ทบทวนคณิตศาสตร์

Mathematics Review Handouts

Mathematics Review Handouts

Chapter 1: LimitsSection 1: Introduction to Limits

Section 1: Introduction to Limits

จากกราฟ จะเห็นว่ า ห็ากเราลากเส้�นกราฟ ให็�ค่ า x เพิ่��มขึ้��นจนเขึ้�าใกล� ค่ า y จะเขึ้�าใกล� ห็ากเราลากเส้�นกราฟ ให็�ค่ า x ลดลงจนเขึ้�าใกล� - ค่ า y จะเขึ้�าใกล� 1เร�ยกว่ าล�ม�ตขึ้อง y เม �อ x เขึ้�าใกล� เท่ าก"บ และล�ม�ตขึ้อง y เม �อ x เขึ้�าใกล� - เท่ าก"บ 1เขึ้�ยนได�ว่ า

และ

Section 1: Introduction to Limits

• นอกจาก และ - แล�ว่ ค่ า x ย"งส้ามารถเขึ้�าใกล�ค่ าใดกได� เพิ่ �อห็า ล�ม�ต ขึ้องฟ'งก(ชั่" �นน"�นๆ เชั่ น

• •

Section 1: Introduction to Limits

• บอกได�ว่ า ล�ม�ตขึ้องฟ'งก(ชั่" �นขึ้�างบน เม �อ x เขึ้�าใกล� -1 ค่ า y จะเขึ้�าใกล� 1• ท่"�งน�� เม �อพิ่�จารณาท่��จ,ด x เท่ าก"บ 2 จะพิ่บว่ า เราไม ส้ามารถ

ห็า ล�ม�ต ขึ้องฟ'งก(ชั่" �นน�� ท่��จ,ดด"งกล าว่ได� เพิ่ราะ ล�ม�ตจาก“ท่างซ้�าย ไม เท่ าก"บ ล�ม�ตจากท่างขึ้ว่า ห็มายค่ว่ามว่ า”

• เม �อเราแท่นค่ า x ให็�เขึ้�าใกล� 2 มากท่��ส้,ด โดยแท่น จากท่าง“ซ้�าย ค่ อเพิ่��มค่ า ” x ขึ้��นเร �อยๆ เชั่ น ให็� x = 1.9, x = 1.99, x = 1.999 ค่ า y จะเขึ้�าใกล� 4 ขึ้��นเร �อยๆ แต จะไม ถ�ง 4

• แต ห็ากเราแท่นค่ า x ให็�เขึ้�าใกล� 2 “จากท่างขึ้ว่า ค่ อลดค่ า ”x ลงให็�เขึ้�าใกล�ส้อง เชั่ นให็� x = 2.01, x = 2.001, x = 2.0001 ค่ า y จะเขึ้�าใกล� 3 แต ไม ถ�งส้าม

Section 1: Introduction to Limits

• เน �องจาก ล�ม�ตจากท่างซ้�าย เท่ าก"บ “ ” 4 และ ล�ม�ตจากท่างขึ้ว่า เท่ าก"บ “ ” 3 ซ้��งท่"�งส้องขึ้�างม�ค่ าไม เท่ าก"น เราจ�งไม ส้ามารถห็าล�ม�ตท่�� x = 2 ได� (Limit of f(x) at x = 2 doesn’t exist)

Mathematics Review Handouts

Chapter 1: LimitsSection 2: Operations with Limits

Section 2: Operations with Limits

• เม �อ c ค่ อค่ าค่งต"ว่ใดๆ• • •

Section 2: Operations with Limits

• เชั่ น • •

Section 2: Operations with Limits

• ในบางกรณ� ท่��เม �อห็า ล�ม�ตแล�ว่ เก�ด “Indeterminate form” (แบบร/ปไม จ1าก"ด) เชั่ น ค่1าตอบท่��ได�จากการแท่นค่ าตรงๆ จนเก�ดเป2น indeterminate form น"�น ไม ใชั่ ล�ม�ตท่��ถ/กต�อง จะต�องใชั่�ว่�ธี�การอ �นในการห็าล�ม�ต เชั่ น• เม �อแท่นค่ าด�ว่ย x = 3 จะพิ่บว่ า ค่1าตอบค่ อ ซ้��งไม ส้ามารถห็าค่ าได� แต เรา

ส้ามารถ แยกต"ว่ประกอบ ขึ้องส้มกาขึ้�างบน ได�เป2น ค่1าตอบขึ้องขึ้�อน�� จ�งค่ อ

Mathematics Review HandoutsChapter 2: Derivatives

Section 1: Understanding Derivatives

Section 1: Understanding Derivatives

“Derivative” ค่ ออ"ตราการเปล��ยนแปลงขึ้องฟ'งก(ชั่"�นใด ฟ'งก(ชั่"�นห็น��ง ซ้��งกค่ อ ค่ว่ามเรว่ในการเปล��ยนแปลงขึ้องค่ า y ต อค่ว่ามเรว่ในการเปล��ยนแปลงขึ้องค่ า x ห็ร อเขึ้�ยนได�เป2น

การห็า อน,พิ่"นธี( กค่ อการ“ ”ห็าค่ว่ามชั่"นขึ้องจ,ดๆ น"�น บนกราฟขึ้องฟ'งก(ชั่"�น

dx

dy

Section 1: Understanding Derivatives• กระบว่นการในการห็า Derivatives เร�ยกว่ าการ “Differentiate”• ส้ามารถเขึ้�ยนแส้ดงการ Differentiate ได�ห็ลายอย าง เชั่ น

• •

Mathematics Review HandoutsChapter 2: Derivatives

Section 2: Basic Derivatives

Section 2: Basic Derivatives

• ให็� axn เป็�นฟั�งก์ชั่��นของ x• F’(x) = a(n)xn-1

• เชั่ น f(x) = 2x4+3x2

f'(x) = 2(4)x4-

1+3(2)x2-1

= 8x3+6x

f(x) =5x10-3x5+7x4 - 2x3

f'(x) =5(10)x10-1-3(5)x5-

1+7(4)x4-1-2(3)x3-1

=50x9-15x4+28x3-6x2

**ค่ าค่งต"ว่ใดๆ Diff ออกมา ได� 0 เชั่ น x2+1 2x เพิ่ราะ 1 = 1x0 พิ่อ Diff กจะกลายเป2น 1(0)x0-1 = 0

Mathematics Review HandoutsChapter 2: Derivatives

Section 3: Derivatives Rules

Section 3: Derivatives Rules

• Product Rule:• ถ้�าหาก์มี�ฟั�งก์ชั่��นของ x สองฟั�ง

ก์ชั่��น คู�ณก์�นอยู่�� ไมี�สามีารถ้ Diff ตรงๆ ได้� ต�องใชั่�• (f(x) )(g(x)) = (f(x))(g'(x))+(g(x))(f'(x))• วิ#ธี�จำ&า: “หน�า ด้#ฟัหลั�ง บวิก์ หลั�ง

ด้#ฟัหน�า”

• ต"ว่อย าง: f(x) = (3x)(2x2) f'(x) = (3x)(4x)+(2x2)(3)

= 12x2+6x2 = 18x2

Section 3: Derivatives Rules

• Quotient Rule:• ถ้�าหาก์มี�ฟั�งก์ชั่��นของ x สองฟั�งก์ชั่��น

หารก์�นอยู่�� ต�องใชั่�

• วิ#ธี�จำ&า: (Low d High – High d Low)/ Low * Low

Section 3: Derivatives Rules

• Chain Rule• หาก์ฟั�งก์ชั่��นของ x เข�ยู่นอยู่��ในร�ป็ฟั�ง

ก์ชั่��นของฟั�งก์ชั่��น ของ x เชั่�น f(g(x))• (x+2x2)2 ฟั�งก์ชั่��น g(x) = x+2x2

ฟั�งก์ชั่��น f(x) = (g(x))2

จำะต�อง Diff ข�างนอก์ก์�อน แลั�วิคู�อยู่คู+ณด้�วิยู่ Diff ข�างใน

f(x) = (3x2+4x)4

f'(x) = 4(3x2+4x)3 (6x+4)

= (24x+16)(3x2+4x)3

(จำร#งๆ พจำนส+ด้ท้�ายู่ก์.ต�องยู่ก์ก์&าลั�งสามีออก์มีาด้�วิยู่ แต�ถ้�าไมี�อยู่าก์ท้&า ตอบไป็แคู�น�/ก์.ไมี�ผิ#ด้)

Mathematics Review HandoutsChapter 2: Derivatives

Section 4: Implicit Differentiation

Section 4: Implicit Differentiation

• เป2นการ Diff ตามปกต� น"กค่ณ�ตศาส้ตร(แค่ ต"�งชั่ �อให็�ม"นงงๆ• ปกต� เว่ลา Diff เราจะม� y = ซ้"กอย างขึ้อง x แต ในบางค่ร"�ง การท่1าให็�

ส้มการอย/ ในร/ปน"�น ค่ อนขึ้�างยาก• เชั่ น ส้มการว่งกลม y2+x2=9 แท้นท้��จำะต�อง แป็รร�ป็ให�เป็�น

เราสามีารถ้ Diff ท้�/ง y ได้�เลัยู่

y 9 x 2

Section 4: Implicit Differentiation

ปกต� เว่ลาท่��เรา Diff เรา Diff เฉพิ่าะ พิ่จน( x ซ้��งเป2นต"ว่แปรเด�ยว่ก"นก"บต"ว่แปรขึ้องฟ'งก(ชั่" �น f(x)แต เม �อเรา Diff พิ่จน( y ในฟ'งก(ชั่" �น f(x) ต"ว่แปรท่��เรา Diff ก"บต"ว่แปรขึ้องฟ'งก(ชั่" �น เป2นค่นละต"ว่ก"น จ�งต�องม� dy/dxห็ากเป2นฟ'งก(ชั่" �น t f(t) แต ม�พิ่จน(ต"ว่แปรอ �นท่��ไม ใชั่ t เชั่ น ต"ว่แปร v เว่ลา Diff พิ่จน( v กต�องใส้ dv/dt เชั่ น𝑣2=𝑣−

12𝑡2+16→𝑣2−𝑣=

−12𝑡2+16

2 𝑣 dvdt−dvdt

=− 𝑡

dvdt(2 𝑣−1 )=−𝑡

dvdt

=− 𝑡2 𝑣−1

Mathematics Review HandoutsChapter 2: Derivatives

Section 5: Trigonometric Differentiation

Section 5: Trigonometric Differentiation• ตามท่��ชั่ �อม"นบอก ค่ อการ Diff พิ่ว่กฟ'งก(ชั่" �น Sin Cos Tan

• จร�งๆ จ1าแค่ ส้องอย างง ายๆ พิ่อDiff Sin ได� Cos แต Diff Cos ได� –Sin จบ!! ท่��เห็ล อค่�ดเองได�ห็มด:

- Tan = Sin/Cos- Sec = 1/Cos- Csc = 1/Sin- Cot = 1/Tan = Cos/Sin

Section 5: Trigonometric DifferentiationDiff Sin ได� Cos แต Diff Cos ได� –Sin

- Tan = Sin/Cos- Sec = 1/Cos- Csc = 1/Sin- Cot = 1/Tan = Cos/Sin

f' x Tan x Cos x Cos x Sin x Sin x

Cos 2 x

Cos 2 x Sin 2 xCos 2 x

1 Sin 2 xCos 2 x

1 Tan 2 x

เชั่�น Diff ของ Tan

Section 5: Trigonometric Differentiation• ระว่"ง!!! เว่ลาท่��เจอฟ'งก(ชั่" �น Trig ท่��ไม ได�

อย/ โดดเด�ยว่ เชั่ น• Sin(2x) ส้ามารถแยกได�ว่ า• g(x) = 2x• f(x) = sin(g(x))

• ห็มายค่ว่ามว่ า เราต�องใชั่� Chain Rule ร ว่มด�ว่ย โดยการ Diff จากนอกเขึ้�าใน

• f(x) = Sin(2x)• f’(x) = Cos(2x) *

2 = 2cos(2x)

f(x) = 3cos(2x3)f’(x) = 3 * (-sin(2x3)) * 6x = -18xSin(2x3)

Mathematics Review HandoutsChapter 2: Derivatives

Section 6: Logarithmic Differentiation

Section 6: Logarithmic Differentiation• เป2นการรว่มส้องเร �องน าปว่ดห็"ว่เขึ้�าไว่�ด�ว่ยก"นอย างเจบปว่ด (ถ�าน�น�ว่เขึ้�าใจ

Log, ln, e ม"นจะง ายขึ้��นมาก)• ถ�า f(x) = ex น"บเป2นฟ'งก(ชั่" �นท่��พิ่�เศษมาก เป2นพิ่�ยงส้มการเด�ยว่ในโลก

เพิ่ราะ.... f’(x) = ex แต อย างอ �นม"นไม ใชั่ !

ส้มมต�ให็� f(x) = 2x ปกต�กค่งจะต�องค่�ดว่ าf’(x) = (x)2x-1

แต จร�งๆ f’(x) =

(2𝑥 ) ln (2 )

Section 6: Logarithmic Differentiation• ก อนอ �น ต�องจ1าว่ า• f’(x) ex = ex• f’(x) ln(x) =• • f’(x) เม �อ a ค่ อค่ าค่งท่��, 0<a<1 ห็ร อ a>1

1𝑥

Section 6: Logarithmic Differentiationจาก f’(x) ln(x) = 1/xy 2x

ln y xln 21

y

dy

dx ln 2

dy

dx 2x ln 2

Mathematics Review Handouts

Chapter 3: Graph Sketching with DerivativesSection 1: Extrema

• Extremum (Pl. Extrema) ค่ อจ,ดใดๆ บนกราฟ ท่��ม�ค่ าส้/งท่��ส้,ด ห็ร อต1�าท่��ส้,ด• Extrema ม� 4 ประเภท่• Absolute Minimum ค่ าท่��ต1�าท่��ส้,ดขึ้องกราฟ ในโดเมนท่"�งห็มด• Absolute Maxima ค่ าท่��ส้/งท่��ส้,ดขึ้องกราฟ ในโดเมนท่"�งห็มด• Local Minimum ค่ าท่��ต1�าท่��ส้,ดขึ้องกราฟ ในชั่ ว่งโดเมนท่��ก1าห็นดให็�• Local Maximum ค่ าท่��ส้/งท่��ส้,ดขึ้องกราฟ ในชั่ ว่งโดเมนท่��ก1าห็นดให็�

Section 1: Extrema

• กราฟน�� ไม ม� Absolute Minimum และ Absolute Maximum เพิ่ราะเม �อค่ า x เขึ้�าใกล� ค่ า y กเขึ้�าใกล� และเม �อค่ า x เขึ้�าใกล� - ค่ า y กเขึ้�าใกล� -

• กราฟน��ม� Local Maximum อย/ ท่�� x ประมาณ -1.75 และ y = 10.5

• Local Minimum อย/ ท่�� x ประมาณ 1.75 และ y = -10.5

Section 1: Extrema

Mathematics Review Handouts

Chapter 3: Graph Sketching with DerivativesSection 2: Critical Points

• Critical Points (จ,ดว่�กฤต) ค่ อจ,ดใดๆ กตามบนกราฟขึ้องฟ'งก(ชั่" �น ท่�� Diff แล�ว่ ได� 0 ห็ร อ • Critical Point ใชั่�เพิ่ �อห็าว่ าค่ าต1�าส้,ด ห็ร อส้/งส้,ดขึ้องกราฟ (Extrema)

อย/ ณ จ,ดใด และกราฟม�ร/ปร างเป2นอย างไร

Section 2: Critical Points

Section 2: Critical Points

• จากกราฟ y=x3-9x ห็า f’(x) = 3x2-9• Critical Point ค่ อจ,ดท่�� Diff แล�ว่ได� 0

ห็ร อ

• จากส้มการ Diff f’(x) = 3x2-9

• น"�นค่ อจะเก�ด Critical Point ท่��จ,ด

3 x2 9 0

3 x2 9

x2 3

x 3 , 3

𝑥=√3 ,และ−√3