2)如图 6-(2) ，若点 O 在△ ABC 的内部，求证： AB＝AC ；(3)若点 O 在△ ABC 的外部， AB＝ AC 成立吗？请画图表示 .

O

O B C

AA

CB图 6-(2)图 6-(1)

【点拨】 (1)如图 6-(3),过点 O 分别作 OE AB⊥ ， OF⊥AC ， E 、 F 分别是垂足，由题意知， OE＝ OF ， OB＝ OC ，显然 Rt OEB Rt OFC△ ≌ △ ，所以，∠ B＝∠C ，从而 AB＝ AC.

(2)如图 6-(4),过点 O 分别作 OF AB⊥ ， OE AC⊥ ， F 、E 分别是垂足，由题意知， OE＝ OF.易得 Rt OFB△ ≌Rt OEC.△ 所以，∠ OBF＝∠ OCE ，又由 OB＝ OC知∠ OBC＝∠ OCB ，所以∠ ABC＝∠ ACD ，故 AB＝ AC.

O

A

CB 图 6-(4)

图 6-(3)

F E

（ 3 ）不一定成立 .（注：当∠ A 的平分线所在直线与边 BC 的垂直平分线重合时，有 AB＝ AC ；否则， AB≠AC ，如示例图）

【点评】本题属于半封闭、半开放题型，将说理与操作相结合 ( 画图 ), 主要考察分类讨论和等腰三角形的判定的知识 . 本题中通过构建直角三角形 , 利用三角形全等来证明角相等，进而得出结论 . 问题 (3) 的关键在于“∠ A 的平分线所在直线与边 BC 的垂直平分线是否共线” .

（ 5 ）怎样把握直角三角形？ ① 直角三角形定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形 . ② 性质：两锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半；两直角边的平方等于斜边的平方； ③ 判定：有一个角是直角；勾股定理的逆定理 .

例 8 ．如图 7 是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、 B 、 C 、 D 的边长分别是 3 、 5 、 2 、 3 ，则最大正方形 E 的面积是 ( ) A ． 13 B ． 26 C ． 47 D ． 94

【点拨】根据勾股定理 SA+SB+SC+SD=SE,故选 C.

图 7

【点评】本题以勾股树上的正方形面积之间的关系为载体，考查直角三角形的勾股定理，类似的问题还有：

(1)如图 7-(1), 分别以直角三角形 ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用 S1 、S2 、S3表示，则不难说明 S1=S2+S3 ；

(2)如图 7-(2), 分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 S1 、S2 、S3表示，则S1 、S2 、 S3 之间有什么关系？ ( 不必说明理由 )

(3)如图 7-(3), 分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用 S1 、S2 、S3表示，请你确定

S1 、 S2 、 S3 之间的关系并说明理由；

(4)若分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用 S1 、S2 、S3表示 , 为使S1 、 S2 、 S3 之间仍具有 (2) 中的关系，所作三角形应具备什么条件？并说明理由；

(5) 类比 (2)(3)(4) 的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .

ͼ7-(3)ͼ7-(2)ͼ7-(1)

A

C

B

S2

S1

S3

S3

S2S3

C

BA

S2

S1

S3

B

A

C

例 9．如图 8，点 O是等边△ABC 内点 ,∠AOB=110°,∠BOC= .将绕点 C 按顺时针方向旋转得△ADC,连接OD.（ 1 ）试说明：△ COD 是等边三角形；（ 2 ）当∠ =150°时 ,试判断△AOD 的形状，并说明理由；（ 3 ）探究：当∠ 为多少度时 , 是等腰三角形？【解析】（ 1 ）∵ CO=CD,∠COD=60°,∴ △COD 是等边三角形。 （ 2 ）当 ∠ =150°，即∠ BOC=150°时，△AOD 是直角三角形。∵△BOC ≌△AOD, ∴∠BOC=∠AOD=150 °, ∵△COD 是等边三角形 ,∴∠CDO=60°, ∴∠ADO=90°,即△AOD 是直角三角形 .

图 8

（ 3 ）①要使AO=AD ，需∠AOD=∠ADO. ∵∠ AOD=190°-,∠ADO= -60°, ∴190°- = -60°, ∴ =125° .

② 要使OA=OD ，需∠OAD=∠ADO. ∵∠OAD=180°- (∠AOD+∠ADO)=50° ， ∴ -60°=50°,∴ =110°.

③ 要使OD=AD, 需∠OAD=∠ADO. ∴190°- =50°,∴ =140°. 综上所述：当 的度数为 125°，或 110°，或 140°时，△AOD 是等腰三角形 .

【点评】本题融等腰三角形、等边三角形、直角三角形于一体，综合考查特殊三角形的性质与判定，同时(2) 是将条件特殊化，探究结论， (3) 是将结论特殊化，探索条件，形成一般到特殊化的思想系列 .

3 、本专题重点 三角形的内角和及特殊三角形的定义、性质和

判定的探究过程及其应用 .4 、本专题难点 等腰三角形、直角三角形中的分类思想的形成 .5 、中考定位 三角形的知识是中考的重点内容，是全国各省

市中考命题的重点和热点，题型涉及填空、选择、解答等多种形式。

对基本定理的考查以客观题为主，题的难度不会太大；

对特殊三角形的性质、判定的考察，多以答、证明、开放探究的形式出现； 对等腰、等边、直角三角形的判定及性质的考查，题型变化较大，综合性较强，会有一定的难度 .

思想点拨

本专题涉及的思想方法有：转化思想、整体思想、方程思想、分类思想 .

1. 转化思想例 10 ． (1) 某机器零件的横截面如图 9-(1)所示，按要求线段 AB 和 DC 的延长线相交成直角才算合格，一工人测得∠A=23°, D=31°, AED=143°,∠ ∠ 请你帮他判断该零件是否合格 （填“合格”或“不合格”）

【点拨】延长 AE 交 CD 于点 F ，延长 AB 、 CD 交于点 P ，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得∠ P 的度数 .如∠ P=90° ，合格；否则不合格 .

A

B

C D

E

图 9-(1)

(2)如图 9-(2) ，一块草坪的形状为四边形 ABCD其中∠ B=90°,AB=3m,BC=4m求这块草坪的面积．

【点拨】连接 AC, 分割四边形为两个三角形 . 根据勾股定理得 AC=5cm,由 CD=12m� ， AD=13m, AC=5cm 可得△ ACD 是直角三角形，分别计算△ACD 、△ ABC 的面积，再求和，即可得四边形ABCD 的面积 .

图 9-(2)

D

CB

A

【点评】三角形在内容呈现和解决问题的方式上体现了一般与特殊的转化思想 . 例如：三角形满足特殊的条件时就变成了特殊的三角形；多边形或不规则图形问题往往采取割补的方法，转化为三角形问题来研究 . 掌握三角形的特征是直线型问题的基础 .

例 11.如图 10， Rt△ABC 中，∠ C=90°,AC=BC,AD 平分∠ CAB ，交 BC 于点 D ， DE⊥AB 于 E点，若AB=10cm ，则△ DEB 的周长为 .

【点拨】求△ DEB 的周长只需求其三边长，而三边长都是未知的 , 求解有困难，因此需整体“ DE+DB+BE”. 根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得 CD=ED, 根据“ HL”可得 Rt△ADC≌Rt△ADE,由此得 AC=AE,所以 DE+DB+BE=DC+DB+EB=BC+EB=AC+EB+AE+EB=AB=10cm.

2 ．整体思想

E

D

B

C

A

图 10

【点评】整体思想就是在解决某些数学问题时，不能“一叶障目”，而是有意识地放大问题的“视角”，从大处着眼，由整体入手，通过细心的观察和深入的分析，找出整体与局部的有机联系，从整体上把握问题，从而在宏观上寻求解决问题途径的一种思维方法 . 本题要求出“ DE 、 DB 、 BE” 的值是不可能的，这里避而不求，整体思考，出奇制胜 .

3 ．方程思想

4

1

例 12 ．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1 ： 4 ，则这个等腰三角形的顶角的度数是 ( ) A. 20° B.120°

C. 20°或 120° D.36°

【点拨】设等腰三角形的顶角的度数为 x°,则底角的度数为 x° 或 4x°, 根据题意则有 x+8x=180 或 x+ x=180 ，解

得 x=20 或 120. 故选 C.

2

1

【点评】方程思想是我们十分熟悉而且应用得较多的一种数学思想方法，使用这种思想方法的关键是寻找等量关系 . 在解决与三角形计算有关的问题时，利用“三角形的内角和等于 180°” 来构造方程是一个重要的解题技巧．

4. 分类思想

例 13 ．有一块直角三角形的绿地，两直角边长分别为 6m 、8m, 现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以 8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．

BC

A

【点拨】在 Rt ABC△ 中，∠ ACB=90°,AC=8,BC=6由勾股定理有： AB=10 ，扩充部分为 Rt ACD,△ 扩充成等腰应分以下三种情况：①如图 11-(1) ，当 AB=AD=10时，可求 CD=CB=6, 得周长为 32m ．

DC

A

B

图 11-(1)

②如图 2 ，当 AB=BD=10 时，可求 CD=4,由勾股定理得AD= , 得△ ABD 的周长为（ ） m.

③如图 3 ，当 AB 为底时，设 AD=BD=X,则 CD=X-6

由勾股定理得 X= , 得△ ABD 的周长为 m.

A

D BC

图 11-(2)

A

D BC

图 11- (3)

54 5420

3

25

3

80

【点评】分类思想是针对数学问题的条件，结论不明确，或题意中含有不确定的参数或图形时，进行分类思考，将复杂的问题分解成若干个简单的问题进行求解 .恰当地分类，可以避免以偏概全，丢值偏解 . 用分类讨论思想解题时应注意：（ 1 ）审题、分析要周密，切忌匆匆下笔，顾此失彼；（ 2 ）对于需分类讨论的问题，应明确分类对象及分类标准；（ 3 ）所分各个类之间既不重复，也不遗漏；（ 4 ）最后对各类结果归纳总结 .

学法指导1 、学习误区（ 1 ）对图形概念的理解不透，如对于三角形高的概念含糊，致使部分学生不会画钝角三角形钝角边上的高 .（ 2 ）不能灵活地应用知识 .学习了本专题的有关知识后，如“角平分线的性质”，有些同学不善于应用这些知识来解决问题，而是走利用“全等三角形”的老路，影响了学习的效果 .（ 3 ）解题过程的会而不对 . 有些同学在陈述解题过程时，常常出现图形的性质与判定方法混淆、判定条件不全、强行推理、会而不对的现象 . （ 4 ）方法不当的繁冗说理 . 不少同学由于概念不清，方法不当，把本来比较简单的问题，往往弄得很复杂、繁冗．

2 、友情提醒（ 1 ）要重视对已学知识的复习 . 可以通过课前预习的方法来对相应已学知识的复习，构建自我的知识网络，为学好三角形的有关知识打好坚实的基础 .（ 2 ）要充分利用实物操作来帮助感知知识的产生、发展及演变过程，结合鲜活的生活问题消化、引申课本知识，以增强学习兴趣和信心，从中体会数学知识的“实用性” .（ 3 ）要在探索三角形及特殊三角形的性质和判定过程中，掌握探究方法、表达方式的多样化，形成适合自己的个性化的学习方法 .（ 4 ）要强化规范训练，注重对知识应用、解题思路等方面的经验积累，特别是有关辅助线的添加规律的总结归纳 .（ 5 ）要注意梳理知识内容 . 本章图形的概念、性质、判定方法比较多，可以采用图示的方法，因此在复习时要充分利用图示来梳理知识内容，画出主要内容的结构图表，这样有利于掌握图形的概念、性质和判定方法 .

新知展望 同学们进入九年级后，首先学习的数学内容是《图形与证明（二）》，其中第 1 节是“等腰三角形的性质和判定”，内容为证明等腰三角形、等边三角形的性质和判定定理、线段垂直平分线的性质定理；第 2 节是“直角三角形全等的判定”，内容为证明直角三角形全等的判定定理、角平分线的性质定理、三角形的角平分线交于一点，并通过简单的数学例子，渗透反证法 . 这些内容与八年级所学的知识基本相同，但有本质的区别：前面我们是采用实验操作的方法来发现结论（几何图形的性质与判定），然后应用这些结论来进行说理；后面我们是采用探索证明的方法来获取结论，然后应用这些结论来进行推理 .课本对一些结论

仍创设了一些问题情境，为我们提供了自主探索的空间，然后再进行证明，将探索和证明有机地结合起来，引导我们不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们认识事物的重要途径 .课本设置了《思考与表述》和《证明的方法》两个栏目，引导我们逐步地学会分析和综合的思考方法；课本配置了生活中运用分析法和反证法的阅读材料，以帮助我们理解分析的思考方法和体会反证法的含义；课本为我们提供了将结论进行拓展和延伸以及探索多种证明思路的空间，有利于我们发展数学思考和多角度思维的能力 . 在学习中，我们要注重直观的探索与抽象的证明的有机结合，理解合情推理和演绎推理都是获得数学结论的重要途径，进一步体会证明的必要性，把握证明的实质，淡化形式的记忆，学会合乎逻辑的思考和有条理的表达，进而激发自己对数学证明的兴趣和掌握综合法证明的信心，这样你就一定能学好九年级的数学知识 .