MODUL I PROGRAM MINITAB 1.1 Pengenalan Program Minitab Minitab merupakan salah satu program aplikasi statistika yang banyak digunakan untuk mempermudah pengolahan data statistik. Keunggulan minitab adalah dapat digunakan dalam pengolahan data statistika untuk tujuan sosial dan teknik. Minitab telah diakui sebagai program statistika yang sangat kuat dengan tingkat akurasi taksiran statistik yang tinggi. Minitab menyediakan beberapa pengolahan data untuk melakukan analisis regresi, membuat ANOVA, membuat alat-alat pengendalian kualitas statistika, membuat desain eksperimen (factorial, response surface dan taguchi), membuat peramalan dengan analisis time series, analisis realibilitas dan analisis multivariate, serta menganalisis data kualitatif dengan menggunakan cross tabulation. 1.2 Bagian-bagian Minitab Minitab terdiri atas beberapa bagian dan Gambar 1.2 menunjukan beberapa bagian Minitab. Gambar 1.1 Tampilan window Minitab. 1 Toolbar Window session Window data Window graph Project manager
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
MODUL I
PROGRAM MINITAB
1.1 Pengenalan Program Minitab
Minitab merupakan salah satu program aplikasi statistika yang banyak digunakan
untuk mempermudah pengolahan data statistik. Keunggulan minitab adalah dapat
digunakan dalam pengolahan data statistika untuk tujuan sosial dan teknik. Minitab
telah diakui sebagai program statistika yang sangat kuat dengan tingkat akurasi
taksiran statistik yang tinggi.
Minitab menyediakan beberapa pengolahan data untuk melakukan analisis
regresi, membuat ANOVA, membuat alat-alat pengendalian kualitas statistika,
membuat desain eksperimen (factorial, response surface dan taguchi), membuat
peramalan dengan analisis time series, analisis realibilitas dan analisis multivariate,
serta menganalisis data kualitatif dengan menggunakan cross tabulation.
1.2 Bagian-bagian Minitab
Minitab terdiri atas beberapa bagian dan Gambar 1.2 menunjukan beberapa
bagian Minitab.
Gambar 1.1 Tampilan window Minitab.
1
Toolbar
Window session
Window data
Window graph
Project manager
1.2.1 Toolbar
Toolbar merupakan alat untuk mempermudah dan mempercepat perintah
Minitab. Toolbar Minitab berbentuk tombol-tombol dalam window Minitab.
Pengoperasiannya pun mudah, yaitu hanya dengan menekan (klik) toolbar
tertentu untuk menjalankan suatu perintah.
Gambar 1.2 Beberapa Toolbar khas dalam Minitab
1.2.2 Window Data
Window data pada minitab dinamakan dengan worksheet. Worksheet pada
window data terdiri dari kolom-kolom dan baris, dimana 1 kolom berisi kolom
variable tertentu dan 1 baris berisi suatu observasi. Sel paling atas suatu
kolom berisi nama kolom yang disediakan oleh Minitab secara otomatis.
Namanya adalah C1, C2, C3 dan seterusnya. Kita bisa pula memberi nama
kolom yang disediakan dibaris kedua suatu kolom. Kolom dalam Minitab bisa
diberi nama yang panjang. Gambar 1.3 menunjukan bentuk window data pada
Minitab.
Gambar 1.3 Window Data
1.2.3 Window Session
Window session menampilkan hasil analisis data yang telah dilakukan.
Kita bisa mengedit dan memformat teks, menambahkan komentar, melakukan
perintah menyalin, mengubah huruf atau mencari dan mengganti angka serta
huruf. Pekerjaan yang telah dilakukan atau hasil analisis dalam window bisa
2
disimpan dan dicetak. Kita dapat pula menggunakan window session untuk
memerintah minitab dalam tipe text dan menjalankan program macro.
Menjalankan perintah melalui wondow session membutuhkan bahasa perintah
tertentu. Gambar berikut ini menampilkan bentuk window session.
Gambar 1.4 Window Session
1.2.4 Window Graph
Window graph menampilkan grafik data statistik . Pada program minitab
kita dapat membuat grafik beresolusi sebanyak 100 gambar secara bersamaan.
Ada 4 jenis grafik yang bisa dibuat dalam minitab, yaitu:
1. Grafik dasar
Ada beberapa grafik yang dikategorikan grafik dasar seperti scatterplot,
plot times series, histogram, boxplot, plot draftsman, plot contour, dan
lain-lain.
2. Grafik 3D
Grafik yang bisa dibuat dalam 3 dimensi dalam minitab adalah scatterplot,
plot surface dan plot wireframe.
3. Grafik-grafik khusus statistika
Grafik-grafik tersebut adalah dotplot, diagram lingkaran (pie chart), plot
marginal dan plot probabilitas.
4. Character Graph
Grafik ditampilkan window session dalam tipe text.
3
1.2.5 Project Manager
Project Manager berfungsi mengatur file-file yang tersimpan dalam
project. Project Manager terdiri atas beberapa folder dan window suatu folder
seperti ditunjukan pada gambar berikut
Gambar 1.5 Project Manager
Gambar di atas memperlihatkan bahwa project manager terbagi menjadi
dua bagian. Bagian kiri project manager menunjukan subfolder-subfolder
yang merupakan isi project tertentu. Window di sebelah kanan menampilkan
daftar file pada subfolder tertentu yang ditunjuk.
4
MODUL II
ALAT – ALAT STATISTIK DALAM MINITAB
Seiring dengan perkembangannya, Minitab mengalami perbaikan-perbaikan dalam
menyediakan metode-metode analalisis data statistik. Pada modul ini penulis akan
memberikan pnejelasan lebih terperinci mengenai alat-alat pengolahan data statistik yang
disediakan menu data Statitistik dalam minitab.
2.1 Statitika Sederhana
Diawal menu stat, Minitab menampilkan metode untuk analisis statistik
sederhana, yaitu melalui submenu Basic Statistik. Perhitungan statistik sederhana
yang dilakukan dalam menu antara lain menghitung banyaknya data, rata-rata,
median, kuartil 1 dan 3, nilai terbesa (maksimum) dan terkecil (minimum) serta
standar deviasi.
2.2 Analisis Regresi
Minitab menyediakan alat-alat untuk melakukan analisis regresi, yaitu melalui
submenu Regression. Analisis regresi yang bisa dilakukan dalam submenu
regression meliputi analisis regresi sederhana dan analisis regresi berganda.
Untuk analisis regresi berganda, Minitab menyediakan metode analisis regresi
untuk memilih model regresi terbaik. Tidak hnya itu, Mintab menyediakan pula
berbagai analisis regresi logistik.
2.3 Analysis of Variance (ANOVA)
Minitab mnyediakan alat untuk melakukan Analysis of Variance atau lebih sering
terkenal ANOVA dalam submenu ANOVA.
2.4 Design of Experiment (DOE)
Untuk memperbaiki kualitas, design of experiment (eksperimen desain) sering
digunakan sebagai salah satu alat. Minitab menyediakan beberapa analisis untuk
desain eksperimen. Desain eksperimen yang disediakan Minitab adalah desain
5
eksperimen factorial, response surface , desain mixture, dan yang terbaru adalah
desain Taguchi.
2.5 Peta Kendali
Peta Kendali adalah salah satu alat statistic untuk mengendalikan kualitas. Lebih
lanjut, Minitab menyediakan kemudahan membuat peta kendali. Submenu
Control Chart menyediakan peta kendali
2.6 Alat-alat untuk Mengendalikan Kualitas
Minitab tidak hanya menyediakan peta kendali sebagai alat-alat statistik untuk
mengendalikan kualitas, tetapi juga beberapa alat statistik untuk mengendalikan
kualitas dalam submenu Quality Tools. Submenu Quality Tools menyediakan
pula analisis kemampuan proses utnuk data yang berdistribusi nonnormal, poisson
dan binomial.
2.7 Analisis Reliabilitas
Kelebihan minitab adalah aplikasinya untuk meningkatkan kualitas seperti peta
kendali, desain eksperimen , diagram pareto, diagram ishikawa dan analisis
kemampuan proses. Kemudian minitab menyediakan pula alat untuk menganalisis
reliabilitas melalui submenu Reliability/Survival.
2.8 Analisis Multivariat
Analisis multivariate merupakan analisis data statistic yang bnayak digunakan dan
bermanfaat dalam berbagai bidang seperi pemasaran, teknik, dan masalah-
masalah social. Minitab menyediakan operasi-operasi untuk melakukan analisis
multivariate melalui submenu multivariate.
2.9 Analisis Time Series
Untuk keperluan peramalan, minitab menyediakan analisis time series dalam
submenu time series.
6
2.10 Analisis Data Kualitatif
Minitab memberikan beberpa metode untuk meringkas data dalam table dan
melakukan analisis data kualitatif yang dikelomppkan ke dalam menu tables.
2.11 Analisis Nonparametrik
Mintab memberikan pula kemudahan dalam melakukan analisis nonparametric
yang perintah-perintahnya dikelompokan ke dalam submenu nonparametrics.
2.12 Exploratory Data Analysis (EDA)
Agar mudah melakukan eksplorasi data dan mencari residual suatu model,
program minitab menyediakan Exploratory Data Analysis dalam submenu EDA.
2.13 Power and Sample Size
Untuk meyakinkan apakah desain yang telah dirancang cukup andal dan data
yang telah diperoleh cukup memuaskan, kita perlu melakukan beberapa uji. Salah
satu cara melihatnya adalah dengan melihat apakah jumlah sample yang telah
diambil sudah mencukupi. Minitab menyediakan alat untuk melakukannya dalam
submenu Power and Sample Size.
7
MODUL III
OPERASI DASAR MINITAB
Pada modul ke-3 akan mempelajari operasi dasar Minitab, yaitu cara memasukkan data,
menyimpan data, dan membuka file.
3.1 Proses Analisis Statistik dalam Minitab
Tahap-tahap analisis data statistik diawali dengan melakukan desain untuk
mengambil data (desain sampling atau desain eksperimen), dilanjutkan dengan
mengumpulkan data, menganalisa data dan terakhir adalah mengambil kesimpulan
berdasarkan analisa data.
Pengolahan data dalam Minitab bisa dilakukan melalui menu Stat. Menu stat
menyediakan beberapa metode analisa statistik. Apabila membutuhkan analisa data
melalui grafik, kita dapat melakukannya melalui graph dalam Minitab. Sealin kedua
menu, apabila pengguna Minitab akan melakukan perhitungan matematika atau
statistic tertentu atau memanipulasi data sesuai dengan kebutuhan, maka kita dapat
melakukannya melalui menu Data atau Calc. Output analisa data ditampilkan
melalui window session atau disimpan dalam worksheet. Jika melakukan anlaisa
grafik, maka window graph akan menampilkan outputnya.
Setelah mengahsilkan output, interprestasi data bukan lagi tugas Minitab.
Dalam Tahap interpretasi data, peneliti sangat berperan dalam menginterpretasikan
output yang dihasilkan Minitab dan menganalisis hasil yang telah didapatkan.
3.2 Memasukan Data
Pertama kali menjalankan minitab, kita akan melihat project yang belum terisi.
Karena worksheet masih kosong, kita harus memasukan data yang akan diolah ke
dalam worksheet atau memanggil data yang sudah dimasukandalam format lain.
Contoh ilustrasi menggunakan data pada table 3.1 di bawah ini. Data dalah
Tahap-tahap analisis data dalam Minitab sebagai berikut:
1. Pilih Stat > Basic Statistics > 2-Sample t
Gambar 5.4 Kotak Dialog 2-Sample t
2. Pilih Sample in difference columns
3. Dalam First masukkan variable Disk 1
4. Dalam Second masukkan variable Disk 2
5. Analisis mengasumsikan varian populasi adalah sama.
Cara melakukan uji t yang mengasumsikan bahwa varian populasi adalah sama:
6. Beri tanda cek pada Assume equal variance
7. Klik tomobl Graph
8. Pada kotak dialog, beri tanda cek pada Boxplot of Data
9. Selanjutnya, klik OK.
37
Gambar 5.5 Hasil Uji Rata-rata dua sample independen
Gambar 5.6 Boxplot Disc Drive 1 dan Disc Drive 2
Hipotesis
Hipotesis untuk tabel adalah
0 _ _1 _ _ 2
1 _ _1 _ _ 2
: ( ) 0
: ( ) 0
Disk Drive Disk Drive
Disk Drive Disk Drive
H
H
µ µµ µ
− =
− ≠
Hipotesis awal (H0) mengatakan bahwa rata-rata waktu respons disc drive 1 sama
dengan rata-rata waktu respon disc drive 2. sebaliknya, hipotesis alternative (H1)
mengatakan bahwa rata-rata waktu respons disc drive 1 tidak sama dengan rata-rata
waktu respons disc drive 2.
Daerah Penolakan
38
Two-Sample T-Test and CI: Disc Drive 1, Disc Drive 2
Two-sample T for Disc Drive 1 vs Disc Drive 2
N Mean StDev SE MeanDisc Drive 1 13 68.2 18.7 5.2Disc Drive 2 15 53.8 15.8 4.1
Difference = mu (Disc Drive 1) - mu (Disc Drive 2)Estimate for difference: 14.430895% CI for difference: (1.0468, 27.8148)T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 2.22 P-Value = 0.036 DF = 26Both use Pooled StDev = 17.1831
/ 2at t>
Interpretasi Output Uji Rata-rata 2 Sampel Independen
Gambar 5.7 Daerah penolakan pada distribusi t untuk α = 5% dan df=40
Uji rata-rata dua sampel independent akan menggunakan level toleransi α sebesar
5%. Derajat bebas (df) pada penelitian adalah 26. Tabel distribusi t menunjukkan
nilai statistic t0.05/2 pada df =26 sebesar 2.056. Output 5.5 memperlihatkan statistic T
hasil pengamatn adalah 2.22./ bila dilihat pada grafik penolakan gambar 5.7
menunjukan bahwa statistic T(2.22) jatuh di daerah penolakan. Hasil menunjukan
bahwa waktu respons disc drive 1 tidak sama dengan waktu respons disc drive 2.
Boxplot pada gambar 5.6 menunjukan bahwa waktu respons disc drive 1 lebih cepat
dibandingkan waktu respons disc drive 2, yang terlihat dari posisi rata-rata waktu
responsdisc drive 1 lebih tinggi dari pada rata-rata waktu respons disc drive 2.
5.3 Membandingkan Varian dua Populasi
Suatu penelitian tidak mengukur rata-ratanya, tetapi juga varian datanya yang
menunjukkan penyebaran data. Ada 2 metode utnuk melakukan uji dengan
menggunakan varian, yaitu uji varian suatu populasi dan uji rasio antara 2 varian.
Uji varian suatu populasi digunakan untuk menguji kesesuaian varian suatu data
dengan varian tertentu. Aapaun uji rasio varian digunakan apabila 2 populasi yang
variannya akan dibandingkan. Kedua metode sama-sama mensyaratkan distribusi
yang mendasari data adalah distribusi normal.
39
/ 2 0.025α =/ 2 0.025α =
2.056− 2.056
Daerah penolakan
Daerah penolakan
Sebagai ilustrasi, agar mudah memahami mengenai uji rasio antarvarian maka
kita akan menggunakan data pada table 5.2.
Uji varian 2 populasi
Langkah-langkah untuk melakukan uji varian 2 populasi dalam Minitab adalah:
1. PIlih Stat > Basic Statistics > 2 variances
Gambar 5.8 Kotak Diaolg 2 Varians
2. Pilih Samples in different columns
3. Dalam First, Isikan Dsik 1
4. Dalam Second, isikan Disk 2
5. Selanjutnya klik OK
40
Uji 2 arahHipotesis:
21
0 22
21
1 22
: 1
: 1
H
H
σσσσ
=
≠
Statistik uji:
22 211 22
2
22 222 12
1
sF jika s s
s
sF jika s s
s
= >
= >
Daerah penolakan
/ 2aF F>
Uji 1 arahHipotesis:
21
0 22
2 21 1
1 2 22 2
: 1
: 1 1
H
H atau
σσσ σσ σ
=
> <
Statistik uji: 2 21 22 22 1
s sF atau F
s s= =
Daerah penolakan
aF F>Derajat Bebas
1 1
2 2
1
1
v n
v n
= −= −
Hipotesis
Hipotesis pada analisis adalah:
2_ _1
0 2_ _1
2_ _1
1 2_ _1
: 1
: 1
Disk drive
Disk drive
Disk drive
Disk drive
H
H
σσ
σσ
=
>
Hipotesis awal (H0) menduga bahwa varian waktu respons disc drive 1 sama dengan
waktu respons disc drive 2.
Daerah Penolakan
F Fα>
Derajat bebas (df) pengamatan adalah
1 1
2 2
1 13 1
1 15 1
v n
v n
= − = −= − = −
Interpretsi Output Uji Rasio Varian
Gambar 5.9 Output hasil perbandingan varian waktu respons 2 jenis disc drive
Pada output dapat terlihat bahwa nilai statistic F adalah 1.39 . Pada table distribusi F
nilai (5%,12,14) 2.53F = . Nilai F masih berada di atas nilai statistic F hasil pengamatan.
Oleh karena itu, kesimpulan hasil uji adalah varian waktu respons disc drive 1 dan
varian disc drive 2 secara statistic tidak berbeda.
41
Test for Equal Variances: Disc Drive 1, Disc Drive 2 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations N Lower StDev UpperDisc Drive 1 13 12.7930 18.6599 33.3688Disc Drive 2 15 11.0945 15.8078 26.7933
Hitunglah selang kepercayaan 95% untuk rataan selisih hasil kedua jenis, anggap
bahwa distribusi hasil hampir normal. Jelaskan mengapa kedua varietas perlu
dibuat berpasangan dalam soal ini. Buat juga perhitungan manualnya. (Gunakan
tabel t)
88
SELANG KEPERCAYAAN
1 POPULASI 2 POPULASI
2σ diketahui 2σ tdk diketahui berpasangandr pop. normal (n < 30) )( 21 nn =
)30( ≥n 21σ , 2
2σ tdk diketahui
2σ 2σ = 2s 22dd s=σ
X X 21 XXD −=
distribusi distribusi t distribusi t normal )/(|| 2/,1 nstx n αµ −±< )/(|| 2/,1 nstd dn αµ −±<
)/(|| 2/ nzx σµ α±<
89
MODUL XII
UJI HIPOTESIS
Dalam kehidupan, sering kita ingin menguji kebenaran suatu pernyataan/ anggapan.
Misal, benarkah pernyataan iklan obat di televisi yang sebagai ‘penambah tenaga’. Untuk
menguji kebenarannya, sulit untuk menanyakan semua orang yang minum obat tersebut
(populasi yang minum obat). Kesulitan tersebut karena biaya yang besar, memakan
waktu yang lama, serta kemungkinan bisa/ tidaknya suatu percobaan dilaksanakan.
Kegiatan ini disebut hipotesis statistik.
Pengujian hipotesis statistik merupakan bagian terpenting dari teori keputusan. Suatu
anggapan/ pernyataan yang mungkin benar/ tidak mengenai satu populasi atau lebih
disebut hipotesis statistik.
Kebenaran atau ketidakbenaran suatu hipotesis statistik tidak pernah diketahui dengan
pasti kecuali bila seluruh populasi diamati. Namun hal ini sangat sulit, karena itu diambil
sampel acak dari populasi yang ingin diselidiki dan dengan menggnakan informasi yang
terkandung dalam sampel itu diputuskan apakah hipotesis tersebut wajarnya benar atau
salah.
Petunjuk dari sampel yang tidak sesuai dengan hipotesis menjurus kepada penolakan
hipotesis, sedangkan petunjuk yang mendukung menjurus kepada penerimaannya.
(ditegaskan bahwa penerimaan suatu hipotesis statistik diakibatkan oleh tidak cukupnya
petunjuk untuk menolaknya dan tidaklah menunjukkan bahwa hipotesis itu benar).
Istilah diterima / ditolak penting dipahami, bahwa penolakan suatu hipotesis berarti
menyimpulkan bahwa hipotesis tersebut tidak benar, sedangkan penerimaan suatu
hipotesis hanyalah menunjukkan bahwa tidak cukup petunjuk untuk mempercayai
sebaliknya. Biasanya hipotesis yang dirumuskan dengan harapan untuk ditolak disebut
hipotesis nol (H0). Penolakan H0 menjurus kepada penerimaan suatu hipotesis
tandingannya (H1). Bentuk uji hipotesis statistik untuk 1 populasi adalah sbb:
90
1. Uji satu arah, yaitu setiap uji hipotesis statistik dengan tandingannya yang berarah
satu, seperti:
0 0:H µ µ= atau 0 0:H µ µ=
1 0:H µ µ> 1 0:H µ µ<
Seluruh daerah kritis untuk hipotesis tandingan 0µ µ> terletak diujung kanan
distribusi, sedangkan seluruh daerah kritis untuk hipotesis tandingan 0µ µ< terletak
diujung kiri.
2. Uji dua arah, yaitu setiap uji hipotesis statistik dengan tandingan berarah dua,
seperti: 0 0:H µ µ=
1 0:H µ µ≠
Hipotesis tandingan menyatakan salah satu dari 0µ µ< ataupun 0µ µ> . Nilai pada
kedua ujung distribusi membentuk daerah kritisnya. Sebagai contoh: Misalkan umur
rata-rata mahasiswa yang mengambil statistika dasar adalah 20 tahun dan jumlah
mahasiswa (populasi) yang mengam,bil mata kuliah tersebut 400 org. Ingin diuji
apakah rata-rata umur mhs tsb benar/ salah, jika diambil sampel sebanyak 15 mhs.
Penulisan hipotesis statistiknya adalah
0 : 20H µ = atau 0 : 20H µ = atau 0 : 20H µ =
1 : 20H µ < 1 : 20H µ > 1 : 20H µ ≠
A. UJI-Z : UJI RATAAN 1 SAMPEL DENGAN 2σ DIKETAHUI
Pandanglah masalah pengujian hipotesis bahwa rataan populasi dengan variansi 2σ
diketahui, sama dengan nilai 0µ tertentu lawan tandingan bahwa rataan tersebut tidak
sama dengan 0µ , yaitu akan diuji:
0 0:H µ µ=
1 0:H µ µ≠
Statistik yang sesuai sebagai dasar patokan keputusan ialah peubah acak x karena x
adalah penaksir tak bias untuk µ . Tidak diketahui bahwa distribusi sampel dari
91
rataan adalah hampir normal dengan rataan µ dan variansi 2 / nσ , bila suatu populasi
dengan mean µ dan variansi 2σ diambil sampelnya secara acak sebanyak n. Bila
digunakan taraf keberartian α , maka dapat dicari 2 nilai kritis 1 2&x x sedemikian
sehingga 1 2x X x< < menyatakan daerah penerimaan dan yang lainnya menyatakan
daerah kritis.
Daerah kritis dapat dinyatakan dalam nilai z yang diberikan oleh:
0
/
xz
n
µσ−=
Jadi, untuk taraf keberartian α , nilai kritis peubah acak z yang berpadanan dengan
1 2&x x , adalah:
1 0/ 2 /
xz
nαµ
σ−− = atau 2 0
/ 2 /
xz
nαµ
σ−=
Dari populasi diambil sampel acak berukuran n dan kemudian rataan sampel x
dihitung. Bila x jatuh dalam daerah penerimaan 1 2x X x< < , maka z akan jatuh
dalam daerah / 2 / 2z Z zα α− < < dan disimpulkan bahwa 0µ µ≠ . Daerah kritis
biasanya dinyatakan dalam z bukan dalam x .
Contoh 1
Suatu perusahaan pembuat perlengkapan olah raga membuat tali pancing sintetik
yang baru dan yang menurut pembuatnya rata-rata dapat menahan beban 8 kg dengan
simpangan baku 0.5 kg (tali pancing tersebut diasumsikan berdistribusi normal).
Ujilah hipotesis bahwa µ = 8 kg lawan tandingan bahwa µ ≠ 8 kg, bila sampel acak
50 tali diuji dan ternyata rata-rata daya tahannya 7.8 kg. Gunakan taraf keberartian
0.05.
Jawab:
Pengujiannya masalahnya adalah:
0 : 8H µ = kg
1 : 8H µ ≠ kg
Langkah-langkah yang dilkaukan didalam minitab
92
1. Bangkitkan bilangan acak berdistribusi normal dengan banayak data 50 simpan di
C1.
2. Pilih Stat > Basic Statistics > 1-sample Z.
3. Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih samples in columns input C1
4. Input 0.5 sebagai Standar Deviation dan 8 sebagai test mean
5. Kemudian klik OK
Gambar 12.1 Kotak dialog 1- sample Z
Output yang dihasilkan adalah sebagai berikut:
One-Sample Z: C1
Test of mu = 8 vs not = 8The assumed standard deviation = 0.5
Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI Z PC1 50 7.75760 0.51324 0.07071 (7.61901, 7.89619) -3.43 0.001
Analisa : Dari Minitab diperoleh nilai z hitung = -3.44. Untuk taraf keberartian
0.05α = , z mempunyai nilai kritis : z < -2.575 dan z > 2.575. Jadi, z = -3.43 terletak
dalam daerah penolakan maka kesimpulannya adalah H0 ditolak, artinya rata-rata
daya tahan tidak smaa dengan 8. Cara lain yang lebih mudah untuk mengujinya
adalah dengan membandingkan α dengan nilai p-nya. Jika α < nilai p , maka H0
diterima. Untuk sebaliknya, H0 ditolak.
93
B. UJI-T 1 SAMPEL : UJI RATAAN DG σ 2 TDK DIKETAHUI
Selain uji-z ada pada uji-t, yaitu untuk menguji rataan bila variansi populasi tidak
diketahui. Langkah-langkah pengerjaan sama dengan uji-z, dengan rumusuntuk T
adalah :
T= 0
/s n
λ µ− dengan daerah kritis 1, / 2 1 / 2in nt T tα α− −− < <
s menyatakan simpangan baku dari sampel damn n adalah banyaknya data. Nilai dari
t dapat dilihat dari tabel t.
Contoh 2
Ujilah hipotesis bahwa rat-rat isi kaleng sejenis minyak pelumas adalah 10 liter, bila
isi sampel acak 10 kaleng adalah 10.2, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3, dan 9.8
liter. Gunakan taraf keberartian 0.10 dan anggap bahwa distribusi isi kalaeng normal.
Jawab :
Pengujian : H0 : µ = 10
H1 : µ ≠ 10
Langkah-langkah pengerjaan pada Minitab:
1. Input data pada kolom C2 10.2 9.7 10.1 10.3 10.1 9.8 .9.9 10.4 10.3 9.8
2. Pilih Stat > Basic Statistics > 1-sample t
3. Pada kotak dialog, pilih sample in column input C2, test mean input 10
selanjutnya OK
Gambar 12.2 Kotak dialog 1-sample t
94
One-Sample T: C2
Test of mu = 10 vs not = 10
Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI T PC2 10 10.0600 0.2459 0.0777 (9.8841, 10.2359) 0.77 0.460
Analisa: nilai kritis dari t untuk taraf keberartian 0.10 dan derajat kebebasan 9 :
0.05,9 1.833t < − dan 0.05,9 1.833t < . Maka T hasil perhitungan = 0.77 terletak
dalam daerah penerimaan. Jadi, H0 diterima, artinya rata-rata- isi kaleng
minyak adalah benar 10 liter. Cara lain : α = 0.10 < nilai p = 0.46, jadi H0
diterima.
Contoh 3
Misalkan untuk masalah diatas, pengujiananya dilakukan satu arah, misalkan
pengujian menjadi :
H0 : µ =10 lawan
H1 : µ < 10
Maka digunakan uji t 1 sampel untuk masalah satu arah :
1. Pilih Stat > Basic Statistics > 1-sample t
2. Pada kotak dialog klik option, pilih less than pada kolom alternative, lalu OK >
OK
Gambar 12.3 Kotak dialog 1-sample t - options
Hasil outputnya sebagai berikut:
One-Sample T: C2
Test of mu = 10 vs < 10 95% UpperVariable N Mean StDev SE Mean Bound T P
95
C2 10 10.0600 0.2459 0.0777 10.2025 0.77 0.770
Analisa : Dengan nilai kritis T < -1.833 maka kesimpulan adalah H0 diterima.
C. UJI-T 2 SAMPEL : UJI SELISIH RATAAN
Pengertian uji t 2 sampel sama dengan uji t 1 sampel, hanya saja terdapat 2 sampel
yang kemudian diuji selisih rataannya, dengan rumus
1 2 1 2
1 2
( ) ( )
(1/ ) (1/ )p
X XT
S n n
µ µ− − −=+ untuk 1 2σ σ− dan tidak diketahui
Contoh 4
Diberikan 2 sampel acak berukuran 1 211& 14n n= = , dari dua populasi normal yang
bebas satu sama lain. Dari sampel diperoleh 1 2 1 275, 20, 6.1, 5.3x x s s= = = = .
Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0.05 bahwa 1 2µ µ= , lawan tandingan 1 2µ µ≠ .
Anggap bahwa kedua populasi mempunyai variansi yang sama.
Jawab:
Pengujian : 0 1 2:H µ µ= atau 1 2 0µ µ− = lawan
1 1 2:H µ µ≠ atau 1 2 0µ µ− ≠
Langkah-langkah yang dilakukan pada Minitab :
1. Bangkitkan 11 bilangan pubah acak berdistribusi normal simpan pada kolom C1
dengan n = 75 dan p = 6.1
2. Bangkitkan 14 bilangan pubah acak berdistribusi normal simpan pada kolom C2
dengan n = 60 dan p = 5.3
3. Pilih Stat > Basic Statistics > 2-sample t
4. Pada kotak dialog pilih samples in different columns, input C1 sebagai first dan
C2 sebagai second
5. Ceklist Assume equal variances. Selanjutnya OK
96
Gambar 12.4 2-samples t
Output yang dihasilkan adalah sebagai berikut:
Two-Sample T-Test and CI: C1, C2
Two-sample T for C1 vs C2
N Mean StDev SE MeanC1 11 77.99 4.30 1.3C2 11 64.13 4.02 1.2
Difference = mu (C1) - mu (C2)Estimate for difference: 13.864295% CI for difference: (10.1594, 17.5690)T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 7.81 P-Value = 0.000 DF = 20Both use Pooled StDev = 4.1652
Analisa : Diketahui untuk taraf keberartian 5% daerah kritis adalah 0.029,23 2.069T < −
dan 0.029,23 2.069T > . Maka T = 8.16 terletak dalam daerah penolakan,
artinya keputusan adalah H1 diterima atau selisih mean tidak sama dengan