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利用勾股定理求最短路线长
1 、如果直角三角形的两直角边长分别为 a 、 b ，斜边长为 c ，则 a 、 b 、c 满足关系式 : 。
2 、在同一平面内，两点之间 最短。
a2+b2=c2
线段
3 、圆柱体的侧面展开图是 形。 长方
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例 1 、如下图，一只壁虎在底面半径为 20cm ，高为 30πcm 的圆柱的下底面 A 处，它发现在它正上方圆柱边缘的 B 处有一只害虫，为捕捉这只害虫，它故意不走直线，而绕着圆柱表面从背后对害虫进行袭击，请问：壁虎捕捉到害虫至少要爬行多少厘
米？
B
A
B
A
解： AC=2×π×20=40π
AB2=BC2+AC2
∴AB=50π
∴壁虎捕捉到害虫至少要爬行 50π 厘米
=(30π)2+(40π)2 =(50π)2
c
在 Rt ABC△ 中，
A
B
我怎么走会最近呢 ?
例 2 有一个圆柱 , 它的高等于 12厘米 ,底面半径等于 3 厘米 , 在圆柱下底面上的 A 点有一只蚂蚁 , 它想从点 A 爬到点 B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少 ? (π的值取 3)
B
A
高12cm
B
长 18cm (π 的值取 3)
9cm
在 Rt ABC△ 中 ∵ AB2=92+122=81+144=225=
∴ AB=15(cm)
蚂蚁爬行的最短路程是 15 厘米 .
152
12cm
C
例 3 、 有一圆形油罐底面圆的周长为 24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面 1m 的 A 处爬行到对角 B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
A
B
解： AC = 6 – 1 = 5 ，BC = 24 × = 12 ，
由勾股定理得AB2= AC2+ BC2=169,∴AB=13(m) .
21
●
●A
B C
∴它爬行的最短路线长为 13m
oA
A
B
D
C
一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到CD 的中点 O ，试求出爬行的最短路程。（ π 的值取 3)
16
2
O
解： AD=2 π÷2=2×3÷2=3
DO=16×0.5=8由勾股定理得 AO2= AD2+ DO2=32+82=73,∴AO=
∴ 爬行的最短路程是
●
AD
73
73
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例 4 、如图，边长为 1 的正方体中，一只蚂蚁从顶点 A出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的最短距离是（ ） . （ A ） 3 （ B ） √ 5 （ C ） 2 （ D ） 1
A
B
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图） .
C
A
BC
1
1
1
B
◆在长 30cm 、宽 50 cm 、高 40 cm 的木箱中，如果在箱内的 A 处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到 B 处，至少要爬多远？
C
DA.
B.
3050
40
30 50
40
DA C
B
图①
C
DA.
B.
3050
40
80004080 22
C
C
DA.
B.
A
C
B
D图②
30
40
50
30
40
50
90009030 22
AD
C
B
C
C
D
A.
B.
图③
30
40
50
74007050 22 50
40
30
30
50
40
A
D
C B
A
C
B
D30
40
50
50D
C
B
40
30
80004080 22 90009030 22
74007050 22
如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
A B
A1 B1D C
D1 C1
2
1
4
A B
D C
D1 C1
①
4
2
1
AC1 =√42+32 =√25 ;
②A B
B1
C
A1 C1
4
1
2
AC1 =√62+12 =√37 ;
A B1
D1D
A1
C1
③41
2
AC1 =√52+22 =√29 .
如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为5dm 、 3dm 、 1dm ， A 和 B 是这个台阶两个相对的端点， A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点最短路程是多少？
531
A
B
5
1
3
1
3
1
3
Ａ
Ｂ
Ｃ
1213
∵ AB2=AC2+BC2=169, ∴ AB=13.
（ 2010 年，泉州）如下图，长方体的底面边长为 1cm和 3cm ，高为 6cm, （ 1 ）如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 1 圈到达点 B ，那么所用细线最短需要 厘米 .
A
B
3cm
1cm
6cm
3 1 3 1A
B
6
10
2cm
2cm
2cm
1 33 1
A
B
3cm
1cm
6cm
（ 2 ）如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 3 圈到达点 B ，那么所用细线最短需要 （ ） cm 。 683
3636
108108
AA BB
CC
为了筹备迎新生晚会，同学们设计了一个为了筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色泊纸，如图已知圆筒高色泊纸，如图已知圆筒高 108cm108cm ，其截，其截面周长为面周长为 36cm36cm ，如果在表面缠绕油纸，如果在表面缠绕油纸 44圈，应截剪多长油纸。圈，应截剪多长油纸。
27274545
4545×4=×4=180180
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如图，将一根如图，将一根 25cm25cm 长的细木棍放入长，宽长的细木棍放入长，宽高分别为高分别为 8cm8cm 、、 6cm6cm 、和 、和 cmcm 的长的长方体无盖盒子中，求细木棍露在外面的最方体无盖盒子中，求细木棍露在外面的最短长度是多少？短长度是多少？
A
BC
D
E
88
66
2525
10 3
1010
10 32020
55
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·
如图所示，一个圆柱形饮料罐底面半径是 5 ，高是 12. 上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分 a 的长度范围是
（罐壁厚度和小圆孔的大小忽略不计）。
12≤ a≤13
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2. 如图 , 点 A 是一个半径为 400 m 的圆形森林公园的中心 , 在森林公园附近有 B .C 两个村庄 ,现要在 B.C 两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将两村连通 , 经测得 AB=600m,AC=800m, 问此公路是否会穿过该森林公园 ? 请通过计算说明 .
A
B C
400
1000D
解：在 RT ABC△中， BC2=AB2+AC2=6002+8002=10002 ∴ BC=1000
1000AD=AB·AC
AD=480
∵480 ＞ 400
∴此公路不会穿过该森林公园
小 结：求最短距离，可以把几何体适当展开成平面图形，根据“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”的性质，构建直角三角形，利用勾股定理来解决问题。
一展二构三求
AM
N
P
Q30°30°
160160
8080
EE
如图，公路如图，公路 MNMN 和小路和小路 PQPQ 在在 PP 处交处交汇汇 ,∠QPN=30°,,∠QPN=30°, 点点 AA 处有一所学处有一所学校校 ,AP=160m,,AP=160m, 假设拖拉机行使时假设拖拉机行使时 ,, 周围周围 100m100m内受噪音影响内受噪音影响 ,, 那么拖拉机在公路那么拖拉机在公路 MNMN 上以上以18km/h18km/h 的速度沿的速度沿 PNPN 方向行驶时方向行驶时 ,, 学校是否受到学校是否受到噪音的影响噪音的影响 ?? 如果学校受到影响如果学校受到影响 ,, 那么受影响将持那么受影响将持续多长时间续多长时间 ??
作业：
AM
N
P
Q
PP
EE
如图，公路如图，公路 MNMN 和小路和小路 PQPQ 在在 PP 处交处交汇汇 ,∠QPN=30°,,∠QPN=30°, 点点 AA 处有一所学校处有一所学校 ,AP=160m,,AP=160m, 假假设拖拉机行使时设拖拉机行使时 ,, 周围周围 100m100m 内受噪音影响内受噪音影响 ,, 那么拖拉那么拖拉机在公路机在公路 MNMN 上以上以 18km/h18km/h 的速度沿的速度沿 PNPN 方向行驶方向行驶时时 ,, 学校是否受到噪音的影响学校是否受到噪音的影响 ?? 如果学校受到影响如果学校受到影响 ,, 那那么受影响将持续多长时间么受影响将持续多长时间 ??
AM
N
P
Q30°30°
BB
DD
160160
8080
EE
100100
6060
6060
100100
如图，公路如图，公路 MNMN 和小路和小路 PQPQ 在在 PP 处交处交汇汇 ,∠QPN=30°,,∠QPN=30°, 点点 AA 处有一所学校处有一所学校 ,AP=160m,,AP=160m, 假假设拖拉机行使时设拖拉机行使时 ,, 周围周围 100m100m 内受噪音影响内受噪音影响 ,, 那么拖拉那么拖拉机在公路机在公路 MNMN 上以上以 18km/h18km/h 的速度沿的速度沿 PNPN 方向行驶方向行驶时时 ,, 学校是否受到噪音的影响学校是否受到噪音的影响 ?? 如果学校受到影响如果学校受到影响 ,, 那那么受影响将持续多长时间么受影响将持续多长时间 ??
问题二：如图，已知正方体的棱长为 2cm（ 1 ）求一只蚂蚁从 A 点到 F 点的距离。（ 2 ）如果蚂蚁从 A 点到 G 点，求蚂蚁爬行的距离。（ 3 ）如果蚂蚁从 A 点到 CG 边中点 M ，求蚂蚁爬行的距离。
E
A B
C
F
G
D
H
●M
问题一：如图，已知圆柱体底面直径为 2cm ，高为4cm （ 1 ）求一只蚂蚁从 A 点到 F 点的距离。（ 2 ）如果蚂蚁从 A 点到 CG 边中点 H ，求蚂蚁爬行的距离。 A
F
●H
作业：
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聪明的葛藤 葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了得到阳光的沐浴，常常会选择高大的树木为依托，缠绕其树干盘旋而上。如图(1) 所示。 葛藤又是一种聪明的植物，它绕树干攀升的路线，总是沿着最短路径——螺旋线前进的。若将树干的侧面展开成一个平面，如图（ 2 ），可清楚的看出葛藤在这个平面上是沿直线上升的。
（ 1 ）
（ 2 ）
数学奇闻
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9 、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于５５ cm ，１０ cm 和６ cm ， A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点， A 点上有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点，最短线路是多少？
B
A A
BC
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