รวมเนื้อหาความสัมพันธ์ฟังก์ชัน

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

1

ความสัมพันธและฟงกชัน 1. ผลคูณคารทีเชียน ( Cartesian Product)

ผลคูณคารทีเชียนของเซต A และ เซต B เขียน แทนดวย A × B คือ เซตของคูอันดับ (a, b) โดยที่ a เปนสมาชิกของA ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถกูตอง และผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง b เปนสมาชิกของ B ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง นั่นคือ { }× ∈ ∈A B = (a, b) a A áÅÐ b B เชน { }A = 1, 2, 3 และ { }B = 1, 2 { }×A B = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)

{ }×B A = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3) ซ่ึงสามารถแทนดวยจดุ 6 จุดในระนาบดังนี ้

เราจะพบวา จาํนวนสมาชิกใน ×A B เทากับจํานวนสมาชิกใน A คูณกับ จํานวนสมาชิกใน B ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง นั่นคือ × ⋅n(A B) = n(A) n(B) โดยทั่วไป × ≠ ×A B B A และ × ×A B = B A ก็ตอเมื่อ A = B หรือเซตใดเซตหนึ่งเปนเซต φ ถา คือเซตของจํานวนจริง แลวจะไดวา { }× ∈ = (x, y) x, y ซ่ึงก็คือระนาบ xy (xy - plane) นั่นเอง

A1 2 30

2

B

1

×A B

B1 20

2

B

1

×B A

3

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

2 2. ความสัมพนัธ (Relations) ตัวอยางของความสัมพันธ เชน

นุช เปนเพื่อนของ ทรา แดน สูงกวา เบ กวยเตี๋ยว ชามละ 30 บาท 2 นอยกวา 3 เปนตน

เราสามารถเขียนความสัมพนัธตางๆ ในรูปเซตไดเสมอ จะเห็นวาความสัมพันธนั้นเกิดจาก ส่ิงสองสิ่งมาเกี่ยวของกัน ภายใตกฏเกณฑอยางใดอยางหนึ่ง และสิ่งสองสิ่งนั้นสามารถ เขียนเปนคูอันดับไดเสมอ ถาให { } { }A = 1, 2, 3 , B = 1, 4 จะไดวา { }×A B = (1, 1), (1, 4), (2, 1), (2, 4), (3, 1), (3, 4) พิจารณา ความสัมพันธ “ มากกวา ” หรือ “ x มากกวา yผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถกูตอง ”โดยที่ ∈x A และ

∈y B ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงที่ถูกตองจะพบวาคูอันดับที่เปนไปไดตามเงื่อนไขดังกลาวคือ (2, 1),(3, 1)ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงที่ถูกตอง ซ่ึงจะพบวาผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตองผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง { }(2, 1), (3, 1)

เปนเซตยอย (Subset) ของ ×A Bผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง เราเรียกวา { }(2, 1), (3, 1) ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง วาเปนความสัมพันธจากผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถกูตอง A ไปผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง B ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถกูตองในความหมายทีว่า “ มากกวา ” ดังนั้นจึงสรุปไดวา r ผิดพลาด! ไมใชการเชือ่มโยงท่ีถูกตอง เปนความสมัพันธจาก ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง A ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง ไป ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตองB ก็ตอเมื่อ ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงที่ถูกตองผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถกูตอง เปนเซตยอยของ ×A Bผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง ซ่ึงจะมีไดทั้งหมด n(A).n(B)2 แบบ ( เปนการนับรวมเมื่อ r เปนเซตวางดวย) ความสัมพันธที่จะกลาวตอไปนี้จะเปนความสัมพันธที่ไมใชเซตวาง ความสัมพันธในรูปกราฟ เราสามารถเขียนกราฟแทนความสัมพันธไดและ กราฟของความสัมพันธอาจจะเปนพื้นที่ (แรเงา) ในกรณีที่ความสัมพนัธเปนอสมการ ตัวอยาง ถาให เปนเซตของจํานวนจริง จงเขียนกราฟแทนความสัมพันธที่กําหนดใหตอไปนี ้

(ก) { }∈ ×1r = (x, y) y = 2x + 1

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

3

(ข) ⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

∈ × 2 2

2r = (x, y) x +y = 1

(ค) { }∈ × ≤3r = (x, y) y x

(ก) { }∈ ×1r = (x, y) y = 2x + 1

วิธีทํา

1r เปนความสัมพันธแบบบอกเงื่อนไข ( y = 2x + 1 ) ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถกูตอง จาก ไป

ซ่ึงก็คือ เซตของจุดบนเสนตรง y = 2x + 1

(ข) ⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

∈ × 2 2

2r = (x, y) x + y =1

วิธีทํา

2r เปนความสัมพันธแบบบอกเงื่อนไข ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถกูตอง จาก ไป ซ่ึงก็คือ

เซตของจุดบนวงกลมรัศมีหนึ่งหนวย

x1 20

2

y

1

3

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

4

y

-1

x1-1 0

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

5

(ค) { } ∈ × ≤3r = (x, y) y x

วิธีทํา

3r เปนความสัมพันธแบบบอกเงื่อนไข ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถกูตอง จาก ไป ซ่ึงก็คือ เซตของจุดบนระนาบที่สอดคลองกับอสมการ ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง

ความสัมพันธในรูปแผนภาพแสดงการจับคู นอกจากการเขียนความสัมพันธ ในรูปเซตของคูอันดับ หรือกราฟแลว เรายังสามารถเขียนความสัมพันธในรูปของแผนภาพแสดงการจับคู ตัวอยาง จงเขยีนแผนภาพแสดงการจับคูแทนความสัมพนัธตอไปนี ้

(ก) { }1r = (1, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4)

วิธีทํา เขียนกราฟ และแผนภาพของความสัมพันธ 1r ไดดังนี้

{ }1r = (1, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4) ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถกูตอง

1

2

3

1

2

3

4

r1

1 2 30

2

1

y

x

3

4

กราฟของ 1r แผนภาพการจบัคูของ 1r

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

6( ข ) กําหนดความสัมพันธ

2r ซ่ึงเปนความสมัพันธระหวางรายการอาหารและราคาดังนี้

2r = {(ขาวผัด,25), (ราดหนาทะเล,30), (ขาวหนาไก,30), (ขาวเปลา,10)}

วิธีทํา เขียนแผนภาพของความสัมพันธ

2r ไดดังนี ้

จากที่กลาวมาแลวเราพบวา การเขียนความสัมพันธมีไดหลายแบบ กลาวคือ แบบแจกแจงสมาชิก แบบบอกเงื่อนไข แบบเขียนกราฟ แบบแผนภาพแสดงการจับคู 3. โดเมน และเรนจของความสัมพันธ โดเมน (D )r คือเซตของสมาชิกตัวหนาของคูอันดับในความสัมพันธ r

นั่นคือ { }∈D = x (x, y) r r

เรนจ (R )r คือเซตของสมาชิกตัวหลัง ของคูอันดับในความสัมพันธ ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง

นั่นคือ { }∈R = y (x, y) r r

¢Òé ǼÑ́

ÃҴ˹éÒ·ÐàÅ

¢Òé Ç˹Òé ä¡è

25

30

10

2r

¢Òé Çà»ÅÒè

ÃÒ¡ÒÃÍÒËÒà ÃÒ¤Ò

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

7

กรณีท่ี r อยูในรูปบอกเงื่อนไข (บอกเปนสมการ) การหาโดเมน ควรจัด y ในรปูของ x

y = พจนของ x แลวโดเมนคือ คาของจํานวนจริง x ที่สามารถหาคาจํานวนจริง ผดิพลาด! ไมใชการเชือ่มโยงท่ีถูกตอง ซ่ึงสอดคลองกับสมการได การหาเรนจ ควรจัด ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถกูตอง ในรูปของผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง x = พจนของ y แลวเรนจคือ คาของจํานวนจริง ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง ที่สามารถหาคาจํานวนจริง ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง ซ่ึงสอดคลองกับสมการได สําหรับการพิจารณาคาของ x หรือคาของ y ที่สอดคลองกับสมการนั้นขึ้นอยูกับเงื่อนไข (ขอจํากัด) ที่เกิดขึ้นกับตัวแปร เชน

- ถามีเศษสวนในรูป ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง จะไดเงื่อนไขวา ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง

- ถามี ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง โดย ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง เปนจํานวนคู จะไดเงื่อนไขวา ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง และ ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง

- ถามี ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง โดยที่ ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง เปนจํานวนคู จะไดเงื่อนไขวา ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง

- ถามี ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง จะไดเงื่อนไขวา ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง ตัวอยาง จงหาโดเมนและเรนจของความสมัพันธตอไปนี ้ (ก) ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง (ข) ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง

(ค) { }∈ ×3

2r = (x, y) y = x - 4x + 1

(ง) { }∈ ×4

x + 3 - 1r = (x, y) y = ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง

วิธีทํา (ก) หาโดเมน พจิารณาสมการ x + 1y =

x พบวามีเศษสวนโดยตวัสวนคือ x ดังนั้นจะไดเงือ่นไข ≠x 0 นั่นคือ { }1

D = - 0r ( หมายความวา x เปนจาํนวนจริงใดๆก็ได ยกเวนศนูย )

หาเรนจ จากสมการ x + 1y = x

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

8

y x = x + 1 y x - x = 1

x ( y - 1 ) = 1 เพราะฉะนั้นไดสมการ 1x = y - 1 พบวามีเศษสวนโดยตวัสวนคือ y - 1 ทําใหไดเงื่อนไข ≠y - 1 0 นั่นคือ ≠y 1 ดังนั้น { }

1r= - 1R ( หมายความวา y เปนจํานวนจริงใดๆก็ได ยกเวน 1 ) #

(ข) หาโดเมน พจิารณาสมการ ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงที่ถูกตอง พบวามีรากทีส่องซึ่งภายในเปน ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง ดังนั้นเงื่อนไขคือ ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง นั่นคือ ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ี

ถูกตอง จะได ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงที่ถูกตอง หาเรนจ จัดสมการในรูป ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตองผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ี

ถูกตอง พบวามีรากทีส่อง และอีกขางของสมการคือ y - 1 ดังนั้นเงื่อนไขคือ ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง นั่นคือ ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ี

ถูกตอง จะได ผดิพลาด! ไมใชการเชือ่มโยงท่ีถูกตอง

# (ค) ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงที่ถูกตอง

หาโดเมน พจิารณา ผิดพลาด! ไมใชการเชือ่มโยงท่ีถูกตองผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง พบวา x เปนจํานวนจริงใดก็ไดสามารถหาคา ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง ทีเ่ปนจํานวน

จริงไดเสมอ ดังนั้น ผิดพลาด! ไมใชการเชือ่มโยงท่ีถูกตอง หาเรนจ เพื่อใหพิจารณาไดงาย ควรจดัใหอยูในรูปกําลังสองสมบูรณ จะไดสมการในรูป 2(x - 2) = y + 3 พบวามียกกําลังสอง และอีกขางของสมการเปน y + 3 ดังนั้น เงื่อนไข คือ ≥y + 3 0 นั่นคือ ≥y - 3 จะได [ )∞3

R = -3, r #ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง (ง) ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงที่ถูกตอง

หาโดเมน พจิารณา x + 3y = - 1

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

9พบวา ผดิพลาด! ไมใชการเชือ่มโยงท่ีถูกตอง เปนจํานวนจริงใดก็ไดสามารถหาคา ผิดพลาด! ไมใช

การเชื่อมโยงท่ีถูกตอง ที่เปนจํานวนจริงไดเสมอ ดังนั้น ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง หาเรนจ จัดสมการในรูป ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง พบวามีคาสัมบูรณ และอีกขางของสมการเปน ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง ดังนั้นเงื่อนไข คือ ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง นั่นคือ ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ี

ถูกตอง จะได ผดิพลาด! ไมใชการเชือ่มโยงท่ีถูกตอง

#

กรณีท่ี ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงที่ถูกตอง อยูในรูปกราฟ โดเมน คือ เซตที่เปนภาพฉายของกราฟบนแกน ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง เรนจ คือ เซตที่เปนภาพฉายของกราฟบนแกน ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง ตัวอยาง จงหาโดเมนและเรนจของความสมัพันธ ตอไปนี้

1r 2r 3r

ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงที่ถูกตอง ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงที่ถูกตอง ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงที่ถูกตอง

⎡ ⎤⎣ ⎦1

R = - 1, 2r ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงที่ถูกตอง ผิดพลาด! ไมใชการ

เชื่อมโยงท่ีถูกตอง

4. อินเวอรสของความสัมพนัธ อินเวอรสของ ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง ( เขียนแทนดวย ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง) โดยที ่ ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง ซ่ึงจะไดวา ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง และ ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง กราฟของ ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถกูตอง และกราฟของ ผิดพลาด! ไมใชการเชือ่มโยงท่ีถูกตอง จะสมมาตรกันโดยมีเสนตรง ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงที่ถูกตอง เปนแกนสมมาตร

1 2 30

2

1

y

x-2 -1 -1

y

-1x1-1 0

1

x0

y

y=x

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

10

กราฟ r และ กราฟ -1r

5. ฟงกชนั ( Function ) ฟงกชัน คือ ความสัมพันธทีม่ีเงื่อนไขวาในสองคูอันดับใดๆ ของความสัมพันธนั้น ถามีสมาชิกตัวหนาเปนตัวเดยีวกัน แลวสมาชิกตัวหลังจะตองไมตางกัน นั่นคือ ความสัมพันธ f เปนฟงกชนั ก็ตอเมื่อ ถา ∈(a, b) f ผิดพลาด! ไมใชการเชือ่มโยงท่ีถูกตอง และ

∈(a, c) f แลว b = c การตรวจสอบความสัมพันธวาเปนฟงกชันหรือไม 1. กรณีท่ี ความสัมพันธท่ีกําหนดใหเปนแบบแจกแจงสมาชิก ใหพิจารณาทีส่มาชิกตัวหนาของแตละคูอันดับโดยไมตองสนใจสมาชิกตัวหลัง ดังนี ้

(1) ถาสมาชิกตัวหนาของแตละคูอันดับไมเหมือนกนัเลย สรุปไดเลยวาความสัมพันธนั้นเปนฟงกชัน (2) ถาสมาชิกตัวหนาของคูอันดับเหมือนกันอยางนอย 2 คูอันดับ สรุปไดเลยวา ความสัมพันธนั้นไมเปน

ฟงกชัน ตัวอยาง ความสัมพันธที่กําหนดใหขอใดตอไปนี้เปนฟงกชัน (ก) ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง (ข) ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง วิธีทํา จะพบวา ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถกูตอง เปนฟงกชัน เพราะไมมีคูอันดับใดเลยที่สมาชิกตัวหนาเหมือนกนั

ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงที่ถูกตองไมเปนฟงกชัน เพราะมีคูอันดับทีส่มาชิกตัวหนาเหมือนกนั แตสมาชิกตัวหลังตางกัน เชน ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง และ (2, 3) ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

112. กรณีความสัมพันธท่ีกําหนดใหเปนแบบบอกเงื่อนไข จากการที่ความสัมพันธ f จะเปนฟงกชันก็ตอเมื่อ ถา ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง และ

∈(a, c) f ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงที่ถูกตอง แลว ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงที่ถูกตอง เราจงึเริ่มตนดวยการสมมุติให ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถกูตอง และ ∈(x, z) f นั่นคือสมมุติใหความสัมพันธ f มีบางคูที่จับคูดังนี ้ (1) ถาพบวา ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงที่ถูกตอง แลวความสัมพันธ ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงที่ถูกตอง จะเปนฟงกชัน (2) ถาพบวา ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงที่ถูกตอง แลวความสัมพันธ ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงที่ถูกตอง จะไมเปนฟงกชัน ตัวอยาง ความสมัพันธที่กําหนดให ขอใดตอไปนี้เปนฟงกชัน

(ก) ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง (ข) ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง

วิธีทํา (ก) สมมุติให ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตองและ ∈1

(x, z) r จะได ผดิพลาด! ไมใชการเชือ่มโยงท่ีถูกตอง และ 3z = x + 1 ดังนั้น ผิดพลาด! ไมใชการเชือ่มโยงท่ีถูกตอง

นั่นคือ ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง เปนฟงกชัน วิธีทํา (ข) สมมุติให ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถกูตอง และ ∈

2(x, z) r

จะได ผดิพลาด! ไมใชการเชือ่มโยงท่ีถูกตอง และ ผิดพลาด! ไมใชการเชือ่มโยงท่ีถูกตอง ดังนั้น ผิดพลาด! ไมใชการเชือ่มโยงท่ีถูกตอง แตไมสามารถสรุปไดวา ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถกูตอง เชน ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถกูตอง แต ผดิพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง

เพราะฉะนั้น ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงที่ถูกตอง ไมเปนฟงกชัน 3. กรณีท่ีความสัมพันธท่ีกําหนดใหเปนแบบแผนภาพแสดงการจับคู

z x

y

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

12ในกรณีนี้ ใหดาํเนินการดังนี ้

(1) ใหเขยีนความสัมพันธนั้นในรูปแบบแจกแจงสมาชิกแลวพิจารณาตามวิธีที่กลาวมาแลว หรือ (2) ใหตรวจสอบวาความสัมพันธนั้นมีการจับคูแบบบานปลาย ( ) หรือไม ถามีการจับคูแบบบานปลาย จะสรุปไดวา ความสัมพันธนั้นไมเปนฟงกชัน ตัวอยาง จงพจิารณาวา แผนภาพความสัมพันธ ผิดพลาด! ไมใชการเชือ่มโยงท่ีถูกตอง และ ผิดพลาด! ไมใชการเชื่อมโยงท่ีถูกตอง ตอไปนี้ เปนฟงกชันหรือไม

นั่นคือ { }1r = (x, 1), (y, 1), (z, 2) และ { }2

r = (x, 1), (x, 2), (y, 2), (z, 3) จะไดวา 1r เปนฟงกชันเพราะไมมีคู

อันดับใดเลยทีส่มาชิกตัวหนาเปนตัวเดียวกนั

2r ไมเปนฟงกชัน เพราะมีคูอันดับ (x, 1) และ (x, 2) ซ่ึงมีสมาชิกตัวหนาเปนตัวเดยีวกัน

( คือ x ) แตสมาชิกตัวหลังตางกัน ( คือ 1 และ 2 ) จากแผนภาพของ 2r จะพบวาแผนภาพแสดงกาจับคูมลัีกษณะ

บานปลายที่ x ดังนี ้ ดังนั้น จึงสรุปไดวาหากแผนภาพของความสัมพันธโดยมี การจับคูลักษณะบานปลาย แลว ความสัมพันธนั้นไมเปนฟงกชัน 4. กรณี ความสัมพันธท่ีกําหนดให เปนแบบกราฟ ใหพิจารณาเสนขนานกับแกน y ตัดกับกราฟของความสัมพันธที่กําหนดใหดังนี ้

(1) ถาไมมีเสนขนานกับแกน y เสนใดตัดกราฟของความสัมพันธมากกวา 1 จุด แลวความสัมพันธนั้นจะเปนฟงกชัน แสดงวา คา x หนึ่งคาจับคูกบัคา y เพียงหนึ่งคาเทานั้น

x

z

y

x

2

1

1r

z

y

x

2

1

2r

3

1

2

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

13(2) ถามี เสนขนานกับแกน y แมเพียงเสนเดียวที่ตัดกราฟของความสัมพันธมากกวา 1 จุดแลวความสมัพันธ

นั้นจะไมเปนฟงกชัน แสดงวา มีคา x หนึ่งคาจับคูกับคา y มากกวา 1 คา (สมมุติวาเปน

1y และ

2y ) นั่นคือมีการจับคูแบบบาน

ปลาย

1y

2

y ตัวอยาง กราฟของความสัมพันธที่กําหนดใหขอใดตอไปนี้เปนฟงกชัน ( ก ) (ข)

(ค) (ง) วิธีทํา

x0

y

x

x0

y

1

1-1

-1

x

y

30x

y

-2

-2

0

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

14 (ก)

จากกราฟจะพบวา เสนตรงทีล่ากขนานกับแกน y ทุกเสนตัดกราฟเพยีงจุดเดยีวเสมอ ดังนั้น กราฟของความสัมพันธนี้เปนกราฟของฟงกชัน (ข) จากกราฟจะพบวา มีเสนตรงที่ลากขนานกบัแกน y ตัดกราฟมากกวา 1 จุด ดังนั้น กราฟของความสัมพันธนี้ไมเปนกราฟของฟงกชัน (ค) จากกราฟจะพบวาเสนตรง x = 3 ที่ขนานกับแกน y ตัดกราฟมากกวา 1 จุด ( ตัดกราฟเปนจํานวนมากมาย)

x0

y

x0

y

-1

-1

1

y

30

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

15ดังนั้น กราฟของความสัมพันธนี้ไมเปนกราฟของฟงกชัน (ง) จากกราฟจะพบวามีเสนตรงที่ลากขนานกบัแกน y ตัดกราฟมากกวา 1 จุด ดังนั้นกราฟของความสัมพันธนี้ไมเปนกราฟของฟงกชัน

y

-2

-2

0

2

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

16

ทั่วถึง

1-1

6. ลักษณะของฟงกชัน (1) ฟงกชันจาก A ไป B เขียนแทนดวย :f A B→ คือฟงกชันที่ fD A= และ fR B⊆ (2) ฟงกชันจาก A ไปท่ัวถึง (onto) B เขียนแทนดวย :f A B→ คือฟงกชันที่ fD A= และ fR B= (3) ฟงกชันหนึง่ตอหนึ่ง (one to one) จาก A ไป B เขียนแทนดวย :f A B→ คือฟงกชันที่ fD A= และ สําหรับ y แตละตัวใน B จับคูกับ x ใน A เพียงตัวเดียวเทานั้น การตรวจสอบการเปนฟงกชนัหนึ่งตอหนึ่ง (3.1) ถา ( )1,x y f∈ และ ( )2 ,x y f∈ แลว 1 2x x= หรือถา 1 2( ) ( )f x f x= แลว 1 2x x= จะไดวา f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง ดังนั้นการเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง คา x ที่ตางกันจะโยงจับคูกับ y ตัวเดียวกันไมไดนั่นคือการโยงจับคูในลักษณะนี้จะไมเกดิขึ้น (3.2) ถามีกราฟของฟงกชัน แลวลากเสนตรงขนานกับแกน x ถามีเสนตรงตัดกราฟมากกวาหนึง่จุดแสดงวา กราฟนั้นไมเปนกราฟของฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งเชน (ก) (ข) กราฟในรูป (ก) ไมเปนกราฟของฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง เพราะมีเสนตรงที่ขนานกับแกน x ตัดกราฟสองจุดคือ จุด 1x และ 2x นั่นคือเกิดการโยงจับคูดังนี ้ กราฟในรูป (ข) เปนกราฟของฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งเพราะไมมีเสนตรงที่ขนานกับแกน x ตัดกราฟมากกวาหนึ่งจดุ

y1x

2x

0y

1x

2x

y

x

0y

1x 2x 0

y

x 0

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

17

1-1 ทั่วถึง ทั่วถึง

(4) ฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง จาก A ไปท่ัวถึง B เขียนแทนดวย :f A B→ นั่นคือฟงกชัน 1 1

:−→f A B และ

:f A B→ 7. อินเวอรสของฟงกชัน อินเวอรสของฟงกชัน f (เขียนแทนดวย 1f − ) เปนฟงกชันก็ตอเมื่อ f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง ในกรณีที่ f

เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจะไดวา 1 ffD R− = และ 1 ff

R D− = โดยที่ 1( )f w v− = ก็ตอเมื่อ ( )f v w=

สิ่งท่ีควรทราบ 1. ถา f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึง่ แลว 1f − จะเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งดวย 2. ถา f ฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง จาก A ไปทั่วถึง B แลว 1f − จะเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง จาก B

ไปทั่วถึง A 3. ถา f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึง่ แลว 1f − จะเปนฟงกชันจากเรนจของ f ไปทั่วถึงโดนเมนของ f 8. การเทากันของฟงกชัน ให f และ g เปนฟงกชัน f เทากับ g (เขียนแทนดวย f g= ) ก็ตอเมื่อ f gD D= และ ( ) ( )f x g x= ทุก x

ในโดเมน

ตัวอยางที่ 1 ให {(1, 4), (2, 6), (3, 8)}=f และ {(1, 6), (2, 4), (3, 8)}=g จงพิจารณาวา f g= หรือไม วิธีทํา จากฟงกชัน f และ g ที่กาํหนดให พบวา {1,2,3}f gD D= = (1) 4f = แต (1) 6g = ดังนั้น (1) (1)f g≠ นั่นคอื f g≠ # ตัวอยางที่ 2 ให {(1, 1), (2, 4)}=f และ :{1,2}g → โดย 2( )g x x= จงพิจารณาวา f g= หรือไม วิธีทํา พบวา {1,2}f gD D= = และ (1) (1) 1f g= = และ (2) (2) 4f g= = ดังนั้น f g= #

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

189. การหาคาของฟงกชัน และคาอินเวอรสของฟงกชัน

สําหรับฟงกชันที่กลาวถึงในระดับมัธยม กรณีที่เกีย่วของกับระบบจํานวน จะเปนฟงกชันที่โดเมนหรือเรนจเปนเซตยอยของจํานวนจริงเทานั้น และถาฟงกชันเขยีนอยูในรูปแบบมีเงื่อนไข เชน 2{( , ) }= ∈ × =f x y y x เราสามารถเขียนแบบยอไดเปน 2( ) =f x x

โดยที่ ( )f x คือ คาของฟงกชัน (หรือคา y ) ที่ x (ตวัแปรตน) ซ่ึงคา ( )f x นี้จะเปนสมาชิกของเรนจของ f สวนคา x จะเปนสมาชิกในโดเมน

(1) การหาคาของฟงกชันอยางงาย หาคาฟงกชันโดยการแทนคาตัวแปรตน

ตัวอยางที่ 1 กําหนดให ( ) 3= −f x x จงหาคาของ (ก) ( 1)−f (ข) (0)f (ค) (2 1)+f x (ง) ( )∆f วิธีทํา (ก) ( 1) ( 1) 3 4− = − − = −f (ข) (0) 0 3 3= − = −f (ค) (2 1) (2 1) 3 2 2+ = + − = −f x x x (ง) ( ) 3∆ = ∆ −f #

ตัวอยางที่ 2 กําหนดให 2( ) 1, ( ) 1= + = +f x x g x x และ 3( ) =h x x จงหาคาของ (ก) ( (3))f g (ข) ( (1))g f (ค) ( ( (0)))h g f (ง) ( ( (3)))g h f วิธีทํา (ก) 2( (3)) (3 1) (10) 10 1 11= + = = + =f g f f (ข) 2( (1)) ( 1 1) ( 2) ( 2) 1 2 1 3= + = = + = + =g f g g (ค) 2 3( ( (0))) ( ( 0 1)) ( (1)) (1 1) (2) 2 8= + = = + = = =h g f h g h g h h (ง) 3 2( ( (3))) ( ( 3 1)) ( (2)) (2 ) (8) 8 1 65= + = = = = + =g h f g h g h g g #

ตัวอยางที่ 3 กําหนดให 2

2

3 2 , 1( ) 5 , 1 4

, 4

⎧ − ≤ −⎪= − − < <⎨⎪ − ≥⎩

x xf x x x

x x

จงหาคาของ ( ( (3)))f f f

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

19วิธีทํา ฟงกชันที่กําหนดใหถูกแบงออกเปน 3 ชวงดังนี ้ ชวงที่ 1 2( ) 3 2 , 1= − ≤ −f x x x ชวงที่ 2 ( ) 5 , 1 4= − − < <f x x x ชวงที่ 3 2( ) , 4= − ≥f x x x

ขั้นท่ี 1 หา (3)f เนื่องจาก 3=x อยูในชวง 1 4− < <x จะได ( ) 5= −f x x ดังนั้น (3) 3 5 2= − = −f

ขั้นท่ี 2 หา ( 2)−f เนื่องจาก 2= −x อยูในชวง 1≤ −x จะได 2( ) 3 2= −f x x ดังนั้น 2( 2) 3( 2) 2 10− = − − =f

ขั้นท่ี 3 หา (10)f เนื่องจาก 10=x อยูในชวง 4≥x จะได 2( ) = −f x x ดังนั้น 2(10) (10) 100= − = −f สรุปไดวา ( ( (3))) 100= −f f f #

ตัวอยางที่ 4 กําหนดให

2

2

3 , 1( ) ,1 2

5 , 2

<⎧⎪= ≤ ≤⎨⎪ − − >⎩

x xf x x x

x x x

ถา ( ) 7=f x แลวจงหาคาของ 2

8x

วิธีทํา ในชวง 1<x และ 1 2≤ ≤x นั้นพบวา ไมมีคา x ที่ทําให ( ) 7=f x ไดเลย พิจารณา ในชวงที่ 2>x ดังนี้

2

2

( ) 75 7

12 0( 3)( 4) 0

3,4

=

− − =

− − =+ − =

= −

f xx x

x xx x

x

จะได 4=x เทานั้น

ดังนั้น 2 24 16 2

8 8 8= = =

x #

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

20(2) การหาคาของฟงกชันอยางยาก หาคาฟงกชันโดยกําหนดตัวแปรใหม

ตัวอยางที่ 1 กําหนดให (3 1) 6 5− = −f x x จงหาคาของ (ก) ( )f x (ข) (5)f วิธีทํา (ก)

ขั้นท่ี 1 กําหนดตัวแปร k โดยให 3 1= −k x ดังนั้น 1

3+

=kx

ขั้นท่ี 2 จะได 1( ) 6 5 2 33+⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠kf k k

ขั้นท่ี 3 แทนที่ตวัแปร k ดวยตัวแปร x จะได ( )f x ( ) 2 3= −f x x

วิธีทํา (ข) วิธีท่ี 1 จากขอ (ก) เราได ( ) 2 3= −f x x ดังนั้น (5) 2(5) 3 7= − =f วิธีท่ี 2 ขั้นท่ี 1 สมมุติให 3 1 5− =x จะได 2=x ขั้นท่ี 2 จะได (5) 6(2) 5 7= − =f #

ตัวอยางที่ 2 กําหนดให ( ) 2 3= −f x x จงหา (4 1)+f x ในรูปของ ( )f x วิธีทํา ขั้นท่ี 1 หา (4 1)+f x กอน จาก ( ) 2 3= −f x x จะได (4 1) 2(4 1) 3 8 1+ = + − = −f x x x ขั้นท่ี 2 เขียน x ในรูป ( )f x จาก ( ) 2 3= −f x x จะได ( ) 3

2+

=f xx

ขั้นท่ี 3 แทนคา ( ) 32+

=f xx ใน (4 1) 8 1+ = −f x x

จะได ( ) 3(4 1) 8 12

4 ( ) 11

+⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

= +

f xf x

f x

#

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

21ตัวอยางที่ 3 กําหนดให ( ) 2 3= −f x x จงหา (ก) 1( )−f x (ข) 1(5)−f วิธีทํา (ก) วิธีท่ี 1 ขั้นท่ี 1 จาก ( ) 2 3= −f x x จะได 1(2 3)− − =f x x ขั้นท่ี 2 กําหนดตัวแปร 2 3= −k x ดังนั้น 3

2+

=kx

ขั้นท่ี 3 จาก 1(2 3)− − =f x x จะได 1 3( )

2− +

=kf k

ขั้นท่ี 4 แทนที่ตวัแปร k ดวยตัวแปร x จะได 1 3( )

2− +

=xf x #

วิธีท่ี 2 (วิธีลัด) หาอินเวอรสเหมือนในเรื่องความสัมพันธคือสลับตัวแปร x กับ y ดังนี ้ ให ( ) 2 3= = −f x y x จะไดอินเวอรส คือ 2 3= −x y ยายขางสมการ จะได 3

2+

=xy

นั่นคือ 1 3( )2

− +=

xf x #

วิธีทํา (ข) วิธีท่ี 1 จากขอ (ก) เราได 1 3( )

2− +

=xf x

ดังนั้น 1 5 3 8(5) 42 2

− += = =f

วิธีท่ี 2 จาก ( ) 2 3= −f x x จะได 1(2 3)− − =f x x ให 2 3 5− =x จะได 8 4

2= =x

แทน 4=x ลงใน 1(2 3)− − =f x x ดังนั้น 1(5) 4− =f #

ใชหลักการทีว่า 1( )− =f w v ก็ตอเมื่อ ( ) =f v w

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

22

ตัวอยางที่ 4 กําหนดให ( 1) 4 3− = −f x x จงหา (ก) 1( )−f x (ข) 1(5)−f วิธีทํา (ก) จาก ( 1) 4 3− = −f x x จะได 1(4 3) 1− − = −f x x กําหนดตัวแปร 4 3= −k x จะได 3

4+

=kx

จาก 1(4 3) 1− − = −f x x จะได 1 3( ) 1

4− +

= −kf k

แทนที่ตวัแปร k ดวยตัวแปร x ดังนั้น 1 3( ) 1

4− +

= −xf x #

วิธีทํา (ข) วิธีท่ี 1 จากขอ (ก) เราได 1 3( ) 1

4− +

= −xf x

ดังนั้น 1 5 3(5) 1 2 1 14

− += − = − =f

วิธีท่ี 2 จาก ( 1) 4 3− = −f x x จะได 1(4 3) 1− − = −f x x ให 4 3 5− =x จะได 8 2

4= =x

แทน 2=x ลงใน 1(4 3) 1− − = −f x x ดังนั้น 1(5) 2 1 1− = − =f #

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

2310. ฟงกชนัเพิ่ม และฟงกชันลด กําหนดให 1 2,x x เปนสมาชิกใด ๆ ในชวง [ , ]a b จะไดวา ฟงกชัน f เปนฟงกชนัเพิ่มในชวง [ , ]a b ก็ตอเมือ่ ถา 1 2<x x แลว 1 2( ) ( )<f x f x ฟงกชัน f เปนฟงกชนัลดในชวง [ , ]a b ก็ตอเมื่อ ถา 1 2<x x แลว การตรวจสอบการเปนฟงกชันเพิ่มหรือฟงกชันลดสามารถตรวจสอบจากกราฟของฟงกชันไดเชน

กราฟของฟงกชันเพิ่มอยูในชวง[ , ]a b กราฟของฟงกชันลดอยูในชวง[ , ]a b

2( )f x

1( )f x

0a 1x 2x b

y

x

2( )f x1( )f x

y

a 2x x1x b0

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

24

1-1 ทั่วถึง

1-1 ทั่วถึง

1-1 ทั่วถึง

1-1 ทั่วถึง

11. พีชคณติของฟงกชัน ให f และ g เปนฟงกชัน จะไดวา ∗f g ยังคงเปนฟงกชัน และ

( )( ) ( ) ( )∗ = ∗f g x f x g x ทุก ∗∈ f gx D เมื่อ ∗ = ∩f g f gD D D โดยที่เครื่องหมาย ∗ สามารถเปนไดทั้ง , , ,+ − × ÷ (ในกรณีการหาร ( ) 0g x ≠ )

ตัวอยางที่ 1 กาํหนด 1( )2

xf xx−

=−

และ 2

( 1)( )9

x xg xx

−=

− จงหา , ,f g f g fgD D D+ − และ f

g

D

วิธีทํา พบวา {2}fD = − และ { 3,3}gD = − − ดังนั้น {2, 3,3}f gD D∩ = − − นั่นคือ {2, 3,3}f g f g fgD D D+ −= = = − − สําหรับ f

g

D ตองมีเงื่อนไข ( ) 0g x ≠ ดวยนั่นคือ 0,1x ≠

ดังนั้น {0,1, 2, 3,3}fg

D = − − #

12. ฟงกชนัประกอบ หรือฟงกชันคอมโพสิท (Composite Function) ให f และ g เปนฟงกชัน โดยที่ f gR D∩ ≠ ∅ ฟงกชันประกอบของ f และ g (เขียนแทนดวย og f และอานวา “จีโอเอฟ”) กําหนดโดย

( )( ) ( ( ))=g f x g f x สําหรับทุก fx D∈ ซ่ึง ( )∈ ∩f gf x R D ถาให :f A B→ และ :g C D→ พิจารณาการโยงสําหรับ g f นั้น ให f โยง x กอนแลวจึงโยง g ตอดังแผนภาพ สําหรับ { | ( ) }= ∈ ∈ ∩g f f f gD x D f x R D สิ่งท่ีควรทราบ 1. ถา :f A B→ และ :g B C→ แลว : →g f A C และ 1 1 1( ) − − −=g f f g

2. ถา :f A B→ แลว 1 :− →f f A A โดยท่ี ( )f x x= ทุก x A∈ และ 1 :− →f f B B โดยที่ ( )f x x= ทุก x B∈ 3. กําหนดฟงกชัน ,f g และ h ถาสามารถเกิด ( ) f g h และ ( )f g h แลว ( ) ( )=f g h f g h โดยที่ (( ) )( ) ( )( ( )) ( ( ( )))= =f g h x f g h x f g h x

( )=y f x

A B C D f g

g f

x ( ) ( ( ))= =z g y g f x

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

25ตัวอยางที่ 1 กาํหนด f และ g เปนฟงกชัน ดังแสดงในแผนภาพ จงหา g f (ถามี) วิธีทํา จากแผนภาพพบวา ∩ ≠ ∅f gR D แสดงวาสามารถมี g f ได (1) , (2) , (3) , (4)f a f c f b f d= = = = และ ( )g a ไมมีการโยง , ( ) , ( ) , ( ) , ( )g b x g c z g d y g e z= = = = จาก f และ g ที่กําหนดใหจะได ( (1)) ( )g f g a= ไมมีการโยง ( (2)) ( )g f g c z= = ( (3)) ( )g f g b x= = ( (4)) ( )g f g d y= = สามารถเขียนแผนภาพการโยง g f ไดดังนี ้ จากแผนภาพจะได ( )(2) ( (2))= =g f g f z ดังนั้น (2, )∈z g f ( )(3) ( (3))= =g f g f x ดังนั้น (3, )∈x g f ( )(4) ( (4))= =g f g f y ดังนั้น (4, )∈y g f

ดังนั้น {(2, ), (3, ), (4, )}=g f z x y และ {2,3,4}= ≠g f fD D แต ⊂g f fD D #

1

2

3

4

a

b

c

d

e

x

y

z

fD fR

gRgD

2

3

4

x

y

z

g f

g fD g fR

f g

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

26

ตัวอยางที่ 2 กาํหนด 2( ) 3f x x= − และ 2( ) 6g x x= + จงหา g f และโดเมนของ g f วิธีทํา หา ( )( )g f x กอนจะไดวา

( )

2

22 2 2

( )( ) ( ( )) ( 3 )

3 6 3 6 9

= = −

= − + = − + = −

g f x g f x g x

x x x

ดังนั้น 2{( , ) | 9 }= = −g f x y y x ตอมาหา g fD จากเงื่อนไข 29 0x− ≥ จะไดคําตอบคือ [ 3,3]x∈ − แตพบวา fD 3, 3⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ดังนั้น 3, 3⎡ ⎤= −⎣ ⎦g fD #

ตัวอยางที่ 3 ให f และ g เปนฟงกชันจากเซตของจํานวนจริง ไป ถา 3( ) 1= +f x x และ 3 2( )( ) 3 3 2= + + +f g x x x x แลว จงหาคาของ 1( )( 7)− −g f

วิธีทํา เนื่องจาก 1 1( )( 7) ( ( 7))− −− = −g f g f เราจึงตองหา 1( 7)− −f กอน โดยใชหลักการที่วา 1( )− =f w v ก็ตอเมื่อ ( ) =f v w จาก 3( ) 1= +f x x จะได 1 3( 1)− + =f x x

ให 3 1 7+ = −x จะได 2= −x ดังนั้น 1( 7) 2− − = −f แสดงวาโจทยตองการหาคา ( 2)−g จาก 3 2

3 2

3 2

( )( ) 3 3 2( ( )) 3 3 2

( ( 2)) ( 2) 3( 2) 3( 2) 2 0

= + + +

= + + +

− = − + − + − + =

f g x x x xf g x x x x

f g

นั่นคือ 1( 2) (0)−− =g f ตอไปหา 1(0)−f โดยใชหลักการเดมิ ( 1(0)− =f x ก็ตอเมื่อ ( ) 0=f x ) ให 3 1 0+ =x จะได 1= −x ดังนั้น 1(0) 1− = −f สรุปไดวา 1 1( )( 7) ( 2) (0) 1− −− = − = = −g f g f #

ตัวอยางที่ 4 ให f และ g เปนฟงกชัน

โดยที่ : −→f เมื่อ − คือเซตของจํานวนจริงลบ และ : →g ถา ( )( ) 3 ( ) 1= −g f x f x และ 2( ) 4= −g x x แลว จงหา ( )f x

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

27วิธีทํา ( )( ) ( ( )) 3 ( ) 1= = −g f x g f x f x ......(1) เร่ือง และ 2( ) 4= −g x x ......(2) จาก (2) จะได 2( ( )) 4( ( ))= −g f x f x ......(3) (1) = (3) 2

2

3 ( ) 1 4( ( ))4( ( )) 3 ( ) 1 0(4 ( ) 1)( ( ) 1) 0

1( ) 1,4

− = −

+ − =− + =

= −

f x f xf x f xf x f x

f x

แตเพราะวา : −→f ดังนั้น ( ) 1= −f x #

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

28

เสนโคงที่เกดิจากการตัดกรวยที่ควรทราบ

สมการของเสนโคงในรูปแบบมาตรฐาน

วงกลม 1. ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง วงกลมที่มีจุดศูนยกลาง ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง และรัศมี ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง 2. ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง วงกลมที่มีจุดศูนยกลาง ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง และรัศมี ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง

พาราโบลา

1. ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง พาราโบลา จุดยอด ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง และจุดโฟกัส ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง

ถาผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง แลวกราฟเปดทางขวา ( กราฟตะแคงขวา)

0

y

x

(h,k)

y

x

F V

0

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

29

ถา ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง แลวกราฟเปดทางซาย ( กราฟตะแคงซาย )

ถา ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง แลวจะไดพาราโบลาจุดยอด ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง และจุด

โฟกัส ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง

>

=c 0

2สมการ y x <

= −c 0

2สมการ y x

2. ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง จุดยอดคือ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง จุดโฟกัส ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง

ถา ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง แลวกราฟเปดขางบน (กราฟหงายขึ้น)

ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง

ถา <c 0 และกราฟเปดขางลาง (กราฟคว่ําลง)

F V

0 x

F 0

y

x F 0 x

y

F

V 0

y

x

F

V

0

y

x

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

30

′B

By

x

ถา ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง แลวจะไดพาราโบลาจุดยอด ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง และจุดโฟกัส ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง

สมการ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงทีถู่กตอง สมการ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง

วงรี วงรีที่มีจุดศูนยกลางอยูที่ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง

1. สมการ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง โดยที่ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง และ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง

จุดยอด ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงทีถู่กตอง ชื่อจุด ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง และ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง จุดโฟกัส ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง ชื่อจุด ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง และ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง เมื่อ

ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง จุดปลายแกนโท ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตองชื่อจุด ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงทีถู่กตอง และ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง ถาผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง แลวจะไดวงรีซึ่งมีจุดศูนยกลางอยูที่ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง

F

0 x

y

c > 0 F

0 x

y

c < 0

0

F V′F′V (h,k)แกนเอก

′V VF′F0

′B

B

y

x

สมการ + = >2 2

2 2

x y1 , a b

a b

แกนโท

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

31

2. สมการ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงทีถู่กตอง โดยที ่ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง และ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง

จุดยอด ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง ชื่อจุด ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง และ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง จุดโฟกัส ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง ชื่อจุด ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง และ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง เมื่อ

ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง จุดปลายแกนโท ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง ชื่อจุด ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง และ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงทีถู่กตอง ถา ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง แลวจะไดวงรีมีจุดศูนยกลางอยูที่ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง

ไฮเพอรโบลา ไฮเพอรโบลา ที่มีจุดศูนยกลางอยูที่ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง

1. สมการ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงทีถู่กตอง

0

y

x

′B′F

(h,k)

V

F

B

0 ′F

F

V

′V

y

x

สมการ + = >2 2

2 2

y x1 , a b

a b

F

′V V′F

x

y(h,k)

0

′V

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

32

จุดยอด ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงทีถู่กตอง ชื่อจุด ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง และผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง จุดโฟกัส ±(h c,k) ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง ชื่อจุดเมื่อ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง และ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยง

ที่ถูกตอง เมื่อ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง สมการเสนกํากับ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง

ถา = =h k 0 แลวจะไดไฮเพอรโบลาที่มีจุดศูนยกลางอยูที่ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง

2. สมการ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง

\

จุดยอด ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงทีถู่กตอง ชื่อจุด ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง และ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง จุดโฟกัส ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง ชื่อจุด ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง และ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตองเมื่อ

ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง สมการเสนกํากับ − = ± −

ay k (x h)

b

′F

VF

y

x

(h,k)

′F ′V 0 F

สมการ − =2 2

2 2

x y1

a b

′V

V

y

x

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

33

ถา ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง แลวจะไดไฮเพอรโบลาที่มีจุดศูนยกลางอยูที่ ผิดพลาด! ไมใชการเช่ือมโยงที่ถูกตอง

y

x0

สมการ − =2 2

2 2

y x1

a b′F

VF

x

′V

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

34

กราฟของฟงกชันที่ควรทราบ 1. =f(x) x

= =

f fD , R

2. ⎧ ≥⎪= = ⎨− <⎪⎩

x , x 0f(x) x

x , x 0

{ }+= = ∪

f fD , R 0

3. = 2f(x) x

= 2f(x) x = − 2f(x) x

{ }+= = ∪f f

D , R 0 { }−= = ∪f f

D , R 0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

เอกสารประกอบการเรียนโครงการ E-learning เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน สอนวันที่ 28 -11-53 และ 4-12-53

รองศาสตราจารย อาริสา รัตนเพ็ชร คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

35

4. =f(x) x

{ } { }+ += ∪ = ∪

f fD 0 , R 0

5. =1

f(x)x

{ } { }= − = −

f fD 0 , R 0

6. =f(x) ln(x)

+= =

f fD , R

7. = =xf(x) e ;e 2.7182183...

+= =

f fD , R

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0