Top Banner
31201 4 WiLa 1 1 1.1 (Propositions or Statements) (truth value) T F กก a, b, c, , z 1. () 2. -5 () 3. 0 () 1 2 2 x + 2 = 5 x 1 1. ...................................... 2. 5+ 6 = 12 .................................. 3. 49 7 -7 ...................................... 4. x + y + 5 = 0 ................................... 5. ..................................... 6. a + 0 = a .................................
21

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

Jun 25, 2015

Download

Spiritual

wanwilai
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

������������� ������� � 31201 �����������ก����� � 4 �"��#$��% WiLa

1

����� 1

���ก���� ���������

1.1 ������ (Propositions or Statements)

�()�* ������� �*+ �,#��-*+./+����� ���0��,#��"+ก�12�-*+�,#���3���� ���0�4�5 -*+��0���64 +�2�57$+�2�5-���5 81,� �5+�2�5�$ ����2����� ������0�4�5-*+��0���64.+5�, 4�� ��� �ก�2� +,�+-�*��(� (truth value) .+5�, 4�� #$�7�/�91�ก��� T 8�� �2�����4�5��0�4�5 81, F 8�� �2�����4�5� ���0���64 �2342ก56 �91�ก���� �����7�/8���, 4�� �*+ ���+�ก�<���+�5ก=� ��2� a, b, c, A , z C1C

�2-�),�����7)+�����8������� 1. #5� ����E� +5��ก����0�#5� ���/�8"" F +E��<+ F #5� ��7�GH� (4�5) 2. -5 ��0�4E������6� (4�5) 3. 0 ��0�4E������"� ��/+�� �M$ (��64)

���7)+���9*,��8������� �*+�,#��� �N�2� �2�����4�5 ����:���� 1 N$/8ก2 �,#��� �N�2+�%27�%��,#��"+ก�12�-*+�3��� ��2� �,#���E�O�� �,#��.+/+5 �,#���E���5 -/�� +/+��+� 8$5������O�� -*++M��� ��0��/� ����:���� 2 ��0��,#��"+ก�12� -*+�3��� 8�2N�2� �2�����4�5 ��*�+5��4�ก� ��5� ���N�2��"�2� ��0�+,N8�2��$ 4�5"+กN�2N$/�2� ��0�4�5-*+��0���64 ��2� �<��-��2�� -�$/�� 2 15��� �=���0���ก� ��� ��ก25�������� x + 2 = 5

�E��2� 4E�������� �.� 81, x ��0����8� ��0���5� ���N�2��"8�2��$�2���0�+,N ���+�2�5� � 1 45 �4���./+�����2+N�� � ��0��, 4��-*+N�2 1. $�"NSก2+�� �4,N�2� NS7-/$�" ...................................... 2. 5+ 6 = 12 .................................. 3. �ก� �+5.+5 49 �*+ 7 81, -7 ...................................... 4. x + y + 5 = 0 ................................... 5. +�2�25� �5$�5 ..................................... 6. a + 0 = a .................................

Page 2: ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

������������� ������� � 31201 �����������ก����� � 4 �"��#$��% WiLa

2

?��@AกB2C��� 1 45 �4����,#���2+N�� ��2���0��, 4��-*+N�2 � �,�-�M7$ 1. 0 ��0�4E�����%2 2. 8�2��E��4/� ,��N-1<��+ ��.+5N��

3. A ∩ B = B ∩ = 4. #�$Z*�+���/�N�� 5. 1+5 = 8 6. x + 7 = 8 7. �.���0���กSM�"+1� ����� 8. กM��+�2�25� �5$�5

9. .+7-/+"������������N$/�ก$ 4

10. �ก���7-/\%ก�ก1%ก7-/� 11. +�2��$��1�$��� 12. 4,++กN�7-/ /�4�ก� �� � 13. {1,2,3} = {2,3,4} 14. π ��0�4E����+�ก�, 15. �Z� { 0 } ��0��Z��2�5

16. � 4E����4�5 x "�54E����� � x > 5 17. ��+�� ����/+5+"�ก8�2_ 18. `����0���ก� �������������ก����� � 4 19. � 4E����4�5 x 81, y � �E�7-/ x + y = y + x 20. �Z�.+54E������"��0��Z�+�����

Page 3: ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

������������� ������� � 31201 �����������ก����� � 4 �"��#$��% WiLa

3

1.2 ก���D���*������ 7�������������-*+7�� ����,4E���� 4, "�,#��� �N$/4�กก���*�+��,#��+*�� _ $/���E��2� a81,b b-*+b aO/�...81/�...b aก6�2+��*�+b -*+ "�,#��Z��5��1 ���8�15��4�ก�,#���$�� #$������E��2� aN�2b �E��-12�� �� �ก�2� �����*�+� (connectives) �2-�),�� 0 9*,��0�4E�����%2 2 ?4� 4 ��0�4E�����%2 E�� 3 ��0�4E����� � ?4�- 23 ��0�4E����� � 1. ก���D���*������ C�-)�2-�D���* F ?4�G �4����, 4�� 5+ 2 = 2 + 5 3 x 1 = 1x 3 ��*�+��*�+��, 4�����5+5$/�� a81,b 4,N$/�, 4��7-�2�*+ 5+ 2 = 2 + 581, 3 x 1 = 1x 3 ap 81, qb �. ��8��$/�� p q∧ 81,���5�2�����4�5 (truth table) .+5 p q∧ �. ��N$/$�5� �

P

q p q∧

T T T T F F F T F F F F

2. ก���D���*������ C�-)�2-�D���* FB���G �4����, 4�� 1 + 8 = 8 + 1 5( 3 + 7 ) = ( 5 x 3 ) + ( 5 x 7 ) ��*�+��*�+��, 4�����5+5$/�� a-*+b 4,N$/�, 4��7-�2�*+ 1 + 8 = 8 + 1 -*+ 5( 3 + 7 ) = ( 5 x 3 ) + ( 5 x 7 ) ap -*+ qb �. ��8��$/�� p q∨ 81,���5�2�����4�5 (truth table) .+5 p q∨ �. ��N$/$�5� �

P q p q∨ T T T T F T F T T F F F

Page 4: ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

������������� ������� � 31201 �����������ก����� � 4 �"��#$��% WiLa

4

3. ก���D���*������ C�-)�2-�D���* FE��...?4�-...G �4����, 4�� 5 < 7 5 + ( - 3 ) < 7 + ( - 3 ) ��*�+��*�+��, 4�����5+5$/�� aO/�...81/�...b 4,N$/�, 4��7-�2�*+ E�� 5 < 7 ?4�- 5 + ( - 3 ) < 7 + ( - 3 ) aO/� p 81/� qb �. ��8��$/�� p q→ 81,���5�2�����4�5 (truth table) .+5 p q→ �. ��N$/$�5� �

P q p q→ T T T T F F F T T F F T

4. ก���D���*������ C�-)�2-�D���* F กK�,��*���G �4����, 4�� 5( 7 + 3 ) = 5 x 10 7 + 3 = 10 ��*�+��*�+��, 4�����5+5$/�� aก6�2+��*�+b 4,N$/�, 4��7-�2�*+ 5( 7 + 3 ) = 5 x 10 ก6�2+��*�+ 7 + 3 = 10 a p ก6�2+��*�+ qb �. ��8��$/�� p q↔ 81,���5�2�����4�5 (truth table) .+5 p q↔ �. ��N$/$�5� �

P q p q↔ T T T T F F F T F F F T

B*�)�B�L 1. �, 4��� ��E�����*�+�ก��$/�������*�+��2�5 _ � �ก�2� ������ ),�) (atomic statement)

2. � �ก�, 4��� ��ก�$4�กก���*�+�.+5�, 4���2+��2��2� ������ �D(����ก�� 5. �(��O=�������� ����.+5�, 4�� 2 + 3 = 5 �*+ 2 3 5+ ≠ ����.+5�, 4�� 2 < 3 �*+ 2 < 3 (+2���2� 2 N�2�/+�ก�2� 3 -��������2� 2 +�4��2�ก�" 3 -*+��กก�2� 3 Z��5�. ��N$/+ ก8""-���5�2� 2 3≥ )

Page 5: ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

������������� ������� � 31201 �����������ก����� � 4 �"��#$��% WiLa

5

����.+5�, 4�� p �. ��8��$/�� ~p 81,���5�2�����4�5.+5 ~p �. ��N$/$�5� �

P ~p

T F F T

?��@AกB2C 2 1. 45��1 ����,#���2+N�� �7-/+�%27�%��91�ก��� 1) 4 ��0�4E����� � 81, 5 ��0�4E�����%2 ..................................................................................... 2) 3 ��2�ก�" 4 -*+ 3 �/+�ก�2� 4 ..................................................................................... 3) 4 ��0�4E�����%281/� 43 ��0�4E�����%2 ..................................................................................... 4) O/�����.���� ��-��5*+81/���4,+"\2���Mก���� ........................................................................ 5) 3×5 = 15 ก6�2+��*�+ 15 ÷ 3 = 5 ..................................................................................... 2. กE�-�$7-/ p 8���, 4�� 3 ��0�4E�����` �, q 8���, 4�� 3 ��0�4E����� � r 8���, 4�� 2 ��0�4E�����%2 s 8���, 4�� 2 ��0�4E�����` �, 45�. ���,#��8���91�ก����2+N�� �

1) p ∧ ∼q AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA 2) r ⇒ s AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

3) ∼ r ⇔ s AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA 4) (p ∧ q) ⇒ r AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

5) q ⇔ (r ∨ ∼ p)AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA.. 3. 45"+ก�2�����4�5.+5�, 4���2+N�� � 1) 4 ��0�4E����� � 81, 5 ��0�4E�����%2 2) 2 ��2�ก�" 3 -*+ 2 ��กก�2� 3 ..... 3) O/� 7 ��0�4E�����%2 81/� 72 ��0�4E����� �

4) 2 < 5 ก6�2+��*�+ 3 > 5 .......

5) O/� {1 , 2} = {2 , 1} 81/� {1 , 2} ⊂ {2 , 1} ......

Page 6: ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

������������� ������� � 31201 �����������ก����� � 4 �"��#$��% WiLa

6

1.3 ก��B�+,�+-�*��(�=�������� ���5�2�����4�5.+5�, 4��� �� �����*�+�8""�2�5 _ � �ก12����81/�� N�/ � *�+7-/�2��7�ก�-��2� �, 4��7$��0�4�5 -*+��0���64 $�57����+�2�5�2+N�� �

�2-�),�� 1 45-��2�����4�5.+5�,#���2+N�� � a�� �57-�281,��"M �����0���*+5-1�5.+5N��b -(O��<� 7-/ p 8�� �� �57-�2�����0���*+5-1�5.+5N�� 7-/ q 8�� ��"M �����0���*+5-1�5.+5N�� �,#��� �กE�-�$7-/+�%27�%� p q∧ ��*�+54�ก p ��0���64 81, q ��0�4�5 4,N$/ p q∧ ��0���64 $�5���� �,#�� a�� �57-�281,��"M �����0���*+5-1�5.+5N��b � �2�����4�5��0���64

�2-�),�� 2 กE�-�$7-/ a, b 81, c ��0��, 4��� �� �2�����4�5 ��0�4�5 4�5 81,��64 ���1E�$�" 45-��2�����4�5.+5 ( )a b c∧ ∨ -(O��<� 4�ก a ��0�4�5 b ��0�4�5 4,N$/ a b∧ ��0�4�5 4�ก a b∧ ��0�4�5 c ��0���64 4,N$/ ( )a b c∧ ∨ ��0�4�5 -*+�. ����0�8\�<� -����-�M 7�ก�-��2�����4�5.+5�, 4��� �� �����*�+�����+�4�E�N$/�$�6�.���#$�7�/8\�<� $�5���+�2�5

�2-�),�� 3 45-��2�����4�5.+5 ~ ( ~ )a b→ ��*�+ a , b ��0��, 4��� �� �2�����4�5��0�4�5 -(O��<� 4�ก b ��0�4�5 4,N$/ ~b ��0���64 4�ก a ��0�4�5 ~b ��0���64 4,N$/ ~a b→ ��0���64 $�5���� ~ ( ~ )a b→ � �2�����4�5��0�4�5 -*+�. ����0�8\�<�

( )a b c∧ ∨

T T F

T

T

~ ( ~ )a b→

T T

F

F

T

Page 7: ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

������������� ������� � 31201 �����������ก����� � 4 �"��#$��% WiLa

7

�2-�),�� 4 กE�-�$7-/ p ��0�4�5 q ��0���64 r ��0���64 81, s ��0�4�5 45-��2�����4�5.+5 [ ]( ) ( )p q r p s∧ ∨ → ∧

-(O��<�

$�5���� �, 4�� [ ]( ) ( )p q r p s∧ ∨ → ∧ � �2�����4�5��0�4�5

?��@AกB2C 3

1. กE�-�$7-/ P ��0��, 4��� �� �2�����4�5��0�4�5 Q ��0��, 4��� �� �2�����4�5��0���64 R ��0��, 4��� �� �2�����4�5��0�4�5 S ��0��, 4��� �� �2�����4�5��0���64 45-��2�����4�5.+5�, 4���2+N�� �

1. [ ]P Q P S∧ ↔ ∨(~ ) ( ) 2. ( ) (S )P Q R→ → ∨ 3. [ ]P R S∨ →(~ ) 4. [ ]( ) (~ )P Q R Q∨ ∧ → 5. ( ) (~ )P Q R∧ ∨ 6. ( ) ( )P R Q S↔ → ∨ 7. [ ]Q P S R↔ ∧ ∨( ) 8. [ ]~ ( ) (~ ) (~ )P Q P Q∧ ↔ ∨

2. กE�-�$7-/ P,Q,R 81, S ��0��, 4�� #$�� � P Q � �2�����4�5��0���64 R S∧ (~ ) � �2�����4�5��0�4�5 45-��2�����4�5��0��, 4���2+N�� �

1. ( ) ( ~ )P Q P R∨ → ∧ 2. [ ]( ) (~ ) ( )P S R R Q∧ ∨ → ∧ 3. ( ) ( )P R Q S↔ → → 4. [ ]( ) (S ) [( (S )]R Q P P Q∧ ∨ → → ∧ ∨

3. 7-/ P,Q,R,S ��0��, 4�� 81,� �2�����4�5.+5 [ ] )~(.)( SRVQP ∨→ ��0���64 45-��2�����4�5.+5 P,Q,R,S 4. 7-/ P,Q,R,S ��0��, 4��81, P Q∨ � �2�����4�5��0�4�5 (S )∨ ∨R Q � �2�����4�5��0���64 45-��2�����4�5.+5 P,Q,R,S

[ ( p ∧ q ) ∨ r ] → ( p ∨ s )

T F

F F T T

F T

T

Page 8: ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

������������� ������� � 31201 �����������ก����� � 4 �"��#$��% WiLa

8

1.4 ก������������+,�+-�*��(� ก�-��2�����4�5.+5./+����� ���0��, 4�����5�,ก+" ��*�+��N�2��"�2�����4�5.+5�, 4���2+� ���O�E�N$/#$� /�5���5�2�����4�5.+5�, 4�����5�,ก+"���� #$� �4��� �2�����4�5�2+����5-�$� �+�4��0�N�N$/

�2-�),�� 1 45/�5���5�2�����4�5.+5%�8""�, 4�� ( p → q ) ∧ ∼q ��� �E�

p q ∼q p → q ( p → q ) ∧ ∼q T T F T F T F T F F F T F T F F F T T T

�2-�),�� 2 45/�5���5�2�����4�5.+5%�8""�, 4�� ( p ∧ ∼q ) ∨ ∼r ��� �E�

p q r ∼q ∼r p ∧ ∼q ( p ∧ ∼q ) ∨ ∼r T T T F F F F T T F F T F T T F T T F T T T F F T T T T F T T F F F F F T F F T F T F F T T F F F F F F T T F T

B*�)�B�L � *�+�����$�6���+�4/�5���5�2�����4�5%�8""�2+N$/ $�5� �

�2-�),����� 3 45/�5���5�2�����4�5%�8""�2+ .+5%�8""�, 4�� ( p ∧ ∼q ) ∨ ∼r ��� �E�

( p → q ) ∧ ∼q T T T F F T F F F T F T T F F F T F T T

Page 9: ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

������������� ������� � 31201 �����������ก����� � 4 �"��#$��% WiLa

9

�2-�),����� 4 45/�5���5�2�����4�5%�8""�2+ .+5%�8""�, 4�� ( p ∧ ∼q ) ∨ ∼r ��� �E�

( p ∧ ∼q ) ∨ ∼r T F F F F T F F T T T T T T F T T T T T F F F F F F F F T T F F T F F F F T T T

1.5 �Q�?��=�������� ����**Q4ก2� 7������ก���� O/�%�8"".+5�, 4��+5%�8""7$� �2�����4�5�5ก��ก� �2+ก� 81/�4,���O�E�N�7�/8��ก��N$/ � �ก+5%�8"".+5�, 4��$�5ก12���2���0� �Q�?�������� ����**Q4ก2� ��2� p q→ ก�" ~ p q∨ ��0�%�8""� ���%1ก�� Z��58$5ก���4+"������%1N$/$�5���+�2�5

�2-�),�� 1 กE�-�$7-/ p 81, q ��0��, 4�� �4����, 4�� p→q 81, ~ p q∨

Q�, 4�� p→q 81, ~ p q∨ � �2�����4�5�-�*+�ก���Mกก� .+5�2�����4�5.+5 �, 4�� p , q

∴ �, 4�� p→q ��%1ก�"�, 4�� ~ p q∨

�2342ก56 O/��, 4�� a ��%1ก�"�, 4�� b 81/�4,�. ��8��$/�� a ≡ b

p q p→q ~p ~ p q∨ T T T F T T F F F F F T T T T F F T T T

Page 10: ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

������������� ������� � 31201 �����������ก����� � 4 �"��#$��% WiLa

10

�2-�),�� 2 45��4+"�2� p ∧∼q ก�" ∼( q→p ) ��%1ก��-*+N�2

p q ∼∼∼∼p ∼p ∧∧∧∧q q→p ∼∼∼∼( q→→→→p )

T T F F T F 4�ก���5

T F F F T F p ∧∼q ก�" ∼( q→p ) � �2� F T T T F T ����4�5�-�*+�ก���Mกก�

F F T F T F ∴ p ∧∼q ≡ ∼( q→p )

�Q�?�������� �**Q4ก2����+-��Q��2ก กE�-�$7-/ p, q 81, r ��0��, 4��

1. p ∧ p ≡ p

2. p ∧ q ≡ q ∧ p

3. p ∨ q ≡ q ∨ p

4. p ∧ q ≡ q ∧ p

5. p → q ≡ ∼( p ∨ q )

≡ ∼ q → ∼p

6. p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ (q → p )

≡ ∼ p ↔ ∼q

7. ∼(∼ p ) ≡ p

8. ∼ (p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼ q

9. ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼ q

10. ∼ ( p → q ) ≡ p ∧ ∼q

11. ∼ ( p ↔ q ) ≡ ∼p ↔ q

≡ p ↔ ∼q

12. p∧ (q ∨ r ) ≡ ( p∧q ) ∨ ( p∧r )

p∨ (q∧r ) ≡ ( p∨q ) ∧ ( p∨r )

13. p→ ( q ∧ r ) ≡ ( p→q ) ∧ ( p→r )

p→ ( q ∨ r ) ≡ ( p→q ) ∨ ( p→r )

14. p→ ( q → r ) ≡ ( p∧q ) → r

15. ( p→q ) ∧ ( q→r ) ≡ p→ r

Page 11: ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

������������� ������� � 31201 �����������ก����� � 4 �"��#$��% WiLa

11

?��@AกB2C��� 4 1. 45/�5���5�2�����4�5.+5�, 4���2+N�� �

1.1 (p → q) → (∼ p ∧∼ q )

1.2 ( p ∧∼ q ) ↔ ( q ∨ p )

1.3 ( p ∧ q ) → ( p ∨ r ) 2. 45��4+"�2��, 4���2+N�� � ��%1ก��-*+N�2

2.1 ∼ p ∧ q ก�" ∼ (q → p)

2.2 p → q ก�" ∼ p →∼ q

2.3 ( p ∧ q ) → r ก�" p → ( q → r )

1.6 �2��(�2�C� (TAUTOLOGY)

�()�* � �ก%�8"".+5�, 4��� �� �2�����4�5��0�4�5�Mกก� �2� �2��(�2�C� ก���4+"$%�2� %�8"".+5�, 4��� �กE�-�$7-/��0��4����$�-*+N�2 #$�7�/���5�2�����4�5

�2-�),�� 1 กE�-�$7-/ p 81, q ��0��, 4�� �4����, 4�� ( )p q p q→ ∧ →

p q p q→ ( )p q p→ ∧ ( )p q p q→ ∧ → T T T T T T F F F T F T T F T F F T F T

Q ( )p q p q→ ∧ → � �2�����4�5��0�4�5�Mกก� .+5�2�����4�5.+5�, 4�� p 81, q

∴ ( )p q p q→ ∧ → ��0��4����$�

ก����-����CQ-,� �Q�?��=�������� ���ก<�B�C[B���8��2��(�2�C� B���9*, 7C)[D��Q�?�� ��� ก�-�./+.�$8�/5 Z��5��� � �4,��M��7-/%�8"".+5�, 4��� �กE�-�$7-/��0���64 Z��5���O

�ก�$.���N$/� �5ก� �$ �� 81/�4�5-��2�����4�5.+5�, 4���2+� -�ก� ./+.�$8�/5ก�"� ���M��N�/ 8$5�2� %�8"".+5�, 4��������0�������$� 8�2O/�N�2� ./+.�$8�/5ก�"� ���M��N�/ 8$5�2� %�8"".+5�, 4������N�2��0��4����$�

Page 12: ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

������������� ������� � 31201 �����������ก����� � 4 �"��#$��% WiLa

12

�2-�),�� 2 %�8"".+5�, 4�� [( ) ] ~p q p q→ ∧ → ��0��4����$�-*+N�2 -(O��<� ��M���2� [( ) ] ~p q p q→ ∧ → � �2�����4�5��0���64

4�ก8\�<� 4,�-6��2� ��*�+��M��7-/ [( ) ] ~p q p q→ ∧ → ��0���64 4, "�2� �2�����4�5.+5�, 4���2+�N�2.�$8�/5ก�� �����*+ � ก� � � p ��0�4�581, q ��0�4�5 � ��E�7-/ [( ) ] ~p q p q→ ∧ → ��0���64 $�5���� %�8"".+5�, 4�� [( ) ] ~p q p q→ ∧ → N�2��0��4����$�

�2-�),�� 3 %�8"".+5�, 4�� ( ) ( )p q q p∧ → ∨ ��0��4����$�-*+N�2 -(O��<� ��M���2� ( ) ( )p q q p∧ → ∨ � �2�����4�5��0���64

4�ก8\�<� 4,�-6��2� �2�����4�5.+5 p 81, q ��0�N$/���54�581,��64 �ก�$ก�.�$8�/5ก�"� ���M��N�/�2� [( ) ] ~p q p q→ ∧ → ��0���64 $�5���� %�8"".+5�, 4�� [( ) ] ~p q p q→ ∧ → ��0��4����$�

( p ∧ q ) → ( q ∨ p )

F

T F

T T F F

.�$8�/5ก��

[ ( p → q ) ∧ p ] → ~ q

F

T F

T T

T T

Page 13: ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

������������� ������� � 31201 �����������ก����� � 4 �"��#$��% WiLa

13

(2) �Q�?��=�������� ����)Q,[��Q�?�� A∨B

��*�+54�ก%�8"" A∨B ��0���64N$/� �5ก� �$ �� �*+ A ��0� F 81, B ��0� F $�5���� ก���4+"�2�

A∨B �2���0��4����$�-*+N�2 7-/�E�%�8"".�$8�/5

(3) �Q�?��=�������� ����)Q,[��Q�?�� A↔B

ก���4+"$%�2� A↔B ��0��4����$�-*+N�2 7-/7�/����%/�*�+5ก���%1ก��.+5�, 4�� ก12���*+ A ��%1ก�" B ก6�2+��*�+ �2�����4�5.+5 A 81, B �-�*+�ก���Mกก�

ก6�2+��*�+ A↔B ��0� T 7��Mกก�

ก6�2+��*�+ A↔B ��0��4����$� 1.7 ก�������B�L^4

�()�* ก�+/�5�-�M\1 �,ก+"N�$/����5กE�-�$7-/(-*+�-�M) 81,\1M� O/�7-/��5� �กE�-�$7-/� �2�����4�5��0�4�5 81/�N$/\1M�� �2�����4�5��0�4�5 ก�+/�5�-�M\1���� 4,��-�M�\1 O/�7-/��5� �กE�-�$7-/� �2�����4�5��0�4�5 81/�N$/\1M�� �2�����4�5��0���64 -*+\1M�-��2�����4�5N�2N$/ ก�+/�5�-�M\1���� 4,N�2��-�M�\1 ก����-����+-�*�*�B�L�*^4�<�9C� 3 ?�� $�5� � 1. ก���4+"������-�M�\1#$�7�/กuก�+/�5�-�M\1 ก_ก�������B�L^4 1. ก_ก��?���B�L��*^4 (modus ponens) 2. ก_ก��?��^4+����B�L (modus tollens)

qp → qp → p ~q

q∴ p~∴ 3. ก_=�����ก�� (law of syllogism) 4. ก_ก��+2C��ก (disjunctive syllogism)

qp → qp ∨ rq → p~ rp →∴ q∴

5. ก_ก����L*���,-* (conjunctive inference) 6. ก_ก����L*��7C)ก�6� (inference by cases) p rp → q rq →

qp ∧∴ rqp →∨∴ 7. ก_=��ก���<�[B��,�) (law of simplification) 8. ก_=��=��+-�*?)���42����

qp∧ qp → p∴ pq ~~ →∴

Page 14: ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

������������� ������� � 31201 �����������ก����� � 4 �"��#$��% WiLa

14

2. ก����4+"������-�M�\1#$�7�/ก���4+"������0��4����$� ก�+/�5�-�M\1�*+ ก�+/�5�2� ��*�+� ./+���� 1 2, ,..., np p p �M$-���5 81/����OM� ./+���� C ./+����-���5N$/ ก�+/�5�-�M\1�,ก+"$/��2��E���9+52���*+ �-�M-*+��5� �กE�-�$7-/ N$/8ก2 ./+���� 1 2, ,..., np p p 81, \1-*+./+M� N$/8ก2 ./+���� C ก�+/�5�-�M\1+�44,��-�M�\1-*+N�2��-�M�\1ก6N$/ Z��5���O��4+"N$/#$�7�/�����*�+� ∧ ��*�+��-�M���5-�$�./�$/��ก�� 81,7�/�����*�+� → ��*�+�2��� ���0��-�Mก�"\1$�5� �

( )1 2, ,..., np p p C→

O/�%�8"" ( )1 2, ,..., np p p C→ ��0��4����$� 4,ก12���2� ก�+/�5�-�M\1� � ��-�M�\1 (valid) 8�2O/�%�8"" ( )1 2, ,..., np p p C→ N�2��0��4����$� ก12��N$/�2� ก�+/�5�-�M\1� � N�2��-�M�\1 (invalid) $�5���� 7�ก���4+"������-�M�\1 4�57�/��� �$ ��ก�"ก���4+"�4����$�

�2-�),����� 1 45 �4����2�ก�+/�5�-�M\1�2+N�� ���-�M�\1-*+N�2 �B�L : qp→.1

q~.2

^4 : p~ -(O��<� �����O�. ��ก�+/�5�-�M\1N$/ �*+ ( )[ ] pqqp ~~ →∧→ #$�7�/���5

p q p~ q~ qp → ( ) qqp ~∧→ ( )[ ] pqqp ~~ →∧→

T T F F T F T T F F T F F T F T T F T F T F F T T T T T

4�ก���5 "�2��2�����4�5��0���(��Lกก�6� 8$5�2�ก�+/�5�-�M\1.+5./+����$�5ก12�� �*�B�L�*^4

�2-�),����� 2 �B�L : 1. O/��.���0���ก/+5 �.�ก64,� �*�+� �5 2. �.�N�2N$/��0���ก/+5

^4��L� : �.�� �*�+� �5 ก�+/�5�-�M\1� � ��-�M�\1-*+N�2 -(O��<� 4�ก./+����� �กE�-�$7-/4,N$/�2� กE�-�$7-/ p 8�� �.���0���ก/+5 q 8�� �.�� �*�+� �5

Page 15: ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

������������� ������� � 31201 �����������ก����� � 4 �"��#$��% WiLa

15

$�5���� �B�L : 1. qp→ 2. p~

^4��L� : q %�8""ก�+/�5�-�M\1 �*+ ( )[ ] ( )qpqp →∧→ ~

4,�-6��2��2�����4�5+$�1/+5ก���*+ p ��0���64 81, q ��0���64 �E�7-/./+����� ���0���64 $�5���� N�2��-�M�\1

?��@AกB2C� � 5 45��4+"ก�+/�5�-�M\1�2+N�� � ��-�M�\1-*+N�2 1. �B�L 1. qp →

2. rq →

3. ∼r

^4 ∼ rp ∨ 2. �-�M 1. O/� 7 ��0�4E�����%281/� 7 -�$/�� 2 15��� 2. 7 N�2��0�4E�����%2 \1 -�$/�� 2 15��� 3. �-�M 1. O/����8$5++กกE�1�5ก��81/����8$54,8.6585 2. O/����8$5N�2++กกE�1�5ก��81/����8$54,��0�N./ 3. ���8$5N�28.6585 \1 ���8$5��0�N./

F (����)

T

T = p~ F = q T = )( qp→

F = p F = q F = p

Page 16: ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

������������� ������� � 31201 �����������ก����� � 4 �"��#$��% WiLa

16

1.8 ���7)+��bC �,#����}$ �*+ �,#��"+ก�12�-*+�3��� � �� ���8� 8�2N�2��0��, 4�� 81,��*�+8���2����$/������ก7��+ก< �� ���� 81/��,#��������0��, 4�� ��2� x � �2���กก�2� 3 a + 2 = 1 NOTE O/� P(x) 81, Q(x) ��0��,#����}$ ��*�+��*�+��,#�����5+5�����*�+�7$ _ ก6��5�5��0��,#����}$

���+�2�5� � 1 45 �4����2��,#��7�./+7$��0��,#����}$ 1. `����0���ก� �� 2. �.���0���กก ~� 3. x - 5 = 10

4. O/� x + 2 = 3 81/� x - 2 = 0 5. π ��0�4E����+�ก�, 6. 3x = 15 81, x = 3 7�2-*+N�2 7. x + 10 8. a + a = 2a

�e4) ./+ �,#�� �E��+" 1 `����0���ก� �� �,#����}$ � ���8� 8���2����8�81/���0��, 4�� 2 �.���0���กก ~� �,#����}$ � ���8� 8���2����8�81/���0��, 4�� 3 x - 5 = 10 �,#����}$ � ���8� x 81,8���2����8� x ∈R

81/���0��, 4�� 4 O/� x + 2 = 3 81/� x - 2 = 0 �,#����}$ � ���8� x 81,8���2����8� x ∈R

81/���0��, 4�� 5 π ��0�4E����+�ก�, �, 4�� �2�����4�5��0�4�5 6 3x = 15 � ���8� x 81,8���2����8� x ∈R

81/���0��, 4�� 7 x + 10 N�2��0��,#����}$

81,N�2��0��, 4�� � ���8� x 8�28���2����8� x ∈R 81/�N�2��0��, 4��

8 a + a = 2a �, 4�� � ���8� 8�2��0��, 4��� ���0�4�5

Page 17: ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

������������� ������� � 31201 �����������ก����� � 4 �"��#$��% WiLa

17

1.9 �2-�,���(*�6 ���"25������ 2 ���$

1. �2-�,���(*�6 �<�B�2�...�Lก�2- -���O�5 ./+���� aE�-�"����ก�Mก���b 81,+�4�. ��7�1�ก��,+*�� ��2� E�-�" x �Mก��� A

E�-�" x ��� �

E�-�" x 8�21,��� A ���"25����� E�-�"...�Mก��� 8��$/���91�ก��� a∀ b

��2� 7-/ P(x) 8���,#����}$ x+2 = 3 ∀ x P (x) -*+ ∀ x[x+2 =3 ] -���O�5 E�-�" x �Mก��� x+2 = 3

2. �2-�,���(*�6 �<�B�2�...����2- -���O�5 ./+���� aE�-�" "�5��� b

81,+�4�. ��7�1�ก��,+*�� ��2� E�-�" x "�5��� � x "�5��� � x +�2�5�/+�-���5���

���"25����� E�-�"..."�5��� 8��$/���91�ก��� a∃ b ��2� 7-/ P(x) 8���,#����}$ x - 3 = 5 ∃ xP(x) -*+ ∃ x[x - 3 = 5] -���O�5 E�-�" x "�5��� x - 3 = 5

-����-�M 7�/�91�ก��� x∀ 8�� E�-�" x �Mก��� 7�/�91�ก��� x∃ 8�� E�-�" x "�5��� 7�/�91�ก��� U 8�� �+ก< �� ���� 7�/�91�ก��� R 8�� �Z�.+54E����4�5 7�/�91�ก��� Q 8�� �Z�.+54E�����ก�, 7�/�91�ก��� I -* Z 8�� �Z�.+54E������6� 7�/�91�ก��� N 8�� �Z�.+54E������"

+,�+-�*��(�=�������� ���*��2-�,���(*�6�2-�C�)- 7-/ P(x) ��0��,#����}$ � x ��0����8� (1) �, 4�� [ ]∀x p x( ) � �2�����4�5��0�4�5 ก6�2+��*�+ 8��� � x 7� p(x) $/������ก8�21,���.+5 U 81/�N$/�, 4��� ���0�4�5���5-�$

�����*+ [ ]∀x p x( ) ��0�4�5 ก6�2+��*�+ E�-�"�Mก_ x∈U , P(x) ��0�4�5 (2) �, 4�� [ ]∀x p x( ) � �2�����4�5��0���64 ก6�2+��*�+ � ����ก.+5 U +�2�5�/+�-���5��� Z��5��*�+ �E�N�8��� � x 7� p(x) 81/� N$/�, 4��� ���0���64

Page 18: ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

������������� ������� � 31201 �����������ก����� � 4 �"��#$��% WiLa

18

�����*+ [ ]∀x p x( ) ��0���64 ก6�2+��*�+ � x∈U � � P(x) ��0���64 (3) �, 4�� [ ])(xpx∃ � �2�����4�5��0�4�5 ก6�2+��*�+ � ����ก.+5 U +�2�5�/+�-���5��� Z��5��*�+ �E�N�8��� � x 7� p(x) 81/� N$/�, 4��� ���0�4�5

�����*+ [ ]∃x p x( ) ��0�4�5 ก6�2+��*�+� x∈U � � P(x) ��0�4�5 (4) �, 4�� [ ])(xpx∃ � �2�����4�5��0�4�5 ก6�2+��*�+ 8��� � x 7� p(x) $/������ก8�21,���.+5 U 81/�N$/�, 4��� ���0���64���5-�$

�����*+ [ ]∃x p x( ) ��0���64 ก6�2+��*�+ E�-�"�Mก_ x∈U , P(x) ��0���64 �2-�),����� 1 ��B�+,�+-�*��(�=�������� �,�9����

1. ∀ x [ x + 8 ≥ 8 ] U = { 0, 2, 4 }

��� ��$ 8���2� x∈U �Mก�2� 7� x + 8 ≥ 8

$�5� � x = 0 ; 0 + 8 ≥ 8 (T)

x = 2 ; 2 + 8 ≥ 8 (T)

x = 4 ; 4 + 8 ≥ 8 (T)

"�2� �Mก�2� x∈U �E�7-/ x + 8 ≥ 8 ��0�4�5

$�5���� ∀ x [ x + 8 ≥ 8 ] ; U = { 0, 2, 4 } � �2�����4�5��8���(� 2. ∀ x [ x + 8 > 8 ] U = { 0, 2, 4 }

��� ��$ 8���2� x∈U �Mก�2� 7� x + 8 > 8

$�5� � x = 0 ; 0 + 8 > 8 (F)

x = 2 ; 2 + 8 > 8 (T)

x = 4 ; 4 + 8 > 8 (T)

"�2� � �2� x∈U �E�7-/ x + 8 > 8 ��0���64

$�5���� ∀ x [ x + 8 > 8 ] ; U = { 0, 2, 4 } � �2�����4�5��8���K� 3. ∃ =x x x[ ]2 2 U = { -1, 0, 1 }

��� ��$ 8���2� x∈U �Mก�2� 7� x2 = 2x $�5� � x = -1 ; (-1)2 = 2(-1) (F)

x = 0 ; (0)2 = 2(0) (T) x = 1 ; (1)2 = 2(1) (F)

"�2� � �2� x∈U "�5����E�7-/ x2 = 2x ��0�4�5 $�5���� ∃ =x x x[ ]2 2 ; U = { -1, 0, 1 } � �2�����4�5��8���(�

Page 19: ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

������������� ������� � 31201 �����������ก����� � 4 �"��#$��% WiLa

19

4. ∃ + =x x[ ]1 1 U = R

��� ��$ "�2� � �2� x∈U "�5��� ��2� x = o �E�7-/ x + 1 = 1 ��0�4�5 $�5���� ∃ + =x x[ ]1 1 U = R � �2�����4�5��8���(�

5. ∀ x [ x+1 = x ] U = R

��� ��$ "�2� � �2� x∈U "�5��� ��2� x = o �E�7-/ x + 1 = x ��0���64 $�5���� ∀ x [x+1 = x ] U = R � �2�����4�5��8���K�

?��@AกB2C��� 9 1. 45-��2�����4�5.+5�, 4���2+N�� � 1. ∀ x[ x+x = 2x ] ; u = {-2,-1,0,1,2} 2. ∃ x[ (x-1) (x+1) = x2 - 1 ] ; U = { -2,1,3,7} 3. ∃ x[2x2+3x+1 = 0] ; U = {-2,1,3,7} 4. ∀ x[x2+2x+1 = 0] ; u = {-2,1,3,7} 5. ∀ x[ x+3 < 5 ] ; U = R- 2. 7-/ U = {-2,-1, 0, 1, 2} 81, P(x) -���O�5 x ≥ 0 ;

Q(x) -���O�5 x/4 ��0�4E������6� R(x) -���O�5 x2-4 =0 45-��2�����4�5.+5�, 4���2+N�� � 1. ∀ ∨x P x R x[ ( ) ~ ( )]

2. ∃ x[ R(x) → P(x)]

3. ∀ x[ Q(x) ↔ P(x)] 3. 7-/ U = R 81, P(x) 8�� x ��0�4E����+�ก�, ;

Q(x) 8�� x ��0�4E�����ก�, 45-��2�����4�5.+5�, 4���2+N�� �

1. ∀ x[P(x)] ∨∀ x [Q(x0]

2. ∀ x[P(x) → Q(x) ]

3. ∀ x(P(x) ∨ Q(x)]

4. ∀ x(P(x)]∧∀ x[Q(x)]

5. ∀ x[P(x) ∧Q(x)]

______________ ^__^ ______________

Page 20: ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

������������� ������� � 31201 �����������ก����� � 4 �"��#$��% WiLa

20

+,�+-�*��(�=�������� ���*��2-�,���(*�6����2-

�()�* กE�-�$�+ก< �� ���� U 1. �, 4�� [ ]( , )x y p x y∀ ∀ � �2�����4�5��0�4�5 ก6�2+��*�+ O/�8�� x 7� p(x,y) $/��

����ก a 7$ _ .+5 U 81/�4,N$/�, 4�� ( ),y p a y∀ ��0�4�5

2. �, 4�� [ ]( , )x y p x y∀ ∀ � �2�����4�5��0���64 ก6�2+��*�+ � ����ก b 7� U +�2�5�/+�-���5��� Z��5��*�+�E�N�8��� � x 7� p(x,y) 81/� 4,N$/�, 4�� [ ]( , )y p b y∀ ��0���64 3. �, 4�� [ ]( , )y x p x y∀ ∀ � �2�����4�5��0�4�5 ก6�2+��*�+ O/�8�� y 7� p(x,y) $/�� ����ก a 7$ _ .+5 U 81/�4,N$/�, 4�� ( ),x p x a∀ ��0�4�5

4. �, 4�� [ ]( , )y x p x y∀ ∀ � �2�����4�5��0���64 ก6�2+��*�+ � ����ก b 7� U +�2�5�/+� -���5��� Z��5��*�+�E�N�8��� � y 7� p(x,y) 81/� 4,N$/�, 4�� [ ]( , )x p x b∀ ��0���64 5. �, 4�� [ ]( , )x y p x y∃ ∃ � �2�����4�5��0�4�5 ก6�2+��*�+ � ����ก a 7� U +�2�5�/+�-���5��� Z��5��*�+�E� a N�8��� � x 7� p(x,y) 81/�4,N$/�, 4�� [ ]( , )y p a y∃ � ���0�4�5 6. �, 4�� [ ]( , )x y p x y∃ ∃ � �2�����4�5��0���64 ก6�2+��*�+ O/�8�� x 7� p(x,y) $/������ก a 7$ _ .+5 U 81/�4,N$/�, 4�� ( ),y p a y∃ ��0���64

7. �, 4�� [ ]( , )y x p x y∃ ∃ � �2�����4�5��0�4�5 ก6�2+��*�+ � ����ก a 7� U +�2�5�/+�-���5��� Z��5��*�+�E� a N�8��� � y 7� p(x,y) 81/�4,N$/�, 4�� [ ]( , )x p x a∃ � ���0�4�5 8. �, 4�� [ ]( , )y x p x y∃ ∃ � �2�����4�5��0���64 ก6�2+��*�+ O/�8�� y 7� p(x,y) $/������ก a 7$ _ .+5 U 81/�4,N$/�, 4�� ( ),x p x a∃ ��0���64

9. �, 4�� [ ]( , )x y p x y∀ ∃ � �2�����4�5��0�4�5 ก6�2+��*�+ O/�8�� x 7� p(x,y) $/������ก a 7$ _ .+5 U 81/�4,N$/�, 4�� ( ),y p a y∃ ��0�4�5

10. �, 4�� [ ]( , )x y p x y∀ ∃ � �2�����4�5��0���64 ก6�2+��*�+ � ����ก b 7� U +�2�5�/+�-���5��� Z��5��*�+�E�N�8��� � x 7� p(x,y) 81/� 4,N$/�, 4�� [ ]( , )y p b y∃ ��0���64 11. �, 4�� [ ]( , )y x p x y∀ ∃ � �2�����4�5��0�4�5 ก6�2+��*�+ O/�8�� y 7� p(x,y) $/������ก a 7$ _ .+5 U 81/�4,N$/�, 4�� ( ),x p x a∃ ��0�4�5

12. �, 4�� [ ]( , )y x p x y∀ ∃ � �2�����4�5��0���64 ก6�2+��*�+ � ����ก b 7� U +�2�5�/+�-���5��� Z��5��*�+�E�N�8��� � y 7� p(x,y) 81/� 4,N$/�, 4�� [ ]( , )x p x b∃ ��0���64

13. �, 4�� [ ]( , )x y p x y∃ ∀ � �2�����4�5��0�4�5 ก6�2+��*�+ � ����ก a 7� U +�2�5�/+�-���5��� Z��5��*�+�E�N�8��� � x 7� p(x,y) 81/� 4,N$/�, 4�� [ ]( , )y p a y∀ ��0�4�5 14. �, 4�� [ ]( , )x y p x y∃ ∀ � �2�����4�5��0���64 ก6�2+��*�+ O/�8�� x 7� p(x,y) $/������ก b 7$ .+5 U 81/�4,N$/�, 4�� ( ),y p b y∀ ��0���64

15. �, 4�� [ ]( , )y x p x y∃ ∀ � �2�����4�5��0�4�5 ก6�2+��*�+ � ����ก a 7� U +�2�5�/+�-���5��� Z��5��*�+�E�N�8��� � y 7� p(x,y) 81/� 4,N$/�, 4�� [ ]( , )x p x a∀ ��0�4�5

Page 21: ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

������������� ������� � 31201 �����������ก����� � 4 �"��#$��% WiLa

21

16. �, 4�� [ ]( , )y x p x y∃ ∀ � �2�����4�5��0���64 ก6�2+��*�+ O/�8�� y 7� p(x,y) $/������ก b 7$ .+5 U 81/�4,N$/�, 4�� ( ),x p x b∀ ��0���64

1.10 ก���**Q4ก2�=�������� ���*��2-�,���(*�6

�()�* � �ก%�8"".+5�,#��� �� 1�ก��,�$ ��ก��ก�"%�8"".+5�, 4�� � ���%1ก�� �2���0� �Q�?��=�����7)+��bC����**Q4ก2� %�8"".+5�,#����}$� ���%1ก�� O/��������"25��������$�$ ��ก��N�/./�5-�/�%�8"".+5 �,#����}$ $�5ก12�� 4,N$/�, 4��� ���%1ก�� �h5i� กE�-�$7-/ p(x),q(x) 81, p(x,y) ��0��,#����}$

1. [ ] [ ] [ ]∀ ∧ ≡ ∀ ∧ ∀x p x q x x p x x q x( ) ( ) ( ) ( ) 2. [ ] [ ] [ ]∃ ∨ ≡ ∃ ∨ ∃x p x q x x p x x q x( ) ( ) ( ) ( ) 3. [ ] [ ]~ ( ) ~ ( )∀ ≡ ∃x p x x p x 4. [ ] [ ]~ ( ) ~ ( )∃ ≡ ∀x p x x p x

5. [ ] [ ]~ ( , ) ~ ( , )x y p x y x y p x y∀ ∀ ≡ ∃ ∃ 6. [ ] [ ]~ ( , ) ~ ( , )x y p x y x y p x y∀ ∃ ≡ ∃ ∀ 7. [ ] [ ]~ ( , ) ~ ( , )x y p x y x y p x y∃ ∀ ≡ ∀ ∃

������������������